1589 lines
73 KiB
XML
1589 lines
73 KiB
XML
= Механика. Практика.
|
||
|
||
=== Практика 1.
|
||
|
||
#image("assets/1.png")
|
||
|
||
*Перемещением материальной точки* за интервал времени от $t = t_1$ до $t = t_2$ называется вектор, проведенный из ее положения в момент времени $t_1$ в ее положение в момент времени $t_2$.
|
||
|
||
*Траекторией материальной точки* называется линия, которую она описывает при своем движении.
|
||
|
||
*Длиной пути $S$* называется сумма длин всех участков траектории, пройденных материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени.
|
||
|
||
#image("assets/2.png")
|
||
#image("assets/3.png")
|
||
|
||
Вектор скорости точки в каждый момент времени направлен по касательной к ее пространственной траектории. Для получения траектории в пространстве скоростей необходимо все векторы скорости, относящиеся к выбранному моменту времени, отложить от одной точки-начала отсчета в пространстве скоростей.
|
||
|
||
Конец, изменяющегося во времени вектора скорости, вычерчивает некоторую кривую в пространстве скоростей, называющуюся годографом вектора скорости. (Гамильтон 1846г.) Вектор мгновенного ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.
|
||
|
||
*Равномерное прямолинейное движение. Закон сложения скоростей.*
|
||
|
||
Переправа через реку
|
||
|
||
Река имеет скорость течения $accent(U, arrow)$ относительно берега в каждой точке, независимо от расстояния до берега.
|
||
|
||
$accent(v, arrow)$ - собственная скорость лодки (скорость лодки относительно воды)
|
||
|
||
$accent(v, arrow)_Sigma$ - скорость лодки относительно берега.
|
||
|
||
#image("assets/4.png")
|
||
#image("assets/5.png")
|
||
#image("assets/6.png")
|
||
#image("assets/7.png")
|
||
#image("assets/8.png")
|
||
#image("assets/9.png")
|
||
|
||
По теореме синусов.
|
||
|
||
$
|
||
frac(v, sin alpha) = frac(U, sin beta) space.quad space.quad sin alpha = frac(v, U) sin beta
|
||
$
|
||
|
||
Максимальное значение $alpha$ достигается при
|
||
|
||
$
|
||
sin beta = 1 space.quad space.quad beta = 90 degree
|
||
$
|
||
|
||
Для достижения минимального сноса скорость лодки относительно берега $accent(v, arrow)_Sigma$ должна быть перпендикулярна её борту.
|
||
|
||
*Решение задач в движущейся системе отсчета.*
|
||
|
||
*Пример.* Лодочник плывет вверх по реке. Проезжая под мостом, он роняет в воду багор. Через $0.5$ часа он замечает это, возвращается и нагоняет багор на расстоянии $1$ км от ниже по течению от моста.
|
||
|
||
Определите скорость течения реки.
|
||
|
||
*Решение*. Система отсчета - багор. Лодка плывет от начала отсчета до поворота и обратно в начало отсчета с собственной скоростью, следовательно, на обратную дорогу лодочник тратит тоже $0.5$ часа. Система отсчета - берег. Течение несет багор. Он плывет $1$ час и проплывает $1$ км относительно берега. Скорость течения реки - $1$ км/ч.
|
||
|
||
*Задача*.
|
||
|
||
Плывущий против течения теплоход, встречает сплавляемые по реке плоты. Через $45$ мин после этого он причаливает к берегу, стоянка длится $45$ мин. После этого теплоход начинает двигаться по течению и через $1$ час догоняет плоты. Собственная скорость теплохода равна $20$ км/ч. Вычислите скорость течения реки. (в м/с)
|
||
|
||
|
||
*Графическое решение задач.*
|
||
|
||
*Пример.* Завод, на котором работает инженер, находится за городом. Каждый раз к приходу поезда на станцию приезжает заводская машина, которая доставляет инженера на место работы. Однажды инженер приехал на станцию на $1$ час раньше и, не дожидаясь машины, пошел пешком. По дороге он встретил машину и приехал на завод на $10$ мин раньше обычного. Сколько времени шел инженер до встречи с машиной? Во сколько раз скорость машины больше скорости пешехода?
|
||
|
||
#image("assets/10.png")
|
||
|
||
*Пример.* Трое туристов, обладающих одним двухместным велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода равна $4$ км/час, а велосипедиста - $20$ км/ч. Постройте график движения туристов.
|
||
|
||
*Пример.* Двое туристов, обладающих одним одноместным велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Велосипед можно оставлять на трассе. Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода равна $4$ км/час, а велосипедиста - $20$ км/ч. Постройте график движения туристов.
|
||
|
||
Мы будем использовать три способа описания движения - векторный, координатный и траекторный.
|
||
|
||
*Радиус-вектор точки* - вектор, проведенный из начала координат в данную точку.
|
||
|
||
#image("assets/11.png")
|
||
#image("assets/12.png")
|
||
#image("assets/13.png")
|
||
|
||
*Среднее ускорение материальной точки в интервале времени от $t_1$ до $t_2$*:
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow)_"ср" = frac(accent(v, arrow)(t_2) - accent(v, arrow)(t_1), t_2 - t_1) = frac(Delta accent(v, arrow), Delta t)
|
||
$
|
||
|
||
*Мгновенное ускорение:*
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(a, arrow) = lim_(Delta t arrow 0) frac(Delta accent(v, arrow), Delta t) = frac(d accent(v, arrow), d t) = frac(d^2 accent(r, arrow), d t^2)$]]
|
||
|
||
Скорость материальной точки в момент времени $t$:
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) (t) space d t$]]
|
||
|
||
где $accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
Радиус-вектор материальной точки в момент времени $t$:
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) (t) space d t$]]
|
||
|
||
где $accent(r, arrow)_0$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
*Движение с постоянным ускорением*
|
||
|
||
Зависимости скорости материальной точки от времени:
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = "const"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t
|
||
$
|
||
|
||
$accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
*Зависимость радиуса-вектора материальной точки от времени:*
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = "const" space.quad accent(v, arrow) (t) = accent(v_0, arrow) + accent(a, arrow) dot t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$accent(r, arrow)_0$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$
|
||
|
||
Перемещение материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$:
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = "const" space.quad accent(v, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta accent(r, arrow) (t) = integral_0^t accent(v, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta accent(r, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример.* Камень брошен под углом к горизонту со скоростью $v_0$. Он упал на землю спустя $t_n$ секунд. Найдите горизонтальную дальность полета камня.
|
||
|
||
*Решение.* Построим векторные диаграммы для произвольного момента времени $t_1$ и для времени полета $t_n$. Видно, что задачу можно решать геометрически. По теореме Пифагора:
|
||
|
||
#image("assets/14.png")
|
||
|
||
*Пример*. Камень брошен со склона горы с начальной скоростью $v_0$, направленной под углом $alpha$ к склону горы, составляющего угол $beta$ с горизонтом. На каком расстоянии от точки бросания $l$ упадет камень?
|
||
|
||
#image("assets/15.png")
|
||
|
||
*Выразим высоту в треугольнике через модуль каждого из векторов по очереди.*
|
||
|
||
$
|
||
v_0 t sin alpha = frac(g t^2, 2) cos beta
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
t = frac(2 v_0^2 sin alpha, g cos beta) (cos alpha + frac(sin alpha sin beta, cos beta)) =
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(2 v_0^2 sin alpha, g cos^2 beta) cos(alpha - beta)
|
||
$
|
||
|
||
Решите эту задачу координатным способом,
|
||
|
||
А) ось $0x$ - горизонтальна
|
||
Б) ось $0x$ направлена вдоль наклонной плоскости
|
||
|
||
На следующем слайде - подсказка.
|
||
|
||
#image("assets/16.png")
|
||
#image("assets/17.png")
|
||
|
||
*II Вектор скорости материальной точки.* Проекции вектора скорости на оси координат.
