exams/calculus/theory/questions.typ

= Математический Анализ. Теория. 


=== Понятие первообразной.

Первообразной функции $f$ на промежутке $ angle.l a, b angle.r$ называется функция $F$ такая, что 
#align(center)[$F'(x) = f(x), space x in angle.l a, b angle.r$]

#line(length: 100%)

=== Теорема о множестве всех первообразных.

Пусть $F$ - первообразная функции $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Для того, чтобы $Phi$ также была первообразной функции $f$ на промежутке $angle.l a, b angle.r$, необходимо и достаточно, чтобы 
#align(center)[$F(x) - Phi(x) eq.triple C, space x in angle.l a, b angle.r, C in RR$]

_Доказательство._ Докажем необходимость. Пусть $Psi = F - Phi$, где $F$ и $Phi$ - первообразные для $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Тогда#align(center)[$Psi'(x) = (F(x) - Phi(x))' = F'(x) - Phi'(x) = f(x) - f(x) = 0, space forall x in angle.l a, b angle.r$]

Согласно теореме Лагранжа, для любых $x_1, x_2 in angle.l a, b angle.r$ таких, что $x_1 lt x_2$, 
#align(center)[$Psi(x_2) - Psi(x_1) = Psi'(xi)(x_2 - x_1) = 0, space xi in (x_1, x_2).$]

Значит, $Psi(x) eq.triple C, space C in RR, space x in angle.l a, b angle.r$

Докажем достаточность. Пусть на $angle.l a, b angle.r$ выполнено условие $F - Phi eq.triple C, space C in RR$. Тогда на этом промежутке $Phi = F - C$ и, к тому же, 
#align(center)[$Phi' = F' - C' = F' - 0 = F' = f$]

Тем самым, $Phi$ является первообразной для функции $f$ на $angle.l a, b angle.r .$ 

#line(length: 100%)

=== Теорема о достаточном условии существования первообразной.

Если $f in C(angle.l a, b angle.r)$, то множество первообразных $f$ на $angle.l a, b angle.r$ не пусто.

#line(length: 100%)

=== Понятие неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом функции $f$ на промежутке $angle.l a, b angle.r$ называется множество всех первообразных $f$ на этом промежутке. Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:
$
integral f d x 
$

где 

$integral "- знак неопределенного интеграла,"$

$f "- подынтегральная функция,"$

$f d x "- подынтегральное выражение,"$

$x "- переменная интегрирования."$

#line(length: 100%)

=== Справедливы следующие равенства: 

#align(center)[#table(columns: 2, align: center, inset: 2em)[
  $integral 0 d x = C$
][
  $integral x^alpha d x = frac(x^(alpha + 1), alpha + 1) + C, space alpha eq.not -1$
][
  $integral frac(d x, x) = ln |x| + C$
][
  $integral sin x d x = -cos x + C$
][
  $integral cos x d x = sin x + C$
][
  $integral frac(d x, cos^2 x) = tan x + C$
][
  $integral frac(d x, sin^2 x) = -ctg x + C$
][
  $integral a^x d x = frac(a^x, ln a) + C$
][
  $integral frac(d x, a^2 + x^2) = frac(1, a)arctan frac(x, a) + C$
][
  $integral frac( d x , sqrt(a^2 - x^2)) = arcsin frac(x, a) + C$
][
  $integral frac( d x , x^2 - a^2) = frac(1, 2a) ln |frac(x - a, x + a)| + C$
][
  $integral frac(d x, sqrt(x^2 plus.minus a^2)) = ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C$
]
]

где в последних двух строчках таблицы считается, что $a eq.not 0$, а все написанные соотношения рассматриваются на области определения подынтегральной функции.

_Доказательство._ Понятно, что все приведенные равенства доказываются формальным дифференцированием правой части и приведением результата к подынтегральной функции. Для примера, докажем следующее равенство:

$
integral frac(d x, sqrt(x^2 plus.minus a^2)) = ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C.
$

Для доказательства достаточно показать, что производная правой части (точнее – любой фиксированной функции из множества) равна подынтегральной функции.
Действительно,

$
(ln |x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)| + C)' = frac(1, x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)) dot (1 + frac( 2x , 2sqrt(x^2 plus.minus a^2) )) = 
$

$
= frac(1, x + sqrt(x^2 plus.minus a^2)) dot (frac(x + sqrt(x^2 plus.minus a^2), sqrt(x^2 plus.minus a^2))) = frac(1, sqrt(x^2 plus.minus a^2))
$

откуда и следует написанное.

#line(length: 100%)

=== Связь интеграла и производной.

$
(integral f d x)' = f, space d(integral f d x) = f d x
$

#line(length: 100%)

=== Линейность неопределенного интеграла.

Пусть на $angle.l a, b angle.r$ существуют первообразные функций $f$ и $g$. Тогда: 
1. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $f + g$, причем

$
integral (f + g) d x = integral f d x + integral g d x 
$

2. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $alpha f, space alpha in RR$, причем при $alpha eq.not 0$

$
integral alpha f d x = alpha integral f d x 
$

3. На $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная функции $alpha f + beta g, space alpha, beta in RR$, причем при $alpha^2 + beta^2 eq.not 0$

$
integral (alpha f + beta g) d x = alpha integral f d x + beta integral g d x
$

_Доказательство_.

1. Докажем первый пункт. Понятно, что по свойству производной суммы, $F + G$ - первообразная $f + g$. Значит, достаточно проверить равенство

$
{F + G + C, space C in RR} = {F + C_1, space C_1 in RR} + {G + C_2, space C_2 in RR}
$
Пусть $H in {F + G + C, C in RR}$, тогда 

$
H = F + G + C = (F + 0) + (G + C),
$

а значит $H in {F + C_1, C_1 in RR} + {G + C_2, C_2 in RR}$ при $C_1 = 0, space C_2 = C$.

Наоборот, пусть $H in {F + C_1, space C_1 in RR} + {G + C_2, space C_2 in RR}$, то есть 

$
H = F + C_1 + G + C_2 = F + G + (C_1 + C_2).
$

Тогда и $H in {F + G + C, C in RR}$ при $C = C_1 + C_2$. Тем самым, равенство множеств установлено.

2. Докажем второй пункт. Понятно, что по свойству производной, $alpha F$ - первообразная для $alpha f$. Значит, достаточно показать, что при $alpha eq.not 0$ верно равенство

$
{alpha F + C, space C in RR} = {alpha F + alpha C_1, space C_1 in RR}
$

Если $H in {alpha F + C, C in RR}$, то 

$
H = alpha F + C = alpha F + alpha dot frac(C, alpha),
$

откуда $H in {alpha F + alpha C_1, C_1 in RR}$ при $C_1 = frac(C, alpha)$.

Обратное включение доказывается похожим образом и остается в качестве упражнения.

3. Доказательство третьего пункта немедленно следует из утверждений 1-ого и 2-ого пунктов.

#line(length: 100%)

=== Формула замены переменной 

Пусть $f$ имеет первообразную на $angle.l a, b angle.r, space phi : angle.l alpha, beta angle.r arrow angle.l a, b angle.r, space phi$ дифференцируема на $angle.l alpha, beta angle.r$. Тогда 

$
integral f d x = integral f(phi) phi' d t
$

_Доказательство_. Пусть $F$ - первообразная для функции $f$ на $angle.l a, b angle.r$. Тогда, согласно теореме о производной композиции, $F(phi)$ - первообразная для функции $f(phi) phi'$ на $angle.l alpha, beta angle.r$, откуда 

$
integral f d x = F + C = F(phi) + C = integral f(phi) phi' d t 
$

#line(length: 100%)

=== Формула интегрирования по частям 

Пусть $u$ и $v$ дифференцируемы на $angle.l a, b angle.r$, и пусть на $angle.l a, b angle.r$ существует первообразная от $v u'$. Тогда 

$
integral u v' d x = u v - integral v u' d x 
$

или 

$
integral u d v = u v - integral v d u
$

_Доказательство_. Согласно формуле производной произведения, 

$
(u v)' = u' v + u v'
$

откуда 

$
u v' = (u v)' - u' v
$

Беря интегралы от обеих частей и пользуясь следствием, приходим к формуле 

$
integral u v' d x = u v - integral v u' d x 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие многочлена 

Многочленом (полиномом) $P_n (x)$ степени $n gt.eq 1$ будем называть функцию вида 

$
P_n (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + dots + a_n x^n, space a_i in RR, space a_n eq.not 0, i in {1, 2, dots, n}.
$

Многочленом нулевой степени назовем произвольную константу, отличную от нуля. У тождественно равного нулю многочлена степенью будем называть символ $-infinity$.

#line(length: 100%)

=== Понятие рациональной дроби

Рациональной дробью называется функция вида 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)),
$

где $P_n (x), space Q_m (x)$ - многочлены степеней $n$ и $m$, соответственно.

#line(length: 100%)

=== Понятие правильной рациональной дроби

Рациональная дробь 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) 
$

называется правильной, если $n lt m$, иначе дробь называется неправильной.

#line(length: 100%)

=== Лемма о делении многочленов с остатком 

Пусть 

$
frac(P_n (x), Q_m (x))
$

\- неправильная дробь. Тогда существует единственное представление этой дроби в виде 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m)(x) + frac(T_k (x), Q_m (x)),
$

где $R_(n - m)(x)$ - многочлен степени $(n - m), space T_k (x)$ - многочлен степени $k$ и $k lt m$.

#line(length: 100%)

=== Теорема о разложении многочлена над $RR$

Пусть $P_n (x)$ - многочлен $n$-й степени, коэффициент при старшей степени которого равен единице. Тогда справедливо разложение 

$
P_n (x) = (x - a_1)^(k_1) dot (x - a_2)^(k_2) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot (x^2 + p_2 x + q_2)^(l_2) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m)
$

где при $i in {1, 2, dots, p}, space j in {1, 2, dots, m}$

$
a_i in RR, space k_i in NN, space l_j in NN, space p_j^2 - 4q_j lt 0, space k_1 + k_2 + dots + k_p + 2(l_1 + dots + l_m) = n. 
$

#line(length: 100%)


=== Понятие простейших дробей 

Простейшими дробями (дробями первого и второго типов) называют дроби вида 

$
frac(A, (x - a)^k), space frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k), 
$

где $k in NN$ и $p^2 - 4q lt 0$.

#line(length: 100%)

=== Лемма о дробях первого типа 

Пусть 

$
frac(P_n (x), Q_m (x))
$

\- правильная рациональная дробь и 

$
Q_m (x) = (x - a)^k dot tilde(Q)(x), space "где" space tilde(Q)(a) eq.not 0, space tilde(Q) "- многочлен".
$

Существуют число $A in RR$ и многочлен $tilde(P) (x)$, такие что 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A, (x - a)^k) + frac(tilde(P) (x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x))
$

причем данное представление единственно. 

_Доказательство_. Докажем существование заявленного разложения. Для этого рассмотрим разность 

$
frac(P_n (x) , Q_m (x)) - frac(A , (x - a)^k) = frac(P_n (x) , (x - a)^k dot tilde(Q)(x)) - frac(A, (x - a)^k) = frac(P_n (x) - A dot tilde(Q)(x) , (x - a)^k dot tilde(Q)(x))
$

и выберем число $A$ так, чтобы число $a$ было корнем числителя, то есть чтобы выполнялось равенство 

$
P_n (x) - A dot tilde(Q)(a) = 0
$

Тогда, очевидно, 

$
A = frac(P_n (a), tilde(Q)(a)),
$

причем деление на $tilde(Q)(a)$ возможно, так как, по условию, $tilde(Q)(a) eq.not 0$.

При найденном $A$ в числителе стоит многочлен с корнем $a$, значит, согласно теореме, его можно представить в виде 

$
P_n (x) - A dot tilde(Q)(x) = (x - a)tilde(P)(x),
$

а тогда 

$
frac(P_n (x) - A dot tilde(Q)(x), (x - a)^k dot tilde(Q)(x)) = frac((x - a) dot tilde(P)(x), (x -a)^k dot tilde(Q)(x)) = frac(tilde(P)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)).
$

Тем самым, существование разложения доказано.

Докажем единственность такого разложения. От противного, пусть существует два разложения 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A, (x - a)^k) + frac(tilde(P_1)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)) = frac(A_2, (x - a)^k) + frac(tilde(P_2)(x), (x - a)^(k - 1) dot tilde(Q)(x))
$

Домножив на $(x - a)^k dot tilde(Q)(x)$, приходим к равенству 

$
A_1 dot tilde(Q)(x) dot (x - a) = A_2 dot tilde(Q)(x) + tilde(P_2)(x) dot (x - a),
$

верному при всех $x in RR$. Пусть $x = a$, тогда это равенство превращается в 

$
A_1 dot tilde(Q)(a) = A_2 dot tilde(Q)(a),
$

и, так как, $tilde(Q)(a) eq.not 0$ то $A_1 eq A_2$. Но тогда коэффициенты многочлена $tilde(P) eq P_n (x) - A dot tilde(Q)(x)$ тоже вычисляются однозначно. Противоречие.

#line(length: 100%)

=== Лемма о дробях второго типа

Пусть 

$
frac(P_n (x), Q_m (x))
$

\- правильная рациональная дробь и 

$
Q_m (x) = (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x), space "где" space tilde(Q)(alpha plus.minus i beta) eq.not 0, space tilde(Q) "- многочлен",
$

$p^2 - 4q lt 0$, а $alpha plus.minus i beta$ - комплексно-сопряженные корни квадратного трехчлена $x^2 + p x + q$. Существуют числа $A, B in RR$ и многочлен $tilde(P)(x)$ такие, что 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) eq frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) plus frac(tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^(k - 1) dot tilde(Q)(x)),
$

причем это представление единственно.

_Доказательство_. Докажем существование заявленного разложения. Для этого рассмотрим разность 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) minus frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) eq frac(P_n (x) - (A x + B) dot tilde(Q)(x), (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x))
$

Выберем числа $A$ и $B$ так, чтобы число $alpha plus i beta$ было корнем числителя, то есть чтобьы 

$
P_n (alpha + i beta) - (A(alpha + i beta) + B) dot tilde(Q)(alpha + i beta) = 0.
$

Последнее равенство переписывается в виде 

$
A alpha + B + i(A beta) = frac(P_n (alpha + i beta), tilde(Q)(alpha + i beta)) eq.colon R 
$

По определению равенства комплексных чисел, 

$ cases(
A alpha + B = Re(R),
A beta = Im(R)
) $

Так как $beta eq.not 0$, то параметры $A$ и $B$ определяются из системы единственным образом: 

$
A = frac(Im(R), beta), space B = - frac(alpha Im(R), beta) + Re(R).
$

Если $alpha + i beta$ - корень многочлена с вещественными коэффициентами, то $alpha - beta i$ - тоже его корень, значит, при найденных $A$ и $B$, числитель может быть представлен в виде 

$
P_n (x) - (A x + B) dot tilde(Q)(x) = (x^2 + p x + q) dot tilde(P)(x),
$

а тогда 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) - frac(A x + B, (x^2 + p x + q)^k) = frac((x^2 + p x + q) dot tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^k dot tilde(Q)(x)) = frac(tilde(P)(x), (x^2 + p x + q)^(k - 1) dot tilde(Q)(x))
$

Тем самым существование разложения доказано. 
Доказательство единственности разложения аналогично доказательству единственности в предыдущей лемме и остается в качестве упражнения. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о разложении дроби на простейшие 

Пусть 

$
frac(P_n (x), Q_m (x))
$

\- рациональная дробь, причем 

$
Q_m (x) = (x - a_1)^(k_1) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m), 
$

где при $i in {1, 2, dots, p}, space j in {1, 2, dots, m}$

$
a_i in RR, space k_i in NN, space l_j in NN, space p_j^2 - 4q_j lt 0. 
$

Тогда существует единственное разложение вида 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m)(x) + sum_(i = 1)^p sum_(j = 1)^(k_i) frac(A_(i j), (x - a_i)^(k_i - j + 1)) + sum_(i = 1)^m sum_(j = 1)^(l_i) frac(B_(i j) x + C_(i j), (x^2 + p_i x + q_i)^(l_i - j + 1)),
$

где все коэффициенты в числителе дробей справа - вещественные числа. 

_Доказательство_. Пусть $n gt m$, тогда по лемме о делении с остатком, ее можно представить в виде 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = R_(n - m) (x) + frac(T_k (x), Q_m (x)), space k lt m
$

Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда исходная рациональная дробь является правильной и не сократимой. 

По лемме о дробях первого типа, рассматриваемую дробь можно представить в виде 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A_(11), (x - a_1)^(k_1)) + frac(tilde(P)^(\(11\))(x), (x - a_1)^(k_1 - 1) dot tilde(Q)^(\(1\))(x))
$

где 

$
tilde(Q)^(\(1\))(x) = (x - a_2)^(k_2) dot dots dot (x - a_p)^(k_p) dot (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m). 
$

Далее, по той же самой лемме, можно найти число $A_(12)$ и многочлен $tilde(P)^(\(12\))(x)$ такие, что

$
frac(tilde(P)^(\(11\))(x) , (x - a_1)^(k_1 - 1) dot tilde(Q)^(\(1\))(x))
$

Продолжая аналогичные рассуждения, получим 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = frac(A_(11), (x - a_1)^(k_1)) + frac(A_(12), (x - a_1)^(k_1 - 1)) + dots + frac(A_(1 k_1), (x - a_1)) + frac(tilde(P)^(\(1 k_1\))(x), tilde(Q)^(\(1\))(x))
$

Аналогично, для всех вещественных корней знаменателя $a_i$ кратности $k_i, space i in {1, 2, dots, p}$, получим 

$
frac(P_n (x), Q_m (x)) = sum_(i = 1)^p sum_(j = 1)^(k_i) frac(A_(i j), (x - a_i)^(k_i - j + 1)) + frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x))
$

где 

$
tilde(Q)^(\(p\))(x) = (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m)
$

и дробь 

$
frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x))
$

\- правильная. 

Далее воспользуемся леммой о дробях второго типа, получим 

$
frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) = frac(B_(11) x + C_(11), (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1)) + frac(hat(P)^(\(11\))(x), (x^2 + p_1 x + q_1)^(l_1 - 1) dot hat(Q)^(\(1\))(x)),
$

где 

$
hat(Q)^(\(1\))(x) = (x^2 + p_2 x + q_2)^(l_2) dot dots dot (x^2 + p_m x + q_m)^(l_m).
$

Продолжая рассуждения таким же образом, как выше, только с использованием леммы о дробях второго типа, придем к разложению 

$
frac(tilde(P)^(\(p k_p\))(x), tilde(Q)^(\(p\))(x)) = sum_(i = 1)^m sum_(j = 1)^(l_i) frac(B_(i j)x + C_(i j), (x^2 + p_i x + q_i)^(l_i - j + 1)). 
$

Итого теорема доказана. 

#line(length: 100%)

=== Понятие разбиения 

Говорят, что на отрезке $[a, b]$ введено разбиение (дробление) $tau$, если введена система точек $x_i, space i in {0, 1, dots, n}$, что 

$
a = x_0 lt x_1 lt x_2 lt dots lt x_n = b
$

#line(length: 100%) 

=== Понятие мелкости (ранга) разбиения 

Величина

$
lambda(tau) = max_(i in {1, 2, dots, n}) Delta x_i
$

называется мелкостью (рангом, диаметром) разбиения  (дробления).

#line(length: 100%)

=== Понятие оснащенного разбиения 

Говорят, что на отрезке $[a, b]$ введено разбиение (оснащенное разбиение) $(tau, xi)$, если на нем введено разбиение $tau$ и выбрана система точек $xi = {xi_1, xi_2, dots, xi_n}$ таким образом, что $xi_i in Delta_i, space i in {1, 2, dots, n}$.

