= Механика. Практика.

=== Практика 1. 

#image("assets/1.png")

*Перемещением материальной точки* за интервал времени от $t = t_1$ до $t = t_2$ называется вектор, проведенный из ее положения в момент времени $t_1$ в ее положение в момент времени $t_2$. 

*Траекторией материальной точки* называется линия, которую она описывает при своем движении. 

*Длиной пути $S$* называется сумма длин всех участков траектории, пройденных материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени. 

#image("assets/2.png")
#image("assets/3.png")

Вектор скорости точки в каждый момент времени направлен по касательной к ее пространственной траектории. Для получения траектории в пространстве скоростей необходимо все векторы скорости, относящиеся к выбранному моменту времени, отложить от одной точки-начала отсчета в пространстве скоростей. 

Конец, изменяющегося во времени вектора скорости, вычерчивает некоторую кривую в пространстве скоростей, называющуюся годографом вектора скорости. (Гамильтон 1846г.) Вектор мгновенного ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости. 

*Равномерное прямолинейное движение. Закон сложения скоростей.*

Переправа через реку 

Река имеет скорость течения $accent(U, arrow)$ относительно берега в каждой точке, независимо от расстояния до берега. 

$accent(v, arrow)$ - собственная скорость лодки (скорость лодки относительно воды)

$accent(v, arrow)_Sigma$ - скорость лодки относительно берега.

#image("assets/4.png")
#image("assets/5.png")
#image("assets/6.png")
#image("assets/7.png")
#image("assets/8.png")
#image("assets/9.png")

По теореме синусов. 

$
frac(v, sin alpha) = frac(U, sin beta) space.quad space.quad sin alpha = frac(v, U) sin beta 
$

Максимальное значение $alpha$ достигается при 

$
sin beta = 1 space.quad space.quad beta = 90 degree 
$

Для достижения минимального сноса скорость лодки относительно берега $accent(v, arrow)_Sigma$ должна быть перпендикулярна её борту. 

*Решение задач в движущейся системе отсчета.*

*Пример.* Лодочник плывет вверх по реке. Проезжая под мостом, он роняет в воду багор. Через $0.5$ часа он замечает это, возвращается и нагоняет багор на расстоянии $1$ км от ниже по течению от моста. 

Определите скорость течения реки. 

*Решение*. Система отсчета - багор. Лодка плывет от начала отсчета до поворота и обратно в начало отсчета с собственной скоростью, следовательно, на обратную дорогу лодочник тратит тоже $0.5$ часа. Система отсчета - берег. Течение несет багор. Он плывет $1$ час и проплывает $1$ км относительно берега. Скорость течения реки - $1$ км/ч. 

*Задача*. 

Плывущий против течения теплоход, встречает сплавляемые по реке плоты. Через $45$ мин после этого он причаливает к берегу, стоянка длится $45$ мин. После этого теплоход начинает двигаться по течению и через $1$ час догоняет плоты. Собственная скорость теплохода равна $20$ км/ч. Вычислите скорость течения реки. (в м/с)


*Графическое решение задач.*

*Пример.* Завод, на котором работает инженер, находится за городом. Каждый раз к приходу поезда на станцию приезжает заводская машина, которая доставляет инженера на место работы. Однажды инженер приехал на станцию на $1$ час раньше и, не дожидаясь машины, пошел пешком. По дороге он встретил машину и приехал на завод на $10$ мин раньше обычного. Сколько времени шел инженер до встречи с машиной? Во сколько раз скорость машины больше скорости пешехода? 

#image("assets/10.png")

*Пример.* Трое туристов, обладающих одним двухместным велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода равна $4$ км/час, а велосипедиста - $20$ км/ч. Постройте график движения туристов. 

*Пример.* Двое туристов, обладающих одним одноместным велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Велосипед можно оставлять на трассе. Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода равна $4$ км/час, а велосипедиста - $20$ км/ч. Постройте график движения туристов. 

Мы будем использовать три способа описания движения - векторный, координатный и траекторный. 

*Радиус-вектор точки* - вектор, проведенный из начала координат в данную точку. 

#image("assets/11.png")
#image("assets/12.png")
#image("assets/13.png")

*Среднее ускорение материальной точки в интервале времени от $t_1$ до $t_2$*: 

$
accent(a, arrow)_"ср" = frac(accent(v, arrow)(t_2) - accent(v, arrow)(t_1), t_2 - t_1) = frac(Delta accent(v, arrow), Delta t)
$

*Мгновенное ускорение:*

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(a, arrow) = lim_(Delta t arrow 0) frac(Delta accent(v, arrow), Delta t) = frac(d accent(v, arrow), d t) = frac(d^2 accent(r, arrow), d t^2)$]]

Скорость материальной точки в момент времени $t$: 

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) (t) space d t$]]

где $accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$. 

Радиус-вектор материальной точки в момент времени $t$: 

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) (t) space d t$]]

где $accent(r, arrow)_0$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$. 

*Движение с постоянным ускорением*

Зависимости скорости материальной точки от времени: 

$
accent(a, arrow) = "const"
$

$
accent(v, arrow) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) space d t 
$

$
accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t 
$

$accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$. 

*Зависимость радиуса-вектора материальной точки от времени:*

$
accent(a, arrow) = "const" space.quad accent(v, arrow) (t) = accent(v_0, arrow) + accent(a, arrow) dot t 
$

$
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) space d t 
$

$
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
$

$accent(r, arrow)_0$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$

Перемещение материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$: 

$
accent(a, arrow) = "const" space.quad accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t 
$

$
Delta accent(r, arrow) (t) = integral_0^t accent(v, arrow) space d t 
$

$
Delta accent(r, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
$

*Пример.* Камень брошен под углом к горизонту со скоростью $v_0$. Он упал на землю спустя $t_n$ секунд. Найдите горизонтальную дальность полета камня. 

*Решение.* Построим векторные диаграммы для произвольного момента времени $t_1$ и для времени полета $t_n$. Видно, что задачу можно решать геометрически. По теореме Пифагора: 

#image("assets/14.png")

*Пример*. Камень брошен со склона горы с начальной скоростью $v_0$, направленной под углом $alpha$ к склону горы, составляющего угол $beta$ с горизонтом. На каком расстоянии от точки бросания $l$ упадет камень? 

#image("assets/15.png")

*Выразим высоту в треугольнике через модуль каждого из векторов по очереди.*

$
v_0 t sin alpha = frac(g t^2, 2) cos beta 
$

$
t = frac(2 v_0^2 sin alpha, g cos beta) (cos alpha + frac(sin alpha sin beta, cos beta)) = 
$

$
frac(2 v_0^2 sin alpha, g cos^2 beta) cos(alpha - beta)
$

Решите эту задачу координатным способом, 

А) ось $0x$ - горизонтальна 
Б) ось $0x$ направлена вдоль наклонной плоскости 

На следующем слайде - подсказка. 

