= Математический Анализ. Теория. === Понятие первообразной. Первообразной функции $f$ на промежутке $ angle.l a, b angle.r$ называется функция $F$ такая, что #align(center)[$F'(x) = f(x), space x in angle.l a, b angle.r$] #line(length: 100%) === Теорема о множестве всех первообразных. Пусть $F$ - первообразная функции $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Для того, чтобы $Phi$ также была первообразной функции $f$ на промежутке $angle.l a, b angle.r$, необходимо и достаточно, чтобы #align(center)[$F(x) - Phi(x) eq.triple C, space x in angle.l a, b angle.r, C in RR$] _Доказательство._ Докажем необходимость. Пусть $Psi = F - Phi$, где $F$ и $Phi$ - первообразные для $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Тогда#align(center)[$Psi'(x) = (F(x) - Phi(x))' = F'(x) - Phi'(x) = f(x) - f(x) = 0, space forall x in angle.l a, b angle.r$] Согласно теореме Лагранжа, для любых $x_1, x_2 in angle.l a, b angle.r$ таких, что $x_1 lt x_2$, #align(center)[$Psi(x_2) - Psi(x_1) = Psi'(xi)(x_2 - x_1) = 0, space xi in (x_1, x_2).$] Значит, $Psi(x) eq.triple C, space C in RR, space x in angle.l a, b angle.r$ Докажем достаточность. Пусть на $angle.l a, b angle.r$ выполнено условие $F - Phi eq.triple C, space C in RR$. Тогда на этом промежутке $Phi = F - C$ и, к тому же, #align(center)[$Phi' = F' - C' = F' - 0 = F' = f$] Тем самым, $Phi$ является первообразной для функции $f$ на $angle.l a, b angle.r .$ #line(length: 100%) === Теорема о достаточном условии существования первообразной. Если $f in C(angle.l a, b angle.r)$, то множество первообразных $f$ на $angle.l a, b angle.r$ не пусто. #line(length: 100%) === Понятие неопределенного интеграла. Неопределенным интегралом функции $f$ на промежутке $angle.l a, b angle.r$ называется множество всех первообразных $f$ на этом промежутке. Неопределенный интеграл обозначается следующим образом: $ integral f d x $ где $integral "- знак неопределенного интеграла,"$ $f "- подынтегральная функция,"$ $f d x "- подынтегральное выражение,"$ $x "- переменная интегрирования."$ #line(length: 100%) === Справедливы следующие равенства: #align(center)[#table(columns: 2, align: center, inset: 2em)[ $integral 0 d x = C$ ][ $integral x^alpha d x = frac(x^(alpha + 1), alpha + 1) + C, space alpha eq.not -1$ ][ $integral frac(d x, x) = ln |x| + C$ ][ $integral sin x d x = -cos x + C$ ][ $integral cos x d x = sin x + C$ ][ $integral frac(d x, cos^2 x) = tan x + C$ ][ $integral frac(d x, sin^2 x) = -ctg x + C$ ][ $integral a^x d x = frac(a^x, ln a) + C$ ][ $integral frac(d x, a^2 + x^2) = frac(1, a)arctan frac(x, a) + C$ ][ $integral frac( d x , sqrt(a^2 - x^2)) = arcsin frac(x, a) + C$ ][ $integral frac( d x , x^2 - a^2) = frac(1, 2a) ln |frac(x - a, x + a)| + C$ ][ $integral frac(d x, sqrt(x^2 plus.minus a^2)) = ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C$ ] ] где в последних двух строчках таблицы считается, что $a eq.not 0$, а все написанные соотношения рассматриваются на области определения подынтегральной функции. _Доказательство._ Понятно, что все приведенные равенства доказываются формальным дифференцированием правой части и приведением результата к подынтегральной функции. Для примера, докажем следующее равенство: $ integral frac(d x, sqrt(x^2 plus.minus a^2)) = ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C. $ Для доказательства достаточно показать, что производная правой части (точнее – любой фиксированной функции из множества) равна подынтегральной функции. Действительно, $ (ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C)' = frac(1, x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)) dot (1 + frac( 2x , 2sqrt(x^2 plus.minus a^2) )) = $ $ = frac(1, x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)) dot (frac(x + sqrt(x^2 plus.minus a^2), sqrt(x^2 plus.minus a^2))) = frac(1, sqrt(x^2 plus.minus a^2)) $ откуда и следует написанное. #line(length: 100%) === Связь интеграла и производной. $ (integral f d x)' = f, space d(integral f d x) = f d x $ #line(length: 100%) === Линейность неопределенного интеграла. Пусть на $angle.l a, b angle.r$ существуют первообразные функций $f$ и $g$. Тогда: 1. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $f + g$, причем $ integral (f + g) d x = integral f d x + integral g d x $ 2. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $alpha f, space alpha in RR$, причем при $alpha eq.not 0$ $ integral alpha f d x = alpha integral f d x $ 3. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $alpha f + beta g, space alpha, beta in RR$, причем при $alpha^2 + beta^2 eq.not 0$ $ integral (alpha f + beta g) d x = alpha integral f d x + beta integral g d x $ _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Понятно, что по свойству производной суммы, $F + G$ - первообразная $f + g$. Значит, достаточно проверить равенство $ {F + G + C, space C in RR} = {F + C_1, space C_1 in RR} + {G + C_2, space C_2 in RR} $ Пусть $H in {F + G + C, C in RR}$, тогда $ H = F + G + C = (F + 0) + (G + C), $ а значит $H in {F + C_1, C_1 in RR} + {G + C_2, C_2 in RR}$ при $C_1 = 0, space C_2 = C$. Наоборот, пусть $H in {F + C_1, space C_1 in RR} + {G + C_2, space C_2 in RR}$, то есть $ H = F + C_1 + G + C_2 = F + G + (C_1 + C_2). $ Тогда и $H in {F + G + C, C in RR}$ при $C = C_1 + C_2$. Тем самым, равенство множеств установлено. 2. Докажем второй пункт. Понятно, что по свойству производной, $alpha F$ - первообразная для $alpha f$. Значит, достаточно показать, что при $alpha eq.not 0$ верно равенство $ {alpha F + C, space C in RR} = {alpha F + alpha C_1, space C_1 in RR} $ Если $H in {alpha F + C, C in RR}$, то $ H = alpha F + C = alpha F + alpha dot frac(C, alpha), $ откуда $H in {alpha F + alpha C_1, C_1 in RR}$ при $C_1 = frac(C, alpha)$. Обратное включение доказывается похожим образом и остается в качестве упражнения. 3. Доказательство третьего пункта немедленно следует из утверждений 1-ого и 2-ого пунктов. #line(length: 100%) === Формула замены переменной Пусть $f$ имеет первообразную на $angle.l a, b angle.r, space phi : angle.l alpha, beta angle.r arrow angle.l a, b angle.r, space phi$ дифференцируема на $angle.l alpha, beta angle.r$. Тогда $ integral f d x = integral f(phi) phi' d t $ _Доказательство_. Пусть $F$ - первообразная для функции $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Тогда, согласно теореме о производной композиции, $F(phi)$ - первообразная для функции $f(phi) phi'$ на $angle.l alpha, beta angle.r$, откуда $ integral f d x = F + C = F(phi) + C = integral f(phi) phi' d t $ #line(length: 100%) === Формула интегрирования по частям Пусть $u$ и $v$ дифференцируемы на $angle.l a, b angle.r$, и пусть на $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная от $v u'$. Тогда $ integral u v' d x = u v - integral v u' d x $ или $ integral u d v = u v - integral v d u $ _Доказательство_. Согласно формуле производной произведения, $ (u v)' = u' v + u v' $ откуда $ u v' = (u v)' - u' v $ Беря интегралы от обеих частей и пользуясь следствием, приходим к формуле $ integral u v' d x = u v - integral v u' d x $ #line(length: 100%) === Понятие многочлена Многочленом (полиномом) $P_n (x)$ степени $n gt.eq 1$ будем называть функцию вида $ P_n (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + dots + a_n x^n, space a_i in RR, space a_n eq.not 0, i in {1, 2, dots, n}. $ Многочленом нулевой степени назовем произвольную константу, отличную от нуля. У тождественно равного нулю многочлена степенью будем называть символ $-infinity$. #line(length: 100%) === Понятие рациональной дроби Рациональной дробью называется функция вида $ frac(P_n (x), Q_m (x)), $ где $P_n (x), space Q_m (x)$ - многочлены степеней $n$ и $m$, соответственно. #line(length: 100%) === Понятие правильной рациональной дроби Рациональная дробь $ frac(P_n (x), Q_m (x)) $ называется правильной, если $n lt m$, иначе дробь называется неправильной. #line(length: 100%) === Лемма о делении многочленов с остатком Пусть $ frac(P_n (x), Q_m (x)) $ \- неправильная дробь. Тогда существует единственное представление этой дроби в виде $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m)(x) + frac(T_k (x), Q_m (x)), $ где $R_(n - m)(x)$ - многочлен степени $(n - m), space T_k (x)$ - многочлен степени $k$ и $k lt m$. #line(length: 100%) === Теорема о разложении многочлена над $RR$ Пусть $P_n (x)$ - многочлен $n$-й степени, коэффициент при старшей степени которого равен единице. Тогда справедливо разложение $ P_n (x) = (x - a_1)^(k_1) dot (x - a_2)^(k_2) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot (x^2 + p_2 x + q_2)^(l_2) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m) $ где при $i in {1, 2, dots, p}, space j in {1, 2, dots, m}$ $ a_i in RR, space k_i in NN, space l_j in NN, space p_j^2 - 4q_j lt 0, space k_1 + k_2 + dots + k_p + 2(l_1 + dots + l_m) = n. $ #line(length: 100%) === Понятие простейших дробей Простейшими дробями (дробями первого и второго типов) называют дроби вида $ frac(A, (x - a)^k), space frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k), $ где $k in NN$ и $p^2 - 4q lt 0$. #line(length: 100%) === Лемма о дробях первого типа Пусть $ frac(P_n (x), Q_m (x)) $ \- правильная рациональная дробь и $ Q_m (x) = (x - a)^k dot tilde(Q)(x), space "где" space tilde(Q)(a) eq.not 0, space tilde(Q) "- многочлен". $ Существуют число $A in RR$ и многочлен $tilde(P) (x)$, такие что $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A, (x - a)^k) + frac(tilde(P) (x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)) $ причем данное представление единственно. _Доказательство_. Докажем существование заявленного разложения. Для этого рассмотрим разность $ frac(P_n (x) , Q_m (x)) - frac(A , (x - a)^k) = frac(P_n (x) , (x - a)^k dot tilde(Q)(x)) - frac(A, (x - a)^k) = frac(P_n (x) - A dot tilde(Q)(x) , (x - a)^k dot tilde(Q)(x)) $ и выберем число $A$ так, чтобы число $a$ было корнем числителя, то есть чтобы выполнялось равенство $ P_n (x) - A dot tilde(Q)(a) = 0 $ Тогда, очевидно, $ A = frac(P_n (a), tilde(Q)(a)), $ причем деление на $tilde(Q)(a)$ возможно, так как, по условию, $tilde(Q)(a) eq.not 0$. При найденном $A$ в числителе стоит многочлен с корнем $a$, значит, согласно теореме, его можно представить в виде $ P_n (x) - A dot tilde(Q)(x) = (x - a)tilde(P)(x), $ а тогда $ frac(P_n (x) - A dot tilde(Q)(x), (x - a)^k dot tilde(Q)(x)) = frac((x - a) dot tilde(P)(x), (x -a)^k dot tilde(Q)(x)) = frac(tilde(P)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)). $ Тем самым, существование разложения доказано. Докажем единственность такого разложения. От противного, пусть существует два разложения $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A, (x - a)^k) + frac(tilde(P_1)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)) = frac(A_2, (x - a)^k) + frac(tilde(P_2)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)) $ Домножив на $(x - a)^k dot tilde(Q)(x)$, приходим к равенству $ A_1 dot tilde(Q)(x) dot (x - a) = A_2 dot tilde(Q)(x) + tilde(P_2)(x) dot (x - a), $ верному при всех $x in RR$. Пусть $x = a$, тогда это равенство превращается в $ A_1 dot tilde(Q)(a) = A_2 dot tilde(Q)(a), $ и, так как, $tilde(Q)(a) eq.not 0$ то $A_1 eq A_2$. Но тогда коэффициенты многочлена $tilde(P) eq P_n (x) - A dot tilde(Q)(x)$ тоже вычисляются однозначно. Противоречие. #line(length: 100%) === Лемма о дробях второго типа Пусть $ frac(P_n (x), Q_m (x)) $ \- правильная рациональная дробь и $ Q_m (x) = (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x), space "где" space tilde(Q)(alpha plus.minus i beta) eq.not 0, space tilde(Q) "- многочлен", $ $p^2 - 4q lt 0$, а $alpha plus.minus i beta$ - комплексно-сопряженные корни квадратного трехчлена $x^2 + p x + q$. Существуют числа $A, B in RR$ и многочлен $tilde(P)(x)$ такие, что $ frac(P_n (x), Q_m (x)) eq frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) plus frac(tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)), $ причем это представление единственно. _Доказательство_. Докажем существование заявленного разложения. Для этого рассмотрим разность $ frac(P_n (x), Q_m (x)) minus frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) eq frac(P_n (x) - (A x + B) dot tilde(Q)(x), (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x)) $ Выберем числа $A$ и $B$ так, чтобы число $alpha plus i beta$ было корнем числителя, то есть чтобьы $ P_n (alpha + i beta) - (A(alpha + i beta) + B) dot tilde(Q)(alpha + i beta) = 0. $ Последнее равенство переписывается в виде $ A alpha + B + i(A beta) = frac(P_n (alpha + i beta), tilde(Q)(alpha + i beta)) eq.colon R $ По определению равенства комплексных чисел, $ cases( A alpha + B = Re(R), A beta = Im(R) ) $ Так как $beta eq.not 0$, то параметры $A$ и $B$ определяются из системы единственным образом: $ A = frac(Im(R), beta), space B = - frac(alpha Im(R), beta) + Re(R). $ Если $alpha + i beta$ - корень многочлена с вещественными коэффициентами, то $alpha - beta i$ - тоже его корень, значит, при найденных $A$ и $B$, числитель может быть представлен в виде $ P_n (x) - (A x + B) dot tilde(Q)(x) = (x^2 + p x + q) dot tilde(P)(x), $ а тогда $ frac(P_n (x), Q_m (x)) - frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) = frac((x^2 + p x + q) dot tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x)) = frac(tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)) $ Тем самым существование разложения доказано. Доказательство единственности разложения аналогично доказательству единственности в предыдущей лемме и остается в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Теорема о разложении дроби на простейшие Пусть $ frac(P_n (x), Q_m (x)) $ \- рациональная дробь, причем $ Q_m (x) = (x - a_1)^(k_1) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m), $ где при $i in {1, 2, dots, p}, space j in {1, 2, dots, m}$ $ a_i in RR, space k_i in NN, space l_j in NN, space p_j^2 - 4q_j lt 0. $ Тогда существует единственное разложение вида $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m)(x) + sum_(i = 1)^p sum_(j = 1)^(k_i) frac(A_(i j), (x - a_i)^(k_i - j + 1)) + sum_(i = 1)^m sum_(j = 1)^(l_i) frac(B_(i j) x + C_(i j), (x^2 + p_i x + q_i)^(l_i - j + 1)), $ где все коэффициенты в числителе дробей справа - вещественные числа. _Доказательство_. Пусть $n gt m$, тогда по лемме о делении с остатком, ее можно представить в виде $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m) (x) + frac(T_k (x), Q_m (x)), space k lt m $ Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда исходная рациональная дробь является правильной и не сократимой. По лемме о дробях первого типа, рассматриваемую дробь можно представить в виде $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A_(11), (x - a_1)^(k_1)) + frac(tilde(P)^(\(11\))(x), (x - a_1)^(k_1 - 1) dot tilde(Q)^(\(1\))(x)) $ где $ tilde(Q)^(\(1\))(x) = (x - a_2)^(k_2) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m). $ Далее, по той же самой лемме, можно найти число $A_(12)$ и многочлен $tilde(P)^(\(12\))(x)$ такие, что $ frac(tilde(P)^(\(11\))(x) , (x - a_1)^(k_1 - 1) dot tilde(Q)^(\(1\))(x)) $ Продолжая аналогичные рассуждения, получим $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A_(11), (x - a_1)^(k_1)) + frac(A_(12), (x - a_1)^(k_1 - 1)) + dots + frac(A_(1 k_1), (x - a_1)) + frac(tilde(P)^(\(1 k_1\))(x), tilde(Q)^(\(1\))(x)) $ Аналогично, для всех вещественных корней знаменателя $a_i$ кратности $k_i, space i in {1, 2, dots, p}$, получим $ frac(P_n (x), Q_m (x)) = sum_(i = 1)^p sum_(j = 1)^(k_i) frac(A_(i j), (x - a_i)^(k_i - j + 1)) + frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) $ где $ tilde(Q)^(\(p\))(x) = (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m) $ и дробь $ frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) $ \- правильная. Далее воспользуемся леммой о дробях второго типа, получим $ frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) = frac(B_(11) x + C_(11), (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1)) + frac(hat(P)^(\(11\))(x), (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1 - 1) dot hat(Q)^(\(1\))(x)), $ где $ hat(Q)^(\(1\))(x) = (x^2 + p_2 x + q_2)^(l_2) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m). $ Продолжая рассуждения таким же образом, как выше, только с использованием леммы о дробях второго типа, придем к разложению $ frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) = sum_(i = 1)^m sum_(j = 1)^(l_i) frac(B_(i j)x + C_(i j), (x^2 + p_i x + q_i)^(l_i - j + 1)). $ Итого теорема доказана. #line(length: 100%) === Понятие разбиения Говорят, что на отрезке $[a, b]$ введено разбиение (дробление) $tau$, если введена система точек $x_i, space i in {0, 1, dots, n}$, что $ a = x_0 lt x_1 lt x_2 lt dots lt x_n = b $ #line(length: 100%) === Понятие мелкости (ранга) разбиения Величина $ lambda(tau) = max_(i in {1, 2, dots, n}) Delta x_i $ называется мелкостью (рангом, диаметром) разбиения (дробления). #line(length: 100%) === Понятие оснащенного разбиения Говорят, что на отрезке $[a, b]$ введено разбиение (оснащенное разбиение) $(tau, xi)$, если на нем введено разбиение $tau$ и выбрана система точек $xi = {xi_1, xi_2, dots, xi_n}$ таким образом, что $xi_i in Delta_i, space i in {1, 2, dots, n}$. #line(length: 100%) === Понятие интегральной суммы Пусть на отрезке $[a, b]$ задана функция $f$ и введено разбиение $(tau, xi)$. Величина $ sigma_tau (f, xi) = sum_(i = 1)^n f(xi_i)Delta x_i $ называется интегральной суммой для функции $f$ на отрезке $[a, b]$, отвечающей разбиению $(tau, xi)$. #line(length: 100%) === Понятие интеграла Римана Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$. Говорят, что число $I$ является интегралом Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$, если $ forall epsilon gt 0 space exists delta : forall (tau, xi) : lambda(tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt epsilon. $ Обозначают это число так: $ I = integral_a^b f d x $ #line(length: 100%) === Понятие интегрируемой функции Функция $f$, для которой существует интеграл Римана по отрезку $[a, b]$, называется интегрируемой по Риману на этом отрезке (или просто интегрируемой). Класс интегрируемых (по Риману) на отрезке $[a, b]$ функций будем обозначать так: $R[a, b]$. По определению полагают $ integral_a^a f d x = 0, space integral_b^a f d x = - integral_a^b f d x, space a lt b $ #line(length: 100%) === Определение интеграла через последовательности Пусть $f$ задана на $[a, b]$. Тогда $I$ - интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $(tau^n, xi^n)$ оснащенных разбиений отрезка $[a, b]$ такой, что $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$, выполняется, что $ sigma_(tau^n)(f, xi^n) arrow_(n arrow infinity) I. $ _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $I$ - интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ согласно исходному определению и пусть $epsilon gt 0$. Тогда $ exists delta : forall (tau, xi) : lambda (tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt epsilon. $ Пусть теперь $(tau^n, xi^n)$ - последовательность оснащенных разбиений отрезка $[a, b]$ такая, что $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$. Тогда $ exists n_0 in NN: forall n gt n_0 space lambda(tau^n) lt delta. $ Но тогда, при $n gt n_0$ выполняется и $ |sigma_(tau^n)(f, xi^n) - I| lt epsilon, $ откуда и следует утверждение. Докажем достаточность. От противного, пусть выполнено утверждение теоремы, но $I$ - не интеграл Римана, согласно исходному определению. Это значит, что $ exists epsilon_0 gt 0: forall delta gt 0 space exists (tau^delta, xi^delta) : lambda (tau^delta) lt delta " и " |sigma_(tau^delta) (f, xi^delta) - I| gt.eq epsilon_0. $ Пусть $delta_n = frac(1, n)$. Тогда, по написанному, $ exists (tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) lt delta_n = frac(1, n) " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| gt.eq epsilon_0. $ Но так как $delta_n arrow_(n arrow infinity) 0$, то $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$, а значит построенная последовательность оснащенных разбиений удовлетворяет условию теоремы. В то же время, $ |sigma_(tau^n)(f, xi^n) - I| gt.eq epsilon_0, $ что противоречит тому, что $ sigma_(tau^n)(f, xi^n) arrow_(n arrow +infinity) I. $ #line(length: 100%) === Понятие сумм Дарбу Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$ и $tau$ - некоторое разбиение этого отрезка. Величины $ S_tau (f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i, space M_i = sup_(x in Delta_i) f(x), space i in {1, 2, dots, n}, $ $ s_tau (f) = sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i, space m_i = inf_(x in Delta_i) f(x), space i in {1, 2, dots, n} $ называют верхней и нижней суммами Дарбу для функции $f$, отвечающими разбиению $tau$, соответственно. #line(length: 100%) === Лемма о связи конечности сумм Дарбу и ограниченности функции Ограниченность $f$ сверху (снизу) равносильна конечности произвольной верхней (нижней) суммы Дарбу. _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $f$ ограничена сверху, то есть $ exists M: f(x) lt.eq M, space x in [a, b]. $ Пусть $tau$ - произвольное разбиение $[a, b]$. Тогда, так как $M_i lt.eq M, space i in {1, 2, dots, n},$ $ S_tau (f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i lt.eq sum_(i = 1)^n M Delta x_i = M(b - a) lt +infinity. $ Случай, когда $f$ ограничена снизу доказывается аналогичным образом. Докажем достаточность. Пусть $tau$ - разбиение $[a, b]$ и $S_tau (f)$ конечна. Тогда $ M_i lt +infinity, space i in {1, 2, dots, n}, $ и $ f(x) lt.eq M = max_(i in {1, 2, dots, n}) M_i = sup_(x in [a, b]) f(x), space forall x in [a, b], $ откуда и следует требуемое. Аналогичным образом доказывается утверждение в случае конечности $s_tau (f)$. #line(length: 100%) === Лемма о связи сумм Дарбу и интегральных сумм Справедливы равенства $ S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi), space s_tau (f) = inf_xi sigma_tau (f, xi). $ _Доказательство_. Докажем первое равенство. Рассмотрим сначала случай, когда функция $f$ ограничена сверху на $[a, b]$. Пусть $epsilon gt 0$, тогда, по определению супремума, $ exists xi_i in Delta_i: M_i - frac(epsilon, b - a) lt f(xi_i), space i in {1, 2, dots, n}. $ Домножим каждое неравенство на $Delta x_i$ и сложим по $i$ $ sum_(i = 1)^n(M_i - frac(epsilon, b - a)) Delta x_i lt sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i $ или $ sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i - epsilon lt sigma_tau (f, xi) arrow.l.r.double S_tau (f) - epsilon lt sigma_tau (f, xi). $ Так как, как уже отмечалось, $S_tau (f) gt.eq sigma_tau (f, xi)$, то в итоге проверено, что $ S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi). $ Пусть теперь $f$ не ограничена сверху на $[a, b]$, тогда $S_tau (f) = +infinity$. Ясно, что при фиксированном разбиении $tau$ функция $f$ не ограничена сверху хотя бы на одном отрезке разбиения $Delta_i$. Не нарушая общности можно считать, что она не ограничена на $Delta_1$. Тогда существует последовательность $xi_1^k$, что $f(xi_1^k) arrow_(k arrow infinity) +infinity$. Пусть $xi_i in Delta_i, space i in {2, dots, n},$ - какие-то фиксированные точки, $xi^k = {xi_1^k, xi_2, dots, xi_n}$. Тогда, в силу определения супремума, $ sup_xi sigma_tau (f, xi) gt.eq lim_(k arrow infinity) (f(xi_1^k)Delta x_1 + sum_(i = 2)^n f(xi_i) Delta x_i) = +infinity = S_tau (f) $ #line(length: 100%) === Понятие измельчения разбиения Пусть на отрезке $[a, b]$ введены разбиения $tau_1$ и $tau_2$. Говорят, что разбиение $tau_1$ является измельчением разбиения $tau_2$, если $tau_2 subset tau_1$. #line(length: 100%) === Лемма о монотонности сумм Дарбу Пусть $tau_2 subset tau_1$, тогда $ S_tau_2(f) gt.eq S_tau_1(f), space s_tau_1(f) gt.eq s_tau_2(f). $ _Доказательство_. Докажем первое неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда измельчение $tau_1$ получается из $tau_2$ добавлением одной точки $hat(x) in Delta_k = (x_(k - 1), x_k).$ Тогда $ S_tau_2(f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i = sum_(i = 1, i eq.not k)^n M_i Delta x_i + M_k Delta x_k. $ Пусть $ M_k' = sup_(x in [x_(k - 1), hat(x)]) f(x), space M_k'' = sup_(x in [hat(x), x_k]) f(x), $ тогда $ M_k gt.eq M_k', space M_k gt.eq M_k'' $ и $ M_k Delta x_k = M_k (hat(x) - x_(k - 1)) + M_k (x_k - hat(x)) gt.eq M_k' (hat(x) - x_(k - 1)) + M_k''(x_k - hat(x)), $ откуда $ S_tau_2(f) gt.eq sum_(i = 1, i eq.not k)^n M_i Delta x_i + M_k'(hat(x) - x_(k - 1)) + M_k''(x_k - hat(x)) = S_tau_1(f). $ Второе неравенство доказывается аналогично. #line(length: 100%) === Лемма об ограниченности сумм Дарбу Пусть $tau_1$ и $tau_2$ - разбиения отрезка $[a, b]$, тогда $ s_tau_1(f) lt.eq S_tau_2(f). $ _Доказательство_. Разбиение $tau = tau_1 union tau_2$ является разбиением отрезка $[a, b]$, причем $tau_1 subset tau, space tau_2 subset tau$. Пользуясь монотонностью сумм Дарбу, получим $ s_tau_1(f) lt.eq s_tau (f) lt.eq S_tau (f) lt.eq S_tau_2(f), $ что и доказывает утверждение. #line(length: 100%) === Необходимое условие интегрируемости Пусть $f in R[a, b]$. Тогда $f$ ограничена на $[a, b]$. _Доказательство_. Если предположить, что $f$ не ограничена, например, сверху, то, по лемме, $ S_tau (f) = +infinity $ Пусть $epsilon = 1$. Тогда, согласно определению интегрируемости, $ exists delta gt 0 : forall (tau, xi) : lambda(tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt 1 arrow.l.r.double I - 1 lt sigma_tau (f, xi) lt I + 1. $ В частности, при фиксированном разбиении $tau$, мелкость которого меньше $delta$, интегральные суммы ограничены (по $xi$). Но это противоречит тому, что при том же разбиении, $ sup_xi sigma_tau (f, xi) = S_tau (f) = +infinity. $ #line(length: 100%) === Критерий Дарбу $ f in R[a, b] arrow.l.r.double lim_(lambda(tau) arrow 0) (S_tau (f) - s_tau (f)) = 0, $ или, что то же самое, $ forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : forall tau : lambda(tau) lt delta space S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon. $ _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$ и $epsilon gt 0$. Тогда $ exists delta gt 0 : forall (tau, xi): lambda (tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt frac(epsilon, 3), $ откуда $ I - frac(epsilon, 3) lt sigma_tau (f, xi) lt I + frac(epsilon, 3). $ Переходя в правой части неравенства к супремуму, а в левой части к инфимуму по $epsilon$, получаем $ I - frac(epsilon, 3) lt.eq s_tau (f), space S_tau (f) lt.eq I + frac(epsilon, 3). $ Складывая неравенства $ -s_tau (f) lt.eq frac(epsilon, 3) - I, space S_tau (f) lt.eq I + frac(epsilon, 3), $ приходим к тому, что $ S_tau (f) - s_tau (f) lt.eq frac(2 epsilon, 3) lt epsilon. $ Докажем достаточность. Так как $lim_(lambda(tau) arrow 0) (S_tau (f) - s_tau (f)) = 0$, то все верхние и нижние суммы Дарбу конечны. В силу леммы, $ sup_tau s_tau (f) = I_* lt +infinity, space inf_tau S_tau (f) = I^* lt +infinity, $ причем $I_* lt.eq I^*$. Пользуясь сказанным и тем, что для любого $tau$ $ s_tau (f) lt.eq I_* lt.eq I^* lt.eq S_tau (f), $ получим $ 0 lt.eq I^* - I_* lt.eq S_tau (f) - s_tau (f), $ откуда, так как правая часть принимает сколь угодно малые значения $I_* = I^*$. Пусть $I = I_* = I^*$. Из неравенств $ s_tau (f) lt.eq I lt.eq S_tau (f), space s_tau (f) lt.eq sigma_tau (f, xi) lt.eq S_tau (f), $ получаем $ |sigma_tau (f, xi) - I| lt.eq S_tau (f) - s_tau (f). $ Осталось воспользоваться утверждением критерия Дарбу и заметить, что мы приходим к тому, что $ integral_a^b f d x = I, $ что и доказывает утверждение. #line(length: 100%) === Понятие колебания Пусть $f: E arrow RR$. Колебанием функции $f$ на множестве $E$ назовем величину $ omega(f, E) = sup_(x, y in E) (f(x) - f(y)). $ #line(length: 100%) === Теорема об интегрируемости непрерывной функции $ f in C[a, b] arrow.double f in R[a, b]. $ _Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Согласно теореме Кантора, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем, а значит $ exists delta gt 0: forall x_1, x_2 in [a, b]: |x_1 - x_2| lt delta |f(x_1) - f(x_2)| lt frac(epsilon, b - a). $ Пусть $tau$ - такое разбиение отрезка $[a, b]$, что $lambda(tau) lt delta$, тогда $ omega(f, Delta_i) = sup_(x, y in Delta_i) |f(x) - f(y)| lt frac(epsilon, b - a) $ и $ sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, b - a) sum_(i = 1)^n Delta x_i = epsilon. $ Значит, по следствию из критерия Дарбу, $f in R[a, b]$. #line(length: 100%) === Теорема о невлиянии на интеграл значения функции в конкретной точке Если значения интегрируемой функции изменить на конечном множестве точек, то интегрируемость не нарушится и интеграл не изменится. _Доказательство_. Пусть $f in R[a, b]$, а функция $tilde(f)$ отличается от $f$ в точках $x_1, x_2, dots, x_n$. Так как, согласно необходимому условию интегрируемости, $|f| lt.eq C$, то $ |tilde(f)| lt.eq C_1, space C_1 = max(C, |tilde(f)(x_1)|, dots, |tilde(f)(x_n)|). $ Заметим, что интегральные суммы для $f$ и $tilde(f)$ отличаются не больше, чем в $2n$ слагаемых, причем $ |sigma_tau (f, xi) - sigma_tau (tilde(f), xi)| lt.eq 2n(C + C_1)lambda(tau) arrow_(lambda(tau) arrow 0) 0, $ что доказывает одновременное существование интегралов и их равенство между собой. #line(length: 100%) === Теорема об интегрируемости функции и ее сужения Справедливы следующие утверждения: + Пусть $f in R[a, b]$ и $[alpha, beta] subset [a, b]$. Тогда $f in R[alpha, beta]$. + Пусть $f in R[a, c]$ и $f in R[c, b], a lt c lt b$. Тогда $f in R[a, b]$. _Доказательство_. 1. Воспользуемся критерием Дарбу и, выбрав $epsilon gt 0$, найдем $delta$, что выбрав разбиение $tau$ отрезка $[a, b]$ мелкости меньшей, чем $delta$, будет выполняться $ S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon $ Пусть теперь $tau'$ - какое-то разбиение $[alpha, beta]$ мелкости меньшей $delta$. Дополним это разбиение, разбив отрезки $[a, alpha]$ и $[beta, b]$, до разбиения $tau$ отрезка $[a, b]$ так, чтобы мелкость $lambda(tau)$ была меньше, чем $delta$. Тогда $ 0 lt.eq S_tau'(f) - s_tau'(f) lt.eq S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon, $ что и доказывает утверждение. 2. Интегрируемость постоянной функции нам уже известна. Не нарушая общности будем считать, что $f$ не постоянна, а значит $omega(f, [a, b]) gt 0$. Пусть $epsilon gt 0$. По критерию интегрируемости найдем $delta_1, delta_2$, что для любых разбиений отрезка $[a, c]$ таких, что $lambda(tau_1) lt delta_1$, и для любых разбиений отрезка $[c, b]$ таких, что $lambda(tau_2) lt delta_2$, выполняется $ S_tau_1(f) - s_tau_1(f) lt frac(epsilon, 3), space S_tau_2(f) - s_tau_2(f) lt frac(epsilon, 3). $ Пусть теперь $delta = min(delta_1, delta_2, frac(epsilon, 3 omega(f, [a, b])))$ и $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$, что $lambda(tau) lt delta$. Пусть точка $c$ принадлежит какому-то промежутку $[x_(i - 1), x_i).$ Обозначим $ tau' = tau union {c}, space tau_1 = tau' inter [a, c], space tau_2 = tau' inter [c, b]. $ Тогда, согласно выбору $delta$, $ S_tau (f) - s_tau (f) lt.eq S_tau_1(f) - s_tau_1(f) + S_tau_2(f) - s_tau_2(f) + omega(f, [a, b])delta lt epsilon, $ что, согласно критерию Дарбу, влечет интегрируемость $f$ на $[a, b]$. #line(length: 100%) === Понятие кусочно-непрерывной функции Функция $f : [a, b] arrow RR$ называется кусочно-непрерывной, если ее множество точек разрыва конечно или пусто, и все разрывы - разрывы первого рода. #line(length: 100%) === Теорема об интегрируемости кусочно-непрерывной функции Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. _Доказательство_. Пусть $a_1 lt dots lt a_m$ - все точки разрыва функции $f$ на $(a, b)$. Функция $f$ непрерывна во внутренних точках и имеет конечные односторонние пределы на концах отрезков $[a, a_1], [a_1, a_2], dots, [a_m, b]$, а значит интегрируема на каждом из них, отличаясь от непрерывной функции не более чем в двух точках, согласно теореме. Тогда, по только что доказанной теореме, она интегрируема на $[a, b]$. #line(length: 100%) === Арифметические свойства интегрируемых функций Пусть $f, g in R[a, b]$. Тогда: 1. Линейная комбинация $f$ и $g$ интегрируема, то есть $ alpha f + beta g in R[a, b], space alpha, beta in RR. $ 2. Произведение $f$ и $g$ интегрируемо, то есть $ f g in R[a, b]. $ 3. Модуль функции интегрируем, то есть $ |f| in R[a, b]. $ 4. Если $|f| gt C$ на $[a, b], C gt 0$, то $ frac(1, f) in R[a, b]. $ _Доказательство_. 1. Так как $ |alpha f(x) + beta g(x) - alpha f(y) - beta g(y)| lt.eq |alpha||f(x) - f(y)| + |beta||g(x) - g(y)| lt.eq |alpha|omega(f, E) + |beta|omega(g, E), $ то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство: $ omega(alpha f + beta g, E) lt.eq |alpha|omega(f, E) + |beta|omega(g, E), $ верное для произвольного множества $E$. Пусть $epsilon gt 0$. Так как $f in R[a, b]$, то по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, $ exists delta_1: forall tau: lambda(tau) lt delta_1 sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, 2(|alpha| + 1)). $ Аналогично, так как $g in R[a, b]$, то по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, $ exists delta_2 : forall tau : lambda(tau) lt delta_2 sum_(i = 1)^n omega(g, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, 2(|beta| + 1)) $ Пусть $delta = min(delta_1, delta_2)$, тогда для любого $tau$ такого, что $lambda(tau) lt delta$, выполняется $ sum_(i = 1)^n omega(alpha f + beta g, Delta_i)Delta x_i lt.eq |alpha| sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i)Delta x_i + |beta| sum_(i = 1)^n omega (g, Delta_i) Delta x_i lt.eq frac(|alpha|epsilon, 2(|alpha| + 1)) + frac(|beta|epsilon, 2(|beta| + 1)) lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. $ Значит, по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, $alpha f + beta g in R[a, b]$. 2. Так как $f, g in R[a, b]$, то по необходимому условию они ограничены на $[a, b]$, то есть $ exists C : |f(x)| lt C, |g(x)| lt C space forall x in [a, b]. $ Кроме того, так как $ |f(x)g(x) - f(y)g(y)| = $ $ |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| lt.eq |f(x)||g(x) - $ $ - g(y)| + |g(y)||f(x) - f(y)| lt.eq C(omega(f, E) + omega(g, E)), $ то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство: $ omega(f g, E) lt.eq C(omega(f, E) + omega(g, E)), $ верное для произвольного множества $E$. Дальнейшие обоснования проводятся тем же образом, что и в пункте 1, и остаются в качестве упражнения. 