#line(length: 100%)

=== Понятие интегральной суммы 

Пусть на отрезке $[a, b]$ задана функция $f$ и введено разбиение $(tau, xi)$. Величина 

$
sigma_tau (f, xi) = sum_(i = 1)^n f(xi_i)Delta x_i
$

называется интегральной суммой для функции $f$ на отрезке $[a, b]$, отвечающей разбиению $(tau, xi)$.

#line(length: 100%)

=== Понятие интеграла Римана 

Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$. Говорят, что число $I$ является интегралом Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$, если 

$
forall epsilon gt 0 space exists delta : forall (tau, xi) : lambda(tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt epsilon. 
$

Обозначают это число так: 

$
I = integral_a^b f d x
$

#line(length: 100%)

=== Понятие интегрируемой функции 

Функция $f$, для которой существует интеграл Римана по отрезку $[a, b]$, называется интегрируемой по Риману на этом отрезке (или просто интегрируемой). Класс интегрируемых (по Риману) на отрезке $[a, b]$ функций будем обозначать так: $R[a, b]$.

По определению полагают 

$
integral_a^a f d x = 0, space integral_b^a f d x = - integral_a^b f d x, space a lt b
$

#line(length: 100%)

=== Определение интеграла через последовательности

Пусть $f$ задана на $[a, b]$. Тогда $I$ - интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $(tau^n, xi^n)$ оснащенных разбиений отрезка $[a, b]$ такой, что $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$, выполняется, что 


$
sigma_(tau^n)(f, xi^n) arrow_(n arrow infinity) I.
$ 

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $I$ - интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$ согласно исходному определению и пусть $epsilon gt 0$. Тогда 

$
exists delta : forall (tau, xi) : lambda (tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt epsilon. 
$

Пусть теперь $(tau^n, xi^n)$ - последовательность оснащенных разбиений отрезка $[a, b]$ такая, что $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$. Тогда 

$
exists n_0 in NN: forall n gt n_0 space lambda(tau^n) lt delta. 
$

Но тогда, при $n gt n_0$ выполняется и 

$
|sigma_(tau^n)(f, xi^n) - I| lt epsilon, 
$

откуда и следует утверждение.

Докажем достаточность. От противного, пусть выполнено утверждение теоремы, но $I$ - не интеграл Римана, согласно исходному определению. Это значит, что 

$
exists epsilon_0 gt 0: forall delta gt 0 space exists (tau^delta, xi^delta) : lambda (tau^delta) lt delta " и " |sigma_(tau^delta) (f, xi^delta) - I| gt.eq epsilon_0.
$

Пусть $delta_n = frac(1, n)$. Тогда, по написанному, 

$
exists (tau^n, xi^n) : lambda(tau^n) lt delta_n = frac(1, n) " и " |sigma_(tau^n) (f, xi^n) - I| gt.eq epsilon_0. 
$

Но так как $delta_n arrow_(n arrow infinity) 0$, то $lambda(tau^n) arrow_(n arrow infinity) 0$, а значит построенная последовательность оснащенных разбиений удовлетворяет условию теоремы. В то же время, 

$
|sigma_(tau^n)(f, xi^n) - I| gt.eq epsilon_0,
$

что противоречит тому, что 

$
sigma_(tau^n)(f, xi^n) arrow_(n arrow +infinity) I.
$

#line(length: 100%)

=== Понятие сумм Дарбу 

Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$ и $tau$ - некоторое разбиение этого отрезка. Величины 

$
S_tau (f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i, space M_i = sup_(x in Delta_i) f(x), space i in {1, 2, dots, n},
$

$
s_tau (f) = sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i, space m_i = inf_(x in Delta_i) f(x), space i in {1, 2, dots, n}
$

называют верхней и нижней суммами Дарбу для функции $f$, отвечающими разбиению $tau$, соответственно.

#line(length: 100%)


=== Лемма о связи конечности сумм Дарбу и ограниченности функции 

Ограниченность $f$ сверху (снизу) равносильна конечности произвольной верхней (нижней) суммы Дарбу.

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $f$ ограничена сверху, то есть 

$
exists M: f(x) lt.eq M, space x in [a, b].
$

Пусть $tau$ - произвольное разбиение $[a, b]$. Тогда, так как $M_i lt.eq M, space i in {1, 2, dots, n},$

$
S_tau (f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i lt.eq sum_(i = 1)^n M Delta x_i = M(b - a) lt +infinity. 
$

Случай, когда $f$ ограничена снизу доказывается аналогичным образом. Докажем достаточность. Пусть $tau$ - разбиение $[a, b]$ и $S_tau (f)$ конечна. Тогда 

$
M_i lt +infinity, space i in {1, 2, dots, n},
$

и 

$
f(x) lt.eq M = max_(i in {1, 2, dots, n}) M_i = sup_(x in [a, b]) f(x), space forall x in [a, b],
$

откуда и следует требуемое.

Аналогичным образом доказывается утверждение в случае конечности $s_tau (f)$.

#line(length: 100%)

=== Лемма о связи сумм Дарбу и интегральных сумм 

Справедливы равенства 

$
S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi), space s_tau (f) = inf_xi sigma_tau (f, xi). 
$

_Доказательство_. Докажем первое равенство. Рассмотрим сначала случай, когда функция $f$ ограничена сверху на $[a, b]$. Пусть $epsilon gt 0$, тогда, по определению супремума, 

$
exists xi_i in Delta_i: M_i - frac(epsilon, b - a) lt f(xi_i), space i in {1, 2, dots, n}.
$

Домножим каждое неравенство на $Delta x_i$ и сложим по $i$ 

$
sum_(i = 1)^n(M_i - frac(epsilon, b - a)) Delta x_i lt sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i
$

или 

$
sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i - epsilon lt sigma_tau (f, xi) arrow.l.r.double S_tau (f) - epsilon lt sigma_tau (f, xi).
$

Так как, как уже отмечалось, $S_tau (f) gt.eq sigma_tau (f, xi)$, то в итоге проверено, что 

$
S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi). 
$

Пусть теперь $f$ не ограничена сверху на $[a, b]$, тогда $S_tau (f) = +infinity$. Ясно, что при фиксированном разбиении $tau$ функция $f$ не ограничена сверху хотя бы на одном отрезке разбиения $Delta_i$. Не нарушая общности можно считать, что она не ограничена на $Delta_1$. Тогда существует последовательность $xi_1^k$, что $f(xi_1^k) arrow_(k arrow infinity) +infinity$. Пусть $xi_i in Delta_i, space i in {2, dots, n},$ - какие-то фиксированные точки, $xi^k = {xi_1^k, xi_2, dots, xi_n}$. Тогда, в силу определения супремума,

$
sup_xi sigma_tau (f, xi) gt.eq lim_(k arrow infinity) (f(xi_1^k)Delta x_1 + sum_(i = 2)^n f(xi_i) Delta x_i) = +infinity = S_tau (f)
$

#line(length: 100%)

=== Понятие измельчения разбиения 

Пусть на отрезке $[a, b]$ введены разбиения $tau_1$ и $tau_2$. Говорят, что разбиение $tau_1$ является измельчением разбиения $tau_2$, если $tau_2 subset tau_1$.

#line(length: 100%)

=== Лемма о монотонности сумм Дарбу 

Пусть $tau_2 subset tau_1$, тогда 

$
S_tau_2(f) gt.eq S_tau_1(f), space s_tau_1(f) gt.eq s_tau_2(f).
$

_Доказательство_. Докажем первое неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда измельчение $tau_1$ получается из $tau_2$ добавлением одной точки $hat(x) in Delta_k = (x_(k - 1), x_k).$

Тогда 

$
S_tau_2(f) = sum_(i = 1)^n M_i Delta x_i = sum_(i = 1, i eq.not k)^n M_i Delta x_i + M_k Delta x_k.
$

Пусть 

$
M_k' = sup_(x in [x_(k - 1), hat(x)]) f(x), space M_k'' = sup_(x in [hat(x), x_k]) f(x),
$

тогда 

$
M_k gt.eq M_k', space M_k gt.eq M_k''
$

и 

$
M_k Delta x_k = M_k (hat(x) - x_(k - 1)) + M_k (x_k - hat(x)) gt.eq M_k' (hat(x) - x_(k - 1)) + M_k''(x_k - hat(x)), 
$

откуда 

$
S_tau_2(f) gt.eq sum_(i = 1, i eq.not k)^n M_i Delta x_i + M_k'(hat(x) - x_(k - 1)) + M_k''(x_k - hat(x)) = S_tau_1(f).
$

Второе неравенство доказывается аналогично. 

#line(length: 100%)

=== Лемма об ограниченности сумм Дарбу 

Пусть $tau_1$ и $tau_2$ - разбиения отрезка $[a, b]$, тогда 

$
s_tau_1(f) lt.eq S_tau_2(f).
$

_Доказательство_. Разбиение $tau = tau_1 union tau_2$ является разбиением отрезка $[a, b]$, причем $tau_1 subset tau, space tau_2 subset tau$. Пользуясь монотонностью сумм Дарбу, получим 

$
s_tau_1(f) lt.eq s_tau (f) lt.eq S_tau (f) lt.eq S_tau_2(f),
$

что и доказывает утверждение. 


#line(length: 100%)

=== Необходимое условие интегрируемости 

Пусть $f in R[a, b]$. Тогда $f$ ограничена на $[a, b]$.

_Доказательство_. Если предположить, что $f$ не ограничена, например, сверху, то, по лемме, 

$
S_tau (f) = +infinity 
$

Пусть $epsilon = 1$. Тогда, согласно определению интегрируемости, 

$
exists delta gt 0 : forall (tau, xi) : lambda(tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt 1 arrow.l.r.double I - 1 lt sigma_tau (f, xi) lt I + 1. 
$ 

В частности, при фиксированном разбиении $tau$, мелкость которого меньше $delta$, интегральные суммы ограничены (по $xi$). Но это противоречит тому, что при том же разбиении,

$
sup_xi sigma_tau (f, xi) = S_tau (f) = +infinity. 
$

#line(length: 100%)

=== Критерий Дарбу 

$
f in R[a, b] arrow.l.r.double lim_(lambda(tau) arrow 0) (S_tau (f) - s_tau (f)) = 0,
$

или, что то же самое,

$
forall epsilon gt 0 space exists delta gt 0 : forall tau : lambda(tau) lt delta space S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon. 
$

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$ и $epsilon gt 0$. Тогда 

$
exists delta gt 0 : forall (tau, xi): lambda (tau) lt delta |sigma_tau (f, xi) - I| lt frac(epsilon, 3),
$

откуда 

$
I - frac(epsilon, 3) lt sigma_tau (f, xi) lt I + frac(epsilon, 3).
$

Переходя в правой части неравенства к супремуму, а в левой части к инфимуму по $epsilon$, получаем 

$
I - frac(epsilon, 3) lt.eq s_tau (f), space S_tau (f) lt.eq I + frac(epsilon, 3). 
$

Складывая неравенства 

$
-s_tau (f) lt.eq frac(epsilon, 3) - I, space S_tau (f) lt.eq I + frac(epsilon, 3),
$

приходим к тому, что 

$
S_tau (f) - s_tau (f) lt.eq frac(2 epsilon, 3) lt epsilon. 
$

Докажем достаточность. Так как $lim_(lambda(tau) arrow 0) (S_tau (f) - s_tau (f)) = 0$, то все верхние и нижние суммы Дарбу конечны. В силу леммы, 

$
sup_tau s_tau (f) = I_* lt +infinity, space inf_tau S_tau (f) = I^* lt +infinity,
$

причем $I_* lt.eq I^*$. Пользуясь сказанным и тем, что для любого $tau$

$
s_tau (f) lt.eq I_* lt.eq I^* lt.eq S_tau (f),
$

получим 

$
0 lt.eq I^* - I_* lt.eq S_tau (f) - s_tau (f),
$

откуда, так как правая часть принимает сколь угодно малые значения $I_* = I^*$. Пусть $I = I_* = I^*$. Из неравенств 

$
s_tau (f) lt.eq I lt.eq S_tau (f), space s_tau (f) lt.eq sigma_tau (f, xi) lt.eq S_tau (f),
$

получаем 

$
|sigma_tau (f, xi) - I| lt.eq S_tau (f) - s_tau (f). 
$

Осталось воспользоваться утверждением критерия Дарбу и заметить, что мы приходим к тому, что 

$
integral_a^b f d x = I,
$

что и доказывает утверждение. 

#line(length: 100%)

=== Понятие колебания 

Пусть $f: E arrow RR$. Колебанием функции $f$ на множестве $E$ назовем величину 

$
omega(f, E) = sup_(x, y in E) (f(x) - f(y)).
$

#line(length: 100%)

=== Теорема об интегрируемости непрерывной функции 

$
f in C[a, b] arrow.double f in R[a, b].
$

_Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Согласно теореме Кантора, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем, а значит 

$
exists delta gt 0: forall x_1, x_2 in [a, b]: |x_1 - x_2| lt delta |f(x_1) - f(x_2)| lt frac(epsilon, b - a).
$

Пусть $tau$ - такое разбиение отрезка $[a, b]$, что $lambda(tau) lt delta$, тогда 

$
omega(f, Delta_i) = sup_(x, y in Delta_i) |f(x) - f(y)| lt frac(epsilon, b - a)
$

и 

$
sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, b - a) sum_(i = 1)^n Delta x_i = epsilon. 
$

Значит, по следствию из критерия Дарбу, $f in R[a, b]$.

#line(length: 100%)

=== Теорема о невлиянии на интеграл значения функции в конкретной точке 

Если значения интегрируемой функции изменить на конечном множестве точек, то интегрируемость не нарушится и интеграл не изменится. 

_Доказательство_. Пусть $f in R[a, b]$, а функция $tilde(f)$ отличается от $f$ в точках $x_1, x_2, dots, x_n$. Так как, согласно необходимому условию интегрируемости, $|f| lt.eq C$, то 

$
|tilde(f)| lt.eq C_1, space C_1 = max(C, |tilde(f)(x_1)|, dots, |tilde(f)(x_n)|). 
$

Заметим, что интегральные суммы для $f$ и $tilde(f)$ отличаются не больше, чем в $2n$ слагаемых, причем 

$
|sigma_tau (f, xi) - sigma_tau (tilde(f), xi)| lt.eq 2n(C + C_1)lambda(tau) arrow_(lambda(tau) arrow 0) 0,
$

что доказывает одновременное существование интегралов и их равенство между собой. 

#line(length: 100%) 

=== Теорема об интегрируемости функции и ее сужения 

Справедливы следующие утверждения:

+ Пусть $f in R[a, b]$ и $[alpha, beta] subset [a, b]$. Тогда $f in R[alpha, beta]$.

+ Пусть $f in R[a, c]$ и $f in R[c, b], a lt c lt b$. Тогда $f in R[a, b]$.

_Доказательство_. 1. Воспользуемся критерием Дарбу и, выбрав $epsilon gt 0$, найдем $delta$, что выбрав разбиение $tau$ отрезка $[a, b]$ мелкости меньшей, чем $delta$, будет выполняться 

$
S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon
$

Пусть теперь $tau'$ - какое-то разбиение $[alpha, beta]$ мелкости меньшей $delta$. Дополним это разбиение, разбив отрезки $[a, alpha]$ и $[beta, b]$, до разбиения $tau$ отрезка $[a, b]$ так, чтобы мелкость $lambda(tau)$ была меньше, чем $delta$. Тогда 

$
0 lt.eq S_tau'(f) - s_tau'(f) lt.eq S_tau (f) - s_tau (f) lt epsilon,
$

что и доказывает утверждение.


2. Интегрируемость постоянной функции нам уже известна. Не нарушая общности будем считать, что $f$ не постоянна, а значит $omega(f, [a, b]) gt 0$. Пусть $epsilon gt 0$. По критерию интегрируемости найдем $delta_1, delta_2$, что для любых разбиений отрезка $[a, c]$ таких, что $lambda(tau_1) lt delta_1$, и для любых разбиений отрезка $[c, b]$ таких, что $lambda(tau_2) lt delta_2$, выполняется 

$
S_tau_1(f) - s_tau_1(f) lt frac(epsilon, 3), space S_tau_2(f) - s_tau_2(f) lt frac(epsilon, 3).
$

 Пусть теперь $delta = min(delta_1, delta_2, frac(epsilon, 3 omega(f, [a, b])))$ и $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$, что $lambda(tau) lt delta$. Пусть точка $c$ принадлежит какому-то промежутку $[x_(i - 1), x_i).$ Обозначим 

$
tau' = tau union {c}, space tau_1 = tau' inter [a, c], space tau_2 = tau' inter [c, b].
$

Тогда, согласно выбору $delta$, 

$
S_tau (f) - s_tau (f) lt.eq S_tau_1(f) - s_tau_1(f) + S_tau_2(f) - s_tau_2(f) + omega(f, [a, b])delta lt epsilon,
$

что, согласно критерию Дарбу, влечет интегрируемость $f$ на $[a, b]$.

#line(length: 100%)

=== Понятие кусочно-непрерывной функции 

Функция $f : [a, b] arrow RR$ называется кусочно-непрерывной, если ее множество точек разрыва конечно или пусто, и все разрывы - разрывы первого рода. 

#line(length: 100%)

=== Теорема об интегрируемости кусочно-непрерывной функции 

Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. 

_Доказательство_. Пусть $a_1 lt dots lt a_m$ - все точки разрыва функции $f$ на $(a, b)$. Функция $f$ непрерывна во внутренних точках и имеет конечные односторонние пределы на концах отрезков $[a, a_1], [a_1, a_2], dots, [a_m, b]$, а значит интегрируема на каждом из них, отличаясь от непрерывной функции не более чем в двух точках, согласно теореме. Тогда, по только что доказанной теореме, она интегрируема на $[a, b]$.

#line(length: 100%)

=== Арифметические свойства интегрируемых функций 

Пусть $f, g in R[a, b]$. Тогда:

1. Линейная комбинация $f$ и $g$ интегрируема, то есть 

$
alpha f + beta g in R[a, b], space alpha, beta in RR. 
$

2. Произведение $f$ и $g$ интегрируемо, то есть 
$
f g in R[a, b].
$

3. Модуль функции интегрируем, то есть 

$
|f| in R[a, b].
$

4. Если $|f| gt C$ на $[a, b], C gt 0$, то 

$
frac(1, f) in R[a, b].
$

_Доказательство_. 1. Так как 

$
|alpha f(x) + beta g(x) - alpha f(y) - beta g(y)| lt.eq |alpha||f(x) - f(y)| + |beta||g(x) - g(y)| lt.eq |alpha|omega(f, E) + |beta|omega(g, E),
$

то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство:  

$
omega(alpha f + beta g, E) lt.eq |alpha|omega(f, E) + |beta|omega(g, E),
$

верное для произвольного множества $E$.

Пусть $epsilon gt 0$. Так как $f in R[a, b]$, то по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, 

$
exists delta_1: forall tau: lambda(tau) lt delta_1 sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, 2(|alpha| + 1)).
$

Аналогично, так как $g in R[a, b]$, то по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, 

$
exists delta_2 : forall tau : lambda(tau) lt delta_2 sum_(i = 1)^n omega(g, Delta_i) Delta x_i lt frac(epsilon, 2(|beta| + 1))
$

Пусть $delta = min(delta_1, delta_2)$, тогда для любого $tau$ такого, что $lambda(tau) lt delta$, выполняется 

$
sum_(i = 1)^n omega(alpha f + beta g, Delta_i)Delta x_i lt.eq |alpha| sum_(i = 1)^n omega(f, Delta_i)Delta x_i + |beta| sum_(i = 1)^n omega (g, Delta_i) Delta x_i lt.eq frac(|alpha|epsilon, 2(|alpha| + 1)) + frac(|beta|epsilon, 2(|beta| + 1)) lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. 
$

Значит, по следствию из критерия Дарбу интегрируемости функции, $alpha f + beta g in R[a, b]$.