#image("assets/16.png")
#image("assets/17.png")

*II Вектор скорости материальной точки.* Проекции вектора скорости на оси координат. 

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v_x = frac(d x, d t); space.quad v_y = frac(d y, d t); space.quad v_z = frac(d z, d t)$]]

Модуль вектора скорости: #rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$|accent(v, arrow)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$]

Косинусы углов, которые вектор скорости составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$: 

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$cos alpha = frac(v_x, |accent(v, arrow)|); space.quad cos beta = frac(v_y, |accent(v, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(v_z, |accent(v, arrow)|)$]]


*III. Ускорение материальной точки.*

Проекции вектора ускорения на оси координат: 

$
a_x = frac(d v_x, d t) = frac(d^2 x, d t^2); space.quad a_y = frac(d v_y, d t) = frac(d^2 y, d t^2); space.quad a_z = frac(d v_z, d t) = frac(d^2 z, d t^2)
$

Модуль вектора ускорения: $|accent(a, arrow)| = sqrt(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)$

Косинусы углов, которые вектор ускорения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:

$
cos alpha = frac(a_x, |accent(a, arrow)|); space.quad cos beta = frac(a_y, |accent(a, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(a_z, |accent(a, arrow)|)
$

*IV. Перемещение материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$*

Проекции вектора перемещения на оси координат: 

$
(accent(S, arrow))_x = x_2 - x_1
$

$
(accent(S, arrow))_y = y_2 - y_1 
$

$
(accent(S, arrow))_z = z_2 - z_1
$

Модуль вектора перемещения: 

$
|accent(S, arrow)| = sqrt(S_x^2 + S_y^2 + S_z^2)
$

Косинусы углов, которые вектор перемещения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$: 

$
cos alpha = frac(S_x, |accent(S, arrow)|); space.quad cos beta = frac(S_y, |accent(S, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(S_z, |accent(S, arrow)|);
$

#image("assets/18.png")
#image("assets/19.png")

3). Проекцию перемещения материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$: 

$
(Delta accent(r, arrow))_x = 2 - 0.5 = 1.5 "м"
$

*Пример.* Материальная точка покоится в начале координат. В момент времени $t = 0$ она начинает движение вдоль оси $0x$. На рисунке показан график зависимости проекции её ускорения на ось $0x$ от времени. Определите: 

+ В какие моменты времени модуль скорости точки возрастает 

+ В какой момент времени направление движения точки изменяется на противоположное 

+ Максимальное значение модуля скорости точки 

+ На какое максимальное расстояние точка удалилась от начала координат 

#image("assets/20.png")
#image("assets/21.png")

Проекция на ось $0x$ перемещения материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$: 

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$(Delta accent(r, arrow))_x = Delta x = frac(v_x^2 - v_(0x)^2, 2a_x)$]]

*Средняя скорость прохождения отрезка пути.*

#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v_"ср" = S/(Delta t)$]]

Средней путевой скоростью движения точки называется скалярная величина равная отношению пути, пройденного точкой за интервал времени $Delta t$, к его продолжительности. 

#image("assets/22.png")
#image("assets/23.png")

*Пример.*

Материальная точка движется вдоль оси $0x$. 

1. Укажите момент времени, когда мгновенная скорость точки максимальна. 

2. Укажите момент времени $t_1$, когда мгновенная скорость совпадает по величине со средней путевой скоростью за интервал времени от $0$ до $t_1$. 

#image("assets/24.png")

*Пример.*

Мячик падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, составляющую угол $alpha$ с горизонтом, и абсолютно упруго отскакивает от неё. 

Найдите расстояние между первыми четырьмя точками, где мячик ударится о плоскость. 

Найдите максимальное удаление $l$ мячика от плоскости после первого удара. 

Найдите максимальное расстояние по вертикали от плоскости до траектории мячика между двумя первыми ударами ($y$ на рисунке). 

#image("assets/25.png")

*Пример.* 
Мячик брошен с поверхности земли со скоростью $accent(v, arrow)_0$ под углом $alpha$ к горизонту. Определите максимальную высоту подъема мячика, дальность полета мячика по горизонтали. 

Каким должен быть угло $alpha$, чтобы обеспечить максимальную дальность полета по горизонтали при заданном значении начальной скорости. 

Запишите уравнение траектории мяча. 

*Пример*. 

На балконе стоит мешок картошки. Нехороший мальчик каидается картошкой в прохожих. Скорость, которую он может сообщить картофелине при броске, равна $v_0$

Под каким углом к горизонту должна быть направлена эта скорость, чтобы картофелина упала как можно дальше от места старта? Высота балкона равна $h$. (Есть в тесте в ЦДО)

*Ответ*: $tan alpha = frac(1, sqrt(1 + frac(2g h, v_0^2)))$

Опишем движение картофелины по горизонтали и по вертикали. 

$
0 = h + V_0 dot sin alpha dot t - frac(g t^2, 2) space.quad (1)
$

$
L = V_0 dot cos alpha dot t space.quad (2)
$

Нужно добиться максимальной дальности полета вдоль земли $-L$. 

Выразим $t$ из $(2)$ и подставим в $(1)$

Учтем, что 

$
frac(1, cos^2 alpha) = 1 + tan^2 alpha space.quad (3)
$

Мы получим квадратное уравнение для определения $tan alpha$ 

$
tan alpha = frac(v_0^2, g L)(1 plus.minus sqrt(1 - frac(g^2 L^2, v_0^4) + frac(2 g h, v_0^2))) space.quad (4)
$

Понятно, что искомый угол существует, поэтому дискриминант должен быть больше или равен нулю. 

$
1 + frac(2 g h, v_0^2) - frac(g^2 L^2, v_0^4) gt.eq 0 space.quad (5)
$

Практически мы уже решили задачу, ведь из $(5)$ следует, что 

$
L lt.eq frac(v_0, g) sqrt(v_0^2 + 2 g h) space.quad (6)
$

Нам нужно максимальное значение $L$, поэтому мы выбираем равенство. 

$
L = frac(v_0, g) sqrt(v_0^2 + 2 g h) space.quad (7)
$

Подставим $(7)$ в $(4)$ и определим угол. 

$
tan alpha = frac(1, sqrt(1 + frac(2 g h, v_0^2)))
$


#image("assets/26.png")

*Ответ.*

$
tan alpha = frac(V_0^2, g dot L)
$

*Пример.* Пикирующий бомбардировщик сбрасывает бомбу с высоты $H$, находясь на расстоянии $L$ от цели. Скорость бомбардировщика равна $v$. Под каким углом к горизонту он должен пикировать? 

