#set text(font: "Maple Mono", size: 1em)
#set math.cases()

=== Задача 1. Плывущий против течения теплоход, встречает сплавляемые по реке плоты. Через 45 минут после этого он причаливает к берегу, стоянка длится 45 минут. После этого теплоход начинает двигаться по течению и через 1 час догоняет плоты. Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч. Вычислите скорость течения реки. (в м/c)

\
*Решение:*

Рассмотрим движение от момента первой встречи:

+ За 45 мин (0,75 ч) движения против течения теплоход прошел расстояние: $S_1 = (20 - v) dot 0.75 #text("км")$

+ За это же время плоты проплыли: $S_2 = v dot 0.75 #text("км")$

+ Во время стоянки теплохода (45 мин = 0,75 ч) плоты продолжали движение: $S_3 = v dot 0.75 #text("км")$

+ После стоянки теплоход движется по течению 1 час до встречи с плотами:
   - За этот час теплоход прошел: $S_4 = (20 + v) dot 1 #text("км")$
   - За этот час плоты прошли: $S_5 = v dot 1 #text("км")$

Относительно точки первой встречи:
- Плоты прошли общее расстояние: $S_2 + S_3 + S_5 = 0.75 v + 0.75 v + v = 2.5v #text("км")$
- Теплоход сначала прошел против течения $S_1$, затем вернулся и прошел по течению $S_4$

Расстояние от точки первой встречи до точки второй встречи для теплохода: $-S_1 + S_4 = -(20 - v) dot 0.75 + (20 + v) dot 1 = -15 + 0.75 v + 20 + v = 5 + 1.75v #text("км")$

Приравниваем расстояния:
#align(center)[$2.5 v = 5 + 1.75 v$]
#align(center)[$2.5 v - 1.75 v = 5$]
#align(center)[$0.75 v = 5$]
#align(center)[$v = frac(5, 0.75) = frac(20, 3) #text("км/ч")$]

Переводим в м/с:
$v = frac(20, 3) #text("км/ч") = frac(20, 3) dot frac(1000, 3600) #text("м/с") = frac(20000, 3 dot 3600) #text("м/с") = frac(20000, 10800) #text("м/с") = frac(50, 27) #text("м/с") approx 1.85 #text("м/с")$

*Ответ:* $1.85 #text("м/с")$.

#line(length: 100%)

=== Задача 2. Двое туристов, обладающих одним одноместным велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Велосипед можно оставлять на трассе. Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода равна 4 км/ч, а велосипедиста - 20 км/ч. Постройте график движения туристов.

\
*Решение:*

Пусть:
- $S$ - общее расстояние до базы
- $x$ - расстояние, которое первый турист проехал на велосипеде
- $v_1 = 4 #text("км/ч")$ - скорость пешехода
- $v_2 = 20 #text("км/ч")$ - скорость велосипедиста

Для оптимального решения оба туриста должны прибыть одновременно:

Турист A: едет на велосипеде расстояние x, затем идет пешком (S-x)
Время A: $t_A = frac(x, 20) + frac(S-x, 4)$

Турист B: идет пешком расстояние x, затем едет на велосипеде (S-x)  
Время B: $t_B = frac(x, 4) + frac(S-x, 20)$

Приравниваем времена: $t_A = t_B$
#align(center)[$frac(x, 20) + frac(S-x, 4) = frac(x, 4) + frac(S-x, 20)$]

Решаем уравнение:
#align(center)[$frac(x, 20) + frac(S, 4) - frac(x, 4) = frac(x, 4) + frac(S, 20) - frac(x, 20)$]
#align(center)[$frac(S, 4) - frac(S, 20) = frac(x, 4) - frac(x, 20) + frac(x, 4) - frac(x, 20)$]
#align(center)[$S(frac(1, 4) - frac(1, 20)) = x(frac(2, 4) - frac(2, 20))$]
#align(center)[$frac(S(5-1), 20) = frac(x(10-2), 20)$]
#align(center)[$frac(S dot 4, 20) = frac(x dot 8, 20)$]
#align(center)[$frac(S, 5) = frac(x dot 2, 5)$]
#align(center)[$x = frac(S, 2)$]

Значит, каждый турист проходит половину пути на велосипеде и половину пешком.

Общее время: $t = frac(frac(S, 2), 20) + frac(frac(S, 2),4) = frac(S, 40) + frac(S, 8) = frac(S(1+5), 40) = frac(6S, 40) = frac(3S, 20)$

Средняя скорость: $v_#text("ср") = frac(S, t) = frac(S, frac(3S, 20)) = 20/3 approx 6.67 #text("км/ч")$

#image("graphs/2.png")

#line(length: 100%)

=== Задача 3. Камень брошен со склона горы с начальной скоростью $v_0$, направленной под углом $alpha$ к склону горы, составляющего угол $beta$ с горизонтом. На каком расстоянии от точки бросания $l$ упадет камень? Решите эту задачу координатным способом, a) ось Ox - горизонтальна; b) ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости


#align(center)[#image("graphs/a.png")]

a) Ось Ox - горизонтальна

Система координат:
- Начало координат в точке броска
- Ось Ox направлена горизонтально
- Ось Oy направлена вертикально вверх

Начальные условия:
- $x_0 = 0$, $y_0 = 0$
- $v_(0x) = v_0 cos(alpha + beta)$
- $v_(0y) = v_0 sin(alpha + beta)$

Уравнения движения:
#align(center)[$x(t) = v_0 cos(alpha + beta) dot t$]
#align(center)[$y(t) = v_0 sin(alpha + beta) dot t - frac(g dot t^2, 2)$]

Условие падения на склон:
Камень падает на склон, когда его координаты удовлетворяют уравнению склона:
$y = -x tan beta$

Подставляем уравнения движения:
#align(center)[$v_0 sin(alpha + beta) dot t - frac(g dot t^2, 2) = -v_0 cos(alpha + beta) dot t dot tan beta$]

Решение уравнения:
#align(center)[$v_0 sin(alpha + beta) dot t - frac(g dot t^2, 2) = -v_0 cos(alpha + beta) dot t dot frac(sin beta, cos beta)$]

#align(center)[$v_0 t[sin(alpha + beta) + cos(alpha + beta) tan beta] = frac(g dot t^2, 2)$]

При $t eq.not 0$:
#align(center)[$v_0[sin(alpha + beta) + cos(alpha + beta) tan beta] = frac(gt, 2)$]

#align(center)[$t = frac(2 v_0, g)[sin(alpha + beta) + cos(alpha + beta) tan beta]$]

Упрощение выражения в скобках:
#align(center)[$sin(alpha + beta) + cos(alpha + beta) tan beta = sin(alpha + beta) + cos(alpha + beta) frac(sin beta, cos beta)$]

#align(center)[$= frac(sin(alpha + beta)cos beta + cos(alpha + beta)sin beta, cos beta)$]

#align(center)[$= frac(sin(alpha + beta + beta), cos beta) = frac(sin(alpha + 2 beta), cos beta)$]

Время полета:
#align(center)[$t = frac(2v_0 sin(alpha + 2 beta), g cos beta)$]

Расстояние от точки броска:
#align(center)[$l = sqrt(x^2 + y^2)$]

где:
#align(center)[$x = v_0 cos(alpha + beta) dot t = frac(2v_0^2 cos(alpha + beta) sin(alpha + 2 beta), g cos beta)$]

#align(center)[$y = -x tan beta = -frac(2v_0^2 cos(alpha + beta) sin(alpha + 2 beta) tan beta, g cos beta)$]

#align(center)[$l = |x| sqrt(1 + tan^2 beta) = frac(|x|, cos beta)$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 cos(alpha + beta) sin(alpha + 2 beta), g cos^2 beta)$]



b) Ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости

Система координат:
- Начало координат в точке броска
- Ось Ox направлена вниз по склону
- Ось Oy направлена перпендикулярно склону вверх

Начальные условия:
- $x_0 = 0$, $y_0 = 0$
- $v_(0x) = v_0 cos alpha$
- $v_(0y) = v_0 sin alpha$

Ускорения в новой системе координат:
- $a_x = g sin beta$ (составляющая g вдоль склона)
- $a_y = -g cos beta$ (составляющая g перпендикулярно склону)

Уравнения движения:
#align(center)[$x(t) = v_0 cos alpha dot t + frac(g sin beta dot t^2, 2)$]
#align(center)[$y(t) = v_0 sin alpha dot t - frac(g cos beta dot t^2, 2)$]

Условие падения на склон:
Камень падает на склон, когда $y = 0$:
#align(center)[$v_0 sin alpha dot t - frac(g cos beta dot t^2, 2) = 0$]

При $t eq.not 0$:
#align(center)[$v_0 sin alpha = frac(g cos beta dot t, 2)$]

Время полета:
#align(center)[$t = frac(2v_0 sin alpha, g cos beta)$]

Расстояние вдоль склона:
#align(center)[$l = x(t) = v_0 cos alpha dot t + frac(g sin beta dot t^2, 2)$]

Подставляем время:
#align(center)[$l = v_0 cos alpha dot frac(2v_0 sin alpha, g cos beta) + frac(g sin beta, 2) dot (frac(2v_0 sin alpha, g cos beta))^2$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha cos alpha, g cos beta) + frac(g sin beta, 2) dot frac(4v_0^2 sin^2 alpha, g^2 cos^2 beta)$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha cos alpha, g cos beta) + frac(2v_0^2 sin^2 alpha sin beta, g cos^2 beta)$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha, g cos beta) [cos alpha + frac(sin alpha sin beta, cos beta)]$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha, g cos beta) [cos alpha + sin alpha tan beta]$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha, g cos beta) dot frac(cos alpha cos beta + sin alpha sin beta, cos beta)$]

#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha cos(alpha - beta), g cos^2 beta)$]


*Ответ:*

a) При горизонтальной оси Ox:
#align(center)[$l = frac(2v_0^2 cos(alpha + beta) sin(alpha + 2 beta), g cos^2 beta)$]

b) При оси Ox вдоль склона:
#align(center)[$l = frac(2v_0^2 sin alpha cos(alpha - beta), g cos^2 beta)$]

#line(length: 100%)

=== Задача 4. Мячик падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, составляющую угол $alpha$ с горизонтом, и абсолютно упруго отскакивает от неё. Найдите расстояние между первыми четырьмя точками, где мячик ударится о плоскость. Найдите максимальное удаление $l$ мячика от плоскости после первого удара. Найдите максимальное расстояние по вертикали от плоскости до траектории мячика между двумя первыми ударами.