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v_x = frac(d x, d t); space.quad v_y = frac(d y, d t); space.quad v_z = frac(d z, d t)$]]
|
||
|
||
Модуль вектора скорости: #rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$|accent(v, arrow)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$]
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор скорости составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$cos alpha = frac(v_x, |accent(v, arrow)|); space.quad cos beta = frac(v_y, |accent(v, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(v_z, |accent(v, arrow)|)$]]
|
||
|
||
|
||
*III. Ускорение материальной точки.*
|
||
|
||
Проекции вектора ускорения на оси координат:
|
||
|
||
$
|
||
a_x = frac(d v_x, d t) = frac(d^2 x, d t^2); space.quad a_y = frac(d v_y, d t) = frac(d^2 y, d t^2); space.quad a_z = frac(d v_z, d t) = frac(d^2 z, d t^2)
|
||
$
|
||
|
||
Модуль вектора ускорения: $|accent(a, arrow)| = sqrt(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)$
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор ускорения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(a_x, |accent(a, arrow)|); space.quad cos beta = frac(a_y, |accent(a, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(a_z, |accent(a, arrow)|)
|
||
$
|
||
|
||
*IV. Перемещение материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$*
|
||
|
||
Проекции вектора перемещения на оси координат:
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_x = x_2 - x_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_y = y_2 - y_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_z = z_2 - z_1
|
||
$
|
||
|
||
Модуль вектора перемещения:
|
||
|
||
$
|
||
|accent(S, arrow)| = sqrt(S_x^2 + S_y^2 + S_z^2)
|
||
$
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор перемещения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(S_x, |accent(S, arrow)|); space.quad cos beta = frac(S_y, |accent(S, arrow)|); space.quad cos gamma = frac(S_z, |accent(S, arrow)|);
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/18.png")
|
||
#image("assets/19.png")
|
||
|
||
3). Проекцию перемещения материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$:
|
||
|
||
$
|
||
(Delta accent(r, arrow))_x = 2 - 0.5 = 1.5 "м"
|
||
$
|
||
|
||
*Пример.* Материальная точка покоится в начале координат. В момент времени $t = 0$ она начинает движение вдоль оси $0x$. На рисунке показан график зависимости проекции её ускорения на ось $0x$ от времени. Определите:
|
||
|
||
+ В какие моменты времени модуль скорости точки возрастает
|
||
|
||
+ В какой момент времени направление движения точки изменяется на противоположное
|
||
|
||
+ Максимальное значение модуля скорости точки
|
||
|
||
+ На какое максимальное расстояние точка удалилась от начала координат
|
||
|
||
#image("assets/20.png")
|
||
#image("assets/21.png")
|
||
|
||
Проекция на ось $0x$ перемещения материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$:
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$(Delta accent(r, arrow))_x = Delta x = frac(v_x^2 - v_(0x)^2, 2a_x)$]]
|
||
|
||
*Средняя скорость прохождения отрезка пути.*
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v_"ср" = S/(Delta t)$]]
|
||
|
||
Средней путевой скоростью движения точки называется скалярная величина равная отношению пути, пройденного точкой за интервал времени $Delta t$, к его продолжительности.
|
||
|
||
#image("assets/22.png")
|
||
#image("assets/23.png")
|
||
|
||
*Пример.*
|
||
|
||
Материальная точка движется вдоль оси $0x$.
|
||
|
||
1. Укажите момент времени, когда мгновенная скорость точки максимальна.
|
||
|
||
2. Укажите момент времени $t_1$, когда мгновенная скорость совпадает по величине со средней путевой скоростью за интервал времени от $0$ до $t_1$.
|
||
|
||
#image("assets/24.png")
|
||
|
||
*Пример.*
|
||
|
||
Мячик падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, составляющую угол $alpha$ с горизонтом, и абсолютно упруго отскакивает от неё.
|
||
|
||
Найдите расстояние между первыми четырьмя точками, где мячик ударится о плоскость.
|
||
|
||
Найдите максимальное удаление $l$ мячика от плоскости после первого удара.
|
||
|
||
Найдите максимальное расстояние по вертикали от плоскости до траектории мячика между двумя первыми ударами ($y$ на рисунке).
|
||
|
||
#image("assets/25.png")
|
||
|
||
*Пример.*
|
||
Мячик брошен с поверхности земли со скоростью $accent(v, arrow)_0$ под углом $alpha$ к горизонту. Определите максимальную высоту подъема мячика, дальность полета мячика по горизонтали.
|
||
|
||
Каким должен быть угло $alpha$, чтобы обеспечить максимальную дальность полета по горизонтали при заданном значении начальной скорости.
|
||
|
||
Запишите уравнение траектории мяча.
|
||
|
||
*Пример*.
|
||
|
||
На балконе стоит мешок картошки. Нехороший мальчик каидается картошкой в прохожих. Скорость, которую он может сообщить картофелине при броске, равна $v_0$
|
||
|
||
Под каким углом к горизонту должна быть направлена эта скорость, чтобы картофелина упала как можно дальше от места старта? Высота балкона равна $h$. (Есть в тесте в ЦДО)
|
||
|
||
*Ответ*: $tan alpha = frac(1, sqrt(1 + frac(2g h, v_0^2)))$
|
||
|
||
Опишем движение картофелины по горизонтали и по вертикали.
|
||
|
||
$
|
||
0 = h + V_0 dot sin alpha dot t - frac(g t^2, 2) space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
L = V_0 dot cos alpha dot t space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Нужно добиться максимальной дальности полета вдоль земли $-L$.
|
||
|
||
Выразим $t$ из $(2)$ и подставим в $(1)$
|
||
|
||
Учтем, что
|
||
|
||
$
|
||
frac(1, cos^2 alpha) = 1 + tan^2 alpha space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
Мы получим квадратное уравнение для определения $tan alpha$
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha = frac(v_0^2, g L)(1 plus.minus sqrt(1 - frac(g^2 L^2, v_0^4) + frac(2 g h, v_0^2))) space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
Понятно, что искомый угол существует, поэтому дискриминант должен быть больше или равен нулю.
|
||
|
||
$
|
||
1 + frac(2 g h, v_0^2) - frac(g^2 L^2, v_0^4) gt.eq 0 space.quad (5)
|
||
$
|
||
|
||
Практически мы уже решили задачу, ведь из $(5)$ следует, что
|
||
|
||
$
|
||
L lt.eq frac(v_0, g) sqrt(v_0^2 + 2 g h) space.quad (6)
|
||
$
|
||
|
||
Нам нужно максимальное значение $L$, поэтому мы выбираем равенство.
|
||
|
||
$
|
||
L = frac(v_0, g) sqrt(v_0^2 + 2 g h) space.quad (7)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $(7)$ в $(4)$ и определим угол.