*Ответ*

$
S = L^2 - H^2 
$

$
tan alpha = - frac(v^2, g S) cos alpha + sqrt((frac(v^2, g S))^2 + frac(2 H v^2, g S^2) - 1)
$

#pagebreak()
=== Практика 2. 

#image("assets/27.png")
#image("assets/28.png")
#image("assets/29.png")
#image("assets/30.png")
#image("assets/31.png")
#image("assets/32.png")
#image("assets/33.png")
#image("assets/34.png")
#image("assets/35.png")

*Пример 2.* Камень брошен с башни горизонтально со скоростью $accent(v, arrow)_0$ 

Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня в момент через $t$ секунд полета. Вычислите радиус его траектории в этот момент времени. 

*Пример 3.* Камень брошен со скоростью $accent(v, arrow)_0$ под углом $alpha$ к горизонту. Найти зависимость его нормального, тангенциального ускорения и радиуса кривизны траектории от угла $beta$, который скорость составляет с линией горизонта. 

*Пример*. Камень брошен с поверхности земли со скоростью $V_0$ под углом $alpha$ к горизонту. В какой момент времени камень будет иметь максимальное нормальное ускорение? Вычислите его. Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня в момент, когда он поднимется на половину максимальной высоты? Вычислите радиус его траектории в этот момент времени. 

*Пример*. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы 

+ Радиус кривизны начала его траектории был в $N$ раз больше, чем в вершине.

+ Центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности 

*Ответы*

$
cos alpha = frac(1, N^frac(1, 3)) space.quad alpha = 60 degree 
$

$
tan alpha = sqrt(2) space.quad alpha = 54.7 degree 
$

*Пример 4*

Точка движется в плоскости так, что ее тангенциальное ускорение $a_tau = alpha$. А нормальное ускорение $a_n = beta t^4$. $alpha$ и $beta$ положительные постоянные. В момент начала отсчета времени точка покоилась. Найдите радиус кривизны траектории и ее полное ускорение как функции пройденного пути $S$. 

$
v = integral_0^t a_tau space d t = alpha t + 0 space.quad "начальное условие"
$

$
S = integral_0^t v space d t = integral_0^t alpha t space d t = frac(alpha t^2, 2)
$

$
t = sqrt(frac(2S, alpha))
$

$
R = frac(v^2, a_n) = frac(alpha^2 t^2, beta t^4) = frac(alpha^3, beta 2 S)
$

$
t = sqrt(frac(2 S, alpha))
$

$
a_"полн" = sqrt(a^2_n + a^2_tau) = sqrt(alpha^2 + beta^2 t^8) = alpha sqrt(1 + (frac(beta 4 S^2, alpha^3))^2)
$

*Пример 5* Частица движется в плоскости $X Y$ со скоростью $accent(v, arrow) = alpha accent(i, arrow) + beta x accent(j, arrow)$. Где $alpha$ и $beta$ - положительные постоянные. В начальный момент времени частица находилась в начале координат. Найти: 

1. Уравнение траектории частицы 
2. Радиус кривизны траектории как функцию $x$. 

$
v_x = alpha space.quad (1)
$

$
x = integral_0^t alpha space d t = alpha t + 0 space.quad (2)
$

$
v_y = beta x = alpha beta t space.quad (3)
$

$
y = integral_0^t alpha beta t  space d t = frac(alpha beta t^2, 2) + 0 space.quad (4)
$

выразим $t$ из $(2)$ и подставим в $(4)$, получим уравнение траектории 

$
y = frac(beta x^2, 2 alpha)
$

Из $(1)$ и $(3)$ найдем модуль скорости 

$
|accent(v, arrow)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt(alpha^2 + (beta x)^2) space.quad (5)
$

Тангенциальное ускорение - скорость изменения модуля скорости 

$
a_tau = frac(d |accent(v, arrow)|, d t) = frac(d |accent(v, arrow)|, d x) frac(d x, d t) = frac(beta^2 2 x, 2 sqrt(alpha^2 + (beta x)^2)) alpha space.quad (6)
$

Из $(1)$ и $(3)$ найдем проекции ускорения на координатные оси. 

$
a_x = 0 space.quad (7)
$

$
a_y = alpha beta space.quad (8)
$

Полное ускорение точки 

$
a_"полн" = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = beta alpha space.quad (9)
$

Радиус кривизны траектории 

$
R = frac(|accent(v, arrow)|^2, a_n) = frac(|accent(v, arrow)|^2, sqrt(a^2_"полн" - a^2_tau))
$

Из $(5), (6)$ и $(9)$

$
R = frac(alpha^2 + (beta x)^2, sqrt((alpha beta)^2 - (frac(alpha beta^2 x, sqrt(alpha^2 + (beta x)^2)))^2))
$

Сделаем преобразования 

$
R = frac((alpha^2 + (beta x)^2)^frac(3, 2), sqrt((alpha beta)^2 (alpha^2 + (beta x)^2) - alpha^2 beta^4 x^2))
$

$
R = frac((alpha^2 + (beta x)^2)^frac(3, 2), alpha^2 beta) = frac(alpha, beta) (1 + (frac(beta x, alpha))^2)^frac(3, 2)
$

*Пример*. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_0$ 

Из-за ветра шар приобретает горизонтальную компоненту скорости 

$
v_x = alpha y 
$

$alpha$-постоянная, $y$-высота подъёма. 

Найдите зависимость от высоты подъёма 

1. Сноса шара 
2. Полного, тангенциального и нормального ускорений шара. 

*Ответы*

$
S = frac(alpha, 2 v_0) y^2 
$

$
a_"полн" = alpha v_0 
$

$
a_tau = frac(alpha^2 y, sqrt(1 + (frac(alpha y, v_0))^2))
$

$
a_n = frac(alpha v_0, sqrt(1 + (frac(alpha y, v_0))^2))
$

*Пример 6*. Точка движется по окружности со скоростью $v = alpha t$, где $alpha$ - положительная постоянная. Найти полное ускорение точки в момент, когда она пройдет $N$-ю часть длины окружности после начала движения. 

$
v = alpha t 
$

Пройденный путь $l = integral_0^t v space d t = frac(alpha t^2, 2) space.quad (1)$

По условию задачи $l = 2 pi R N space.quad (2)$

Из $(1)$ и $(2)$ выразим время движения точки $t_"дв" = sqrt(frac(4 pi R N, alpha)) space.quad (3)$

$
a_tau = frac(d v, d t) = alpha
$

$
a_n = frac(v^2, R) = frac(alpha^2 t^2_"дв", R) = ("см" 3) = alpha 4 pi N 
$

$
a_"полн" = sqrt(a^2_n + a^2_tau) = alpha sqrt(1 + (4 pi N)^2)
$

*Пример*. Точка движется в положительном направлении оси $0x$ так, что её скорость меняется по закону $v = alpha sqrt(x)$

Где $alpha$ - положительная постоянная. В момент времени $t = 0$ точка находилась в начале координат. Определите: 

1. Скорость и ускорение точки как функцию времени 

2. Среднюю скорость за время, в течение которого она пройдет первые $S$ метров пути. 

