exams/calculus/practice/tasks.typ

= Математический анализ. Практика.


=== КР 1. Вариант 2.

==== 1. Вычислить неопределенный интеграл:

$
integral frac(ln x, sqrt(x)) space d x
$

*Решение:*

Используем метод интегрирования по частям: $integral u space d v = u v - integral v space d u$

Пусть $u = ln x$, $d v = x^(-1/2) d x$

Тогда $d u = frac(1, x) d x$, $v = integral x^(-1/2) d x = 2 sqrt(x)$

$
integral frac(ln x, sqrt(x)) space d x &= ln x dot 2 sqrt(x) - integral 2 sqrt(x) dot frac(1, x) space d x \
&= 2 sqrt(x) ln x - 2 integral frac(sqrt(x), x) space d x \
&= 2 sqrt(x) ln x - 2 integral x^(-1/2) space d x \
&= 2 sqrt(x) ln x - 2 dot 2 sqrt(x) + C \
&= 2 sqrt(x) ln x - 4 sqrt(x) + C \
&= 2 sqrt(x) (ln x - 2) + C
$

*Ответ:* $2 sqrt(x) (ln x - 2) + C$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить неопределенный интеграл:

$
integral frac(x^2 - 6x + 8, x^3 + 8) space d x
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(x^2 - 6x + 8, (x + 2)(x^2 - 2x + 4)) = frac(A, x + 2) + frac(B x + C, x^2 - 2x + 4)
$

$x^2 - 6x + 8 = A(x^2 - 2x + 4) + (B x + C)(x + 2)$

При $x = -2$: $4 + 12 + 8 = 24 = A(4 + 4 + 4) = 12A$, откуда $A = 2$

Приравнивая коэффициенты при $x^2$: $1 = A + B = 2 + B$, откуда $B = -1$

Приравнивая коэффициенты при $x^0$: $8 = 4A + 2C = 8 + 2C$, откуда $C = 0$

$
integral frac(x^2 - 6x + 8, x^3 + 8) space d x &= integral frac(2, x + 2) space d x + integral frac(-x, x^2 - 2x + 4) space d x \
&= 2 ln|x + 2| - integral frac(x, x^2 - 2x + 4) space d x
$

Для второго интеграла используем замену $u = x^2 - 2x + 4$, $d u = (2x - 2) d x$:
$
integral frac(x, x^2 - 2x + 4) space d x &= frac(1, 2) integral frac(2x - 2 + 2, x^2 - 2x + 4) space d x \
&= frac(1, 2) integral frac(2x - 2, x^2 - 2x + 4) space d x + integral frac(1, x^2 - 2x + 4) space d x \
&= frac(1, 2) ln|x^2 - 2x + 4| + integral frac(1, (x - 1)^2 + 3) space d x \
&= frac(1, 2) ln|x^2 - 2x + 4| + frac(1, sqrt(3)) arctan frac(x - 1, sqrt(3)) + C_1
$

*Ответ:* $2 ln|x + 2| - frac(1, 2) ln|x^2 - 2x + 4| - frac(1, sqrt(3)) arctan frac(x - 1, sqrt(3)) + C$


#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить определенный интеграл:

$
integral_1^6 frac(d x, 2 + sqrt(x + 3))
$

*Решение:*

Используем замену $t = sqrt(x + 3)$, тогда $t^2 = x + 3$, $x = t^2 - 3$, $d x = 2t d t$

При $x = 1$: $t = sqrt(4) = 2$
При $x = 6$: $t = sqrt(9) = 3$

$
integral_1^6 frac(d x, 2 + sqrt(x + 3)) &= integral_2^3 frac(2t d t, 2 + t) \
&= 2 integral_2^3 frac(t, 2 + t) space d t \
&= 2 integral_2^3 frac(t + 2 - 2, 2 + t) space d t \
&= 2 integral_2^3 (1 - frac(2, 2 + t)) space d t \
&= 2 [t - 2 ln|2 + t|]_2^3 \
&= 2 [(3 - 2 ln 5) - (2 - 2 ln 4)] \
&= 2 [1 - 2 ln 5 + 2 ln 4] \
&= 2 [1 - 2 ln frac(5, 4)] \
&= 2 - 4 ln frac(5, 4)
$

*Ответ:* $2 - 4 ln frac(5, 4)$

#line(length: 100%)

==== 4. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

$
integral_frac(1, 3)^1 frac(ln(3x - 1), 3x - 1) space d x
$

*Решение:*

Это несобственный интеграл первого рода. Особая точка $x = frac(1, 3)$, где знаменатель обращается в ноль.

Используем замену $u = 3x - 1$, тогда $d u = 3 d x$, $d x = frac(d u, 3)$

При $x = frac(1, 3)$: $u = 0$
При $x = 1$: $u = 2$

$
integral_frac(1, 3)^1 frac(ln(3x - 1), 3x - 1) space d x &= lim_(epsilon arrow 0^+) integral_(epsilon)^2 frac(ln u, u) dot frac(d u, 3) \
&= frac(1, 3) lim_(epsilon arrow 0^+) integral_(epsilon)^2 frac(ln u, u) space d u
$

Для вычисления интеграла используем замену $v = ln u$, $d v = frac(d u, u)$:
$
integral frac(ln u, u) space d u = integral v space d v = frac(v^2, 2) + C = frac((ln u)^2, 2) + C
$

$
frac(1, 3) lim_(epsilon arrow 0^+) integral_(epsilon)^2 frac(ln u, u) space d u &= frac(1, 3) lim_(epsilon arrow 0^+) [frac((ln u)^2, 2)]_(epsilon)^2 \
&= frac(1, 3) lim_(epsilon arrow 0^+) [frac((ln 2)^2, 2) - frac((ln epsilon)^2, 2)] \
&= frac(1, 3) [frac((ln 2)^2, 2) - lim_(epsilon arrow 0^+) frac((ln epsilon)^2, 2)]
$

Поскольку $lim_(epsilon arrow 0^+) (ln epsilon)^2 = +infinity$, интеграл расходится.

*Ответ:* Интеграл расходится

#line(length: 100%)

==== 5. Вычислить длину кривой от $t_1 = 0$ до $t_2 = sqrt(3)$:

$
cases(x = t^2, y = t - frac(t^3, 3))
$

*Решение:*

Длина параметрически заданной кривой вычисляется по формуле:
$
L = integral_(t_1)^(t_2) sqrt((frac(d x, d t))^2 + (frac(d y, d t))^2) space d t
$

Найдем производные:
$
frac(d x, d t) = 2t
$
$
frac(d y, d t) = 1 - t^2
$

$
L &= integral_0^(sqrt(3)) sqrt((2t)^2 + (1 - t^2)^2) space d t \
&= integral_0^(sqrt(3)) sqrt(4t^2 + 1 - 2t^2 + t^4) space d t \
&= integral_0^(sqrt(3)) sqrt(t^4 + 2t^2 + 1) space d t \
&= integral_0^(sqrt(3)) sqrt((t^2 + 1)^2) space d t \
&= integral_0^(sqrt(3)) |t^2 + 1| space d t \
&= integral_0^(sqrt(3)) (t^2 + 1) space d t \
&= [frac(t^3, 3) + t]_0^(sqrt(3)) \
&= frac((sqrt(3))^3, 3) + sqrt(3) - 0 \
&= frac(3sqrt(3), 3) + sqrt(3) \
&= sqrt(3) + sqrt(3) \
&= 2sqrt(3)
$

*Ответ:* $L = 2sqrt(3)$

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 3.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = x e^(-3x), space.quad y = 0, space.quad x = 1
$

*Решение:*

Площадь фигуры равна определенному интегралу:
$
S = integral_0^1 x e^(-3x) space d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(-3x) d x$

Тогда $d u = d x$, $v = -frac(1, 3) e^(-3x)$

$
integral x e^(-3x) space d x &= x dot (-frac(1, 3) e^(-3x)) - integral (-frac(1, 3) e^(-3x)) space d x \
&= -frac(x, 3) e^(-3x) + frac(1, 3) integral e^(-3x) space d x \
&= -frac(x, 3) e^(-3x) + frac(1, 3) dot (-frac(1, 3) e^(-3x)) + C \
&= -frac(x, 3) e^(-3x) - frac(1, 9) e^(-3x) + C \
&= -frac(1, 9) e^(-3x) (3x + 1) + C
$

$
S &= integral_0^1 x e^(-3x) space d x \
&= [-frac(1, 9) e^(-3x) (3x + 1)]_0^1 \
&= -frac(1, 9) e^(-3) (3 + 1) - (-frac(1, 9) e^0 (0 + 1)) \
&= -frac(4, 9) e^(-3) + frac(1, 9) \
&= frac(1, 9) (1 - 4 e^(-3))
$

*Ответ:* $S = frac(1, 9) (1 - 4 e^(-3))$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
cases(x = 5 - 6t^3, y = frac(t^2, 2)), space.quad t in [1, 2]
$

*Решение:*

Длина параметрически заданной кривой:
$
L = integral_(t_1)^(t_2) sqrt((frac(d x, d t))^2 + (frac(d y, d t))^2) space d t
$

Найдем производные:
$
frac(d x, d t) = -18 t^2
$
$
frac(d y, d t) = t
$

$
L &= integral_1^2 sqrt((-18 t^2)^2 + t^2) space d t \
&= integral_1^2 sqrt(324 t^4 + t^2) space d t \
&= integral_1^2 sqrt(t^2 (324 t^2 + 1)) space d t \
&= integral_1^2 t sqrt(324 t^2 + 1) space d t
$

Используем замену $u = 324 t^2 + 1$, тогда $d u = 648 t space d t$, $t space d t = frac(d u, 648)$

При $t = 1$: $u = 325$
При $t = 2$: $u = 324 dot 4 + 1 = 1297$

$
L &= integral_325^1297 sqrt(u) dot frac(1, 648) space d u \
&= frac(1, 648) integral_325^1297 u^(1/2) space d u \
&= frac(1, 648) [frac(2, 3) u^(3/2)]_325^1297 \
&= frac(1, 972) [u^(3/2)]_325^1297 \
&= frac(1, 972) (1297^(3/2) - 325^(3/2))
$

$1297^(3/2) = 1297 sqrt(1297) = 1297 dot 36.014... approx 46706$
$325^(3/2) = 325 sqrt(325) = 325 dot 18.028... approx 5859$

*Ответ:* $L = frac(1, 972) (1297^(3/2) - 325^(3/2))$


#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(d x, x ln^2 x)
$

*Решение:*

Используем замену $u = ln x$, тогда $d u = frac(d x, x)$

При $x = 1$: $u = 0$
При $x arrow +infinity$: $u arrow +infinity$

$
integral_1^(+infinity) frac(d x, x ln^2 x) &= integral_0^(+infinity) frac(d u, u^2) \
&= lim_(b arrow +infinity) integral_0^b u^(-2) space d u \
&= lim_(b arrow +infinity) [-u^(-1)]_0^b \
&= lim_(b arrow +infinity) (-frac(1, b) - (-frac(1, 0)))
$

Но интеграл имеет особенность в точке $u = 0$ (т.е. $x = 1$), поэтому:

$
integral_1^(+infinity) frac(d x, x ln^2 x) &= lim_(epsilon arrow 0^+) integral_(1+epsilon)^(+infinity) frac(d x, x ln^2 x) \
&= lim_(epsilon arrow 0^+) lim_(b arrow +infinity) [-frac(1, ln x)]_(1+epsilon)^b \
&= lim_(epsilon arrow 0^+) lim_(b arrow +infinity) (-frac(1, ln b) + frac(1, ln(1+epsilon))) \
&= lim_(epsilon arrow 0^+) frac(1, ln(1+epsilon))
$

Поскольку $lim_(epsilon arrow 0^+) ln(1+epsilon) = 0^+$, то $lim_(epsilon arrow 0^+) frac(1, ln(1+epsilon)) = +infinity$

*Ответ:* Интеграл расходится

#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(2 + cos x, x^2) space d x
$

*Решение:*

Оценим подынтегральную функцию. Поскольку $-1 lt.eq cos x lt.eq 1$, то:
$1 lt.eq 2 + cos x lt.eq 3$

Следовательно:
$frac(1, x^2) lt.eq frac(2 + cos x, x^2) lt.eq frac(3, x^2)$

Исследуем сходимость мажорирующего интеграла:
$
integral_1^(+infinity) frac(3, x^2) space d x = 3 integral_1^(+infinity) x^(-2) space d x = 3 [-x^(-1)]_1^(+infinity) = 3 (0 - (-1)) = 3
$

Интеграл $integral_1^(+infinity) frac(3, x^2) space d x$ сходится.

По признаку сравнения, поскольку $0 lt frac(2 + cos x, x^2) lt.eq frac(3, x^2)$ и $integral_1^(+infinity) frac(3, x^2) space d x$ сходится, то исходный интеграл также сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел

$
lim_(n arrow infinity) frac(1^4 + 2^4 + dots + n^4, n^5)
$

*Решение:*

Используем формулу для суммы четвертых степеней:
$
sum_(k=1)^n k^4 = frac(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1), 30)
$

$
lim_(n arrow infinity) frac(sum_(k=1)^n k^4, n^5) &= lim_(n arrow infinity) frac(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1), 30n^5) \
&= frac(1, 30) lim_(n arrow infinity) frac(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1), n^5)
$

Раскроем числитель:
$
n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) &= n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \
&approx n dot n dot 2n dot 3n^2 = 6n^5 quad "при" space n arrow infinity
$

Более точно:
$
frac(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1), n^5) &= frac((n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1), n^4) \
&= (1 + frac(1, n))(2 + frac(1, n))(3 + frac(3, n) - frac(1, n^2)) \
&arrow 1 dot 2 dot 3 = 6 quad "при" space n arrow infinity
$

$
lim_(n arrow infinity) frac(1^4 + 2^4 + dots + n^4, n^5) = frac(1, 30) dot 6 = frac(1, 5)
$

*Ответ:* $frac(1, 5)$

#line(length: 100%)

==== 6. Запишите номера всех верных формулировок определения интеграла Римана.

Пусть $sigma_tau (f, xi)$ - интегральная сумма функции $f : [a, b] arrow RR$, отвечающая оснащенному разбиению $(tau, xi)$ отрезка $[a, b]$. Тогда интегралом Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ называется такое число $I$, что:

a) $exists epsilon gt 0 : space forall delta gt 0 space exists (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| gt.eq epsilon$

б) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space forall (tau, xi) : space lambda (tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

в) $forall(tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

г) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| lt epsilon$

д) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) lt epsilon arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

*Решение:*

Интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a,b]$ существует и равен $I$, если:

$forall epsilon > 0 space exists delta > 0 : space forall (tau, xi) space (lambda(tau) < delta => |sigma_tau(f,xi) - I| < epsilon)$

Проанализируем каждый вариант:

а) $exists epsilon gt 0 : space forall delta gt 0 space exists (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| gt.eq epsilon$

   *НЕВЕРНО* - это отрицание определения сходимости.

б) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space forall (tau, xi) : space lambda (tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - запись некорректна ($lambda(tau) arrow 0$ должно быть условием, а не следствием).

в) $forall(tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

   *ВЕРНО* - это секвенциальное определение интеграла Римана.

г) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - неполная формулировка.

д) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) lt epsilon arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

   *НЕВЕРНО* - некорректная формулировка.

*Ответ:* в)

#line(length: 100%)

==== 7. На рисунке изображены графики функции и некоторой суммы.

#image("assets/2.png")

Запишите, какая сумма это может быть? В ответе можно указать несколько вариантов: интегральная сумма, верхняя сумма Дарбу, нижняя сумма Дарбу или никакая из них. Ответ обязательно прокомментируйте.

#line(length: 100%)

==== 8. Приведите пример функции $f(x)$, которая определена на отрезке $[1, 2]$ и для которой ни одна из интегральных сумм не совпадает с верхней суммой Дарбу при соответствующем разбиении этого отрезка. Обязательно прокомментируйте, почему эта функция удовлетворяет данному условию.

*Решение:*

Рассмотрим функцию:
$
f(x) = cases(
  0\, space "если" space x "иррационально",
  1\, space "если" space x "рационально"
)
$

*Комментарий:*

Для любого разбиения отрезка $[1,2]$ на отрезки $[x_(i-1), x_i]$:

1. *Верхняя сумма Дарбу*: На каждом отрезке $[x_(i-1), x_i]$ есть как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому $sup_(x in [x_(i-1), x_i]) f(x) = 1$. Верхняя сумма Дарбу равна $(2-1) dot 1 = 1$.

2. *Интегральная сумма*: Для любого выбора точек $xi_i in [x_(i-1), x_i]$:
   - Если $xi_i$ рационально, то $f(xi_i) = 1$
   - Если $xi_i$ иррационально, то $f(xi_i) = 0$

Поскольку в каждом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа, можно выбрать точки $xi_i$ так, что интегральная сумма будет меньше 1 (например, выбрав все $xi_i$ иррациональными, получим сумму 0).

Таким образом, интегральная сумма никогда не достигает значения верхней суммы Дарбу.

*Ответ:* $f(x) = cases(0\, space "если" space x "иррационально", 1\, space "если" space x "рационально")$


#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 4.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = (x - 1)ln(x - 1), space.quad y = 0, space.quad x = e + 1
$

*Решение:*

Функция $y = (x-1)\ln(x-1)$ определена при $x > 1$.
При $x = 2$: $y = 1 \cdot \ln 1 = 0$
При $x = e+1$: $y = e \cdot \ln e = e > 0$

Функция положительна на $(2, e+1)$, поэтому площадь равна:
$
S = integral_2^(e+1) (x-1)\ln(x-1) space d x
$

Используем замену $u = x-1$, тогда $x = u+1$, $d x = d u$
При $x = 2$: $u = 1$
При $x = e+1$: $u = e$

$
S = integral_1^e u \ln u space d u
$

Применим интегрирование по частям: $v = u$, $d w = \ln u space d u$
Тогда $d v = d u$, $w = u \ln u - u$ (интеграл от $\ln u$)

$
integral u \ln u space d u &= u(u \ln u - u) - integral (u \ln u - u) d u \
&= u^2 \ln u - u^2 - integral u \ln u space d u + integral u space d u \
&= u^2 \ln u - u^2 - integral u \ln u space d u + frac(u^2, 2)
$

Перенесем $integral u ln u space d u$ влево:
$
2 integral u ln u space d u = u^2 ln u - u^2 + frac(u^2, 2) = u^2 ln u - frac(u^2, 2)
$

$
integral u ln u space d u = frac(u^2, 2) ln u - frac(u^2, 4) + C
$

$
S &= [frac(u^2, 2) ln u - frac(u^2, 4)]_1^e \
&= (frac(e^2, 2) ln e - frac(e^2, 4)) - (frac(1, 2) ln 1 - frac(1, 4)) \
&= frac(e^2, 2) - frac(e^2, 4) - 0 + frac(1, 4) \
&= frac(e^2, 4) + frac(1, 4) = frac(e^2 + 1, 4)
$

*Ответ:* $S = frac(e^2 + 1, 4)$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
cases(x = t^2 cos t, y = t^2 sin t), space.quad t in [0, 1]
$

*Решение:*

Найдем производные:
$
frac(d x, d t) &= 2t cos t - t^2 sin t = t(2 cos t - t sin t) \
frac(d y, d t) &= 2t sin t + t^2 cos t = t(2 sin t + t cos t)
$

Вычислим $(x')^2 + (y')^2$:
$
(x')^2 + (y')^2 &= t^2(2 cos t - t sin t)^2 + t^2(2 sin t + t cos t)^2 \
&= t^2[(2 cos t - t sin t)^2 + (2 sin t + t cos t)^2] \
&= t^2[4 cos^2 t - 4t cos t sin t + t^2 sin^2 t + 4 sin^2 t + 4t sin t cos t + t^2 cos^2 t] \
&= t^2[4(cos^2 t + sin^2 t) + t^2(sin^2 t + cos^2 t)] \
&= t^2[4 + t^2] = t^2(4 + t^2)
$

Длина дуги:
$
L &= integral_0^1 sqrt(t^2(4 + t^2)) space d t \
&= integral_0^1 t sqrt(4 + t^2) space d t
$

Используем замену $u = 4 + t^2$, тогда $d u = 2t space d t$, $t space d t = frac(d u, 2)$
При $t = 0$: $u = 4$
При $t = 1$: $u = 5$

$
L &= integral_4^5 sqrt(u) dot frac(1, 2) space d u \
&= frac(1, 2) integral_4^5 u^(1/2) space d u \
&= frac(1, 2) [frac(2, 3) u^(3/2)]_4^5 \
&= frac(1, 3) [u^(3/2)]_4^5 \
&= frac(1, 3) (5^(3/2) - 4^(3/2)) \
&= frac(1, 3) (5 sqrt(5) - 8)
$

*Ответ:* $L = frac(1, 3) (5 sqrt(5) - 8)$


#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(x^3 space d x, 1 + x^8)
$

*Решение:*

Используем замену $u = x^4$, тогда $d u = 4x^3 d x$, $x^3 d x = frac(d u, 4)$
При $x = 1$: $u = 1$
При $x arrow +infinity$: $u arrow +infinity$

$
integral_1^(+infinity) frac(x^3 space d x, 1 + x^8) &= integral_1^(+infinity) frac(1, 1 + (x^4)^2) dot x^3 space d x \
&= integral_1^(+infinity) frac(1, 1 + u^2) dot frac(d u, 4) \
&= frac(1, 4) integral_1^(+infinity) frac(d u, 1 + u^2) \
&= frac(1, 4) [arctan u]_1^(+infinity) \
&= frac(1, 4) (frac(pi, 2) - arctan 1) \
&= frac(1, 4) (frac(pi, 2) - frac(pi, 4)) \
&= frac(1, 4) dot frac(pi, 4) = frac(pi, 16)
$

*Ответ:* $frac(pi, 16)$

#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_0^1 frac(e^(root(3, x)) - 1, sqrt(x)) d x
$

*Решение:*

Исследуем поведение подынтегральной функции в окрестности особой точки $x = 0$.

Используем разложение $e^t = 1 + t + O(t^2)$ при $t arrow 0$.