\
*Решение:*

- Начало координат в точке первого удара
- Ось $#text("Ox")$ направлена горизонтально вправо
- Ось $#text("Oy")$ направлена вертикально вверх

Скорость перед первым ударом:
Мячик падает с высоты $h$, поэтому:
$v_0 = sqrt(2 g h)$ (направлена вертикально вниз)

Компоненты скорости перед ударом:
- Нормальная к плоскости: $v_n = v_0 cos alpha = sqrt(2 g h) cos alpha$
- Тангенциальная к плоскости: $v_t = v_0  sin alpha = sqrt(2 g h) sin alpha$

Скорость после упругого отскока:
При упругом ударе:
- Нормальная компонента меняет знак: $v_n' = -v_n = -sqrt(2 g h) cos alpha$
- Тангенциальная компонента не меняется: $v_t' = v_t = sqrt(2 g h) sin alpha$

Компоненты скорости после отскока в координатах $(x,y)$:
#align(center)[$v_(0x) = v_t' cos alpha - v_n' sin alpha = sqrt(2 g h)(sin alpha cos alpha + cos alpha sin alpha) = sqrt(2 g h) sin(2 alpha)$]

#align(center)[$v_(0y) = v_t' sin alpha + v_n' cos alpha = sqrt(2 g h)( sin^2 alpha - cos^2 alpha) = -sqrt(2 g h) cos(2 alpha)$]

Движение между первым и вторым ударами

Уравнения движения:
#align(center)[$x(t) = v_(0x) t = sqrt(2 g h) sin(2 alpha) dot t$]
#align(center)[$y(t) = v_(0y) t - frac(g dot t^2, 2) = -sqrt(2 g h) cos(2 alpha) dot t - frac(g dot t^2, 2)$]

Время до второго удара:
Второй удар происходит, когда мячик снова касается плоскости:
#align(center)[$y = -x tan alpha$]

Подставляем уравнения движения:
#align(center)[$-sqrt(2 g h) cos(2 alpha) dot t - frac(g dot t^2, 2) = -sqrt(2 g h) sin(2 alpha) dot t dot tan alpha$]

#align(center)[$-sqrt(2 g h) cos(2 alpha) dot t - frac(g dot t^2, 2) = -sqrt(2 g h) sin(2 alpha) dot t dot frac(sin alpha, cos alpha)$]

#align(center)[$-sqrt(2 g h) cos(2 alpha) + sqrt(2 g h) sin(2 alpha) frac(sin alpha, cos alpha) = frac(g t, 2)$]

#align(center)[$sqrt(2 g h) [frac(sin(2 alpha) sin alpha, cos alpha) - cos(2 alpha)] = frac(g t, 2)$]

Используя $sin(2 alpha) = 2 sin alpha cos alpha$:
#align(center)[$sqrt(2 g h)[2 sin^2 alpha - cos(2 alpha)] = frac(g t, 2)$]

#align(center)[$sqrt(2 g h) [2 sin^2 alpha - ( cos^2 alpha -  sin^2 alpha)] = frac(g t, 2)$]

#align(center)[$sqrt(2 g h) [3 sin^2 alpha - cos^2 alpha] = frac(g t, 2)$]

#align(center)[$sqrt(2 g h) [3 sin^2 alpha - (1- sin^2 alpha)] = frac(g t, 2)$]

#align(center)[$sqrt(2 g h)(4 sin^2 alpha - 1) = frac(g t, 2)$]

Время полёта между ударами:
#align(center)[$t_1 = frac(2 sqrt(2 g h)(4 sin^2 alpha - 1), g) = 2 sqrt(frac(2h, g))(4 sin^2 alpha - 1)$]


Расстояния между точками ударов

Расстояние между первым и вторым ударами:
#align(center)[$L_1 = frac(x(t_1), cos alpha) = frac(sqrt(2 g h) sin(2 alpha) dot t_1, cos alpha)$]

#align(center)[$L_1 = frac(4h sin(2 alpha)(4 sin^2 alpha - 1), cos alpha)$]

#align(center)[$L_1 = 8h sin alpha (4 sin^2 alpha - 1)$]

Коэффициент уменьшения после каждого удара:
После каждого упругого удара о наклонную плоскость энергия уменьшается в отношении:
#align(center)[$k = cos^2(2 alpha)$]

Расстояния между последующими ударами:
#align(center)[$L_2 = L_1 dot k = 8h sin alpha (4 sin^2 alpha - 1) cos^2(2 alpha)$]

#align(center)[$L_3 = L_1 dot k^2 = 8h sin alpha (4 sin^2 alpha - 1) cos^4(2 alpha)$]


Максимальное удаление от плоскости после первого удара

Расстояние по нормали к плоскости:
Максимальное удаление достигается в момент $t_(max)$, когда проекция скорости на нормаль к плоскости равна нулю.

Компонента скорости по нормали к плоскости:
#align(center)[$v_n(t) = -v_{0y} sin alpha - v_{0x} cos alpha - g t sin alpha$]

#align(center)[$v_n(t) = sqrt(2 g h) cos(2 alpha) sin alpha - sqrt(2 g h) sin(2 alpha) cos alpha - g t sin alpha$]

#align(center)[$v_n(t) = sqrt(2 g h)[ cos(2 alpha) sin alpha -  sin(2 alpha) cos alpha] - g t sin alpha$]

#align(center)[$v_n(t) = -sqrt(2 g h) sin(2 alpha + alpha) - g t sin alpha = -sqrt(2 g h) sin(3 alpha) - g t sin alpha$]

При $v_n(t_(max)) = 0$:
#align(center)[$t_(max) = frac(sqrt(2 g h) sin(3 alpha), g sin alpha) = sqrt( frac(2h, g)) frac( sin(3 alpha), sin alpha)$]

Максимальное удаление:
#align(center)[$l = frac(y(t_(max)) sin alpha - x(t_(max)) cos alpha,  sin alpha  cos alpha +  cos alpha  sin alpha) = frac(y(t_(max)) sin alpha - x(t_(max)) cos alpha,  sin(2 alpha))$]

После вычислений:
#align(center)[$l = frac(h sin^2(3 alpha), 2 sin^2 alpha)$]


Максимальное расстояние по вертикали от плоскости

Максимальная высота траектории:
Максимум функции $y(t) + x(t) tan alpha$ достигается при:
#align(center)[$ frac(d, d t)[y(t) + x(t) tan alpha] = 0$]

#align(center)[$v_(0y) - g t + v_(0x) tan alpha = 0$]

#align(center)[$t_(h_(max)) = frac(v_(0y) + v_(0x) tan alpha, g) = frac( sqrt(2 g h)[-cos(2 alpha) + sin(2 alpha) tan alpha], g)$]

#align(center)[$t_(h_(max)) = sqrt(frac(2h, g)) frac(sin(2 alpha) tan alpha - cos(2 alpha), 1)$]

Максимальная вертикальная высота над плоскостью:
#align(center)[$h_(max) = frac(h sin^2(2 alpha), 2 cos^2 alpha)$]


*Ответы:*

+ Расстояния между четырьмя первыми точками ударов:
   - $L_1 = 8h sin alpha (4 sin^2 alpha - 1)$
   - $L_2 = L_1 cos^2(2 alpha)$
   - $L_3 = L_1 cos^4(2 alpha)$

+ Максимальное удаление от плоскости после первого удара:
#align(center)[$l = frac(h sin^2(3 alpha), 2 sin^2 alpha)$]

+ Максимальное вертикальное расстояние от плоскости:
#align(center)[$h_(max) = frac(h sin^2(2 alpha), 2 cos^2 alpha)$]

#image("graphs/4.png")

#line(length: 100%)

=== Задача 5. Из точки, находящейся на расстоянии $L$ от стенки высотой $H$, необходимо бросить мяч, чтобы он перелетел через стену. Найдите минимальную скорость мяча, при которой это возможно. Под каким углом к горизонту она должна быть направлена?
\
*Решение:*
- Начало координат в точке броска
- Ось $x$ направлена горизонтально к стене
- Ось $y$ направлена вертикально вверх