$
v = alpha sqrt(x) space.quad frac(d x, d t) = alpha sqrt(x)
$

Разделим переменные: 

$
frac(d x, sqrt(x)) = alpha space d t 
$

$
2 sqrt(x) = alpha t + "const"
$

Постоянную определим из начальных условий 

$
t = 0 space x = 0 arrow.double "const" = 0 
$

$
x = frac(alpha^2 t^2, 4)
$

Вычислим скорость и ускорение точки: 

$
v = frac(d x, d t) = frac(alpha^2 t, 2) space.quad a = frac(d v, d t) = frac(alpha^2, 2)
$

Определим среднюю путевую скорость точки. Время, которое было затрачено на прохождение $S$ метров пути 

$
t_1 = frac(2 sqrt(S), alpha)
$

$
v_"ср" = frac(S, t_1) = frac(sqrt(S) alpha, 2)
$

*Пример*. Точка движется по прямой, замедляясь, с ускорением, модуль которого зависит от её скорости по закону 

$
a = alpha sqrt(v)
$

В начальный момент времени скорость точки равна $v_0$

Какой путь пройдет она до остановки и за какое время? 

$
a_x = -a sqrt(v_x) space.quad frac(d v, sqrt(v)) = - alpha space d t 
$

Проинтегрируем уравнение с учетом начальных условий 

$
2 sqrt(v) = -alpha t + "const"
$

$
v = -frac(alpha^2 t^2, 4) + v_0
$

Определим время движения точки до остановки 

$
v_0 = frac(alpha^2 t_"дв"^2, 4) space.quad t_"дв" = frac(2, alpha) sqrt(v_0)
$

Путь, пройденный прямолинейно двигавшейся точкой 

$
l = integral_0^(t_"дв") v(t) space d t = - frac(alpha^2 t^3_"дв", 12) + v_0 t_"дв" = frac(4(v_0)^frac(3, 2), 3 alpha)
$

*Пример*. Тогда движется по дуге окружности $v = alpha sqrt(S)$. Радиуса $R$. Её скорость где $S$ - пройденный путь, $alpha$-положительная постоянная. 

Найти угол между вектором скорости и полного ускорения как функцию $S$. 

Пусть $v = alpha sqrt(S)$ где $alpha$-коэффициент пропорциональности 

$
frac(d S, d t) = alpha sqrt(S)
$

Разделяем переменные и интегрируем 

$
frac(d S, sqrt(S)) = alpha space d t space.quad s sqrt(S) = alpha t 
$

Зависимость пройденного пути от времени 

$
S = alpha^2 frac(t^2, 4) space.quad (1)
$

Зависимость скорости точки от времени 

$
v = frac(d S, d t) space.quad v = alpha^2 frac(t, 2)
$

Найдем тангенциальное ускорение точки 

$
a_tau = frac(d v, d t) = alpha^2 1/2 space.quad (2)
$

Найдем нормальное ускорение точки. И выразим его через путь $S$, используя $(1)$. 

$
a_n = frac(v^2, R) = frac(alpha^4 t^2, 4 R) = frac(alpha^2, R) S space.quad (3)
$

#image("assets/36.png")

#pagebreak()
=== Практика 3.

#image("assets/37.png")
#image("assets/38.png")

Направление вектора угла поворота определяют по правилу правого винта: если смотреть вдоль вектора угла поворота, то мы будем видеть поворот, совершающимся по часовой стрелке. 

#image("assets/39.png")
#image("assets/40.png")
#image("assets/41.png")
#image("assets/42.png")

При рассмотрении таких векторов, как радиус-вектор, скорость или сила и.т.п., вопрос о выборе их направления не возникает - оно вытекает естественным образом из природы этих величин. Такие векторы называют полярными или истинными. Векторы, направление которых связано с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. 

При изменении условия, определяющего направление псевдовекторов, например, переходе от правой системы координат к левой псевдовекторы меняют направление на противоположное, а полярные остаются без изменений. Если оба вектора в векторном произведении полярные (или аксиальные), то векторное произведение - аксиальный вектор. 

Произведение полярного вектора на аксиальный будет полярным вектором. Изменение условия, определяющего направление псевдовекторов на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед аксиальным вектором. В итоге направление векторного произведения не изменится. 

#image("assets/43.png")
#image("assets/44.png")
#image("assets/45.png")
#image("assets/46.png")

*Пример*. Колесо вращалось с угловой скоростью $omega_0$, стало тормозить и остановилось спустя $t_"дв"$ секунд. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов с момента начала торможения до остановки. 

#image("assets/47.png")

$
phi_"конечн" = omega_0 t_"дв" - frac(epsilon t^2_"дв", 2) space.quad (2)
$

Из $(1)$ и $(2)$

$
phi_"конечн" = frac(omega_0 t_"дв", 2)
$

Число оборотов до остановки 

$
N = frac(phi_"конечн", 2 pi) = frac(omega_0 t_"дв", 4 pi)
$

#image("assets/48.png")
#image("assets/49.png")

Поскольку центр масс шарика движется по окружности радиусом $r-R$, 

$
v_"цм" = W(r - R) space.quad (2)
$

Из $(1)$ и $(2)$ 

$
v_"цм" = frac(R omega, r) (r - R)
$

3. Если шарик катится по горке радиусом $r$, то 

$
v_"цм" = R omega (1 + R/r)
$

#image("assets/50.png")

Сложение угловых скоростей. 

Шарик радиусом $R$ насажен на горизонтальную ось, вращающуюся вокруг вертикальной оси. Шарик при этом катится по горизонтальной поверхности со скоростью $v$, описывая окружность радиусом $r$. Вычислите полную угловую скорость шарика и её наклон к горизонту. 

#image("assets/51.png")

#pagebreak()
=== Практика 4. 

*Пример 1*. Брусок массой $m_1$ лежит на доске массой $m_2$. Коэффициент трения между доской и столом и между бруском и доской равен $mu$. На доску начинает действовать горизонтальная сила $F$, величина которой увеличивается со временем. Опишите варианты движения бруска и доски. 

#image("assets/52.png")
#image("assets/53.png")

3. Пока сила будет изменяться в таких пределах 

$
mu(m_1 + m_2) g gt F gt.eq 2 mu (m_1 + m_2) g 
$

доска и брусок будут двигаться вместе, пока не начнется соскальзывание бруска с доски. 