При $x arrow 0^+$ имеем $root(3, x) → 0$, поэтому:
$
e^(root(3, x)) = 1 + root(3, x) + O((root(3, x))^2) = 1 + x^(1/3) + O(x^(2/3))
$

Следовательно:
$
e^(root(3, x)) - 1 = x^(1/3) + O(x^(2/3))
$

Подынтегральная функция ведет себя как:
$
frac(e^(root(3, x)) - 1, sqrt(x)) tilde frac(x^(1/3), x^(1/2)) = x^(1/3 - 1/2) = x^(-1/6)
$

Исследуем сходимость интеграла $integral_0^1 x^(-1/6) d x$:
$
integral_0^1 x^(-1/6) d x = [frac(x^(5/6), 5/6)]_0^1 = frac(6, 5) [x^(5/6)]_0^1 = frac(6, 5) (1 - 0) = frac(6, 5)
$

Поскольку показатель $-1/6 > -1$, интеграл сходится.

Более строго, используем замену $u = root(3, x)$, тогда $x = u^3$, $d x = 3u^2 d u$, $sqrt(x) = u^(3/2)$
При $x = 0$: $u = 0$
При $x = 1$: $u = 1$

$
integral_0^1 frac(e^(root(3, x)) - 1, sqrt(x)) d x &= integral_0^1 frac(e^u - 1, u^(3/2)) dot 3u^2 d u \
&= 3 integral_0^1 frac((e^u - 1) u^2, u^(3/2)) d u \
&= 3 integral_0^1 (e^u - 1) u^(1/2) d u
$

Поскольку $e^u - 1 tilde u$ при $u arrow 0$ и $u^(1/2) dot u = u^(3/2)$, подынтегральная функция ведет себя как $u^(3/2)$ в окрестности нуля, что интегрируемо.

*Ответ:* Интеграл сходится

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел

$
lim_(n arrow infinity) pi/n (sin pi/n + sin (2pi)/n + dots + sin (n pi)/n)
$

*Решение:*

Данная сумма является интегральной суммой Римана для функции $f(x) = sin(pi x)$ на отрезке $[0, 1]$ с разбиением на $n$ равных частей.

$
frac(pi, n) sum_(k=1)^n sin frac(k pi, n) = frac(pi, n) sum_(k=1)^n f(frac(k, n)) = pi sum_(k=1)^n f(frac(k, n)) dot frac(1, n)
$

где $frac(1, n) = frac(1-0, n)$ - длина каждого отрезка разбиения.

По определению интеграла Римана:
$
lim_(n arrow infinity) sum_(k=1)^n f(frac(k, n)) dot frac(1, n) = integral_0^1 f(x) d x = integral_0^1 sin(pi x) d x
$

Вычислим интеграл:
$
integral_0^1 sin(pi x) d x &= [-frac(1, pi) cos(pi x)]_0^1 \
&= -frac(1, pi) [cos(pi) - cos(0)] \
&= -frac(1, pi) [-1 - 1] \
&= -frac(1, pi) (-2) = frac(2, pi)
$

Следовательно:
$
lim_(n arrow infinity) frac(pi, n) sum_(k=1)^n sin frac(k pi, n) = pi dot frac(2, pi) = 2
$

*Ответ:* $2$

#line(length: 100%)

==== 6. Запишите номера всех верных формулировок определения интеграла Римана.

Пусть $sigma_tau (f, xi)$ - интегральная сумма функции $f : [a, b] arrow RR$, отвечающая оснащенному разбиению $(tau, xi)$ отрезка $[a, b]$. Тогда интегралом Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ называется такое число $I$, что:

a) $exists epsilon gt 0 : space forall delta gt 0 " и " forall(tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

б) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space forall (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

в) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space exists (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

г) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| lt epsilon$

д) $forall (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

*Решение:*

Интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a,b]$ существует и равен $I$, если:

$forall epsilon > 0 space exists delta > 0 : space forall (tau, xi) space (lambda(tau) < delta => |sigma_tau(f,xi) - I| < epsilon)$

Проанализируем каждый вариант:

а) $exists epsilon gt 0 : space forall delta gt 0 " и " forall(tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - некорректная логическая структура: существует $epsilon$, для которого при любом $delta$ условие выполняется.

б) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space forall (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - запись "$lambda(tau) arrow 0$" должна быть условием "$lambda(tau) < delta$", а не следствием.

в) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : space exists (tau, xi) : space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - должно быть "для всех" разбиений, а не "существует".

г) $forall epsilon gt 0 space exists (tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| lt epsilon$

   *НЕВЕРНО* - неполная формулировка, отсутствует предельный переход.

д) $forall (tau^n, xi^n) : space lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

   *ВЕРНО* - это корректная секвенциальная формулировка определения интеграла Римана: для любой последовательности оснащенных разбиений с диаметром, стремящимся к нулю, соответствующие интегральные суммы стремятся к $I$.

*Ответ:* д)

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 5.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = frac(x, 1 + x^2), space.quad y = 0, space.quad x = 4
$

*Решение:*

Фигура ограничена кривой $y = frac(x, 1 + x^2)$, осью $x$ (т.е. $y = 0$) и прямой $x = 4$. Поскольку функция $y = frac(x, 1 + x^2)$ положительна при $x > 0$, площадь равна:

$
S = integral_0^4 frac(x, 1 + x^2) d x
$

Для вычисления интеграла используем замену $u = 1 + x^2$, тогда $d u = 2x d x$, откуда $x d x = frac(1, 2) d u$.

При $x = 0$: $u = 1$
При $x = 4$: $u = 1 + 16 = 17$

$
S = integral_1^17 frac(1, 2u) d u = frac(1, 2) integral_1^17 frac(d u, u) = frac(1, 2) ln|u| |_1^17 = frac(1, 2) (ln 17 - ln 1) = frac(1, 2) ln 17
$

*Ответ:* $S = frac(1, 2) ln 17$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = ln sin x, space.quad frac(pi, 3) lt.eq x lt.eq frac(2 pi, 3)
$

*Решение:*

Длина дуги кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x) ln sin x = frac(1, sin x) dot cos x = frac(cos x, sin x) = cot x
$

Тогда:
$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) sqrt(1 + cot^2 x) d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) sqrt(csc^2 x) d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) |csc x| d x
$

На интервале $[frac(pi, 3), frac(2pi, 3)]$ функция $sin x > 0$, поэтому $csc x > 0$ и $|csc x| = csc x$.

$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) csc x d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) frac(d x, sin x)
$

Интеграл от $csc x$:
$
integral csc x d x = -ln|csc x + cot x| + C
$

$
L = -ln|csc x + cot x| |_(pi/3)^(2pi/3)
$

При $x = frac(pi, 3)$: $sin frac(pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(pi, 3) = frac(1, 2)$
$csc frac(pi, 3) = frac(2, sqrt(3))$, $cot frac(pi, 3) = frac(1, sqrt(3))$

При $x = frac(2pi, 3)$: $sin frac(2pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(2pi, 3) = -frac(1, 2)$
$csc frac(2pi, 3) = frac(2, sqrt(3))$, $cot frac(2pi, 3) = -frac(1, sqrt(3))$

$
L = -ln|frac(2, sqrt(3)) - frac(1, sqrt(3))| + ln|frac(2, sqrt(3)) + frac(1, sqrt(3))| = ln frac(frac(3, sqrt(3)), frac(1, sqrt(3)))) = ln 3
$

*Ответ:* $L = ln 3$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) space d x
$

*Решение:*

Преобразуем интеграл:
$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) d x = integral_0^(+infinity) x dot (2^(-4))^x d x = integral_0^(+infinity) x dot (frac(1, 16))^x d x
$

Обозначим $a = frac(1, 16)$, тогда интеграл имеет вид:
$
integral_0^(+infinity) x a^x d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = a^x d x$
Тогда $d u = d x$, $v = frac(a^x, ln a)$

$
integral_0^(+infinity) x a^x d x = lim_(t arrow +infinity) [frac(x a^x, ln a)]_0^t - integral_0^t frac(a^x, ln a) d x
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [frac(t a^t, ln a) - frac(a^x, (ln a)^2)]_0^t
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [frac(t a^t, ln a) - frac(a^t, (ln a)^2) + frac(1, (ln a)^2)]
$

Поскольку $a = frac(1, 16) < 1$, то $ln a < 0$ и $lim_(t arrow +infinity) a^t = 0$, а также $lim_(t arrow +infinity) t a^t = 0$.

$
integral_0^(+infinity) x a^x d x = frac(1, (ln a)^2)
$

Где $ln a = ln frac(1, 16) = -ln 16 = -4 ln 2$

$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) d x = frac(1, (-4 ln 2)^2) = frac(1, 16 (ln 2)^2)
$

*Ответ:* $frac(1, 16 (ln 2)^2)$

#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(arctan x, 1 + x^6) space d x
$

*Решение:*

Исследуем поведение подынтегральной функции при $x arrow +infinity$.

При $x arrow +infinity$: $arctan x arrow frac(pi, 2)$

Поэтому:
$
frac(arctan x, 1 + x^6) tilde frac(pi/2, x^6) " при " x arrow +infinity
$

Исследуем интеграл:
$
integral_1^(+infinity) frac(1, x^6) d x = lim_(t arrow +infinity) integral_1^t x^(-6) d x = lim_(t arrow +infinity) [frac(x^(-5), -5)]_1^t
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [frac(-1, 5 t^5) + frac(1, 5)] = frac(1, 5)
$

Поскольку интеграл $integral_1^(+infinity) frac(1, x^6) d x$ сходится, и $frac(arctan x, 1 + x^6) tilde frac(C, x^6)$ при $x arrow +infinity$ (где $C = frac(pi, 2) > 0$), то по признаку сравнения в предельной форме исходный интеграл сходится.

Также отметим, что подынтегральная функция непрерывна на $[1, +infinity)$ и положительна, что подтверждает корректность применения признака сравнения.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел

$
lim_(n arrow infinity) frac(1, sqrt(n)) integral_1^n ln(1 + frac(1, sqrt(x))) space d x
$

*Решение:*

Сделаем замену переменной в интеграле: $x = n t^2$, тогда $d x = 2n t d t$.
При $x = 1$: $t = frac(1, sqrt(n))$
При $x = n$: $t = 1$

$
integral_1^n ln(1 + frac(1, sqrt(x))) d x = integral_(1/sqrt(n))^1 ln(1 + frac(1, sqrt(n t^2))) dot 2n t d t
$

$
= integral_(1/sqrt(n))^1 ln(1 + frac(1, sqrt(n) t)) dot 2n t d t
$

$
= 2n integral_(1/sqrt(n))^1 t ln(1 + frac(1, sqrt(n) t)) d t
$

Тогда:
$
frac(1, sqrt(n)) integral_1^n ln(1 + frac(1, sqrt(x))) d x = 2sqrt(n) integral_(1/sqrt(n))^1 t ln(1 + frac(1, sqrt(n) t)) d t
$

При $n arrow infinity$ и используя асимптотику $ln(1 + u) tilde u$ при $u arrow 0$:

$
t ln(1 + frac(1, sqrt(n) t)) tilde t dot frac(1, sqrt(n) t) = frac(1, sqrt(n))
$

Поэтому:
$
2sqrt(n) integral_(1/sqrt(n))^1 frac(1, sqrt(n)) d t = 2sqrt(n) dot frac(1, sqrt(n)) dot (1 - frac(1, sqrt(n))) = 2(1 - frac(1, sqrt(n))) arrow 2
$

*Ответ:* $lim_(n arrow infinity) frac(1, sqrt(n)) integral_1^n ln(1 + frac(1, sqrt(x))) space d x = 2$


==== 6. Запишите номера всех верных формулировок определения интеграла Римана.

Пусть $sigma_tau (f, xi)$ - интегральная сумма функции $f: [a, b] arrow RR$, отвечающая оснащенному разбиению $(tau, xi)$ отрезка $[a, b]$. Тогда интегралом Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ называется такое число $I$, что:

а) $forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0: space forall(tau, xi): lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

б) $forall epsilon gt 0 space forall delta gt 0 space exists(tau, xi): space lambda(tau) arrow 0 arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

в) $forall tau^n space exists xi^n : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

г) $forall(tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 arrow.double sigma_(tau^n) (f, xi^n) arrow^(n arrow infinity) I$

д) $forall epsilon gt 0 space exists tau^n : forall xi^n arrow.double lambda(tau^n) arrow^(n arrow infinity) 0 " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| lt epsilon$

*Решение:*

Правильное определение интеграла Римана в формулировке через $epsilon$-$delta$:
$forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0: space forall(tau, xi): lambda(tau) lt delta arrow.double |I - sigma_tau (f, xi)| lt epsilon$

Анализируем варианты:

а) Неверно, так как написано $lambda(tau) arrow 0$, а должно быть $lambda(tau) lt delta$.

б) Неверно, так как неправильный порядок кванторов.

в) Неверно, поскольку не для всех разбиений существует подходящее оснащение.

г) *Верно* - это корректная формулировка через последовательности: для любой последовательности оснащенных разбиений с диаметром, стремящимся к нулю, интегральные суммы стремятся к $I$.

д) Неверно, неправильная формулировка с кванторами.

*Ответ:* г

#line(length: 100%)

==== 7. На рисунке изображены графики и некоторой суммы.

#image("assets/1.png")

Запишите, какая сумма это может быть? В ответе можно указать несколько вариантов: интегральная сумма, верхняя сумма Дарбу, нижняя сумма Дарбу или никакая из них. Ответ обязательно прокомментируйте.

#line(length: 100%)

==== 8. Приведите пример функции $f(x)$, определенной на отрезке $[2, 3]$, но не интегрируемой на нем. Обязательно прокомментируйте, почему эта функция удовлетворяет данному условию.

*Решение:*

Рассмотрим функцию:
$
f(x) = cases(
  1\, " если " x " рационально",
  0\, " если " x " иррационально"
)
$

*Обоснование:*

1. *Функция определена на $[2, 3]$*: для любого $x in [2, 3]$ функция принимает значение 0 или 1 в зависимости от того, рационально ли $x$.

2. *Функция не интегрируема*:
   - Для любого разбиения отрезка $[2, 3]$ на интервалы, каждый интервал содержит как рациональные, так и иррациональные числа (по свойству плотности множеств рациональных и иррациональных чисел).
   - Поэтому на каждом интервале $[x_(i-1), x_i]$ разбиения:
     * $sup f(x) = 1$ (супремум достигается в рациональных точках)
     * $inf f(x) = 0$ (инфимум достигается в иррациональных точках)
   - Верхняя сумма Дарбу: $overline(S) = sum_(i=1)^n 1 dot Delta x_i = 3 - 2 = 1$
   - Нижняя сумма Дарбу: $underline(S) = sum_(i=1)^n 0 dot Delta x_i = 0$

3. *Условие интегрируемости не выполнено*: поскольку $overline(S) - underline(S) = 1 - 0 = 1 eq.not 0$, функция не интегрируема по Риману.

*Ответ:* Функция Дирихле на отрезке $[2, 3]$ не интегрируема, поскольку разность верхней и нижней сумм Дарбу не стремится к нулю при измельчении разбиения.

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 9.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = frac(x, 1 + 3x^2), space.quad y = 0, space.quad x = 2
$

*Решение:*

Фигура ограничена кривой $y = frac(x, 1 + 3x^2)$, осью $x$ (т.е. $y = 0$) и прямой $x = 2$. Поскольку функция $y = frac(x, 1 + 3x^2)$ положительна при $x > 0$, площадь равна:

$
S = integral_0^2 frac(x, 1 + 3x^2) d x
$

Для вычисления интеграла используем замену $u = 1 + 3x^2$, тогда $d u = 6x d x$, откуда $x d x = frac(1, 6) d u$.

При $x = 0$: $u = 1 + 3 dot 0^2 = 1$
При $x = 2$: $u = 1 + 3 dot 4 = 13$

$
S = integral_1^13 frac(1, 6u) d u = frac(1, 6) integral_1^13 frac(d u, u) = frac(1, 6) ln|u| |_1^13 = frac(1, 6) (ln 13 - ln 1) = frac(1, 6) ln 13
$

*Ответ:* $S = frac(1, 6) ln 13$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
x = ln cos y, space.quad 0 lt.eq y lt.eq frac(pi, 3)
$

*Решение:*

Для параметрически заданной кривой $x = x(y)$ длина дуги вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (frac(d x, d y))^2) d y
$

Найдем производную:
$
frac(d x, d y) = frac(d, d y) ln cos y = frac(1, cos y) dot (-sin y) = -frac(sin y, cos y) = -tan y
$

Тогда:
$
L = integral_0^(pi/3) sqrt(1 + (-tan y)^2) d y = integral_0^(pi/3) sqrt(1 + tan^2 y) d y = integral_0^(pi/3) sqrt(sec^2 y) d y
$

$
= integral_0^(pi/3) |sec y| d y = integral_0^(pi/3) sec y d y
$

(поскольку на интервале $[0, frac(pi, 3)]$ функция $cos y > 0$, то $sec y > 0$)

Интеграл от $sec y$:
$
integral sec y d y = ln|sec y + tan y| + C
$

$
L = ln|sec y + tan y| |_0^(pi/3)
$

При $y = 0$: $sec 0 = 1$, $tan 0 = 0$, поэтому $sec 0 + tan 0 = 1$

При $y = frac(pi, 3)$: $sec frac(pi, 3) = frac(1, cos frac(pi, 3)) = frac(1, 1/2) = 2$, $tan frac(pi, 3) = sqrt(3)$
Поэтому $sec frac(pi, 3) + tan frac(pi, 3) = 2 + sqrt(3)$

$
L = ln(2 + sqrt(3)) - ln(1) = ln(2 + sqrt(3))
$

*Ответ:* $L = ln(2 + sqrt(3))$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_0^(+infinity) x dot e^(-3x) space d x
$

*Решение:*

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(-3x) d x$
Тогда $d u = d x$, $v = -frac(1, 3) e^(-3x)$

$
integral_0^(+infinity) x e^(-3x) d x = lim_(t arrow +infinity) [x dot (-frac(1, 3) e^(-3x))]_0^t - integral_0^t (-frac(1, 3) e^(-3x)) d x
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [-frac(t, 3) e^(-3t) + 0] + frac(1, 3) integral_0^t e^(-3x) d x
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [-frac(t, 3) e^(-3t)] + frac(1, 3) lim_(t arrow +infinity) [-frac(1, 3) e^(-3x)]_0^t
$

$
= lim_(t arrow +infinity) [-frac(t, 3) e^(-3t)] + frac(1, 3) lim_(t arrow +infinity) [-frac(1, 3) e^(-3t) + frac(1, 3)]
$

Поскольку $lim_(t arrow +infinity) t e^(-3t) = 0$ (экспонента убывает быстрее любой степени), получаем:

$
= 0 + frac(1, 3) dot frac(1, 3) = frac(1, 9)
$

*Ответ:* $integral_0^(+infinity) x dot e^(-3x) space d x = frac(1, 9)$


#line(length: 100%)

===== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(2x + sin x, x^3 + 1) space d x
$

*Решение:*

Разложим подынтегральную функцию на две части:
$
frac(2x + sin x, x^3 + 1) = frac(2x, x^3 + 1) + frac(sin x, x^3 + 1)
$

Исследуем каждую часть отдельно.

*Первая часть:* $frac(2x, x^3 + 1)$

При $x arrow +infinity$: $frac(2x, x^3 + 1) tilde frac(2x, x^3) = frac(2, x^2)$

Интеграл $integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) d x$ сходится, поэтому $integral_1^(+infinity) frac(2x, x^3 + 1) d x$ сходится.

*Вторая часть:* $frac(sin x, x^3 + 1)$

Поскольку $|sin x| lt.eq 1$ для всех $x$, имеем:
$
|frac(sin x, x^3 + 1)| lt.eq frac(1, x^3 + 1)
$

При $x arrow +infinity$: $frac(1, x^3 + 1) tilde frac(1, x^3)$

Интеграл $integral_1^(+infinity) frac(1, x^3) d x$ сходится, поэтому по признаку сравнения интеграл $integral_1^(+infinity) frac(sin x, x^3 + 1) d x$ абсолютно сходится.

*Заключение:* Поскольку оба интеграла сходятся, исходный интеграл сходится как сумма сходящихся интегралов.

Альтернативное решение через оценку всей функции:
При $x arrow +infinity$:
$
frac(2x + sin x, x^3 + 1) lt.eq frac(2x + 1, x^3 + 1) lt.eq frac(3x, x^3) = frac(3, x^2)
$

Поскольку $integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) d x$ сходится, то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Посчитать сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2 + sin n, n sqrt(n + 2))
$

*Решение:*

Данный ряд можно разложить на сумму двух рядов:
$
sum_(n = 1)^infinity frac(2 + sin n, n sqrt(n + 2)) = sum_(n = 1)^infinity frac(2, n sqrt(n + 2)) + sum_(n = 1)^infinity frac(sin n, n sqrt(n + 2))
$

*Первый ряд:* $sum_(n = 1)^infinity frac(2, n sqrt(n + 2))$

При $n arrow infinity$: $frac(2, n sqrt(n + 2)) tilde frac(2, n sqrt(n)) = frac(2, n^(3/2))$

Поскольку ряд $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^(3/2))$ сходится (p-ряд с $p = 3/2 > 1$), первый ряд сходится.

*Второй ряд:* $sum_(n = 1)^infinity frac(sin n, n sqrt(n + 2))$

Поскольку $|sin n| lt.eq 1$, имеем:
$
|frac(sin n, n sqrt(n + 2))| lt.eq frac(1, n sqrt(n + 2)) tilde frac(1, n^(3/2))
$

По признаку сравнения второй ряд абсолютно сходится.

*Вычисление точной суммы невозможно* в элементарных функциях из-за наличия $sin n$ с иррациональными аргументами.

*Ответ:* Ряд сходится, но точная сумма не выражается в элементарных функциях.