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha = frac(1, sqrt(1 + frac(2 g h, v_0^2)))
|
||
$
|
||
|
||
|
||
#image("assets/26.png")
|
||
|
||
*Ответ.*
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha = frac(V_0^2, g dot L)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример.* Пикирующий бомбардировщик сбрасывает бомбу с высоты $H$, находясь на расстоянии $L$ от цели. Скорость бомбардировщика равна $v$. Под каким углом к горизонту он должен пикировать?
|
||
|
||
*Ответ*
|
||
|
||
$
|
||
S = L^2 - H^2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha = - frac(v^2, g S) cos alpha + sqrt((frac(v^2, g S))^2 + frac(2 H v^2, g S^2) - 1)
|
||
$
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 2.
|
||
|
||
#image("assets/27.png")
|
||
#image("assets/28.png")
|
||
#image("assets/29.png")
|
||
#image("assets/30.png")
|
||
#image("assets/31.png")
|
||
#image("assets/32.png")
|
||
#image("assets/33.png")
|
||
#image("assets/34.png")
|
||
#image("assets/35.png")
|
||
|
||
*Пример 2.* Камень брошен с башни горизонтально со скоростью $accent(v, arrow)_0$
|
||
|
||
Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня в момент через $t$ секунд полета. Вычислите радиус его траектории в этот момент времени.
|
||
|
||
*Пример 3.* Камень брошен со скоростью $accent(v, arrow)_0$ под углом $alpha$ к горизонту. Найти зависимость его нормального, тангенциального ускорения и радиуса кривизны траектории от угла $beta$, который скорость составляет с линией горизонта.
|
||
|
||
*Пример*. Камень брошен с поверхности земли со скоростью $V_0$ под углом $alpha$ к горизонту. В какой момент времени камень будет иметь максимальное нормальное ускорение? Вычислите его. Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня в момент, когда он поднимется на половину максимальной высоты? Вычислите радиус его траектории в этот момент времени.
|
||
|
||
*Пример*. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы
|
||
|
||
+ Радиус кривизны начала его траектории был в $N$ раз больше, чем в вершине.
|
||
|
||
+ Центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности
|
||
|
||
*Ответы*
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(1, N^frac(1, 3)) space.quad alpha = 60 degree
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha = sqrt(2) space.quad alpha = 54.7 degree
|
||
$
|
||
|
||
*Пример 4*
|
||
|
||
Точка движется в плоскости так, что ее тангенциальное ускорение $a_tau = alpha$. А нормальное ускорение $a_n = beta t^4$. $alpha$ и $beta$ положительные постоянные. В момент начала отсчета времени точка покоилась. Найдите радиус кривизны траектории и ее полное ускорение как функции пройденного пути $S$.
|
||
|
||
$
|
||
v = integral_0^t a_tau space d t = alpha t + 0 space.quad "начальное условие"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
S = integral_0^t v space d t = integral_0^t alpha t space d t = frac(alpha t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
t = sqrt(frac(2S, alpha))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
R = frac(v^2, a_n) = frac(alpha^2 t^2, beta t^4) = frac(alpha^3, beta 2 S)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
t = sqrt(frac(2 S, alpha))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_"полн" = sqrt(a^2_n + a^2_tau) = sqrt(alpha^2 + beta^2 t^8) = alpha sqrt(1 + (frac(beta 4 S^2, alpha^3))^2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример 5* Частица движется в плоскости $X Y$ со скоростью $accent(v, arrow) = alpha accent(i, arrow) + beta x accent(j, arrow)$. Где $alpha$ и $beta$ - положительные постоянные. В начальный момент времени частица находилась в начале координат. Найти:
|
||
|
||
1. Уравнение траектории частицы
|
||
2. Радиус кривизны траектории как функцию $x$.
|
||
|
||
$
|
||
v_x = alpha space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
x = integral_0^t alpha space d t = alpha t + 0 space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_y = beta x = alpha beta t space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y = integral_0^t alpha beta t space d t = frac(alpha beta t^2, 2) + 0 space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
выразим $t$ из $(2)$ и подставим в $(4)$, получим уравнение траектории
|
||
|
||
$
|
||
y = frac(beta x^2, 2 alpha)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(3)$ найдем модуль скорости
|
||
|
||
$
|
||
|accent(v, arrow)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt(alpha^2 + (beta x)^2) space.quad (5)
|
||
$
|
||
|
||
Тангенциальное ускорение - скорость изменения модуля скорости
|
||
|
||
$
|
||
a_tau = frac(d |accent(v, arrow)|, d t) = frac(d |accent(v, arrow)|, d x) frac(d x, d t) = frac(beta^2 2 x, 2 sqrt(alpha^2 + (beta x)^2)) alpha space.quad (6)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(3)$ найдем проекции ускорения на координатные оси.
|
||
|
||
$
|
||
a_x = 0 space.quad (7)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_y = alpha beta space.quad (8)
|
||
$
|
||
|
||
Полное ускорение точки
|
||
|
||
$
|
||
a_"полн" = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = beta alpha space.quad (9)
|
||
$
|
||
|
||
Радиус кривизны траектории
|
||
|
||
$
|
||
R = frac(|accent(v, arrow)|^2, a_n) = frac(|accent(v, arrow)|^2, sqrt(a^2_"полн" - a^2_tau))
|
||
$
|
||
|
||
Из $(5), (6)$ и $(9)$
|
||
|
||
$
|
||
R = frac(alpha^2 + (beta x)^2, sqrt((alpha beta)^2 - (frac(alpha beta^2 x, sqrt(alpha^2 + (beta x)^2)))^2))
|
||
$
|
||
|
||
Сделаем преобразования
|
||
|
||
$
|
||
R = frac((alpha^2 + (beta x)^2)^frac(3, 2), sqrt((alpha beta)^2 (alpha^2 + (beta x)^2) - alpha^2 beta^4 x^2))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
R = frac((alpha^2 + (beta x)^2)^frac(3, 2), alpha^2 beta) = frac(alpha, beta) (1 + (frac(beta x, alpha))^2)^frac(3, 2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_0$
|
||
|
||
Из-за ветра шар приобретает горизонтальную компоненту скорости
|
||
|
||
$
|
||
v_x = alpha y
|
||
$
|
||
|
||
$alpha$-постоянная, $y$-высота подъёма.
|
||
|
||
Найдите зависимость от высоты подъёма
|
||
|
||
1. Сноса шара
|
||
2. Полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
|
||
|
||
*Ответы*
|
||
|
||
$
|
||
S = frac(alpha, 2 v_0) y^2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_"полн" = alpha v_0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_tau = frac(alpha^2 y, sqrt(1 + (frac(alpha y, v_0))^2))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_n = frac(alpha v_0, sqrt(1 + (frac(alpha y, v_0))^2))
|
||
$
|
||
|
||
*Пример 6*. Точка движется по окружности со скоростью $v = alpha t$, где $alpha$ - положительная постоянная. Найти полное ускорение точки в момент, когда она пройдет $N$-ю часть длины окружности после начала движения.