Их ускорение в этом случае можно определить так 

$
(m_1 + m_2)a = F - mu(m_1 + m_2)g 
$

#image("assets/54.png")
#image("assets/55.png")
#image("assets/56.png")
#image("assets/57.png")

Параллельное соединение пружин 

$
F = k_1 x + k_2 x = k_"экв" x 
$

$
k_"экв" = k_1 + k_2
$

Параллельное соединение пружин 

Одинаковые упругие напряжения возникают в любом сечении связки 

$
F = k_1 x_1 = k_2 x_2 = k_"экв" (x_1 + x_2) 
$

$
k_"экв" = frac(k_1 k_2, k_1 + k_2)
$

#image("assets/58.png")

*Пример.* Три пружины соединены между собой, верхняя пружина закреплена на потолке. Пружины надеты на закрепленный на потолке стержень, к нижней пружине прикреплен груз, который может двигаться, не задевая стержень. К системе прикреплены две невесомые жесткие скобки (показаны синим цветом). 

Определите эквивалентную жёсткость системы. 

#image("assets/59.png")
#image("assets/60.png")

Средняя пружина сжимается, верхняя и нижняя растягиваются на одинаковую величину $x$. Силы упругости всех трёх пружин приложены к точке $A$ и к точке $B$. Такое соединение эквивалентно параллельному соединению пружин. 

$
k_"экв" = 2k_1 + k_2
$

*Пример*. (самостоятельная работа)

По ободу тонкого кольца массой $m$ и радиусом $R$ сделан паз, внутрь которого вставлен трос. При движении троса колесо поворачивается без проскальзывания. Один конец троса закреплен на потолке, второй - присоединен к пружине жесткостью $k$. Сначала колесо удерживают неподвижным, прикладывая некоторую силу в точке $A$, чтобы пружина не было деформированной, затем отпускают. В системе возникают колебания. Потерями механической энергии можно пренебречь.

#image("assets/61.png")

Определите: 

+ Величину силы $F$, которую надо было прикладывать к точке $A$.

+ Величину максимальной деформации пружины $Delta X$ в процессе движения колеса. 

+ Скорость $V$ центра колеса, когда он в первый раз пройдет положение равновесия. 

+ Максимальную угловую скорость $W_max$ вращения колеса вокруг оси, проходящей через его центр, перпендикулярно его плоскости. 

+ Полную кинетическую энергию $E$ леса, когда его центр опустился на расстояние $L$ относительно начального положения. 

#image("assets/62.png")

Тело оторвется от поверхности полусферы, когда вся составляющая силы тяжести, направленная вдоль радиуса, будет расходоваться на создание центростремительного ускорения. Сила реакции опоры в этот момент обратится в нуль. 

$
m frac(v^2, R) = m g cos alpha - N 
$

#image("assets/63.png")

*Пример.* На краю массивной подставки закреплен невесомый блок. Грузы, массой $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения грузов о подставку равен $mu$. Подставка движется вправо с ускорением $a$. Правый груз опускается. Вычислите ускорение грузов относительно подставки. 

Д/З. С каким ускорением должна двигаться подставка, чтобы правый груз начал подниматься. 

*Решение* 

Будем решать задачу в неинерциальной системе отсчета. На грузы действует поступательная сила инерции. Она прижимает второй груз к подставке и определяет силу трения скольжения.

#image("assets/64.png")

$
(m_1 + m_2) a_1 = m_2 g - mu m_1 g - mu m_2 a - m_1 a 
$

*Пример*. Брусок массой $m$ поставили на клин, движущийся вправо с ускорением $a$ и отпустили. Найти ускорение бруска относительно клина. Коэффициент трения между поверхностями равен $mu$.

#image("assets/65.png")

#pagebreak()
=== Практика 5. 

*Пример*. Цепочка массой $m$ и длиной $l$ висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити она упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу. 

*Решение*. После пережигания нити все звенья цепочки начинают падать с ускорением $g$. Рассмотрим звено цепи массой $d m$, изначально находившееся на высоте $x$. Определим, какую скорость оно имеет в момент касания стола 

#image("assets/66.png")

Звено передает столу импульс 

$
d p = v d m = sqrt(2 g x) m/l space d x 
$

Суммарный импульс, который цепочка передаст столу 

$
p = integral_0^l sqrt(2 g x) m/l space d x = m/l sqrt(2 g) frac(2l^frac(3, 2), 3) = frac(2m, 3) sqrt(2 g l)
$

*Пример.* Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $F$, сонаправленной с её скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью $k$ кг/с. 

Найти скорость и ускорение тележки, если в момент начала отсчета времени масса тележки с песком равна $m_0$, а скорость равна нулю. 

*Решение*. Запишем закон движения платформы. 

$
(m - k t) frac(d accent(v, arrow), d t) = accent(F, arrow)
$

$
a = frac(F, m - k t)
$

$
d v = frac(F space d t, m - k t)
$

$
d v = frac(F space d t, m_0 - k t)
$

Для того, чтобы решить уравнение, сделаем замену переменных: 

$
m_0 - k t = z space.quad d t = -frac(d z, k) space.quad d v = -frac(F space d z, k z) 
$

Учитываем начальные условия: 

$
v = -F/k ln(m_0 - k t) + F/k ln m_0
$

$
v = F/k ln frac(m_0, (m_0 - k t))
$

#image("assets/67.png")

*Решение*. Запишем закон движения платформы с учетом реактивной силы. 

$
m frac(d accent(v, arrow), d t) = accent(F, arrow) + accent(v, arrow)_"отн" frac(d m, d t) 
$

Спроектируем на горизонтальную ось 

$
m frac(d v, d t) = F - v frac(d m, d t) 
$

$
m space d v + v space d m = F space d t 
$

$
d(m v) = F space d t 
$

$
d (m v) = F space d t space.quad p = F t + 0
$

Подставим зависимость массы от времени - найдем скорость 

$
v = frac(F t, m_0 + k t)
$

Продифференцируем по времени - найдем ускорение 

$
a = frac(d v, d t) = frac(m_0 F, (m_0 + k t)^2)
$

*Пример*. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса $R$, зависит от пройденного пути по закону $E = alpha S^2$ где $alpha$-постоянная, $S$-пройденный путь. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от $S$. 

*Решение*. Приращение кинетической энергии происходит из-за того, что действующая на частицу сила совершает работу 

$
d E = F space d S space.quad (1)
$

Вычислим дифференциал от заданного выражения для кинетической энергии 

$
d E = 2 alpha S space d S space.quad (2)
$

Из $(1)$ и $(2)$ 

$
F = 2 alpha S 
$

#image("assets/68.png")
#image("assets/69.png")

Работа силы трения за все время движения 

$
A_"тр" = -integral_S F_"тр" space d S = -mu m g L 
$

Работа силы тяжести $A_"тяж" = -m g h$ 

Работа силы $F$ 

$
A = mu m g L + m g h
$

*Пример*. Какую мощность развивают двигатели ракеты массой $m$, если она неподвижно висит над поверхностью земли? Скорость истечения газов из сопла ракеты равна $u$. 