4. Так как $ |frac(1, f(x)) - frac(1, f(y))| = |frac(f(x) - f(y), f(x)f(y))| lt.eq frac(|f(x) - f(y)|, C^2) lt.eq frac(omega(f, E), C^2), $ то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство: $ omega(frac(1, f), E) lt.eq frac(omega(f, E), C^2), $ верное для любого множества $E$. Дальнейшие обоснования проводятся тем же образом, что и в пункте 1, и остаются в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Теорема о линейности интеграла Римана Пусть $f, g in R[a, b]$, тогда $ integral_a^b (alpha f + beta g) d x = alpha integral_a^b f d x + beta integral_a^b g d x. $ _Доказательство_. То, что $alpha f + beta g in R[a, b]$, известно из теоремы об арифметических свойствах интегрируемых функций. Осталось лишь в равенстве $ sum_(i = 1)^n (alpha f(xi_i) + beta g(xi_i)) Delta x_i = alpha sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i + beta sum_(i = 1)^n g(xi_i) Delta x_i $ перейти к пределу при $lambda(tau) arrow 0$, откуда и получим требуемое. #line(length: 100%) === Теорема об аддитивности по промежутку Пусть $f in R[a, b], c in [a, b]$, тогда $ integral_a^b f d x = integral_a^c f d x + integral_c^b f d x. $ _Доказательство_. Интегрируемость функции $f$ на промежутках $[a, c]$ и $[c, b]$ известна из ранее доказанной теоремы. Значит, для вычисления интеграла мы можем брать удобное для нас разбиение. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$, содержащее точку $c$. Это разбиение порождает разбиение $tau_1$ отрезка $[a, c]$ и $tau_2$ отрезка $[c, b]$, причем $lambda(tau_1) lt.eq lambda(tau)$ и $lambda(tau_2) lt.eq lambda(tau)$. Так как $ sum_([a, b]) f(xi_i) Delta x_i = sum_([a, c]) f(xi_i) Delta x_i + sum_([c, b]) f(xi_i) Delta x_i, $ и при $lambda(tau) arrow 0$ одновременно $lambda(tau_1) arrow 0$ и $lambda(tau_2) arrow 0$, то получаем требуемое. #line(length: 100%) === Теорема о монотонности интеграла Пусть $f, g in R[a, b], a lt.eq b$ и $f(x) lt.eq g(x)$ при $x in [a, b]$. Тогда $ integral_a^b f d x lt.eq integral_a^b g d x. $ _Доказательство_. Для интегральных сумм справедливо неравенство $ sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i lt.eq sum_(i = 1)^n g(xi_i) Delta x_i. $ Переходя к пределу при $lambda(tau) arrow 0$, получаем требуемое. #line(length: 100%) === Теорема о связи модуля интеграла и интеграла от модуля Пусть $f in R[a, b]$, тогда $ |integral_a^b f d x| lt.eq |integral_a^b |f| d x|. $ _Доказательство_. Интегрируемость функции $|f|$ известна из теоремы об арифметических свойствах интегрируемых функций. Так как $ |sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i| lt.eq |sum_(i = 1)^n |f(xi_i)| Delta x_i|, $ то при $lambda(tau) arrow 0$ получается требуемое. #line(length: 100%) === Первая теорема о среднем Пусть $f, g in R[a, b], g$ не меняет знак на $[a, b], m = inf_(x in [a, b])f(x), M = sup_(x in [a, b]) f(x)$. Тогда: $ exists mu in [m, M] : integral_a^b f g d x = mu integral_a^b g d x. $ Кроме того, если $f in C[a, b],$ то $ exists xi in [a, b] : integral_a^b f g d x = f(xi) integral_a^b g d x. $ _Доказательство_. Пусть $g(x) gt.eq 0$ при $x in [a, b]$, тогда $ m g(x) lt.eq f(x)g(x) lt.eq M g(x), space x in [a, b] $ и, по теореме о монотонности интеграла, $ m integral_a^b g d x lt.eq integral_a^b f g d x lt.eq M integral_a^b g d x. $ Если $integral_a^b g d x = 0$, то, согласно неравенству выше, $ integral_a^b f g d x = 0, $ а значит равенство $ integral_a^b f g d x = mu integral_a^b g d x $ верно при любом $mu$. Если же $integral_a^b g d x eq.not 0$, то, так как $g gt.eq 0$, выполнено, что $integral_a^b g d x gt 0$. Поделив все то же неравенство на этот интеграл, приходим к неравенству $ m lt.eq frac(integral_a^b f g d x, integral_a^b g d x) lt.eq M. $ Положив $ mu = frac(integral_a^b f g d x, integral_a^b g d x), $ приходим к первому утверждению теоремы. Если предположить, что $f in C[a, b]$, то по второй теореме Больцано-Коши для каждого $mu in [m, M]$ существует $xi in [a, b]$, что $f(xi) = mu$, что доказывает вторую часть теоремы. #line(length: 100%) === Понятие интеграла с переменным верхним пределом Пусть $f in R[a, b]$ и $x in [a, b]$. Функция $ Phi(x) = integral_a^x f d x $ называется интегралом с переменным верхним пределом. #line(length: 100%) === Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом $ Phi in C[a, b]. $ _Доказательство_. Пусть $x_0 in [a, b], x_0 + Delta x in [a, b].$ Так как $f in R[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке, то есть существует $C gt 0$, что $ |f(x)| lt.eq C, space x in [a, b]. $ Тогда, пользуясь следствием из теоремы об аддитивности, а также теоремой о сравнении интеграла от функции и интеграла от модуля функции, получим: $ |Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0)| = |integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) f d x| lt.eq |integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) |f| d x| lt.eq C|integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) d x| = C|Delta x|. $ Значит, при $Delta x arrow 0$ выполняется $Phi(x_0 + Delta x) arrow Phi(x_0)$, что и означает непрерывность функции $Phi(x)$ в точке $x_0$. Так как $x_0$ - произвольная точка отрезка $[a, b]$, то утверждение доказано. #line(length: 100%) === Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом $Phi$ дифференцируема в точках непрерывности функции $f : [a, b] arrow RR$, причем в этих точках $ Phi'(x_0) = f(x_0). $ _Доказательство_. Пусть $f$ непрерывна в точке $x_0$ и $x_0 + Delta x in [a, b]$. Рассмотрим цепочку преобразований: $ |frac(Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0), Delta x) - f(x_0)| = |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) f d t - f(x_0) Delta x, Delta x)| = |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) (f(t) - f(x_0)) d t , Delta x)|. $ Пусть $epsilon gt 0$. Тогда, в силу непрерывности функции $f$ в точке $x_0$, $ exists delta gt 0 : forall t in [a, b] : |t - x_0| lt delta |f(t) - f(x_0)| lt epsilon. $ Пусть $|Delta x| lt delta$, тогда $ |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) (f(t) - f(x_0)) d t, Delta x)| lt.eq |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) |f(t) - f(x_0)| d t , Delta x )| lt epsilon dot |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) d t, Delta x)| = epsilon, $ что и означает, что $ lim_(Delta x arrow 0) frac(Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0), Delta x) = f(x_0). $ #line(length: 100%) === Формула Ньютона-Лейбница для непрерывных функций Пусть $f in C[a, b]$ и $F$ - ее первообразная. Тогда: $ integral_a^b f d x = F(b) - F(a). $ _Доказательство_. Согласно следствию о существовании первообразной непрерывной функции, любая первообразная непрерывной функции имеет вид $ F(x) = integral_a^x f d t + C. $ Подставим сначала $x = a$, получим $ F(a) = integral_a^b f(x) d x + F(a) arrow.double integral_a^b f(x) d x = F(b) - F(a). $ #line(length: 100%) === Усиленная формула Ньютона-Лейбница Пусть $f in R[a, b]$ и $F$ - некоторая первообразная $f$ на $[a, b]$. Тогда: $ integral_a^b f d x = F(b) - F(a). $ _Доказательство_. Введем следующее разбиение отрезка $[a, b]$: $ x_k = a + frac(k(b - a), n), space k in {0, 1, dots, n}. $ Пусть $F$ - какая-то первообразная $f$ на $[a, b]$. Тогда $ F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) = sum_(k = 1)^n (F(x_k) - F(x_(k - 1))). $ Согласно теореме Лагранжа, существует $xi_k^n in (x_(k - 1), x_k)$, что $ F(x_k) - F(x_(k - 1)) = f(xi_k^n)(x_k - x_(k - 1)), $ а тогда $ F(b) - F(a) = sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k, $ и мы получаем интегральную сумму для функции $f$ по отрезку $[a, b]$ с оснащенным разбиением $(tau^n, xi^n)$. Так как $f in R[a, b]$ и так как при $n arrow infinity$ выполняется $lambda(tau^n) arrow 0$, то $ lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k = integral_a^b f d x. $ С другой стороны, $ F(b) - F(a) = lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k, $ а значит $ integral_a^b f d x = F(b) - F(a). $ #line(length: 100%) === Формула интегрирования по частям Пусть $u, v$ дифференцируемы на $[a, b]$, причем $u', v' in R[a, b]$. Тогда: $ integral_a^b u v' d x = u v |^b_a - integral_a^b v u' d x $ или $ integral_a^b u d v = u v|_a^b - integral_a^b v d u. $ _Доказательство_. Согласно свойствам интегрируемых функций, $u v' in R[a, b]$ и $u' v in R[a, b]$. Кроме того, $(u v)' = u' v + u v' in R[a, b]$, а значит, по усиленной формуле Ньютона-Лейбница, $ integral_a^b u' v d x + integral_a^b u v' d x = integral_a^b (u' v + u v') d x = integral_a^b (u v)' d x = u v |_a^b, $ откуда и следует утверждение. #line(length: 100%) === Формула замены переменной Пусть $f in C[a, b], x = phi(t) : [alpha, beta] arrow [a, b], phi$ дифференцируема и $phi' in R[alpha, beta]$. Тогда: $ integral_(phi(alpha))^(phi(beta)) f d x = integral_alpha^beta f(phi)phi' d t. $ _Доказательство_. Ясно, что интеграл от правой функции определен, ведь $f circle.stroked.tiny phi in C[alpha, beta],$ а значит $f(phi) in R[alpha, beta]$ и, по свойствам интегрируемых функций, $f(phi)phi' in R[alpha, beta]$. Кроме того, если $F$ - первообразная $f$ на $[a, b]$, то $F(phi)$ - первообразная $f(phi)phi'$ на $[alpha, beta]$. Тогда, по усиленной формуле Ньютона-Лейбница, $ integral_alpha^beta f(phi) phi' d t = F(phi(beta)) - F(phi(alpha)) = integral_(phi(alpha))^(phi(beta)) f d x. $ #line(length: 100%) === Теорема об интеграле от четной функции по симметричному промежутку Пусть $f in R[0, a]$ и является четной. Тогда: $ integral_(-a)^a f d x = 2 integral_0^a f d x. $ _Доказательство_. Так как $f(-x) = f(x)$, то, по теореме, $f in R[-a, a]$. Пользуясь аддитивностью интеграла по промежутку, получим: $ integral_(-a)^a f d x = integral_(-a)^0 f d x + integral_0^a f d x. $ В первом интеграле можно сделать замену $t = -x, d t = -d x$, откуда $ integral_(-a)^0 f(x) d x = - integral_a^0 f(-t) d t = integral_0^a f(t) d t. $ Значит, $ integral_(-a)^a f d x = integral_0^a f d t + integral_0^a f d x = 2 integral_0^a f d x. $ #line(length: 100%) === Теорема об интеграле от нечетной функции по симметричному промежутку Пусть $f in R[0, a]$ и является нечетной. Тогда: $ integral_(-a)^a f d x = 0. $ _Доказательство_. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству предыдущей и остается в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Теорема об интеграле от периодической функции по периоду Пусть $f in R[0, T]$ и является периодической с периодом $T$. Тогда: $ integral_a^(a + T) f d x = integral_0^T f d x, space forall a in RR. $ _Доказательство_. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству предыдущей и остается в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Понятие длины арифметического вектора Пусть $x = (x_1, dots, x_n) in RR^n$. Элемент $x$ иногда называется вектором, а иногда - точкой. Под длиной вектора (или под расстоянием от $x$ до начала координат) будем понимать следующую величину: $ |x| = sqrt(x_1^2 + dots + x_n^2). $ #line(length: 100%) === Понятие движения Отображение $U$: $RR^n arrow RR^n$ называется движением, если $ |x - y| = |U(x) - U(y)|. $ #line(length: 100%) === Понятие площади Функция множеств (функционал) $S: cal(U) arrow RR$, заданная на некотором множестве "квадрируемых" подмножеств плоскости, называется площадью, если 1. $S(A) gt.eq 0, space A in cal(U)$. 2. Если $A, B in cal(U), space A inter B eq nothing$, то $A union B in cal(U)$ и $ S(A union B) = S(A) + S(B). $ 3. Площадь прямоугольника со сторонами $a, b$ равна $a b$. 4. Если $A in cal(U), U$ - движение, то $U(A) in cal(U)$ и $ S(U(A)) = S(A). $ #line(length: 100%) === Понятия подграфика и криволинейной трапеции Пусть $f : [a, b] arrow RR, f gt.eq 0$. Множество $ G_f = {(x, y) in RR^2: x in [a, b], 0 lt.eq y lt.eq f(x)} $ называется подграфиком функции $f$. Если функция $f$ непрерывна на $[a, b]$, то подграфик называется криволинейной трапецией. #line(length: 100%) === Теорема о вычислении площади подграфика Пусть $f in R[a, b]$ и $G_f$ - подграфик функции $f$. Если подграфик имеет площадь, то $ S(G_f) = integral_a^b f d x. $ _Доказательство_. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Геометрически очевидно, что $ s_tau (f) lt.eq S(G_f) lt.eq S_tau (f). $ Поскольку $f in R[a, b]$, то $ S_tau (f) arrow_(lambda(tau) arrow 0) integral_a^b f d x arrow.l_(lambda(tau) arrow 0) s_tau (f). $ Значит, по теореме о сжатой переменной, $ S(G_f) = integral_a^b f d x. $ #line(length: 100%) === Теорема о площади фигуры между графиками функций Пусть $f, g in R[a, b], f lt.eq g$. Тогда площадь фигуры $S(G_(f, g))$, где $ G_(f, g) = {(x, y) in RR^2 : x in [a, b], f(x) lt.eq y lt.eq g(x)}, $ вычисляется по формуле $ S(G_(f, g)) = integral_a^b (g - f) d x. $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно перенести фигуру выше оси абсцисс, добавив к $f$ и $g$ такую постоянную $c$, чтобы $f + c gt.eq 0$. Тогда, пользуясь свойством сохранения площади при движении, а также предыдущей теоремой, $ S(G_(f, g)) = S(G_(f + c, g + c)) = S(G_(g + c)) - S(G_(f + c)) = integral_a^b (g + c) d x - integral_a^b (f + c) d x = integral_a^b (g - f) d x. $ #line(length: 100%) === Понятия подграфика и криволинейного сектора Пусть $0 lt beta - alpha lt.eq 2 pi, f : [alpha, beta] arrow RR, f gt.eq 0$. Множество $ tilde(G_f) = {(r cos(phi), r sin(phi)) in RR^2 : phi in [alpha, beta], 0 lt.eq r lt.eq f(phi)} $ называется подграфиком функции $f$ в полярных координатах. Если функция $f$ непрерывна на $[alpha, beta]$, то подграфик называется криволинейным сектором. #line(length: 100%) === Теорема о площади подграфика в полярных координатах Пусть $f in R[alpha, beta]$ и $tilde(G_f)$ - подграфик функции $f$. Если подграфик имеет площадь, то $ S(tilde(G_f)) = frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi. $ _Доказательство_. Пусть $tau = {phi_k}_(k = 0)^n$ - разбиение $[alpha, beta], Delta phi_i = phi_i - phi_(i - 1)$, $ m_i = inf_(phi in [phi_(i - 1), phi_i]) f(phi), space M_i = sup_(phi in [phi_(i - 1), phi_i]) f(phi). $ Воспользовавшись тем, что площадь сектора радиуса $r$ с углом $phi$ равна $frac(r^2 phi, 2)$, составим суммы $ s_tau (f) = frac(1, 2) sum_(i = 1)^n m_i^2 Delta phi_i, space S_tau (f) = frac(1, 2) sum_(i = 1)^n M_i^2 Delta phi_i. $ Геометрически очевидно, что $ s_tau (f) lt.eq S(tilde(G_f)) lt.eq S_tau (f). $ Кроме того, $s_tau (f)$ и $S_tau (f)$ - суммы Дарбу функции $frac(f^2(phi), 2)$. Поскольку $f^2 in R[alpha, beta]$, то $ S_tau (f) arrow_(lambda(tau) arrow 0) frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi arrow.l_(lambda(tau) arrow 0) s_tau (f). $ Значит, по теореме о сжатой переменной, $ S(tilde(G_f)) = frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi. $ #line(length: 100%) === Понятие объема Функция множеств (функционал) $V : cal(U) arrow RR$, заданная на некотором множестве "кубируемых" подмножеств пространства $RR^3$, называется объемом, если 1. $V(A) gt.eq 0, A in cal(U)$ 2. Если $A, B in cal(U), A inter B = nothing$, то $A union B in cal(U)$ и $ V(A union B) = V(A) + V(B). $ 3. Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a, b, c$ равен $a b c$ 4. Если $A in cal(U)$, $U$ - движение, то $U(A) in cal(U)$ и $ V(U(A)) = V(A). $ #line(length: 100%) === Свойства объема Пусть $V : cal(U) arrow RR$ - объем. Тогда: 1. Объем монотонен, то есть если $A, B in cal(U), A subset B,$ $ V(A) lt.eq V(B). $ 2. Пусть $A in cal(U)$ содержится в некотором прямоугольнике. Тогда $V(A) = 0$. 3. Если множества $A, B in cal(U)$ пересекаются по множеству нулевого объема, то $ V(A union B) = V(A) + V(B). $ _Доказательство_. 1. Заметим, что $B = A union (B without A)$, причем $A inter (B without A) = nothing$. Тогда, предполагая кубируемость $(B without A)$, согласно второму свойству из определения объема, $ V(A union (B without A)) = V(A) + V(B without A) gt.eq V(A), $ где последнее неравенство справедливо в виду неотрицательности объема. 2. Выберем $epsilon gt 0$, тогда найдется параллелепипед $P_epsilon$, что $ A subset P_epsilon " и " V(P_epsilon) lt epsilon. $ Тогда, по доказанному в первом пункте, $ 0 lt.eq V(A) lt.eq V(P_epsilon) lt epsilon, $ что, в силу произвольности $epsilon$, влечет равенство $V(A) = 0$. 