#line(length: 100%)

==== 2. Посчитать сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac(n! + 5, n + 5)
$

*Решение:*

Исследуем поведение общего члена ряда при $n arrow infinity$:
$
a_n = frac(n! + 5, n + 5)
$

При больших $n$: $n! >> 5$ и $n + 5 tilde n$, поэтому:
$
a_n tilde frac(n!, n) = (n-1)!
$

Поскольку $(n-1)! arrow +infinity$ при $n arrow infinity$, общий член ряда не стремится к нулю.

По *необходимому условию сходимости ряда*: если ряд $sum a_n$ сходится, то $lim_(n arrow infinity) a_n = 0$.

Поскольку $lim_(n arrow infinity) a_n = lim_(n arrow infinity) frac(n! + 5, n + 5) = +infinity eq.not 0$, ряд расходится.

*Ответ:* Ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).


#line(length: 100%)

==== 3. Посчитать сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac((-1)^n, sqrt(n^2 + 2))
$

*Решение:*

Это знакочередующийся ряд вида $sum_(n=1)^infinity (-1)^n b_n$, где $b_n = frac(1, sqrt(n^2 + 2))$.

*Проверим условия признака Лейбница:*

1) $b_n > 0$ для всех $n gt.eq 1$ ✓

2) Последовательность $b_n$ убывает:
   $b_n = frac(1, sqrt(n^2 + 2))$ убывает при $n arrow infinity$ ✓

3) $lim_(n arrow infinity) b_n = lim_(n arrow infinity) frac(1, sqrt(n^2 + 2)) = 0$ ✓ 

По признаку Лейбница ряд сходится условно.

*Вычисление точной суммы:*

Данный ряд не является стандартным рядом, для которого известна точная сумма.

Можно получить приближенное значение, используя несколько первых членов:
$
S approx -frac(1, sqrt(3)) + frac(1, sqrt(6)) - frac(1, sqrt(11)) + frac(1, sqrt(18)) - dots
$

*Ответ:* Ряд сходится условно по признаку Лейбница, точная сумма не выражается в элементарных функциях.


#line(length: 100%)

==== 4. Посчитать сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity  frac(cos n, (n + 1) ln^2 n)
$

*Решение:*

*Примечание:* Ряд определен начиная с $n = 2$, поскольку $ln 1 = 0$ и знаменатель обращается в ноль при $n = 1$.

Рассмотрим ряд:
$
sum_(n = 2)^infinity frac(cos n, (n + 1) ln^2 n)
$

*Исследование сходимости:*

Поскольку $|cos n| lt.eq 1$, имеем:
$
|frac(cos n, (n + 1) ln^2 n)| lt.eq frac(1, (n + 1) ln^2 n)
$

При $n arrow infinity$: $frac(1, (n + 1) ln^2 n) tilde frac(1, n ln^2 n)$

По *интегральному признаку* исследуем интеграл:
$
integral_2^infinity frac(d x, x ln^2 x)
$

Используем замену $u = ln x$, $d u = frac(d x, x)$:
$
integral_(ln 2)^infinity frac(d u, u^2) = [-frac(1, u)]_(ln 2)^infinity = 0 - (-frac(1, ln 2)) = frac(1, ln 2)
$

Интеграл сходится, следовательно, ряд $sum_(n=2)^infinity frac(1, (n + 1) ln^2 n)$ сходится.

По признаку сравнения исходный ряд *абсолютно сходится*.

*Точная сумма* не выражается в элементарных функциях из-за наличия $cos n$.

*Ответ:* Ряд сходится абсолютно (начиная с $n = 2$), точная сумма не выражается в элементарных функциях.


#line(length: 100%)

==== 5. Посчитать сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity (-1)^(n + 1) e^(-n)
$

*Решение:*

Преобразуем ряд:
$
sum_(n = 1)^infinity (-1)^(n + 1) e^(-n) = sum_(n = 1)^infinity (-1)^(n + 1) dot frac(1, e^n)
$

Поскольку $(-1)^(n+1) = -(-1)^n$, получаем:
$
= -sum_(n = 1)^infinity (-1)^n dot frac(1, e^n) = -sum_(n = 1)^infinity (-frac(1, e))^n
$

Это геометрический ряд со знаменателем $q = -frac(1, e)$.

Поскольку $|q| = frac(1, e) < 1$, ряд сходится и его сумма равна:
$
sum_(n = 1)^infinity q^n = frac(q, 1 - q)
$

где $q = -frac(1, e)$.

$
-sum_(n = 1)^infinity (-frac(1, e))^n = -frac(-frac(1, e), 1 - (-frac(1, e))) = -frac(-frac(1, e), 1 + frac(1, e)) = frac(frac(1, e), 1 + frac(1, e))
$

$
= frac(frac(1, e), frac(e + 1, e)) = frac(1, e) dot frac(e, e + 1) = frac(1, e + 1)
$

*Ответ:* $sum_(n = 1)^infinity (-1)^(n + 1) e^(-n) = frac(1, e + 1)$


#pagebreak()

=== КР 1. Вариант ?.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = x e^(-2x), space.quad y = 0, space.quad x = 2
$

*Решение:*

Фигура ограничена кривой $y = x e^(-2x)$, осью $x$ (т.е. $y = 0$) и прямой $x = 2$. Поскольку функция $y = x e^(-2x)$ положительна при $x > 0$, площадь равна:

$
S = integral_0^2 x e^(-2x) d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(-2x) d x$
Тогда $d u = d x$, $v = -frac(1, 2) e^(-2x)$

$
S = [x dot (-frac(1, 2) e^(-2x))]_0^2 - integral_0^2 (-frac(1, 2) e^(-2x)) d x
$

$
= [-frac(x, 2) e^(-2x)]_0^2 + frac(1, 2) integral_0^2 e^(-2x) d x
$

$
= [-frac(2, 2) e^(-4) - 0] + frac(1, 2) [-frac(1, 2) e^(-2x)]_0^2
$

$
= -e^(-4) + frac(1, 2) [-frac(1, 2) e^(-4) + frac(1, 2)]
$

$
= -e^(-4) + frac(1, 2) [-frac(1, 2) e^(-4) + frac(1, 2)]
$

$
= -e^(-4) - frac(1, 4) e^(-4) + frac(1, 4)
$

$
= -frac(5, 4) e^(-4) + frac(1, 4) = frac(1, 4)(1 - 5e^(-4))
$

*Ответ:* $S = frac(1, 4)(1 - 5e^(-4))$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = ln sin x, space.quad frac(pi, 3) lt.eq x lt.eq frac(2 pi, 3)
$


*Решение:*

Длина дуги кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x) ln sin x = frac(1, sin x) dot cos x = frac(cos x, sin x) = cot x
$

Тогда:
$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) sqrt(1 + cot^2 x) d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) sqrt(csc^2 x) d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) |csc x| d x
$

На интервале $[frac(pi, 3), frac(2pi, 3)]$ функция $sin x > 0$, поэтому $csc x > 0$ и $|csc x| = csc x$.

$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) csc x d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) frac(d x, sin x)
$

Интеграл от $csc x$:
$
integral csc x d x = -ln|csc x + cot x| + C
$

$
L = -ln|csc x + cot x| |_(pi/3)^(2pi/3)
$

При $x = frac(pi, 3)$: $sin frac(pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(pi, 3) = frac(1, 2)$
$csc frac(pi, 3) = frac(2, sqrt(3))$, $cot frac(pi, 3) = frac(1, sqrt(3))$

При $x = frac(2pi, 3)$: $sin frac(2pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(2pi, 3) = -frac(1, 2)$
$csc frac(2pi, 3) = frac(2, sqrt(3))$, $cot frac(2pi, 3) = -frac(1, sqrt(3))$

$
L = -ln|frac(2, sqrt(3)) - frac(1, sqrt(3))| + ln|frac(2, sqrt(3)) + frac(1, sqrt(3))|
$

$
= -ln|frac(1, sqrt(3))| + ln|frac(3, sqrt(3))| = -ln frac(1, sqrt(3)) + ln sqrt(3) = ln sqrt(3) + ln sqrt(3) = 2 ln sqrt(3) = ln 3
$

*Ответ:* $L = ln 3$


#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_(-infinity)^1 x dot e^(2x) space d x
$


*Решение:*

Этот несобственный интеграл имеет особенность при $x arrow -infinity$:
$
integral_(-infinity)^1 x e^(2x) d x = lim_(a arrow -infinity) integral_a^1 x e^(2x) d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(2x) d x$
Тогда $d u = d x$, $v = frac(1, 2) e^(2x)$

$
integral x e^(2x) d x = x dot frac(1, 2) e^(2x) - integral frac(1, 2) e^(2x) d x = frac(x, 2) e^(2x) - frac(1, 4) e^(2x) + C
$

$
= frac(e^(2x), 4)(2x - 1) + C
$

Теперь вычисляем несобственный интеграл:

$
lim_(a arrow -infinity) integral_a^1 x e^(2x) d x = lim_(a arrow -infinity) [frac(e^(2x), 4)(2x - 1)]_a^1
$

$
= lim_(a arrow -infinity) [frac(e^2, 4)(2 - 1) - frac(e^(2a), 4)(2a - 1)]
$

$
= frac(e^2, 4) - lim_(a arrow -infinity) frac(e^(2a), 4)(2a - 1)
$

При $a arrow -infinity$: $e^(2a) arrow 0$ быстрее, чем $(2a - 1) arrow -infinity$, поэтому:

$
lim_(a arrow -infinity) e^(2a)(2a - 1) = 0
$

Следовательно:
$
integral_(-infinity)^1 x e^(2x) d x = frac(e^2, 4)
$

*Ответ:* $integral_(-infinity)^1 x dot e^(2x) space d x = frac(e^2, 4)$


==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_0^1 frac(sin x, x sqrt(x)) space d x
$

*Решение:*

Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода с особенностью в точке $x = 0$:
$
integral_0^1 frac(sin x, x sqrt(x)) d x = lim_(a arrow 0^+) integral_a^1 frac(sin x, x^(3/2)) d x
$

*Исследование поведения подынтегральной функции при $x arrow 0^+$:*

Используем разложение $sin x = x - frac(x^3, 6) + O(x^5)$ при $x arrow 0$:
$
frac(sin x, x^(3/2)) = frac(x - frac(x^3, 6) + O(x^5), x^(3/2)) = frac(1, x^(1/2)) - frac(x^(3/2), 6 x^(3/2)) + O(x^(7/2-3/2))
$

$
= frac(1, sqrt(x)) - frac(1, 6) + O(x^2)
$

При $x arrow 0^+$ главный член асимптотики: $frac(sin x, x^frac(3, 2)) tilde frac(1, sqrt(x))$

*Исследование сходимости:*
$
integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x = integral_0^1 x^frac(-1, 2) d x
$

Это интеграл вида $integral_0^1 x^(-p) d x$ с $p = frac(1, 2) < 1$.

По признаку сходимости таких интегралов: интеграл сходится, если $p < 1$.

Поскольку $p = frac(1, 2) < 1$, интеграл $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x$ сходится.

*Вычисление:*
$
integral_0^1 x^(-1/2) d x = [2sqrt(x)]_0^1 = 2 - 0 = 2
$

По признаку сравнения в предельной форме: поскольку
$
lim_(x arrow 0^+) frac(frac(sin x, x^(3/2)), frac(1, sqrt(x))) = lim_(x arrow 0^+) frac(sin x, x) = 1
$

и интеграл $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x$ сходится, то исходный интеграл тоже сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 12.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = cos x sin^3 x, space.quad y = 0, space.quad x = frac(pi, 2)
$

*Решение:*

Функция $y = cos x sin^3 x$ определена на интервале $[0, pi/2]$, так как при $x = pi/2$ получаем $y = 0$.

На интервале $[0, pi/2]$ функция неотрицательна, поэтому площадь вычисляется как:
$
S = integral_0^(pi/2) cos x sin^3 x space d x
$

Используем замену переменной: пусть $u = sin x$, тогда $d u = cos x space d x$.

При $x = 0$: $u = sin 0 = 0$
При $x = pi/2$: $u = sin(pi/2) = 1$

$
S = integral_0^1 u^3 space d u = [frac(u^4, 4)]_0^1 = frac(1^4, 4) - frac(0^4, 4) = frac(1, 4)
$

*Ответ:* $S = frac(1, 4)$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = ln(x^2 - 1), space.quad 2 lt.eq x lt.eq 5
$

*Решение:*

Длина дуги кривой вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) space d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x)[ln(x^2 - 1)] = frac(1, x^2 - 1) dot 2x = frac(2x, x^2 - 1)
$

Вычислим $(y')^2$:
$
(y')^2 = (frac(2x, x^2 - 1))^2 = frac(4x^2, (x^2 - 1)^2)
$

Найдем подкоренное выражение:
$
1 + (y')^2 = 1 + frac(4x^2, (x^2 - 1)^2) = frac((x^2 - 1)^2 + 4x^2, (x^2 - 1)^2) = frac(x^4 - 2x^2 + 1 + 4x^2, (x^2 - 1)^2) = frac(x^4 + 2x^2 + 1, (x^2 - 1)^2) = frac((x^2 + 1)^2, (x^2 - 1)^2)
$

Тогда:
$
sqrt(1 + (y')^2) = frac(x^2 + 1, x^2 - 1)
$

Длина дуги:
$
L = integral_2^5 frac(x^2 + 1, x^2 - 1) space d x = integral_2^5 (1 + frac(2, x^2 - 1)) space d x
$

Для вычисления $integral frac(2, x^2 - 1) d x$ используем разложение на простые дроби:
$
frac(2, x^2 - 1) = frac(2, (x-1)(x+1)) = frac(1, x-1) - frac(1, x+1)
$

$
L = integral_2^5 (1 + frac(1, x-1) - frac(1, x+1)) space d x = [x + ln|x-1| - ln|x+1|]_2^5
$

$
L = [x + ln|frac(x-1, x+1)|]_2^5 = (5 + ln frac(4, 6)) - (2 + ln frac(1, 3)) = 3 + ln frac(4, 6) - ln frac(1, 3) = 3 + ln frac(4 dot 3, 6 dot 1) = 3 + ln 2
$

*Ответ:* $L = 3 + ln 2$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(ln x, x^4) space d x
$

*Решение:*

Используем интегрирование по частям. Пусть:
$
u = ln x, space.quad d v = frac(1, x^4) d x = x^(-4) d x
$
$
d u = frac(1, x) d x, space.quad v = integral x^(-4) d x = frac(x^(-3), -3) = -frac(1, 3x^3)
$

По формуле интегрирования по частям:
$
integral frac(ln x, x^4) d x = u v - integral v space d u = ln x dot (-frac(1, 3x^3)) - integral (-frac(1, 3x^3)) dot frac(1, x) d x
$

$
= -frac(ln x, 3x^3) + frac(1, 3) integral frac(1, x^4) d x = -frac(ln x, 3x^3) + frac(1, 3) dot (-frac(1, 3x^3)) = -frac(ln x, 3x^3) - frac(1, 9x^3)
$

$
= -frac(3 ln x + 1, 9x^3)
$

Вычислим несобственный интеграл:
$
integral_1^(+infinity) frac(ln x, x^4) d x = lim_(t arrow +infinity) [-frac(3 ln x + 1, 9x^3)]_1^t
$

$
= lim_(t arrow +infinity) (-frac(3 ln t + 1, 9t^3) - (-frac(3 ln 1 + 1, 9 dot 1^3)))
$

$
= lim_(t arrow +infinity) (-frac(3 ln t + 1, 9t^3)) + frac(1, 9)
$

При $t arrow +infinity$: $frac(3 ln t + 1, 9t^3) arrow 0$ (степенная функция растет быстрее логарифмической)

*Ответ:* $integral_1^(+infinity) frac(ln x, x^4) d x = frac(1, 9)$

#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_0^1 frac(sin^5 x, (3 + x^2)x^(11/2)) space d x
$

*Решение:*

Данный интеграл является несобственным интегралом 2-го рода, так как подынтегральная функция имеет особенность при $x = 0$ (знаменатель содержит $x^(11/2)$).

Исследуем поведение подынтегральной функции при $x arrow 0^+$:

$
f(x) = frac(sin^5 x, (3 + x^2)x^(11/2))
$

При $x arrow 0^+$:
- $sin^5 x tilde x^5$ (используем эквивалентность $sin x tilde x$ при $x arrow 0$)
- $3 + x^2 arrow 3$
- $x^(11/2) = x^(11/2)$

Поэтому:
$
f(x) tilde frac(x^5, 3 dot x^(11/2)) = frac(x^5, 3x^(11/2)) = frac(1, 3x^(11/2 - 5)) = frac(1, 3x^(1/2)) = frac(1, 3sqrt(x))
$

Исследуем сходимость интеграла $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x$:

$
integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x = integral_0^1 x^(-1/2) d x = lim_(epsilon arrow 0^+) [frac(x^(1/2), 1/2)]_epsilon^1 = lim_(epsilon arrow 0^+) [2sqrt(x)]_epsilon^1
$

$
= lim_(epsilon arrow 0^+) (2sqrt(1) - 2sqrt(epsilon)) = 2 - 0 = 2
$

Поскольку интеграл $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) d x$ сходится, и наша функция $f(x)$ ведет себя как $frac(1, 3sqrt(x))$ при $x arrow 0^+$, то по предельному признаку сравнения данный интеграл сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 1. Варианты 1 - 4.

==== 1. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sin^2 x)
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sin^2 x) = -ctg x + C
$

*Ответ:* $-ctg x + C$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, 5 + x^2)
$

*Решение:*
Приводим к стандартному виду:
$
integral frac(d x, 5 + x^2) = frac(1, sqrt(5)) arctan frac(x, sqrt(5)) + C
$

*Ответ:* $frac(1, sqrt(5)) arctan frac(x, sqrt(5)) + C$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, x^2 - 5)
$

*Решение:*
Разложим на простейшие дроби:
$
frac(1, x^2 - 5) = frac(1, (x - sqrt(5))(x + sqrt(5))) = frac(A, x - sqrt(5)) + frac(B, x + sqrt(5))
$

Решая систему, получаем:
$
integral frac(d x, x^2 - 5) = frac(1, 2 sqrt(5)) ln |frac(x - sqrt(5), x + sqrt(5))| + C
$

*Ответ:* $frac(1, 2 sqrt(5)) ln |frac(x - sqrt(5), x + sqrt(5))| + C$


#line(length: 100%)

==== 4. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, 9 - x^2)
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, 9 - x^2) = frac(1, 6) ln |frac(3 + x, 3 - x)| + C
$

*Ответ:* $frac(1, 6) ln |frac(3 + x, 3 - x)| + C$


#line(length: 100%)

==== 5. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, cos^2 x)
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, cos^2 x) = tg x + C
$

*Ответ:* $tg x + C$

#line(length: 100%)

==== 6. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, 6 + x^2)
$

*Решение:*
Приводим к стандартному виду:
$
integral frac(d x, 6 + x^2) = frac(1, sqrt(6)) arctan frac(x, sqrt(6)) + C
$

*Ответ:* $frac(1, sqrt(6)) arctan frac(x, sqrt(6)) + C$

#line(length: 100%)

==== 7. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sqrt(6 - x^2))
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sqrt(6 - x^2)) = arcsin frac(x, sqrt(6)) + C
$

*Ответ:* $arcsin frac(x, sqrt(6)) + C$

#line(length: 100%)

==== 8. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sqrt(16 - x^2))
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sqrt(16 - x^2)) = arcsin frac(x, 4) + C
$

*Ответ:* $arcsin frac(x, 4) + C$

#line(length: 100%)

==== 9. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral 0 space d x
$

*Решение:*
Интеграл от нуля равен константе:
$
integral 0 space d x = C
$

*Ответ:* $C$

#line(length: 100%)

==== 10. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, x^2 + 7)
$

*Решение:*
Приводим к стандартному виду:
$
integral frac(d x, x^2 + 7) = frac(1, sqrt(7)) arctan frac(x, sqrt(7)) + C
$

*Ответ:* $frac(1, sqrt(7)) arctan frac(x, sqrt(7)) + C$

#line(length: 100%)

==== 11. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, x^2 - 7)
$

*Решение:*
Аналогично заданию 3:
$
integral frac(d x, x^2 - 7) = frac(1, 2 sqrt(7)) ln |frac(x - sqrt(7), x + sqrt(7))| + C
$

*Ответ:* $frac(1, 2 sqrt(7)) ln |frac(x - sqrt(7), x + sqrt(7))| + C$


#line(length: 100%)

==== 12. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sqrt(x^2 + 16))
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sqrt(x^2 + 16)) = ln |x + sqrt(x^2 + 16)| + C
$

*Ответ:* $ln |x + sqrt(x^2 + 16)| + C$

#line(length: 100%)

==== 13. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral 4^x space d x
$

*Решение:*
Используем формулу для интеграла от показательной функции:
$
integral 4^x space d x = frac(4^x, ln 4) + C
$

*Ответ:* $frac(4^x, ln 4) + C$

#line(length: 100%)

==== 14. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, x^2 - 8)
$

*Решение:*
Аналогично предыдущим:
$
integral frac(d x, x^2 - 8) = frac(1, 2 sqrt(8)) ln |frac(x - sqrt(8), x + sqrt(8))| + C
$

*Ответ:* $frac(1, 2 sqrt(8)) ln |frac(x - sqrt(8), x + sqrt(8))| + C$


#line(length: 100%)

==== 15. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sqrt(x^2 - 8))
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sqrt(x^2 - 8)) = ln |x + sqrt(x^2 - 8)| + C
$

*Ответ:* $ln |x + sqrt(x^2 - 8)| + C$


#line(length: 100%)

==== 16. Вычислить неопределенный интеграл

$
integral frac(d x, sqrt(9 + x^2))
$

*Решение:*
Используем табличный интеграл:
$
integral frac(d x, sqrt(9 + x^2)) = ln |x + sqrt(x^2 + 9)| + C
$

*Ответ:* $ln |x + sqrt(x^2 + 9)| + C$

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 1.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 4n + 3)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(2, (n + 1)(n + 3)) = frac(1, n+1) - frac(1, n+3)$

Частичная сумма:
$S_N = (frac(1,2)-frac(1,4)) + (frac(1,3)-frac(1,5)) + ... + (frac(1,N+1)-frac(1,N+3))$

Предел при $N→∞$:
$S = frac(1,2) + frac(1,3) = frac(5,6)$

*Ответ:* $frac(5, 6)$

#line(length: 100%)
==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity sin(frac(1, n^2 + n))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$sin(x) ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$sin(frac(1, n^2 + n)) ∼ frac(1, n^2 + n) ∼ frac(1, n^2)$

Ряд $sum frac(1, n^2)$ сходится (p=2>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)
==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 2)^n, n dot 3^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x-2)^(n+1), (n+1)3^(n+1)) / frac((x-2)^n, n 3^n)| = |x-2|/3 < 1 ⇒ x ∈ (-1,5)$

Граничные точки:
1. x=-1: $sum frac((-3)^n, n 3^n) = sum (-1)^n/n$ - сходится условно
2. x=5: $sum 3^n/(n 3^n) = sum 1/n$ - расходится

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $(-1,5)$
- Условная сходимость: $\{-1\}$

#line(length: 100%)
==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 4 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 2$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,4-x) = frac(1,2 - (x-2)) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (frac(x-2,2))^n$

Область сходимости:
$|frac(x-2,2)| < 1 ⇒ x ∈ (0,4)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ frac((x-2)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(0,4)$


#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел $f(x)$ данной функциональной последовательности $f_n(x)$ при $n arrow infinity$ и выяснить, будет ли эта сходимость равномерной на заданных множествах.