*Решение:* Реактивная сила компенсирует действие силы тяжести $frac(d m, d t)u = m g$

Мощность двигателей 

$
N = frac(d m, d t) frac(u^2, 2) = frac(m g u, 2)
$

#image("assets/70.png")

$
N = m g dot v dot cos(pi/2 + beta) 
$

$
N = -m g v sin beta = 
$

$
= -frac(m g v_0 cos alpha sin beta, cos beta) = 
$

$
m g (g t - v_0 sin alpha)
$

*Пример.* Человек массой $m$ стоит на носу лодки массой $M$ и длиной $L$. На какое расстояние $S$ сместится лодка, если человек перейдёт на корму. 

*Решение*. По закону сохранения импульса придвижении человека со скоростью $v$ относительно лодки, лодка приобретет относительно дна скорость $V$ 

$
0 = m(v - V) - M V 
$

$
V = frac(m v, m + M)
$

Человек перейдет на корму за время 

$
t = L/v
$

Лодка за это время сместится на расстояние 

$
S = V t = frac(m L, m + M)
$

Система человек-лодка замкнута. Ее центр масс не может сместиться относительно земли. 

Д/З Решите задачу этим методом. 

*Пример.* Два одинаковых шарика массой $m$ соединены пружиной жесткостью $k$. Шарики скользят по идеально гладкой горизонтальной поверхности и один из них абсолютно упруго ударяется о стену. Сколько времени будет продолжаться колебание шариков после прекращения колебаний. 

#image("assets/71.png")

*Решение.* В момент удара левого шарика о стену скорость его меняется на противоположную. Центр масс системы останавливается. Поскольку после этого внешние силы на систему не действуют - начинается колебание шариков относительно неподвижного центра масс. Каждый шарик движется, как пружинный маятник на пружине жесткостью $2k$. 

$
T = 2 pi sqrt(frac(m, 2k))
$

Спустя половину периода левый шарик опять ударяется о стену и меняет скорость на противоположную. В этот момент скорости обоих шариков направлены вправо, система начинает двигаться вправо со скоростью $v$, без колебаний. 

Д/З Допустим теперь, что левый шарик был тяжелее. В момент удара о стену он изменит скорость на противоположную - центр масс системы начнет двигаться направо! Вычислите его скорость. Шарики будут совершать колебания относительно центра масс. Не забудьте, что жесткости соответствующих частей пружины - от шарика до центра масс надо вычислить их по длинам. Найдите период колебаний шариков, скорость центра масс и зависимость скорости шариков относительно центра масс от времени.

*Пример*. Две гантели состоят из шариков массой $m$ и невесомых стержней длиной $l$. Гантели движутся навстречу друг другу со скоростью $v$ (см. рис). Считая удар шариков мгновенным и абсолютно упругим 

+ Охарактеризовать движение гантелей после столкновения 

+ Найти угловую скорость вращения гантелей 

+ Сколько времени будут вращаться гантели 

+ Как будут двигаться гантели после прекращения вращения 

#image("assets/72.png")

В момент удара скорости столкнувшихся шариков меняются на противоположные. Центры масс каждой из гантелей останавливаются. Обе гантели начинают вращаться по часовой стрелке относительно оси, проходящей через их середину с угловой скоростью.

$
omega = frac(v, l/2)
$

Каждый шарик проходит половину окружности за время. 

$
t = frac(pi l, 2 v)
$

В этот момент уже другая пара шариков сталкивается и обменивается скоростями. Скорости обоих шариков правой гантели оказываются направленными вниз, а шариков левой - вверх. 

Гантели прекращают вращение и движутся поступательно со скоростями, направленными, как до первого столкновения. 

*Пример*. Частица массой $m_1$ испытала абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей массой $m_2$. Какую часть своей первоначальной энергии потеряла частица, если она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения.

#image("assets/73.png")


$
v_1^2 (1 - frac(m_1, m_2)) = v_1^('2) (1 + frac(m_1, m_2))
$

Относительные потери энергии 1 тела 

$
frac(Delta E_1, E_1) = frac(v_1^2 - v_1^('2), v_1^2) = frac(2m_1, m_2+m_1)
$

*Пример*. Снаряд, выпущенный со скоростью $v_0 = 100$ м/с под углом $alpha = 45 degree$ к горизонту разорвался в верхней точке траектории на 2 одинаковых осколка. Один осколок упал на землю прямо под точкой взрыва со скоростью $v_1 = 97$ м/с. С какой скоростью и на каком расстоянии от первого осколка упал на землю второй осколок? 

*Пример*. Пушка массой $M$ начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол с горизонтом $alpha$. Когда пушка прошла путь $S$, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом $p$ в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найдите продолжительность выстрела. 

*Ответ*: $tau = (p cos alpha - M sqrt(2 g S dot sin alpha))/(M g sin alpha)$

#pagebreak()
=== Практика 6.

#image("assets/74.png")

*Решение*

За время падения масс стержня опускается на $l/2$

Потенциальная энергия центра масс переходит в кинетическую энергию вращения стержня. 

$
m g l/2 = I frac(omega^2, 2) = frac(m l, 3) frac(omega^2, 2)
$

$
v = omega l = sqrt(3 g l)
$

#image("assets/75.png")
#image("assets/76.png")

Найдем координату центра масс системы стержень-пуля 

$
x_"цм" (m + M) = M l/2 + m l space.quad (2)
$

Угол отклонения стержня найдем по закону сохранения энергии. Кинетическая энергия системы переходит в потенциальную (используем высоту центра масс) 

$
I frac(omega^2, 2) = (m + M)x_"цм" g(1 - cos alpha) space.quad (3)
$

*Пример*. Для горизонтальных диска вращаются вокруг вертикальной оси в противоположных направлениях. Первый диск имеет массу $m_1$, радиус $R_1$ и угловую скорость $omega_1$ второй диск - массу $m_2$, радиус $R_2$ и угловую скорость $omega_2$. Верхний диск падает на нижний. Из-за трения они начинают вращаться вместе. Найдите их общую угловую скорость. 

#image("assets/77.png")

*Пример*. Человек стоит в центре неподвижной скамейки Жуковского и держит на вытянутых руках на расстоянии $x$ от оси скамейки колесо массой $m$ и радиусом $r$. Ось колеса вертикальна, колесо вращается с угловой скоростью $omega_1$. Человек резко поворачивает ось колеса на $180 degree$ градусов. Угловая скорость колеса становится равной $omega_2$. Вычислите угловую скорость скамейки. Момент инерции человека и скамейки $I$. 

#image("assets/78.png")
#image("assets/79.png")
#image("assets/80.png")

Вычислите работу силы трения за всё время торможения. 