2. Так как $f, g in R[a, b]$, то по необходимому условию они ограничены на $[a, b]$, то есть 

$
exists C : |f(x)| lt C, |g(x)| lt C space forall x in [a, b].
$

Кроме того, так как 

$
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| = 

$

$
|f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| lt.eq |f(x)||g(x) -
$

$
- g(y)| + |g(y)||f(x) - f(y)| lt.eq C(omega(f, E) + omega(g, E)),
$

то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство:

$
omega(f g, E) lt.eq C(omega(f, E) + omega(g, E)),
$

верное для произвольного множества $E$. Дальнейшие обоснования проводятся тем же образом, что и в пункте 1, и остаются в качестве упражнения.

4. Так как 

$
|frac(1, f(x)) - frac(1, f(y))| = |frac(f(x) - f(y), f(x)f(y))| lt.eq frac(|f(x) - f(y)|, C^2) lt.eq frac(omega(f, E), C^2),
$

то, переходя к супремуму в левой части, получим следующее неравенство:

$
omega(frac(1, f), E) lt.eq frac(omega(f, E), C^2),
$

верное для любого множества $E$. Дальнейшие обоснования проводятся тем же образом, что и в пункте 1, и остаются в качестве упражнения.

#line(length: 100%)

=== Теорема о линейности интеграла Римана 

Пусть $f, g in R[a, b]$, тогда 

$
integral_a^b (alpha f + beta g) d x = alpha integral_a^b f d x + beta integral_a^b g d x. 
$

_Доказательство_.

То, что $alpha f + beta g in R[a, b]$, известно из теоремы об арифметических свойствах интегрируемых функций. Осталось лишь в равенстве 

$
sum_(i = 1)^n (alpha f(xi_i) + beta g(xi_i)) Delta x_i = alpha sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i + beta sum_(i = 1)^n g(xi_i) Delta x_i 
$

перейти к пределу при $lambda(tau) arrow 0$, откуда и получим требуемое.

#line(length: 100%)

=== Теорема об аддитивности по промежутку 

Пусть $f in R[a, b], c in [a, b]$, тогда 

$
integral_a^b f d x = integral_a^c f d x + integral_c^b f d x. 
$

_Доказательство_. Интегрируемость функции $f$ на промежутках $[a, c]$ и $[c, b]$ известна из ранее доказанной теоремы. Значит, для вычисления интеграла мы можем брать удобное для нас разбиение. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$, содержащее точку $c$. Это разбиение порождает разбиение $tau_1$ отрезка $[a, c]$ и $tau_2$ отрезка $[c, b]$, причем $lambda(tau_1) lt.eq lambda(tau)$ и $lambda(tau_2) lt.eq lambda(tau)$. Так как 

$
sum_([a, b]) f(xi_i) Delta x_i = sum_([a, c]) f(xi_i) Delta x_i + sum_([c, b]) f(xi_i) Delta x_i,
$

и при $lambda(tau) arrow 0$ одновременно $lambda(tau_1) arrow 0$ и $lambda(tau_2) arrow 0$, то получаем требуемое.

#line(length: 100%)

=== Теорема о монотонности интеграла 

Пусть $f, g in R[a, b], a lt.eq b$ и $f(x) lt.eq g(x)$ при $x in [a, b]$. Тогда 

$
integral_a^b f d x lt.eq integral_a^b g d x. 
$

_Доказательство_. Для интегральных сумм справедливо неравенство 

$
sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i lt.eq sum_(i = 1)^n g(xi_i) Delta x_i. 
$

Переходя к пределу при $lambda(tau) arrow 0$, получаем требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о связи модуля интеграла и интеграла от модуля

Пусть $f in R[a, b]$, тогда 

$
|integral_a^b f d x| lt.eq |integral_a^b |f| d x|.
$

_Доказательство_. Интегрируемость функции $|f|$ известна из теоремы об арифметических свойствах интегрируемых функций. Так как 

$
|sum_(i = 1)^n f(xi_i) Delta x_i| lt.eq |sum_(i = 1)^n |f(xi_i)| Delta x_i|,
$

то при $lambda(tau) arrow 0$ получается требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Первая теорема о среднем 

Пусть $f, g in R[a, b], g$ не меняет знак на $[a, b], m = inf_(x in [a, b])f(x), M = sup_(x in [a, b]) f(x)$.

Тогда: 

$
exists mu in [m, M] : integral_a^b f g d x = mu integral_a^b g d x. 
$

Кроме того, если $f in C[a, b],$ то 

$
exists xi in [a, b] : integral_a^b f g d x = f(xi) integral_a^b g d x. 
$

_Доказательство_. Пусть $g(x) gt.eq 0$ при $x in [a, b]$, тогда 

$
m g(x) lt.eq f(x)g(x) lt.eq M g(x), space x in [a, b]
$

и, по теореме о монотонности интеграла, 

$
m integral_a^b g d x lt.eq integral_a^b f g d x lt.eq M integral_a^b g d x.
$

Если $integral_a^b g d x = 0$, то, согласно неравенству выше, 

$
integral_a^b f g d x = 0,
$

а значит равенство 

$
integral_a^b f g d x = mu integral_a^b g d x 
$

верно при любом $mu$.

Если же $integral_a^b g d x eq.not 0$, то, так как $g gt.eq 0$, выполнено, что $integral_a^b g d x gt 0$.

Поделив все то же неравенство на этот интеграл, приходим к неравенству 

$
m lt.eq frac(integral_a^b f g d x, integral_a^b g d x) lt.eq M.
$

Положив 

$
mu = frac(integral_a^b f g d x, integral_a^b g d x), 
$

приходим к первому утверждению теоремы. 

Если предположить, что $f in C[a, b]$, то по второй теореме Больцано-Коши для каждого $mu in [m, M]$ существует $xi in [a, b]$, что $f(xi) = mu$, что доказывает вторую часть теоремы.

#line(length: 100%)

=== Понятие интеграла с переменным верхним пределом 

Пусть $f in R[a, b]$ и $x in [a, b]$. Функция 

$
Phi(x) = integral_a^x f d x 
$

называется интегралом с переменным верхним пределом.

#line(length: 100%)

=== Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом 

$
Phi in C[a, b].
$

_Доказательство_. Пусть $x_0 in [a, b], x_0 + Delta x in [a, b].$ Так как $f in R[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке, то есть существует $C gt 0$, что 

$
|f(x)| lt.eq C, space x in [a, b].
$

Тогда, пользуясь следствием из теоремы об аддитивности, а также теоремой о сравнении интеграла от функции и интеграла от модуля функции, получим: 

$
|Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0)| = |integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) f d x| lt.eq |integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) |f| d x| lt.eq C|integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) d x| = C|Delta x|.
$

Значит, при $Delta x arrow 0$ выполняется $Phi(x_0 + Delta x) arrow Phi(x_0)$, что и означает непрерывность функции $Phi(x)$ в точке $x_0$.  Так как $x_0$ - произвольная точка отрезка $[a, b]$, то утверждение доказано. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом 

$Phi$ дифференцируема в точках непрерывности функции $f : [a, b] arrow RR$, причем в этих точках 

$
Phi'(x_0) = f(x_0).
$

_Доказательство_. Пусть $f$ непрерывна в точке $x_0$ и $x_0 + Delta x in [a, b]$. Рассмотрим цепочку преобразований: 

$
|frac(Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0), Delta x) - f(x_0)| = |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) f d t - f(x_0) Delta x, Delta x)| = |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) (f(t) - f(x_0)) d t , Delta x)|.
$

Пусть $epsilon gt 0$. Тогда, в силу непрерывности функции $f$ в точке $x_0$, 

$
exists delta gt 0 : forall t in [a, b] : |t - x_0| lt delta |f(t) - f(x_0)| lt epsilon.
$

Пусть $|Delta x| lt delta$, тогда 

$
|frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) (f(t) - f(x_0)) d t, Delta x)| lt.eq |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) |f(t) - f(x_0)| d t , Delta x )| lt epsilon dot |frac(integral_(x_0)^(x_0 + Delta x) d t, Delta x)| = epsilon, 
$

что и означает, что 

$
lim_(Delta x arrow 0) frac(Phi(x_0 + Delta x) - Phi(x_0), Delta x) = f(x_0).
$

#line(length: 100%)

=== Формула Ньютона-Лейбница для непрерывных функций 

Пусть $f in C[a, b]$ и $F$ - ее первообразная. Тогда: 

$
integral_a^b f d x = F(b) - F(a).
$

_Доказательство_. Согласно следствию о существовании первообразной непрерывной функции, любая первообразная непрерывной функции имеет вид 

$
F(x) = integral_a^x f d t + C. 
$

Подставим сначала $x = a$, получим 

$
F(a) = integral_a^b f(x) d x + F(a) arrow.double integral_a^b f(x) d x = F(b) - F(a).
$

#line(length: 100%)

=== Усиленная формула Ньютона-Лейбница

Пусть $f in R[a, b]$ и $F$ - некоторая первообразная $f$ на $[a, b]$. Тогда: 

$
integral_a^b f d x = F(b) - F(a).
$

_Доказательство_. Введем следующее разбиение отрезка $[a, b]$:

$
x_k = a + frac(k(b - a), n), space k in {0, 1, dots, n}.
$

Пусть $F$ - какая-то первообразная $f$ на $[a, b]$. Тогда 

$
F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) = sum_(k = 1)^n (F(x_k) - F(x_(k - 1))).
$

Согласно теореме Лагранжа, существует $xi_k^n in (x_(k - 1), x_k)$, что 

$
F(x_k) - F(x_(k - 1)) = f(xi_k^n)(x_k - x_(k - 1)),
$

а тогда 

$
F(b) - F(a) = sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k, 
$

и мы получаем интегральную сумму для функции $f$ по отрезку $[a, b]$ с оснащенным разбиением $(tau^n, xi^n)$.

Так как $f in R[a, b]$ и так как при $n arrow infinity$ выполняется $lambda(tau^n) arrow 0$, то 

$
lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k = integral_a^b f d x.
$

С другой стороны, 

$
F(b) - F(a) = lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n f(xi_k^n) Delta x_k, 
$

а значит 

$
integral_a^b f d x = F(b) - F(a).
$

#line(length: 100%)

=== Формула интегрирования по частям 

Пусть $u, v$ дифференцируемы на $[a, b]$, причем $u', v' in R[a, b]$. Тогда:

$
integral_a^b u v' d x = u v |^b_a - integral_a^b v u' d x 
$

или 

$
integral_a^b u d v = u v|_a^b - integral_a^b v d u.
$

_Доказательство_. Согласно свойствам интегрируемых функций, $u v' in R[a, b]$ и $u' v in R[a, b]$. Кроме того, $(u v)' = u' v + u v' in R[a, b]$, а значит, по усиленной формуле Ньютона-Лейбница, 

$
integral_a^b u' v d x + integral_a^b u v' d x = integral_a^b (u' v + u v') d x = integral_a^b (u v)' d x = u v |_a^b,  
$

откуда и следует утверждение. 

#line(length: 100%)

=== Формула замены переменной

Пусть $f in C[a, b], x = phi(t) : [alpha, beta] arrow [a, b], phi$ дифференцируема и $phi' in R[alpha, beta]$. 

Тогда: 

$
integral_(phi(alpha))^(phi(beta)) f d x = integral_alpha^beta f(phi)phi' d t. 
$

_Доказательство_. Ясно, что интеграл от правой функции определен, ведь $f circle.stroked.tiny phi in C[alpha, beta],$ а значит $f(phi) in R[alpha, beta]$ и, по свойствам интегрируемых функций, $f(phi)phi' in R[alpha, beta]$. Кроме того, если $F$ - первообразная $f$ на $[a, b]$, то $F(phi)$ - первообразная $f(phi)phi'$ на $[alpha, beta]$. Тогда, по усиленной формуле Ньютона-Лейбница, 

$
integral_alpha^beta f(phi) phi' d t = F(phi(beta)) - F(phi(alpha)) = integral_(phi(alpha))^(phi(beta)) f d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Теорема об интеграле от четной функции по симметричному промежутку 

Пусть $f in R[0, a]$ и является четной. Тогда: 

$
integral_(-a)^a f d x = 2 integral_0^a f d x. 
$

_Доказательство_. Так как $f(-x) = f(x)$, то, по теореме, $f in R[-a, a]$. Пользуясь аддитивностью интеграла по промежутку, получим:

$
integral_(-a)^a f d x = integral_(-a)^0 f d x + integral_0^a f d x. 
$

В первом интеграле можно сделать замену $t = -x, d t = -d x$, откуда 

$
integral_(-a)^0 f(x) d x = - integral_a^0 f(-t) d t = integral_0^a f(t) d t. 
$

Значит, 

$
integral_(-a)^a f d x = integral_0^a f d t + integral_0^a f d x = 2 integral_0^a f d x. 
$
#line(length: 100%)
=== Теорема об интеграле от нечетной функции по симметричному промежутку 

Пусть $f in R[0, a]$ и является нечетной. Тогда: 

$
integral_(-a)^a f d x = 0.
$

_Доказательство_. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству предыдущей и остается в качестве упражнения.

#line(length: 100%)

=== Теорема об интеграле от периодической функции по периоду 

Пусть $f in R[0, T]$ и является периодической с периодом $T$. Тогда:

$
integral_a^(a + T) f d x = integral_0^T f d x, space forall a in RR. 
$

_Доказательство_. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству предыдущей и остается в качестве упражнения. 

#line(length: 100%)

=== Понятие длины арифметического вектора 

Пусть $x = (x_1, dots, x_n) in RR^n$. Элемент $x$ иногда называется вектором, а иногда - точкой. Под длиной вектора (или под расстоянием от $x$ до начала координат) будем понимать следующую величину: 

$
|x| = sqrt(x_1^2 + dots + x_n^2).
$

#line(length: 100%)

=== Понятие движения 

Отображение $U$: $RR^n arrow RR^n$ называется движением, если 

$
|x - y| = |U(x) - U(y)|.
$

#line(length: 100%)

=== Понятие площади 

Функция множеств (функционал) $S: cal(U) arrow RR$, заданная на некотором множестве "квадрируемых" подмножеств плоскости, называется площадью, если 

1. $S(A) gt.eq 0, space A in cal(U)$.
2. Если $A, B in cal(U), space A inter B eq nothing$, то $A union B in cal(U)$ и 

$
S(A union B) = S(A) + S(B).
$

3. Площадь прямоугольника со сторонами $a, b$ равна $a b$. 

4. Если $A in cal(U), U$ - движение, то $U(A) in cal(U)$ и 

$
S(U(A)) = S(A).
$

#line(length: 100%)

=== Понятия подграфика и криволинейной трапеции 

Пусть $f : [a, b] arrow RR, f gt.eq 0$. Множество 

$
G_f = {(x, y) in RR^2: x in [a, b], 0 lt.eq y lt.eq f(x)}
$

называется подграфиком функции $f$.

Если функция $f$ непрерывна на $[a, b]$, то подграфик называется криволинейной трапецией. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о вычислении площади подграфика 

Пусть $f in R[a, b]$ и $G_f$ - подграфик функции $f$. Если подграфик имеет площадь, то 

$
S(G_f) = integral_a^b f d x. 
$

_Доказательство_. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Геометрически очевидно, что 

$
s_tau (f) lt.eq S(G_f) lt.eq S_tau (f). 
$

Поскольку $f in R[a, b]$, то 

$
S_tau (f) arrow_(lambda(tau) arrow 0) integral_a^b f d x arrow.l_(lambda(tau) arrow 0) s_tau (f).
$

Значит, по теореме о сжатой переменной,

$
S(G_f) = integral_a^b f d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Теорема о площади фигуры между графиками функций 

Пусть $f, g in R[a, b], f lt.eq g$. Тогда площадь фигуры $S(G_(f, g))$, где 

$
G_(f, g) = {(x, y) in RR^2 : x in [a, b], f(x) lt.eq y lt.eq g(x)}, 
$

вычисляется по формуле 

$
S(G_(f, g)) = integral_a^b (g - f) d x. 
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно перенести фигуру выше оси абсцисс, добавив к $f$ и $g$ такую постоянную $c$, чтобы $f + c gt.eq 0$. Тогда, пользуясь свойством сохранения площади при движении, а также предыдущей теоремой,

$
S(G_(f, g)) = S(G_(f + c, g + c)) = S(G_(g + c)) - S(G_(f + c)) = integral_a^b (g + c) d x - integral_a^b (f + c) d x = integral_a^b (g - f) d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятия подграфика и криволинейного сектора 

Пусть $0 lt beta - alpha lt.eq 2 pi, f : [alpha, beta] arrow RR, f gt.eq 0$. Множество 

$
tilde(G_f) = {(r cos(phi), r sin(phi)) in RR^2 : phi in [alpha, beta], 0 lt.eq r lt.eq f(phi)}
$

называется подграфиком функции $f$ в полярных координатах. Если функция $f$ непрерывна на $[alpha, beta]$, то подграфик называется криволинейным сектором. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о площади подграфика в полярных координатах 

Пусть $f in R[alpha, beta]$ и $tilde(G_f)$ - подграфик функции $f$. Если подграфик имеет площадь, то 

$
S(tilde(G_f)) = frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi.
$

_Доказательство_. Пусть $tau = {phi_k}_(k = 0)^n$ - разбиение $[alpha, beta], Delta phi_i = phi_i - phi_(i - 1)$, 

$
m_i = inf_(phi in [phi_(i - 1), phi_i]) f(phi), space M_i = sup_(phi in [phi_(i - 1), phi_i]) f(phi).
$

Воспользовавшись тем, что площадь сектора радиуса $r$ с углом $phi$ равна $frac(r^2 phi, 2)$, составим суммы 

$
s_tau (f) = frac(1, 2) sum_(i = 1)^n m_i^2 Delta phi_i, space S_tau (f) = frac(1, 2) sum_(i = 1)^n M_i^2 Delta phi_i. 
$

Геометрически очевидно, что 

$
s_tau (f) lt.eq S(tilde(G_f)) lt.eq S_tau (f).
$

Кроме того, $s_tau (f)$ и $S_tau (f)$ - суммы Дарбу функции $frac(f^2(phi), 2)$. Поскольку $f^2 in R[alpha, beta]$, то 

$
S_tau (f) arrow_(lambda(tau) arrow 0) frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi arrow.l_(lambda(tau) arrow 0) s_tau (f).
$

Значит, по теореме о сжатой переменной, 

$
S(tilde(G_f)) = frac(1, 2) integral_alpha^beta f^2 d phi. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие объема 

Функция множеств (функционал) $V : cal(U) arrow RR$, заданная на некотором множестве "кубируемых" подмножеств пространства $RR^3$, называется объемом, если 

1. $V(A) gt.eq 0, A in cal(U)$
2. Если $A, B in cal(U), A inter B = nothing$, то $A union B in cal(U)$ и 

$
V(A union B) = V(A) + V(B).
$

3. Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a, b, c$ равен $a b c$

4. Если $A in cal(U)$, $U$ - движение, то $U(A) in cal(U)$ и 

$
V(U(A)) = V(A).
$

#line(length: 100%)

=== Свойства объема 

Пусть $V : cal(U) arrow RR$ - объем. Тогда: 

1. Объем монотонен, то есть если $A, B in cal(U), A subset B,$

$
V(A) lt.eq V(B).
$

2. Пусть $A in cal(U)$ содержится в некотором прямоугольнике. Тогда $V(A) = 0$.

3. Если множества $A, B in cal(U)$ пересекаются по множеству нулевого объема, то 

$
V(A union B) = V(A) + V(B).
$

_Доказательство_. 1. Заметим, что $B = A union (B without A)$, причем $A inter (B without A) = nothing$. Тогда, предполагая кубируемость $(B without A)$, согласно второму свойству из определения объема,

$
V(A union (B without A)) = V(A) + V(B without A) gt.eq V(A), 
$

где последнее неравенство справедливо в виду неотрицательности объема. 