|
||
|
||
$
|
||
v = alpha t
|
||
$
|
||
|
||
Пройденный путь $l = integral_0^t v space d t = frac(alpha t^2, 2) space.quad (1)$
|
||
|
||
По условию задачи $l = 2 pi R N space.quad (2)$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(2)$ выразим время движения точки $t_"дв" = sqrt(frac(4 pi R N, alpha)) space.quad (3)$
|
||
|
||
$
|
||
a_tau = frac(d v, d t) = alpha
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_n = frac(v^2, R) = frac(alpha^2 t^2_"дв", R) = ("см" 3) = alpha 4 pi N
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_"полн" = sqrt(a^2_n + a^2_tau) = alpha sqrt(1 + (4 pi N)^2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Точка движется в положительном направлении оси $0x$ так, что её скорость меняется по закону $v = alpha sqrt(x)$
|
||
|
||
Где $alpha$ - положительная постоянная. В момент времени $t = 0$ точка находилась в начале координат. Определите:
|
||
|
||
1. Скорость и ускорение точки как функцию времени
|
||
|
||
2. Среднюю скорость за время, в течение которого она пройдет первые $S$ метров пути.
|
||
|
||
$
|
||
v = alpha sqrt(x) space.quad frac(d x, d t) = alpha sqrt(x)
|
||
$
|
||
|
||
Разделим переменные:
|
||
|
||
$
|
||
frac(d x, sqrt(x)) = alpha space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
2 sqrt(x) = alpha t + "const"
|
||
$
|
||
|
||
Постоянную определим из начальных условий
|
||
|
||
$
|
||
t = 0 space x = 0 arrow.double "const" = 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
x = frac(alpha^2 t^2, 4)
|
||
$
|
||
|
||
Вычислим скорость и ускорение точки:
|
||
|
||
$
|
||
v = frac(d x, d t) = frac(alpha^2 t, 2) space.quad a = frac(d v, d t) = frac(alpha^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Определим среднюю путевую скорость точки. Время, которое было затрачено на прохождение $S$ метров пути
|
||
|
||
$
|
||
t_1 = frac(2 sqrt(S), alpha)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_"ср" = frac(S, t_1) = frac(sqrt(S) alpha, 2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Точка движется по прямой, замедляясь, с ускорением, модуль которого зависит от её скорости по закону
|
||
|
||
$
|
||
a = alpha sqrt(v)
|
||
$
|
||
|
||
В начальный момент времени скорость точки равна $v_0$
|
||
|
||
Какой путь пройдет она до остановки и за какое время?
|
||
|
||
$
|
||
a_x = -a sqrt(v_x) space.quad frac(d v, sqrt(v)) = - alpha space d t
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрируем уравнение с учетом начальных условий
|
||
|
||
$
|
||
2 sqrt(v) = -alpha t + "const"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = -frac(alpha^2 t^2, 4) + v_0
|
||
$
|
||
|
||
Определим время движения точки до остановки
|
||
|
||
$
|
||
v_0 = frac(alpha^2 t_"дв"^2, 4) space.quad t_"дв" = frac(2, alpha) sqrt(v_0)
|
||
$
|
||
|
||
Путь, пройденный прямолинейно двигавшейся точкой
|
||
|
||
$
|
||
l = integral_0^(t_"дв") v(t) space d t = - frac(alpha^2 t^3_"дв", 12) + v_0 t_"дв" = frac(4(v_0)^frac(3, 2), 3 alpha)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Тогда движется по дуге окружности $v = alpha sqrt(S)$. Радиуса $R$. Её скорость где $S$ - пройденный путь, $alpha$-положительная постоянная.
|
||
|
||
Найти угол между вектором скорости и полного ускорения как функцию $S$.
|
||
|
||
Пусть $v = alpha sqrt(S)$ где $alpha$-коэффициент пропорциональности
|
||
|
||
$
|
||
frac(d S, d t) = alpha sqrt(S)
|
||
$
|
||
|
||
Разделяем переменные и интегрируем
|
||
|
||
$
|
||
frac(d S, sqrt(S)) = alpha space d t space.quad s sqrt(S) = alpha t
|
||
$
|
||
|
||
Зависимость пройденного пути от времени
|
||
|
||
$
|
||
S = alpha^2 frac(t^2, 4) space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
Зависимость скорости точки от времени
|
||
|
||
$
|
||
v = frac(d S, d t) space.quad v = alpha^2 frac(t, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Найдем тангенциальное ускорение точки
|
||
|
||
$
|
||
a_tau = frac(d v, d t) = alpha^2 1/2 space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Найдем нормальное ускорение точки. И выразим его через путь $S$, используя $(1)$.
|
||
|
||
$
|
||
a_n = frac(v^2, R) = frac(alpha^4 t^2, 4 R) = frac(alpha^2, R) S space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/36.png")
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 3.
|
||
|
||
#image("assets/37.png")
|
||
#image("assets/38.png")
|
||
|
||
Направление вектора угла поворота определяют по правилу правого винта: если смотреть вдоль вектора угла поворота, то мы будем видеть поворот, совершающимся по часовой стрелке.
|
||
|
||
#image("assets/39.png")
|
||
#image("assets/40.png")
|
||
#image("assets/41.png")
|
||
#image("assets/42.png")
|
||
|
||
При рассмотрении таких векторов, как радиус-вектор, скорость или сила и.т.п., вопрос о выборе их направления не возникает - оно вытекает естественным образом из природы этих величин. Такие векторы называют полярными или истинными. Векторы, направление которых связано с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.
|
||
|
||
При изменении условия, определяющего направление псевдовекторов, например, переходе от правой системы координат к левой псевдовекторы меняют направление на противоположное, а полярные остаются без изменений. Если оба вектора в векторном произведении полярные (или аксиальные), то векторное произведение - аксиальный вектор.
|
||
|
||
Произведение полярного вектора на аксиальный будет полярным вектором. Изменение условия, определяющего направление псевдовекторов на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед аксиальным вектором. В итоге направление векторного произведения не изменится.
|
||
|
||
#image("assets/43.png")
|
||
#image("assets/44.png")
|
||
#image("assets/45.png")
|
||
#image("assets/46.png")
|
||
|
||
*Пример*. Колесо вращалось с угловой скоростью $omega_0$, стало тормозить и остановилось спустя $t_"дв"$ секунд. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов с момента начала торможения до остановки.
|
||
|
||
#image("assets/47.png")
|
||
|
||
$
|
||
phi_"конечн" = omega_0 t_"дв" - frac(epsilon t^2_"дв", 2) space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(2)$
|
||
|
||
$
|
||
phi_"конечн" = frac(omega_0 t_"дв", 2)
|
||
$
|
||
|
||
Число оборотов до остановки
|
||
|
||
$
|
||
N = frac(phi_"конечн", 2 pi) = frac(omega_0 t_"дв", 4 pi)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/48.png")
|
||
#image("assets/49.png")
|
||
|
||
Поскольку центр масс шарика движется по окружности радиусом $r-R$,
|
||
|
||
$
|
||
v_"цм" = W(r - R) space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(2)$
|
||
|
||
$
|
||
v_"цм" = frac(R omega, r) (r - R)
|
||
$
|
||
|
||
3. Если шарик катится по горке радиусом $r$, то
|
||
|
||
$
|
||
v_"цм" = R omega (1 + R/r)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/50.png")
|
||
|
||
Сложение угловых скоростей.
|
||
|
||
Шарик радиусом $R$ насажен на горизонтальную ось, вращающуюся вокруг вертикальной оси. Шарик при этом катится по горизонтальной поверхности со скоростью $v$, описывая окружность радиусом $r$. Вычислите полную угловую скорость шарика и её наклон к горизонту.
|
||
|
||
#image("assets/51.png")
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 4.