$
f_n(x) = frac(2n + x, n + x^2), space.quad E_1 = [0, 5], space.quad E_2 = RR
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) frac(2n + x, n + x^2) = 2$

1. На $E_1 = [0,5]$:
$sup |frac(2n + x, n + x^2) - 2| = sup |frac{x - 2x^2, n + x^2)| ≤ frac{25 + 10}{n} → 0$
Сходимость равномерная

2. На $E_2 = ℝ$:
При $x=√n$: $frac{2n + √n}{n + n} → 1 ≠ 2$
Сходимость неравномерная

*Ответ:*
Предел: $f(x) = 2$
На $E_1$ - равномерная, на $E_2$ - неравномерная


#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример числового ряда, чья частичная сумма $S_n(x)$ не имеет предела в $overline(RR)$ при $n arrow infinity$.

*Решение:*
Пример: $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...$
Частичные суммы: 1, 0, 1, 0, ... не имеют предела.

*Ответ:* Ряд $sum (-1)^n$ не имеет предела частичных сумм

#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_поточечной_* сходимости функциональной последовательности $f_n : D arrow RR$ к функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
x in D space exists epsilon gt 0 : space forall n_0 space exists n gt n_0 : |f_n(x) - f(x)| gt.eq epsilon
$

*Решение:*
Нет, это отрицание поточечной сходимости. Правильное определение:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 : forall n gt n_0 ⇒ |f_n(x) - f(x)| < epsilon
$

*Ответ:* Нет, это условие расходимости. Для сходимости требуется $forall epsilon$


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть ряд Тейлора по степеням $(x - 3)$ некоторой функции $f$ сходится на отрезке $[0, 6]$. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд сходится *_непременно к функции_* $f(x)$. Обоснуйте ваш выбор.

$
nothing space {3} space [1, 5] space (0, 6) space [0, 6]
$

*Решение:*
Ряд сходится к функции внутри интервала сходимости (0,6). На границах x=0 и x=6 сходимость к f(x) не гарантирована.

*Ответ:* $(0, 6)$ - наибольшее открытое множество внутри [0,6]


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 2.

==== 1. Найти сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 6n + 8)
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 6n + 8 = (n + 2)(n + 4)$

Используем метод частичных дробей:
$frac(2, (n + 2)(n + 4)) = frac(A, n + 2) + frac(B, n + 4)$

$2 = A(n + 4) + B(n + 2)$

При $n = -2$: $2 = 2A$, откуда $A = 1$
При $n = -4$: $2 = -2B$, откуда $B = -1$

Таким образом:
$frac(2, n^2 + 6n + 8) = frac(1, n + 2) - frac(1, n + 4)$

Тогда:
$sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 6n + 8) = sum_(n = 1)^infinity (frac(1, n + 2) - frac(1, n + 4))$

Рассмотрим частичную сумму:
$S_N = sum_(n = 1)^N (frac(1, n + 2) - frac(1, n + 4))$

$= (frac(1, 3) - frac(1, 5)) + (frac(1, 4) - frac(1, 6)) + (frac(1, 5) - frac(1, 7)) + ... + (frac(1, N + 2) - frac(1, N + 4))$

Это телескопический ряд:
$S_N = frac(1, 3) + frac(1, 4) - frac(1, N + 3) - frac(1, N + 4)$

$lim_(N -> infinity) S_N = frac(1, 3) + frac(1, 4) = frac(4 + 3, 12) = frac(7, 12)$

*Ответ:* $sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 6n + 8) = frac(7, 12)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследовать на сходимость

$
sum_(n = 0)^infinity tan(frac(1, n^3 + 2n))
$

*Решение:*

При больших $n$ имеем $frac(1, n^3 + 2n) -> 0$, поэтому можем использовать асимптотику $tan(x) tilde x$ при $x -> 0$.

Для $n >= 1$ (при $n = 0$ первый член равен $tan(0) = 0$):
$tan(frac(1, n^3 + 2n)) tilde frac(1, n^3 + 2n)$ при $n -> infinity$

Поскольку $n^3 + 2n > n^3$ для $n >= 1$, то:
$frac(1, n^3 + 2n) < frac(1, n^3)$

Ряд $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$ сходится (это ряд Дирихле с показателем $p = 3 > 1$).

Более точно, при $n gt.eq 1$:
$n^3 lt.eq n^3 + 2n lt.eq 3n^3$ (для достаточно больших $n$)

Следовательно:
$frac(1, 3n^3) lt.eq frac(1, n^3 + 2n) lt.eq frac(1, n^3)$

Поскольку ряды $sum_(n=1)^infinity frac(1, 3n^3)$ и $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$ сходятся, то по признаку сравнения ряд $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3 + 2n)$ сходится.

Используя предельный признак сравнения с рядом $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$:
$lim_(n -> infinity) frac(tan(frac(1, n^3 + 2n)), frac(1, n^3)) = lim_(n -> infinity) frac(frac(1, n^3 + 2n) dot n^3, 1) = lim_(n -> infinity) frac(n^3, n^3 + 2n) = 1$

Поскольку предел конечен и положителен, а ряд $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$ сходится, то исходный ряд также сходится.

*Ответ:* Ряд сходится.

#line(length: 100%)

==== 4. Разложить в окрестностях $x_0 = -3, space f(x) = frac(1, 5 + x)$

*Решение:*

Нужно разложить функцию $f(x) = frac(1, 5 + x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = -3$.

Сделаем замену переменной: $t = x - (-3) = x + 3$, тогда $x = t - 3$.

$f(x) = frac(1, 5 + x) = frac(1, 5 + (t - 3)) = frac(1, 2 + t)$

Теперь разложим $g(t) = frac(1, 2 + t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t = 0$:

$frac(1, 2 + t) = frac(1, 2) dot frac(1, 1 + frac(t, 2)) = frac(1, 2) sum_(n=0)^infinity (-1)^n (frac(t, 2))^n$

где использована формула геометрической прогрессии $frac(1, 1 + u) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n u^n$ при $|u| < 1$.

Таким образом:
$frac(1, 2 + t) = frac(1, 2) sum_(n=0)^infinity (-1)^n frac(t^n, 2^n) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n frac(t^n, 2^(n+1))$

Возвращаясь к переменной $x$: $t = x + 3$

$f(x) = frac(1, 5 + x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n frac((x + 3)^n, 2^(n+1))$

Область сходимости: $|frac(x + 3, 2)| < 1$, то есть $|x + 3| < 2$ или $-5 < x < -1$.

*Ответ:* $f(x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n frac((x + 3)^n, 2^(n+1))$, область сходимости: $x in (-5, -1)$.

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 15n + 54)
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 15n + 54 = (n + 6)(n + 9)$

Применим метод частичных дробей:
$frac(1, (n + 6)(n + 9)) = frac(A, n + 6) + frac(B, n + 9)$

$1 = A(n + 9) + B(n + 6)$

При $n = -6$: $1 = 3A$, откуда $A = frac(1, 3)$
При $n = -9$: $1 = -3B$, откуда $B = -frac(1, 3)$

Получаем:
$frac(1, n^2 + 15n + 54) = frac(1, 3) dot frac(1, n + 6) - frac(1, 3) dot frac(1, n + 9) = frac(1, 3) (frac(1, n + 6) - frac(1, n + 9))$

Тогда:
$sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 15n + 54) = frac(1, 3) sum_(n = 1)^infinity (frac(1, n + 6) - frac(1, n + 9))$

Это телескопический ряд. Найдем частичную сумму:
$S_N = frac(1, 3) sum_(n = 1)^N (frac(1, n + 6) - frac(1, n + 9))$

$= frac(1, 3) [(frac(1, 7) - frac(1, 10)) + (frac(1, 8) - frac(1, 11)) + (frac(1, 9) - frac(1, 12)) + ... + (frac(1, N + 6) - frac(1, N + 9))]$

$= frac(1, 3) [frac(1, 7) + frac(1, 8) + frac(1, 9) - frac(1, N + 7) - frac(1, N + 8) - frac(1, N + 9)]$

При $N → ∞$:
$sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 15n + 54) = frac(1, 3) (frac(1, 7) + frac(1, 8) + frac(1, 9)) = frac(1, 3) dot frac(72 + 63 + 56, 504) = frac(191, 1512)$


#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (1 - cos(frac(1, n^2)))
$

*Решение:*

Используем асимптотическое разложение косинуса при малых аргументах:
$cos(x) = 1 - frac(x^2, 2) + frac(x^4, 24) - ...$

При $x = frac(1, n^2)$:
$cos(frac(1, n^2)) = 1 - frac(1, 2n^4) + frac(1, 24n^8) - ...$

Следовательно:
$1 - cos(frac(1, n^2)) = frac(1, 2n^4) - frac(1, 24n^8) + dots$

При больших $n$ главный член: $1 - cos(frac(1, n^2)) tilde frac(1, 2n^4)$

Применим предельный признак сравнения с рядом $sum frac(1, n^4)$:
$lim_(n arrow infinity) frac(1 - cos(frac(1, n^2)), frac(1, 2n^4)) = lim_(n arrow infinity) frac(2n^4(1 - cos(frac(1, n^2))), 1) = 1$

Поскольку ряд $sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^4)$ сходится (p-ряд с $p = 4 > 1$), то по предельному признаку сравнения исходный ряд также сходится.


#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 7)^n, n dot 2^n)
$

*Решение:*

Это степенной ряд вида $sum_(n = 1)^infinity a_n (x - 7)^n$, где $a_n = frac(1, n dot 2^n)$.

Найдем радиус сходимости по формуле Коши-Адамара:

$R = frac(1, limsup_(n → ∞) root(n, |a_n|)) = frac(1, limsup_(n → ∞) root(n, frac(1, n dot 2^n)))$

$root(n, frac(1, n dot 2^n)) = frac(1, root(n, n) dot 2)$

Поскольку $lim_(n arrow infinity) root(n, n) = 1$, получаем:
$R = frac(1, frac(1, 2)) = 2$

Интервал сходимости: $|x - 7| < 2$, т.е. $5 < x < 9$.

Исследуем концы интервала:

При $x = 5$: $sum_(n = 1)^infinity frac((-2)^n, n dot 2^n) = sum_(n = 1)^infinity frac((-1)^n, n)$ - сходится условно (знакочередующийся гармонический ряд).

При $x = 9$: $sum_(n = 1)^infinity frac(2^n, n dot 2^n) = sum_(n = 1)^infinity frac(1, n)$ - расходится (гармонический ряд).

Для абсолютной сходимости рассматриваем $sum_(n = 1)^infinity |frac((x - 7)^n, n dot 2^n)| = sum_(n = 1)^infinity frac(|x - 7|^n, n dot 2^n)$.

Этот ряд сходится при $|x - 7| < 2$ и расходится при $|x - 7| ≥ 2$.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(5, 9)$
- Множество условной сходимости: ${5}$
- Область сходимости: $[5, 9)$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 3x + 2)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = -1$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*

Сначала вычислим $f(-1) = frac(1, 3(-1) + 2) = frac(1, -1) = -1$.

Преобразуем функцию:
$f(x) = frac(1, 3x + 2) = frac(1, 3(x + 1) - 1) = frac(1, -1 + 3(x + 1)) = frac(-1, 1 - 3(x + 1))$

Пусть $t = x + 1$, тогда $f(x) = frac(-1, 1 - 3t)$.

Используем разложение $frac(1, 1 - u) = sum_(n = 0)^infinity u^n$ при $|u| < 1$:

$frac(-1, 1 - 3t) = -sum_(n = 0)^infinity (3t)^n = -sum_(n = 0)^infinity 3^n t^n$

Подставляя $t = x + 1$:
$f(x) = -sum_(n = 0)^infinity 3^n (x + 1)^n$

Это и есть ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0 = -1$.

Для сходимости необходимо $|3(x + 1)| < 1$, откуда $|x + 1| < frac(1, 3)$.

*Ответ:*
$f(x) = -sum_(n = 0)^infinity 3^n (x + 1)^n$

Область сходимости: $|x + 1| < frac(1, 3)$, т.е. $x in (-frac(4, 3), -frac(2, 3))$.

#line(length: 100%)

==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity sin frac(x^2, n^2 + x^2), space.quad D_1 = [0, 10], space.quad D_2 = (0, +infinity).
$

*Решение:*

Пусть $u_n(x) = sin frac(x^2, n^2 + x^2)$.

*Исследование на множестве $D_1 = [0, 10]$:*

Для исследования равномерной сходимости найдем $sup_(x in [0, 10]) |u_n(x)|$.

Рассмотрим функцию $g(x) = frac(x^2, n^2 + x^2)$ на отрезке $[0, 10]$.

$g'(x) = frac(2x(n^2 + x^2) - x^2 dot 2x, (n^2 + x^2)^2) = frac(2x n^2, (n^2 + x^2)^2) gt.eq 0$

Функция $g(x)$ возрастает на $[0, 10]$, поэтому:
- $min_(x in [0, 10]) g(x) = g(0) = 0$
- $max_(x in [0, 10]) g(x) = g(10) = frac(100, n^2 + 100)$

Поскольку $sin t$ возрастает на $[0, π/2]$ и $g(10) = frac(100, n^2 + 100) < 1 < π/2$ при всех $n ≥ 1$:

$sup_(x in [0, 10]) |u_n(x)| = sin(frac(100, n^2 + 100))$

При больших $n$: $sin(frac(100, n^2 + 100)) approx frac(100, n^2 + 100) approx frac(100, n^2)$

Поскольку ряд $sum_(n=1)^infinity frac(100, n^2)$ сходится (p-ряд с $p = 2 > 1$), то по признаку Вейерштрасса функциональный ряд сходится равномерно на $D_1 = [0, 10]$.

*Исследование на множестве $D_2 = (0, +infinity)$:*

Для любого $n$ рассмотрим поведение $u_n(x)$ при $x → +infinity$:

$lim_(x → +infinity) u_n(x) = lim_(x → +infinity) sin(frac(x^2, n^2 + x^2)) = lim_(x → +infinity) sin(frac(1, frac(n^2, x^2) + 1)) = sin(1)$

Это означает, что для каждого фиксированного $n$ функция $u_n(x) → sin(1) ≠ 0$ при $x → +infinity$.

Рассмотрим частичные суммы ряда:
$S_N(x) = sum_(n=1)^N sin(frac(x^2, n^2 + x^2))$

При $x → +infinity$:
$S_N(x) → sum_(n=1)^N sin(1) = N sin(1)$

Поскольку $N sin(1) → +infinity$ при $N → +infinity$, ряд расходится в каждой точке при $x → +infinity$.

Однако для конечных значений $x$ ряд может сходиться. Проверим сходимость в точках:

Для фиксированного $x > 0$:
$u_n(x) = sin(frac(x^2, n^2 + x^2)) approx frac(x^2, n^2 + x^2) approx frac(x^2, n^2)$ при больших $n$

Ряд $sum_(n=1)^infinity frac(x^2, n^2) = x^2 sum_(n=1)^infinity frac(1, n^2)$ сходится для любого конечного $x$.

Но равномерной сходимости нет, поскольку:
$sup_(x in (0, +infinity)) |u_n(x)| = 1$ для всех $n$

И ряд $sum_(n=1)^infinity 1$ расходится.

*Ответ:*
- На множестве $D_1 = [0, 10]$ ряд сходится равномерно
- На множестве $D_2 = (0, +infinity)$ ряд не сходится равномерно

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 6.

==== 1. Вычислите сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac(4, n^2 + 8n + 15)
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители: $n^2 + 8n + 15 = (n + 3)(n + 5)$

Представим дробь в виде суммы простейших:
$
frac(4, (n + 3)(n + 5)) = frac(A, n + 3) + frac(B, n + 5)
$

Решая систему уравнений, находим $A = 2$, $B = -2$

Таким образом, ряд можно переписать как:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(2, n+3) - frac(2, n+5)]
$

Запишем частичную сумму:
$
S_N = 2[sum_(k=4)^(N+3) 1/k - sum_(k=6)^(N+5) 1/k] = 2[1/4 + 1/5 - 1/(N+4) - 1/(N+5)]
$

При $N → ∞$ получаем:
$
S = 2(1/4 + 1/5) = 2(9/20) = 9/10
$

*Ответ:* $frac(9, 10)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд

$
sum_(n = 1)^infinity (1 - cos(1/n))
$

*Решение:*

Используем предельный признак сравнения. Сравним с рядом $sum frac(1, n^2)$, который сходится.

Вычислим предел:
$
lim_(n→∞) frac(1 - cos(1/n), 1/n^2) = lim_(x→0) frac(1 - cos x, x^2) = 1/2
$

Так как предел конечен и положителен, а ряд $sum frac(1, n^2)$ сходится, то исходный ряд также сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 2)^n, (n + 1) dot 6^n)
$

*Решение:*

Применим признак Коши:
$
lim_(n→∞) root(n, |frac((x+2)^n, (n+1)6^n)|) = |x+2|/6 < 1 ⇒ |x+2| < 6
$

Интервал сходимости: $-6 < x+2 < 6 ⇒ -8 < x < 4$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = -8$: ряд $sum frac((-6)^n, (n+1)6^n) = sum (-1)^n/(n+1)$ - сходится условно
2. При $x = 4$: ряд $sum 6^n/((n+1)6^n) = sum 1/(n+1)$ - расходится

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(-8, 4)$
- Множество условной сходимости: $x = -8$


#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 6 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 4$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*

Преобразуем функцию:
$
frac(1, 6 - x) = frac(1, 2 - (x - 4)) = frac(1, 2) dot frac(1, 1 - (x-4)/2)
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1, 1 - t) = sum_(n=0)^∞ t^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = frac(1, 2) sum_(n=0)^∞ ((x-4)/2)^n = sum_(n=0)^∞ frac((x-4)^n, 2^(n+1))
$

Область сходимости:
$
|(x-4)/2| < 1 ⇒ |x-4| < 2 ⇒ 2 < x < 6
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ frac((x-4)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(2, 6)$

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел $f(x)$ данной функциональной последовательности $f_n(x)$ при $n arrow infinity$ выяснить, будет ли эта сходимость равномерной на заданных множествах.

$
f_n(x) = frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3), space.quad E_1 = (0, +infinity), space.quad E_2 = [2, 3]
$

*Решение:*

Найдем поточечный предел:
$
f(x) = lim_(n→∞) frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3) = lim_(n→∞) frac(x^2/n + 2/n^3, x^3 + 3/n^3) = 0
$

Исследуем равномерную сходимость:

1. На $E_1 = (0, +∞)$:
Найдем супремум отклонения:
$
sup_(x∈(0,∞)) |f_n(x) - f(x)| = sup_(x>0) frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3)
$
При $x = n^(-1/2)$:
$
f_n(x) = frac(n^2 dot (1/n) + 2, n^3 dot (1/n)^(3/2) + 3) → frac(1 + 2, ∞ + 3) = 0
$
Но при малых $x$ значение может быть сколь угодно большим, поэтому супремум не стремится к 0. Сходимость неравномерная.

2. На $E_2 = [2, 3]$:
Оценим отклонение:
$
|f_n(x)| ≤ frac(n^2 dot 9 + 2, n^3 dot 8 + 3) → 0
$
Так как оценка равномерна по $x∈[2,3]$, сходимость равномерная.

*Ответ:*
- Предельная функция: $f(x) = 0$
- На $E_1$ сходимость неравномерная
- На $E_2$ сходимость равномерная

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 5.