2. Выберем $epsilon gt 0$, тогда найдется параллелепипед $P_epsilon$, что 

$
A subset P_epsilon " и " V(P_epsilon) lt epsilon.
$

Тогда, по доказанному в первом пункте, 

$
0 lt.eq V(A) lt.eq V(P_epsilon) lt epsilon,
$

что, в силу произвольности $epsilon$, влечет равенство $V(A) = 0$.

3. Пусть $C = A inter B$, причем $V(C) = 0$, тогда 

$
V(A) = V(A without C) + V(C) = V(A without C), 
$

откуда 

$
V(A union B) = V(A without C) + V(B) = V(A) + V(B).
$

#line(length: 100%)

=== Понятие сечения 

Пусть $T$ - тело, $x in RR$. Множество

$
T(x) = {(y, z) in RR^2 : (x, y, z) in T}
$

называется сечением тела $T$ координатой $x$.

#line(length: 100%)

=== Теорема о вычислении объема через площади сечений 

Пусть тело $T$ удовлетворяет требованиям, озвученным выше. В рамках введенных обозначений, если тело $T$ имеет объем, то 

$
V(T) = integral_a^b S d x. 
$

_Доказательство_. Пусть $T$ имеет объем и $tau$ - разбиение $[a, b]$. Пусть 

$
m_k = min_(Delta_k) S(x), space M_k = max_(Delta_k) S(x),
$

тогда 

$
S(T(xi_k^*)) = m_k, space S(T(xi_k^(**)) = M_k. 
$

Пусть 

$
q_k = Delta_k times T(xi_k^*), space Q_k = Delta_k times T(xi_k^(**)), 
$

тогда 

$
q_k subset T_k subset Q_k, space T_k = {(x, y, z) in T: x in Delta_k}.
$

Но тогда 

$
union.big_(k = 1)^n q_k subset T subset union.big_(k = 1)^n Q_k.
$

По пункту 3 леммы о свойствах объема, 

$
V(union.big_(k = 1)^n q_k) = sum_(k = 1)^n V(q_k) = sum_(k = 1)^n m_k Delta x_k = s_tau, 
$

$
V(union.big_(k = 1)^n Q_k) = sum_(k = 1)^n V(Q_k) = sum_(k = 1)^n M_k Delta x_k = S_tau. 
$

По монотонности объема, 

$
s_tau lt.eq V(T) lt.eq S_tau. 
$

Так как $s_tau$ и $S_tau$ - суммы Дарбу функции $S$, а последняя интегрируема, то 

$
V(T) = integral_a^b S d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие тела вращения 

Пусть $f in C[a, b]$, причем $f gt.eq 0$. Множество 

$
T_f = {(x, y, z) in RR^3 : y^2 + z^2 lt.eq f^2(x)}
$

называется телом вращения, полученным вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $O x$.

#line(length: 100%)

=== Теорема о вычислении объема тела вращения 

Пусть $T$ - тело вращения, полученное вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $O x$. Тогда 

$
V(T_f) = pi integral_a^b f^2 d x. 
$

_Доказательство_. Ясно, что $S(x) = pi f^2(x)$, все условия предыдущей теоремы выполнены, а значит 

$
V(T_f) = pi integral_a^b f^2 d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие пути 

Путем в пространстве $RR^n$ называется отображение $gamma : [a, b] arrow RR^n$, все координатные функции которого непрерывны на $[a, b]$. 

#line(length: 100%)

=== Понятия начала и конца пути, замкнутого пути 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Точка $gamma(a)$ называется началом пути, а точка $gamma(b) $ - концом пути $gamma$. Если $gamma(a) = gamma(b)$, то путь $gamma$ называется замкнутым.

#line(length: 100%)

=== Понятие носителя пути 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Множество $gamma([a, b])$ называется носителем пути $gamma$.

#line(length: 100%)

=== Понятие гладкого пути 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$, причем 

$
gamma(t) = (x_1(t), dots, x_n (t)), space t in [a, b].
$

Говорят, что $gamma$ - путь гладкости $m in NN union {+infinity}$, если $x_i in C^m [a, b], i in {1, dots, n}.$ Если $m = 1$, то путь $gamma$ часто просто называют гладким.

#line(length: 100%)

=== Понятие кусочно-гладкого пути

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$. Если отрезок $[a, b]$ можно разбить точками 

$
a = t_0 lt t_1 lt dots lt t_k = b
$

так, что сужение пути $gamma$ на каждый отрезок $[t_(i - 1), t_i], i in {1, dots, n}$ - гладкий путь, то путь $gamma$ называется кусочно-гладким. 

#line(length: 100%)

=== Понятие эквивалентных путей 

Путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ называется эквивалентным пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$, если существует строго возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что 

$
gamma = tilde(gamma)(u).
$

#line(length: 100%)


=== Лемма 

Введенное понятие эквивалентности путей - отношение эквивалентности на множестве путей. 

_Доказательство_. Проверим все три свойства отношения эквивалентности. 

1. Симметричность. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что 

$
gamma = tilde(gamma)(u).
$

По свойствам обратных функций, $u^(-1) : [alpha, beta] arrow [a, b]$ - возрастающая биекция, а значит 

$
gamma(u^(-1)) = tilde(gamma)(u(u^(-1))) = tilde(gamma),
$

и путь $tilde(gamma)$ эквивалентен пути $gamma$.

2. Рефлексивность. Каждый путь, конечно, эквивалентен сам себе. В качестве функции $u$ достаточно взять тождественное отображение.

3. Транзитивность. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $u : [a, b] arrow [alpha, beta]$, что

$
gamma = tilde(gamma)(u).
$

Пусть, кроме того, путь $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n$ эквивалентен пути $hat(gamma) : [phi, psi] arrow RR^n$. Тогда существует возрастающая биекция $w : [alpha, beta] arrow [phi, psi]$, что 

$
tilde(gamma) = hat(gamma)(w).
$

Тогда $w(u) : [a, b] arrow [phi, psi]$ - возрастающая биекция, причем 


$
gamma = tilde(gamma)(u) = hat(gamma)(w(u)).
$

#line(length: 100%)

=== Понятие кривой 

Класс эквивалентных путей называют кривой, а каждый представитель класса - параметризацией кривой. Кривую часто обозначают ${gamma}$, где $gamma$ - какая-либо ее параметризация. 

#line(length: 100%)

=== Понятие гладкости кривой 

Кривая ${gamma}$ называется гладкой ($m$-гладкой, $m in NN union {+infinity}$, кусочно-гладкой), если у нее существует гладкая ($m$-гладкая, кусочно-гладкая) параметризация. 

#line(length: 100%)

=== Понятие вписанной ломаной 

Множество отрезков, соединяющих точки $gamma(t_k)$ и $gamma(t_(k - 1))$, называется ломаной, вписанной в путь $gamma$, отвечающей разбиению $tau$. Эту ломаную будем обозначать $s_tau$.

#line(length: 100%)

=== Лемма о длине вписанной ломаной 

Длина $|s_tau|$ ломаной $s_tau$, вписанной в путь $gamma$, равна 

$
|s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2).
$

_Доказательство_. Длина отрезка, соединяющего точки $gamma(t_k)$ и $gamma(t_(k - 1))$, вычисляется по теореме Пифагора и равна, очевидно,

$
sqrt((x(t_k) - x(t_(k - 1)))^2 + (y(t_k) - y(t_(k - 1)))^2).
$

Тогда длина $s_tau$ ломаной $s_tau$ равна 

$
|s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2)
$

#line(length: 100%)

=== Понятие длины пути 

Длиной пути $gamma$ называется величина 

$
l_gamma = sup_tau |s_tau|.
$

#line(length: 100%)

=== Понятие спрямляемого пути 

Если $l_gamma lt +infinity$, то путь $gamma$ называется спрямляемым. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о длинах эквивалентных путей 

Длины эквивалентных путей равны. 

_Доказательство_. Пусть путь $gamma : [a, b] arrow RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma) : [alpha, beta] arrow RR^n, space u : [a, b] arrow [alpha, beta]$ - возрастающая биекция. Пусть $tau = {t_i}_(i = 0)^k$ - дробление $[a, b]$, тогда $tilde(t_k) = u(t_k)$ - дробление $[alpha, beta]$. Значит, 

$
s_(tilde(gamma)) = sum_(k = 1)^n |tilde(gamma)(tilde(t_k)) - tilde(gamma) (tilde(t_(k - 1)))| = sum_(k = 1)^n |gamma(t_k) - gamma(t_(k - 1))| = s_gamma lt.eq l_gamma, 
$

и, тем самым, $l_tilde(gamma) lt.eq l_gamma$. Меняя $gamma$ и $tilde(gamma)$ местами, проводя аналогичные приведенным выше выкладки, придем к неравенству $l_gamma lt.eq l_(tilde(gamma))$, откуда $l_gamma = l_tilde(gamma)$.

#line(length: 100%)

=== Понятие длины кривой 

Длиной кривой называют длину любой ее параметризации.

#line(length: 100%)

=== Лемма об аддитивности длины 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^n$ - путь, $c in (a, b), gamma^1, gamma^2$ - сужения пути $gamma$ на отрезки $[a, c]$ и $[c, b]$, соответственно. Путь $gamma$ спрямляем тогда и только тогда, когда спрямляемы пути $gamma^1$ и $gamma^2$, причем 

$
l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2).
$

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть путь $gamma$ спрямляем и пусть $tau$ - разбиение $[a, b]$, содержащее точку $c$. Ясно, что $tau = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ - разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ - разбиение $[c, b]$. Тогда ломанная $s_tau$ - объединение ломаных $s_tau_1$ и $s_tau_2$, причем 

$
|s_tau_1| + |s_tau_2| = |s_tau| lt.eq l_gamma lt +infinity.
$

Отсюда сразу следует, что каждый из путей $gamma^1$ и $gamma^2$ спрямляем. Переходя в предыдущем неравенстве сначала к супремуму по $tau_1$, а потом по $tau_2$, получим 

$
l_(gamma^1) + l_(gamma^2) lt.eq l_gamma.
$

Докажем достаточность и, заодно, противоположное неравенство. пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Если оно не содержит точку $c$, то добавим ее, получив разбиение $tau' = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ - разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ - разбиение $[c, b]$. Пусть точка $c$ попала в $i$-ый отрезок разбиения, то есть $c in (t_(i - 1), t_i)$. Длина ломаной, отвечающей разбиению $tau'$, могла только увеличиться по сравнению с длиной ломаной, отвечающей разбиению $tau$, так как, согласно неравенству треугольника, 

$
sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2) lt.eq 
$

$
sqrt((x(c) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(c) - y(t_(i - 1)))^2) + sqrt((x(t_i) - x(c))^2 + (y(t_i) - y(c))^2)
$

Значит, 

$
|s_tau| lt.eq |s_(tau')| = |s_tau_1| + |s_tau_2| lt.eq l_(gamma^1) + l_(gamma^2) lt +infinity.
$

и, тем самым, кривая $gamma$ спрямляема. Переходя к супремуму по $tau$ в левой части неравенства, получим 

$
l_gamma lt.eq l_(gamma^1) + l_(gamma^2).
$

Объединяя это неравенство и последнее неравенство, полученное в пункте необходимости, заключаем, что 

$
l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2),
$

и теорема полностью доказана.

#line(length: 100%)

=== Достаточное условие спрямляемости пути 

Пусть $gamma$ - гладкий путь, тогда он спрямляем. 

_Доказательство_. Пусть $tau$ - разбиение отрезка $[a, b]$. Длина ломаной, вписанной в путь $gamma$, равна 

$
|s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt((x(t_i) - x(t_(i - 1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i - 1)))^2). 
$

По теореме Лагранжа, найдутся точки $xi_i, tau_i in [t_(i - 1), t_i], space i in {1, 2, dots, n}$, что

$
x(t_i) - x(t_(i - 1)) = x'(xi_i)Delta t_i, space y(t_i) - y(t_(i - 1)) = y'(eta_i)Delta t_i, space Delta t_i = t_i - t_(i - 1), 
$

откуда 

$
|s_tau| = sum_(i = 1)^n sqrt(x'(xi_i)^2 + y'(eta_i)^2) Delta t_i. 
$

Пусть 

$
M_x = max_(t in [a, b]) |x'(t)|, space M_y = max_(t in [a, b]) |y'(t)|,
$

$
m_x = min_(t in [a, b]) |x'(t)|, space m_y = min_(t in [a, b]) |y'(t)|,
$

тогда 

$
sum_(i = 1)^n sqrt(m_x^2 + m_y^2) Delta t_i lt.eq |s_tau| lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) Delta t_i,
$

откуда 

$
sqrt(m_x^2 + m_y^2) (b - a) lt.eq |s_tau| lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) (b - a).
$

Переходя к супремуму по $tau$, имеем 

$
sqrt(m_x^2 + m_y^2) (b - a) lt.eq l_gamma lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) (b - a).
$

и правое неравенство дает возможность заключить, что путь спрямляем. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о гладкости длины участка пути 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^2$ - гладкий путь. Тогда $l_gamma in C^1 [a, b]$, причем 

$
l'_gamma(t) = sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2).
$

_Доказательство_. Пусть $Delta t gt 0$, причем $t_0, t_0 + Delta t in [a, b]$. Согласно последнему неравенству в доказательстве предыдущей теоремы, сохраняя те же обозначения, на отрезке $[t_0, t_0 + Delta t]$ выполнено 

$
sqrt(m_x^2 + m_y^2) Delta t lt.eq l_gamma (t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0) lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2) Delta t. 
$

Поделив неравенство на $Delta t gt 0$, получим 

$
sqrt(m_x^2 + m_y^2) lt.eq frac(l_gamma(t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0), Delta t) lt.eq sqrt(M_x^2 + M_y^2). 
$

Так как $M_x = max_(t in [t_0, t_0 + Delta t]) |x'(t)|$, и функция $x'(t)$ непрерывна, то 

$
lim_(Delta t arrow 0 + 0) M_x = x'(t_0).
$

Аналогично, 

$
lim_(Delta t arrow 0 + 0) m_x = x'(t_0), space lim_(Delta t arrow 0 + 0) M_y = y'(t_0), space lim_(Delta t arrow 0 + 0) m_y = y'(t_0).
$

Значит, 

$
sqrt(x'(t_0)^2 + y'(t_0)^2) lt.eq lim_(Delta t arrow 0 + 0) frac(l_gamma(t_0 + Delta t) - l_gamma(t_0), Delta t) lt.eq sqrt(x'(t_0)^2 + y'(t_0)^2).
$

Аналогично рассматривается случай $Delta t lt 0$. Значит, в силу произвольности $t_0$,

$
l'_gamma(t) = sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2).
$

#line(length: 100%)

=== Теорема о вычислении длины пути 

Пусть $gamma : [a, b] arrow RR^2$ - гладкий путь, тогда 

$
l_gamma = integral_a^b sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2) d t.
$

_Доказательство_. Так как $l'_gamma in C[a, b]$ и $l_gamma (a) = 0$, то, по формуле Ньютона-Лейбница

$
l_gamma(t) = l_gamma(t) - l_gamma(a) = integral_a^t l'_gamma d t. 
$

Так как $l_gamma = l_gamma (b)$, то 

$
l_gamma = l_gamma(b) = integral_a^b l'_gamma d t = integral_a^b sqrt(x'^2(t) + y'^2(t)) d t.
$

#line(length: 100%)

=== Теорема о длине графика гладкой функции 

Пусть $f in C^1[a, b]$ и 

$
Gamma_f = {(x, y) : y = f(x), x in [a, b]}
$

\- график функции $f$. Тогда длина $l(Gamma_f)$ графика функции $f$ равна 

$
l(Gamma_f) = integral_a^b sqrt(1 + (f')^2) d x.
$

_Доказательство_. Действительно, график $Gamma_f$ может быть задан следующей параметризацией:

$
gamma(t) = cases(x = t, y = f(t)) space , space t in [a, b].
$

Дальше остается сослаться на только что доказанную теорему. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о длине графика функции в полярной системе координат 

Пусть $f in C^1[phi_0, phi_1], f gt.eq 0$ и 

$
Gamma_f = {(phi, r) : r = f(phi), phi in [phi_0, phi_1]}
$

\- график функции $f$ в полярной системе координат. Тогда длина $l(Gamma_f)$ графика функции $f$ равна 

$
l(Gamma_f) = integral_(phi_0)^(phi_1) sqrt(f^2 + (f')^2) d phi.
$

_Доказательство_. Действительно, график $Gamma_f$ может быть задан следующей параметризацией:

$
gamma(t) = cases(x = f(phi) cos(phi), y = f(phi) sin(phi)) space, space phi in [phi_0, phi_1].
$

Дальше остается сослаться на только что доказанную теорему. 

#line(length: 100%)

=== Понятие локальной интегрируемости 

Говорят, что функция $f$ локально интегрируема на множестве $E$, и пишут $f in R_(l o c)(E)$, если $f in R[a, b]$ для любого $[a, b] subset E$.

#line(length: 100%)

=== Понятие несобственного интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq +infinity$. Тогда символ 

$
integral_a^b f d x 
$

называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $[a, b)$.

#line(length: 100%)


=== Понятие значения несобственного интеграла

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq + infinity$ и $omega in [a, b)$. Предел 

$
lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x, 
$

если он существует в $overline(RR)$, называется значением несобственного интеграла от функции $f$ по множеству $[a, b)$.

#line(length: 100%)

=== Понятие сходящегося несобственного интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), -infinity lt a lt b lt.eq +infinity$ и $omega in [a, b)$. Если предел 

$
lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x 
$

существует в $RR$, то несобственный интеграл называется сходящимся. Иначе - расходящимся. 

#line(length: 100%)

=== Понятия интегралов первого и второго родов 

Несобственный интеграл по неограниченному промежутку часто называется несобственным интегралом первого рода. 

Несобственный интеграл от неограниченной функции по промежутку конечной длины часто называется несобственным интегралом второго рода. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о совпадении несобственного интеграла и интеграла Римана 


Пусть $f in R[a, b]$. Тогда 

$
lim_(omega arrow b - 0) integral_a^omega f d x = integral_a^b f d x,
$

где справа стоит интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$.

_Доказательство_. Доказательство немедленно следует из свойства непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о линейности несобственного интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если сходятся интегралы 

$
integral_a^b f space d x " и " integral_a^b g space d x,  
$

то 

$
integral_a^b (alpha f + beta g) space d x = alpha integral_a^b f space d x + beta integral_a^b g space d x. 
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в равенстве, справедливом для интеграла Римана: 

$
integral_a^omega (alpha f + beta g) space d x = alpha integral_a^omega f space d x + beta integral_a^omega g space d x. 
$

#line(length: 100%)


=== Теорема об аддитивности по промежутку 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Тогда для любого $c in (a, b)$ справедливо равенство 


$
integral_a^b f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^b f space d x, 
$

причем интегралы 

$
integral_a^b f space d x " и " integral_c^b f space d x 
$

сходятся или нет одновременно. 

_Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в равенстве, справедливом для интеграла Римана: 

$
integral_a^omega f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^omega f space d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие остатка несобственного интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), c in (a, b)$. Тогда 

$
integral_c^b f space d x 
$

называется остатком несобственного интеграла от $f$ по $[a, b)$.

#line(length: 100%)

=== Лемма 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), c in (a, b)$. Тогда сходимость несобственного интеграла от $f$ по $[a, b)$ равносильна тому, что 

$
lim_(c arrow b - 0) integral_c^b f space d x = 0.
$

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. Тогда, по теореме об аддитивности по промежутку, 

$
integral_a^b f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^b f space d x. 
$

Пусть теперь $c arrow b - 0$, тогда 

$
lim_(c arrow b - 0) integral_a^c f space d x = integral_a^b f space d x,  
$

откуда и следует требуемое. 