|
||
|
||
*Пример 1*. Брусок массой $m_1$ лежит на доске массой $m_2$. Коэффициент трения между доской и столом и между бруском и доской равен $mu$. На доску начинает действовать горизонтальная сила $F$, величина которой увеличивается со временем. Опишите варианты движения бруска и доски.
|
||
|
||
#image("assets/52.png")
|
||
#image("assets/53.png")
|
||
|
||
3. Пока сила будет изменяться в таких пределах
|
||
|
||
$
|
||
mu(m_1 + m_2) g gt F gt.eq 2 mu (m_1 + m_2) g
|
||
$
|
||
|
||
доска и брусок будут двигаться вместе, пока не начнется соскальзывание бруска с доски.
|
||
|
||
Их ускорение в этом случае можно определить так
|
||
|
||
$
|
||
(m_1 + m_2)a = F - mu(m_1 + m_2)g
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/54.png")
|
||
#image("assets/55.png")
|
||
#image("assets/56.png")
|
||
#image("assets/57.png")
|
||
|
||
Параллельное соединение пружин
|
||
|
||
$
|
||
F = k_1 x + k_2 x = k_"экв" x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
k_"экв" = k_1 + k_2
|
||
$
|
||
|
||
Параллельное соединение пружин
|
||
|
||
Одинаковые упругие напряжения возникают в любом сечении связки
|
||
|
||
$
|
||
F = k_1 x_1 = k_2 x_2 = k_"экв" (x_1 + x_2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
k_"экв" = frac(k_1 k_2, k_1 + k_2)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/58.png")
|
||
|
||
*Пример.* Три пружины соединены между собой, верхняя пружина закреплена на потолке. Пружины надеты на закрепленный на потолке стержень, к нижней пружине прикреплен груз, который может двигаться, не задевая стержень. К системе прикреплены две невесомые жесткие скобки (показаны синим цветом).
|
||
|
||
Определите эквивалентную жёсткость системы.
|
||
|
||
#image("assets/59.png")
|
||
#image("assets/60.png")
|
||
|
||
Средняя пружина сжимается, верхняя и нижняя растягиваются на одинаковую величину $x$. Силы упругости всех трёх пружин приложены к точке $A$ и к точке $B$. Такое соединение эквивалентно параллельному соединению пружин.
|
||
|
||
$
|
||
k_"экв" = 2k_1 + k_2
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. (самостоятельная работа)
|
||
|
||
По ободу тонкого кольца массой $m$ и радиусом $R$ сделан паз, внутрь которого вставлен трос. При движении троса колесо поворачивается без проскальзывания. Один конец троса закреплен на потолке, второй - присоединен к пружине жесткостью $k$. Сначала колесо удерживают неподвижным, прикладывая некоторую силу в точке $A$, чтобы пружина не было деформированной, затем отпускают. В системе возникают колебания. Потерями механической энергии можно пренебречь.
|
||
|
||
#image("assets/61.png")
|
||
|
||
Определите:
|
||
|
||
+ Величину силы $F$, которую надо было прикладывать к точке $A$.
|
||
|
||
+ Величину максимальной деформации пружины $Delta X$ в процессе движения колеса.
|
||
|
||
+ Скорость $V$ центра колеса, когда он в первый раз пройдет положение равновесия.
|
||
|
||
+ Максимальную угловую скорость $W_max$ вращения колеса вокруг оси, проходящей через его центр, перпендикулярно его плоскости.
|
||
|
||
+ Полную кинетическую энергию $E$ леса, когда его центр опустился на расстояние $L$ относительно начального положения.
|
||
|
||
#image("assets/62.png")
|
||
|
||
Тело оторвется от поверхности полусферы, когда вся составляющая силы тяжести, направленная вдоль радиуса, будет расходоваться на создание центростремительного ускорения. Сила реакции опоры в этот момент обратится в нуль.
|
||
|
||
$
|
||
m frac(v^2, R) = m g cos alpha - N
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/63.png")
|
||
|
||
*Пример.* На краю массивной подставки закреплен невесомый блок. Грузы, массой $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения грузов о подставку равен $mu$. Подставка движется вправо с ускорением $a$. Правый груз опускается. Вычислите ускорение грузов относительно подставки.
|
||
|
||
Д/З. С каким ускорением должна двигаться подставка, чтобы правый груз начал подниматься.
|
||
|
||
*Решение*
|
||
|
||
Будем решать задачу в неинерциальной системе отсчета. На грузы действует поступательная сила инерции. Она прижимает второй груз к подставке и определяет силу трения скольжения.
|
||
|
||
#image("assets/64.png")
|
||
|
||
$
|
||
(m_1 + m_2) a_1 = m_2 g - mu m_1 g - mu m_2 a - m_1 a
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Брусок массой $m$ поставили на клин, движущийся вправо с ускорением $a$ и отпустили. Найти ускорение бруска относительно клина. Коэффициент трения между поверхностями равен $mu$.
|
||
|
||
#image("assets/65.png")
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 5.
|
||
|
||
*Пример*. Цепочка массой $m$ и длиной $l$ висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити она упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
|
||
|
||
*Решение*. После пережигания нити все звенья цепочки начинают падать с ускорением $g$. Рассмотрим звено цепи массой $d m$, изначально находившееся на высоте $x$. Определим, какую скорость оно имеет в момент касания стола
|
||
|
||
#image("assets/66.png")
|
||
|
||
Звено передает столу импульс
|
||
|
||
$
|
||
d p = v d m = sqrt(2 g x) m/l space d x
|
||
$
|
||
|
||
Суммарный импульс, который цепочка передаст столу
|
||
|
||
$
|
||
p = integral_0^l sqrt(2 g x) m/l space d x = m/l sqrt(2 g) frac(2l^frac(3, 2), 3) = frac(2m, 3) sqrt(2 g l)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример.* Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $F$, сонаправленной с её скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью $k$ кг/с.
|
||
|
||
Найти скорость и ускорение тележки, если в момент начала отсчета времени масса тележки с песком равна $m_0$, а скорость равна нулю.
|
||
|
||
*Решение*. Запишем закон движения платформы.
|
||
|
||
$
|
||
(m - k t) frac(d accent(v, arrow), d t) = accent(F, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a = frac(F, m - k t)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
d v = frac(F space d t, m - k t)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
d v = frac(F space d t, m_0 - k t)
|
||
$
|
||
|
||
Для того, чтобы решить уравнение, сделаем замену переменных:
|
||
|
||
$
|
||
m_0 - k t = z space.quad d t = -frac(d z, k) space.quad d v = -frac(F space d z, k z)
|
||
$
|
||
|
||
Учитываем начальные условия:
|
||
|
||
$
|
||
v = -F/k ln(m_0 - k t) + F/k ln m_0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = F/k ln frac(m_0, (m_0 - k t))
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/67.png")
|
||
|
||
*Решение*. Запишем закон движения платформы с учетом реактивной силы.
|
||
|
||
$
|
||
m frac(d accent(v, arrow), d t) = accent(F, arrow) + accent(v, arrow)_"отн" frac(d m, d t)
|
||
$
|
||
|
||
Спроектируем на горизонтальную ось
|
||
|
||
$
|
||
m frac(d v, d t) = F - v frac(d m, d t)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
m space d v + v space d m = F space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
d(m v) = F space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
d (m v) = F space d t space.quad p = F t + 0
|
||
$
|
||
|
||
Подставим зависимость массы от времени - найдем скорость
|
||
|
||
$
|
||
v = frac(F t, m_0 + k t)
|
||
$
|
||
|
||
Продифференцируем по времени - найдем ускорение
|
||
|
||
$
|
||
a = frac(d v, d t) = frac(m_0 F, (m_0 + k t)^2)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса $R$, зависит от пройденного пути по закону $E = alpha S^2$ где $alpha$-постоянная, $S$-пройденный путь. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от $S$.