Уравнения движения:
#align(center)[$x(t) = v_0 cos alpha dot t$]
#align(center)[$y(t) = v_0 sin alpha dot t - frac(g t^2, 2)$]

Условие перелета через стену:
В момент времени $t_L$, когда мяч находится над стеной ($x = L$):
#align(center)[$t_L = frac(L, v_0  cos alpha)$]

Высота мяча в этот момент должна быть не менее $H$:
#align(center)[$y(t_L) = v_0 sin alpha dot frac(L, v_0 cos alpha) - frac(g, 2) (frac(L, v_0 cos alpha))^2 gt.eq H$]

#align(center)[$L tan alpha - frac(g L^2, 2v_0^2 cos^2 alpha) gt.eq H$]



Для минимальной скорости траектория должна касаться верхнего края стены:
#align(center)[$L tan alpha - frac(g L^2, 2v_0^2 cos^2 alpha) = H$]

Выражаем $v_0^2$:
#align(center)[$frac(g L^2, 2v_0^2 cos^2 alpha) = L tan alpha - H$]

#align(center)[$v_0^2 = frac(g L^2, 2 cos^2 alpha(L tan alpha - H)) = frac(g L^2, 2( cos alpha)(L  sin alpha - H  cos alpha))$]

#align(center)[$v_0^2 = frac(g L, 2(L sin alpha - H cos alpha) cos alpha)$]

Для минимизации $v_0^2$ нужно максимизировать знаменатель:
#align(center)[$f(alpha) = (L sin alpha - H cos alpha) cos alpha$]

#align(center)[$f(alpha) = L sin alpha cos alpha - H cos^2 alpha$]

Находим производную:
#align(center)[$f'(alpha) = L(cos^2 alpha - sin^2 alpha) - H(-2 cos alpha sin alpha)$]

#align(center)[$f'(alpha) = L cos(2 alpha) + 2H sin alpha cos alpha$]

#align(center)[$f'(alpha) = L cos(2 alpha) + H sin(2 alpha)$]

Условие экстремума:
#align(center)[$f'(alpha) = 0$]
#align(center)[$L cos(2 alpha) + H sin(2 alpha) = 0$]
#align(center)[$tan(2 alpha) = -frac(L, H)$]

Решение для угла:
#align(center)[$2 alpha = arctan(-frac(L, H)) + pi$]

#align(center)[$alpha = frac(pi, 2) + frac(1, 2) arctan(-frac(L, H))$]

Или более удобная форма:
#align(center)[$alpha = frac(pi, 2) - frac(1, 2) arctan(frac(L, H))$]

Используя тригонометрические тождества:
#align(center)[$ tan alpha = frac(L + sqrt(L^2 + H^2), H)$]

При оптимальном угле:
#align(center)[$ sin alpha = frac(L + sqrt(L^2 + H^2), sqrt(2(L^2 + H^2 + L sqrt(L^2 + H^2))))$]

#align(center)[$cos alpha = frac(H, sqrt(2(L^2 + H^2 + L sqrt(L^2 + H^2))))$]

После подстановки и упрощения получаем:

#align(center)[$v_0^2 = frac(g(L^2 + H^2 + L sqrt(L^2 + H^2)), L)$]

Минимальная скорость:
#align(center)[$v_(0min) = sqrt(frac(g(L^2 + H^2 + L sqrt(L^2 + H^2)), L))$]

Оптимальный угол:
#align(center)[$ tan alpha_(#text("opt")) = frac(L + sqrt(L^2 + H^2), H)$]

Используя геометрические соотношения:
Если ввести $R = sqrt(L^2 + H^2)$ (расстояние до верхнего края стены), то:

#align(center)[$v_(0min) = sqrt(g dot frac(R + L, L) dot R) = sqrt(g R (1 + frac(L, R)))$]

#align(center)[$tan alpha_(#text("opt")) = frac(L + R, H)$]

Предельные случаи:

+ При $H arrow 0$ (стена исчезает):
   - $alpha arrow 45°$ 
   - $v_0 arrow sqrt(g L)$ (минимум для максимальной дальности)

+ При $L arrow 0$ (стена прямо перед нами):
   - $ alpha arrow 90°$
   - $v_0 arrow sqrt(2 g H)$ (скорость для подъема на высоту $H$)

+ При $H gt.double L$:
   - $ alpha  approx 90°$
   - $v_0 approx sqrt(2 g H)$

*Ответы:*

Минимальная скорость:
#align(center)[$v_(0min) = sqrt(frac(g(L^2 + H^2 + L sqrt(L^2 + H^2)), L))$]

Оптимальный угол броска:
#align(center)[$ tan alpha_(#text("opt")) = frac(L + sqrt(L^2 + H^2), H)$]

или

#align(center)[$alpha_(#text("opt")) = frac(pi, 2) - frac(1, 2) arctan(frac(L, H))$]

#image("graphs/5.png")

#line(length: 100%)

=== Задача 6. Пикирующий бомбардировщик сбрасывает бомбу с высоты $H$, находясь на расстоянии $L$ от цели. Скорость бомбардировщика равна $v$. Под каким углом к горизонту он должен пикировать?

\
*Решение:*

Установим систему координат с началом в точке цели. Бомбардировщик находится в точке с координатами $(-L, H)$.

Разложим скорость бомбардировщика на компоненты:
- $v_x = v cos alpha$ (горизонтальная составляющая)
- $v_y = -v sin alpha$ (вертикальная составляющая, отрицательная при пикировании)

Бомба получает начальную скорость, равную скорости самолета в момент сброса.

Уравнения движения бомбы:
- $x(t) = -L + v_x dot t = -L + v cos alpha dot t$
- $y(t) = H + v_y dot t - frac(1, 2) dot g dot t^2 = H - v sin alpha dot t - frac(1, 2) dot g dot t^2$

Бомба попадает в цель при $x = 0$ и $y = 0$.

Из условия $x(T) = 0$:
#align(center)[$-L + v cos alpha dot T = 0$]
#align(center)[$T = frac(L, v cos alpha)$]

Из условия $y(T) = 0$:
#align(center)[$H - v sin alpha dot T - frac(1, 2) dot g dot T^2 = 0$]

Подставляем выражение для $T$:
#align(center)[$H - v sin alpha dot frac(L, v cos alpha) - frac(1, 2) dot g dot frac(L^2, v^2 cos^2 alpha) = 0$]

#align(center)[$H - L tan alpha - g dot frac(L^2, 2 dot v^2 cos^2 alpha) = 0$]

Умножаем на $cos^2 alpha$:
#align(center)[$H cos^2 alpha - L sin alpha cos alpha - g dot frac(L^2, (2v^2)) = 0$]

Используя $cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha$ и $sin alpha cos alpha = sin alpha sqrt(1 - sin^2 alpha)$:

#align(center)[$H(1 - sin^2 alpha) - L sin alpha sqrt(1 - sin^2 alpha) - g dot frac(L^2, 2 dot v^2) = 0$]

Обозначим $sin alpha = s$, тогда:
#align(center)[$H(1 - s^2) - L dot s dot sqrt(1 - s^2) - g dot frac(L^2, 2 dot v^2) = 0$]

Из уравнения $H - L tan alpha - g dot frac(L^2, 2 dot v^2 cos^2 alpha) = 0$

Умножаем на $cos^2 alpha$ и используем $sec^2 alpha = 1 + tan^2 alpha$:
#align(center)[$H cos^2 alpha - L tan alpha cos^2 alpha - g dot frac(L^2, 2 dot v^2) = 0$]
#align(center)[$H - L tan alpha - g dot frac(L^2(1 + tan^2 alpha), 2 dot v^2) = 0$]

Обозначим $tan alpha = t$:
#align(center)[$H - L dot t - g dot frac(L^2(1 + t^2), 2 dot v^2) = 0$]

Умножаем на $2 dot v^2$:
#align(center)[$2 dot v^2 dot H - 2 dot v^2 dot L dot t - g dot L^2(1 + t^2) = 0$]
#align(center)[$g dot L^2 dot t^2 + 2 dot v^2 dot L dot t + g dot L^2 - 2 dot v^2 dot H = 0$]

Это квадратное уравнение относительно t = tan α:
#align(center)[$tan alpha = frac(-2 dot v^2 dot L plus.minus sqrt(4 dot v^4 dot L^2 - 4 dot g dot L^2 (g dot L^2 - 2 dot v^2 dot H)), 2 dot g dot L^2)$]

#align(center)[$tan alpha = frac(-v^2 dot L plus.minus sqrt(v^4 dot L^2 - g dot L^2(g dot L^2 - 2 dot v^2 dot H)), g dot L^2)$]

Упрощая подкоренное выражение:
#align(center)[$tan alpha = frac(-v^2 L plus.minus sqrt(v^4 dot L^2 - g^2 dot L^4 + 2 dot g dot v^2 dot H dot L^2), g dot L^2)$]

#align(center)[$tan alpha = frac(-v^2 dot L plus.minus L sqrt(v^4 - g^2 dot L^2 + 2 dot g dot v^2 dot H), g dot L^2)$]

#align(center)[$tan alpha = frac(-v^2 plus.minus sqrt(v^4 - g^2 dot L^2 + 2 dot g dot v^2 dot H), g dot L)$]

Поскольку самолет пикирует ($alpha gt 0$), выбираем положительное значение:

*Ответ:* $alpha = arctan(frac(-v^2 + sqrt(v^4 - g^2 L^2 + 2 g v^2 H), g L))$

#line(length: 100%)

=== Задача 7. Камень брошен с поверхности земли со скоростью $V_0$ под углом $alpha$ к горизонту. В какой момент времени камень будет иметь максимальное нормальное ускорение? Вычислите его. Определите нормальное ускорение и тангенциальное ускорение камня в момент, когда он поднимается на половину максимальной высоты? Вычислите радиус его траектории в этот момент времени. 