Докажем доастаточность. Пусть остаток интеграла стремится к нулю. Значит, при некотором $c in (a, b)$

$
integral_c^b f space d x in RR.
$

Но тогда, при $omega gt c$ выполнено 

$
integral_a^omega f space d x = integral_a^c f space d x + integral_c^omega f space d x 
$

и при $omega arrow b - 0$ приходим к требуемому.

#line(length: 100%)

=== Теорема о монотонности несобственного интеграла 

Пусть $f, g in R_(l o c)[a, b)$, причем 

$
integral_a^b f space d x in overline(RR) " и " integral_a^b g space d x in overline(RR).
$

Если $f lt.eq g$ на $[a, b)$, то 

$
integral_a^b f space d x lt.eq integral_a^b g space d x.
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в неравенстве, справедливом для интеграла Римана:

$
integral_a^omega f space d x lt.eq integral_a^omega g space d x.
$

#line(length: 100%)

=== Формула интегрирования по частям 

Пусть $u, v$ дифференцируемы на $[a, b)$ и $u', v' in R_(l o c)[a, b)$. Тогда 

$
integral_a^b u v' space d x = u v |^b_a - integral_a^b v u' space d x, space u v |_a^b = lim_(omega arrow b - 0) u(omega) v(omega) - u(a)v(a),
$

или 

$
integral_a^b u space d v = u v |^b_a - integral_a^b v d u, 
$

причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда существует (в $RR$) хотя бы два предела из трех. 

_Доказательство_. Для доказательства достаточно перейти к пределу при $omega arrow b - 0$ в верном для интеграле Римана равенстве:

$
integral_a^omega u v' space d x = u v |_a^omega - integral_a^omega v u' space d x.
$

#line(length: 100%)

=== Формула замены переменной 

Пусть $f in C[A, B), x = phi(t) : [alpha, beta) arrow [A, B), phi$ дифференцируема и $phi' in R_(l o c)[alpha, beta)$. Пусть, кроме того, существует $phi(beta - 0) in overline(RR)$. Тогда 

$
integral_(phi(alpha))^(phi(beta - 0)) f space d x = integral_alpha^beta f(phi)phi' space d t,
$

причем если существует один интеграл (в $overline(RR)$), то существует и другой. 

_Доказательство_. Обозначим

$
Phi(gamma) = integral_alpha^gamma f(phi) phi' space d t, space F(C) = integral_(phi(alpha))^C f space d x.
$

Согласно формуле замены переменной в интеграле Римана, $Phi(gamma) = F(phi(gamma)), gamma in (alpha, beta)$.

1. Пусть существует 

$
integral_(phi(alpha))^(phi(beta - 0)) f space d x = I in overline(RR).
$

Докажем, что второй интеграл тоже существует и равен $I$. Пусть $gamma_n in [alpha, beta)$, причем $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$. Тогда $phi(gamma_n) in [A, B)$ и $phi(gamma_n) arrow_(n arrow infinity) phi(beta - 0)$. Значит, 

$
lim_(n arrow infinity) Phi(gamma_n) = lim_(n arrow infinity) F(phi(gamma_n)) = I. 
$


В силу произвольности последовательности $gamma_n$, приходим к требуемому. 

2. Пусть теперь существует 

$
integral_alpha^beta f(phi) phi' space d t = I in overline(RR).
$

Докажем, что второй интеграл тоже существует. Тогда, по уже доказанному в первом пункте, он равен $I$. Если $phi(beta - 0) in [A, B)$, то интеграл существует в собственном смысле и доказывать нечего. Пусть теперь $phi(beta - 0) = B$. Пусть $C_n in [A, B), C_n arrow_(n arrow infinity) B$. Не нарушая общности можно считать, что $C_n in [phi(alpha), B)$. По теореме Больцано-Коши, найдутся точки $gamma_n in [alpha, beta)$, что $phi(gamma_n) = C_n$. Покажем, что $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$.

Если некоторая подпоследовательность $gamma_n_k arrow_(k arrow infinity) tau in [alpha, beta)$, то, по непрерывности $phi, phi(gamma_n_k) arrow_(k arrow infinity) phi(tau) lt B$, что неверно. Значит, $gamma_n arrow_(n arrow infinity) beta$ и 

$
lim_(n arrow infinity) F(C_n) = lim_(n arrow infinity) Phi(gamma_n) = I. 
$

#line(length: 100%)

=== Критерий сходимости интеграла от знакопостоянной функции 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b), f gt.eq 0$. Тогда функция 

$
F(omega) = integral_a^omega f space d x, space omega in [a, b),
$

возрастает, а сходимость интеграла 

$
integral_a^b f space d x 
$

равносильна ограниченности функции $F(omega)$. 

_Доказательство_. Ясно, что если $a lt.eq omega_1 lt.eq omega_2 lt b$, то, так как $f gt.eq 0$, по свойству интеграла Римана, 

$
integral_(omega_1)^(omega_2) f space d x gt.eq 0. 
$

Но тогда 

$
F(omega_2) = integral_a^(omega_2) f space d x = integral_a^(omega_1) f space d x + integral_(omega_1)^(omega_2) f space d x gt.eq integral_a^(omega_1) f space d x = F(omega_1),
$

откуда $F(omega_2) gt.eq F(omega_1)$, что и доказывает неубывание $F(omega)$.

Значит, вопрос сходимости несобственного интеграла, то есть вопрос существования конечного предела $F(omega)$ при $omega arrow b - 0$, сводится к теореме Вейерштрасса. Как мы знаем, конечность предела (или сходимость заявленного интеграла) в этом случае равносильна ограниченности $F(omega)$.

#line(length: 100%)

=== Признаки сравнения 

Пусть $f, g in R_(l o c)[a, b)$ и $0 lt.eq f lt.eq g$ при $x in [a, b)$. Тогда: 

1. Сходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$ влечет сходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$, то есть 

$
integral_a^b g space d x lt +infinity arrow.double integral_a^b f space d x lt +infinity. 
$

2. Расходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$ влечет расходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$, то есть 

$
integral_a^b f space d x = +infinity arrow.double integral_a^b g space d x = +infinity.
$

3. Если $f tilde g$ при $x arrow b - 0$, то интегралы от $f$ и $g$ по $[a, b)$ сходятся или расходятся одновременно.

_Доказательство_. 1. Согласно предыдущей теореме, функция 

$
F(omega) = integral_a^omega f space d x 
$

не убывает с ростом $omega$. Используя монотонность интеграла Римана, а также используя теорему Вейерштрасса, при каждом $omega in [a, b)$ справедлива цепочка неравенств: 

$
F(omega) = integral_a^omega f space d x lt.eq integral_a^omega g space d x lt.eq sup_(omega in [a, b)) integral_a^omega g space d x = integral_a^b g space d x lt +infinity, 
$

где последнее неравенство выполнено, согласно условию. Но тогда $F(omega)$ ограничена, а значит, по предыдущей теореме, интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. 


2. От противного. Пусть интеграл 

$
integral_a^b g space d x 
$

сходится. Тогда, по только что доказанному первому пункту, сходится и 

$
integral_a^b f space d x, 
$

что противоречит условию. 

3. Согласно определению, эквивалентность $f$ и $g$ при $x arrow b - 0$ означает, что существует такая функция $alpha$, что 

$
f(x) = alpha(x)g(x), "при" x in U(b) inter [a, b), "причем" lim_(x arrow b - 0) alpha(x) = 1. 
$

Тогда существует $Delta gt a$, что при $x in [Delta, b)$ выполняется неравенство 

$
frac(1, 2) lt.eq alpha(x) lt.eq frac(3, 2), 
$

откуда, при $x in [Delta, b)$, 

$
frac(1, 2) g(x) lt.eq f(x) lt.eq frac(3, 2) g(x).
$

Кроме того, сходимость интегралов 

$integral_a^b f space d x " и " integral_a^b g space d x$ 

равносильна сходимости интегралов 

$
integral_Delta^b f space d x " и " integral_Delta^b g space d x. 
$


Для последних же рассуждения проводятся использованием пунктов 1 и 2 данной теоремы, опираясь на приведенное выше неравенство.

Скажем, если сходится интеграл от $g$ по $[Delta, b)$, то, используя правую часть полученного неравенства, сходится и интеграл от $f$ по $[Delta, b)$. Если же расходится интеграл от $f$ по $[Delta, b)$, то, опять же, используя правую часть того же самого неравенства, расходится и интеграл от $g$ по $[Delta, b)$. Аналогичные рассуждения относительно левого неравенства завершают доказательство.


#line(length: 100%)

=== Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Для того чтобы интеграл 

$
integral_a^b f space d x 
$

сходился необходимо и достаточно, чтобы 

$
forall epsilon gt 0 exists Delta in (a, b) : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) space |integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt epsilon.  
$

_Доказательство_. Обозначим 

$
F(omega) = integral_a^omega f space d x. 
$

Согласно определению, сходимость интеграла равносильна существованию предела функции $F(omega)$ при $omega arrow b - 0$. Согласно критерию Коши существования предела функции, это выполнено тогда и только тогда, когда 

$
forall epsilon gt 0 exists Delta in (a, b) : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) |F(delta_2) - F(delta_1)| lt epsilon.  
$

Последнее же неравенство, в силу свойств интеграла, переписывается как

$
|F(delta_2) - F(delta_1)| lt epsilon arrow.double.l.r |integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt epsilon, 
$

откуда и следует требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Понятие абсолютной сходимости 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Говорят, что несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, если сходится интеграл 

$
integral_a^b |f| space d x. 
$

#line(length: 100%)

=== Теорема о сходимости абсолютно сходящегося интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, то он сходится. 

_Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Так как интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, то, согласно критерию Коши, 

$
exists Delta : forall delta_1, delta_2 in (Delta, b) |integral_(delta_1)^(delta_2) |f| space d x| lt epsilon.
$

Но, согласно свойствам интеграла, 

$
|integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x| lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) |f| space d x| lt epsilon,
$

а значит, по критерию Коши, интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. 

#line(length: 100%)

=== Понятие условно сходящегося интеграла 

Пусть $f in R_(l o c)[a, b)$. Если интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится, но не сходится абсолютно, то говорят, что интеграл сходится условно. 


#line(length: 100%)

=== Понятие несобственного интеграла с двумя особенностями на концах 

Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Тогда символ 

$
integral_a^b f space d x
$

называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $(a, b)$.


#line(length: 100%)

=== Понятие значения несобственного интеграла с двумя особенностями на концах 

Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Тогда величина 

$
lim_(omega_1 arrow a + 0) integral_(omega_1)^c f space d x + lim_(omega_2 arrow b - 0) integral_c^(omega_2) f space d x,
$

если оба предела существуют в $overline(RR)$ и не равны бесконечностям разных знаков, называется значением несобственного интеграла от функции $f$ по множеству $(a, b)$. 

#line(length: 100%)
 
=== Понятие сходящегося (расходящегося) несобственного интеграла 

Пусть $-infinity lt.eq a lt b lt.eq +infinity$ и $f in R_(l o c)(a, b)$. Если 

$
(lim_(omega_1 arrow a + 0) integral_(omega_1)^c f space d x + lim_(omega_2 arrow b - 0) integral_c^(omega_2) f space d x) in RR
$

то несобственный интеграл от функции $f$ по $(a, b)$ называется сходящимся, иначе - расходящимся. 

#line(length: 100%)

=== Лемма 

$
integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = cases(
  frac((n - 1)!!, n!!)frac(pi, 2)", " space n = 2k, 
  frac((n - 1)!!, n!!)", " space n = 2k - 1
) space, space n, k in NN union {0}.
$

_Доказательство_. Обозначим 

$
I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x. 
$

Легко проверить, что $I_0 = frac(pi, 2), space I_1 = 1$. Пусть $n gt 1$, тогда 

$
I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^(n - 1) x space d(- cos(x)) = - cos(x) sin^(n - 1) x|_0^(frac(pi, 2)) + 
$

$
+(n - 1) integral_0^(frac(pi, 2)) sin^(n - 2) x cos^2 x space d x = (n - 1)(I_(n - 2) - I_n),
$

где последнее равенство верно в силу того, что $cos^2 x = 1 - sin^2 x$. В итоге,

$
I_n = frac(n - 1, n)I_(n - 2), 
$

откуда легко получается требуемое. 


#line(length: 100%)

=== Формула Валлиса 

$
pi = lim_(n arrow infinity) frac(1, n) (frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2. 
$

_Доказательство_. Ясно, что при $x in (0, frac(pi, 2)), n in NN$, справедлива следующая цепочка неравенств: 

$
sin^(2n + 1) x lt sin^(2n) x lt sin^(2n - 1) x.
$

Обозначив 

$
I_n = integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x, 
$

получим $I_(2n + 1) lt I_(2n) lt I_(2n - 1)$, откуда, по предыдущей лемме, 

$
frac((2n)!! ,(2n + 1)!!) lt frac(pi, 2) dot frac((2n - 1)!!, (2n)!!) lt frac((2n - 2)!!, (2n - 1)!!)
$

или 

$
frac(1, 2n + 1)(frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2 lt frac(pi, 2) lt frac(1, 2n) (frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2.
$

Пусть 

$
x_n = frac(1, n)(frac((2n)!!, (2n - 1)!!))^2, 
$

тогда 

$
pi lt x_n lt frac(2n + 1, 2n)pi, 
$

откуда, по теореме о сжатой переменной, получается требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Интеграл Эйлера-Пуассона 

$
integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-x^2) space d x = sqrt(pi).
$

_Доказательство_. Легко проверить, что при $x in RR$ справедливо неравенство 

$
e^x gt.eq 1 + x. 
$

Тогда 

$
(1 - x^2) lt.eq e^(-x^2) = (e^x^2)^(-1) lt.eq frac(1, 1 + x^2).
$

Будем рассматривать левое неравенство при $x in [-1, 1]$, а правое - при $x in RR$, тогда при $k in NN$

$
(1 - x^2)^k lt.eq e^(-k x^2) lt.eq frac(1, (1 + x^2)^k),
$

а значит, в силу неотрицательности интеграла от неотрицательной функции и монотонности интеграла 

$
integral_(-1)^1 (1 - x^2)^k space d x lt.eq integral_(-1)^1 e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) frac(d x , (1 + x^2)^k) .
$

Сделаем в первом интеграле замену $x = sin t$, а в последнем замену $x = tan t$. Тогда, согласно формуле замены переменной, придем к неравенству 

$
integral_(-frac(pi, 2))^(frac(pi, 2)) cos^(2k + 1) t space d t lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq integral_(-frac(pi, 2))^(frac(pi, 2)) cos^(2k - 2) t space d t, 
$

откуда, в силу четности косинуса, 

$
2 integral_0^(frac(pi, 2)) cos^(2k + 1) t space d t lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq 2 integral_0^(frac(pi, 2)) cos^(2k - 2) t space d t. 
$

Так как, как было показано ранее, 

$
integral_0^(frac(pi, 2)) sin^n x space d x = integral_0^(frac(pi, 2)) cos^n x space d x = cases(
  frac((n - 1)!!, n!!) frac(pi, 2)", " space n = 2k,
  frac((n - 1)!!, n!!)", " space n = 2k - 1
), space n, k in NN union {0}, 
$

то приходим к цепочке неравенств 

$
2 frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-k x^2) space d x lt.eq frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!) frac(pi, 2).
$

Сделаем в интеграле замену $t = sqrt(k) x$ и придем к неравенству 

$
2 frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq frac(1, sqrt(k)) integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-t^2) space d t lt.eq pi frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!)
$

или 

$
2 sqrt(k) frac((2k)!!, (2k + 1)!!) lt.eq integral_(-infinity)^(+infinity) e^(-t^2) space d t lt.eq pi sqrt(k) frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!).
$

По формуле Валлиса, 

$
sqrt(pi) = lim_(k arrow infinity) frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!). 
$

Тогда 

$
2 sqrt(k) frac((2k)!!, (2k + 1)!!) = frac(2 sqrt(k), (2k + 1)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!) tilde frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!) arrow_(k arrow infinity) sqrt(pi) 
$

и 

$
pi sqrt(k) frac((2k - 3)!!, (2k - 2)!!) = pi (frac(1, sqrt(k)) frac((2k)!!, (2k - 1)!!))^(-1) frac(2k, 2k - 1) arrow_(k arrow infinity) sqrt(pi).
$

Теперь утверждение теоремы следует из теоремы о сжатой переменной. 

#line(length: 100%)


=== Понятие ряда 

Пусть дана последовательность $a_k$. Символ 

$
sum_(k = 1)^infinity a_k = a_1 + a_2 + dots + a_k + dots 
$

называется числовым рядом с общим членом $a_k$. 

#line(length: 100%)

=== Понятие частичной суммы ряда 

$n$-ой частичной суммой ряда с общим членом $a_k$ называется величина 

$
S_n = a_1 + a_2 + dots + a_n = sum_(k = 1)^n a_k 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие суммы ряда 

Суммой ряда с общим членом $a_k$ называют предел 

$
lim_(n arrow infinity) S_n = lim_(n arrow infinity) sum_(k = 1)^n a_k,
$

если он существует в $overline(RR)$.

#line(length: 100%)

=== Понятие сходящегося ряда 

Ряд с общим членом $a_k$ называется сходящимся, если его сумма существует в $overline(RR)$. Иначе ряд называется расходящимся. 

#line(length: 100%)

=== Критерий Коши 

Ряд $sum_(k = 1)^infinity a_k$ сходится тогда и только тогда, когда 

$
forall epsilon gt 0 exists n_0 = n_0(epsilon) in NN : forall n gt n_0, forall p in NN |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt epsilon. 
$

_Доказательство_. Согласно определению, сходимость ряда - это сходимость последовательности его частичных сумм 

$
S_n = sum_(k = 1)^n a_k. 
$

По критерию Коши эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда 

$
forall epsilon gt 0 exists n_0 = n_0(epsilon) : forall n gt n_0, forall p in NN |S_(n + p) - S_p| lt epsilon. 
$

Последнее неравенство равносильно тому, что $|sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt epsilon$. 

#line(length: 100%)

=== Необходимое условие сходимости ряда 

Пусть ряд с общим членом $a_k$ сходится. Тогда 

$
a_k arrow_(k arrow infinity) 0. 
$

_Доказательство_. Пусть $S_n = sum_(k = 1)^n a_k$. Так как ряд сходится, то, так как $S_(n - 1)$ - подпоследовательность $S_n$, то 

$
lim_(n arrow infinity) S_n = lim_(n arrow infinity) S_(n - 1) = S in RR. 
$

Но тогда 

$
a_n = S_n - S_(n - 1) arrow.double lim_(n arrow infinity) a_n = S - S = 0.
$

#line(length: 100%)

=== Пусть дан ряд с общим членом $a_k$. Тогда 

$
R_m = sum_(k = m + 1)^infinity a_k, space m in NN union {0}, 
$

называется $m$-ым остатком ряда. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о сходимости ряда в терминах остатков 
Для сходимости ряда с общим членом $a_k$ необходимо и достаточно, чтобы сходился любой его остаток $R_m$. В этом случае 

$
sum_(k = 1)^infinity a_k = sum_(k = 1)^m a_k + R_m = S_m + R_m. 
$

_Доказательство_. Ясно, что при $n gt m$ справедливо равенство 

$
sum_(k = 1)^n a_k = sum_(k = 1)^m a_k + sum_(k = m + 1)^n a_k. 
$

Так как первое слагаемое после знака равенства - число, не зависящее от $n$, то сходимость исходного ряда равносильна сходимости $R_m$. Заявленное равенство получается предельным переходом. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о стремлении остатка к нулю 

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы 

$
lim_(m arrow infinity) R_m = 0.
$

_Доказательство_. 1. Докажем необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда, по предыдущей лемме, 

$
S = sum_(k = 1)^infinity a_k = S_m + R_m. 
$

Так как $lim_(m arrow infinity) S_m = S$, то $lim_(m arrow infinity) R_m = 0$. 