|
||
|
||
*Решение*. Приращение кинетической энергии происходит из-за того, что действующая на частицу сила совершает работу
|
||
|
||
$
|
||
d E = F space d S space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
Вычислим дифференциал от заданного выражения для кинетической энергии
|
||
|
||
$
|
||
d E = 2 alpha S space d S space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(1)$ и $(2)$
|
||
|
||
$
|
||
F = 2 alpha S
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/68.png")
|
||
#image("assets/69.png")
|
||
|
||
Работа силы трения за все время движения
|
||
|
||
$
|
||
A_"тр" = -integral_S F_"тр" space d S = -mu m g L
|
||
$
|
||
|
||
Работа силы тяжести $A_"тяж" = -m g h$
|
||
|
||
Работа силы $F$
|
||
|
||
$
|
||
A = mu m g L + m g h
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Какую мощность развивают двигатели ракеты массой $m$, если она неподвижно висит над поверхностью земли? Скорость истечения газов из сопла ракеты равна $u$.
|
||
|
||
*Решение:* Реактивная сила компенсирует действие силы тяжести $frac(d m, d t)u = m g$
|
||
|
||
Мощность двигателей
|
||
|
||
$
|
||
N = frac(d m, d t) frac(u^2, 2) = frac(m g u, 2)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/70.png")
|
||
|
||
$
|
||
N = m g dot v dot cos(pi/2 + beta)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
N = -m g v sin beta =
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
= -frac(m g v_0 cos alpha sin beta, cos beta) =
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
m g (g t - v_0 sin alpha)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример.* Человек массой $m$ стоит на носу лодки массой $M$ и длиной $L$. На какое расстояние $S$ сместится лодка, если человек перейдёт на корму.
|
||
|
||
*Решение*. По закону сохранения импульса придвижении человека со скоростью $v$ относительно лодки, лодка приобретет относительно дна скорость $V$
|
||
|
||
$
|
||
0 = m(v - V) - M V
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
V = frac(m v, m + M)
|
||
$
|
||
|
||
Человек перейдет на корму за время
|
||
|
||
$
|
||
t = L/v
|
||
$
|
||
|
||
Лодка за это время сместится на расстояние
|
||
|
||
$
|
||
S = V t = frac(m L, m + M)
|
||
$
|
||
|
||
Система человек-лодка замкнута. Ее центр масс не может сместиться относительно земли.
|
||
|
||
Д/З Решите задачу этим методом.
|
||
|
||
*Пример.* Два одинаковых шарика массой $m$ соединены пружиной жесткостью $k$. Шарики скользят по идеально гладкой горизонтальной поверхности и один из них абсолютно упруго ударяется о стену. Сколько времени будет продолжаться колебание шариков после прекращения колебаний.
|
||
|
||
#image("assets/71.png")
|
||
|
||
*Решение.* В момент удара левого шарика о стену скорость его меняется на противоположную. Центр масс системы останавливается. Поскольку после этого внешние силы на систему не действуют - начинается колебание шариков относительно неподвижного центра масс. Каждый шарик движется, как пружинный маятник на пружине жесткостью $2k$.
|
||
|
||
$
|
||
T = 2 pi sqrt(frac(m, 2k))
|
||
$
|
||
|
||
Спустя половину периода левый шарик опять ударяется о стену и меняет скорость на противоположную. В этот момент скорости обоих шариков направлены вправо, система начинает двигаться вправо со скоростью $v$, без колебаний.
|
||
|
||
Д/З Допустим теперь, что левый шарик был тяжелее. В момент удара о стену он изменит скорость на противоположную - центр масс системы начнет двигаться направо! Вычислите его скорость. Шарики будут совершать колебания относительно центра масс. Не забудьте, что жесткости соответствующих частей пружины - от шарика до центра масс надо вычислить их по длинам. Найдите период колебаний шариков, скорость центра масс и зависимость скорости шариков относительно центра масс от времени.
|
||
|
||
*Пример*. Две гантели состоят из шариков массой $m$ и невесомых стержней длиной $l$. Гантели движутся навстречу друг другу со скоростью $v$ (см. рис). Считая удар шариков мгновенным и абсолютно упругим
|
||
|
||
+ Охарактеризовать движение гантелей после столкновения
|
||
|
||
+ Найти угловую скорость вращения гантелей
|
||
|
||
+ Сколько времени будут вращаться гантели
|
||
|
||
+ Как будут двигаться гантели после прекращения вращения
|
||
|
||
#image("assets/72.png")
|
||
|
||
В момент удара скорости столкнувшихся шариков меняются на противоположные. Центры масс каждой из гантелей останавливаются. Обе гантели начинают вращаться по часовой стрелке относительно оси, проходящей через их середину с угловой скоростью.
|
||
|
||
$
|
||
omega = frac(v, l/2)
|
||
$
|
||
|
||
Каждый шарик проходит половину окружности за время.
|
||
|
||
$
|
||
t = frac(pi l, 2 v)
|
||
$
|
||
|
||
В этот момент уже другая пара шариков сталкивается и обменивается скоростями. Скорости обоих шариков правой гантели оказываются направленными вниз, а шариков левой - вверх.
|
||
|
||
Гантели прекращают вращение и движутся поступательно со скоростями, направленными, как до первого столкновения.
|
||
|
||
*Пример*. Частица массой $m_1$ испытала абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей массой $m_2$. Какую часть своей первоначальной энергии потеряла частица, если она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения.
|
||
|
||
#image("assets/73.png")
|
||
|
||
|
||
$
|
||
v_1^2 (1 - frac(m_1, m_2)) = v_1^('2) (1 + frac(m_1, m_2))
|
||
$
|
||
|
||
Относительные потери энергии 1 тела
|
||
|
||
$
|
||
frac(Delta E_1, E_1) = frac(v_1^2 - v_1^('2), v_1^2) = frac(2m_1, m_2+m_1)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Снаряд, выпущенный со скоростью $v_0 = 100$ м/с под углом $alpha = 45 degree$ к горизонту разорвался в верхней точке траектории на 2 одинаковых осколка. Один осколок упал на землю прямо под точкой взрыва со скоростью $v_1 = 97$ м/с. С какой скоростью и на каком расстоянии от первого осколка упал на землю второй осколок?
|
||
|
||
*Пример*. Пушка массой $M$ начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол с горизонтом $alpha$. Когда пушка прошла путь $S$, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом $p$ в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найдите продолжительность выстрела.
|
||
|
||
*Ответ*: $tau = (p cos alpha - M sqrt(2 g S dot sin alpha))/(M g sin alpha)$
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 6.
|
||
|
||
#image("assets/74.png")
|
||
|
||
*Решение*
|
||
|
||
За время падения масс стержня опускается на $l/2$
|
||
|
||
Потенциальная энергия центра масс переходит в кинетическую энергию вращения стержня.