#image("assets/81.png")

Вычислим момент силы трения. 
Выделим элемент площадью 

$
d S = r d r d phi  
$

Его масса $d m = frac(m, pi R^2) r d r d phi$

На этот элемент будет действовать сила трения 

$
d F = mu frac(m g, pi R^2) r d r d phi 
$

Её момент $d M = mu frac(m g, pi R^2) r^2 d r d phi$ 

Момент силы трения, действующий на весь диск, 

$
M = integral_0^(2pi) integral_0^R mu frac(m g, pi R^2) r^2 d r d phi = 2/3 mu m g R 
$

Суммарная работа момента силы трения 

$
A = integral_0^phi M_z space d phi 
$

равна приращению кинетической энергии. Момент силы трения не зависит от угла поворота, поэтому нет необходимости интегрировать по углу. За всё время торможения диск повернулся на угол $phi$ такой, что 

$
M_z dot phi = - I frac(omega_0^2, 2)
$

$
- 2/3 m mu R g dot phi = - frac(m R^2, 2) frac(omega_0^2, 2)
$

Угол поворота диска за всё время торможения 

$
phi = frac(3 omega_0^2 R, 8 mu g)
$

Можно воспользоваться законом динамики вращательного движения. Получится несколько дольше. Запишем закон динамики вращательного движения диска 

$
I epsilon_z = M_z
$

$
frac(m R^2, 2) epsilon = 2/3 mu m g R 
$

Угловое ускорение диска $epsilon = 4/3 frac(mu g, R)$

Вычислим время торможения диска 

$
omega_0 - epsilon t = 0 space.quad t = frac(3 omega_0 R, 4 mu g)
$

За это время диск повернется на угол 

$
phi = omega_0 t - frac(epsilon t^2, 2) = frac(3 omega_0^2 R, 8 mu g)
$

*Пример*. Тонкий стержень массой $m$ и длиной $l$ лежит на горизонтальной гладкой поверхности. За очень малый интервал времени он получает импульс $p$, приложенный к точке $A$, находящейся на расстоянии $r$ от центра стержня. Найдите 

+ Скорость центра масс стержня сразу после удара. 

+ Угловую скорость вращения стержня сразу после удара 

#image("assets/82.png")

*Решение*. 

1. По закону сохранения импульса $p = m v_c$, где $v_c$ - скорость центра масс сразу после удара 

$
v_c = p/m 
$

2. По закону сохранения момента импульса стержень будет вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью $omega$ 

$
p r = frac(m l^2, 12) omega
$

3. Скорость точки $B$ сразу после удара. 

$
v_B = -omega l/2 + v_c = - frac(12 p r, m l^2) l/2 + p/m = p/m (1 - 6 r/l)
$

Для того, чтобы точка $B$ сразу после удара осталась неподвижной, расстояние $r$ должно быть равно $l/6$. 

*Пример*. Тонкий стержень массой $m$ и длиной $l$ лежит на горизонтальной. Абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусок замазки массой $m$ (такой же) летит со скоростью $v$ перпендикулярно к нему и попадает в конец стержня. Вычислите 

1. Скорость центра масс до и после удара 

2. Чему равен момент импульса стержня до и после удара 

3. Чему равна угловая скорость вращения стержня относительно центра масс после прилипания замазки 

4. На сколько уменьшится кинетическая энергия системы при столкновении.

#image("assets/83.png")

Скорость центра масс 

$
v_"цм" = frac(m v + 0, m + m) = frac(v, 2)
$

Начальный момент импульса системы - момент импульса кусочка замазки относительно центра масс. 

$
L = frac(m v l, 4)
$

После попадания замазки момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно к стержню, 

$
I = (frac(m l^2, 12) + m(l/4)^2) + m(l/4)^2 = 5/24 m l^2 
$

По закону сохранения момента импульса 

$
L = L' space.quad frac(m v l, 4) = 5/24 m l^2 omega
$

Угловая скорость вращения стержня 

$
omega = 6/5 v/l 
$

Кинетическая энергия системы после удара складывается из энергии поступательного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр масс 

$
E = frac(2m, 2) (v_"цм")^2 + frac(I omega^2, 2)
$

$
E = frac(2m, 2) (v/2)^2 + 5/24 m l^2 frac(36v^2, 25l^2) 1/2 = 2/5 m v^2
$

Выделившееся при ударе количество теплоты равно убыли кинетической энергии системы 

$
Q = frac(m v^2, 2) - 2/5 m v^2 = 1/10 m v^2 
$

*Пример*. Шар массой $m$ и радиусом $R$ скользит по гладкой, горизонтальной поверхности и наезжает на шероховатую полосу, где коэффициент трения равен $mu$. Спустя какой промежуток времени после этого шар будет катиться без проскальзывания? Какую работу совершит сила трения скольжения за все время движения шара? 

#image("assets/84.png")

*Решение*. Когда шар наезжает на шероховатую полосу, на него начинает действовать сила трения скольжения. Эта сила тормозит центр масс шара 

$
m a_x = -mu m g 
$

$
v_"цм" = v_0 - mu g t space.quad (1)
$

и раскручивает шар $I epsilon = M_"трения"$

$
2/5 m R^2 epsilon = mu m g R space.quad (2)
$

Из $(2)$ определим угловое ускорение точек шара 

$
epsilon = frac(5 mu g, 2 R)
$

Угловая скорость этих точек линейно увеличивается со временем.

Линейная скорость 

$
omega = epsilon t = frac(5 mu g, 2 R) t space.quad (3)
$

вращения точек поверхности шара относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс, 

$
v_"лин" = omega R = frac(5 mu g, 2) t space.quad (4)
$

Таким образом, в начале движения по шероховатой поверхности шар проскальзывает из-за того, что скорость поступательного движения его центра масс $(1)$ превосходит линейную скорость вращения точек его поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс $(4)$. 

$
v_0 - mu g t gt frac(5 mu g, 2) t 
$

Проскальзывание прекратится в момент времени 

$
t = 2/7 frac(v_0, mu g), space.quad (5)
$

когда эти скорости сравняются. 

Скорость центра масс шара в этот момент определим из $(1)$ и $(5)$: 

$
v = 5/7 v_0 space.quad (6)
$

Работа силы трения скольжения равна приращению кинетической энергии шара 

$
A = E_k - E_(k 0) = 7/10 m v^2 - frac(m v_0^2, 2) = -1/7 m v_0^2
$

#pagebreak()
=== Практика 7. 

*Пример*. Какую скорость нужно сообщить стержню в направлении вдоль его оси, чтобы Лоренцево сокращение длины составило 20 процентов. 

*Пример*. С какой скоростью движется релятивистская масса на 10 процентов больше ее массы. 