\
Решение:

Компоненты начальной скорости:
- $V_(0x) = V_0 cos alpha$ (постоянная)
- $V_(0y) = V_0 sin alpha$

Компоненты скорости в момент времени t:
- $v_x(t) = V_0 cos alpha$
- $v_y(t) = V_0 sin alpha - g t$

#align(center)[$v(t) = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt((V_0 cos alpha)^2 + (V_0 sin alpha - g dot t)^2)$]

#align(center)[$v(t) = sqrt(V_0^2 cos^2 alpha + V_0^2 sin^2 alpha - 2 dot V_0 dot g dot t sin alpha + g^2 dot t^2)$]

#align(center)[$v(t) = sqrt(V_0^2 - 2 dot V_0 dot g dot t sin alpha + g^2 dot t^2)$]

Полное ускорение камня: $a = g$ (направлено вертикально вниз)

Тангенциальное ускорение: $a_t = frac(d v, d t)$

Найдем производную скорости:
#align(center)[$frac(d v, d t) = frac(d, d t) dot sqrt(V_0^2 - 2V_0 dot g dot t sin alpha + g^2 dot t^2)$]

#align(center)[$frac(d v, d t) = frac(-2V_0 dot g sin alpha + 2g^2 t,  2 sqrt(V_0^2 - 2V_0 g dot t sin alpha + g^2 dot t^2))$]

#align(center)[$frac(d v, d t) = frac(g(-V_0 sin alpha + g t), sqrt(V_0^2 - 2V_0 dot g dot t sin alpha + g^2 dot t^2))$]

Нормальное ускорение: $a_n = sqrt(a^2 - a_t^2)$

Поскольку $a = g$, то:
#align(center)[$a_n^2 = g^2 - a_t^2$]

#align(center)[$a_n^2 = g^2 - frac(g^2(-V_0 sin alpha + g t)^2, V_0^2 - 2V_0 dot g t sin alpha + g^2 dot t^2)$]

#align(center)[$a_n^2 = g^2 [1 - frac((-V_0 sin alpha + g dot t)^2 , V_0^2 - 2V_0 g dot t sin alpha + g^2 dot t^2)]$]

#align(center)[$a_n^2 = g^2 frac((V_0^2 - 2V_0 g t sin alpha + g^2 t^2) - (-V_0 sin alpha + g t)^2 , V_0^2 - 2 V_0 g t sin alpha + g^2 t^2)$]

Упрощая числитель:
#align(center)[$(V_0^2 - 2V_0 dot g dot t sin alpha + g^2 t^2) - (V_0^2 sin^2 alpha - 2V_0 g t sin alpha + g^2 t^2) = V_0^2(1 - sin^2 alpha) = V_0^2 cos^2 alpha$]

Поэтому:
#align(center)[$a_n = frac(g dot V_0 cos alpha , sqrt(V_0^2 - 2 dot V_0 dot g t sin alpha + g^2 t^2))$]

Максимальное нормальное ускорение достигается при минимуме знаменателя.

Находим минимум $v^2(t) = V_0^2 - 2 V_0 g t sin alpha + g^2 t^2$:
#align(center)[$frac(d, d t(v^2)) = -2 V_0 g sin alpha + 2 g^2 t = 0$]

#align(center)[$t_(max) = V_0 sin frac(alpha , g)$ (время достижения максимальной высоты)]

В этот момент:
#align(center)[$v^2_(min) = V_0^2 - 2 V_0 g(V_0 sin frac(alpha , g)) sin alpha + g^2(V_0 sin frac(alpha , g))^2$]
#align(center)[$v^2_(min) = V_0^2 - 2V_0^2 sin^2 alpha + V_0^2 sin^2 alpha = V_0^2(1 - sin^2 alpha) = V_0^2 cos^2 alpha$]

Максимальное нормальное ускорение:
#align(center)[$a_n_(max) = g dot V_0 cos frac(alpha , V_0 cos alpha) = g$]

Момент времени: $t = V₀ sin frac(alpha , g)$

Максимальная высота: $H_(max) = V_0^2 sin^2 frac(alpha , 2g)$

На половине максимальной высоты: $h = H_(frac(max, 2)) = V_0^2 sin^2 frac(alpha , 4g)$

Уравнение движения по вертикали:
#align(center)[$y = V_0 dot t sin alpha - frac(g dot t², 2)$]

Для $h = V_0^2 sin^2 frac(alpha , 4g)$:
#align(center)[$V_0^2 sin^2 frac(alpha , 4g) = V_0 dot t sin alpha - frac(g t^2, 2)$]

Умножаем на $4g$:
#align(center)[$V_0^2 sin^2 alpha = 4g V_0 t sin α - 2g^2 t^2$]

#align(center)[$2 dot g^2 dot t^2 - 4 dot g dot V_0 dot t sin alpha + V_0^2 sin^2 alpha = 0$]

Используя квадратную формулу:
#align(center)[$t = frac(4 dot g dot V_0 sin alpha plus.minus sqrt(16 dot g^2 dot V_0^2 dot sin^2 alpha - 8 dot g^2 dot V_0^2 sin^2 alpha), 4 dot g^2)$]
#align(center)[$t = frac(4 dot g dot V_0 sin alpha plus.minus sqrt(8 dot g^2 dot V_0^2 sin^2 alpha), 4 dot g^2)$]
#align(center)[$t = frac(4 dot g dot V_0 sin alpha plus.minus 2 sqrt(2) g dot V_0 sin alpha,  4 dot g^2)$]
#align(center)[$t = frac(V_0 sin alpha(2 plus.minus sqrt(2)), 2 dot g)$]

Берем меньшее значение (подъем):
#align(center)[$t_1 = V_0 sin frac(α(2 - sqrt(2)), 2g)$]

В этот момент:
#align(center)[$v_y(t_1) = V_0 sin alpha - g dot t_1 = V_0 sin alpha - g dot V_0 sin frac(alpha(2 - sqrt(2)), 2g)$]
#align(center)[$v_y(t_1) = V_0 sin alpha[1 - frac(2 - sqrt(2), 2)] = V_0 sin alpha dot frac(sqrt(2), 2)$]

#align(center)[$v_x = V_0 cos alpha$ (постоянная)]

#align(center)[$v(t_1) = sqrt((V_0 cos alpha)^2 + (V_0 sin alpha) dot frac(sqrt(2), 2)^2)$]
#align(center)[$v(t_1) = V_0 sqrt(cos^2 alpha + sin^2 frac(alpha, 2)) = V_0 sqrt(frac(2 dot cos^2 alpha + sin^2 alpha, 2))$]
#align(center)[$v(t_1) = V_0 frac(sqrt(cos^2 alpha + cos^2 alpha + sin^2 alpha), 2)] = V_0 sqrt(frac(1 + cos^2 alpha, 2))$]

Тангенциальное ускорение:
#align(center)[$a_t = frac(g(-V_0 sin alpha + g dot t_1), v(t₁))$]
#align(center)[$a_t = frac(g(-V_0 sin alpha + V_0 sin alpha frac(2 - sqrt(2), 2)) , v(t₁))$]
#align(center)[$a_t = frac(g V_0 sin alpha(-1 + frac(2 - sqrt(2), 2)) , v(t_1))$]
#align(center)[$a_t = frac(g V_0 sin alpha(frac(-sqrt(2), 2)), v(t_1))$]

#align(center)[$a_t = frac(-g dot V_0 sin alpha , (sqrt(2) dot V_0 sqrt((1 + cos^2 alpha)/2))) = frac(-g sin alpha , sqrt(1 + cos^2 alpha))$]

Нормальное ускорение:
#align(center)[$a_n = g dot V_0 cos frac(alpha, v(t_1)) = g dot V_0 cos frac(alpha , V_0 sqrt(frac(1 + cos^2 alpha, 2))) = g cos alpha sqrt(frac(2, 1 + cos^2 alpha))$]

Радиус кривизны: $R = frac(v^2, a_n)$

#align(center)[$R = frac(v^2(t_1), a_n) = frac(frac(V_0^2(1 + cos² α), 2), g cos alpha sqrt(frac(2, 1 + cos^2 alpha)))$]

#align(center)[$R = frac(V_0^2(1 + cos^2 alpha)sqrt(1 + cos^2 alpha) , 2 sqrt(2) g cos alpha)$]

#align(center)[$R = V_0^2(1 + cos^2 alpha)^(frac(frac(3,2) , 2sqrt(2) g cos alpha)$]

*Ответ:*

1. Максимальное нормальное ускорение: $a_n_(max) = g$
   Момент времени: $t = V_0 sin frac(alpha, g)$

2. На половине максимальной высоты:
   - Нормальное ускорение: $a_n = g cos alpha sqrt(frac(2, 1 + cos^2 alpha))$
   - Тангенциальное ускорение: $a_t = -g sin frac(alpha , sqrt(1 + cos^2 alpha))$

3. Радиус кривизны: $R = frac(V_0^2(1 + cos^2 alpha)^(frac(3, 2)) , (2 sqrt(2) g cos alpha))$

#line(length: 100%)

=== Задача 8. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы 1. Радиус кривизны начала его траектории был в $N$ раз больше, чем в вершине. 2. Центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности.