|
||
|
||
$
|
||
m g l/2 = I frac(omega^2, 2) = frac(m l, 3) frac(omega^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = omega l = sqrt(3 g l)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/75.png")
|
||
#image("assets/76.png")
|
||
|
||
Найдем координату центра масс системы стержень-пуля
|
||
|
||
$
|
||
x_"цм" (m + M) = M l/2 + m l space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Угол отклонения стержня найдем по закону сохранения энергии. Кинетическая энергия системы переходит в потенциальную (используем высоту центра масс)
|
||
|
||
$
|
||
I frac(omega^2, 2) = (m + M)x_"цм" g(1 - cos alpha) space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Для горизонтальных диска вращаются вокруг вертикальной оси в противоположных направлениях. Первый диск имеет массу $m_1$, радиус $R_1$ и угловую скорость $omega_1$ второй диск - массу $m_2$, радиус $R_2$ и угловую скорость $omega_2$. Верхний диск падает на нижний. Из-за трения они начинают вращаться вместе. Найдите их общую угловую скорость.
|
||
|
||
#image("assets/77.png")
|
||
|
||
*Пример*. Человек стоит в центре неподвижной скамейки Жуковского и держит на вытянутых руках на расстоянии $x$ от оси скамейки колесо массой $m$ и радиусом $r$. Ось колеса вертикальна, колесо вращается с угловой скоростью $omega_1$. Человек резко поворачивает ось колеса на $180 degree$ градусов. Угловая скорость колеса становится равной $omega_2$. Вычислите угловую скорость скамейки. Момент инерции человека и скамейки $I$.
|
||
|
||
#image("assets/78.png")
|
||
#image("assets/79.png")
|
||
#image("assets/80.png")
|
||
|
||
Вычислите работу силы трения за всё время торможения.
|
||
|
||
#image("assets/81.png")
|
||
|
||
Вычислим момент силы трения.
|
||
Выделим элемент площадью
|
||
|
||
$
|
||
d S = r d r d phi
|
||
$
|
||
|
||
Его масса $d m = frac(m, pi R^2) r d r d phi$
|
||
|
||
На этот элемент будет действовать сила трения
|
||
|
||
$
|
||
d F = mu frac(m g, pi R^2) r d r d phi
|
||
$
|
||
|
||
Её момент $d M = mu frac(m g, pi R^2) r^2 d r d phi$
|
||
|
||
Момент силы трения, действующий на весь диск,
|
||
|
||
$
|
||
M = integral_0^(2pi) integral_0^R mu frac(m g, pi R^2) r^2 d r d phi = 2/3 mu m g R
|
||
$
|
||
|
||
Суммарная работа момента силы трения
|
||
|
||
$
|
||
A = integral_0^phi M_z space d phi
|
||
$
|
||
|
||
равна приращению кинетической энергии. Момент силы трения не зависит от угла поворота, поэтому нет необходимости интегрировать по углу. За всё время торможения диск повернулся на угол $phi$ такой, что
|
||
|
||
$
|
||
M_z dot phi = - I frac(omega_0^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
- 2/3 m mu R g dot phi = - frac(m R^2, 2) frac(omega_0^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Угол поворота диска за всё время торможения
|
||
|
||
$
|
||
phi = frac(3 omega_0^2 R, 8 mu g)
|
||
$
|
||
|
||
Можно воспользоваться законом динамики вращательного движения. Получится несколько дольше. Запишем закон динамики вращательного движения диска
|
||
|
||
$
|
||
I epsilon_z = M_z
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(m R^2, 2) epsilon = 2/3 mu m g R
|
||
$
|
||
|
||
Угловое ускорение диска $epsilon = 4/3 frac(mu g, R)$
|
||
|
||
Вычислим время торможения диска
|
||
|
||
$
|
||
omega_0 - epsilon t = 0 space.quad t = frac(3 omega_0 R, 4 mu g)
|
||
$
|
||
|
||
За это время диск повернется на угол
|
||
|
||
$
|
||
phi = omega_0 t - frac(epsilon t^2, 2) = frac(3 omega_0^2 R, 8 mu g)
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Тонкий стержень массой $m$ и длиной $l$ лежит на горизонтальной гладкой поверхности. За очень малый интервал времени он получает импульс $p$, приложенный к точке $A$, находящейся на расстоянии $r$ от центра стержня. Найдите
|
||
|
||
+ Скорость центра масс стержня сразу после удара.
|
||
|
||
+ Угловую скорость вращения стержня сразу после удара
|
||
|
||
#image("assets/82.png")
|
||
|
||
*Решение*.
|
||
|
||
1. По закону сохранения импульса $p = m v_c$, где $v_c$ - скорость центра масс сразу после удара
|
||
|
||
$
|
||
v_c = p/m
|
||
$
|
||
|
||
2. По закону сохранения момента импульса стержень будет вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью $omega$
|
||
|
||
$
|
||
p r = frac(m l^2, 12) omega
|
||
$
|
||
|
||
3. Скорость точки $B$ сразу после удара.
|
||
|
||
$
|
||
v_B = -omega l/2 + v_c = - frac(12 p r, m l^2) l/2 + p/m = p/m (1 - 6 r/l)
|
||
$
|
||
|
||
Для того, чтобы точка $B$ сразу после удара осталась неподвижной, расстояние $r$ должно быть равно $l/6$.
|
||
|
||
*Пример*. Тонкий стержень массой $m$ и длиной $l$ лежит на горизонтальной. Абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусок замазки массой $m$ (такой же) летит со скоростью $v$ перпендикулярно к нему и попадает в конец стержня. Вычислите
|
||
|
||
1. Скорость центра масс до и после удара
|
||
|
||
2. Чему равен момент импульса стержня до и после удара
|
||
|
||
3. Чему равна угловая скорость вращения стержня относительно центра масс после прилипания замазки
|
||
|
||
4. На сколько уменьшится кинетическая энергия системы при столкновении.
|
||
|
||
#image("assets/83.png")
|
||
|
||
Скорость центра масс
|
||
|
||
$
|
||
v_"цм" = frac(m v + 0, m + m) = frac(v, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Начальный момент импульса системы - момент импульса кусочка замазки относительно центра масс.
|
||
|
||
$
|
||
L = frac(m v l, 4)
|
||
$
|
||
|
||
После попадания замазки момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно к стержню,
|
||
|
||
$
|
||
I = (frac(m l^2, 12) + m(l/4)^2) + m(l/4)^2 = 5/24 m l^2
|
||
$
|
||
|
||
По закону сохранения момента импульса
|
||
|
||
$
|
||
L = L' space.quad frac(m v l, 4) = 5/24 m l^2 omega
|
||
$
|
||
|
||
Угловая скорость вращения стержня
|
||
|
||
$
|
||
omega = 6/5 v/l
|
||
$
|
||
|
||
Кинетическая энергия системы после удара складывается из энергии поступательного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр масс
|
||
|
||
$
|
||
E = frac(2m, 2) (v_"цм")^2 + frac(I omega^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E = frac(2m, 2) (v/2)^2 + 5/24 m l^2 frac(36v^2, 25l^2) 1/2 = 2/5 m v^2
|
||
$
|
||
|
||
Выделившееся при ударе количество теплоты равно убыли кинетической энергии системы
|
||
|
||
$
|
||
Q = frac(m v^2, 2) - 2/5 m v^2 = 1/10 m v^2
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Шар массой $m$ и радиусом $R$ скользит по гладкой, горизонтальной поверхности и наезжает на шероховатую полосу, где коэффициент трения равен $mu$. Спустя какой промежуток времени после этого шар будет катиться без проскальзывания? Какую работу совершит сила трения скольжения за все время движения шара?