3. Пусть $C = A inter B$, причем $V(C) = 0$, тогда $ V(A) = V(A without C) + V(C) = V(A without C), $ откуда $ V(A union B) = V(A without C) + V(B) = V(A) + V(B). $ #line(length: 100%) === Понятие сечения Пусть $T$ - тело, $x in RR$. Множество $ T(x) = {(y, z) in RR^2 : (x, y, z) in T} $ называется сечением тела $T$ координатой $x$. #line(length: 100%) === Теорема о вычислении объема через площади сечений Пусть тело $T$ удовлетворяет требованиям, озвученным выше. В рамках введенных обозначений, если тело $T$ имеет объем, то $ V(T) = integral_a^b S d x. $ _Доказательство_. Пусть $T$ имеет объем и $tau$ - разбиение $[a, b]$. Пусть $ m_k = min_(Delta_k) S(x), space M_k = max_(Delta_k) S(x), $ тогда $ S(T(xi_k^*)) = m_k, space S(T(xi_k^(**)) = M_k. $ Пусть $ q_k = Delta_k times T(xi_k^*), space Q_k = Delta_k times T(xi_k^(**)), $ тогда $ q_k subset T_k subset Q_k, space T_k = {(x, y, z) in T: x in Delta_k}. $ Но тогда $ union.big_(k = 1)^n q_k subset T subset union.big_(k = 1)^n Q_k. $ По пункту 3 леммы о свойствах объема, $ V(union.big_(k = 1)^n q_k) = sum_(k = 1)^n V(q_k) = sum_(k = 1)^n m_k Delta x_k = s_tau, $ $ V(union.big_(k = 1)^n Q_k) = sum_(k = 1)^n V(Q_k) = sum_(k = 1)^n M_k Delta x_k = S_tau. $ По монотонности объема, $ s_tau lt.eq V(T) lt.eq S_tau. $ Так как $s_tau$ и $S_tau$ - суммы Дарбу функции $S$, а последняя интегрируема, то $ V(T) = integral_a^b S d x. $ #line(length: 100%) === Понятие тела вращения Пусть $f in C[a, b]$, причем $f gt.eq 0$. Множество $ T_f = {(x, y, z) in RR^3 : y^2 + z^2 lt.eq f^2(x)} $ называется телом вращения, полученным вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $O x$. #line(length: 100%) === Теорема о вычислении объема тела вращения Пусть $T$ - тело вращения, полученное вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $O x$. Тогда $ V(T_f) = pi integral_a^b f^2 d x. $ _Доказательство_. Ясно, что $S(x) = pi f^2(x)$, все условия предыдущей теоремы выполнены, а значит $ V(T_f) = pi integral_a^b f^2 d x. $ #line(length: 100%) === Понятие пути Путем в пространстве $RR^n$ называется отображение $gamma : [a, b] arrow RR^n$, все координатные функции которого непрерывны на $[a, b]$. #line(length: 100%) === Понятия начала и конца пути, замкнутого пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Точка $gamma(a)$ называется началом пути, а точка $gamma(b) $ - концом пути $gamma$. Если $gamma(a) = gamma(b)$, то путь $gamma$ называется замкнутым. #line(length: 100%) === Понятие носителя пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Множество $gamma([a, b])$ называется носителем пути $gamma$. #line(length: 100%) === Понятие гладкого пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$, причем $ gamma(t) = (x_1(t), dots, x_n (t)), space t in [a, b]. $ Говорят, что $gamma$ - путь гладкости $m in NN union {+infinity}$, если $x_i in C^m [a, b], i in {1, dots, n}.$ Если $m = 1$, то путь $gamma$ часто просто называют гладким. #line(length: 100%) === Понятие кусочно-гладкого пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Если отрезок $[a, b]$ можно разбить точками $ a = t_0 lt t_1 lt dots lt t_k = b $ так, что сужение пути $gamma$ на каждый отрезок $[t_(i - 1), t_i], i in {1, dots, n}$ - гладкий путь, то путь $gamma$ называется кусочно-гладким. #line(length: 100%) === Понятие эквивалентных путей Путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ называется эквивалентным пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$, если существует строго возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что $ gamma = tilde(gamma)(u). $ #line(length: 100%) === Лемма Введенное понятие эквивалентности путей - отношение эквивалентности на множестве путей. _Доказательство_. Проверим все три свойства отношения эквивалентности. 1. Симметричность. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что $ gamma = tilde(gamma)(u). $ По свойствам обратных функций, $u^(-1) : [alpha, beta] arrow [a, b]$ - возрастающая биекция, а значит $ gamma(u^(-1)) = tilde(gamma)(u(u^(-1))) = tilde(gamma), $ и путь $tilde(gamma)$ эквивалентен пути $gamma$. 2. Рефлексивность. Каждый путь, конечно, эквивалентен сам себе. В качестве функции $u$ достаточно взять тождественное отображение. 3. Транзитивность. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что $ gamma = tilde(gamma)(u). $ Пусть, кроме того, путь $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$ эквивалентен пути $hat(gamma) : [phi, psi] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $w : [alpha, beta] arrow [phi, psi]$, что $ tilde(gamma) = hat(gamma)(w). $ Тогда $w(u) : [a, b] arrow [phi, psi]$ - возрастающая биекция, причем $ gamma = tilde(gamma)(u) = hat(gamma)(w(u)). $ #line(length: 100%) === Понятие кривой Класс эквивалентных путей называют кривой, а каждый представитель класса - параметризацией кривой. Кривую часто обозначают ${gamma}$, где $gamma$ - какая-либо ее параметризация. #line(length: 100%) === Понятие гладкости кривой Кривая ${gamma}$ называется гладкой ($m$-гладкой, $m in NN union {+infinity}$, кусочно-гладкой), если у нее существует гладкая ($m$-гладкая, кусочно-гладкая) параметризация. #line(length: 100%) === Понятие вписанной ломаной Множество отрезков, соединяющих точки $gamma(t_k)$ и $gamma(t_(k - 1))$, называется ломаной, вписанной в путь $gamma$, отвечающей разбиению $tau$. Эту ломаную будем обозначать $s_tau$. #line(length: 100%) === Лемма о длине вписанной ломаной Длина $|s_tau|$ ломаной $s_tau$, вписанной в путь $gamma$, равна $ |s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2). $ _Доказательство_. Длина отрезка, соединяющего точки $gamma(t_k)$ и $gamma(t_(k - 1))$, вычисляется по теореме Пифагора и равна, очевидно, $ sqrt((x(t_k) - x(t_(k - 1)))^2 + (y(t_k) - y(t_(k - 1)))^2). $ Тогда длина $s_tau$ ломаной $s_tau$ равна $ |s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2) $ #line(length: 100%) === Понятие длины пути Длиной пути $gamma$ называется величина $ l_gamma = sup_tau |s_tau|. $ #line(length: 100%) === Понятие спрямляемого пути Если $l_gamma lt +infinity$, то путь $gamma$ называется спрямляемым. #line(length: 100%) === Лемма о длинах эквивалентных путей Длины эквивалентных путей равны. _Доказательство_. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n, space u : [a, b] arrow [alpha, beta]$ - возрастающая биекция. Пусть $tau = {t_i}_(i = 0)^k$ - дробление $[a, b]$, тогда $tilde(t_k) = u(t_k)$ - дробление $[alpha, beta]$. Значит, $ s_(tilde(gamma)) = sum_(k = 1)^n |tilde(gamma)(tilde(t_k)) - tilde(gamma) (tilde(t_(k - 1)))| = sum_(k = 1)^n |gamma(t_k) - gamma(t_(k - 1))| = s_gamma lt.eq l_gamma, $ и, тем самым, $l_tilde(gamma) lt.eq l_gamma$. Меняя $gamma$ и $tilde(gamma)$ местами, проводя аналогичные приведенным выше выкладки, придем к неравенству $l_gamma lt.eq l_(tilde(gamma))$, откуда $l_gamma = l_tilde(gamma)$. #line(length: 100%) === Понятие длины кривой Длиной кривой называют длину любой ее параметризации. #line(length: 100%) === Лемма об аддитивности длины Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$ - путь, $c in (a, b), gamma^1, gamma^2$ - сужения пути $gamma$ на отрезки $[a, c]$ и $[c, b]$, соответственно. Путь $gamma$ спрямляем тогда и только тогда, когда спрямляемы пути $gamma^1$ и $gamma^2$, причем $ l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2). $ _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть путь $gamma$ спрямляем и пусть $tau$ - разбиение $[a, b]$, содержащее точку $c$. Ясно, что $tau = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ - разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ - разбиение $[c, b]$. Тогда ломанная $s_tau$ - объединение ломаных $s_tau_1$ и $s_tau_2$, причем $ |s_tau_1| + |s_tau_2| = |s_tau| lt.eq l_gamma lt +infinity. $ Отсюда сразу следует, что каждый из путей $gamma^1$ и $gamma^2$ спрямляем. Переходя в предыдущем неравенстве сначала к супремуму по $tau_1$, а потом по $tau_2$, получим $ l_(gamma^1) + l_(gamma^2) lt.eq l_gamma. $ Докажем достаточность и, заодно, противоположное неравенство. пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Если оно не содержит точку $c$, то добавим ее, получив разбиение $tau' = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ - разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ - разбиение $[c, b]$. Пусть точка $c$ попала в $i$-ый отрезок разбиения, то есть $c in (t_(i - 1), t_i)$. Длина ломаной, отвечающей разбиению $tau'$, могла только увеличиться по сравнению с длиной ломаной, отвечающей разбиению $tau$, так как, согласно неравенству треугольника, $ sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2) lt.eq $ $ sqrt((x(c) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(c) - y(t_(i - 1)))^2) + sqrt((x(t_i) - x(c))^2 + (y(t_i) - y(c))^2) $ Значит, $ |s_tau| lt.eq |s_(tau')| = |s_tau_1| + |s_tau_2| lt.eq l_(gamma^1) + l_(gamma^2) lt +infinity. $ и, тем самым, кривая $gamma$ спрямляема. Переходя к супремуму по $tau$ в левой части неравенства, получим $ l_gamma lt.eq l_(gamma^1) + l_(gamma^2). $ Объединяя это неравенство и последнее неравенство, полученное в пункте необходимости, заключаем, что $ l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2), $ и теорема полностью доказана. #line(length: 100%) === Достаточное условие спрямляемости пути Пусть $gamma$ - гладкий путь, тогда он спрямляем. _Доказательство_. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Длина ломаной, вписанной в путь $gamma$, равна $ |s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2). $ По теореме Лагранжа, найдутся точки $xi_i, tau_i in [t_(i - 1), t_i], space i in {1, 2, dots, n}$, что $ x(t_i) - x(t_(i - 1)) = x'(xi_i)Delta t_i, space y(t_i) - y(t_(i - 1)) = y'(eta_i)Delta t_i, space Delta t_i = t_i - t_(i - 1), $ откуда $ |s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt(x'(xi_i)^2 + y'(eta_i)^2) Delta t_i. $ Пусть $ M_x = max_(t in [a, b]) |x'(t)|, space M_y = max_(t in [a, b]) |y'(t)|, $ $ m_x = min_(t in [a, b]) |x'(t)|, space m_y = min_(t in [a, b]) |y'(t)|, $ тогда $ sum_(i = 1)^n sqrt(m_x^2 + m_y^2) Delta t_i lt.eq |s_tau| lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) Delta t_i, $ откуда $ sqrt(m_x^2 + m_y^2) (b - a) lt.eq |s_tau| lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) (b - a). $ Переходя к супремуму по $tau$, имеем $ sqrt(m_x^2 + m_y^2) (b - a) lt.eq l_gamma lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) (b - a). $ и правое неравенство дает возможность заключить, что путь спрямляем. #line(length: 100%) === Теорема о гладкости длины участка пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^2$ - гладкий путь. Тогда $l_gamma in C^1 [a, b]$, причем $ l'_gamma(t) = sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2). $ _Доказательство_. Пусть $Delta t gt 0$, причем $t_0, t_0 + Delta t in [a, b]$. Согласно последнему неравенству в доказательстве предыдущей теоремы, сохраняя те же обозначения, на отрезке $[t_0, t_0 + Delta t]$ выполнено $ sqrt(m_x^2 + m_y^2) Delta t lt.eq l_gamma (t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0) lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) Delta t. $ Поделив неравенство на $Delta t gt 0$, получим $ sqrt(m_x^2 + m_y^2) lt.eq frac(l_gamma(t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0), Delta t) lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2). $ Так как $M_x = max_(t in [t_0, t_0 + Delta t]) |x'(t)|$, и функция $x'(t)$ непрерывна, то $ lim_(Delta t arrow 0 + 0) M_x = x'(t_0). $ Аналогично, $ lim_(Delta t arrow 0 + 0) m_x = x'(t_0), space lim_(Delta t arrow 0 + 0) M_y = y'(t_0), space lim_(Delta t arrow 0 + 0) m_y = y'(t_0). $ Значит, $ sqrt(x'(t_0)^2 + y'(t_0)^2) lt.eq lim_(Delta t arrow 0 + 0) frac(l_gamma(t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0), Delta t) lt.eq sqrt(x'(t_0)^2 + y'(t_0)^2). $ Аналогично рассматривается случай $Delta t lt 0$. Значит, в силу произвольности $t_0$, $ l'_gamma(t) = sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2). $ #line(length: 100%) === Теорема о вычислении длины пути Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^2$ - гладкий путь, тогда $ l_gamma = integral_a^b sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2) d t. $ _Доказательство_. Так как $l'_gamma in C[a, b]$ и $l_gamma (a) = 0$, то, по формуле Ньютона-Лейбница $ l_gamma(t) = l_gamma(t) - l_gamma(a) = integral_a^t l'_gamma d t. $ Так как $l_gamma = l_gamma (b)$, то $ l_gamma = l_gamma(b) = integral_a^b l'_gamma d t = integral_a^b sqrt(x'^2(t) + y'^2(t)) d t. $ #line(length: 100%) === Теорема о длине графика гладкой функции Пусть $f in C^1[a, b]$ и $ Gamma_f = {(x, y) : y = f(x), x in [a, b]} $ \- график функции $f$. Тогда длина $l(Gamma_f)$ графика функции $f$ равна $ l(Gamma_f) = integral_a^b sqrt(1 + (f')^2) d x. $ _Доказательство_. Действительно, график $Gamma_f$ может быть задан следующей параметризацией: $ gamma(t) = cases(x = t, y = f(t)) space , space t in [a, b]. $ Дальше остается сослаться на только что доказанную теорему. #line(length: 100%) === Теорема о длине графика функции в полярной системе координат Пусть $f in C^1[phi_0, phi_1], f gt.eq 0$ и $ Gamma_f = {(phi, r) : r = f(phi), phi in [phi_0, phi_1]} $ \- график функции $f$ в полярной системе координат. Тогда длина $l(Gamma_f)$ графика функции $f$ равна $ l(Gamma_f) = integral_(phi_0)^(phi_1) sqrt(f^2 + (f')^2) d phi. $ _Доказательство_. Действительно, график $Gamma_f$ может быть задан следующей параметризацией: $ gamma(t) = cases(x = f(phi) cos(phi), y = f(phi) sin(phi)) space, space phi in [phi_0, phi_1]. $ Дальше остается сослаться на только что доказанную теорему. #line(length: 100%) === Понятие локальной интегрируемости Говорят, что функция $f$ локально интегрируема на множестве $E$, и пишут $f in R_(l o c)(E)$, если $f in R[a, b]$ для любого $[a, b] subset E$. #line(length: 100%) === Понятие несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq +infinity$. Тогда символ $ integral_a^b f d x $ называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $[a, b)$. #line(length: 100%) === Понятие значения несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq + infinity$ и $omega in [a, b)$. Предел $ lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x, $ если он существует в $overline(RR)$, называется значением несобственного интеграла от функции $f$ по множеству $[a, b)$. #line(length: 100%) === Понятие сходящегося несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq +infinity$ и $omega in [a, b)$. Если предел $ lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x $ существует в $RR$, то несобственный интеграл называется сходящимся. Иначе - расходящимся. #line(length: 100%) === Понятия интегралов первого и второго родов Несобственный интеграл по неограниченному промежутку часто называется несобственным интегралом первого рода. Несобственный интеграл от неограниченной функции по промежутку конечной длины часто называется несобственным интегралом второго рода. #line(length: 100%) === Лемма о совпадении несобственного интеграла и интеграла Римана Пусть $f in R[a, b]$. Тогда $ lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x = integral_a^b f d x, $ где справа стоит интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$. _Доказательство_. Доказательство немедленно следует из свойства непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. #line(length: 100%) === Теорема о линейности несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если сходятся интегралы $ integral_a^b f space d x " и " integral_a^b g space d x, $ то $ integral_a^b (alpha f + beta g) space d x = alpha integral_a^b f space d x + beta integral_a^b g space d x. $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в равенстве, справедливом для интеграла Римана: $ integral_a^omega (alpha f + beta g) space d x = alpha integral_a^omega f space d x + beta integral_a^omega g space d x. $ #line(length: 100%) === Теорема об аддитивности по промежутку Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Тогда для любого $c in (a, b)$ справедливо равенство $ integral_a^b f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^b f space d x, $ причем интегралы $ integral_a^b f space d x " и " integral_c^b f space d x $ сходятся или нет одновременно. _Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в равенстве, справедливом для интеграла Римана: $ integral_a^omega f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^omega f space d x. $ #line(length: 100%) === Понятие остатка несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b), c in (a, b)$. Тогда $ integral_c^b f space d x $ называется остатком несобственного интеграла от $f$ по $[a, b)$. #line(length: 100%) === Лемма Пусть $f in R_(l o c)[a, b), c in (a, b)$. Тогда сходимость несобственного интеграла от $f$ по $[a, b)$ равносильна тому, что $ lim_(c arrow b - 0) integral_c^b f space d x = 0. $ _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. Тогда, по теореме об аддитивности по промежутку, $ integral_a^b f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^b f space d x. $ Пусть теперь $c arrow b - 0$, тогда $ lim_(c arrow b - 0) integral_a^c f space d x = integral_a^b f space d x, $ откуда и следует требуемое. Докажем доастаточность. Пусть остаток интеграла стремится к нулю. Значит, при некотором $c in (a, b)$ $ integral_c^b f space d x in RR. $ Но тогда, при $omega gt c$ выполнено $ integral_a^omega f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^omega f space d x $ и при $omega arrow b - 0$ приходим к требуемому. #line(length: 100%) === Теорема о монотонности несобственного интеграла Пусть $f, g in R_(l o c)[a, b)$, причем $ integral_a^b f space d x in overline(RR) " и " integral_a^b g space d x in overline(RR). $ Если $f lt.eq g$ на $[a, b)$, то $ integral_a^b f space d x lt.eq integral_a^b g space d x. $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в неравенстве, справедливом для интеграла Римана: $ integral_a^omega f space d x lt.eq integral_a^omega g space d x. $ #line(length: 100%) === Формула интегрирования по частям Пусть $u, v$ дифференцируемы на $[a, b)$ и $u', v' in R_(l o c)[a, b)$. Тогда $ integral_a^b u v' space d x = u v |^b_a - integral_a^b v u' space d x, space u v |_a^b = lim_(omega arrow b - 0) u(omega) v(omega) - u(a)v(a), $ или $ integral_a^b u space d v = u v |^b_a - integral_a^b v d u, $ причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда существует (в $RR$) хотя бы два предела из трех. _Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в верном для интеграле Римана равенстве: $ integral_a^omega u v' space d x = u v |_a^omega - integral_a^omega v u' space d x. $ #line(length: 100%) === Формула замены переменной Пусть $f in C[A, B), x = phi(t) : [alpha, beta) arrow [A, B), phi$ дифференцируема и $phi' in R_(l o c)[alpha, beta)$. Пусть, кроме того, существует $phi(beta - 0) in overline(RR)$. Тогда $ integral_(phi(alpha))^(phi(beta - 0)) f space d x = integral_alpha^beta f(phi)phi' space d t, $ причем если существует один интеграл (в $overline(RR)$), то существует и другой. _Доказательство_. Обозначим $ Phi(gamma) = integral_alpha^gamma f(phi) phi' space d t, space F(C) = integral_(phi(alpha))^C f space d x. $ Согласно формуле замены переменной в интеграле Римана, $Phi(gamma) = F(phi(gamma)), gamma in (alpha, beta)$. 