2. Докажем доастаточность. Пусть $lim_(m arrow infinity) R_m = 0$. Тогда для всех номеров $m$ определен и конечен $R_m$, а значит, например, сходится $R_1$. Но тогда, по замечанию выше, сходится и ряд. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о линейности суммирования

Пусть сходится ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$. Тогда при любых $alpha, beta in RR$ сходится ряд с общим членом $alpha a_k + beta b_k$, причем 

$
sum_(k = 1)^infinity (alpha a_k + beta b_k) = alpha sum_(k = 1)^infinity a_k + beta sum_(k = 1)^infinity b_k. 
$

_Доказательство_. Обозначим 

$
S^A = sum_(k = 1)^infinity a_k, space S^A_n = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S^B_n = sum_(k = 1)^n b_k. 
$

Тогда 

$
S_n = sum_(k = 1)^n (alpha a_k + beta b_k) = alpha S_n^A + beta S^B_n arrow_(n arrow infinity) alpha S^A + beta S^B,
$

что и доказывает утверждение. 

#line(length: 100%)

=== Лемма о монотонности суммирования 

Пусть $a_k lt.eq b_k$ и ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$ имеют суммы в $overline(RR)$. Тогда 

$
sum_(k = 1)^infinity a_k lt.eq sum_(k = 1)^infinity b_k. 
$

_Доказательство_. Обозначим

$
S^A = sum_(k = 1)^infinity a_k, space S_n^A = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S^B_n = sum_(k = 1)^n b_k. 
$

Тогда, согласно условию, 

$
S_n^A lt.eq S_n^B arrow.double lim_(n arrow infinity) S_n^A lt.eq lim_(n arrow infinity) S_n^B arrow.double S^A lt.eq S^B. 
$

#line(length: 100%)

=== Критерий сходимости ряда с положительными членами 

Пусть $a_k gt.eq 0$. Тогда последовательность частичных сумм ряда 

$
S_n = sum_(k = 1)^n a_k 
$

возрастает и 

$
sum_(k = 1)^infinity a_k = sup_(n in NN) S_n.
$

Тем самым, сходимость ряда равносильна ограниченности последовательности его частичных сумм. 

_Доказательство_. Так как $a_k gt.eq 0$, точнее

$
S_(n + 1) = S_n + a_n gt.eq S_n. 
$

Тем самым, вопрос о наличии (и конечности) предела $S_n$ сводится к вопросу ограниченности $S_n$. 

#line(length: 100%)

=== Признаки сравнения 

Пусть $0 lt.eq a_k lt.eq b_k$. Тогда: 

1. Сходимость ряда с общим членом $b_k$ влечет сходимость ряда с общим членом $a_k$, то есть 

$
sum_(k = 1)^infinity b_k lt +infinity arrow.double sum_(k = 1)^infinity a_k lt +infinity. 
$

2. Расходимость ряда с общим членом $a_k$ влечет расходимость ряда с общим членом $b_k$, то есть 

$
sum_(k = 1)^infinity a_k = +infinity arrow.double sum_(k = 1)^infinity b_k = +infinity. 
$

3. Если $a_k tilde b_k$ при $k arrow +infinity$, то ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$ сходятся или расходятся одновременно. 

_Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Обозначим 

$
S_n^A = sum_(k = 1)^n a_k, space S^B = sum_(k = 1)^infinity b_k, space S_n^B = sum_(k = 1)^n b_k. 
$

Ясно, что в условиях теоремы

$
S_n^A lt.eq S_n^B lt.eq S^B lt +infinity. 
$

В силу ограниченности последовательности $S_n^A$, согласно предыдущей теореме заключаем, что $S_n^A$ имеет конечный предел. 

2. Докажем второй пункт. От противного, если сходится ряд с общим членом $b_k$, то, по только что доказанному, сходится и ряд с общим членом $a_k$. Это противоречит условию. 

3. Докажем третий пункт. Так как $a_k tilde b_k$, то $a_k = alpha_k b_k$, где $alpha_k arrow_(k arrow +infinity) 1.$ Тогда 

$
exists k_0 : forall k gt k_0 arrow.double frac(1, 2) b_k lt.eq a_k lt.eq frac(3, 2) b_k. 
$

Дальнейшие рассуждения аналогичным рассуждениям в соответствующей теореме про интегралы, и остаются в качестве упражнения.  

#line(length: 100%)

=== Радикальный признак Коши. 

Пусть $a_k gt 0$ и 

$
overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, a_k) = l in [0, +infinity].
$

Тогда:

1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 

2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 

_Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. В силу того, что верхний предел - это частичный предел, найдется подпоследовательность $a_k_n$ такая, что 

$
lim_(n arrow infinity) root(k_n, a_k_n) = l. 
$

Так как $l gt 1$, то, начиная с некоторого номера $n_0$, выполняется 

$
root(k_n, a_k_n) gt 1 arrow.double a_k_n gt 1. 
$

Отсюда следует, что $a_k_n$ не стремится к нулю, а значит не выполнено необходимое условие сходимости ряда, и ряд с общим членом $a_k$ расходится. 

2. Докажем второй пункт. Положим $epsilon = frac(1 - l, 2)$. По свойству верхнего предела, 

$
exists k_0 : forall k gt k_0 root(k, a_k) lt l + frac(1 - l, 2) = frac(l + 1, 2) lt 1. 
$

Действительно, иначе мы могли бы из последовательности $root(k, a_k)$ выделить подпоследовательность, все члены которой больше, чем $frac(l + 1, 2)$, а значит ее верхний предел был бы не меньше, чем $frac(l + 1, 2) gt l$, что противоречит условию. Из полученного неравенства приходим к тому, что при $k gt k_0$ выполняется 

$
a_k lt (frac(l + 1, 2))^k .
$

Так как ряд 

$
sum_(k = k_0 + 1)^infinity (frac(l + 1, 2))^k 
$

сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы, то по признаку сравнения сходится и ряд 

$
R_k_0 = sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k, 
$

а значит сходится и исходный ряд. 

#line(length: 100%)

=== Признак Даламбера 

Пусть $a_k gt 0$ и 

$
lim_(k arrow infinity) frac(a_(k + 1), a_k) = l in [0, +infinity]. 
$

Тогда: 

1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 

2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 

_Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Так как $l gt 1$, то при $k gt k_0$ оказывается справедливым неравенство 

$
frac(a_(k + 1), a_k) gt 1 arrow.double a_k gt.eq a_(k_0 + 1) gt 0, 
$

откуда следует, что $a_k$ не стремится к нулю. Это противоречит необходимому условию сходимости ряда. 

2. Докажем второй пункт. Положим $epsilon = frac(1 - l, 2)$. Согласно определению предела, найдется $k_0$, что при $k gt k_0$

$
frac(a_(k + 1), a_k) lt l + frac(1 - l, 2) = frac(l + 1, 2) lt 1, 
$

а значит 

$
a_(k + 1) lt (frac(l + 1, 2))a_k. 
$

По индукции, при $k gt k_0$ имеем

$
a_k lt.eq (frac(l + 1, 2))^(k - k_0 - 1) a_(k_0 + 1). 
$

Так как ряд 

$
a_(k_0 + 1) sum_(k = k_0 + 1)^infinity (frac(l + 1, 2))^(k - k_0 - 1)
$

сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы, то по признаку сравнения сходится и ряд 

$
R_k_0 = sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k, 
$

а значит сходится и исходный ряд. 

#line(length: 100%)

=== Признак Раабе. 

Пусть $a_k gt 0$ и 

$
lim_(k arrow infinity) k (frac(a_k, a_(k + 1)) - 1) = l in overline(RR).
$

Тогда: 

1. Если $l gt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 

2. Если $l lt 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 

#line(length: 100%)

=== Схема Куммера 

Пусть $a_k, b_k gt 0$, и ряд 

$
sum_(k = 1)^infinity frac(1, b_k)
$

расходится. Пусть, кроме того, 

$
lim_(k arrow infinity) (b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1)) = l in overline(RR). 
$

Тогда: 

1. Если $l gt 0$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится. 

2. Если $l lt 0$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится. 

_Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Так как $l gt 0$, то существует $k_0$, что при $k gt k_0$ выполнено 

$
b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1) gt frac(l, 2) gt 0 arrow.double a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1) gt frac(l, 2) a_(k + 1) gt 0. 
$

В частности, $a_k b_k gt a_(k + 1) b_(k + 1)$, а значит последовательность $a_k b_k$ убывает при $k gt k_0$. Кроме того, она ограничена снизу, например, нулем, а значит имеет предел, например, равный $A$. Но тогда

$
sum_(k = k_0 + 1)^infinity (a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1)) = lim_(k arrow infinity) sum_(k = k_0 + 1)^k (a_k b_k - a_(k + 1) b_(k + 1)) = 
$

$
= lim_(k arrow infinity) (a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) - a_(k + 1)b_(k + 1)) = a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) - A lt +infinity. 
$

Значит, сходится и $sum_(n = n_0 + 1)^infinity a_(n + 1)$, но тогда сходится и ряд с общим членом $a_n$. 

2. Докажем второй пункт. Пусть $l lt 0$. Тогда существует $k_0$, что при $k gt k_0$

$
b_k frac(a_k, a_(k + 1)) - b_(k + 1) lt 0 arrow.double b_k a_k - b_(k + 1) a_(k + 1) lt 0. 
$

Отсюда получаем, что $b_(k + 1) a_(k + 1) gt b_k a_k$ и последовательность $b_k a_k$ монотонно возрастает при $k gt k_0$. Значит, 

$
a_k b_k gt.eq a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1) arrow.double a_k gt.eq frac(a_(k_0 + 1) b_(k_0 + 1), b_k)
$

и ряд $sum_(k = k_0 + 1)^infinity a_k$ расходится согласно признакам сравнения. 

#line(length: 100%)

=== Теорема 

Пусть $a_k gt 0, a_k arrow_(k arrow infinity) 0$. 

1. Если ряд с общим членом $a_k$ расходится, то существует последовательность $b_k$, что $b_k arrow_(k arrow infinity) 0$ и что ряд с общим членом $a_k b_k$ расходится. 

2. Если ряд с общим членом $a_k$ сходится, то существует последовательность $b_k$, что $b_k arrow_(k arrow infinity) +infinity$ и что ряд с общим членом $a_k b_k$ сходится. 

_Доказательство_. 1. Докажем первый пункт. Положим 

$
b_k = frac(1, sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))), space S_k = sum_(i = 1)^k a_i, space S_0 = 0.
$

Тогда 

$
a_k b_k = frac(a_k, sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))) = frac(S_k - S_(k - 1), sqrt(S_k) + sqrt(S_(k - 1))) = sqrt(S_k) - sqrt(S_(k - 1)).  
$

Ясно, что ряд с таким общим членом расходится, так как 

$
sum_(k = 1)^n a_k b_k = sum_(k = 1)^n (sqrt(S_k) - sqrt(S_(k - 1))) = sqrt(S_n) arrow_(n arrow infinity) +infinity. 
$

2. Докажем второй пункт. Положим 

$
b_k = frac(1, sqrt(R_(k - 1))), space R_k = sum_(i = k + 1)^infinity a_i. 
$

Тогда 

$
a_k b_k = frac(a_k, sqrt(R_(k - 1))) = frac(R_(k - 1) - R_k, sqrt(R_(k - 1))) = frac((sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k))(sqrt(R_(k - 1)) + sqrt(R_k)), sqrt(R_(k - 1))) lt.eq 
$

$
lt.eq 2(sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k)). 
$

Понятно, что ряд с общим членом $(sqrt(R_(k - 1) - sqrt(R_k)))$ сходится, ведь 

$
sum_(k = 1)^n (sqrt(R_(k - 1)) - sqrt(R_k)) = sqrt(R_0) - sqrt(R_n) arrow_(n arrow infinity) sqrt(R_0), 
$

а значит, по признаку сравнения, сходится и требуемый ряд. 

#line(length: 100%)

=== Интегральный признак Коши 

Пусть $f in R_(l o c)[1, infinity)$ и монотонна на $[1, +infinity)$. Тогда ряд с общим членом $f(k)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл 

$
integral_1^infinity f space d x. 
$

_Доказательство_. Пусть, скажем, $f$ убывает. Тогда, если $f(x_0) lt 0$, в силу монотонности, неравенство $f(x) lt.eq f(x_0) lt 0$ выполняется при $x gt x_0$, а значит $f(k)$ не стремится к $0$ при $k arrow infinity$, то есть ряд с общим членом $f(k)$ расходится. Кроме того, 

$
integral_(x_0)^A f space d x lt.eq f(x_0)(A - x_0) arrow_(A arrow +infinity) -infinity, 
$

а значит расходится и интеграл. В итоге, $f(x) gt.eq 0$. 

В этом случае, вспоминая, что $f$ убывает, очевидно следующее неравенство: 

$
f(k + 1) lt.eq integral_k^(k + 1) f space d x lt.eq f(k), 
$

которое влечет неравенство 

$
sum_(k = 1)^n f(k + 1) lt.eq integral_1^(n + 1) f space d x lt.eq sum_(k = 1)^n f(k). 
$

Учитывая, что функция 

$
F(omega) = integral_1^omega f space d x 
$

возрастает, для существования предела $lim_(omega arrow +infinity) F(omega)$ достаточно (и, конечно же, необходимо) существование предела $lim_(n arrow infinity) F(n + 1)$. Тогда утверждение теоремы легко получить предельным переходом при $n arrow infinity$ и рассуждениями, аналогичными приводимым в доказательстве третьего пункта признаков сравнения. 

#line(length: 100%)

=== Лемма 

Пусть $f$ неотрицательна, убывает на $[1, +infinity)$ и $f in R_(l o c)[1, +infinity)$. Тогда последовательность 

$
A_n = sum_(k = 1)^n f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x 
$

имеет предел. 

_Доказательство_. Докажем, что $A_n$ возрастает. Действительно, 

$
A_(n + 1) - A_n = f(n + 1) - integral_(n + 1)^(n + 2) f space d x gt.eq 0. 
$

Покажем, что $A_n$ ограничена сверху. Для этого проведем следующее преобразование: 

$
A_n = f(1) - f(n + 1) + sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x. 
$

Так как 

$
sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) = sum_(k = 1)^n f(k + 1), 
$

то, согласно полученному в доказательстве интегрального признака Коши неравенству, 

$
sum_(k = 2)^(n + 1) f(k) - integral_1^(n + 1) f space d x lt.eq 0, 
$

откуда 

$
A_n lt.eq f(1) - f(n + 1) lt.eq f(1). 
$

Далее остается сослаться на теорему Вейерштрасса. 


#line(length: 100%)


=== Понятие абсолютной сходимости 

Говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, если сходится ряд с общим членом $|a_k|$. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда 

Если ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, то он сходится. 

_Доказательство_. Воспользуемся критерием Коши. Пусть $epsilon gt 0$, тогда 

$
exists n_0 : forall n gt n_0, forall p in NN sum_(k = n + 1)^(n + p) |a_k| lt epsilon. 
$

В то же время, 

$
|sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) |a_k| lt epsilon,
$

откуда, согласно тому же критерию Коши получаем, что ряд с общим членом $a_k$ сходится.

#line(length: 100%)

=== Понятие условной сходимости 

Если ряд с общим членом $a_k$ сходится, но абсолютной сходимости нет, то говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится условно (или неабсолютно).

#line(length: 100%)

=== Признак Лейбница 

Ряд 

$
sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) a_k, 
$

где $a_k gt.eq 0$ и $a_k$ монотонно стремится к нулю, сходится.

_Доказательство_. Рассмотрим подпоследовательность $S_(2n)$ последовательности частичных сумм данного ряда. Группируя, получим, что

$
S_(2n) = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + dots + a_(2n - 1) - a_(2n) = 
$

$
= (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + dots + (a_(2n - 1) - a_(2n)) gt.eq S_(2n - 2),
$

где неравенство верно ввиду неотрицательности скобок (в силу убывания $a_n$). Тем самым, последовательность $S_(2n)$ возрастает. Кроме того, 

$
S_(2n) = a_1 - (a_2 - a_3) - dots - (a_(2n - 2) - a_(2n - 1)) - a_(2n) lt.eq a_1, 
$

откуда $S_(2n)$ ограничена сверху. Значит, по теореме Вейерштрасса, последовательность $S_(2n)$ имеет предел, например $S$. Но тогда 

$
S_(2n - 1) = S_(2n) - a_(2n) arrow_(n arrow infinity) S, 
$

так как общий член стремится к нулю. Пусть теперь $epsilon gt 0$. Тогда, по доказанному, 

$
exists n_0 : forall n gt n_0 |S_(2n) - S| lt epsilon, 
$

$
exists n_1 : forall n gt n_1 |S_(2n - 1) - S| lt epsilon. 
$

Но тогда, если $k gt max(2 n_0, 2 n_1 - 1)$, то либо $k = 2n$ и $n gt n_0$, либо $k = 2n - 1$ и $n gt n_1$, а значит 

$
|S_k - S| lt epsilon, 
$

что доказывает сходимость рассматриваемого ряда.

#line(length: 100%)

=== Лемма об остатке ряда лейбницевского типа

Пусть рассматривается ряд 

$
sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) a_k,
$

где $a_k gt.eq 0$ и $a_k$ монотонно стремится к нулю. Тогда 

$
|R_n| lt.eq a_(n + 1), space R_n (-1)^n gt.eq 0.
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно заметить, что остаток ряда лейбницевского типа - с точностью до знака ряд лейбницевского типа и применять к нему сформулированное выше замечание. 

#line(length: 100%)

=== Понятие функциональной последовательности 

Последовательность $f_k : X arrow RR, space k in NN$, называется функциональной последовательностью. 

#line(length: 100%)

=== Понятие функционального ряда 

Пусть дана функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$. Символ 

$
sum_(k = 1)^infinity f_k = f_1 + f_2 + dots + f_k + dots 
$

называется функциональным рядом с общим членом $f_k$. 

#line(length: 100%)

=== Понятие поточечной сходимости функциональной последовательности 

Говорят, что функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$ сходится поточечно (или просто сходится) на множестве $D subset X$, если 

$
forall x in D space exists lim_(k arrow infinity) f_k (x) in RR. 
$

Множество $D$ при этом называется множеством (поточечной) сходимости функциональной последовательности $f_k$. 

#line(length: 100%)

=== Понятие частичной суммы функционального ряда 

$n$-ой частичной суммой функционального ряда с общим членом $f_k : X arrow RR$ называется величина 

$
S_n = sum_(k = 1)^n f_k 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие сходимости функционального ряда 

Говорят, что функциональный ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится поточечно (или просто сходится) на множестве $D subset X$, если 

$
forall x in D space sum_(k = 1)^infinity f_k (x) "сходится."
$

Множество $D$ при этом называется множеством (поточечной) сходимости функционального ряда с общим членом $f_k$. 

#line(length: 100%)

=== Понятие равномерной сходимости функциональной последовательности 

Говорят, что последовательность $f_k : X arrow RR$ сходится к функции $f$ на множестве $D subset X$ равномерно, если 

$
forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 forall x in D |f_k (x) - f(x)| lt epsilon. 
$

Обозначают это так: 

$
f_k arrow.double_(k arrow infinity)^D f. 
$

#line(length: 100%)

=== Понятие равномерно сходящегося ряда 

Говорят, что функциональный ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на множестве $D subset X$, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на $D$. 

#line(length: 100%)

=== Критерий Коши равномерной сходимости ф. п.