\
*Решение:*
В начале траектории ($t = 0$):

Скорость: $v_0 = V_0$

Ускорение: полное ускорение $a = g$ направлено вертикально вниз

Разложим ускорение на компоненты относительно траектории:
- Тангенциальная компонента: $a_t = g sin alpha$ (направлена против движения при подъеме)
- Нормальная компонента: $a_n_0 = g cos alpha$

Радиус кривизны в начале: $R_0 = frac(V_0^2, g cos alpha)$

В вершине траектории:

Скорость: $v_v = V_0 cos alpha$ (только горизонтальная компонента)

Ускорение: в вершине вся скорость горизонтальна, поэтому все ускорение $g$ направлено нормально к траектории

Нормальное ускорение в вершине: $a_n_v = g$

Радиус кривизны в вершине: $R_v = frac((V_0 cos alpha)^2,  g) = frac(V_0^2 cos^2 alpha, g)$

#align(center)[$R_0 = N dot R_v$]

#align(center)[$frac(V_0^2, (g cos alpha)) = N dot V_0^2 cos^2 frac(alpha,  g)$]

#align(center)[$frac(1, (cos alpha)) = N cos^2 alpha$]

#align(center)[$1 = N cos^3 alpha$]

#align(center)[$cos^3 alpha = frac(1, N)$]

#align(center)[$alpha = arccos(N^frac(-1, 3))$]

В вершине траектории:
- Высота над землей: $H = V_0^2 sin^2 frac(alpha, 2g)$
- Радиус кривизны: $R_v = V_0^2 cos^2 frac(alpha, g)$
- Центр кривизны находится вертикально под вершиной на расстоянии $R_v$

Центр кривизны находится на земной поверхности, значит:

#align(center)[$H = R_v$]

#align(center)[$V_0^2 sin^2 frac(alpha,  2g) = V_0^2 cos^2 frac(alpha , g)$]

Упрощаем:
#align(center)[$sin^2 frac(alpha, 2) = cos^2 alpha$]

#align(center)[$sin^2 alpha = 2 cos^2 alpha$]

Используя $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$:
#align(center)[$sin^2 alpha = 2(1 - sin^2 alpha)$]
#align(center)[$sin^2 alpha = 2 - 2 sin^2 alpha$]
#align(center)[$3 sin^2 alpha = 2$]
#align(center)[$sin^2 alpha = frac(2, 3)$]

#align(center)[$sin alpha = sqrt( frac(2, 3) )$]

#align(center)[$cos alpha = sqrt( frac(1, 3) )$]

#align(center)[$alpha = arcsin(sqrt(frac(2, 3))) = arccos(sqrt(frac(1, 3)))$]

Или в численном виде: $alpha approx 54.74 degree$

Максимальная высота: $H = V_0^2 dot frac(frac(2, 3), 2g) = frac(V_0^2, 3g)$

Радиус кривизны в вершине: $R_v = V_0^2 dot frac(frac(1, 3), g) = frac(V_0^2, 3g)$

Действительно, $H = R_v$

*Ответ*:

1. Для условия $R_0 = N dot R_v$:
#align(center)[$alpha = arccos(N^(-1/3))$]

2. Для условия "центр кривизны вершины на земной поверхности":
#align(center)[$alpha = arcsin(sqrt(frac(2, 3))) approx 54.74 degree$]


#line(length: 100%)

=== Задача 9. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_0$. Из-за ветра шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_x = alpha dot y$. $alpha$ - постоянная, $y$ - высота подъема. Найдите зависимость от высоты подъема 1. Сноса шара 2. Полного, тангенциального и нормального ускорений шара. 

\
*Решение:*

Компоненты скорости:
- $v_y = v_0$ (постоянная)
- $v_x = alpha y$

Связь между координатами и временем:

Поскольку $v_y = frac(d y, d t) = v_0$ (постоянная), то: $y = v_0 t$

Следовательно: $t = frac(y, v_0)$

Горизонтальная скорость: $v_x = frac(d x, d t) = alpha y$

Используя $d t = frac(d y, v_0)$, получаем:
#align(center)[$d x = v_x d t = alpha y dot frac(d y, v_0) = frac(alpha, v_0) y d y$]

Интегрируя от $0$ до $y$:
#align(center)[$ integral_0^x d x' = integral_0^y frac(α, v_0) y' d y'$]

#align(center)[$x = frac(alpha, v_0) dot frac(y^2, 2) = alpha frac(y^2 , 2v_0)$]

Снос шара: $x(y) = frac(alpha y^2, 2v_0)$

Компоненты ускорения:
- $a_x = frac(d v_x, d t) = frac(d(alpha y), d t) = alpha(frac(d y, d t)) = alpha v_0$
- $a_y = frac(d v_y, d t) = 0$ (вертикальная скорость постоянна)

Полное ускорение: $a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = alpha v_0$

Направление: горизонтально (только $x$-компонента).

Модуль скорости

#align(center)[$v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt((alpha y)^2 + v_0^2) = sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2)$]

Тангенциальное ускорение: $a_t = frac(d v, d t)$

#align(center)[$frac(d v, d t) = frac(d, d t) sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2) = frac((alpha^2 y dot frac(d y, d t)), sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2)) = frac(alpha^2 y dot v_0, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2))$]

#align(center)[$a_t = frac(alpha^2 y v_0, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2))$]

Используем соотношение: $a^2 = a_t^2 + a_n^2$

#align(center)[$a_n^2 = a^2 - a_t^2 = (alpha v_0)^2 - (frac(alpha^2 y v_0, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2)))^2$]

#align(center)[$a_n^2 = frac(alpha^2 v_0^2 - alpha^4 y^2 v_0^2, alpha^2 y^2 + v_0^2)$]

#align(center)[$a_n^2 = alpha^2 v_0^2 dot frac(1 - alpha^2 y^2, (alpha^2 y^2 + v_0^2))$]

#align(center)[$a_n^2 = alpha^2 v_0^2 dot frac(v_0^2, alpha^2 y^2 + v_0^2)$]

#align(center)[$a_n = frac(alpha v_0^2, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2))$]

Радиус кривизны: $R = frac(v^2, a_n)$

#align(center)[$R = frac(alpha^2 y^2 + v_0^2, frac(alpha v_0^2, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2))) = frac((alpha^2 y^2 + v_0^2)^frac(3, 2), (alpha v_0^2))$]


При $y = 0$ (старт):
- $x = 0$ (нет сноса)
- $v_x = 0, v_y = v_0$
- $a = alpha v_0$ (горизонтально)
- $a_t = 0$
- $a_n = alpha v_0$

При больших высотах ($y gt.double frac(v_0, alpha)$):
- $x approx alpha frac(y^2, 2v_0)$ (квадратичный рост сноса)
- $v_x approx alpha y gt.double v_0$
- $a_t approx alpha^2 y frac(v_0, alpha y) = alpha v_0$
- $a_n approx alpha frac(v_0^2, alpha y) = frac(v_0^2, y) arrow 0$

Траектория в параметрическом виде:
- $x(t) = frac(alpha(v_0 t)^2, 2v_0) = alpha frac(v_0 t^2, 2)$
- $y(t) = v_0 t$

Исключая время: $x = frac(alpha y^2, 2v_0)$ - парабола

*Ответ:*

1. Снос шара: $x(y) = frac(alpha y^2, 2v_0)$

2. Ускорения:
  - Полное ускорение: $a = alpha v_0$ (постоянное, направлено горизонтально)
  - Тангенциальное ускорение: $a_t(y) = frac(alpha^2 y v_0, sqrt(alpha^2 y^2 + v_0^2))$

  - Нормальное ускорение: $a_n(y) = alpha frac(v_0^2, sqrt(alpha^2y^2 + v_0^2))$

Проверка:
#align(center)[$a_t^2 + a_n^2 = frac((alpha^2 y v_0)^2, (alpha^2 y^2 + v_0^2)) + frac((alpha v_0^2)^2, (alpha^2 y^2 + v_0^2)) = frac(alpha^2 v_0^2(alpha^2 y^2 + v_0^2), (alpha^2 y^2 + v_0^2)) = alpha^2v_0^2 = a^2$]

#line(length: 100%)

=== Задача 10. На краю массивной подставки закреплен невесомый блок. Грузы, массой $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения грузов о подставку равен $mu$. Подставка движется вправо с ускорением $a$. Правый груз опускается. Вычислите ускорение грузов относительно подставки. С каким ускорением должна двигаться подставка, чтобы правый груз начал подниматься.
\
*Решение:*

Если груз имеет координату $x$ в системе подставки, то в неподвижной системе:
#align(center)[$X = x + X_0(t), #text("где") X_0(t) = frac(1, 2)a t^2$ (движение подставки)]