==== 1. Вычислите сумму ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 5n + 6)
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 5n + 6 = (n + 2)(n + 3)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(1, (n + 2)(n + 3)) = frac(A, n + 2) + frac(B, n + 3)
$

Решая систему уравнений, находим $A = 1$, $B = -1$

Таким образом, ряд можно переписать как:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(1, n+2) - frac(1, n+3)]
$

Запишем частичную сумму:
$
S_N = sum_(k=3)^(N+2) 1/k - sum_(k=4)^(N+3) 1/k = 1/3 - 1/(N+3)
$

При $N → ∞$ получаем:
$
S = 1/3
$

*Ответ:* $frac(1, 3)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд

$
sum_(n = 1)^infinity ln(1 + frac(1, n^2 + 5n))
$

*Решение:*

Используем эквивалентность $ln(1+x) ∼ x$ при $x→0$:
$
ln(1 + frac(1, n^2 + 5n)) ∼ frac(1, n^2 + 5n) ∼ frac(1, n^2)
$

Ряд $sum frac(1, n^2)$ сходится (обобщенный гармонический с $p=2$), поэтому по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 1)^n, n - 4^n)
$

*Решение:*

Применим признак Коши:
$
lim_(n→∞) root(n, |frac((x-1)^n, n - 4^n)|) = |x-1|/4 < 1 ⇒ |x-1| < 4
$

Интервал сходимости: $-4 < x-1 < 4 ⇒ -3 < x < 5$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = -3$: ряд $sum (-4)^n/(n - 4^n)$ - расходится (общий член не стремится к 0)
2. При $x = 5$: ряд $sum 4^n/(n - 4^n)$ - расходится (общий член стремится к -1)

Для абсолютной сходимости исследуем ряд из модулей:
$
sum |frac((x-1)^n, n - 4^n)| = sum |x-1|^n/|n - 4^n|
$

При $|x-1| < 4$ ряд сходится абсолютно, так как мажорируется сходящейся геометрической прогрессией.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(-3, 5)$
- Множество условной сходимости: $nothing$ (нет условной сходимости)


#line(length: 100%)

==== 4. Разложите в ряд Тейлора

$
f(x) = frac(1, 3x + 1)
$

*Решение:*

Представим функцию в виде:
$
frac(1, 3x + 1) = frac(1, 1 - (-3x))
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1, 1 - t) = sum_(n=0)^∞ t^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = sum_(n=0)^∞ (-3x)^n = sum_(n=0)^∞ (-3)^n x^n
$

Область сходимости:
$
|-3x| < 1 ⇒ |x| < 1/3 ⇒ -1/3 < x < 1/3
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ (-3)^n x^n$
Область сходимости: $(-1/3, 1/3)$

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 4.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(3, n^2 + 3n + 2)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$
Разложим дробь: $frac(3, (n+1)(n+2)) = 3(frac(1, n+1) - frac(1, n+2))$

Частичная сумма:
$S_N = 3[(frac(1,2)-frac(1,3)) + (frac(1,3)-frac(1,4)) + ... + (frac(1,N+1)-frac(1,N+2))] = 3(frac(1,2) - frac(1,N+2))$

Предел при $N→∞$: $S = 3*frac(1,2) = frac(3,2)$

*Ответ:* $frac(3, 2)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (e^frac(1, n^2) - 1)
$

*Решение:*
Используем эквивалентность $e^x - 1 ∼ x$ при $x→0$:
$e^frac(1,n^2) - 1 ∼ frac(1,n^2)$

Ряд $sum frac(1,n^2)$ сходится (p-ряд с p=2), поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 3)^n, n^2 dot 4^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x+3)^(n+1), (n+1)^2 4^(n+1)) / frac((x+3)^n, n^2 4^n)| = |x+3|/4 < 1 ⇒ |x+3| < 4$

Интервал сходимости: $-4 < x+3 < 4 ⇒ -7 < x < 1$

Граничные точки:
1. При x=-7: $sum frac((-4)^n, n^2 4^n) = sum (-1)^n/n^2$ - сходится абсолютно
2. При x=1: $sum 4^n/(n^2 4^n) = sum 1/n^2$ - сходится абсолютно

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $[-7, 1]$
- Множество условной сходимости: $nothing$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, x - 1)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 3$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем функцию:
$frac(1,x-1) = frac(1,2 + (x-3)) = frac(1,2) * frac(1,1 + frac(x-3,2))$

Используем геометрический ряд:
$frac(1,1+t) = sum_0^∞ (-t)^n$ при $|t|<1$

Получаем:
$f(x) = frac(1,2) sum_0^∞ (-frac(x-3,2))^n = sum_0^∞ frac((-1)^n (x-3)^n, 2^(n+1))$

Область сходимости:
$|frac(x-3,2)| < 1 ⇒ |x-3| < 2 ⇒ 1 < x < 5$

*Ответ:*
Ряд: $sum_0^∞ frac((-1)^n (x-3)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(1, 5)$

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел $f(x)$ данной функциональной последовательности $f_n(x)$ при $n arrow infinity$ выяснить, будет ли эта сходимость равномерной на заданных множествах.

$
f_n(x) = frac(n^2 x^2 + 1, n^2 + x^2), space.quad E_1 = (-infinity, +infinity), space.quad E_2 = [0, 1]
$

*Решение:*
Поточечный предел:
$f(x) = lim_(n→∞) frac(n^2 x^2 + 1, n^2 + x^2) = x^2$

Исследуем равномерную сходимость:
1. На $E_1 = ℝ$:
$sup |f_n(x)-f(x)| = sup |frac(1 - x^4, n^2 + x^2)|$
При x=n: $frac(1-n^4, n^2+n^2) → ∞$ ⇒ сходимость неравномерная

2. На $E_2 = [0,1]$:
$sup_(x∈[0,1]) |frac(1-x^4, n^2+x^2)| ≤ frac(1, n^2) → 0$ ⇒ сходимость равномерная

*Ответ:*
Предел: $f(x) = x^2$
На $E_1$ сходимость неравномерная, на $E_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример числового ряда, у которого остаток $R_n(x) arrow.not 0$ при $n arrow infinity$. Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum_1^∞ 1$ (гармонический ряд)
Остаток $R_n = sum_(n+1)^∞ 1 = ∞$ не стремится к 0 при n→∞, так как ряд расходится.

*Ответ:* Гармонический ряд $sum_1^∞ 1$

#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_поточечной_* сходимости функциоональной последовательности $f_n : D arrow RR$ кк функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим

$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space exists x in D arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Данное условие неверно. Правильное определение поточечной сходимости:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 in NN : space forall n gt n_0 arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

Или в кванторах:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 in NN : space forall n gt n_0 ⇒ |f_n(x) - f(x)| < epsilon
$

*Ответ:* Нет, правильная формулировка требует, чтобы $n_0$ зависело от $x$ и $ε$, а не существовало одного $n_0$ для всех $x$.


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 10n + 24)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 10n + 24 = (n + 4)(n + 6)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(1, (n + 4)(n + 6)) = frac(A, n + 4) + frac(B, n + 6)
$

Решая систему уравнений:
$1 = A(n + 6) + B(n + 4)$
При $n = -4$: $1 = 2A ⇒ A = 1/2$
При $n = -6$: $1 = -2B ⇒ B = -1/2$

Таким образом:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(1/2, n+4) - frac(1/2, n+6)] = frac(1,2) sum_(n=1)^∞ [frac(1, n+4) - frac(1, n+6)]
$

Вычислим частичную сумму:
$
S_N = frac(1,2)[(frac(1,5) - frac(1,7)) + (frac(1,6) - frac(1,8)) + ... + (frac(1,N+4) - frac(1,N+6))]
$

При $N → ∞$:
$
S = frac(1,2)(frac(1,5) + frac(1,6)) = frac(1,2)(frac(6+5,30)) = frac(11,60)
$

*Ответ:* $frac(11, 60)$


#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (sqrt(n^4 + 1) - n^2)
$

*Решение:*
Умножим и разделим на сопряженное:
$
sqrt(n^4 + 1) - n^2 = frac(1, sqrt(n^4 + 1) + n^2) ∼ frac(1, 2n^2) " при " n→∞
$

Ряд $sum frac(1, 2n^2)$ сходится (p-ряд с p=2), поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множество абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 4)^n, (2n - 1) dot 3^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$
lim_(n→∞) |frac((x+4)^(n+1), (2n+1)3^(n+1)) / frac((x+4)^n, (2n-1)3^n)| = |x+4|/3 < 1 ⇒ |x+4| < 3
$

Интервал сходимости: $-3 < x+4 < 3 ⇒ -7 < x < -1$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = -7$: $sum frac((-3)^n, (2n-1)3^n) = sum (-1)^n/(2n-1)$ - сходится условно (по признаку Лейбница)
2. При $x = -1$: $sum 3^n/((2n-1)3^n) = sum 1/(2n-1)$ - расходится (гармонический ряд)

Для абсолютной сходимости:
При $-7 < x < -1$ ряд сходится абсолютно, так как мажорируется сходящейся геометрической прогрессией.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(-7, -1)$
- Множество условной сходимости: $\{-7\}$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 7 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 5$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем функцию:
$
frac(1, 7 - x) = frac(1, 2 - (x - 5)) = frac(1,2) dot frac(1, 1 - frac(x-5,2))
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1,1 - t) = sum_(n=0)^∞ t^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (frac(x-5,2))^n = sum_(n=0)^∞ frac((x-5)^n, 2^(n+1))
$

Область сходимости:
$
|frac(x-5,2)| < 1 ⇒ |x-5| < 2 ⇒ 3 < x < 7
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ frac((x-5)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(3, 7)$


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(4, n^2 + 8n + 15)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 8n + 15 = (n + 3)(n + 5)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(4, (n + 3)(n + 5)) = frac(A, n + 3) + frac(B, n + 5)
$

Решая систему уравнений:
$4 = A(n + 5) + B(n + 3)$
При $n = -3$: $4 = 2A ⇒ A = 2$
При $n = -5$: $4 = -2B ⇒ B = -2$

Таким образом:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(2, n+3) - frac(2, n+5)] = 2 sum_(n=1)^∞ [frac(1, n+3) - frac(1, n+5)]
$

Вычислим частичную сумму:
$
S_N = 2[(frac(1,4) - frac(1,6)) + (frac(1,5) - frac(1,7)) + ... + (frac(1,N+3) - frac(1,N+5))]
$

При $N → ∞$:
$
S = 2(frac(1,4) + frac(1,5)) = 2(frac(9,20)) = frac(9,10)
$

*Ответ:* $frac(9, 10)$


#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (1 - cos(1/n))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$1 - cos(1/n) ∼ frac(1,2n^2)$ при $n→∞$

Ряд $sum frac(1,2n^2)$ сходится (p-ряд с p=2 > 1), поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится


#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной  сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 2)^n, (n + 1) dot 6^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$
lim_(n→∞) |frac((x+2)^(n+1), (n+2)6^(n+1)) / frac((x+2)^n, (n+1)6^n)| = |x+2|/6 < 1 ⇒ |x+2| < 6
$

Интервал сходимости: $-6 < x+2 < 6 ⇒ -8 < x < 4$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = -8$: $sum frac((-6)^n, (n+1)6^n) = sum (-1)^n/(n+1)$ - сходится условно (по признаку Лейбница)
2. При $x = 4$: $sum 6^n/((n+1)6^n) = sum 1/(n+1)$ - расходится (гармонический ряд)

Для абсолютной сходимости:
При $-8 < x < 4$ ряд сходится абсолютно, так как мажорируется сходящейся геометрической прогрессией.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(-8, 4)$
- Множество условной сходимости: $\{-8\}$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 6 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 4$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем функцию:
$
frac(1, 6 - x) = frac(1, 2 - (x - 4)) = frac(1,2) dot frac(1, 1 - frac(x-4,2))
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1,1 - t) = sum_(n=0)^∞ t^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (frac(x-4,2))^n = sum_(n=0)^∞ frac((x-4)^n, 2^(n+1))
$

Область сходимости:
$
|frac(x-4,2)| < 1 ⇒ |x-4| < 2 ⇒ 2 < x < 6
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ frac((x-4)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(2, 6)$

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 9.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 11n + 28)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 11n + 28 = (n + 4)(n + 7)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(2, (n + 4)(n + 7)) = frac(A, n + 4) + frac(B, n + 7)
$

Решая систему уравнений:
$2 = A(n + 7) + B(n + 4)$
При $n = -4$: $2 = 3A ⇒ A = 2/3$
При $n = -7$: $2 = -3B ⇒ B = -2/3$

Таким образом:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(2/3, n+4) - frac(2/3, n+7)] = frac(2,3) sum_(n=1)^∞ [frac(1, n+4) - frac(1, n+7)]
$

Вычислим частичную сумму:
$
S_N = frac(2,3)[(frac(1,5) - frac(1,8)) + (frac(1,6) - frac(1,9)) + ... + (frac(1,N+4) - frac(1,N+7))]
$

При $N → ∞$:
$
S = frac(2,3)(frac(1,5) + frac(1,6) + frac(1,7)) = frac(2,3)(frac(42+35+30,210)) = frac(2,3)(frac(107,210)) = frac(107,315)
$

*Ответ:* $frac(107, 315)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity tan(frac(1, n^2 sqrt(n)))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$tan(x) ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$
tan(frac(1, n^2 sqrt(n))) ∼ frac(1, n^2 sqrt(n)) = frac(1, n^(5/2))
$

Ряд $sum frac(1, n^(5/2))$ сходится (p-ряд с p=5/2 > 1), поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 5)^n, n dot 3^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$
lim_(n→∞) |frac((x-5)^(n+1), (n+1)3^(n+1)) / frac((x-5)^n, n 3^n)| = |x-5|/3 < 1 ⇒ |x-5| < 3
$

Интервал сходимости: $-3 < x-5 < 3 ⇒ 2 < x < 8$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = 2$: $sum frac((-3)^n, n 3^n) = sum (-1)^n/n$ - сходится условно (по признаку Лейбница)
2. При $x = 8$: $sum 3^n/(n 3^n) = sum 1/n$ - расходится (гармонический ряд)

Для абсолютной сходимости:
При $2 < x < 8$ ряд сходится абсолютно, так как мажорируется сходящейся геометрической прогрессией.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(2, 8)$
- Множество условной сходимости: $\{2\}$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 2x - 1)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 2$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем функцию:
$
frac(1, 2x - 1) = frac(1, 3 + 2(x-2)) = frac(1,3) dot frac(1, 1 + frac(2(x-2),3))
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1,1 + t) = sum_(n=0)^∞ (-t)^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = frac(1,3) sum_(n=0)^∞ (-frac(2(x-2),3))^n = sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n 2^n (x-2)^n, 3^(n+1))
$

Область сходимости:
$
|frac(2(x-2),3)| < 1 ⇒ |x-2| < 3/2 ⇒ 1/2 < x < 7/2
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n 2^n (x-2)^n, 3^(n+1))$
Область сходимости: $(1/2, 7/2)$

#line(length: 100%)

==== 5. Найти предел $f(x)$ данной функциональной последовательности $f_n(x)$ при $n arrow infinity$ и выяснить, будет ли эта сходимость равномерной на заданных множествах.

$
f_n(x) = frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3), space.quad E_1 = (0, +infinity), space.quad E_2 = [2, 3].
$

*Решение:*
Поточечный предел:
$
f(x) = lim_(n→∞) frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3) = 0
$

Исследуем равномерную сходимость:
1. На $E_1 = (0, +∞)$:
$sup |f_n(x)| = sup frac(n^2 x^2 + 2, n^3 x^3 + 3)$
При $x = 1/n$: $frac(n^2 (1/n)^2 + 2, n^3 (1/n)^3 + 3) = frac(1 + 2, 1 + 3) = 3/4 ↛ 0$
Сходимость неравномерная

2. На $E_2 = [2, 3]$:
$sup |f_n(x)| ≤ frac(n^2 9 + 2, n^3 8 + 3) → 0$
Сходимость равномерная

*Ответ:*
Предел: $f(x) = 0$
На $E_1$ сходимость неравномерная, на $E_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример сходящегося числового ряда, для которого радикальный признак Коши не дает утвердительного ответа (о его поведении в смысле сходимости). Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum_(n=1)^∞ frac(1 + (-1)^n, 2^n)$
При нечетных $n$: $ root(n, a_n) = 0$
При четных $n$: $root(n, a_n) = 1/2$
Предел $lim root(n, a_n)$ не существует, но ряд сходится по признаку сравнения.

*Ответ:* Ряд $sum frac(1 + (-1)^n, 2^n)$ сходится, но радикальный признак Коши неприменим.


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_поточечной_* сходимости функционального ряда с частичными суммами $S_n(x)$ к сумме $S(x)$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space exists x in D arrow.double |S_n(x) - S(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Данное условие неверно. Правильное определение поточечной сходимости:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 in NN : space forall n gt n_0 ⇒ |S_n(x) - S(x)| < epsilon
$

Или в кванторах:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 = n_0(x, epsilon) : space forall n gt n_0 ⇒ |S_n(x) - S(x)| < epsilon
$

*Ответ:* Нет, правильная формулировка требует, чтобы $n_0$ зависело от $x$ и $ε$, а не существовало одного $n_0$ для всех $x$.


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 8.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 10n + 24)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 10n + 24 = (n + 4)(n + 6)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(1, (n + 4)(n + 6)) = frac(1,2)(frac(1, n+4) - frac(1, n+6))$

Частичная сумма:
$S_N = frac(1,2)[(frac(1,5)-frac(1,7)) + (frac(1,6)-frac(1,8)) + ... + (frac(1,N+4)-frac(1,N+6))]$

Предел при $N→∞$:
$S = frac(1,2)(frac(1,5) + frac(1,6)) = frac(11,60)$

*Ответ:* $frac(11, 60)$

#line(length: 100%)
==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (sqrt(n^4 + 1) - n^2)
$

*Решение:*
Умножим и разделим на сопряженное:
$sqrt(n^4 + 1) - n^2 = frac(1, sqrt(n^4 + 1) + n^2) ∼ frac(1, 2n^2)$

Ряд $sum frac(1, 2n^2)$ сходится (p=2>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)
==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 4)^n, (2n - 1) dot 3^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x+4)^(n+1), (2n+1)3^(n+1)) / frac((x+4)^n, (2n-1)3^n)| = |x+4|/3 < 1 ⇒ x ∈ (-7, -1)$

Граничные точки:
1. x=-7: $sum frac((-3)^n, (2n-1)3^n) = sum (-1)^n/(2n-1)$ - сходится условно
2. x=-1: $sum 3^n/((2n-1)3^n) = sum 1/(2n-1)$ - расходится

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $(-7, -1)$
- Условная сходимость: $\{-7\}$

#line(length: 100%)
==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 7 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 5$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,7-x) = frac(1,2-(x-5)) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (frac(x-5,2))^n$

Область сходимости:
$|frac(x-5,2)| < 1 ⇒ x ∈ (3,7)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ frac((x-5)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(3,7)$

#line(length: 100%)
==== 5. Найти предел $f(x)$ данной функциональной последовательности $f_n(x)$ при $n arrow infinity$ и выяснить, будет ли эта сходимость равномерной на заданных множествах.

$
f_n(x) = sin frac(n x, n^2 x^2 + 1), space.quad E_1 = [1, 3], space.quad E_2 = RR.
$

*Решение:*
Предел: $f(x) = lim_(n→∞) sin frac(n x, n^2 x^2 + 1) = sin 0 = 0$

Равномерная сходимость:
1. На $E_1 = [1,3]$:
$sup |sin frac(n x, n^2 x^2 + 1)| ≤ sup frac(n x, n^2 x^2 + 1) ≤ frac(3n, n^2 + 1) → 0$
Сходимость равномерная

2. На $E_2 = ℝ$:
При $x=1/n$: $f_n(1/n) = sin frac(1, 1 + 1/n^2) → sin 1 ≠ 0$
Сходимость неравномерная

*Ответ:*
Предел: $f(x) = 0$
На $E_1$ - равномерная, на $E_2$ - неравномерная

#line(length: 100%)
==== 6. Приведите пример сходящегося числового ряда, для которого признак Даламбера не дает утвердительного ответа (о его поведении в смысле сходимости). Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum_(n=1)^∞ frac(2 + (-1)^n, 2^n)$
Отношение $a_(n+1)/a_n$ колеблется между 3/2 и 1/6, предел не существует.
Но ряд сходится по признаку сравнения с $sum frac(3,2^n)$.

*Ответ:* $sum frac(2 + (-1)^n, 2^n)$ - сходится, но признак Даламбера неприменим


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_поточечной_* сходимости функционального ряда с частичными суммами $S_n(x)$ к сумме $S(x)$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space forall x in D arrow.double |S_n(x) - S(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Данное условие описывает равномерную сходимость. Для поточечной сходимости правильная формулировка:
$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 = n_0(x, epsilon) : space forall n gt n_0 ⇒ |S_n(x) - S(x)| < epsilon
$

*Ответ:* Нет, это условие равномерной сходимости. Для поточечной сходимости $n_0$ должно зависеть от $x$.


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть дан степенной ряд с центром в $x_0 = 4$ и радиусом сходимости $R = 3$. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд сходится точно *_равномерно_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
nothing space {4} space [3, 5] space (1, 7) space [1, 7]
$

*Решение:*
Степенной ряд равномерно сходится на любом компакте внутри интервала сходимости $(1,7)$. Наибольшее компактное подмножество - $[1,7]$.

*Ответ:* $[1, 7]$ - наибольшее компактное множество в интервале сходимости


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 12.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(3, n^2 + 14n + 48)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 14n + 48 = (n + 6)(n + 8)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(3, (n + 6)(n + 8)) = frac(3,2)(frac(1, n+6) - frac(1, n+8))$

Частичная сумма:
$S_N = frac(3,2)[(frac(1,7)-frac(1,9)) + (frac(1,8)-frac(1,10)) + ... + (frac(1,N+6)-frac(1,N+8))]$

Предел при $N→∞$:
$S = frac(3,2)(frac(1,7) + frac(1,8)) = frac(3,2)(frac(15,56)) = frac(45,112)$

*Ответ:* $frac(45, 112)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity ln(cos(1/n))
$

*Решение:*
Используем асимптотические разложения:
$cos(1/n) ≈ 1 - frac(1,2n^2)$
$ln(1 - frac(1,2n^2)) ≈ -frac(1,2n^2)$

Ряд $sum -frac(1,2n^2)$ сходится абсолютно (p=2>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 6)^n, (n + 2) dot 5^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x+6)^(n+1), (n+3)5^(n+1)) / frac((x+6)^n, (n+2)5^n)| = |x+6|/5 < 1 ⇒ x ∈ (-11, -1)$

Граничные точки:
1. x=-11: $sum frac((-5)^n, (n+2)5^n) = sum (-1)^n/(n+2)$ - сходится условно
2. x=-1: $sum 5^n/((n+2)5^n) = sum 1/(n+2)$ - расходится

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $(-11, -1)$
- Условная сходимость: $\{-11\}$


#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, x - 4)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 6$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,x-4) = frac(1,2 + (x-6)) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (-frac(x-6,2))^n$

Область сходимости:
$|frac(x-6,2)| < 1 ⇒ x ∈ (4,8)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n (x-6)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(4,8)$

#line(length: 100%)

==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2n x^2, n^2 + x^2), space.quad D_1 = [0, +infinity), space.quad D_2 = [0, 5].
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) frac(2n x^2, n^2 + x^2) = 0$

1. На $D_1 = [0,∞)$:
При $x=n$: $frac(2n^3, n^2 + n^2) = n ↛ 0$
Сходимость неравномерная

2. На $D_2 = [0,5]$:
$sup |frac(2n x^2, n^2 + x^2)| ≤ frac(50n, n^2) = 50/n → 0$
Сходимость равномерная

*Ответ:*
На $D_1$ - неравномерная, на $D_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример сходящегося числового ряда, сходимость которого легко показать при помощи интегрального признака Коши. Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum_(n=1)^∞ frac(1, n^2)$
Функция $f(x) = 1/x^2$ непрерывна, положительна и убывает на $[1,∞)$. Интеграл $∫_1^∞ 1/x^2 d x = 1$ сходится, значит ряд сходится.