*Пример*. С какой скоростью движется релятивистская частица, если ее импульс на 5 процентов отличается от классического. 

*Пример*. В инерциальной системе отсчета $K$ вдоль оси $0x$ со скоростью $v = c/2$ движется стержень. Ось стержня развернута под углом $alpha$ к направлению движения. Измеряя длину стержня в $K$-системе, получили результат $l$. Определите собственную длину стержня и угол, который ось стержня образует с осью $0X'$ системы $K'$, движущейся вместе со стержнем. 

#image("assets/85.png")

Свяжем со стержнем систему $K'$. Она будет двигаться относительно $K$-системы со скоростью $V = c/2$. Определим длину стержня $l_0$ в $K'$-системе. Для этого найдем разности координат концов стержня $Delta x'$ и $Delta y'$ и вычислим $l_0$ как корень квадратичный из суммы квадратов этих величин. 

$
l_0 = Delta x^('2) + Delta y^('2) space.quad (1)
$
 
Преобразования Лоренца для координат: 

$
Delta x' = x'_2 - x'_1 = frac(x_2 - V t, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) - frac(x_1 - V t, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) = frac(Delta x, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) space.quad (2)
$

$
Delta y' = y'_2 - y'_1 = y_2 - y_1 = Delta y space.quad (3)
$

В $K$-системе разности координат концов стержня связаны с его длиной уравнениями 

$
Delta x = l cos alpha space.quad (4)
$

$
Delta y = l sin alpha space.quad (5)
$

Подставляем $(4)$ и $(5)$ в $(2)$ и $(3)$, а затем полученные уравнения в $(1)$, определим собственную длину стержня $l_0$: 

$
l_0 = sqrt(frac(l^2 cos^2 alpha, (1 - frac(V^2, c^2))) + l^2 sin^2 alpha) = frac(l sqrt(1 - frac(V^2, c^2) sin^2 alpha), sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) = 1.12 l
$

Определим теперь тангенс угла, который стержень образует с осью $X'$ системы $K'$. 

$
tan alpha' = frac(Delta y', Delta x') = frac(Delta y, Delta x) sqrt(1 - frac(V^2, c^2)) = tan alpha dot sqrt(1 - frac(V^2, c^2)) = frac(1, sqrt(3)) sqrt(1 - 1/4) = 1/2
$

*Пример*. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы $tau_0$. Какой путь сможет пройти эта частица до распада в $K$-системе, где её время жизни равно $tau$. 


*Решение*. $K'$-система связана с частицей. Нам нужно определить скорость частицы в $K$-системе, фактически, это скорость системы $K'$ относительно $K$-системы. 

$
tau = frac(tau_0, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) space.quad V = c sqrt(1 - frac(tau_0^2, tau^2))
$

До распада в $K$-системе частица пройдет путь 

$
S = V tau = c tau sqrt(1 - frac(tau_0^2, tau^2))
$

*Пример*. Две релятивистские частицы движутся в $K$-системе отсчета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой скоростью $v = 0.7$ c. Определите: 

1. Скорость сближения частиц в $K$-системе 

2. Модуль скорости второй частицы в системе отсчета, связанной с первой частицей. 

*Решение*. 

1. Скорость сближения частиц в $K$-системе - скорость, с которой уменьшается расстояние между ними в этой системе. 

$
v_"сбл" = 1.4 "с"
$

#image("assets/86.png")

Воспользуемся формулой преобразования скоростей: 

$
v'_(2x') = frac(v_(2x) - V, 1 - frac(v_(2x) V, c^2)) = frac(-2, 1 + frac(v^2_2, c^2)) v^2 = -0.94 c 
$

С этой скоростью может быть передана информация. Она не превосходит скорость света. 

*Пример*. В системе отсчета связанной с неподвижными звездами два космических корабля летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями $v = 0.2$ с 

Второй корабль испускает импульс света. 

Вычислите: 

1. Скорость сближения фотона и первого корабля в системе отсчета, связанной с неподвижными звездами. 

2. В системе отсчета, связанной с первым кораблем. 

#image("assets/87.png")

1. В $K$-системе отсчета "неподвижные звезды" расстояние между фотоном и первым кораблём уменьшается со скоростью 

$
v_"сбл" = 0.2 c + c = 1.2 c 
$

1. В системе отсчета, связанной с неподвижными звездами, скорость фотона $v_x = -c$

Свяжем с первым кораблем $K'$ - систему. 

Её скорость относительно $K$-системы $V = 0.2 c$

Формула преобразования скоростей даёт для проекции скорости фотона на ось системы $0X'$ результат $K'$: 

$
v'_(X') = frac(v_X - V, 1 - frac(v_X V, c^2)) = frac(- c - 0.2 c, 1 + frac(c dot 0.2 c, c^2)) = -c 
$

Постулат Эйнштейна утверждает, что скорость света одинакова во всех системах отсчета. Именно такой результат мы и должны были получить. 

*Пример*. При какой скорости движения частицы ее кинетическая энергия равна ее энергии покоя? 

*Решение* 

Энергия покоя частицы $E_0 = m c^2$ 

Кинетическая энергия частицы 

$
E_K = m c^2 (frac(1, sqrt(1 - frac(v^2, c^2))) - 1)
$

$
v = frac(sqrt(3), 2) c = 0.87 c 
$

*Пример*. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы, имеющей массу $m$, от $0.60 c$ до $0.80 c$? Во сколько раз меньше получится результат, если проводить вычисления по формулам классической механики? 

*Решение*. Работа идет на увеличение кинетической энергии частицы 

$
A_"рел" = E_(K 2) - E_(K 1) = m c^2 (frac(1, sqrt(1 - frac(v_2^2, c^2))) - 1 - (frac(1, sqrt(1 - frac(v_1^2, c^2))) - 1)) = 0.42 m c^2
$

По классической формуле 

$
A_"кл" = E_(K 2) - E_(K 1) = frac(m v_2^2, 2) - frac(m v_1^2, 2) = 0.14 m c^2. 
$

$
frac(A_"рел", A_"кл") = 3. 
$

*Пример*. Общая мощность излучения Солнца составляет $3.8 dot 10^26 "Вт"$. Вычислите, на сколько килограммов уменьшается масса Солнца за $1 "нс"$. 

*Решение*. Энергия, которую излучает Солнце за время $t$, равна 

$
P t = Delta m c^2 
$

$
Delta m = frac(P t, c^2) = 4.2 "кг"
$

*Пример*. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массой $m = 9.11 dot 10^(-30) "кг"$ и радиуса $R = 2.82 dot 10^(-15) "м"$ обладающем собственным моментом импульса $M = 0.913 dot 10^(-34) frac("кг" dot "м"^2, "с")$ 

(Вытекающее из квантовой теории и подтвержденное экспериментально значение собственного момента импульса электрона).