1. Пусть существует $ integral_(phi(alpha))^(phi(beta - 0)) f space d x = I in overline(RR). $ Докажем, что второй интеграл тоже существует и равен $I$. Пусть $gamma_n in [alpha, beta)$, причем $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$. Тогда $phi(gamma_n) in [A, B)$ и $phi(gamma_n) arrow_(n arrow infinity) phi(beta - 0)$. Значит, $ lim_(n arrow infinity) Phi(gamma_n) = lim_(n arrow infinity) F(phi(gamma_n)) = I. $ В силу произвольности последовательности $gamma_n$, приходим к требуемому. 2. Пусть теперь существует $ integral_alpha^beta f(phi) phi' space d t = I in overline(RR). $ Докажем, что второй интеграл тоже существует. Тогда, по уже доказанному в первом пункте, он равен $I$. Если $phi(beta - 0) in [A, B)$, то интеграл существует в собственном смысле и доказывать нечего. Пусть теперь $phi(beta - 0) = B$. Пусть $C_n in [A, B), C_n arrow_(n arrow infinity) B$. Не нарушая общности можно считать, что $C_n in [phi(alpha), B)$. По теореме Больцано-Коши, найдутся точки $gamma_n in [alpha, beta)$, что $phi(gamma_n) = C_n$. Покажем, что $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$. Если некоторая подпоследовательность $gamma_n_k arrow_(k arrow infinity) tau in [alpha, beta)$, то, по непрерывности $phi, phi(gamma_n_k) arrow_(k arrow infinity) phi(tau) lt B$, что неверно. Значит, $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$ и $ lim_(n arrow infinity) F(C_n) = lim_(n arrow infinity) Phi(gamma_n) = I. $ #line(length: 100%) === Критерий сходимости интеграла от знакопостоянной функции Пусть $f in R_(l o c)[a, b), f gt.eq 0$. Тогда функция $ F(omega) = integral_a^omega f space d x, space omega in [a, b), $ возрастает, а сходимость интеграла $ integral_a^b f space d x $ равносильна ограниченности функции $F(omega)$. _Доказательство_. Ясно, что если $a lt.eq omega_1 lt.eq omega_2 lt b$, то, так как $f gt.eq 0$, по свойству интеграла Римана, $ integral_(omega_1)^(omega_2) f space d x gt.eq 0. $ Но тогда $ F(omega_2) = integral_a^(omega_2) f space d x = integral_a^(omega_1) f space d x + integral_(omega_1)^(omega_2) f space d x gt.eq integral_a^(omega_1) f space d x = F(omega_1), $ откуда $F(omega_2) gt.eq F(omega_1)$, что и доказывает неубывание $F(omega)$. Значит, вопрос сходимости несобственного интеграла, то есть вопрос существования конечного предела $F(omega)$ при $omega arrow b - 0$, сводится к теореме Вейерштрасса. Как мы знаем, конечность предела (или сходимость заявленного интеграла) в этом случае равносильна ограниченности $F(omega)$. #line(length: 100%) === Признаки сравнения Пусть $f, g in R_(l o c)[a, b)$ и $0 lt.eq f lt.eq g$ при $x in [a, b)$. Тогда: 1. Сходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$ влечет сходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$, то есть $ integral_a^b g space d x lt +infinity arrow.double integral_a^b f space d x lt +infinity. $ 2. Расходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$ влечет расходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$, то есть $ integral_a^b f space d x = +infinity arrow.double integral_a^b g space d x = +infinity. $ 3. Если $f tilde g$ при $x arrow b - 0$, то интегралы от $f$ и $g$ по $[a, b)$ сходятся или расходятся одновременно. _Доказательство_. 1. Согласно предыдущей теореме, функция $ F(omega) = integral_a^omega f space d x $ не убывает с ростом $omega$. Используя монотонность интеграла Римана, а также используя теорему Вейерштрасса, при каждом $omega in [a, b)$ справедлива цепочка неравенств: $ F(omega) = integral_a^omega f space d x lt.eq integral_a^omega g space d x lt.eq sup_(omega in [a, b)) integral_a^omega g space d x = integral_a^b g space d x lt +infinity, $ где последнее неравенство выполнено, согласно условию. Но тогда $F(omega)$ ограничена, а значит, по предыдущей теореме, интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. 2. От противного. Пусть интеграл $ integral_a^b g space d x $ сходится. Тогда, по только что доказанному первому пункту, сходится и $ integral_a^b f space d x, $ что противоречит условию. 3. Согласно определению, эквивалентность $f$ и $g$ при $x arrow b - 0$ означает, что существует такая функция $alpha$, что $ f(x) = alpha(x)g(x), "при" x in U(b) inter [a, b), "причем" lim_(x arrow b - 0) alpha(x) = 1. $ Тогда существует $Delta gt a$, что при $x in [Delta, b)$ выполняется неравенство $ frac(1, 2) lt.eq alpha(x) lt.eq frac(3, 2), $ откуда, при $x in [Delta, b)$, $ frac(1, 2) g(x) lt.eq f(x) lt.eq frac(3, 2) g(x). $ Кроме того, сходимость интегралов $integral_a^b f space d x " и " integral_a^b g space d x$ равносильна сходимости интегралов $ integral_Delta^b f space d x " и " integral_Delta^b g space d x. $ Для последних же рассуждения проводятся использованием пунктов 1 и 2 данной теоремы, опираясь на приведенное выше неравенство. Скажем, если сходится интеграл от $g$ по $[Delta, b)$, то, используя правую часть полученного неравенства, сходится и интеграл от $f$ по $[Delta, b)$. Если же расходится интеграл от $f$ по $[Delta, b)$, то, опять же, используя правую часть того же самого неравенства, расходится и интеграл от $g$ по $[Delta, b)$. Аналогичные рассуждения относительно левого неравенства завершают доказательство. #line(length: 100%) === Критерий Коши сходимости несобственного интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Для того чтобы интеграл $ integral_a^b f space d x $ сходился необходимо и достаточно, чтобы $ forall epsilon gt 0 exists Delta in (a, b) : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) space |integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt epsilon. $ _Доказательство_. Обозначим $ F(omega) = integral_a^omega f space d x. $ Согласно определению, сходимость интеграла равносильна существованию предела функции $F(omega)$ при $omega arrow b - 0$. Согласно критерию Коши существования предела функции, это выполнено тогда и только тогда, когда $ forall epsilon gt 0 exists Delta in (a, b) : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) |F(delta_2) - F(delta_1)| lt epsilon. $ Последнее же неравенство, в силу свойств интеграла, переписывается как $ |F(delta_2) - F(delta_1)| lt epsilon arrow.double.l.r |integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt epsilon, $ откуда и следует требуемое. #line(length: 100%) === Понятие абсолютной сходимости Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Говорят, что несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, если сходится интеграл $ integral_a^b |f| space d x. $ #line(length: 100%) === Теорема о сходимости абсолютно сходящегося интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, то он сходится. _Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Так как интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, то, согласно критерию Коши, $ exists Delta : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) |integral_(delta_1)^(delta_2) |f| space d x| lt epsilon. $ Но, согласно свойствам интеграла, $ |integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) |f| space d x| lt epsilon, $ а значит, по критерию Коши, интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. #line(length: 100%) === Понятие условно сходящегося интеграла Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится, но не сходится абсолютно, то говорят, что интеграл сходится условно. #line(length: 100%) === Понятие несобственного интеграла с двумя особенностями на концах Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Тогда символ $ integral_a^b f space d x $ называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $(a, b)$. #line(length: 100%) === Понятие значения несобственного интеграла с двумя особенностями на концах Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Тогда величина $ lim_(omega_1 arrow a + 0) integral_(omega_1)^c f space d x + lim_(omega_2 arrow b - 0) integral_c^(omega_2) f space d x, $ если оба предела существуют в $overline(RR)$ и не равны бесконечностям разных знаков, называется значением несобственного интеграла от функции $f$ по множеству $(a, b)$. #line(length: 100%) === Понятие сходящегося (расходящегося) несобственного интеграла Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Если $ (lim_(omega_1 arrow a + 0) integral_(omega_1)^c f space d x + lim_(omega_2 arrow b - 0) integral_c^(omega_2) f space d x) in RR $ то несобственный интеграл от функции $f$ по $(a, b)$ называется сходящимся, иначе - расходящимся. #line(length: 100%) === Лемма $ integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = cases( frac((n - 1)!!, n!!)frac(pi, 2)", " space n = 2k, frac((n - 1)!!, n!!)", " space n = 2k - 1 ) space, space n, k in NN union {0}. $ _Доказательство_. Обозначим $ I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x. $ Легко проверить, что $I_0 = frac(pi, 2), space I_1 = 1$. Пусть $n gt 1$, тогда $ I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^(n - 1) x space d(- cos(x)) = - cos(x) sin^(n - 1) x|_0^(frac(pi, 2)) + $ $ +(n - 1) integral_0^(frac(pi, 2)) sin^(n - 2) x cos^2 x space d x = (n - 1)(I_(n - 2) - I_n), $ где последнее равенство верно в силу того, что $cos^2 x = 1 - sin^2 x$. В итоге, $ I_n = frac(n - 1, n)I_(n - 2), $ откуда легко получается требуемое. #line(length: 100%) === Формула Валлиса $ pi = lim_(n arrow infinity) frac(1, n) (frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2. $ _Доказательство_. Ясно, что при $x in (0, frac(pi, 2)), n in NN$, справедлива следующая цепочка неравенств: $ sin^(2n + 1) x lt sin^(2n) x lt sin^(2n - 1) x. $ Обозначив $ I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x, $ получим $I_(2n + 1) lt I_(2n) lt I_(2n - 1)$, откуда, по предыдущей лемме, $ frac((2n)!! ,(2n + 1)!!) lt frac(pi, 2) dot frac((2n - 1)!!, (2n)!!) lt frac((2n - 2)!!, (2n - 1)!!) $ или $ frac(1, 2n + 1)(frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2 lt frac(pi, 2) lt frac(1, 2n) (frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2. $ Пусть $ x_n = frac(1, n)(frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2, $ тогда $ pi lt x_n lt frac(2n + 1, 2n)pi, $ откуда, по теореме о сжатой переменной, получается требуемое. #line(length: 100%) === Интеграл Эйлера-Пуассона $ integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-x^2) space d x = sqrt(pi). $ _Доказательство_. Легко проверить, что при $x in RR$ справедливо неравенство $ e^x gt.eq 1 + x. $ Тогда $ (1 - x^2) lt.eq e^(-x^2) = (e^x^2)^(-1) lt.eq frac(1, 1 + x^2). $ Будем рассматривать левое неравенство при $x in [-1, 1]$, а правое - при $x in RR$, тогда при $k in NN$ $ (1 - x^2)^k lt.eq e^(-k x^2) lt.eq frac(1, (1 + x^2)^k), $ а значит, в силу неотрицательности интеграла от неотрицательной функции и монотонности интеграла $ integral_(-1)^1 (1 - x^2)^k space d x lt.eq integral_(-1)^1 e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) frac(d x , (1 + x^2)^k) . $ Сделаем в первом интеграле замену $x = sin t$, а в последнем замену $x = tan t$. Тогда, согласно формуле замены переменной, придем к неравенству $ integral_(-frac(pi, 2))^(frac(pi, 2)) cos^(2k + 1) t space d t lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-frac(pi, 2))^(frac(pi, 2)) cos^(2k - 2) t space d t, $ откуда, в силу четности косинуса, $ 2 integral_0^(frac(pi, 2)) cos^(2k + 1) t space d t lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq 2 integral_0^(frac(pi, 2)) cos^(2k - 2) t space d t. $ Так как, как было показано ранее, $ integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = integral_0^(frac(pi, 2)) cos^n x space d x = cases( frac((n - 1)!!, n!!) frac(pi, 2)", " space n = 2k, frac((n - 1)!!, n!!)", " space n = 2k - 1 ), space n, k in NN union {0}, $ то приходим к цепочке неравенств $ 2 frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!) frac(pi, 2). $ Сделаем в интеграле замену $t = sqrt(k) x$ и придем к неравенству $ 2 frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq frac(1, sqrt(k)) integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-t^2) space d t lt.eq pi frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!) $ или $ 2 sqrt(k) frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-t^2) space d t lt.eq pi sqrt(k) frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!). $ По формуле Валлиса, $ sqrt(pi) = lim_(k arrow infinity) frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!). $ Тогда $ 2 sqrt(k) frac((2k)!!, (2k + 1)!!) = frac(2 sqrt(k), (2k + 1)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!) tilde frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!) arrow_(k arrow infinity) sqrt(pi) $ и $ pi sqrt(k) frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!) = pi (frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!))^(-1) frac(2k, 2k - 1) arrow_(k arrow infinity) sqrt(pi). $ Теперь утверждение теоремы следует из теоремы о сжатой переменной. #line(length: 100%) === Понятие ряда Пусть дана последовательность $a_k$. Символ $ sum_(k = 1)^infinity a_k = a_1 + a_2 + dots + a_k + dots $ называется числовым рядом с общим членом $a_k$. #line(length: 100%) === Понятие частичной суммы ряда $n$-ой частичной суммой ряда с общим членом $a_k$ называется величина $ S_n = a_1 + a_2 + dots + a_n = sum_(k = 1)^n a_k $ #line(length: 100%) === Понятие суммы ряда Суммой ряда с общим членом $a_k$ называют предел $ lim_(n arrow infinity) S_n = lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n a_k, $ если он существует в $overline(RR)$. #line(length: 100%) === Понятие сходящегося ряда Ряд с общим членом $a_k$ называется сходящимся, если его сумма существует в $overline(RR)$. Иначе ряд называется расходящимся. #line(length: 100%) === Критерий Коши Ряд $sum_(k = 1)^infinity a_k$ сходится тогда и только тогда, когда $ forall epsilon gt 0 exists n_0 = n_0(epsilon) in NN : forall n gt n_0, forall p in NN |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt epsilon. $ _Доказательство_. Согласно определению, сходимость ряда - это сходимость последовательности его частичных сумм $ S_n = sum_(k = 1)^n a_k. $ По критерию Коши эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда $ forall epsilon gt 0 exists n_0 = n_0(epsilon) : forall n gt n_0, forall p in NN |S_(n + p) - S_p| lt epsilon. $ Последнее неравенство равносильно тому, что $|sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt epsilon$. #line(length: 100%) === Необходимое условие сходимости ряда Пусть ряд с общим членом $a_k$ сходится. Тогда $ a_k arrow_(k arrow infinity) 0. $ _Доказательство_. Пусть $S_n = sum_(k = 1)^n a_k$. Так как ряд сходится, то, так как $S_(n - 1)$ - подпоследовательность $S_n$, то $ lim_(n arrow infinity) S_n = lim_(n arrow infinity) S_(n - 1) = S in RR. $ Но тогда $ a_n = S_n - S_(n - 1) arrow.double lim_(n arrow infinity) a_n = S - S = 0. $ #line(length: 100%) === Пусть дан ряд с общим членом $a_k$. Тогда $ R_m = sum_(k = m + 1)^infinity a_k, space m in NN union {0}, $ называется $m$-ым остатком ряда. #line(length: 100%) === Лемма о сходимости ряда в терминах остатков Для сходимости ряда с общим членом $a_k$ необходимо и достаточно, чтобы сходился любой его остаток $R_m$. В этом случае $ sum_(k = 1)^infinity a_k = sum_(k = 1)^m a_k + R_m = S_m + R_m. $ _Доказательство_. Ясно, что при $n gt m$ справедливо равенство $ sum_(k = 1)^n a_k = sum_(k = 1)^m a_k + sum_(k = m + 1)^n a_k. $ Так как первое слагаемое после знака равенства - число, не зависящее от $n$, то сходимость исходного ряда равносильна сходимости $R_m$. Заявленное равенство получается предельным переходом. #line(length: 100%) === Лемма о стремлении остатка к нулю Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы $ lim_(m arrow infinity) R_m = 0. $ _Доказательство_. 