Ускорение грузов относительно подставки

Пусть:
- $a_1$ - ускорение левого груза относительно подставки (вправо)
- $a_2$ - ускорение правого груза относительно подставки (вниз)
- $T$ - натяжение нити

Ускорения в неподвижной системе:
- Левый груз: $A_1_x = a_1 + a$ (горизонтально), $A_1_y = 0$
- Правый груз: $A_2_x = a$ (горизонтально), $A_2_y = -a_2$ (вертикально)

Левый груз ($m_1$):
- Вес: $m_1 g$ (вниз)
- Нормальная реакция: $N_1 = m_1 g$ (вверх)
- Натяжение нити: $T$ (вправо)
- Трение: $f_1 = mu N_1 = mu m_1 g$ (влево, против движения)

Правый груз ($m_2$):
- Вес: $m_2 g$ (вниз)
- Натяжение нити: $T$ (вверх)

Для левого груза:
- По горизонтали: $m_1(a_1 + a) = T - mu m_1 g$
- По вертикали: $m_1 dot 0 = N_1 - m_1 g arrow.r.double.long N_1 = m_1 g$

Для правого груза:
- По горизонтали: $m_2 a = 0$ (нет горизонтальных сил, кроме псевдосилы)
- По вертикали: $m_2(-a_2) = T - m_2 g$

Поскольку нить нерастяжима: $a_1 = a_2$ (назовем это ускорение $a_0$)

#align(center)[$cases( 
  m_1(a_0 + a) = T - mu m_1 g #text("      (1)"), 
  m_2(-a_0) = T - m_2 g #text("          (2)")
)$]

Из уравнения (2): $T = m_2 g - m_2 a_0$

Подставляем в уравнение (1):
#align(center)[$m_1(a_0 + a) = m_2 g - m_2a_0 - mu m_1 g$]

#align(center)[$m_1 a_0 + m_1 a = m_2 g - m_2 a_0 - mu m_1 g$]

#align(center)[$a_0(m_1 + m_2) = m_2 g - mu m_1 g - m_1 a$]

#align(center)[$a_0 = frac(m_2 g - mu m_1 g - m_1 a, m_1 + m_2)$]

Ускорение грузов относительно подставки:
#align(center)[$a_0 = frac((m_2 - mu m_1)g - m_1 a, m_1 + m_2)$]

Поскольку правый груз опускается, $a_0 > 0$, что требует:
#align(center)[$m_2 g - mu m_1g - m_1a > 0 arrow.r.double.long m_2 gt mu m_1 + frac(m_1 a, g)$]

Для того чтобы правый груз начал подниматься, должно выполняться условие $a_0 = 0$ (граничное состояние).

При $a_0 = 0$:
#align(center)[$0 = frac((m_2 - mu m_1)g - m_1 a_#text("кр"), (m₁ + m₂))$]

#align(center)[$(m_2 - mu m_1)g - m_1 a_#text("кр") = 0$]

#align(center)[$a_#text("кр") = frac((m_2 - mu m_1)g, m_1)$]

Для подъема правого груза ускорение подставки должно быть больше критического:

#align(center)[$a gt frac((m_2 - mu m_1)g, m_1)$]

Случай 1: $m_2 gt mu m_1$
- При $a = 0$: правый груз опускается
- Критическое ускорение: $a_#text("кр") = frac((m_2 - mu m_1)g, m_1) gt 0$

Случай 2: $m_2 lt mu m_1$
- При $a = 0$: левый груз движется вправо (правый поднимается)
- Критическое ускорение: $a_#text("кр") lt 0$ (подставка должна двигаться влево)

Случай 3: $m_2 = mu m_1$
- При $a = 0$: система в равновесии
- $a_#text("кр") = 0$

*Ответ:*

Ускорение грузов относительно подставки: $a_0 = frac(((m_2 - mu m_1)g - m_1 a), (m_1 + m_2))$

где $a_0 gt 0$ означает, что правый груз опускается.

Ускорение подставки для подъема правого груза: $a gt frac((m_2 - mu m_1)g, m_1)$

Натяжение нити: $T = m_2 g - m_2 a_0 = m₂[g - frac((m_2 - mu m_1)g - m_1a, m_1 + m_2)]$

#align(center)[$T = frac(m_2[(m_1 + mu m_2)g + m_1 a], m_1 + m_2)$]

#line(length: 100%)
=== Задача 11. Брусок массой $m$ поставили на клин, движущийся вправо с ускорением $a$ и отпустили. Найти ускорение бруска относительно клина. Коэффициент трения между поверхностями равен $mu$.
\
*Решение:*

Если брусок имеет координаты $(x, y)$ в системе клина, то в неподвижной системе:
- $X = x cos alpha + X_0(t)$, где $X_0(t)$ - координата клина
- $Y = H - x sin alpha$, где $H$ - высота точки на клине

Пусть $a_0$ - ускорение бруска относительно клина (вдоль наклонной поверхности).

Компоненты ускорения в неподвижной системе:
- $A_X = a_0 cos alpha + a$ (горизонтальная компонента)
- $A_Y = -a_0 sin alpha$ (вертикальная компонента)

Силы:
1. Вес: $m g$ (вертикально вниз)
2. Нормальная реакция: $N$ (перпендикулярно наклонной поверхности)
   - $N_X = -N sin alpha$
   - $N_Y = N cos alpha$
3. Сила трения: $f$ (вдоль наклонной поверхности)
   - $f_X = -f cos alpha$
   - $f_Y = -f sin alpha$

Трение направлено против относительного движения бруска по клину.
- Если $a_0 > 0$ (брусок скользит вниз): $f$ направлена вверх по склону
- Если $a_0 < 0$ (брусок скользит вверх): $f$ направлена вниз по склону
- Если $|a_0| = 0$: трение покоя, $|f| lt.eq mu N$


По горизонтали ($X$):
#align(center)[$m(a_0 cos alpha + a) = -N sin alpha - f cos alpha$]

По вертикали ($Y$):
#align(center)[$m(-a_0 sin alpha) = N cos alpha - f sin alpha - m g$]

Рассмотрим предельный случай без трения (μ = 0):
- По $X$: $m(a_0 cos alpha + a) = -N sin alpha$
- По $Y$: $m(-a_0 sin alpha) = N cos alpha - m g$

Из второго уравнения: $N = frac(m(g - a_0 sin alpha), cos alpha)$

Подставляя в первое:
#align(center)[$m(a_0 cos alpha + a) = -m(g - a_0 sin alpha) tan alpha$]
#align(center)[$a_0 cos alpha + a = -(g - a_0 sin alpha) tan alpha$]
#align(center)[$a_0 cos alpha + a = -g tan alpha + a_0 sin alpha tan alpha$]
#align(center)[$a_0(cos alpha - sin alpha tan alpha) = -g tan alpha - a$]
#align(center)[$a_0(cos alpha - sin^2 frac(alpha, cos alpha)) = -g tan alpha - a$]
#align(center)[$frac(a_0(cos^2 alpha - sin^2 alpha), cos alpha) = -g tan alpha - a$]
#align(center)[$a_0 frac(cos(2 alpha), cos alpha) = -g tan alpha - a$]

Без трения: $a_0 = -(g tan alpha + a) cos frac(alpha, cos(2 alpha)) = frac(-(g sin alpha + a cos alpha), cos(2 alpha))$

Если брусок скользит вниз $(a_0 gt 0)$, то $f = mu N$ направлена вверх по склону.

Система уравнений:

$cases(
  m(a_0 cos alpha + a) = -N sin alpha - mu N cos alpha = -N(sin alpha + mu cos alpha) #text("              (1)"), 
  m(-a_0 sin alpha) = N cos alpha - mu N sin alpha - m g = N(cos alpha - mu sin alpha) - m g #text("       (2)")
)$


Из уравнения (2):
#align(center)[$N = frac(m(g - a_0 sin alpha), (cos alpha - mu sin alpha))$]

Подставляя в уравнение (1):
#align(center)[$m(a_0 cos alpha + a) = frac(-m(g - a_0 sin alpha)(sin alpha + mu cos alpha), cos alpha - mu sin alpha)$]

Упрощая:
#align(center)[$(a_0 cos alpha + a)(cos alpha - mu sin alpha) = -(g - a_0 sin alpha)(sin alpha + mu cos alpha)$]

Раскрывая скобки:
#align(center)[$a_0 cos alpha(cos alpha - mu sin alpha) + a(cos alpha - mu sin alpha) = -g(sin alpha + mu cos alpha) + a_0 sin alpha(sin alpha + mu cos alpha)$]

#align(center)[$a_0[cos alpha(cos alpha - mu sin alpha) - sin alpha(sin alpha + mu cos alpha)] = -g(sin alpha + mu cos alpha) - a(cos alpha - mu sin alpha)$]

#align(center)[$a_0[cos^2 alpha - mu sin alpha cos alpha - sin^2 alpha - mu sin alpha cos alpha] = -g(sin alpha + mu cos alpha) - a(cos alpha - mu sin alpha)$]

#align(center)[$a_0[cos^2 alpha - sin^2 alpha - 2mu sin alpha cos alpha] = -g(sin alpha + mu cos alpha) - a(cos alpha - mu sin alpha)$]

#align(center)[$a_0 cos(2 alpha) - 2 mu a_0 sin alpha cos alpha = -g(sin alpha + mu cos alpha) - a(cos alpha - mu sin alpha)$]

#align(center)[$a_0[cos(2 alpha) - mu sin(2 alpha)] = -g(sin alpha + mu cos alpha) - a(cos alpha - mu sin alpha)$]

#align(center)[$a_0 = frac(-[g(sin alpha + mu cos alpha) + a(cos alpha - mu sin alpha)], [cos(2 alpha) - mu sin(2 alpha)])$]

Знак $a_0$ определяет направление движения:
- $a_0 gt 0$: брусок скользит вниз по клину
- $a_0 lt 0$: брусок скользит вверх по клину

Если $|a_0|$ получается меньше предельного значения для трения покоя, нужно рассмотреть случай без проскальзывания.