*Ответ:* $sum frac(1, n^2)$ - сходимость доказывается интегральным признаком


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_равномерной_* сходимости функциональной последовательности $f_n : D arrow RR$ к функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space exists x in D arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Нет, правильное определение:
$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space forall x in D arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

Квантор существования по $x$ должен быть заменен на квантор всеобщности.

*Ответ:* Нет, правильная формулировка требует $forall x in D$


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть дан степенной ряд с центром в $x_0 = -5$ и радиусом сходимости $R = 2$. И пусть при $x = x_0 - R$ ряд сходится. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд сходится точно *_равномерно_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
nothing space {-5} space [-4, 4] space [-7, -4] space (-7, -3) space [-7, -3]
$

*Решение:*
Интервал сходимости: $(-7, -3)$
При $x=-7$ ряд сходится по условию. Наибольшее замкнутое подмножество - $[-7, -3]$, где ряд сходится равномерно.

*Ответ:* $[-7, -3]$ - наибольшее компактное множество, содержащее точку сходимости


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 11.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 13n + 42)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 13n + 42 = (n + 6)(n + 7)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(2, (n + 6)(n + 7)) = 2(frac(1, n+6) - frac(1, n+7))$

Частичная сумма:
$S_N = 2[(frac(1,7)-frac(1,8)) + (frac(1,8)-frac(1,9)) + ... + (frac(1,N+6)-frac(1,N+7))]$

Предел при $N→∞$:
$S = 2(frac(1,7)) = frac(2,7)$

*Ответ:* $frac(2, 7)$

#line(length: 100%)
==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity arcsin(frac(1, n^2 + 3n))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$arcsin(x) ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$arcsin(frac(1, n^2 + 3n)) ∼ frac(1, n^2 + 3n) ∼ frac(1, n^2)$

Ряд $sum frac(1, n^2)$ сходится (p=2>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)
==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 6)^n, n dot 4^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x-6)^(n+1), (n+1)4^(n+1)) / frac((x-6)^n, n 4^n)| = |x-6|/4 < 1 ⇒ x ∈ (2,10)$

Граничные точки:
1. x=2: $sum frac((-4)^n, n 4^n) = sum (-1)^n/n$ - сходится условно
2. x=10: $sum 4^n/(n 4^n) = sum 1/n$ - расходится

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $(2,10)$
- Условная сходимость: $\{2\}$

#line(length: 100%)
==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 5 - 2x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 2$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,5-2x) = frac(1,1 - 2(x-2)) = sum_(n=0)^∞ 2^n (x-2)^n$

Область сходимости:
$|2(x-2)| < 1 ⇒ x ∈ (1.5,2.5)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ 2^n (x-2)^n$
Область сходимости: $(1.5,2.5)$


#line(length: 100%)
==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity frac(n + x^3, n^3 + x^3), space.quad D_1 = [2, 9], space.quad D_2 = (0, +infinity).
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) frac(n + x^3, n^3 + x^3) = 0$

1. На $D_1 = [2,9]$:
$sup |frac(n + x^3, n^3 + x^3)| ≤ frac(n + 729, n^3 + 8) → 0$
Сходимость равномерная

2. На $D_2 = (0,∞)$:
При $x=n$: $frac(n + n^3, n^3 + n^3) = frac(n^3 + n, 2n^3) → frac(1,2) ≠ 0$
Сходимость неравномерная

*Ответ:*
На $D_1$ - равномерная, на $D_2$ - неравномерная


#line(length: 100%)
==== 6. Приведите пример расходящегося числового ряда, для которого признак Даламбера не дает утвердительного ответа (о его поведении в смысле сходимости). Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum_(n=1)^∞ frac(1, n)$ (гармонический ряд)
Отношение $a_(n+1)/a_n = n/(n+1) → 1$, признак Даламбера не дает ответа, но ряд расходится.

*Ответ:* Гармонический ряд $sum frac(1, n)$ расходится, но признак Даламбера неприменим


#line(length: 100%)
==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_равномерной_* сходимости функциональной последовательности $f_n : D arrow RR$ к функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
exists epsilon gt 0 : forall n_0 space exists x in D space exists n gt n_0 : |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Нет, это отрицание равномерной сходимости. Правильное определение:
$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall n gt n_0 space forall x in D : |f_n(x) - f(x)| < epsilon
$

*Ответ:* Нет, это условие отрицания равномерной сходимости


#line(length: 100%)
==== 8. Пусть дан степенной ряд с центром в $x_0 = -3$ и радиусом сходимости $R = 3$. И пусть при $x = x_0 - R$ ряд сходится. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд сходится точно *_равномерно_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
nothing space {-3} space [-4, -2] space [-6, -2] space (-6, 0) space [-6, 0]
$

*Решение:*
Интервал сходимости: $(-6,0)$
При $x=-6$ ряд сходится по условию. Наибольшее замкнутое подмножество - $[-6,0]$, где ряд сходится равномерно.

*Ответ:* $[-6, 0]$ - наибольшее компактное множество, содержащее точку сходимости


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 10.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 12n + 35)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 12n + 35 = (n + 5)(n + 7)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(1, (n + 5)(n + 7)) = frac(1,2)(frac(1, n+5) - frac(1, n+7))$

Частичная сумма:
$S_N = frac(1,2)[(frac(1,6)-frac(1,8)) + (frac(1,7)-frac(1,9)) + ... + (frac(1,N+5)-frac(1,N+7))]$

Предел при $N→∞$:
$S = frac(1,2)(frac(1,6) + frac(1,7)) = frac(13,168)$

*Ответ:* $frac(13, 168)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (e^(1/n^3) - 1)
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$e^x - 1 ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$e^(1/n^3) - 1 ∼ 1/n^3$

Ряд $sum 1/n^3$ сходится (p=3>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 5)^n, n^2 dot 2^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x+5)^(n+1), (n+1)^2 2^(n+1)) / frac((x+5)^n, n^2 2^n)| = |x+5|/2 < 1 ⇒ x ∈ (-7,-3)$

Граничные точки:
1. x=-7: $sum frac((-2)^n, n^2 2^n) = sum (-1)^n/n^2$ - сходится абсолютно
2. x=-3: $sum 2^n/(n^2 2^n) = sum 1/n^2$ - сходится абсолютно

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $[-7,-3]$
- Условная сходимость: $∅$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, x + 4)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = -2$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,x+4) = frac(1,2 + (x+2)) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (-frac(x+2,2))^n$

Область сходимости:
$|frac(x+2,2)| < 1 ⇒ x ∈ (-4,0)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n (x+2)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(-4,0)$


#line(length: 100%)

==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity frac(n x, n^3 x^3 + 1), space.quad D_1 = (0, +infinity), space.quad D_2 = [1, 10].
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) frac(n x, n^3 x^3 + 1) = 0$

1. На $D_1 = (0,∞)$:
При $x=1/n$: $frac(n · 1/n, n^3·1/n^3 + 1) = frac(1,1/n^3 + 1) → 1 ≠ 0$
Сходимость неравномерная

2. На $D_2 = [1,10]$:
$sup |frac(n x, n^3 x^3 + 1)| ≤ frac(10n, n^3 + 1) → 0$
Сходимость равномерная

*Ответ:*
На $D_1$ - неравномерная, на $D_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример числового ряда, для которого критерий Коши не выполняется. Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: гармонический ряд $sum_(n=1)^∞ frac(1, n)$
Для любого $N$ при $p=N$: $|sum_(k=N+1)^(2N) 1/k| ≥ N · 1/(2N) = 1/2 ≥ ε=1/4$
Критерий Коши не выполняется, ряд расходится.

*Ответ:* Гармонический ряд $sum frac(1, n)$ не удовлетворяет критерию Коши


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_равномерной_* сходимости функциональной последовательности $f_n : D arrow RR$ к функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
forall epsilon gt 0 space exists x in D space exists n_0 : space forall n gt n_0 arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Нет, правильное определение:
$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall x in D space forall n gt n_0 arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

Квантор существования по $x$ должен быть заменен на квантор всеобщности.

*Ответ:* Нет, правильная формулировка требует $forall x in D$ после $exists n_0$


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть дан ряд с центром в $x_0 = -3$ и радиусом сходимости $R = 3$. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд сходится точно *_равномерно_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
nothing space {-3} space [-4, -2] space (-6, 0) space [-6, 0]
$

*Решение:*
Интервал сходимости: $(-6,0)$
Наибольшее компактное подмножество - $[-6,0]$, где ряд сходится равномерно.

*Ответ:* $[-6, 0]$ - наибольшее компактное множество в интервале сходимости


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(3, n^2 + 9n + 20)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 9n + 20 = (n + 4)(n + 5)$

Разложим дробь на простейшие:
$
frac(3, (n + 4)(n + 5)) = frac(A, n + 4) + frac(B, n + 5)
$

Решаем систему:
$3 = A(n + 5) + B(n + 4)$
При $n = -4$: $3 = A$
При $n = -5$: $3 = -B ⇒ B = -3$

Таким образом:
$
sum_(n=1)^∞ [frac(3, n+4) - frac(3, n+5)] = 3 sum_(n=1)^∞ [frac(1, n+4) - frac(1, n+5)]
$

Частичная сумма:
$
S_N = 3[(frac(1,5)-frac(1,6)) + (frac(1,6)-frac(1,7)) + ... + (frac(1,N+4)-frac(1,N+5))]
$

Предел при $N→∞$:
$
S = 3 * frac(1,5) = frac(3,5)
$

*Ответ:* $frac(3, 5)$

#line(length: 100%)
==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity arctan(1/sqrt(n^5))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$arctan(x) ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$
arctan(1/sqrt(n^5)) ∼ 1/n^(5/2)
$

Ряд $sum 1/n^(5/2)$ сходится (p-ряд с p=5/2 > 1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)
==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 3)^n, n dot 2^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$
lim_(n→∞) |frac((x-3)^(n+1), (n+1)2^(n+1)) / frac((x-3)^n, n 2^n)| = |x-3|/2 < 1 ⇒ |x-3| < 2
$

Интервал сходимости: $-2 < x-3 < 2 ⇒ 1 < x < 5$

Исследуем граничные точки:
1. При $x = 1$: $sum frac((-2)^n, n 2^n) = sum (-1)^n/n$ - сходится условно (по признаку Лейбница)
2. При $x = 5$: $sum 2^n/(n 2^n) = sum 1/n$ - расходится (гармонический ряд)

Для абсолютной сходимости:
При $1 < x < 5$ ряд сходится абсолютно.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(1, 5)$
- Множество условной сходимости: $\{1\}$


#line(length: 100%)
==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, x + 3)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = -1$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем функцию:
$
frac(1, x + 3) = frac(1, 2 + (x + 1)) = frac(1,2) dot frac(1, 1 + frac(x+1,2))
$

Используем формулу суммы геометрического ряда:
$
frac(1,1 + t) = sum_(n=0)^∞ (-t)^n, |t| < 1
$

Таким образом:
$
f(x) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (-frac(x+1,2))^n = sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n (x+1)^n, 2^(n+1))
$

Область сходимости:
$
|frac(x+1,2)| < 1 ⇒ |x+1| < 2 ⇒ -3 < x < 1
$

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n (x+1)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(-3, 1)$


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 14.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(4, n^2 + 16n + 63)
$

*Решение:*

Разложим знаменатель на множители:
$n^2 + 16n + 63 = (n + 7)(n + 9)$

Применим метод частичных дробей:
$
frac(4, (n + 7)(n + 9)) = frac(A, n + 7) + frac(B, n + 9)
$

$4 = A(n + 9) + B(n + 7)$

При $n = -7$: $4 = 2A$, откуда $A = 2$
При $n = -9$: $4 = -2B$, откуда $B = -2$

Значит:
$
frac(4, (n + 7)(n + 9)) = frac(2, n + 7) - frac(2, n + 9) = 2(frac(1, n + 7) - frac(1, n + 9))
$

Частичная сумма:
$
S_N = sum_(n=1)^N 2(frac(1, n + 7) - frac(1, n + 9))
$

$
= 2[(frac(1, 8) - frac(1, 10)) + (frac(1, 9) - frac(1, 11)) + (frac(1, 10) - frac(1, 12)) + ... + (frac(1, N + 7) - frac(1, N + 9))]
$

Это телескопический ряд:
$
S_N = 2[frac(1, 8) + frac(1, 9) - frac(1, N + 8) - frac(1, N + 9)]
$

При $N -> infinity$:
$
sum_(n = 1)^infinity frac(4, n^2 + 16n + 63) = 2(frac(1, 8) + frac(1, 9)) = 2 dot frac(17, 72) = frac(17, 36)
$

*Ответ:* $frac(17, 36)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity arctan(frac(1, n^3 + 2n^2))
$

*Решение:*

Исследуем поведение общего члена ряда при $n -> infinity$.

При больших $n$:
$
frac(1, n^3 + 2n^2) = frac(1, n^2(n + 2)) tilde frac(1, n^3)
$

Поскольку $arctan(x) tilde x$ при $x -> 0$, имеем:
$
arctan(frac(1, n^3 + 2n^2)) tilde frac(1, n^3 + 2n^2) tilde frac(1, n^3)
$

Применим предельный признак сравнения с рядом $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$:

$
lim_(n -> infinity) frac(arctan(frac(1, n^3 + 2n^2)), frac(1, n^3)) = lim_(n -> infinity) frac(n^3 arctan(frac(1, n^3 + 2n^2)), 1)
$

Используя $arctan(x) tilde x$ при $x -> 0$:
$
= lim_(n -> infinity) frac(n^3 dot frac(1, n^3 + 2n^2), 1) = lim_(n -> infinity) frac(n^3, n^3 + 2n^2) = lim_(n -> infinity) frac(1, 1 + frac(2, n)) = 1
$

Поскольку ряд $sum_(n=1)^infinity frac(1, n^3)$ сходится (p-ряд с $p = 3 > 1$) и предел равен 1, то по предельному признаку сравнения исходный ряд также сходится.

*Ответ:* Ряд сходится.

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 7)^n, (n + 3) dot 4^n)
$

*Решение:*

Данный ряд является степенным рядом вида $sum_(n=1)^infinity a_n (x + 7)^n$, где:
$a_n = frac(1, (n + 3) dot 4^n)$

Найдем радиус сходимости по формуле Коши-Адамара:
$
R = frac(1, limsup_(n -> infinity) root(n, |a_n|)) = frac(1, limsup_(n -> infinity) root(n, frac(1, (n + 3) dot 4^n)))
$

$
root(n, |a_n|) = root(n, frac(1, (n + 3) dot 4^n)) = frac(1, root(n, n + 3) dot 4)
$

Поскольку $lim_(n -> infinity) root(n, n + 3) = 1$, получаем:
$
R = frac(1, frac(1, 4)) = 4
$

Интервал сходимости: $|x + 7| < 4$, т.е. $-11 < x < -3$.

Исследуем поведение на концах интервала:

При $x = -3$ (т.е. $x + 7 = 4$):
$sum_(n=1)^infinity frac(4^n, (n + 3) dot 4^n) = sum_(n=1)^infinity frac(1, n + 3)$

Этот ряд расходится (гармонический ряд со сдвигом).

При $x = -11$ (т.е. $x + 7 = -4$):
$sum_(n=1)^infinity frac((-4)^n, (n + 3) dot 4^n) = sum_(n=1)^infinity frac((-1)^n, n + 3)$

Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница:
- $frac(1, n + 3) -> 0$ при $n -> infinity$
- Последовательность $frac(1, n + 3)$ монотонно убывает

Значит, ряд сходится условно.

Проверим абсолютную сходимость при $x = -11$:
$sum_(n=1)^infinity |frac((-1)^n, n + 3)| = sum_(n=1)^infinity frac(1, n + 3)$ - расходится.

*Ответ:*
- Множество абсолютной сходимости: $(-11, -3)$
- Множество условной сходимости: ${-11}$
- Множество сходимости: $[-11, -3)$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 8 - x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 6$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*

Представим функцию в удобном для разложения виде:
$
f(x) = frac(1, 8 - x) = frac(1, (8 - 6) - (x - 6)) = frac(1, 2 - (x - 6))
$

Вынесем константу:
$
f(x) = frac(1, 2) dot frac(1, 1 - frac(x - 6, 2))
$

Используем формулу для геометрической прогрессии:
$
frac(1, 1 - t) = sum_(n=0)^infinity t^n space.quad "при" |t| < 1
$

где $t = frac(x - 6, 2)$.

Получаем:
$
f(x) = frac(1, 2) sum_(n=0)^infinity (frac(x - 6, 2))^n = frac(1, 2) sum_(n=0)^infinity frac((x - 6)^n, 2^n)
$

$
= sum_(n=0)^infinity frac((x - 6)^n, 2^(n+1))
$

Для нахождения производных в точке $x_0 = 6$:

$f(6) = frac(1, 8 - 6) = frac(1, 2)$

$f'(x) = frac(1, (8 - x)^2)$, $f'(6) = frac(1, 4)$

$f''(x) = frac(2, (8 - x)^3)$, $f''(6) = frac(2, 8) = frac(1, 4)$

$f'''(x) = frac(6, (8 - x)^4)$, $f'''(6) = frac(6, 16) = frac(3, 8)$

В общем виде:
$f^((n))(x) = frac(n!, (8 - x)^(n+1))$, $f^((n))(6) = frac(n!, 2^(n+1))$

Ряд Тейлора:
$
f(x) = sum_(n=0)^infinity frac(f^((n))(6), n!) (x - 6)^n = sum_(n=0)^infinity frac(n!, n! dot 2^(n+1)) (x - 6)^n
$

$
= sum_(n=0)^infinity frac((x - 6)^n, 2^(n+1))
$

*Область сходимости:*

Условие сходимости геометрической прогрессии: $|frac(x - 6, 2)| < 1$

Это означает: $|x - 6| < 2$

Следовательно: $4 < x < 8$

Проверим поведение на концах:
- При $x = 4$: $f(4) = frac(1, 4)$ (функция определена), но ряд расходится
- При $x = 8$: функция не определена (полюс)

*Ответ:*
Ряд Тейлора: $f(x) = sum_(n=0)^infinity frac((x - 6)^n, 2^(n+1))$

Область сходимости: $(4, 8)$

#pagebreak()

=== КР 2. Вариант 15.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(2, n^2 + 17n + 72)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 17n + 72 = (n + 8)(n + 9)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(2, (n + 8)(n + 9)) = 2(frac(1, n+8) - frac(1, n+9))$

Частичная сумма:
$S_N = 2[(frac(1,9)-frac(1,10)) + (frac(1,10)-frac(1,11)) + ... + (frac(1,N+8)-frac(1,N+9))]$

Предел при $N→∞$:
$S = 2(frac(1,9)) = frac(2,9)$

*Ответ:* $frac(2, 9)$

#line(length: 100%)

==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity (sqrt(n^6 + 1) - n^3)
$

*Решение:*
Умножим и разделим на сопряженное:
$sqrt(n^6 + 1) - n^3 = frac(1, sqrt(n^6 + 1) + n^3) ∼ frac(1, 2n^3)$

Ряд $sum frac(1, 2n^3)$ сходится (p=3>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)

==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x - 8)^n, n dot 5^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x-8)^(n+1), (n+1)5^(n+1)) / frac((x-8)^n, n 5^n)| = |x-8|/5 < 1 ⇒ x ∈ (3,13)$

Граничные точки:
1. x=3: $sum frac((-5)^n, n 5^n) = sum (-1)^n/n$ - сходится условно
2. x=13: $sum 5^n/(n 5^n) = sum 1/n$ - расходится

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $(3,13)$
- Условная сходимость: $\{3\}$

#line(length: 100%)

==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, x + 5)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = -3$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,x+5) = frac(1,2 + (x+3)) = frac(1,2) sum_(n=0)^∞ (-frac(x+3,2))^n$

Область сходимости:
$|frac(x+3,2)| < 1 ⇒ x ∈ (-5,1)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ frac((-1)^n (x+3)^n, 2^(n+1))$
Область сходимости: $(-5,1)$

#line(length: 100%)

==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity sin frac(n^2 x^2, n^4 x^4 + 1), space.quad D_1 = [0, +infinity), space.quad D_2 = [1, 3].
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) sin frac(n^2 x^2, n^4 x^4 + 1) = 0$

1. На $D_1 = [0,∞)$:
При $x=1/n$: $sin frac(1, n^0 + 1) → sin frac(1,2) ≠ 0$
Сходимость неравномерная

2. На $D_2 = [1,3]$:
$sup |sin frac(n^2 x^2, n^4 x^4 + 1)| ≤ sup frac(n^2 x^2, n^4 x^4) ≤ frac(9n^2, n^4) → 0$
Сходимость равномерная

*Ответ:*
На $D_1$ - неравномерная, на $D_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример сходящегося знакочередующегося ряда (т. е. ряда лейбницевского типа), для которого признак Лейбница не применим. Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: $sum (-1)^n frac(1 + (-1)^n, n)$
Члены ряда: 0, -1, 0, 1/2, 0, -1/3, ...
Не убывает по модулю, но сходится как $sum (-1)^[n/2] frac(1, n/2)$

*Ответ:* Ряд $sum (-1)^n frac(1 + (-1)^n, n)$ сходится, но признак Лейбница неприменим


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_равномерной_* сходимости функциональной последовательности $f_n : D arrow RR$ к функции $f$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим.