1. Докажем необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда, по предыдущей лемме, $ S = sum_(k = 1)^infinity a_k = S_m + R_m. $ Так как $lim_(m arrow infinity) S_m = S$, то $lim_(m arrow infinity) R_m = 0$. 2. Докажем доастаточность. Пусть $lim_(m arrow infinity) R_m = 0$. Тогда для всех номеров $m$ определен и конечен $R_m$, а значит, например, сходится $R_1$. Но тогда, по замечанию выше, сходится и ряд. #line(length: 100%) === Лемма о линейности суммирования Пусть сходится ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$. Тогда при любых $alpha, beta in RR$ сходится ряд с общим членом $alpha a_k + beta b_k$, причем $ sum_(k = 1)^infinity (alpha a_k + beta b_k) = alpha sum_(k = 1)^infinity a_k + beta sum_(k = 1)^infinity b_k. $ _Доказательство_. Обозначим $ S^A = sum_(k = 1)^infinity a_k, space S^A_n = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S^B_n = sum_(k = 1)^n b_k. $ Тогда $ S_n = sum_(k = 1)^n (alpha a_k + beta b_k) = alpha S_n^A + beta S^B_n arrow_(n arrow infinity) alpha S^A + beta S^B, $ что и доказывает утверждение. #line(length: 100%) === Лемма о монотонности суммирования Пусть $a_k lt.eq b_k$ и ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$ имеют суммы в $overline(RR)$. Тогда $ sum_(k = 1)^infinity a_k lt.eq sum_(k = 1)^infinity b_k. $ _Доказательство_. Обозначим $ S^A = sum_(k = 1)^infinity a_k, space S_n^A = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S^B_n = sum_(k = 1)^n b_k. $ Тогда, согласно условию, $ S_n^A lt.eq S_n^B arrow.double lim_(n arrow infinity) S_n^A lt.eq lim_(n arrow infinity) S_n^B arrow.double S^A lt.eq S^B. $ #line(length: 100%) === Критерий сходимости ряда с положительными членами Пусть $a_k gt.eq 0$. Тогда последовательность частичных сумм ряда $ S_n = sum_(k = 1)^n a_k $ возрастает и $ sum_(k = 1)^infinity a_k = sup_(n in NN) S_n. $ Тем самым, сходимость ряда равносильна ограниченности последовательности его частичных сумм. _Доказательство_. Так как $a_k gt.eq 0$, точнее $ S_(n + 1) = S_n + a_n gt.eq S_n. $ Тем самым, вопрос о наличии (и конечности) предела $S_n$ сводится к вопросу ограниченности $S_n$. #line(length: 100%) === Признаки сравнения Пусть $0 lt.eq a_k lt.eq b_k$. Тогда: 1. Сходимость ряда с общим членом $b_k$ влечет сходимость ряда с общим членом $a_k$, то есть $ sum_(k = 1)^infinity b_k lt +infinity arrow.double sum_(k = 1)^infinity a_k lt +infinity. $ 2. Расходимость ряда с общим членом $a_k$ влечет расходимость ряда с общим членом $b_k$, то есть $ sum_(k = 1)^infinity a_k = +infinity arrow.double sum_(k = 1)^infinity b_k = +infinity. $ 3. Если $a_k tilde b_k$ при $k arrow +infinity$, то ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$ сходятся или расходятся одновременно. _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Обозначим $ S_n^A = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S_n^B = sum_(k = 1)^n b_k. $ Ясно, что в условиях теоремы $ S_n^A lt.eq S_n^B lt.eq S^B lt +infinity. $ В силу ограниченности последовательности $S_n^A$, согласно предыдущей теореме заключаем, что $S_n^A$ имеет конечный предел. 2. Докажем второй пункт. От противного, если сходится ряд с общим членом $b_k$, то, по только что доказанному, сходится и ряд с общим членом $a_k$. Это противоречит условию. 3. Докажем третий пункт. Так как $a_k tilde b_k$, то $a_k = alpha_k b_k$, где $alpha_k arrow_(k arrow +infinity) 1.$ Тогда $ exists k_0 : forall k gt k_0 arrow.double frac(1, 2) b_k lt.eq a_k lt.eq frac(3, 2) b_k. $ Дальнейшие рассуждения аналогичным рассуждениям в соответствующей теореме про интегралы, и остаются в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Радикальный признак Коши. Пусть $a_k gt 0$ и $ overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, a_k) = l in [0, +infinity]. $ Тогда: 1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. В силу того, что верхний предел - это частичный предел, найдется подпоследовательность $a_k_n$ такая, что $ lim_(n arrow infinity) root(k_n, a_k_n) = l. $ Так как $l gt 1$, то, начиная с некоторого номера $n_0$, выполняется $ root(k_n, a_k_n) gt 1 arrow.double a_k_n gt 1. $ Отсюда следует, что $a_k_n$ не стремится к нулю, а значит не выполнено необходимое условие сходимости ряда, и ряд с общим членом $a_k$ расходится. 2. Докажем второй пункт. Положим $epsilon = frac(1 - l, 2)$. По свойству верхнего предела, $ exists k_0 : forall k gt k_0 root(k, a_k) lt l + frac(1 - l, 2) = frac(l + 1, 2) lt 1. $ Действительно, иначе мы могли бы из последовательности $root(k, a_k)$ выделить подпоследовательность, все члены которой больше, чем $frac(l + 1, 2)$, а значит ее верхний предел был бы не меньше, чем $frac(l + 1, 2) gt l$, что противоречит условию. Из полученного неравенства приходим к тому, что при $k gt k_0$ выполняется $ a_k lt (frac(l + 1, 2))^k . $ Так как ряд $ sum_(k = k_0 + 1)^infinity (frac(l + 1, 2))^k $ сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы, то по признаку сравнения сходится и ряд $ R_k_0 = sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k, $ а значит сходится и исходный ряд. #line(length: 100%) === Признак Даламбера Пусть $a_k gt 0$ и $ lim_(k arrow infinity) frac(a_(k + 1), a_k) = l in [0, +infinity]. $ Тогда: 1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Так как $l gt 1$, то при $k gt k_0$ оказывается справедливым неравенство $ frac(a_(k + 1), a_k) gt 1 arrow.double a_k gt.eq a_(k_0 + 1) gt 0, $ откуда следует, что $a_k$ не стремится к нулю. Это противоречит необходимому условию сходимости ряда. 2. Докажем второй пункт. Положим $epsilon = frac(1 - l, 2)$. Согласно определению предела, найдется $k_0$, что при $k gt k_0$ $ frac(a_(k + 1), a_k) lt l + frac(1 - l, 2) = frac(l + 1, 2) lt 1, $ а значит $ a_(k + 1) lt (frac(l + 1, 2))a_k. $ По индукции, при $k gt k_0$ имеем $ a_k lt.eq (frac(l + 1, 2))^(k - k_0 - 1) a_(k_0 + 1). $ Так как ряд $ a_(k_0 + 1) sum_(k = k_0 + 1)^infinity (frac(l + 1, 2))^(k - k_0 - 1) $ сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы, то по признаку сравнения сходится и ряд $ R_k_0 = sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k, $ а значит сходится и исходный ряд. #line(length: 100%) === Признак Раабе. Пусть $a_k gt 0$ и $ lim_(k arrow infinity) k (frac(a_k, a_(k + 1)) - 1) = l in overline(RR). $ Тогда: 1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. #line(length: 100%) === Схема Куммера Пусть $a_k, b_k gt 0$, и ряд $ sum_(k = 1)^infinity frac(1, b_k) $ расходится. Пусть, кроме того, $ lim_(k arrow infinity) (b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1)) = l in overline(RR). $ Тогда: 1. Если $l gt 0$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 2. Если $l lt 0$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Так как $l gt 0$, то существует $k_0$, что при $k gt k_0$ выполнено $ b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1) gt frac(l, 2) gt 0 arrow.double a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1) gt frac(l, 2) a_(k + 1) gt 0. $ В частности, $a_k b_k gt a_(k + 1) b_(k + 1)$, а значит последовательность $a_k b_k$ убывает при $k gt k_0$. Кроме того, она ограничена снизу, например, нулем, а значит имеет предел, например, равный $A$. Но тогда $ sum_(k = k_0 + 1)^infinity (a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1)) = lim_(k arrow infinity) sum_(k = k_0 + 1)^k (a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1)) = $ $ = lim_(k arrow infinity) (a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) - a_(k + 1)b_(k + 1)) = a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) - A lt +infinity. $ Значит, сходится и $sum_(n = n_0 + 1)^infinity a_(n + 1)$, но тогда сходится и ряд с общим членом $a_n$. 2. Докажем второй пункт. Пусть $l lt 0$. Тогда существует $k_0$, что при $k gt k_0$ $ b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1) lt 0 arrow.double b_k a_k - b_(k + 1) a_(k + 1) lt 0. $ Отсюда получаем, что $b_(k + 1) a_(k + 1) gt b_k a_k$ и последовательность $b_k a_k$ монотонно возрастает при $k gt k_0$. Значит, $ a_k b_k gt.eq a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) arrow.double a_k gt.eq frac(a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1), b_k) $ и ряд $sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k$ расходится согласно признакам сравнения. #line(length: 100%) === Теорема Пусть $a_k gt 0, a_k arrow_(k arrow infinity) 0$. 1. Если ряд с общим членом $a_k$ расходится, то существует последовательность $b_k$, что $b_k arrow_(k arrow infinity) 0$ и что ряд с общим членом $a_k b_k$ расходится. 2. Если ряд с общим членом $a_k$ сходится, то существует последовательность $b_k$, что $b_k arrow_(k arrow infinity) +infinity$ и что ряд с общим членом $a_k b_k$ сходится. _Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Положим $ b_k = frac(1, sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))), space S_k = sum_(i = 1)^k a_i, space S_0 = 0. $ Тогда $ a_k b_k = frac(a_k, sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))) = frac(S_k - S_(k - 1), sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))) = sqrt(S_k) - sqrt(S_(k - 1)). $ Ясно, что ряд с таким общим членом расходится, так как $ sum_(k = 1)^n a_k b_k = sum_(k = 1)^n (sqrt(S_k) - sqrt(S_(k - 1))) = sqrt(S_n) arrow_(n arrow infinity) +infinity. $ 2. Докажем второй пункт. Положим $ b_k = frac(1, sqrt(R_(k - 1))), space R_k = sum_(i = k + 1)^infinity a_i. $ Тогда $ a_k b_k = frac(a_k, sqrt(R_(k - 1))) = frac(R_(k - 1) - R_k, sqrt(R_(k - 1))) = frac((sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k))(sqrt(R_(k - 1)) + sqrt(R_k)), sqrt(R_(k - 1))) lt.eq $ $ lt.eq 2(sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k)). $ Понятно, что ряд с общим членом $(sqrt(R_(k - 1) - sqrt(R_k)))$ сходится, ведь $ sum_(k = 1)^n (sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k)) = sqrt(R_0) - sqrt(R_n) arrow_(n arrow infinity) sqrt(R_0), $ а значит, по признаку сравнения, сходится и требуемый ряд. #line(length: 100%) === Интегральный признак Коши Пусть $f in R_(l o c)[1, infinity)$ и монотонна на $[1, +infinity)$. Тогда ряд с общим членом $f(k)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $ integral_1^infinity f space d x. $ _Доказательство_. Пусть, скажем, $f$ убывает. Тогда, если $f(x_0) lt 0$, в силу монотонности, неравенство $f(x) lt.eq f(x_0) lt 0$ выполняется при $x gt x_0$, а значит $f(k)$ не стремится к $0$ при $k arrow infinity$, то есть ряд с общим членом $f(k)$ расходится. Кроме того, $ integral_(x_0)^A f space d x lt.eq f(x_0)(A - x_0) arrow_(A arrow +infinity) -infinity, $ а значит расходится и интеграл. В итоге, $f(x) gt.eq 0$. В этом случае, вспоминая, что $f$ убывает, очевидно следующее неравенство: $ f(k + 1) lt.eq integral_k^(k + 1) f space d x lt.eq f(k), $ которое влечет неравенство $ sum_(k = 1)^n f(k + 1) lt.eq integral_1^(n + 1) f space d x lt.eq sum_(k = 1)^n f(k). $ Учитывая, что функция $ F(omega) = integral_1^omega f space d x $ возрастает, для существования предела $lim_(omega arrow +infinity) F(omega)$ достаточно (и, конечно же, необходимо) существование предела $lim_(n arrow infinity) F(n + 1)$. Тогда утверждение теоремы легко получить предельным переходом при $n arrow infinity$ и рассуждениями, аналогичными приводимым в доказательстве третьего пункта признаков сравнения. #line(length: 100%) === Лемма Пусть $f$ неотрицательна, убывает на $[1, +infinity)$ и $f in R_(l o c)[1, +infinity)$. Тогда последовательность $ A_n = sum_(k = 1)^n f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x $ имеет предел. _Доказательство_. Докажем, что $A_n$ возрастает. Действительно, $ A_(n + 1) - A_n = f(n + 1) - integral_(n + 1)^(n + 2) f space d x gt.eq 0. $ Покажем, что $A_n$ ограничена сверху. Для этого проведем следующее преобразование: $ A_n = f(1) - f(n + 1) + sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x. $ Так как $ sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) = sum_(k = 1)^n f(k + 1), $ то, согласно полученному в доказательстве интегрального признака Коши неравенству, $ sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x lt.eq 0, $ откуда $ A_n lt.eq f(1) - f(n + 1) lt.eq f(1). $ Далее остается сослаться на теорему Вейерштрасса. #line(length: 100%) === Понятие абсолютной сходимости Говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, если сходится ряд с общим членом $|a_k|$. #line(length: 100%) === Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда Если ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, то он сходится. _Доказательство_. Воспользуемся критерием Коши. Пусть $epsilon gt 0$, тогда $ exists n_0 : forall n gt n_0, forall p in NN sum_(k = n + 1)^(n + p) |a_k| lt epsilon. $ В то же время, $ |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) |a_k| lt epsilon, $ откуда, согласно тому же критерию Коши получаем, что ряд с общим членом $a_k$ сходится. #line(length: 100%) === Понятие условной сходимости Если ряд с общим членом $a_k$ сходится, но абсолютной сходимости нет, то говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится условно (или неабсолютно). #line(length: 100%) === Признак Лейбница Ряд $ sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) a_k, $ где $a_k gt.eq 0$ и $a_k$ монотонно стремится к нулю, сходится. _Доказательство_. Рассмотрим подпоследовательность $S_(2n)$ последовательности частичных сумм данного ряда. Группируя, получим, что $ S_(2n) = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + dots + a_(2n - 1) - a_(2n) = $ $ = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + dots + (a_(2n - 1) - a_(2n)) gt.eq S_(2n - 2), $ где неравенство верно ввиду неотрицательности скобок (в силу убывания $a_n$). Тем самым, последовательность $S_(2n)$ возрастает. Кроме того, $ S_(2n) = a_1 - (a_2 - a_3) - dots - (a_(2n - 2) - a_(2n - 1)) - a_(2n) lt.eq a_1, $ откуда $S_(2n)$ ограничена сверху. Значит, по теореме Вейерштрасса, последовательность $S_(2n)$ имеет предел, например $S$. Но тогда $ S_(2n - 1) = S_(2n) - a_(2n) arrow_(n arrow infinity) S, $ так как общий член стремится к нулю. Пусть теперь $epsilon gt 0$. Тогда, по доказанному, $ exists n_0 : forall n gt n_0 |S_(2n) - S| lt epsilon, $ $ exists n_1 : forall n gt n_1 |S_(2n - 1) - S| lt epsilon. $ Но тогда, если $k gt max(2 n_0, 2 n_1 - 1)$, то либо $k = 2n$ и $n gt n_0$, либо $k = 2n - 1$ и $n gt n_1$, а значит $ |S_k - S| lt epsilon, $ что доказывает сходимость рассматриваемого ряда. #line(length: 100%) === Лемма об остатке ряда лейбницевского типа Пусть рассматривается ряд $ sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) a_k, $ где $a_k gt.eq 0$ и $a_k$ монотонно стремится к нулю. Тогда $ |R_n| lt.eq a_(n + 1), space R_n (-1)^n gt.eq 0. $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно заметить, что остаток ряда лейбницевского типа - с точностью до знака ряд лейбницевского типа и применять к нему сформулированное выше замечание. #line(length: 100%) === Понятие функциональной последовательности Последовательность $f_k : X arrow RR, space k in NN$, называется функциональной последовательностью. #line(length: 100%) === Понятие функционального ряда Пусть дана функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$. Символ $ sum_(k = 1)^infinity f_k = f_1 + f_2 + dots + f_k + dots $ называется функциональным рядом с общим членом $f_k$. #line(length: 100%) === Понятие поточечной сходимости функциональной последовательности Говорят, что функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$ сходится поточечно (или просто сходится) на множестве $D subset X$, если $ forall x in D space exists lim_(k arrow infinity) f_k (x) in RR. $ Множество $D$ при этом называется множеством (поточечной) сходимости функциональной последовательности $f_k$. #line(length: 100%) === Понятие частичной суммы функционального ряда $n$-ой частичной суммой функционального ряда с общим членом $f_k : X arrow RR$ называется величина $ S_n = sum_(k = 1)^n f_k $ #line(length: 100%) === Понятие сходимости функционального ряда Говорят, что функциональный ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится поточечно (или просто сходится) на множестве $D subset X$, если $ forall x in D space sum_(k = 1)^infinity f_k (x) "сходится." $ Множество $D$ при этом называется множеством (поточечной) сходимости функционального ряда с общим членом $f_k$. #line(length: 100%) === Понятие равномерной сходимости функциональной последовательности Говорят, что последовательность $f_k : X arrow RR$ сходится к функции $f$ на множестве $D subset X$ равномерно, если $ forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 forall x in D |f_k (x) - f(x)| lt epsilon. $ Обозначают это так: $ f_k arrow.double_(k arrow infinity)^D f. $ #line(length: 100%) === Понятие равномерно сходящегося ряда Говорят, что функциональный ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на множестве $D subset X$, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на $D$. #line(length: 