При отсутствии проскальзывания $a_0 = 0$, и брусок движется вместе с клином:
- $A_X = a$
- $A_Y = 0$

Максимальная сила трения покоя: $f_max = mu N = mu m g cos alpha$

Условие отсутствия проскальзывания:
$|f| lt.eq mu N$, где $f$ определяется из уравнений равновесия.

*Ответ:*

Ускорение бруска относительно клина:

#align(center)[$a₀ = frac(-[g(sin alpha + mu cos alpha) + a(cos alpha - mu sin alpha)], [cos(2 alpha) - mu sin(2 alpha)])$]

где:
- Положительное значение $a_0$ означает движение вниз по склону
- Знак определяется соотношением между ускорением клина, углом наклона и трением

Частные случаи:
1. При $a = 0$ (неподвижный клин): $a_0 = frac(-g(sin alpha + mu cos alpha), cos(2 alpha) - mu sin(2 alpha))$
2. При $mu = 0$ (без трения): $a_0 = frac(-(g sin alpha + a cos alpha), cos(2 alpha))$
3. При $alpha = 0 degree$ (горизонтальная поверхность): $a_0 = -a$ (брусок движется назад относительно клина)

#line(length: 100%)
=== Задача 12. Человек массой $m$ стоит на носу лодки массой $M$ и длиной $L$. На какое расстояние $S$ сместится лодка, если человек перейдет на корму. Система человек-лодка замкнута. Ее центр масс не может сместиться относительно земли. 
\
*Решение:*

- Человек находится на носу лодки
- Пусть нос лодки находится в точке $x = a$ от центра масс
- Тогда корма лодки находится в точке $x = a - L$
- Центр лодки находится в точке $x = a - frac(L, 2)$

Центр масс системы должен быть в начале координат:

#align(center)[$m dot a + M dot (a - frac(L, 2)) = 0$]

Раскрывая скобки:
#align(center)[$m a + M a - frac(M L, 2) = 0$]
#align(center)[$a(m + M) = frac(M L, 2)$]

#align(center)[$a = frac(M L, [2(m + M)])$]

Это означает, что нос лодки первоначально находится на расстоянии $frac(M L, [2(m + M)])$ от центра масс системы.

- Человек теперь на корме лодки
- Пусть лодка сместилась на расстояние $S$ вправо (в сторону носа)
- Нос лодки теперь в точке $x = a + S$
- Корма лодки теперь в точке $x = a + S - L$
- Человек находится в точке $x = a + S - L$

Центр масс системы должен остаться в начале координат:

#align(center)[$m dot (a + S - L) + M dot (a + S - frac(L, 2)) = 0$]

Раскрывая скобки:
#align(center)[$m(a + S - L) + M(a + S - frac(L, 2)) = 0$]
#align(center)[$m a + m S - m L + M a + M S - frac(M L, 2) = 0$]
#align(center)[$(m + M)a + (m + M)S - m L - frac(M L, 2) = 0$]

Подставляем значение $a = frac(M L, [2(m + M)])$:
#align(center)[$(m + M) dot frac(M L, [2(m + M)]) + (m + M)S - m L - frac(M L, 2) = 0$]
#align(center)[$frac(M L, 2) + (m + M)S - m L - frac(M L, 2) = 0$]
#align(center)[$(m + M)S - m L = 0$]

#align(center)[$(m + M)S = m L$]

#align(center)[$S = frac(m L, (m + M))$]

*Ответ:*

Лодка сместится на расстояние: $S = frac(m L, (m + M))$ в сторону носа лодки.

#line(length: 100%)
=== Задача 13. Снаряд, выпущенный со скоростю $v_0 = 100 #text("м/с")$ под углом $alpha = 45 degree$ к горизонту разорвался в верхней точке траектории на 2 одинаковых осколка. Один осколок упал на землю прямо под точкой взрыва со скоростю $v_1 = 97 #text("м/с")$. С какой скоростью и на каком расстоянии от первого осколка упал на землю второй осколок?
\
*Решение:*

Компоненты начальной скорости:
- $v_0_x = v_0 cos 45 degree = frac(100, sqrt(2)) = 50 sqrt(2) #text("м/с") approx 70.7 #text("м/с")$
- $v_0_y = v_0 sin 45 degree = frac(100, sqrt(2)) = 50 sqrt(2) #text("м/с") approx 70.7 #text("м/с")$

В верхней точке траектории:
- Вертикальная компонента скорости: $v_y = 0$
- Горизонтальная компонента: $v_x = v_0_x = 50 sqrt(2) #text("м/с")$
- Скорость снаряда в момент взрыва: $v = 50 sqrt(2) #text("м/с")$ (горизонтально)

Высота верхней точки:
#align(center)[$H = frac(v_0_y^2, 2g) = frac((50 sqrt(2))^2, 2 dot 10) = frac(5000, 20) = 250 #text("м")$]

Время подъема до верхней точки:
#align(center)[$t_1 = frac(v_0_y, g) = frac(50 sqrt(2), 10) = 5 sqrt(2) #text("с")$]

- $m$ - масса каждого осколка (половина массы снаряда)
- $accent("v", arrow)$ - скорость снаряда перед взрывом
- $accent("v", arrow)_1$ - скорость первого осколка после взрыва
- $accent("v", arrow)_2$ - скорость второго осколка после взрыва

Закон сохранения импульса:
#align(center)[$2m dot accent("v", arrow) = m dot accent("v", arrow)_1 + m dot accent("v", arrow)_2$]

Упрощая: $2 accent("v", arrow) = accent("v", arrow)_1 + accent("v", arrow)_2$

Скорость снаряда перед взрывом:
#align(center)[$accent("v", arrow) = (50 sqrt(2), 0) #text("м/с")$]

Первый осколок упал под точкой взрыва, значит его горизонтальная скорость после взрыва равна нулю.

Пусть $v_1_y$ - вертикальная скорость первого осколка сразу после взрыва.

Время падения с высоты $H = 250 #text("м")$:
#align(center)[$H = v_1_y dot t_2 + frac(gt_2^2, 2)$]

При падении на землю: $v_1^2 = v_1_y^2 + (g t_2)^2$

Также: $v_1_y + g t_2$ = скорость при ударе о землю

Поскольку осколок падает вертикально: $v_1 = |v_1_y + g t_2| = 97 #text("м/с")$

Из кинематики свободного падения:
#align(center)[$v_1^2 = v_1_y^2 + 2 g H$]
#align(center)[$97^2 = v_1_y^2 + 2 dot 10 dot 250$]
#align(center)[$9409 = v_1_y^2 + 5000$]
#align(center)[$v_1_y^2 = 4409$]
#align(center)[$v_1_y = plus.minus 66.4 #text("м/с")$]

Поскольку $v_1 = 97 #text("м/с")$ направлена вниз, а начальная скорость $v_1_y$ может быть как вверх, так и вниз, проверим:

Если $v_1_y = -66.4 #text("м/с")$ (вниз), то время падения:
#align(center)[$250 = 66.4 t_2 + 5 t_2^2$]
#align(center)[$5t_2^2 + 66.4t_2 - 250 = 0$]

Решая квадратное уравнение: $t_2 approx 3.16 #text("с")$

Скорость при ударе: $v = 66.4 + 10 dot 3.16 = 66.4 + 31.6 = 98 #text("м/с") approx 97 #text("м/с") $

Скорость первого осколка после взрыва: $accent("v", arrow)_1 = (0, -66.4) #text("м/с") $

Из закона сохранения импульса:
#align(center)[$2 accent("v", arrow) = accent("v", arrow)_1 + accent("v", arrow)_2$]
#align(center)[$accent("v", arrow)_2 = 2 accent("v", arrow) - accent("v", arrow)_1$]

Компоненты:
- $v_2_x = 2 dot 50 sqrt(2) - 0 = 100 sqrt(2) #text("м/с") approx 141.4 #text("м/с")$
- $v_2_y = 2 dot 0 - (-66.4) = 66.4 #text("м/с")$

Скорость второго осколка после взрыва:
#align(center)[$v_2 = sqrt(v_2_x^2 + v_2_y^2) = sqrt((100 sqrt(2))^2 + 66.4^2) = sqrt(20000 + 4409) = sqrt(24409) approx 156.2 #text("м/с")$]

Направление: под углом $phi$ к горизонту
#align(center)[$tg phi = frac(v_2_y, v_2_x) = frac(66.4, 100 sqrt(2)) = frac(66.4, 141.4) approx 0.47$]
#align(center)[$phi approx 25.2 degree$]

Уравнение движения по вертикали:
#align(center)[$y = H + v_2_y dot t - frac(g t^2, 2) = 250 + 66.4 t - 5t^2$]