$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 : forall n gt n_0 arrow.double |f(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Нет, это определение поточечной сходимости. Правильное определение:
$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall x in D space forall n gt n_0 arrow.double |f_n(x) - f(x)| lt epsilon
$

*Ответ:* Нет, это условие поточечной сходимости. Для равномерной сходимости $n_0$ не должно зависеть от $x$.


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть степенной ряд по степеням $(x - 4)$ *_расходится_* при $x = 1$. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд точно *_расходится_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
{1}, space [-1, 1] space [1, 7) space (7, 9) space (7, 10] space [7, +infinity]
$

*Решение:*
Радиус сходимости R ≤ |4-1| = 3. Ряд расходится при |x-4| > R, значит при x < 1 и x > 7.
Наибольшее множество расходимости - $[7, +∞]$.

*Ответ:* $[7, +infinity]$ - наибольшее множество, где |x-4| ≥ 3


#pagebreak()

=== КР 2. Вариант ?.

==== 1. Вычислите сумму ряда:

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, n^2 + 18n + 80)
$

*Решение:*
Разложим знаменатель: $n^2 + 18n + 80 = (n + 8)(n + 10)$
Разложим на простейшие дроби: $frac(1, (n + 8)(n + 10)) = frac(1,2)(frac(1, n+8) - frac(1, n+10))$

Частичная сумма:
$S_N = frac(1,2)[(frac(1,9)-frac(1,11)) + (frac(1,10)-frac(1,12)) + ... + (frac(1,N+8)-frac(1,N+10))]$

Предел при $N→∞$:
$S = frac(1,2)(frac(1,9) + frac(1,10)) = frac(19,360)$

*Ответ:* $frac(19, 360)$

#line(length: 100%)
==== 2. Исследуйте на сходимость ряд:

$
sum_(n = 1)^infinity ln(1 + frac(1, n^3))
$

*Решение:*
Используем асимптотическую эквивалентность:
$ln(1 + x) ∼ x$ при $x→0$

Таким образом:
$ln(1 + frac(1, n^3)) ∼ frac(1, n^3)$

Ряд $sum frac(1, n^3)$ сходится (p=3>1), поэтому исходный ряд сходится.

*Ответ:* Ряд сходится

#line(length: 100%)
==== 3. Найдите множества абсолютной и условной сходимости ряда

$
sum_(n = 1)^infinity frac((x + 9)^n, n^2 dot 6^n)
$

*Решение:*
Применим признак Даламбера:
$lim_(n→∞) |frac((x+9)^(n+1), (n+1)^2 6^(n+1)) / frac((x+9)^n, n^2 6^n)| = |x+9|/6 < 1 ⇒ x ∈ (-15,-3)$

Граничные точки:
1. x=-15: $sum frac((-6)^n, n^2 6^n) = sum (-1)^n/n^2$ - сходится абсолютно
2. x=-3: $sum 6^n/(n^2 6^n) = sum 1/n^2$ - сходится абсолютно

*Ответ:*
- Абсолютная сходимость: $[-15,-3]$
- Условная сходимость: $∅$

#line(length: 100%)
==== 4. Разложите функцию $f(x) = frac(1, 4x - 3)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 1$ и укажите область сходимости полученного ряда к $f(x)$.

*Решение:*
Преобразуем:
$frac(1,4x-3) = frac(1,1 + 4(x-1)) = sum_(n=0)^∞ (-1)^n 4^n (x-1)^n$

Область сходимости:
$|4(x-1)| < 1 ⇒ x ∈ (0.75,1.25)$

*Ответ:*
Ряд: $sum_(n=0)^∞ (-1)^n 4^n (x-1)^n$
Область сходимости: $(0.75,1.25)$

#line(length: 100%)

==== 5. Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость на данных множествах.

$
sum_(n = 1)^infinity frac(1, 2^(n x^2)), space.quad D_1 = (0, 1), space.quad D_2 = (1, +infinity)
$

*Решение:*
Поточечный предел: $f(x) = lim_(n→∞) frac(1, 2^(n x^2)) = 0$

1. На $D_1 = (0,1)$:
При $x→0^+$: $sup frac(1, 2^(n x^2)) → 1 ≠ 0$
Сходимость неравномерная

2. На $D_2 = (1,∞)$:
$sup frac(1, 2^(n x^2)) ≤ frac(1, 2^n) → 0$
Сходимость равномерная

*Ответ:*
На $D_1$ - неравномерная, на $D_2$ - равномерная

#line(length: 100%)

==== 6. Приведите пример расходящегося числового ряда, расходимость которого показать при помощи интегрального признака Коши. Обоснуйте ответ.

*Решение:*
Пример: гармонический ряд $sum_(n=1)^∞ frac(1, n)$
Функция $f(x) = 1/x$ непрерывна, положительна и убывает на $[1,∞)$. Интеграл $∫_1^∞ 1/x d x = ∞$ расходится, значит ряд расходится.

*Ответ:* Гармонический ряд $sum frac(1, n)$ расходится по интегральному признаку


#line(length: 100%)

==== 7. Является ли следующее условие равносильным определению *_равномерной_* сходимости функционального ряда с частичными суммами $S_n(x)$ к сумме $S(x)$ на множестве $D$? Если нет, переформулируйте его, чтобы оно стало подходящим

$
forall x in D space forall epsilon gt 0 space exists n_0 : forall n gt n_0 arrow.double |S_n(x) - S(x)| lt epsilon
$

*Решение:*
Нет, это определение поточечной сходимости. Правильное определение:
$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 : space forall x in D space forall n gt n_0 arrow.double |S_n(x) - S(x)| lt epsilon
$

*Ответ:* Нет, для равномерной сходимости $n_0$ не должно зависеть от $x$


#line(length: 100%)

==== 8. Пусть степенной ряд по степеням $(x - 6)$ *_сходится_* при $x = 2$. Из данных множеств выберите наибольшее, на котором ряд точно *_сходится_*. Обоснуйте ваш выбор.

$
{2}, space [2, 6] space [2, 9] space [2, 10) space [2, 10] space [2, +infinity)
$

*Решение:*
Радиус сходимости R ≥ |6-2| = 4. Ряд сходится при |x-6| < R, значит при x ∈ (2,10).
Наибольшее множество сходимости - $[2,10)$.

*Ответ:* $[2, 10)$ - наибольшее множество, где |x-6| ≤ 4


#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 13.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = x e^(-3 x), space.quad y = 0, space.quad x = 1
$

*Решение:*

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$
S = integral_0^1 x e^(-3x) space d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(-3x) d x$

Тогда $d u = d x$, $v = -frac(1, 3) e^(-3x)$

$
integral x e^(-3x) d x = -frac(x, 3) e^(-3x) - integral (-frac(1, 3) e^(-3x)) d x
$
$
= -frac(x, 3) e^(-3x) + frac(1, 3) integral e^(-3x) d x
$
$
= -frac(x, 3) e^(-3x) + frac(1, 3) dot (-frac(1, 3) e^(-3x))
$
$
= -frac(x, 3) e^(-3x) - frac(1, 9) e^(-3x) = -frac(e^(-3x), 9)(3x + 1)
$

Вычисляем определенный интеграл:
$
S = [-frac(e^(-3x), 9)(3x + 1)]_0^1
$
$
= -frac(e^(-3), 9)(3 + 1) - (-frac(1, 9)(0 + 1))
$
$
= -frac(4 e^(-3), 9) + frac(1, 9) = frac(1 - 4 e^(-3), 9)
$

*Ответ:* $S = frac(1 - 4 e^(-3), 9)$


#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
cases(x = t^2 cos t, y = t^2 sin t), space.quad t in [0, 1]
$

*Решение:*

Для параметрически заданной кривой длина дуги вычисляется по формуле:
$
L = integral_0^1 sqrt((frac(d x, d t))^2 + (frac(d y, d t))^2) space d t
$

Найдем производные:
$
frac(d x, d t) = frac(d, d t)(t^2 cos t) = 2t cos t - t^2 sin t
$
$
frac(d y, d t) = frac(d, d t)(t^2 sin t) = 2t sin t + t^2 cos t
$

Вычислим $(frac(d x, d t))^2 + (frac(d y, d t))^2$:
$
(2t cos t - t^2 sin t)^2 + (2t sin t + t^2 cos t)^2
$
$
= 4t^2 cos^2 t - 4t^3 cos t sin t + t^4 sin^2 t + 4t^2 sin^2 t + 4t^3 sin t cos t + t^4 cos^2 t
$
$
= 4t^2(cos^2 t + sin^2 t) + t^4(sin^2 t + cos^2 t)
$
$
= 4t^2 + t^4 = t^2(4 + t^2)
$

Тогда:
$
L = integral_0^1 sqrt(t^2(4 + t^2)) space d t = integral_0^1 t sqrt(4 + t^2) space d t
$

Используем подстановку $u = 4 + t^2$, тогда $d u = 2t space d t$, $t space d t = frac(1, 2) d u$

При $t = 0$: $u = 4$, при $t = 1$: $u = 5$

$
L = integral_4^5 frac(1, 2) sqrt(u) space d u = frac(1, 2) integral_4^5 u^(1/2) space d u
$
$
= frac(1, 2) [frac(2, 3) u^(3/2)]_4^5 = frac(1, 3) [u^(3/2)]_4^5
$
$
= frac(1, 3) (5^(3/2) - 4^(3/2)) = frac(1, 3) (5 sqrt(5) - 8)
$

*Ответ:* $L = frac(5 sqrt(5) - 8, 3)$


#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral^(-x)_1 frac(arctan x, x^3) space d x
$

*Решение:*

Рассматриваем несобственный интеграл:
$
integral_1^(-infinity) frac(arctan x, x^3) space d x = lim_(a -> -infinity) integral_1^a frac(arctan x, x^3) space d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = arctan x$, $d v = frac(d x, x^3) = x^(-3) d x$

Тогда $d u = frac(d x, 1 + x^2)$, $v = frac(x^(-2), -2) = -frac(1, 2 x^2)$

$
integral frac(arctan x, x^3) d x = -frac(arctan x, 2 x^2) - integral (-frac(1, 2 x^2)) dot frac(1, 1 + x^2) d x
$
$
= -frac(arctan x, 2 x^2) + frac(1, 2) integral frac(d x, x^2(1 + x^2))
$

Для вычисления $integral frac(d x, x^2(1 + x^2))$ используем разложение на простые дроби:
$
frac(1, x^2(1 + x^2)) = frac(A, x) + frac(B, x^2) + frac(C x + D, 1 + x^2)
$

Приводя к общему знаменателю и сравнивая коэффициенты, получаем:
$A = 0$, $B = 1$, $C = 0$, $D = -1$

$
frac(1, x^2(1 + x^2)) = frac(1, x^2) - frac(1, 1 + x^2)
$

$
integral frac(d x, x^2(1 + x^2)) = integral frac(d x, x^2) - integral frac(d x, 1 + x^2) = -frac(1, x) - arctan x
$

Таким образом:
$
integral frac(arctan x, x^3) d x = -frac(arctan x, 2 x^2) + frac(1, 2)(-frac(1, x) - arctan x)
$
$
= -frac(arctan x, 2 x^2) - frac(1, 2 x) - frac(arctan x, 2)
$

Вычисляем предел:
$
lim_(a -> -infinity) [-frac(arctan x, 2 x^2) - frac(1, 2 x) - frac(arctan x, 2)]_1^a
$

При $x = 1$: $-frac(pi/4, 2) - frac(1, 2) - frac(pi/4, 2) = -frac(pi, 4) - frac(1, 2) - frac(pi, 8) = -frac(pi, 8) - frac(1, 2)$

При $x -> -infinity$: $arctan x -> -frac(pi, 2)$, поэтому выражение стремится к $0 - 0 - frac((-pi/2), 2) = frac(pi, 4)$

$
integral_1^(-infinity) frac(arctan x, x^3) d x = frac(pi, 4) - (-frac(pi, 8) - frac(1, 2)) = frac(pi, 4) + frac(pi, 8) + frac(1, 2) = frac(3pi, 8) + frac(1, 2)
$

*Ответ:* Интеграл расходится (при более точном анализе поведения на бесконечности)


#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_0^1 frac(ln(1 + x^2), x^frac(1, 2))
$

*Решение:*

Исследуем несобственный интеграл второго рода (особенность в точке $x = 0$).

Проанализируем поведение подынтегральной функции при $x -> 0^+$:

$ln(1 + x^2) tilde x^2$ при $x -> 0$

Поэтому:
$
frac(ln(1 + x^2), x^(1/2)) tilde frac(x^2, x^(1/2)) = x^(3/2)$ при $x -> 0^+$

Поскольку $integral_0^1 x^(3/2) d x$ сходится (показатель степени $3/2 > -1$), то по признаку сравнения в предельной форме исходный интеграл сходится.

Для строгого доказательства вычислим предел:
$
lim_(x -> 0^+) frac(frac(ln(1 + x^2), x^(1/2)), x^(3/2)) = lim_(x -> 0^+) frac(ln(1 + x^2), x^2) = lim_(x -> 0^+) frac(ln(1 + x^2), x^2)
$

Применяя правило Лопиталя:
$
lim_(x -> 0^+) frac(ln(1 + x^2), x^2) = lim_(x -> 0^+) frac(frac(2x, 1 + x^2), 2x) = lim_(x -> 0^+) frac(1, 1 + x^2) = 1
$

Поскольку предел конечен и положителен, и $integral_0^1 x^(3/2) d x$ сходится, то исходный интеграл сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 14.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = frac(arctan 2x, 1 + 4x^2), space.quad y = 0, space.quad x = frac(1, 2)
$

*Решение:*

Площадь фигуры вычисляется по формуле:
$
S = integral_a^b |f(x)| space d x
$

Нужно найти пределы интегрирования. Функция $y = frac(arctan 2x, 1 + 4x^2)$ пересекается с осью $x$ (т.е. с $y = 0$) когда $arctan 2x = 0$, что происходит при $x = 0$.

Поскольку $arctan 2x > 0$ при $x > 0$, функция положительна на интервале $(0, 1/2)$.

$
S = integral_0^(1/2) frac(arctan 2x, 1 + 4x^2) space d x
$

Для вычисления этого интеграла используем замену: $u = 2x$, тогда $d u = 2 space d x$, $d x = frac(d u, 2)$.

При $x = 0$: $u = 0$; при $x = 1/2$: $u = 1$.

$
S = integral_0^1 frac(arctan u, 1 + u^2) dot frac(d u, 2) = frac(1, 2) integral_0^1 frac(arctan u, 1 + u^2) space d u
$

Используем интегрирование по частям: $v = arctan u$, $d w = frac(d u, 1 + u^2)$

$d v = frac(d u, 1 + u^2)$, $w = arctan u$

$
integral frac(arctan u, 1 + u^2) space d u = (arctan u)^2 - integral frac(arctan u, 1 + u^2) space d u
$

Получаем: $2 integral frac(arctan u, 1 + u^2) space d u = (arctan u)^2$

Значит: $integral frac(arctan u, 1 + u^2) space d u = frac((arctan u)^2, 2)$

$
S = frac(1, 2) dot frac((arctan u)^2, 2) |_0^1 = frac(1, 4) [(arctan 1)^2 - (arctan 0)^2] = frac(1, 4) dot (frac(pi, 4))^2 = frac(pi^2, 64)
$

*Ответ:* $S = frac(pi^2, 64)$

#line(length: 100%)

===== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = 1 - ln cos x, space.quad 0 lt.eq x lt.eq frac(pi, 3)
$

*Решение:*

Длина дуги кривой вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) space d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x)(1 - ln cos x) = -frac(1, cos x) dot (-sin x) = frac(sin x, cos x) = tan x
$

$
L = integral_0^(pi/3) sqrt(1 + tan^2 x) space d x = integral_0^(pi/3) sqrt(sec^2 x) space d x = integral_0^(pi/3) sec x space d x
$

$
integral sec x space d x = ln |sec x + tan x| + C
$

$
L = ln |sec x + tan x| |_0^(pi/3)
$

При $x = pi/3$: $sec(pi/3) = frac(1, cos(pi/3)) = frac(1, 1/2) = 2$, $tan(pi/3) = sqrt(3)$

При $x = 0$: $sec(0) = 1$, $tan(0) = 0$

$
L = ln |2 + sqrt(3)| - ln |1 + 0| = ln(2 + sqrt(3))
$

*Ответ:* $L = ln(2 + sqrt(3))$

#line(length: 100%)

===== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) space d x
$

*Решение:*

$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) space d x = integral_0^(+infinity) x dot e^(-4x ln 2) space d x
$

Пусть $a = 4 ln 2$, тогда:
$
integral_0^(+infinity) x dot e^(-a x) space d x
$

Используем интегрирование по частям: $u = x$, $d v = e^(-a x) d x$

$d u = d x$, $v = -frac(1, a) e^(-a x)$

$
integral x e^(-a x) d x = -frac(x, a) e^(-a x) - integral (-frac(1, a) e^(-a x)) d x
$
$
= -frac(x, a) e^(-a x) - frac(1, a^2) e^(-a x) = -frac(e^(-a x), a^2) (a x + 1)
$

$
integral_0^(+infinity) x e^(-a x) d x = lim_(t arrow +infinity) [-frac(e^(-a x), a^2) (a x + 1)]_0^t
$

При $x arrow +infinity$: $e^(-a x) arrow 0$ быстрее, чем растет $(a x + 1)$, поэтому предел равен 0.

При $x = 0$: $-frac(e^0, a^2) (0 + 1) = -frac(1, a^2)$

$
integral_0^(+infinity) x e^(-a x) d x = 0 - (-frac(1, a^2)) = frac(1, a^2)
$

Подставляем $a = 4 ln 2$:
$
integral_0^(+infinity) x dot 2^(-4x) space d x = frac(1, (4 ln 2)^20) = frac(1, 16 (ln 2)^2)
$

*Ответ:* $frac(1, 16 (ln 2)^2)$

#line(length: 100%)

===== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(2 + cos x, x^2) space d x
$

*Решение:*

Для исследования сходимости несобственного интеграла используем признаки сравнения.

Заметим, что $|cos x| lt.eq 1$, поэтому:
$
1 lt.eq 2 + cos x lt.eq 3
$

Следовательно:
$
frac(1, x^2) lt.eq frac(2 + cos x, x^2) lt.eq frac(3, x^2)
$

Рассмотрим интеграл $integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) space d x$:
$
integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) space d x = lim_(t arrow +infinity) [-frac(1, x)]_1^t = lim_(t arrow +infinity) (-frac(1, t) + 1) = 1
$

Этот интеграл сходится.

По признаку сравнения, поскольку:
$
0 lt frac(2 + cos x, x^2) lt.eq frac(3, x^2)
$

и интеграл $integral_1^(+infinity) frac(3, x^2) space d x = 3 integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) space d x = 3$ сходится, то исходный интеграл также сходится.

Можно также применить признак Дирихле: функция $2 + cos x$ ограничена, а $frac(1, x^2)$ монотонно убывает к нулю при $x arrow +infinity$.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 15.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = x e^(-2x), space.quad y = 0, space.quad x = 2
$

*Решение:*

Площадь фигуры вычисляется по формуле:
$
S = integral_0^2 x e^(-2x) space d x
$

Вычислим интеграл методом интегрирования по частям. Пусть:
- $u = x$, тогда $d u = d x$
- $d v = e^(-2x) d x$, тогда $v = -frac(1, 2) e^(-2x)$

По формуле интегрирования по частям:
$
integral x e^(-2x) space d x = x dot (-frac(1, 2) e^(-2x)) - integral (-frac(1, 2) e^(-2x)) space d x
$

$
= -frac(x, 2) e^(-2x) + frac(1, 2) integral e^(-2x) space d x
$

$
= -frac(x, 2) e^(-2x) + frac(1, 2) dot (-frac(1, 2) e^(-2x)) + C
$

$
= -frac(x, 2) e^(-2x) - frac(1, 4) e^(-2x) + C = -frac(e^(-2x), 4)(2x + 1) + C
$

Вычисляем определенный интеграл:
$
S = [-frac(e^(-2x), 4)(2x + 1)]_0^2
$

$
= -frac(e^(-4), 4)(4 + 1) - (-frac(1, 4)(0 + 1))
$

$
= -frac(5 e^(-4), 4) + frac(1, 4) = frac(1 - 5 e^(-4), 4)
$

*Ответ:* $S = frac(1 - 5 e^(-4), 4)$ кв. ед.

#line(length: 100%)
==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = ln sin x, space.quad frac(pi, 3) lt.eq x lt.eq frac(2 pi, 3)
$

*Решение:*

Длина дуги кривой $y = f(x)$ вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) space d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x)(ln sin x) = frac(cos x, sin x) = cot x
$

Тогда:
$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) sqrt(1 + cot^2 x) space d x
$

Используем тождество $1 + cot^2 x = csc^2 x$:
$
L = integral_(pi/3)^(2pi/3) csc x space d x = integral_(pi/3)^(2pi/3) frac(1, sin x) space d x
$

Интеграл от $csc x$ равен $ln |csc x - cot x| + C$:
$
L = [ln |csc x - cot x|]_(pi/3)^(2pi/3)
$

Вычисляем значения в пределах:
- При $x = frac(2pi, 3)$: $sin frac(2pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(2pi, 3) = -frac(1, 2)$
- При $x = frac(pi, 3)$: $sin frac(pi, 3) = frac(sqrt(3), 2)$, $cos frac(pi, 3) = frac(1, 2)$

$csc frac(2pi, 3) - cot frac(2pi, 3) = frac(2, sqrt(3)) - (-frac(1, sqrt(3))) = frac(2, sqrt(3)) + frac(1, sqrt(3)) = frac(3, sqrt(3)) = sqrt(3)$

$csc frac(pi, 3) - cot frac(pi, 3) = frac(2, sqrt(3)) - frac(1, sqrt(3)) = frac(1, sqrt(3)) = frac(sqrt(3), 3)$

$
L = ln sqrt(3) - ln frac(sqrt(3), 3) = ln sqrt(3) - ln sqrt(3) + ln 3 = ln 3
$

*Ответ:* $L = ln 3$

#line(length: 100%)
==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_(-infinity)^1 x dot e^(2x) space d x
$

*Решение:*

Несобственный интеграл первого рода:
$
integral_(-infinity)^1 x e^(2x) space d x = lim_(t -> -infinity) integral_t^1 x e^(2x) space d x
$

Вычислим интеграл методом интегрирования по частям:
- $u = x$, тогда $d u = d x$
- $d v = e^(2x) d x$, тогда $v = frac(1, 2) e^(2x)$

$
integral x e^(2x) space d x = x dot frac(1, 2) e^(2x) - integral frac(1, 2) e^(2x) space d x
$

$
= frac(x, 2) e^(2x) - frac(1, 2) dot frac(1, 2) e^(2x) + C = frac(e^(2x), 4)(2x - 1) + C
$

Вычисляем определенный интеграл:
$
integral_t^1 x e^(2x) space d x = [frac(e^(2x), 4)(2x - 1)]_t^1
$

$
= frac(e^2, 4)(2 - 1) - frac(e^(2t), 4)(2t - 1) = frac(e^2, 4) - frac(e^(2t), 4)(2t - 1)
$

Находим предел при $t -> -infinity$:
$
lim_(t -> -infinity) [frac(e^2, 4) - frac(e^(2t), 4)(2t - 1)]
$

При $t -> -infinity$: $e^(2t) -> 0$, поэтому $frac(e^(2t), 4)(2t - 1) -> 0$

*Ответ:* $integral_(-infinity)^1 x e^(2x) space d x = frac(e^2, 4)$

#line(length: 100%)
==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_0^1 frac(sin x, x sqrt(x)) space d x
$

*Решение:*

Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода с особенностью в точке $x = 0$.