Для того чтобы функциональная последовательность $f_k : X arrow RR$ сходилась равномерно на $D subset X$ необходимо и достаточно, чтобы 

$
forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 space forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. 
$

_Доказательство_. Докажем необходимость. Пусть $epsilon gt 0$. В силу равномерной сходимости $f_k$ к некоторой функции $f$, 

$
exists k_0 in NN : forall k gt k_0 |f_k - f| lt frac(epsilon, 2). 
$

Пусть $p in NN$, тогда $k + p gt k_0$ и, по неравенству треугольника, 

$
|f_(k + p) - f_k| lt.eq |f_(k + p) - f| + |f - f_k| lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. 
$

Докажем достаточность. Условие 

$
forall epsilon gt 0 space exists k_0 in NN : forall k gt k_0 space forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon 
$

гарантирует, что при каждом $x in D$ числовая последовательность фундаментальна, значит сходится. Положим 

$
f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x), space x in D. 
$

Пусть $epsilon gt 0$. По условию найдем $k_0$, что при $k gt k_0$ и $p in NN$

$
forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. 
$

Переходя к пределу при $p arrow infinity$, получим 

$
forall x in D |f(x) - f_k (x)| lt.eq epsilon, 
$

откуда и следует требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Критерий Коши равномерной сходимости ряда

Ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на $D subset X$ тогда и только тогда, когда 

$
forall epsilon gt 0 space exists n_0 in NN : forall n gt n_0 space forall p in NN space forall x in D |sum_(k = n + 1)^(n + p) f_k (x)| lt epsilon. 
$

_Доказательство_. Доказательство следует из предыдущей теоремы, так как равномерная сходимость ряда - суть равномерная сходимость последовательности его частичных сумм. 

#line(length: 100%)

=== Необходимое условие равномерной сходимости ряда 

Если ряд с общим членом $f_k : X arrow RR$ сходится равномерно на $D subset X$, то 

$
f_k arrow.double_(k arrow infinity)^D 0. 
$

_Доказательство_. Доказательство получается сразу, если положить в критерии Коши $p = 1$. 

#line(length: 100%)

=== Признак Вейерштрасса

Пусть $f_k : X arrow RR, space D subset X$. Если существует последовательность $a_k$, что 

$
|f_k (x)| lt.eq a_k, space x in D, 
$

и ряд с общим членом $a_k$ сходится, то функциональный ряд с общим членом $f_k$ сходится равномерно (и абсолютно) на $D$. 

_Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Используя критерий Коши и учитывая неотрицательность $a_k$, имеем 

$
exists n_0 in NN: space forall n gt n_0, space forall p in NN space sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k lt epsilon. 
$

В то же время, 

$
|sum_(k = n + 1)^(n + p) f_k (x)| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) |f_k (x)| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k lt epsilon, 
$

что верно сразу для всех $x in D$. Значит, используя критерий Коши равномерной сходимости ряда, а также определение абсолютной сходимости, получаем требуемое. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о перестановке предельных переходов 

Пусть $f, f_k : D arrow RR$, причем:

1. Последовательность $f_k$ равномерно сходится на $D$ к функции $f$. 

2. Для каждого $k in NN$ существует предел 

$
lim_(x arrow x_0) f_k (x) = a_k in RR,
$

где $x_0$ - предельная для $D$. 

Тогда пределы 

$
lim_(k arrow infinity) a_k " и " lim_(x arrow x_0) f(x)
$

существуют (в $RR$) и совпадают, то есть 

$
lim_(x arrow x_0) lim_(k arrow infinity) f_k (x) = lim_(k arrow infinity) lim_(x arrow x_0) f_k (x). 
$

_Доказательство_. Пусть $epsilon gt 0$. Согласно критерию Коши, 

$
exists k_0 : forall k gt k_0 forall p in NN space forall x in D |f_(k + p)(x) - f_k (x)| lt epsilon. 
$

Перейдя к пределу при $x arrow x_0$, получим 

$
|a_(k + p) - a_k| lt.eq epsilon, 
$

что влечет фундаментальность и, как следствие, сходимость последовательности $a_k$.

Пусть $epsilon gt 0$, тогда, в силу равномерной сходимости на $D$, 

$
exists k_0 : forall k gt k_0 forall x in D |f_k (x) - f(x)| lt frac(epsilon, 3). 
$

В силу сходимости последовательности $a_k$ к числу $A$, 

$
exists k_1 : forall k gt k_1 |a_k - A| lt frac(epsilon, 3). 
$

Пусть $m = 1 + max(k_0, k_1)$, тогда одновременно, причем $forall x in D$, 

$
|a_m - A| lt epsilon " и " |f_m(x) - f(x)| lt frac(epsilon, 3). 
$

Согласно определению предела функции, 

$
exists accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) : forall x in accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) inter D |f_m (x) - a_m| lt frac(epsilon, 3). 
$

Значит, при $x in accent(U, circle.tiny)_delta (x_0) inter D$, имеем 

$
|f(x) - A| lt.eq |f(x) - f_m (x)| + |f_m (x) - a_m| + |a_m - A| lt epsilon, 
$

что и завершает доказательство. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о почленном переходе к пределу 

Пусть $f_k : D arrow RR$, причем: 

1. Ряд с общим членом $f_k$ равномерно сходится на $D$ к сумме $S$. 

2. Для каждого $k in NN$ существует предел 

$
lim_(x arrow x_0) f_k (x) = a_k in RR, 
$

где $x_0$ - предельная для $D$. 

Тогда ряд с общим членом $a_k$ сходится к сумме $A$, причем $lim_(x arrow x_0) S(x) = A$, то есть 

$
lim_(x arrow x_0) S(x) = lim_(x arrow x_0) sum_(k = 1)^infinity f_k (x) = sum_(k = 1)^infinity lim_(x arrow x_0) f_k (x). 
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно применять предыдущую теорему к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о непрерывности предельной функции 

Пусть $f, f_k : D arrow RR, space x_0 in D$, причем: 

1. Последовательность $f_k$ равномерно сходится на $D$ к функции $f$. 

2. Все члены последовательности $f_k$ непрерывны в $x_0$. 

Тогда $f$ непрерывна в $x_0$. В частности, если все члены последовательности $f_k$ непрерывны на $D$, то и $f$ непрерывна на $D$. 

_Доказательство_. Если $x_0$ - изолированная точка, то, так как любая функция непрерывна в изолированной точке своей области определения, утверждение доказано. Если $x_0$ - предельная, то выполнены условия теоремы о перестановке предельных переходов, где $a_k = f_k (x_0)$. Поэтому, 

$
lim_(x arrow x_0) f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x_0) = f(x_0), 
$

что и завершает доказательство. 

#line(length: 100%) 

=== Теорема о непрерывности суммы ряда

Пусть $f_k : D arrow RR, space x_0 in D$, причем:

1. Ряд с общим членом $f_k$ равномерно сходится на $D$ к сумме $S$. 

2. Все члены последовательности $f_k$ непрерывны в $x_0$. 

Тогда сумма ряда $S$ непрерывна в $x_0$. В частности, если все члены последовательности $f_k$ непрерывны на $D$, то и сумма ряда непрерывна на $D$. 

_Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. 

#line(length: 100%)

=== Интегрирование и предельный переход 

Пусть $f_k, f : [a, b] arrow RR, space f_k in C[a, b],$ и 

$
f_k arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) f.
$

Тогда $f in C[a, b]$ и 

$
integral_a^x f_k space d x arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) integral_a^x f space d x. 
$

_Доказательство_. То, что $f in C[a, b]$ следует из теоремы о непрерывности предельной функции. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть $epsilon gt 0$. Тогда, в силу равномерной сходимости, 

$
exists k_0 : forall k gt k_0 space forall x in [a, b] space |f(x) - f_k(x)| lt frac(epsilon, b - a)
$

Пусть $k gt k_0$, тогда 

$
|integral_a^x f_k space d x - integral_a^x f space d x| lt.eq integral_a^x |f_x - f| space d x lt.eq frac(epsilon, b - a) (x - a) lt.eq epsilon, 
$

причем последняя оценка справедлива при всех $x in [a, b]$. Это и доказывает равномерную сходимость. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о почленном интегрировании ряда. 

Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C[a, b]$. Если ряд с общим членом $f_k$ сходится равномерно к функции $S$ на $[a, b]$, то $S in C[a, b]$, причем 

$
integral_a^x (sum_(k = 1)^infinity f_k) space d x = sum_(k = 1)^infinity (integral_a^x f_k space d x) space x in [a, b].
$

_Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую теорему к частичным суммам рассматриваемого ряда. 

#line(length: 100%)

=== Дифференцирование и предельный переход 

Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C^1[a, b]$. Если 

1. Существует $x_0 in [a, b]$, что последовательность $f_k (x_0)$ сходится. 

2. Последовательность производных $f'_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к функции $g$. 

то 

$
f_k arrow.double_(k arrow infinity)^([a, b]) f,
$

причем $f' = g$ на $[a, b]$. В частности, $f in C^1[a, b]$.

_Доказательство_. Сперва заметим, что $g in C[a, b]$. По теореме об интегрировании и предельном переходе, 

$
lim_(k arrow infinity) integral_(x_0)^(x) f'_k space d x = integral_(x_0)^x g space d x, 
$

где последняя сходимость равномерна по $x in [a, b]$. В то же время, 

$
lim_(k arrow infinity) integral_(x_0)^x f'_k space d x = lim_(k arrow infinity) (f_k (x) - f_k (x_0)) = integral_(x_0)^x g space d x. 
$

Так как, согласно условию, существует предел 

$
C = lim_(k arrow infinity) f_k (x_0), 
$

то 

$
f(x) = lim_(k arrow infinity) f_k (x) = C + integral_(x_0)^x g space d x, 
$

где последняя сходимость, опять-таки, равномерна на $[a, b]$. Используя теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом, получим 

$
f'(x) = g(x), space x in [a, b],
$

что и завершает доказательство.

#line(length: 100%)

=== Теорема о почленном дифференцировании ряда 

Пусть $f_k : [a, b] arrow RR$, причем $f_k in C^1[a, b]$. Если 

1. Существует $x_0 in [a, b]$, что ряд с общим членом $f_k (x_0)$ сходится. 

2. Ряд с общим членом $f'_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к сумме $tilde(S)$, 

то ряд с общим членом $f_k$ сходится на $[a, b]$ равномерно к сумме $S$, причем $S' = tilde(S)$ на $[a, b]$. В частности, $S in C^1[a, b]$.

_Доказательство_. Для доказательства достаточно применить предыдущую к последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда. 

#line(length: 100%)

=== Понятие степенного ряда 

Степенным рядом называется функциональный ряд вида 

$
sum_(k = 0)^infinity a_k (x - x_0)^k, 
$

где $x_0 in RR$ и $a_k in RR$.

#line(length: 100%)

=== Первая теорема Абеля 

Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. 

1. Если существует $x_1$, что ряд 

$
sum_(k = 0)^infinity a_k x_1^k " сходится", 
$

то ряд с общим членом $a_k x^k$ сходится абсолютно при всех $x$ таких, что $|x| lt |x_1|$. 

2. Если существует $x_1$, что ряд 

$
sum_(k = 0)^infinity a_k x_1^k " расходится", 
$

то ряд с общим членом $a_k x^k$ расходится при всех $x$ таких, что $|x| gt |x_1|$.

_Доказательство_. Докажем первый пункт. Ясно, что имеет смысл рассматривать случай $x_1 eq.not 0$, ведь иначе множество $x$ таких, что $|x| lt |x_1|$, пусто. Пусть $x_1 lt.eq 0$ и $|x| lt |x_1|$, тогда 

$
|a_k x^k| = |a_k x_1^k| |frac(x, x_1)|^k .
$

Так как ряд с общим членом $a_k x_1^k$ сходится, то его общий член стремится к нулю, а значит ограничен. Тем самым, $|a_k x_1^k| lt.eq C$, а тогда 

$
|a_k x_1^k| |frac(x, x_1)|^k lt.eq C |frac(x, x_1)|^k .
$

Заметим, что 

$
0 lt.eq |frac(x, x_1)| lt 1, 
$

а значит ряд с общим членом 

$
C |frac(x, x_1)|^k 
$

сходится как геометрическая прогрессия. Отсюда, согласно признакам сравнения, сходится, причем абсолютно, исходный ряд. 

2. Докажем второй пункт. От противного. Если бы при $x$ таком, что $|x| gt |x_1|$, ряд сходился, то по только что доказанному, он бы сходился и при $x = x_1$, что противоречит условию. 

#line(length: 100%)

=== О виде множества сходимости степенного ряда 
Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. Тогда существует $R in [0, +infinity]$, что при $x in (-R, R)$ ряд сходится абсолютно, а при $x in (-infinity, -R); (R, +infinity)$ ряд расходится. 

#line(length: 100%)

=== Понятие радиуса сходимости степенного ряда 

Число $R$, существование которого доказано в предыдущем следствии, называется радиусом сходимости степенного ряда с общим членом $a_k x^k$, а множество $(-R, R)$ - интервалом сходимости соответствующего степенного ряда. 

#line(length: 100%)

=== Формула Коши-Адамара 

Пусть дан степенной ряд с общим членом $a_k x^k$. Тогда

$
R = frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)).
$

_Доказательство_. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Найдем 

$
l = overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k x^k|) = |x| overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|).
$

Если $l lt 1$, то ряд сходится, причем абсолютно. Если $l gt 1$, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Если договориться, что $frac(1, 0) = +infinity, space frac(1, (+infinity)) = 0$, то последнее равносильно неравенствам 

$
|x| lt frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)) " и " |x| gt frac(1, overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|)), 
$

соответственно, что и доказывает теорему. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о равномерной сходимости степенного ряда 

Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда для любого $r in (0, R)$ рассматриваемый ряд сходится равномерно на $[-r, r]$. 

_Доказательство_. Для общего члена ряда при $x in [-r, r]$ справедлива оценка 

$
|a_k x^k| lt.eq a_k r^k .
$

Но, так как $r in (0, R)$, то ряд с общим членом $a_k r^k$ сходится. Значит, утверждение теоремы следует из признака Вейерштрасса. 

#line(length: 100%)

=== Вторая теорема Абеля 

Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Если сходится ряд с общим членом $a_k R^k$, то исходный ряд сходится равномерно на $[0, R]$. 

_Доказательство_. Так как ряд с общим членом $a_k R^k$ сходится, то, согласно критерию Коши, по $epsilon gt 0$

$
exists n_0 : forall n gt n_0 space forall p in NN space |sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k R^k| lt epsilon. 
$

Пусть $n gt n_0, space m gt n$. Обозначим

$
A_m = sum_(k = n + 1)^m a_k R^k, space A_n = 0
$

и заметим, что 

$
|A_m| lt epsilon, space m in NN. 
$

Тогда 

$
sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k x^k = sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k R^k (frac(x, R))^k = sum_(k = n + 1)^(n + p)(A_k - A_(k - 1)) (frac(x, R))^k = 
$

$
= sum_(k = n + 1)^(n + p) A_k (frac(x, R))^k - sum_(k = n + 1)^(n + p) A_(k - 1) (frac(x, R))^k = sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) A_k ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + A_(n + p) (frac(x, R))^(n + p). 
$

Так как $x in [0, R]$, то 

$
(frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1) gt.eq 0, space (frac(x, R))^k lt.eq 1, space k in NN.
$

Тогда 

$
|sum_(k = n + 1)^(n + p) a_k x^k| lt.eq sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) |A_k| ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + |A_(n + p)|(frac(x, R))^(n + p) lt 
$

$
lt epsilon(sum_(k = n + 1)^(n + p - 1) ((frac(x, R))^k - (frac(x, R))^(k + 1)) + (frac(x, R))^(n + p)) = epsilon(frac(x, R))^(n + 1) lt.eq epsilon,
$

откуда, согласно критерию Коши равномерной сходимости и следует утверждение. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о непрерывности суммы степенного ряда 

Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда сумма ряда непрерывна на множестве сходимости $angle.l -R, R angle.r$. 

_Доказательство_. Пусть $x_0 in (-R, R)$ и 

$
delta = min(frac(R - x_0, 2), frac(x_0 + R, 2)). 
$

Тогда $[x_0 - delta, x_0 + delta] subset (-R, R)$ и, по теореме о равномерной сходимости степенного ряда, на отрезке $[x_0 - delta, x_0 + delta]$ ряд сходится равномерно. Так как члены рассматриваемого ряда непрерывны на этом отрезке, то по теореме о непрерывности суммы ряда, суммы рассматриваемого ряда тоже непрерывна на этом отрезке. В частности, она непрерывна при $x = x_0$. 

Допустим теперь, что $x_0 = R, space R in angle.l -R, R angle.r$. Тогда, согласно второй теореме Абеля, рассматриваемый ряд сходится равномерно на отрезке $[0, R]$. Аналогичные приведенным ранее рассуждения показывают, что сумма рассматриваемого ряда непрерывна при $x = R$. Аналогичным образом рассматривается случай $x_0 = -R, space -R in angle.l -R, R angle.r$. 

#line(length: 100%)

=== Теорема об интегрировании степенного ряда 

Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k$ и пусть $R$ - его радиус сходимости. Тогда сумма ряда интегрируема по любому отрезку $[a, b]$ внутри множества сходимости $angle.l -R, R angle.r$, причем 

$
integral_a^b sum_(k = 0)^infinity a_k x^k space d x = sum_(k = 0)^infinity a_k integral_a^b x^k space d x = sum_(k = 0)^infinity a_k frac(b^(k + 1) - a^(k + 1), k + 1).
$

_Доказательство_. Опираясь на теоремы и данная теорема - прямое следствие теоремы об интегрировании равномерно сходящегося ряда. 

#line(length: 100%)

=== Лемма

Радиусы сходимости рядов 

$
sum_(k = 1)^infinity k a_k x^(k - 1), space sum_(k = 1)^infinity a_k x^k, space sum_(k = 0)^infinity a_k frac(x^(k + 1), k + 1)
$

совпадают. 

_Доказательство_. Докажем, например, что радиусы сходимости первого и второго рядов совпадают. Так как $1 lt.eq root(k, k) arrow_(k arrow infinity) 1$, то по $epsilon gt 0$ найдется $k_0$, что $forall k gt k_0$ выполняется 

$
root(k, |a_k|) lt.eq root(k, k|a_k|) lt (1 + epsilon) root(k, |a_k|). 
$

Переходя к верхнему пределу, получим 

$
overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|) lt.eq overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, k |a_k|) lt.eq (1 + epsilon) overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|).
$

В силу произвольности $epsilon$, 

$
overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, |a_k|) = overline(lim_(k arrow infinity)) root(k, k|a_k|),
$

а значит, по теореме Коши-Адамара, радиусы сходимости одинаковы. Аналогично доказывается, что радиус сходимости третьего ряда такой же. 

#line(length: 100%)

=== Теорема о дифференцировании степенного ряда 

Пусть дан ряд с общим членом $a_k x^k, R$ - его радиус сходимости, $S$ - его сумма. Тогда $S in C^infinity(-R, R)$, причем 

$
S^(\(m\))(x) = sum_(k = m)^infinity k(k - 1)(k - 2) dots (k - m + 1)a_k x^(k - m), space m in NN. 
$

_Доказательство_. Как было доказано в предыдущей лемме, ряд, полученный формальным дифференцированием, то есть ряд 

$
sum_(k = 1)^infinity k a_k x^k 
$

имеет тот же радиус сходимости $R$, что и исходный. Пусть $x_0 in (-R, R)$. Тогда, выбрав 

$
delta = frac(1, 2) min(R - x_0, x_0 + R), 
$


получим, что 

$
[x_0 - delta, x_0 + delta] in (-R, R),
$

а значит ряд, полученный формальным дифференцированием, сходится на этом отрезке равномерно. Так как исходный ряд сходится (хотя бы в точке $x_0 in (-R, R)$), то по теореме о дифференцировании функционального ряда заключаем, что 

$
S'(x_0) = sum_(k = 1)^infinity k a_k x_0^k. 
$

Так как $x_0$ - произвольная точка из интервала сходимости, то доказано, что $S$ дифференцируема на $(-R, R)$ и 

$
S'(x) = sum_(k = 1)^infinity k a_k x^k .
$

Из теоремы о непрерывности суммы степенного ряда заключаем, что $S in C^1(-R, R)$. Дальнейшее доказательство проводится по индукции. 