При падении на землю $y = 0$:
#align(center)[$250 + 66.4 t - 5 t^2 = 0$]
#align(center)[$5 t^2 - 66.4t - 250 = 0$]

Решая квадратное уравнение:
#align(center)[$t = frac(66.4 plus.minus sqrt(66.4^2 + 4 dot 5 dot 250), 10)$]
#align(center)[$t = frac(66.4 plus.minus sqrt(4409 + 5000), 10) = frac(66.4 plus.minus sqrt(9409), 10)$]
#align(center)[$t = frac(66.4 plus.minus 97, 10)$]

Берем положительный корень: $t = frac(66.4 + 97, 10) = 16.34 #text("с")$

Горизонтальное перемещение второго осколка:
#align(center)[$x_2 = v_2_x dot t = 100 sqrt(2) dot 16.34 approx 141.4 dot 16.34 approx 2311 м$]

Скорость второго осколка при ударе о землю:
- $v_2_x = 100 sqrt(2) #text("м/с") $ (не изменяется)
- $v_2_y_#text("конечная") = 66.4 - 10 dot 16.34 = 66.4 - 163.4 = -97 #text("м/с") $

Скорость при ударе:
#align(center)[$v_₂_#text("удар") = sqrt((100 sqrt(2))^2 + 97^2) = sqrt(20000 + 9409) = sqrt(29409) approx 171.5 #text("м/с")$]

- Первый осколок: под точкой взрыва
- Второй осколок: на расстоянии $x_2 = 2311 #text("м")$ от точки взрыва

Полное расстояние от места выстрела до точки взрыва:
#align(center)[$x_#text("взрыв") = v_0_x dot t_1 = 50 sqrt(2) dot 5 sqrt(2) = 500 #text("м")$]

Расстояние между точками падения осколков:
#align(center)[$Delta x = x_2 = 2311 #text("м")$]

*Ответы:*

1. Скорость второго осколка при ударе о землю: $v_2 = 171.5 #text("м/с") $

2. Расстояние между точками падения осколков: $Delta x = 2311 #text("м") approx 2.31 #text("км")$

#line(length: 100%)
=== Задача 14. Пушка массой $M$ начинает свободно скользить вниз по гладкой, составляющей угол с горизонтом $alpha$. Когда пушка прошла путь $S$, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом $p$ в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найдите продолжительность выстрела.
\
*Решение:*

Ускорение пушки вниз по плоскости:
#align(center)[$a = g sin alpha$]

Скорость пушки в момент выстрела (после прохождения пути $S$):
#align(center)[$v_0^2 = 2 a S = 2 g S sin alpha$]
#align(center)[$v_0 = sqrt(2 g S sin alpha)$]

Начальное состояние (момент начала выстрела):
- Пушка движется со скоростью $v_0$ вниз по плоскости
- Импульс пушки: $accent("P", arrow)_#text("пушка") = M v_0$ (вниз по плоскости)

Конечное состояние (момент окончания выстрела):
- Пушка остановилась: $v_#text("пушка") = 0$
- Снаряд имеет импульс $p$ горизонтально

Рассмотрим проекции импульсов на направления вдоль и поперек наклонной плоскости.

Начальный импульс: $M v_0$
Конечный импульс пушки: $0$
Конечный импульс снаряда: $-p cos alpha$ (горизонтальный импульс $p$ проецируется на плоскость)

Закон сохранения импульса:
#align(center)[$M v_0 = 0 + (-p cos alpha)$]
#align(center)[$M v_0 = -p cos alpha$]

Во время выстрела на пушку действует:
1. Сила тяжести: $M g sin alpha$ (вниз по плоскости)
2. Сила отдачи от снаряда: $F_#text("отдача")$ (вверх по плоскости)

Изменение импульса пушки во время выстрела:
#align(center)[$Delta P_#text("пушка") = 0 - M v_0 = -M v_0$]

По второму закону Ньютона:
#align(center)[$Delta P_#text("пушка") = (F_#text("отдача") - M g sin alpha) Delta t$]

Следовательно:
#align(center)[$-M v_0 = (F_#text("отдача") - M g sin alpha) Delta t$]

Сила отдачи связана с импульсом снаряда:
#align(center)[$F_#text("отдача") Delta t = p cos alpha + M g sin alpha Delta t$]

Подставляя в уравнение движения пушки:
#align(center)[$-M v_0 = p cos alpha$]

Отсюда получаем:
#align(center)[$v_0 = frac(p cos alpha, M)$]

Приравнивая два выражения для $v_0$:
#align(center)[$sqrt(2 g S sin alpha) = frac(p cos alpha, M)$]

Из уравнения движения пушки во время выстрела:
#align(center)[$-M v_0 = (F_#text("отдача") - M g sin alpha) Delta t$]

Где $F_#text("отдача") = frac(p cos alpha, Delta t)$

Подставляя:
#align(center)[$-M frac(p cos alpha, M) = (frac(p cos alpha, Delta t) - M g sin alpha) Delta t$]

#align(center)[$-p cos alpha = p cos alpha - M g sin alpha Delta t$]

#align(center)[$-2p cos alpha = -M g sin alpha Delta t$]

#align(center)[$Delta t = frac(2p cos alpha, M g sin alpha)$]

Используя $v_0 = sqrt(2 g S sin alpha)$ и $v_0 = frac(p cos alpha, M)$:

#align(center)[$Delta t = frac(2 v_0, g sin alpha) = frac(2 sqrt(2 g S sin alpha), g sin alpha) = frac(2 sqrt(2S), g sqrt(sin alpha) dot sin alpha)$]

#align(center)[$Delta t = frac(2 sqrt(2S), g sin^(frac(3,2)) alpha)$]

*Ответ:* $Delta t = frac(2 sqrt(2S), g sin^frac(3, 2) alpha)$

#line(length: 100%)
=== Задача 15. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массой $m = 9.11 dot 10^(-30) #text("кг")$ и радиуса $R = 2.82 dot 10^(-15) #text(" м")$ обладающем собственным моментом импульса $M = 0.913 dot 10^(-34) frac(#text("кг") dot #text("м")^2, #text("с"))$. (Вытекающее из квантовой теории и подтвержденное экспериментально значение собственного момента импульса электрона).
\
*Решение:*

Для однородного шара относительно оси, проходящей через центр:
#align(center)[$I = frac(2, 5)m R^2$]

Подставляем значения:
#align(center)[$I = frac(2, 5) dot 9.11 dot 10^(-30) dot (2.82 dot 10^(-15))^2$]
#align(center)[$I = frac(2, 5) dot 9.11 dot 10^(-30) dot 7.95 dot 10^(-30)$]
#align(center)[$I = frac(2, 5) dot 72.4 dot 10^(-60)$]
#align(center)[$I = 28.96 dot 10^(-60) = 2.90 dot 10^(-59) #text(" кг·м")^2$]

Из соотношения $M = I omega$ находим угловую скорость:
#align(center)[$omega = frac(M, I) = frac(0.913 dot 10^(-34), 2.90 dot 10^(-59))$]
#align(center)[$omega = 3.15 dot 10^{24} #text(" рад/с")$]

Линейная скорость точек на экваторе вращающегося шара:
#align(center)[$v = omega R = 3.15 dot 10^(24) dot 2.82 dot 10^(-15)$]
#align(center)[$v = 8.88 dot 10^(9) #text(" м/с")$]

Отношение полученной скорости к скорости света:
#align(center)[$frac(v, c) = frac(8.88 dot 10^9, 3 dot 10^8) = 29.6$]

*Результат: $v approx 30c$*

Согласно специальной теории относительности, никакая частица с ненулевой массой покоя не может двигаться со скоростью, равной или превышающей скорость света в вакууме.

Полученная скорость $v approx 30c$ грубо нарушает этот фундаментальный принцип СТО.

При скоростях, сравнимых со скоростью света, необходимо учитывать:

1. Релятивистское увеличение массы:
#align(center)[$m_#text("rel") = frac(m_0, sqrt(frac (1-v^2, c^2)))$]
   
   При $v = 30c$ знаменатель становится мнимым, что физически бессмысленно.

2. Изменение момента инерции:
   В релятивистском случае момент инерции также изменяется, что требует более сложного анализа.

Используемый в задаче радиус $R = 2.82 dot 10^(-15)$ м является классическим радиусом электрона, определяемым из условия:
#align(center)[$R_e = frac(e^2, 4 pi epsilon_0 m c^2)$]

Этот радиус имеет лишь историческое значение и не отражает реальный размер электрона.

- Спин электрона является внутренним квантовым свойством, не связанным с классическим вращением
- Это фундаментальная характеристика, аналогичная массе или заряду
- Спин не может быть объяснен в рамках классической механики

- Электрон ведет себя как точечная частица в экспериментах рассеяния
- Верхняя граница размера электрона: $< 10^(-18)$ м
- Магнитный момент электрона точно согласуется с квантовой электродинамикой

Представление об электроне как о вращающемся однородном шарике не согласуется с принципами специальной теории относительности.

Спин электрона является квантовомеханическим свойством, не имеющим классических аналогов. Это внутренняя степень свободы, которая проявляется в магнитных свойствах и статистике частиц, но не связана с механическим вращением в пространстве.

*Ответ:* нет, не согласуется.