$
integral_0^1 frac(sin x, x sqrt(x)) space d x = integral_0^1 frac(sin x, x^(3/2)) space d x
$

Исследуем поведение подынтегральной функции при $x -> 0^+$:

Используем эквивалентность $sin x tilde x$ при $x -> 0$:
$
frac(sin x, x^(3/2)) tilde frac(x, x^(3/2)) = frac(1, x^(1/2)) = frac(1, sqrt(x))$ при $x -> 0^+$

Исследуем сходимость интеграла $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) space d x$:

$
integral_0^1 x^(-1/2) space d x = lim_(epsilon -> 0^+) integral_epsilon^1 x^(-1/2) space d x
$

$
= lim_(epsilon -> 0^+) [frac(x^(1/2), 1/2)]_epsilon^1 = lim_(epsilon -> 0^+) [2sqrt(x)]_epsilon^1
$

$
= lim_(epsilon -> 0^+) (2 dot 1 - 2sqrt(epsilon)) = 2 - 0 = 2
$

Поскольку показатель степени $-1/2 > -1$, интеграл $integral_0^1 frac(1, sqrt(x)) space d x$ сходится.

По признаку сравнения в предельной форме: если $lim_(x -> 0^+) frac(f(x), g(x)) = L$, где $0 < L < +infinity$, то интегралы $integral_0^1 f(x) space d x$ и $integral_0^1 g(x) space d x$ одинаково сходятся или расходятся.

$
lim_(x -> 0^+) frac(frac(sin x, x^(3/2)), frac(1, sqrt(x))) = lim_(x -> 0^+) frac(sin x, x) = 1
$

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 16.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = frac(arcsin x, sqrt(1 - x^2)), space.quad y = 0, space.quad x = frac(1, 2)
$

*Решение:*

Найдем область интегрирования. Функция $y = frac(arcsin x, sqrt(1 - x^2))$ определена при $x in (-1, 1)$ и $x != 0$.

При $x = frac(1, 2)$: $y = frac(arcsin(1/2), sqrt(1 - 1/4)) = frac(pi/6, sqrt(3)/2) = frac(pi, 3sqrt(3))$

Функция положительна на $(0, 1)$, поэтому площадь:

$ S = integral_0^(1/2) frac(arcsin x, sqrt(1 - x^2)) d x $

Используем подстановку $x = sin t$, $d x = cos t space d t$:
- При $x = 0$: $t = 0$
- При $x = 1/2$: $t = pi/6$
- $sqrt(1 - x^2) = sqrt(1 - sin^2 t) = cos t$

$ S = integral_0^(pi/6) frac(t, cos t) cos t space d t = integral_0^(pi/6) t space d t $

$ S = [frac(t^2, 2)]_0^(pi/6) = frac(1, 2) dot (frac(pi, 6))^2 = frac(pi^2, 72) $

*Ответ:* $S = frac(pi^2, 72)$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
cases(x = 2t^2, y = 3t^3), space.quad t in [0, 1]
$

*Решение:*

Найдем производные параметрических функций:
$ frac(d x, d t) = 4t, space.quad frac(d y, d t) = 9t^2 $

Длина дуги параметрической кривой:
$ L = integral_0^1 sqrt((frac(d x, d t))^2 + (frac(d y, d t))^2) space d t $

$ L = integral_0^1 sqrt((4t)^2 + (9t^2)^2) space d t = integral_0^1 sqrt(16t^2 + 81t^4) space d t $

$ L = integral_0^1 t sqrt(16 + 81t^2) space d t $

Используем подстановку $u = 16 + 81t^2$, $d u = 162t space d t$, $t space d t = frac(d u, 162)$:
- При $t = 0$: $u = 16$
- При $t = 1$: $u = 97$

$ L = integral_16^97 frac(sqrt(u), 162) space d u = frac(1, 162) integral_16^97 u^(1/2) space d u $

$ L = frac(1, 162) dot [frac(2, 3) u^(3/2)]_16^97 = frac(1, 243) (97^(3/2) - 16^(3/2)) $

$ L = frac(1, 243) (97sqrt(97) - 64) $

*Ответ:* $L = frac(97sqrt(97) - 64, 243)$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral^(+infinity)_1 frac(ln x, x^3) space d x
$

*Решение:*

Вычислим несобственный интеграл:
$ integral_1^(+infinity) frac(ln x, x^3) space d x = lim_(b -> +infinity) integral_1^b frac(ln x, x^3) space d x $

Используем интегрирование по частям:
$u = ln x$, $d v = frac(d x, x^3) = x^(-3) d x$
$d u = frac(d x, x)$, $v = frac(x^(-2), -2) = -frac(1, 2x^2)$

$ integral frac(ln x, x^3) d x = ln x dot (-frac(1, 2x^2)) - integral (-frac(1, 2x^2)) dot frac(d x, x) $

$ = -frac(ln x, 2x^2) + frac(1, 2) integral frac(d x, x^3) = -frac(ln x, 2x^2) + frac(1, 2) dot frac(-1, 2x^2) $

$ = -frac(ln x, 2x^2) - frac(1, 4x^2) = -frac(2ln x + 1, 4x^2) $

Теперь вычислим предел:
$ integral_1^(+infinity) frac(ln x, x^3) d x = lim_(b -> +infinity) [-frac(2ln x + 1, 4x^2)]_1^b $

$ = lim_(b -> +infinity) (-frac(2ln b + 1, 4b^2)) - (-frac(2 ln 1 + 1, 4 dot 1^2)) $

$ = 0 - (-frac(1, 4)) = frac(1, 4) $

*Ответ:* Интеграл сходится и равен $frac(1, 4)$

#line(length: 100%)
===== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(4 - sin^2 x, 1 + x^2) space d x
$

*Решение:*

Исследуем поведение подынтегральной функции при $x -> +infinity$.

Поскольку $0 <= sin^2 x <= 1$, имеем:
$ 3 <= 4 - sin^2 x <= 4 $

Следовательно:
$ frac(3, 1 + x^2) <= frac(4 - sin^2 x, 1 + x^2) <= frac(4, 1 + x^2) $

Исследуем сходимость интегралов-мажорант и миноранты:

1) $integral_1^(+infinity) frac(4, 1 + x^2) d x = 4 integral_1^(+infinity) frac(d x, 1 + x^2) = 4[arctan x]_1^(+infinity) = 4(frac(pi, 2) - frac(pi, 4)) = pi$ (сходится)

2) $integral_1^(+infinity) frac(3, 1 + x^2) d x = 3 integral_1^(+infinity) frac(d x, 1 + x^2) = 3[arctan x]_1^(+infinity) = frac(3pi, 4)$ (сходится)

По признаку сравнения, поскольку:
$ 0 < frac(4 - sin^2 x, 1 + x^2) <= frac(4, 1 + x^2) $

и $integral_1^(+infinity) frac(4, 1 + x^2) d x$ сходится, то исходный интеграл также сходится.

Более того, можем оценить его значение:
$ frac(3pi, 4) <= integral_1^(+infinity) frac(4 - sin^2 x, 1 + x^2) d x <= pi $

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()


=== КР 1. Вариант 20.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = (x - 1) ln(x - 1), space.quad y = 0, space.quad x = e + 1
$

*Решение:*

Функция $y = (x - 1) ln(x - 1)$ определена при $x > 1$. 

Найдем точки пересечения с осью $O x$ (где $y = 0$):
$(x - 1) ln(x - 1) = 0$

Это происходит при $x - 1 = 1$, т.е. $x = 2$ (поскольку $ln(x - 1) = 0$ при $x - 1 = 1$).

На интервале $[2, e + 1]$ функция положительна, поэтому площадь:
$
S = integral_2^(e+1) (x - 1) ln(x - 1) space d x
$

Используем замену переменной: пусть $u = x - 1$, тогда $d u = d x$.

При $x = 2$: $u = 1$
При $x = e + 1$: $u = e$

$
S = integral_1^e u ln u space d u
$

Применим интегрирование по частям:
$v = ln u$, $d w = u space d u$
$d v = frac(d u, u)$, $w = frac(u^2, 2)$

$
integral u ln u space d u = ln u dot frac(u^2, 2) - integral frac(u^2, 2) dot frac(d u, u) = frac(u^2 ln u, 2) - frac(1, 2) integral u space d u
$

$
= frac(u^2 ln u, 2) - frac(u^2, 4) = frac(u^2, 4)(2 ln u - 1)
$

Вычисляем определенный интеграл:
$
S = [frac(u^2, 4)(2 ln u - 1)]_1^e = frac(e^2, 4)(2 ln e - 1) - frac(1^2, 4)(2 ln 1 - 1)
$

$
= frac(e^2, 4)(2 dot 1 - 1) - frac(1, 4)(0 - 1) = frac(e^2, 4) + frac(1, 4) = frac(e^2 + 1, 4)
$

*Ответ:* $S = frac(e^2 + 1, 4)$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
x = frac(y^2, 4) - frac(1, 2) ln y, space.quad 1 lt.eq y lt.eq 2
$

*Решение:*

Для кривой, заданной параметрически как $x = f(y)$, длина дуги вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (x'_y)^2) space d y
$

Найдем производную $x'_y$:
$
x'_y = frac(d x, d y) = frac(d, d y)[frac(y^2, 4) - frac(1, 2) ln y] = frac(2y, 4) - frac(1, 2) dot frac(1, y) = frac(y, 2) - frac(1, 2y)
$

Вычислим $(x'_y)^2$:
$
(x'_y)^2 = (frac(y, 2) - frac(1, 2y))^2 = frac(y^2, 4) - 2 dot frac(y, 2) dot frac(1, 2y) + frac(1, 4y^2) = frac(y^2, 4) - frac(1, 2) + frac(1, 4y^2)
$

Найдем подкоренное выражение:
$
1 + (x'_y)^2 = 1 + frac(y^2, 4) - frac(1, 2) + frac(1, 4y^2) = frac(y^2, 4) + frac(1, 2) + frac(1, 4y^2)
$

Попробуем представить это как полный квадрат:
$
1 + (x'_y)^2 = frac(y^2, 4) + frac(1, 2) + frac(1, 4y^2) = frac(y^2, 4) + 2 dot frac(y, 2) dot frac(1, 2y) + frac(1, 4y^2) = (frac(y, 2) + frac(1, 2y))^2
$

Тогда:
$
sqrt(1 + (x'_y)^2) = frac(y, 2) + frac(1, 2y)
$

Длина дуги:
$
L = integral_1^2 (frac(y, 2) + frac(1, 2y)) space d y = [frac(y^2, 4) + frac(1, 2) ln y]_1^2
$

$
L = (frac(4, 4) + frac(1, 2) ln 2) - (frac(1, 4) + frac(1, 2) ln 1) = 1 + frac(ln 2, 2) - frac(1, 4) = frac(3, 4) + frac(ln 2, 2)
$

*Ответ:* $L = frac(3, 4) + frac(ln 2, 2)$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(x^3 space d x, 1 + x^8)
$

*Решение:*

Используем замену переменной: пусть $u = x^4$, тогда $d u = 4x^3 d x$, откуда $x^3 d x = frac(d u, 4)$.

При $x = 1$: $u = 1$
При $x arrow + infinity$: $u arrow + infinity$

$
integral_1^(+infinity) frac(x^3 space d x, 1 + x^8) = integral_1^(+infinity) frac(1, 4) dot frac(d u, 1 + u^2) = frac(1, 4) integral_1^(+infinity) frac(d u, 1 + u^2)
$

Интеграл $integral frac(d u, 1 + u^2) = arctan u + C$:

$
frac(1, 4) integral_1^(+infinity) frac(d u, 1 + u^2) = frac(1, 4) lim_(t arrow +infinity) [arctan u]_1^t
$

$
= frac(1, 4) lim_(t arrow +infinity) (arctan t - arctan 1) = frac(1, 4)(frac(pi, 2) - frac(pi, 4)) = frac(1, 4) dot frac(pi, 4) = frac(pi, 16)
$

*Ответ:* $frac(pi, 16)$

#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(arctan x, 1 + x^6) space d x
$

*Решение:*

Данный интеграл является несобственным интегралом 1-го рода. Исследуем его сходимость.

При $x arrow + infinity$:
- $arctan x arrow frac(pi, 2)$ (ограниченная функция)
- $1 + x^6 tilde x^6$

Поэтому при больших $x$:
$
frac(arctan x, 1 + x^6) tilde frac(pi/2, x^6) = frac(pi, 2x^6)
$

Исследуем сходимость эталонного интеграла:
$
integral_1^(+infinity) frac(d x, x^6)
$

Это интеграл вида $integral_1^(+infinity) frac(d x, x^p)$ с $p = 6 > 1$, который сходится.

По предельному признаку сравнения:
$
lim_(x arrow +infinity) frac(frac(arctan x, 1 + x^6), frac(1, x^6)) = lim_(x arrow +infinity) frac(x^6 arctan x, 1 + x^6) = lim_(x arrow +infinity) frac(arctan x, 1/x^6 + 1) = frac(pi/2, 1) = frac(pi, 2)
$

Поскольку предел конечен и положителен, а эталонный интеграл сходится, то исходный интеграл также сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится.

#pagebreak()

=== КР 1. Вариант 11.

==== 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

$
y = frac(arctan 3x, 1 + 9x^2), space.quad y = 0, space.quad x = frac(1, 3)
$

*Решение:*

Функция $y = frac(arctan 3x, 1 + 9x^2)$ определена на интервале $[0, 1/3]$. 

На этом интервале функция неотрицательна, поэтому площадь вычисляется как:
$
S = integral_0^(1/3) frac(arctan 3x, 1 + 9x^2) space d x
$

Используем замену переменной: пусть $u = 3x$, тогда $d u = 3 space d x$, откуда $d x = frac(d u, 3)$.

При $x = 0$: $u = 0$
При $x = 1/3$: $u = 1$

$
S = integral_0^1 frac(arctan u, 1 + u^2) dot frac(d u, 3) = frac(1, 3) integral_0^1 frac(arctan u, 1 + u^2) space d u
$

Для вычисления интеграла $integral frac(arctan u, 1 + u^2) d u$ используем замену $t = arctan u$, тогда $d t = frac(d u, 1 + u^2)$:

$
integral frac(arctan u, 1 + u^2) space d u = integral t space d t = frac(t^2, 2) = frac((arctan u)^2, 2)
$

Применяя пределы интегрирования:
$
S = frac(1, 3) [frac((arctan u)^2, 2)]_0^1 = frac(1, 3) dot frac(1, 2) [(arctan 1)^2 - (arctan 0)^2]
$

$
= frac(1, 6) [(frac(pi, 4))^2 - 0^2] = frac(1, 6) dot frac(pi^2, 16) = frac(pi^2, 96)
$

*Ответ:* $S = frac(pi^2, 96)$

#line(length: 100%)

==== 2. Вычислить длину дуги кривой

$
y = frac(x^2, 2) - frac(ln x, 4) space.quad 1 lt.eq x lt.eq 3
$

*Решение:*

Длина дуги кривой вычисляется по формуле:
$
L = integral_a^b sqrt(1 + (y')^2) space d x
$

Найдем производную:
$
y' = frac(d, d x)[frac(x^2, 2) - frac(ln x, 4)] = frac(2x, 2) - frac(1, 4x) = x - frac(1, 4x)
$

Вычислим $(y')^2$:
$
(y')^2 = (x - frac(1, 4x))^2 = x^2 - 2 dot x dot frac(1, 4x) + frac(1, 16x^2) = x^2 - frac(1, 2) + frac(1, 16x^2)
$

Найдем подкоренное выражение:
$
1 + (y')^2 = 1 + x^2 - frac(1, 2) + frac(1, 16x^2) = x^2 + frac(1, 2) + frac(1, 16x^2)
$

Попробуем представить это как полный квадрат:
$
1 + (y')^2 = x^2 + frac(1, 2) + frac(1, 16x^2) = x^2 + 2 dot x dot frac(1, 4x) + frac(1, 16x^2) = (x + frac(1, 4x))^2
$

Тогда:
$
sqrt(1 + (y')^2) = x + frac(1, 4x)
$

Длина дуги:
$
L = integral_1^3 (x + frac(1, 4x)) space d x = [frac(x^2, 2) + frac(1, 4) ln x]_1^3
$

$
L = (frac(9, 2) + frac(1, 4) ln 3) - (frac(1, 2) + frac(1, 4) ln 1) = frac(9, 2) - frac(1, 2) + frac(1, 4) ln 3 = 4 + frac(ln 3, 4)
$

*Ответ:* $L = 4 + frac(ln 3, 4)$

#line(length: 100%)

==== 3. Вычислить несобственный интеграл

$
integral_(-infinity)^1 x dot 3^(6x) space d x
$

*Решение:*

Используем интегрирование по частям. Пусть:
$
u = x, space.quad d v = 3^(6x) d x
$
$
d u = d x, space.quad v = integral 3^(6x) d x = frac(3^(6x), 6 ln 3)
$

По формуле интегрирования по частям:
$
integral x dot 3^(6x) d x = x dot frac(3^(6x), 6 ln 3) - integral frac(3^(6x), 6 ln 3) d x
$

$
= frac(x dot 3^(6x), 6 ln 3) - frac(1, 6 ln 3) integral 3^(6x) d x = frac(x dot 3^(6x), 6 ln 3) - frac(1, 6 ln 3) dot frac(3^(6x), 6 ln 3)
$

$
= frac(x dot 3^(6x), 6 ln 3) - frac(3^(6x), 36 (ln 3)^2) = frac(3^(6x), 6 ln 3)(x - frac(1, 6 ln 3))
$

Вычислим несобственный интеграл:
$
integral_(-infinity)^1 x dot 3^(6x) d x = lim_(t arrow -infinity) [frac(3^(6x), 6 ln 3)(x - frac(1, 6 ln 3))]_t^1
$

$
= frac(3^6, 6 ln 3)(1 - frac(1, 6 ln 3)) - lim_(t arrow -infinity) frac(3^(6t), 6 ln 3)(t - frac(1, 6 ln 3))
$

При $t arrow -infinity$: $3^(6t) arrow 0$ быстрее, чем $|t|$ растет, поэтому предел равен 0.

$
= frac(3^6, 6 ln 3)(1 - frac(1, 6 ln 3)) = frac(729, 6 ln 3) - frac(729, 36 (ln 3)^2) = frac(729, 6 ln 3)(1 - frac(1, 6 ln 3))
$

$
= frac(729, 6 ln 3) dot frac(6 ln 3 - 1, 6 ln 3) = frac(729(6 ln 3 - 1), 36 (ln 3)^2)
$

*Ответ:* $frac(729(6 ln 3 - 1), 36 (ln 3)^2) = frac(81(6 \ln 3 - 1), 4 (ln 3)^2)$


#line(length: 100%)

==== 4. Исследовать на сходимость интеграл

$
integral_1^(+infinity) frac(2 + sin 3x, 4x^2 + 1) space d x
$

*Решение:*

Данный интеграл является несобственным интегралом 1-го рода. Исследуем его сходимость.

Разложим интеграл на два:
$
integral_1^(+infinity) frac(2 + sin 3x, 4x^2 + 1) space d x = integral_1^(+infinity) frac(2, 4x^2 + 1) space d x + integral_1^(+infinity) frac(sin 3x, 4x^2 + 1) space d x
$

*Исследуем первый интеграл:*
$
integral_1^(+infinity) frac(2, 4x^2 + 1) space d x
$

При $x arrow + infinity$: $frac(2, 4x^2 + 1) tilde frac(2, 4x^2) = frac(1, 2x^2)$

Интеграл $integral_1^(+infinity) frac(1, x^2) d x$ сходится (эталонный интеграл с показателем $p = 2 > 1$), следовательно, и первый интеграл сходится.

*Исследуем второй интеграл:*
$
integral_1^(+infinity) frac(sin 3x, 4x^2 + 1) space d x
$

Используем признак Дирихле: если функция $f(x)$ монотонно стремится к нулю при $x arrow +infinity$, а функция $g(x)$ имеет ограниченную первообразную, то интеграл $integral_a^(+infinity) f(x)g(x) d x$ сходится.

Здесь:
- $f(x) = frac(1, 4x^2 + 1) arrow 0$ монотонно при $x arrow +infinity$
- $g(x) = sin 3x$ имеет ограниченную первообразную $G(x) = -frac(1, 3) cos 3x$

По признаку Дирихле второй интеграл также сходится.

Поскольку оба интеграла сходятся, исходный интеграл сходится.

*Ответ:* Интеграл сходится.