100%) === Критерий Коши равномерной сходимости ф. п. Для того чтобы функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$ сходилась равномерно на $D subset X$ необходимо и достаточно, чтобы $ forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 space forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. $ _Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $epsilon gt 0$. В силу равномерной сходимости $f_k$ к некоторой функции $f$, $ exists k_0 in NN : forall k gt k_0 |f_k - f| lt frac(epsilon, 2). $ Пусть $p in NN$, тогда $k + p gt k_0$ и, по неравенству треугольника, $ |f_(k + p) - f_k| lt.eq |f_(k + p) - f| + |f - f_k| lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. $ Докажем достаточность. Условие $ forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 space forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon $ гарантирует, что при каждом $x in D$ числовая последовательность фундаментальна, значит сходится. Положим $ f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x), space x in D. $ Пусть $epsilon gt 0$. По условию найдем $k_0$, что при $k gt k_0$ и $p in NN$ $ forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. $ Переходя к пределу при $p arrow infinity$, получим $ forall x in D |f(x) - f_k (x)| lt.eq epsilon, $ откуда и следует требуемое. #line(length: 100%) === Критерий Коши равномерной сходимости ряда Ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на $D subset X$ тогда и только тогда, когда $ forall epsilon gt 0 space exists n_0 in NN : forall n gt n_0 space forall p in NN space forall x in D |sum_(k = n + 1)^(n + p) f_k (x)| lt epsilon. $ _Доказательство_. Доказательство следует из предыдущей теоремы, так как равномерная сходимость ряда - суть равномерная сходимость последовательности его частичных сумм. #line(length: 100%) === Необходимое условие равномерной сходимости ряда Если ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на $D subset X$, то $ f_k arrow.double_(k arrow infinity)^D 0. $ _Доказательство_. Доказательство получается сразу, если положить в критерии Коши $p = 1$. #line(length: 100%) === Признак Вейерштрасса Пусть $f_k : X arrow RR, space D subset X$. Если существует последовательность $a_k$, что $ |f_k (x)| lt.eq a_k, space x in D, $ и ряд с общим членом $a_k$ сходится, то функциональный ряд с общим членом $f_k$ сходится равномерно (и абсолютно) на $D$. _Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Используя критерий Коши и учитывая неотрицательность $a_k$, имеем $ exists n_0 in NN: space forall n gt n_0, space forall p in NN space sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k lt epsilon. $ В то же время, $ |sum_(k = n + 1)^(n + p) f_k (x)| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) |f_k (x)| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k lt epsilon, $ что верно сразу для всех $x in D$. Значит, используя критерий Коши равномерной сходимости ряда, а также определение абсолютной сходимости, получаем требуемое. #line(length: 100%) === Теорема о перестановке предельных переходов Пусть $f, f_k : D arrow RR$, причем: 1. Последовательность $f_k$ равномерно сходится на $D$ к функции $f$. 2. Для каждого $k in NN$ существует предел $ lim_(x arrow x_0) f_k (x) = a_k in RR, $ где $x_0$ - предельная для $D$. Тогда пределы $ lim_(k arrow infinity) a_k " и " lim_(x arrow x_0) f(x) $ существуют (в $RR$) и совпадают, то есть $ lim_(x arrow x_0) lim_(k arrow infinity) f_k (x) = lim_(k arrow infinity) lim_(x arrow x_0) f_k (x). $ _Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Согласно критерию Коши, $ exists k_0 : forall k gt k_0 forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. $ Перейдя к пределу при $x arrow x_0$, получим $ |a_(k + p) - a_k| lt.eq epsilon, $ что влечет фундаментальность и, как следствие, сходимость последовательности $a_k$. Пусть $epsilon gt 0$, тогда, в силу равномерной сходимости на $D$, $ exists k_0 : forall k gt k_0 forall x in D |f_k (x) - f(x)| lt frac(epsilon, 3). $ В силу сходимости последовательности $a_k$ к числу $A$, $ exists k_1 : forall k gt k_1 |a_k - A| lt frac(epsilon, 3). $ Пусть $m = 1 + max(k_0, k_1)$, тогда одновременно, причем $forall x in D$, $ |a_m - A| lt epsilon " и " |f_m(x) - f(x)| lt frac(epsilon, 3). $ Согласно определению предела функции, $ exists accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) : forall x in accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) inter D |f_m (x) - a_m| lt frac(epsilon, 3). $ Значит, при $x in accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) inter D$, имеем $ |f(x) - A| lt.eq |f(x) - f_m (x)| + |f_m (x) - a_m| + |a_m - A| lt epsilon, $ что и завершает доказательство. #line(length: 100%) === Теорема о почленном переходе к пределу Пусть $f_k : D arrow RR$, причем: 1. Ряд с общим членом $f_k$ равномерно сходится на $D$ к сумме $S$. 2. Для каждого $k in NN$ существует предел $ lim_(x arrow x_0) f_k (x) = a_k in RR, $ где $x_0$ - предельная для $D$. Тогда ряд с общим членом $a_k$ сходится к сумме $A$, причем $lim_(x arrow x_0) S(x) = A$, то есть $ lim_(x arrow x_0) S(x) = lim_(x arrow x_0) sum_(k = 1)^infinity f_k (x) = sum_(k = 1)^infinity lim_(x arrow x_0) f_k (x). $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно применять предыдущую теорему к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. #line(length: 100%) === Теорема о непрерывности предельной функции Пусть $f, f_k : D arrow RR, space x_0 in D$, причем: 1. Последовательность $f_k$ равномерно сходится на $D$ к функции $f$. 2. Все члены последовательности $f_k$ непрерывны в $x_0$. Тогда $f$ непрерывна в $x_0$. В частности, если все члены последовательности $f_k$ непрерывны на $D$, то и $f$ непрерывна на $D$. _Доказательство_. Если $x_0$ - изолированная точка, то, так как любая функция непрерывна в изолированной точке своей области определения, утверждение доказано. Если $x_0$ - предельная, то выполнены условия теоремы о перестановке предельных переходов, где $a_k = f_k (x_0)$. Поэтому, $ lim_(x arrow x_0) f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x_0) = f(x_0), $ что и завершает доказательство. #line(length: 100%) === Теорема о непрерывности суммы ряда Пусть $f_k : D arrow RR, space x_0 in D$, причем: 1. Ряд с общим членом $f_k$ равномерно сходится на $D$ к сумме $S$. 2. Все члены последовательности $f_k$ непрерывны в $x_0$. Тогда сумма ряда $S$ непрерывна в $x_0$. В частности, если все члены последовательности $f_k$ непрерывны на $D$, то и сумма ряда непрерывна на $D$. _Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. #line(length: 100%) === Интегрирование и предельный переход Пусть $f_k, f : [a, b] arrow RR, space f_k in C[a, b],$ и $ f_k arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) f. $ Тогда $f in C[a, b]$ и $ integral_a^x f_k space d x arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) integral_a^x f space d x. $ _Доказательство_. То, что $f in C[a, b]$ следует из теоремы о непрерывности предельной функции. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть $epsilon gt 0$. Тогда, в силу равномерной сходимости, $ exists k_0 : forall k gt k_0 space forall x in [a, b] space |f(x) - f_k(x)| lt frac(epsilon, b - a) $ Пусть $k gt k_0$, тогда $ |integral_a^x f_k space d x - integral_a^x f space d x| lt.eq integral_a^x |f_x - f| space d x lt.eq frac(epsilon, b - a) (x - a) lt.eq epsilon, $ причем последняя оценка справедлива при всех $x in [a, b]$. Это и доказывает равномерную сходимость. #line(length: 100%) === Теорема о почленном интегрировании ряда. Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C[a, b]$. Если ряд с общим членом $f_k$ сходится равномерно к функции $S$ на $[a, b]$, то $S in C[a, b]$, причем $ integral_a^x (sum_(k = 1)^infinity f_k) space d x = sum_(k = 1)^infinity (integral_a^x f_k space d x) space x in [a, b]. $ _Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую теорему к частичным суммам рассматриваемого ряда. #line(length: 100%) === Дифференцирование и предельный переход Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C^1[a, b]$. Если 1. Существует $x_0 in [a, b]$, что последовательность $f_k (x_0)$ сходится. 2. Последовательность производных $f'_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к функции $g$. то $ f_k arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) f, $ причем $f' = g$ на $[a, b]$. В частности, $f in C^1[a, b]$. _Доказательство_. Сперва заметим, что $g in C[a, b]$. По теореме об интегрировании и предельном переходе, $ lim_(k arrow infinity) integral_(x_0)^(x) f'_k space d x = integral_(x_0)^x g space d x, $ где последняя сходимость равномерна по $x in [a, b]$. В то же время, $ lim_(k arrow infinity) integral_(x_0)^x f'_k space d x = lim_(k arrow infinity) (f_k (x) - f_k (x_0)) = integral_(x_0)^x g space d x. $ Так как, согласно условию, существует предел $ C = lim_(k arrow infinity) f_k (x_0), $ то $ f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x) = C + integral_(x_0)^x g space d x, $ где последняя сходимость, опять-таки, равномерна на $[a, b]$. Используя теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом, получим $ f'(x) = g(x), space x in [a, b], $ что и завершает доказательство. #line(length: 100%) === Теорема о почленном дифференцировании ряда Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C^1[a, b]$. Если 1. Существует $x_0 in [a, b]$, что ряд с общим членом $f_k (x_0)$ сходится. 2. Ряд с общим членом $f'_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к сумме $tilde(S)$, то ряд с общим членом $f_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к сумме $S$, причем $S' = tilde(S)$ на $[a, b]$. В частности, $S in C^1[a, b]$. _Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. #line(length: 100%) === Понятие степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида $ sum_(k = 0)^infinity a_k (x - x_0)^k, $ где $x_0 in RR$ и $a_k in RR$. #line(length: 100%) === Первая теорема Абеля Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. 1. Если существует $x_1$, что ряд $ sum_(k = 0)^infinity a_k x_1^k " сходится", $ то ряд с общим членом $a_k x^k$ сходится абсолютно при всех $x$ таких, что $|x| lt |x_1|$. 2. Если существует $x_1$, что ряд $ sum_(k = 0)^infinity a_k x_1^k " расходится", $ то ряд с общим членом $a_k x^k$ расходится при всех $x$ таких, что $|x| gt |x_1|$. _Доказательство_. Докажем первый пункт. Ясно, что имеет смысл рассматривать случай $x_1 eq.not 0$, ведь иначе множество $x$ таких, что $|x| lt |x_1|$, пусто. Пусть $x_1 lt.eq 0$ и $|x| lt |x_1|$, тогда $ |a_k x^k| = |a_k x_1^k| |frac(x, x_1)|^k . $ Так как ряд с общим членом $a_k x_1^k$ сходится, то его общий член стремится к нулю, а значит ограничен. Тем самым, $|a_k x_1^k| lt.eq C$, а тогда $ |a_k x_1^k| |frac(x, x_1)|^k lt.eq C |frac(x, x_1)|^k . $ Заметим, что $ 0 lt.eq |frac(x, x_1)| lt 1, $ а значит ряд с общим членом $ C |frac(x, x_1)|^k $ сходится как геометрическая прогрессия. Отсюда, согласно признакам сравнения, сходится, причем абсолютно, исходный ряд. 2. Докажем второй пункт. От противного. Если бы при $x$ таком, что $|x| gt |x_1|$, ряд сходился, то по только что доказанному, он бы сходился и при $x = x_1$, что противоречит условию. #line(length: 100%) === О виде множества сходимости степенного ряда Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. Тогда существует $R in [0, +infinity]$, что при $x in (-R, R)$ ряд сходится абсолютно, а при $x in (-infinity, -R); (R, +infinity)$ ряд расходится. #line(length: 100%) === Понятие радиуса сходимости степенного ряда Число $R$, существование которого доказано в предыдущем следствии, называется радиусом сходимости степенного ряда с общим членом $a_k x^k$, а множество $(-R, R)$ - интервалом сходимости соответствующего степенного ряда. #line(length: 100%) === Формула Коши-Адамара Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. Тогда $ R = frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)). $ _Доказательство_. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Найдем $ l = overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k x^k|) = |x| overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|). $ Если $l lt 1$, то ряд сходится, причем абсолютно. Если $l gt 1$, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Если договориться, что $frac(1, 0) = +infinity, space frac(1, (+infinity)) = 0$, то последнее равносильно неравенствам $ |x| lt frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)) " и " |x| gt frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)), $ соответственно, что и доказывает теорему. #line(length: 100%) === Теорема о равномерной сходимости степенного ряда Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда для любого $r in (0, R)$ рассматриваемый ряд сходится равномерно на $[-r, r]$. _Доказательство_. Для общего члена ряда при $x in [-r, r]$ справедлива оценка $ |a_k x^k| lt.eq a_k r^k . $ Но, так как $r in (0, R)$, то ряд с общим членом $a_k r^k$ сходится. Значит, утверждение теоремы следует из признака Вейерштрасса. #line(length: 100%) === Вторая теорема Абеля Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Если сходится ряд с общим членом $a_k R^k$, то исходный ряд сходится равномерно на $[0, R]$. _Доказательство_. Так как ряд с общим членом $a_k R^k$ сходится, то, согласно критерию Коши, по $epsilon gt 0$ $ exists n_0 : forall n gt n_0 space forall p in NN space |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k R^k| lt epsilon. $ Пусть $n gt n_0, space m gt n$. Обозначим $ A_m = sum_(k = n + 1)^m a_k R^k, space A_n = 0 $ и заметим, что $ |A_m| lt epsilon, space m in NN. $ Тогда $ sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k x^k = sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k R^k (frac(x, R))^k = sum_(k = n + 1)^(n + p)(A_k - A_(k - 1)) (frac(x, R))^k = $ $ = sum_(k = n + 1)^(n + p) A_k (frac(x, R))^k - sum_(k = n + 1)^(n + p) A_(k - 1) (frac(x, R))^k = sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) A_k ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + A_(n + p) (frac(x, R))^(n + p). $ Так как $x in [0, R]$, то $ (frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1) gt.eq 0, space (frac(x, R))^k lt.eq 1, space k in NN. $ Тогда $ |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k x^k| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) |A_k| ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + |A_(n + p)|(frac(x, R))^(n + p) lt $ $ lt epsilon(sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + (frac(x, R))^(n + p)) = epsilon(frac(x, R))^(n + 1) lt.eq epsilon, $ откуда, согласно критерию Коши равномерной сходимости и следует утверждение. #line(length: 100%) === Теорема о непрерывности суммы степенного ряда Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда сумма ряда непрерывна на множестве сходимости $angle.l -R, R angle.r$. _Доказательство_. Пусть $x_0 in (-R, R)$ и $ delta = min(frac(R - x_0, 2), frac(x_0 + R, 2)). $ Тогда $[x_0 - delta, x_0 + delta] subset (-R, R)$ и, по теореме о равномерной сходимости степенного ряда, на отрезке $[x_0 - delta, x_0 + delta]$ ряд сходится равномерно. Так как члены рассматриваемого ряда непрерывны на этом отрезке, то по теореме о непрерывности суммы ряда, суммы рассматриваемого ряда тоже непрерывна на этом отрезке. В частности, она непрерывна при $x = x_0$. Допустим теперь, что $x_0 = R, space R in angle.l -R, R angle.r$. Тогда, согласно второй теореме Абеля, рассматриваемый ряд сходится равномерно на отрезке $[0, R]$. Аналогичные приведенным ранее рассуждения показывают, что сумма рассматриваемого ряда непрерывна при $x = R$. Аналогичным образом рассматривается случай $x_0 = -R, space -R in angle.l -R, R angle.r$. #line(length: 100%) === Теорема об интегрировании степенного ряда Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда сумма ряда интегрируема по любому отрезку $[a, b]$ внутри множества сходимости $angle.l -R, R angle.r$, причем $ integral_a^b sum_(k = 0)^infinity a_k x^k space d x = sum_(k = 0)^infinity a_k integral_a^b x^k space d x = sum_(k = 0)^infinity a_k frac(b^(k + 1) - a^(k + 1), k + 1). $ _Доказательство_. Опираясь на теоремы и данная теорема - прямое следствие теоремы об интегрировании равномерно сходящегося ряда. #line(length: 100%) === Лемма Радиусы сходимости рядов $ sum_(k = 1)^infinity k a_k x^(k - 1), space sum_(k = 1)^infinity a_k x^k, space sum_(k = 0)^infinity a_k frac(x^(k + 1), k + 1) $ совпадают. _Доказательство_. Докажем, например, что радиусы сходимости первого и второго рядов совпадают. Так как $1 lt.eq root(k, k) arrow_(k arrow infinity) 1$, то по $epsilon gt 0$ найдется $k_0$, что $forall k gt k_0$ выполняется $ root(k, |a_k|) lt.eq root(k, k|a_k|) lt (1 + epsilon) root(k, |a_k|). $ Переходя к верхнему пределу, получим $ overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|) lt.eq overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, k |a_k|) lt.eq (1 + epsilon) overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|). $ В силу произвольности $epsilon$, $ overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|) = overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, k|a_k|), $ а значит, по теореме Коши-Адамара, радиусы сходимости одинаковы. Аналогично доказывается, что радиус сходимости третьего ряда такой же. #line(length: 100%) === Теорема о дифференцировании степенного ряда Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k, R$ - его радиус сходимости, $S$ - его сумма. Тогда $S in C^infinity(-R, R)$, причем $ S^(\(m\))(x) = sum_(k = m)^infinity k(k - 1)(k - 2) dots (k - m + 1)a_k x^(k - m), space m in NN. $ _Доказательство_. Как было доказано в предыдущей лемме, ряд, полученный формальным дифференцированием, то есть ряд $ sum_(k = 1)^infinity k a_k x^k $ имеет тот же радиус сходимости $R$, что и исходный. Пусть $x_0 in (-R, R)$. Тогда, выбрав $ delta = frac(1, 2) min(R - x_0, x_0 + R), $ получим, что $ [x_0 - delta, x_0 + delta] in (-R, R), $ а значит ряд, полученный формальным дифференцированием, сходится на этом отрезке равномерно. Так как исходный ряд сходится (хотя бы в точке $x_0 in (-R, R)$), то по теореме о дифференцировании функционального ряда заключаем, что $ S'(x_0) = sum_(k = 1)^infinity k a_k x_0^k. $ Так как $x_0$ - произвольная точка из интервала сходимости, то доказано, что $S$ дифференцируема на $(-R, R)$ и $ S'(x) = sum_(k = 1)^infinity k a_k x^k . $ Из теоремы о непрерывности суммы степенного ряда заключаем, что $S in C^1(-R, R)$. Дальнейшее доказательство проводится по индукции. #line(length: 100%) === Интегральная форма остаточного члена Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема $(n + 1)$ раз на отрезке с концами $x_0$ и $x$. Тогда $ r_n(x, x_0) = frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t. $ _Доказательство_. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и проинтегрируем по частям. Тогда, $ f(x) - f(x_0) = integral_(x_0)^x f'(t) space d t = - integral_(x_0)^x f'(t)(x - t)' space d t = $ $ = f'(x_0)(x - x_0) + integral_(x_0)^x f''(t)(x - t) space d t = f'(x_0)(x - x_0) - frac(1, 2) integral_(x_0)^x f''(t) ((x - t)^2)' space d t. $ Продолжая этот процесс, приходим к тому, что $ f(x) - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) + dots + frac(f^(\(n\))(x_0), n!)(x - x_0)^n + frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t. $ Теперь, используя первую теорему о среднем, мы без труда получим остаток в форме Лагранжа: $ r_n(x, x_0) = frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t = frac(f^(\(n + 1\))(xi), (n + 1)!)(x - x_0)^(n + 1), $ где $xi$ лежит между $x$ и $x_0$. #line(length: 100%) === Понятие ряда Тейлора Пусть функция $f$ бесконечное число раз дифференцируема в точке $x_0$. Тогда ряд $ sum_(k = 0)^infinity frac(f^(\(k\))(x_0), k!)(x - x_0)^k $ называется рядом Тейлора, порожденным в точке $x_0$ функцией $f$. В случае $x_0 = 0$ ряд Тейлора часто называется рядом Маклорена. #line(length: 100%) === Критерий представимости функции своим рядом Тейлора Для того чтобы ряд Тейлора, построенный по функции $f$, сходился к этой функции в точке $x$ необходимо и достаточно, чтобы $ r_n(x, x_0) arrow_(n arrow infinity) 0. $ _Доказательство_. Доказательство немедленно следует из представления $ f(x) = P_n(x, x_0) + r_n(x, x_0). $ #line(length: 100%) === Достаточное условие представимости функции своим рядом Тейлора Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на отрезке $I$ с концами $x_0$ и $x$. Если на этом отрезке производные функции $f$ равномерно ограничены, то есть $ |f^(\(n\))(t)| lt.eq M, space n in NN union {0}, space t in I, $ то $ r_n(x, x_0) arrow_(n arrow infinity) 0, $ то есть ряд Тейлора, построенный по функции $f$, сходится к этой функции в точке $x$. _Доказательство_. Рассмотрим остаток в форме Лагранжа. Согласно условию, $ |r_n(x, x_0)| = |frac(f^(\(n + 1\))(xi), (n + 1)!)(x - x_0)^(n + 1)| lt.eq M frac(|x - x_0|^(n + 1), (n + 1)!) arrow_(n arrow infinity) 0, $ где последнее утверждение верно в силу леммы. Последнее утверждение теоремы следует из (предыдущей) теоремы. #line(length: 100%) === Теорема единственности Пусть при $|x - x_0| lt R$ справедливо равенство $ f(x) = sum_(k = 0)^infinity a_k(x - x_0)^k. $ Тогда $ a_k = frac(f^(\(k\)) (x_0), k!), space k in NN union {0}. $ _Доказательство_. Согласно теореме о дифференцировании суммы степенного ряда, $ f^(\(m\))(x) = sum_(k = m)^infinity k(k - 1) dots (k - m + 1)a_k(x - x_0)^(k - m). $ Подставив $x = x_0$, получаем, что $ f^(\(m\))(x_0) = m dot (m - 1) dot dots dot 1 dot a_m, $ откуда $ a_m = frac(f^(\(m\))(x_0), m!). $ #line(length: 100%) === Ряд Маклорена для показательной функции $ e^x = sum_(k = 0)^infinity frac(x^k, k!), space x in RR, $ $ a^x = sum_(k = 0)^infinity frac(ln^k a, k!) x^k, space x in RR. $ _Доказательство_. Докажем, например, первое соотношение. Пусть $f(x) = e^x$. Так как $f^(\(n\))(x) = e^x$, то на отрезке с концами $0$ и $x$ выполняется неравенство $ |f^(\(n\))(t)| lt.eq e^(|x|), $ а значит утверждение следует из теоремы. Для доказательства второго соотношения заметим, что $ a^x = e^(x ln a). $ Так как $x ln a in RR$, то утверждение следует из доказанного для экспоненты. === Ряд Маклорена для синуса и косинуса $ sin x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), (2k - 1)!) space x in RR, $ $ cos x = sum_(k = 0)^infinity (-1)^k frac(x^(2k), (2k)!), space x in RR. $ _Доказательство_. Докажем, например, первое соотношение. Пусть $f(x) = sin(x)$. Так как $ f^(\(n\))(x) = sin(x + frac(pi n, 2)), $ то на отрезке с концами $0$ и $x$ выполняется неравенство $ |f^(\(n\))(t)| lt.eq 1, $ а значит утверждение следует из теоремы. Второе соотношение доказывается аналогичным образом. #line(length: 100%) === Ряд Маклорена для логарифма $ ln(1 + x) = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^k, k), space x in (-1, 1]. $ _Доказательство_. Пусть $f(x) = ln(1 + x)$. Так как $ f^(\(n\))(x) = (-1)^(n - 1) frac((n - 1)!, (x + 1)^n), $ то ограниченности, и тем более равномерной ограниченности $f^(\(n\))(x)$ на множестве $(-1, 1]$ нет. Воспользуемся остатком в форме Коши, получим $ |r_n(x, 0)| = |frac((x - xi)^n, (1 + xi)^(n + 1))||x| = frac(|x|, 1 + xi) |frac(x - xi, 1 + xi)|^n. $ Так как при $x in (-1, 1)$ $ |frac(x - xi, 1 + xi)| = frac(|x| - |xi|, 1 + xi) lt.eq frac(|x| - |xi|, 1 - |xi|) = 1 + frac(|x| - 1, 1 - |xi|) lt.eq 1 + |x| - 1 = |x|, $ то мы приходим к тому, что $ |r_n(x, 0)| lt.eq frac(|x|^(n + 1), 1 + xi) lt.eq frac(|x|^(n + 1), 1 - |x|) arrow_(n arrow infinity)^((-1, 1)) 0. $ Наконец, так как при $x = 1$ по признаку Лейбница заявленный ряд сходится, то его сумма непрерывна не только на $(-1, 1)$, но и на $(-1, 1]$, а значит заявленное разложение справедливо и при $x = 1$. #line(length: 100%) === Ряд Маклорена для арктангенса $ arctan x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), 2k - 1), space x in [-1, 1]. $ _Доказательство_. В верном равенстве $ frac(1, 1 - x) = sum_(k = 0)^infinity x^k, space x in (-1, 1) $ заменим $x$ на $-x^2$, получим $ frac(1, 1 + x^2) = sum_(k = 0)^infinity (-1)^k x^(2k), space x in (-1, 1). $ Теперь, интегрируя написанный ряд по отрезку с концами $0$ и $x$ при $x in (-1, 1)$ приходим к тому, что $ arctan x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), 2k - 1), space x in (-1, 1). $ По признаку Лейбница, ряд, написанный справа, сходится при $x = plus.minus 1$, а значит, его сумма непрерывна не только на $(-1, 1)$, но и на $[-1, 1]$. Тем самым, заявленное разложение справедливо и при $x = plus.minus 1$. #line(length: 100%) === Ряд Маклорена для бинома $ (1 + x)^alpha = 1 + sum_(k = 1)^infinity frac(alpha(alpha - 1)dots(alpha - k + 1), k!) x^k, space x in (-1, 1), space alpha in RR. $ _Доказательство_. Пусть $f(x) = (1 + x)^alpha$. Так как $ f^(\(n\))(x) = alpha(alpha - 1)dots(alpha - n + 1)(1 + x)^(alpha - n), $ то при $alpha - n lt 0$ ограниченности, и тем более равномерной ограниченности $f(\(n\))(x)$ на множестве $(-1, 1)$ нет. Воспользуемся остатком в форме Коши, получим $ |r_n (x, 0)| = frac(|alpha(alpha - 1)dots(alpha - n)|, n!)(1 + xi)^(alpha - 1)|x| |frac(x - xi, 1 + xi)|^n. $ Тогда, при $x in (-1, 1)$, так как $(1 + xi) lt 2$, аналогично доказанному при рассмотрении логарифма, $ |r_n(x, 0)| lt.eq 2^(alpha - 1) |x|^(n + 1) |alpha(frac(alpha, 1) - 1)(frac(alpha, 2) - 1)dots(frac(alpha, n) - 1)|. $ Так как при достаточно больших $n$ (момент зависит от $alpha$ и $x$) при увеличении $n$ на единицу правая часть полученного неравенства умножается на $ |frac(alpha, n + 1) - 1| |x| lt q lt 1, $ то $r_n(x, 0)$ с ростом $n$ стремится к нулю, что и доказывает утверждение. #line(length: 100%) === Ряд Маклорена для арксинуса $ arcsin x = x + sum_(k = 1)^infinity frac((2k - 1)!!, (2k)!!) frac(x^(2k + 1), 2k + 1), space x in [-1, 1]. $ _Доказательство_. Доказательство можно провести с использованием разложения бинома для функции $(1 - x^2)^frac(-1, 2)$ и последующим интегрированием полученного равенства. Остальные детали остаются читателю в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Понятие тригонометрического ряда Ряд $ frac(a_0, 2) + sum_(k = 1)^infinity a_k cos k x + b_k sin k x $ называется тригонометрическим рядом, постренным по функциям $ {1, cos k x, sin k x, space k in NN}. $ #line(length: 100%) === Лемма об ортогональности системы тригонометрических функций Пусть $k, m in NN$. Тогда справедливы следующие соотношения: $ integral_(-pi)^pi sin k x cos m x space d x = integral_(-pi)^pi 1 dot cos k x space d x = integral_(-pi)^pi 1 dot sin k x space d x = 0, $ $ integral_(-pi)^pi sin k x sin m x space d x = integral_(-pi)^pi cos k x cos m x space d x = 0, space k eq.not m, $ $ integral_(-pi)^pi sin^2 k x space d x = integral_(-pi)^pi cos^2 k x space d x = pi, space integral_(-pi)^pi 1^2 space d x = 2pi. $ _Доказательство_. Доказательство проводится прямым вычислением и остается в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Понятие тригонометрического ряда Фурье Если для функции $f$ существуют числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$, введенные выше, то ряд $ frac(a_0(f), 2) + sum_(k = 1)^infinity a_k(f) cos k x + b_k(f) sin k x $ называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$, а числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$ - коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функции $ {1, cos k x, sin k x, space k in NN}. $ #line(length: 100%) === Ряд Фурье в комплексной форме Если для функции $f$ существуют числа $c_k(f)$, введенные выше, то ряд $ sum_(k = -infinity)^infinity c_k(f) e^(i k x) $ называется рядом Фурье в комплексной форме функции $f$, а числа $c_k(f)$ - коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функций $ {e^(i k x), space k in ZZ}. $ #line(length: 100%) === Ядро Дирихле Функция $D_n(p)$ называется ядром Дирихле. #line(length: 100%) === Свойства ядра Дирихле Ядро Дирихле обладает следующими свойствами: 1. $D_n(p)$ - $2pi$ периодическая функция. 2. $D_n(p)$ - четная функция. 3. Выполнено условие нормировки: $ frac(1, 2pi) integral_(-pi)^pi D_n space d p = 1. $ _Доказательство_. Все эти свойства моментально следуют из исходного представления ядра Дирихле: $ D_n(p) = sum_(k = -n)^n e^(i k p). $ Детали остаются в качестве упражнения. #line(length: 100%) === Лемма Римана Пусть $f in R_(l o c)(a, b)$ и $ integral_a^b |f| space d x lt +infinity. $ Тогда $ integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x arrow_(|lambda| arrow +infinity) 0, space lambda in RR. $ _Доказательство_. Для начала заметим, что если $f(x) = c$ - некоторая константа и $(a, b)$ - ограниченный промежуток, то $ integral_a^b c e^(i lambda x) space d x = c (integral_a^b cos lambda x space d x + i integral_a^b sin lambda x space d x) = $ $ = c(frac(sin lambda b - sin lambda a, lambda) - i frac(cos lambda b - cos lambda a, lambda)) arrow_(|lambda| arrow +infinity) 0, $ и утверждение теоремы выполнено. Сведем общий случай к данному. Для начала покажем, что $forall epsilon gt 0$ найдется отрезок $[delta_1, delta_2] subset [a, b]$, что $ |integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x| lt epsilon space forall lambda in RR. $ Согласно условию (об абсолютной сходимости интеграла), можно найти числа $delta_1$ и $delta_2$, что $delta_1 lt delta_2$ и $ integral_a^(delta_1) |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2), space integral_(delta_2)^b |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2), $ Далее, для найденных $delta_1$ и $delta_2$, $ |integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x| = |integral_a^(delta_1) f(x) e^(i lambda x) space d x + integral_(delta_2)^b f(x) e^(i lambda x) space d x| lt.eq $ $ lt.eq integral_a^(delta_1) |f(x)||e^(i lambda x)| space d x + integral_(delta_2)^b |f(x)||e^(i lambda x)| space d x = integral_a^(delta_1) |f(x)| space d x + integral_(delta_2)^b |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. $ Так как $f in R[delta_1, delta_2]$, то существует разбиение $tau$ отрезка $[delta_1, delta_2]$ на отрезки $Delta_i, space i in {1, space, n}$, что $ 0 lt.eq integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x - sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i lt epsilon, $ где $ s_tau(f) = sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i $ \- нижняя сумма Дарбу. Пусть $g(x) = m_i$ при $x in Delta_i$ (на общих концах отрезков значения $g$ можно брать любыми), тогда $ 0 lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x| = |integral_(delta_1)^(delta_2) (f(x) - g(x)) e^(i lambda x) space d x| lt.eq $ $ lt.eq integral_(delta_1)^(delta_2) |f(x) - g(x)||e^(i lambda x)| space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) (f - g) space d x, $ так как $f(x) gt.eq g(x)$. Последний интеграл, в свою очередь, может быть переписан так: $ integral_(delta_1)^(delta_2) (f(x) - g(x)) space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) space d x - s_tau(f) lt epsilon. $ Итого, $ 0 lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x| lt epsilon. $ Осталось заметить, что $ lim_(|lambda| arrow +infinity) integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x = lim_(|lambda| arrow +infinity) sum_(i = 1)^n integral_(x_(i - 1))^(x_i) m_i e^(i lambda x) space d x = 0, $ где последнее равенство верно в силу того, что слагаемых конечное число, и каждое слагаемое стремится к нулю по доказанному в самом начале. В силу произвольности $epsilon$, лемма Римана полностью доказана. #line(length: 100%) === Лемма Пусть функция $f$ является $2pi$-периодической на $RR$. Тогда $ T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t. $ _Доказательство_. Вспомним, что $ T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_(-pi)^pi f(t) D_n(x - t) space d t. $ Сделаем замену переменной $p = x - t$ и учтем, что, согласно условию и свойствам ядра Дирихле, подытнегральная функция является $2pi$-периодической. Тогда $ T_n(x) = frac(1, 2n) integral_(x - pi)^(x + pi) f(x - p) D_n(p) space d p = frac(1, 2 pi) integral_(-pi)^pi f(x - p) D_n(p) space d p. $ Так как ядро Дирихле является четным, то $ T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - p) + f(x + p)) D_n(p) space d p, $ что и доказывает лемму. #line(length: 100%) === Условия Дини Говорят, что функция $f : accent(U, circle.tiny) (x) arrow RR$ удовлетворяет в точке $x in RR$ условиям Дини, если: 1. Существуют односторонние пределы $f(x plus.minus 0)$ функции $f$ в точке $x$. 2. Интегралы $ integral_0^delta |frac(f(x - t) - f(x - 0), t)|space d t, "и" integral_0^delta |frac(f(x + t) - f(x + 0), t)| space d t $ сходятся при некотором $delta gt 0$. #line(length: 100%) === Достаточное условие сходимости ряда Фурье Пусть $f - 2pi$-периодическая на $RR$ функция, причем $|f| in R[-pi, pi]$. Если функция $f$ удовлетворяет в точке $x in RR$ условиям Дини, то $ sum_(k = -infinity)^infinity c_k(f) e^(i k x) = frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2). $ _Доказательство_. Так как $ T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t, $ и так как $ integral_0^pi D_n(t) space d t = pi, $ то $ T_n(x) - frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2) = $ $ = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t - frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x + 0) + f(x - 0)) D_n(t) space d t = $ $ = frac(1, 2pi) integral_0^pi frac(f(x - t) - f(x - 0) + f(x + t) - f(x + 0), sin(frac(t, 2))) sin(n + frac(1, 2)) t space d t. $ Так как $sin(frac(t, 2)) tilde frac(t, 2)$ при $t arrow 0+$, то, согласно условиям Дини, интегралы $ integral_0^pi |frac(f(x - t) - f(x - 0), sin(frac(t, 2)))| space d t " и " integral_0^pi |frac(f(x + t) - f(x + 0), sin(frac(t, 2)))| space d t $ сходятся, а значит мы попадаем в условия леммы Римана. Тем самым, $ lim_(n arrow infinity) T_n(x) = frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2). $ #line(length: 100%) === Понятие кусочно-непрерывно дифференцируемой функции Функцию $f$, имеющую на отрезке $[a, b]$ кусочно-непрерывную производную, назовем кусочно-непрерывно дифференцируемой. Кусочно-непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяет условиям Дини. #line(length: 100%)