#line(length: 100%)

=== Интегральная форма остаточного члена 

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема $(n + 1)$ раз на отрезке с концами $x_0$ и $x$. Тогда 

$
r_n(x, x_0) = frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t. 
$

_Доказательство_. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и проинтегрируем по частям. Тогда, 

$
f(x) - f(x_0) = integral_(x_0)^x f'(t) space d t = - integral_(x_0)^x f'(t)(x - t)' space d t = 
$

$
= f'(x_0)(x - x_0) + integral_(x_0)^x f''(t)(x - t) space d t = f'(x_0)(x - x_0) - frac(1, 2) integral_(x_0)^x f''(t) ((x - t)^2)' space d t.
$

Продолжая этот процесс, приходим к тому, что 

$
f(x) - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) + dots + frac(f^(\(n\))(x_0), n!)(x - x_0)^n + frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t. 
$

Теперь, используя первую теорему о среднем, мы без труда получим остаток в форме Лагранжа: 

$
r_n(x, x_0) = frac(1, n!) integral_(x_0)^x f^(\(n + 1\))(t)(x - t)^n space d t = frac(f^(\(n + 1\))(xi), (n + 1)!)(x - x_0)^(n + 1), 
$

где $xi$ лежит между $x$ и $x_0$. 

#line(length: 100%)

=== Понятие ряда Тейлора 

Пусть функция $f$ бесконечное число раз дифференцируема в точке $x_0$. Тогда ряд 

$
sum_(k = 0)^infinity frac(f^(\(k\))(x_0), k!)(x - x_0)^k
$

называется рядом Тейлора, порожденным в точке $x_0$ функцией $f$. В случае $x_0 = 0$ ряд Тейлора часто называется рядом Маклорена.

#line(length: 100%)

=== Критерий представимости функции своим рядом Тейлора 

Для того чтобы ряд Тейлора, построенный по функции $f$, сходился к этой функции в точке $x$ необходимо и достаточно, чтобы 

$
r_n(x, x_0) arrow_(n arrow infinity) 0. 
$

_Доказательство_. Доказательство немедленно следует из представления 

$
f(x) = P_n(x, x_0) + r_n(x, x_0). 
$

#line(length: 100%)

=== Достаточное условие представимости функции своим рядом Тейлора 

Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на отрезке $I$ с концами $x_0$ и $x$. Если на этом отрезке производные функции $f$ равномерно ограничены, то есть 

$
|f^(\(n\))(t)| lt.eq M, space n in NN union {0}, space t in I, 
$

то 

$
r_n(x, x_0) arrow_(n arrow infinity) 0,
$

то есть ряд Тейлора, построенный по функции $f$, сходится к этой функции в точке $x$. 

_Доказательство_. Рассмотрим остаток в форме Лагранжа. Согласно условию, 


$
|r_n(x, x_0)| = |frac(f^(\(n + 1\))(xi), (n + 1)!)(x - x_0)^(n + 1)| lt.eq M frac(|x - x_0|^(n + 1), (n + 1)!) arrow_(n arrow infinity) 0, 
$

где последнее утверждение верно в силу леммы. Последнее утверждение теоремы следует из (предыдущей) теоремы. 

#line(length: 100%)

=== Теорема единственности 

Пусть при $|x - x_0| lt R$ справедливо равенство 

$
f(x) = sum_(k = 0)^infinity a_k(x - x_0)^k. 
$

Тогда 

$
a_k = frac(f^(\(k\)) (x_0), k!), space k in NN union {0}.
$

_Доказательство_. Согласно теореме о дифференцировании суммы степенного ряда, 

$
f^(\(m\))(x) = sum_(k = m)^infinity k(k - 1) dots (k - m + 1)a_k(x - x_0)^(k - m). 
$

Подставив $x = x_0$, получаем, что

$
f^(\(m\))(x_0) = m dot (m - 1) dot dots dot 1 dot a_m, 
$

откуда 

$
a_m = frac(f^(\(m\))(x_0), m!). 
$

#line(length: 100%)

=== Ряд Маклорена для показательной функции 

$
e^x = sum_(k = 0)^infinity frac(x^k, k!), space x in RR, 
$

$
a^x = sum_(k = 0)^infinity frac(ln^k a, k!) x^k, space x in RR. 
$

_Доказательство_. Докажем, например, первое соотношение. Пусть $f(x) = e^x$. Так как $f^(\(n\))(x) = e^x$, то на отрезке с концами $0$ и $x$ выполняется неравенство 

$
|f^(\(n\))(t)| lt.eq e^(|x|), 
$

а значит утверждение следует из теоремы. 

Для доказательства второго соотношения заметим, что 

$
a^x = e^(x ln a).
$

Так как $x ln a in RR$, то утверждение следует из доказанного для экспоненты. 

=== Ряд Маклорена для синуса и косинуса 

$
sin x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), (2k - 1)!) space x in RR, 
$

$
cos x = sum_(k = 0)^infinity (-1)^k frac(x^(2k), (2k)!), space x in RR. 
$

_Доказательство_. Докажем, например, первое соотношение. Пусть $f(x) = sin(x)$. Так как 

$
f^(\(n\))(x) = sin(x + frac(pi n, 2)), 
$

то на отрезке с концами $0$ и $x$ выполняется неравенство 

$
|f^(\(n\))(t)| lt.eq 1, 
$

а значит утверждение следует из теоремы. Второе соотношение доказывается аналогичным образом. 


#line(length: 100%)

=== Ряд Маклорена для логарифма 

$
ln(1 + x) = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^k, k), space x in (-1, 1].
$

_Доказательство_. Пусть $f(x) = ln(1 + x)$. Так как 

$
f^(\(n\))(x) = (-1)^(n - 1) frac((n - 1)!, (x + 1)^n), 
$

то ограниченности, и тем более равномерной ограниченности $f^(\(n\))(x)$ на множестве $(-1, 1]$ нет. Воспользуемся остатком в форме Коши, получим 

$
|r_n(x, 0)| = |frac((x - xi)^n, (1 + xi)^(n + 1))||x| = frac(|x|, 1 + xi) |frac(x - xi, 1 + xi)|^n. 
$

Так как при $x in (-1, 1)$

$
|frac(x - xi, 1 + xi)| = frac(|x| - |xi|, 1 + xi) lt.eq frac(|x| - |xi|, 1 - |xi|) = 1 + frac(|x| - 1, 1 - |xi|) lt.eq 1 + |x| - 1 = |x|,
$

то мы приходим к тому, что 

$
|r_n(x, 0)| lt.eq frac(|x|^(n + 1), 1 + xi) lt.eq frac(|x|^(n + 1), 1 - |x|) arrow_(n arrow infinity)^((-1, 1)) 0. 
$

Наконец, так как при $x = 1$ по признаку Лейбница заявленный ряд сходится, то его сумма непрерывна не только на $(-1, 1)$, но и на $(-1, 1]$, а значит заявленное разложение справедливо и при $x = 1$. 

#line(length: 100%)

=== Ряд Маклорена для арктангенса 

$
arctan x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), 2k - 1), space x in [-1, 1].
$

_Доказательство_. В верном равенстве 

$
frac(1, 1 - x) = sum_(k = 0)^infinity x^k, space x in (-1, 1) 
$

заменим $x$ на $-x^2$, получим 

$
frac(1, 1 + x^2) = sum_(k = 0)^infinity (-1)^k x^(2k), space x in (-1, 1).
$

Теперь, интегрируя написанный ряд по отрезку с концами $0$ и $x$ при $x in (-1, 1)$ приходим к тому, что 

$
arctan x = sum_(k = 1)^infinity (-1)^(k - 1) frac(x^(2k - 1), 2k - 1), space x in (-1, 1).
$

По признаку Лейбница, ряд, написанный справа, сходится при $x = plus.minus 1$, а значит, его сумма непрерывна не только на $(-1, 1)$, но и на $[-1, 1]$. Тем самым, заявленное разложение справедливо и при $x = plus.minus 1$.

#line(length: 100%)

=== Ряд Маклорена для бинома 

$
(1 + x)^alpha = 1 + sum_(k = 1)^infinity frac(alpha(alpha - 1)dots(alpha - k + 1), k!) x^k, space x in (-1, 1), space alpha in RR.
$

_Доказательство_. Пусть $f(x) = (1 + x)^alpha$. Так как 

$
f^(\(n\))(x) = alpha(alpha - 1)dots(alpha - n + 1)(1 + x)^(alpha - n), 
$

то при $alpha - n lt 0$ ограниченности, и тем более равномерной ограниченности $f(\(n\))(x)$ на множестве $(-1, 1)$ нет. Воспользуемся остатком в форме Коши, получим 

$
|r_n (x, 0)| = frac(|alpha(alpha - 1)dots(alpha - n)|, n!)(1 + xi)^(alpha - 1)|x| |frac(x - xi, 1 + xi)|^n. 
$

Тогда, при $x in (-1, 1)$, так как $(1 + xi) lt 2$, аналогично доказанному при рассмотрении логарифма,

$
|r_n(x, 0)| lt.eq 2^(alpha - 1) |x|^(n + 1) |alpha(frac(alpha, 1) - 1)(frac(alpha, 2) - 1)dots(frac(alpha, n) - 1)|.
$

Так как при достаточно больших $n$ (момент зависит от $alpha$ и $x$) при увеличении $n$ на единицу правая часть полученного неравенства умножается на 

$
|frac(alpha, n + 1) - 1| |x| lt q lt 1, 
$

то $r_n(x, 0)$ с ростом $n$ стремится к нулю, что и доказывает утверждение. 

#line(length: 100%)

=== Ряд Маклорена для арксинуса 

$
arcsin x = x + sum_(k = 1)^infinity frac((2k - 1)!!, (2k)!!) frac(x^(2k + 1), 2k + 1), space x in [-1, 1].
$

_Доказательство_. Доказательство можно провести с использованием разложения бинома для функции $(1 - x^2)^frac(-1, 2)$ и последующим интегрированием полученного равенства. Остальные детали остаются читателю в качестве упражнения. 

#line(length: 100%)

=== Понятие тригонометрического ряда

Ряд 

$
frac(a_0, 2) + sum_(k = 1)^infinity a_k cos k x + b_k sin k x 
$

называется тригонометрическим рядом, постренным по функциям 

$
{1, cos k x, sin k x, space k in NN}.
$


#line(length: 100%) 

=== Лемма об ортогональности системы тригонометрических функций

Пусть $k, m in NN$. Тогда справедливы следующие соотношения: 

$
integral_(-pi)^pi sin k x cos m x space d x = integral_(-pi)^pi 1 dot cos k x space d x = integral_(-pi)^pi 1 dot sin k x space d x = 0,
$

$
integral_(-pi)^pi sin k x sin m x space d x = integral_(-pi)^pi cos k x cos m x space d x = 0, space k eq.not m, 
$

$
integral_(-pi)^pi sin^2 k x space d x = integral_(-pi)^pi cos^2 k x space d x = pi, space integral_(-pi)^pi 1^2 space d x = 2pi. 
$

_Доказательство_. Доказательство проводится прямым вычислением и остается в качестве упражнения. 

#line(length: 100%)

=== Понятие тригонометрического ряда Фурье 

Если для функции $f$ существуют числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$, введенные выше, то ряд 

$
frac(a_0(f), 2) + sum_(k = 1)^infinity a_k(f) cos k x + b_k(f) sin k x  
$

называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$, а числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$ - коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функции 

$
{1, cos k x, sin k x, space k in NN}.
$

#line(length: 100%)

=== Ряд Фурье в комплексной форме

Если для функции $f$ существуют числа $c_k(f)$, введенные выше, то ряд 

$
sum_(k = -infinity)^infinity c_k(f) e^(i k x)
$

называется рядом Фурье в комплексной форме функции $f$, а числа $c_k(f)$ - коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функций 

$
{e^(i k x), space k in ZZ}.
$

#line(length: 100%)

=== Ядро Дирихле 

Функция $D_n(p)$ называется ядром Дирихле.

#line(length: 100%)

=== Свойства ядра Дирихле

Ядро Дирихле обладает следующими свойствами: 

1. $D_n(p)$ - $2pi$ периодическая функция.
2. $D_n(p)$ - четная функция. 
3. Выполнено условие нормировки: 

$
frac(1, 2pi) integral_(-pi)^pi D_n space d p = 1. 
$

_Доказательство_. Все эти свойства моментально следуют из исходного представления ядра Дирихле: 

$
D_n(p) = sum_(k = -n)^n e^(i k p).
$

Детали остаются в качестве упражнения. 

#line(length: 100%)

=== Лемма Римана 

Пусть $f in R_(l o c)(a, b)$ и 

$
integral_a^b |f| space d x lt +infinity.
$

Тогда 

$
integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x arrow_(|lambda| arrow +infinity) 0, space lambda in RR. 
$

_Доказательство_. Для начала заметим, что если $f(x) = c$ - некоторая константа и $(a, b)$ - ограниченный промежуток, то 

$
integral_a^b c e^(i lambda x) space d x = c (integral_a^b cos lambda x space d x + i integral_a^b sin lambda x space d x) = 
$

$
= c(frac(sin lambda b - sin lambda a, lambda) - i frac(cos lambda b - cos lambda a, lambda)) arrow_(|lambda| arrow +infinity) 0, 
$

и утверждение теоремы выполнено. Сведем общий случай к данному. 

Для начала покажем, что $forall epsilon gt 0$ найдется отрезок $[delta_1, delta_2] subset [a, b]$, что 

$
|integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x| lt epsilon space forall lambda in RR. 
$

Согласно условию (об абсолютной сходимости интеграла), можно найти числа $delta_1$ и $delta_2$, что $delta_1 lt delta_2$ и  

$
integral_a^(delta_1) |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2), space integral_(delta_2)^b |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2), 
$

Далее, для найденных $delta_1$ и $delta_2$, 

$
|integral_a^b f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x| = |integral_a^(delta_1) f(x) e^(i lambda x) space d x + integral_(delta_2)^b f(x) e^(i lambda x) space d x| lt.eq 
$

$
lt.eq integral_a^(delta_1) |f(x)||e^(i lambda x)| space d x + integral_(delta_2)^b |f(x)||e^(i lambda x)| space d x = integral_a^(delta_1) |f(x)| space d x + integral_(delta_2)^b |f(x)| space d x lt frac(epsilon, 2) + frac(epsilon, 2) = epsilon. 
$

Так как $f in R[delta_1, delta_2]$, то существует разбиение $tau$ отрезка $[delta_1, delta_2]$ на отрезки $Delta_i, space i in {1, space, n}$, что 

$
0 lt.eq integral_(delta_1)^(delta_2) f space d x - sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i lt epsilon,
$

где 

$
s_tau(f) = sum_(i = 1)^n m_i Delta x_i 
$

\- нижняя сумма Дарбу. Пусть $g(x) = m_i$ при $x in Delta_i$ (на общих концах отрезков значения $g$ можно брать любыми), тогда 

$
0 lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x| = |integral_(delta_1)^(delta_2) (f(x) - g(x)) e^(i lambda x) space d x| lt.eq 
$

$
lt.eq integral_(delta_1)^(delta_2) |f(x) - g(x)||e^(i lambda x)| space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) (f - g) space d x, 
$

так как $f(x) gt.eq g(x)$. Последний интеграл, в свою очередь, может быть переписан так: 

$
integral_(delta_1)^(delta_2) (f(x) - g(x)) space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) space d x = integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) space d x - s_tau(f) lt epsilon. 
$

Итого, 

$
0 lt.eq |integral_(delta_1)^(delta_2) f(x) e^(i lambda x) space d x - integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x| lt epsilon. 
$

Осталось заметить, что

$
lim_(|lambda| arrow +infinity) integral_(delta_1)^(delta_2) g(x) e^(i lambda x) space d x = lim_(|lambda| arrow +infinity) sum_(i = 1)^n integral_(x_(i - 1))^(x_i) m_i e^(i lambda x) space d x = 0, 
$

где последнее равенство верно в силу того, что слагаемых конечное число, и каждое слагаемое стремится к нулю по доказанному в самом начале. В силу произвольности $epsilon$, лемма Римана полностью доказана. 

#line(length: 100%)

=== Лемма 

Пусть функция $f$ является $2pi$-периодической на $RR$. Тогда 

$
T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t. 
$


_Доказательство_. Вспомним, что

$
T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_(-pi)^pi f(t) D_n(x - t) space d t. 
$

Сделаем замену переменной $p = x - t$ и учтем, что, согласно условию и свойствам ядра Дирихле, подытнегральная функция является $2pi$-периодической. Тогда 

$
T_n(x) = frac(1, 2n) integral_(x - pi)^(x + pi) f(x - p) D_n(p) space d p = frac(1, 2 pi) integral_(-pi)^pi f(x - p) D_n(p) space d p. 
$

Так как ядро Дирихле является четным, то 

$
T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - p) + f(x + p)) D_n(p) space d p, 
$

что и доказывает лемму. 

#line(length: 100%)

=== Условия Дини 

Говорят, что функция $f : accent(U, circle.tiny) (x) arrow RR$ удовлетворяет в точке $x in RR$ условиям Дини, если: 

1. Существуют односторонние пределы $f(x plus.minus 0)$ функции $f$ в точке $x$. 

2. Интегралы 

$
integral_0^delta |frac(f(x - t) - f(x - 0), t)|space d t, "и" integral_0^delta |frac(f(x + t) - f(x + 0), t)| space d t 
$

сходятся при некотором $delta gt 0$. 

#line(length: 100%)

=== Достаточное условие сходимости ряда Фурье 

Пусть $f - 2pi$-периодическая на $RR$ функция, причем $|f| in R[-pi, pi]$. Если функция $f$ удовлетворяет в точке $x in RR$ условиям Дини, то 

$
sum_(k = -infinity)^infinity c_k(f) e^(i k x) = frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2). 
$

_Доказательство_. Так как 

$
T_n(x) = frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t, 
$

и так как 

$
integral_0^pi D_n(t) space d t = pi, 
$

то 

$
T_n(x) - frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2) = 
$

$
= frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x - t) + f(x + t)) D_n(t) space d t - frac(1, 2pi) integral_0^pi (f(x + 0) + f(x - 0)) D_n(t) space d t = 
$

$
= frac(1, 2pi) integral_0^pi frac(f(x - t) - f(x - 0) + f(x + t) - f(x + 0), sin(frac(t, 2))) sin(n + frac(1, 2)) t space d t. 
$

Так как $sin(frac(t, 2)) tilde frac(t, 2)$ при $t arrow 0+$, то, согласно условиям Дини, интегралы 

$
integral_0^pi |frac(f(x - t) - f(x - 0), sin(frac(t, 2)))| space d t " и " integral_0^pi |frac(f(x + t) - f(x + 0), sin(frac(t, 2)))| space d t
$

сходятся, а значит мы попадаем в условия леммы Римана. Тем самым, 

$
lim_(n arrow infinity) T_n(x) = frac(f(x + 0) + f(x - 0), 2).
$

#line(length: 100%)

=== Понятие кусочно-непрерывно дифференцируемой функции 

Функцию $f$, имеющую на отрезке $[a, b]$ кусочно-непрерывную производную, назовем кусочно-непрерывно дифференцируемой. 

Кусочно-непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяет условиям Дини. 

#line(length: 100%)