|
||
|
||
#image("assets/84.png")
|
||
|
||
*Решение*. Когда шар наезжает на шероховатую полосу, на него начинает действовать сила трения скольжения. Эта сила тормозит центр масс шара
|
||
|
||
$
|
||
m a_x = -mu m g
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_"цм" = v_0 - mu g t space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
и раскручивает шар $I epsilon = M_"трения"$
|
||
|
||
$
|
||
2/5 m R^2 epsilon = mu m g R space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
Из $(2)$ определим угловое ускорение точек шара
|
||
|
||
$
|
||
epsilon = frac(5 mu g, 2 R)
|
||
$
|
||
|
||
Угловая скорость этих точек линейно увеличивается со временем.
|
||
|
||
Линейная скорость
|
||
|
||
$
|
||
omega = epsilon t = frac(5 mu g, 2 R) t space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
вращения точек поверхности шара относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс,
|
||
|
||
$
|
||
v_"лин" = omega R = frac(5 mu g, 2) t space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
Таким образом, в начале движения по шероховатой поверхности шар проскальзывает из-за того, что скорость поступательного движения его центра масс $(1)$ превосходит линейную скорость вращения точек его поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс $(4)$.
|
||
|
||
$
|
||
v_0 - mu g t gt frac(5 mu g, 2) t
|
||
$
|
||
|
||
Проскальзывание прекратится в момент времени
|
||
|
||
$
|
||
t = 2/7 frac(v_0, mu g), space.quad (5)
|
||
$
|
||
|
||
когда эти скорости сравняются.
|
||
|
||
Скорость центра масс шара в этот момент определим из $(1)$ и $(5)$:
|
||
|
||
$
|
||
v = 5/7 v_0 space.quad (6)
|
||
$
|
||
|
||
Работа силы трения скольжения равна приращению кинетической энергии шара
|
||
|
||
$
|
||
A = E_k - E_(k 0) = 7/10 m v^2 - frac(m v_0^2, 2) = -1/7 m v_0^2
|
||
$
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
=== Практика 7.
|
||
|
||
*Пример*. Какую скорость нужно сообщить стержню в направлении вдоль его оси, чтобы Лоренцево сокращение длины составило 20 процентов.
|
||
|
||
*Пример*. С какой скоростью движется релятивистская масса на 10 процентов больше ее массы.
|
||
|
||
*Пример*. С какой скоростью движется релятивистская частица, если ее импульс на 5 процентов отличается от классического.
|
||
|
||
*Пример*. В инерциальной системе отсчета $K$ вдоль оси $0x$ со скоростью $v = c/2$ движется стержень. Ось стержня развернута под углом $alpha$ к направлению движения. Измеряя длину стержня в $K$-системе, получили результат $l$. Определите собственную длину стержня и угол, который ось стержня образует с осью $0X'$ системы $K'$, движущейся вместе со стержнем.
|
||
|
||
#image("assets/85.png")
|
||
|
||
Свяжем со стержнем систему $K'$. Она будет двигаться относительно $K$-системы со скоростью $V = c/2$. Определим длину стержня $l_0$ в $K'$-системе. Для этого найдем разности координат концов стержня $Delta x'$ и $Delta y'$ и вычислим $l_0$ как корень квадратичный из суммы квадратов этих величин.
|
||
|
||
$
|
||
l_0 = Delta x^('2) + Delta y^('2) space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
Преобразования Лоренца для координат:
|
||
|
||
$
|
||
Delta x' = x'_2 - x'_1 = frac(x_2 - V t, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) - frac(x_1 - V t, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) = frac(Delta x, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta y' = y'_2 - y'_1 = y_2 - y_1 = Delta y space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
В $K$-системе разности координат концов стержня связаны с его длиной уравнениями
|
||
|
||
$
|
||
Delta x = l cos alpha space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta y = l sin alpha space.quad (5)
|
||
$
|
||
|
||
Подставляем $(4)$ и $(5)$ в $(2)$ и $(3)$, а затем полученные уравнения в $(1)$, определим собственную длину стержня $l_0$:
|
||
|
||
$
|
||
l_0 = sqrt(frac(l^2 cos^2 alpha, (1 - frac(V^2, c^2))) + l^2 sin^2 alpha) = frac(l sqrt(1 - frac(V^2, c^2) sin^2 alpha), sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) = 1.12 l
|
||
$
|
||
|
||
Определим теперь тангенс угла, который стержень образует с осью $X'$ системы $K'$.
|
||
|
||
$
|
||
tan alpha' = frac(Delta y', Delta x') = frac(Delta y, Delta x) sqrt(1 - frac(V^2, c^2)) = tan alpha dot sqrt(1 - frac(V^2, c^2)) = frac(1, sqrt(3)) sqrt(1 - 1/4) = 1/2
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы $tau_0$. Какой путь сможет пройти эта частица до распада в $K$-системе, где её время жизни равно $tau$.
|
||
|
||
|
||
*Решение*. $K'$-система связана с частицей. Нам нужно определить скорость частицы в $K$-системе, фактически, это скорость системы $K'$ относительно $K$-системы.
|
||
|
||
$
|
||
tau = frac(tau_0, sqrt(1 - frac(V^2, c^2))) space.quad V = c sqrt(1 - frac(tau_0^2, tau^2))
|
||
$
|
||
|
||
До распада в $K$-системе частица пройдет путь
|
||
|
||
$
|
||
S = V tau = c tau sqrt(1 - frac(tau_0^2, tau^2))
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Две релятивистские частицы движутся в $K$-системе отсчета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой скоростью $v = 0.7$ c. Определите:
|
||
|
||
1. Скорость сближения частиц в $K$-системе
|
||
|
||
2. Модуль скорости второй частицы в системе отсчета, связанной с первой частицей.
|
||
|
||
*Решение*.
|
||
|
||
1. Скорость сближения частиц в $K$-системе - скорость, с которой уменьшается расстояние между ними в этой системе.
|
||
|
||
$
|
||
v_"сбл" = 1.4 "с"
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/86.png")
|
||
|
||
Воспользуемся формулой преобразования скоростей:
|
||
|
||
$
|
||
v'_(2x') = frac(v_(2x) - V, 1 - frac(v_(2x) V, c^2)) = frac(-2, 1 + frac(v^2_2, c^2)) v^2 = -0.94 c
|
||
$
|
||
|
||
С этой скоростью может быть передана информация. Она не превосходит скорость света.
|
||
|
||
*Пример*. В системе отсчета связанной с неподвижными звездами два космических корабля летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями $v = 0.2$ с
|
||
|
||
Второй корабль испускает импульс света.
|
||
|
||
Вычислите:
|
||
|
||
1. Скорость сближения фотона и первого корабля в системе отсчета, связанной с неподвижными звездами.
|
||
|
||
2. В системе отсчета, связанной с первым кораблем.
|
||
|
||
#image("assets/87.png")
|
||
|
||
1. В $K$-системе отсчета "неподвижные звезды" расстояние между фотоном и первым кораблём уменьшается со скоростью
|
||
|
||
$
|
||
v_"сбл" = 0.2 c + c = 1.2 c
|
||
$
|
||
|
||
1. В системе отсчета, связанной с неподвижными звездами, скорость фотона $v_x = -c$
|
||
|
||
Свяжем с первым кораблем $K'$ - систему.
|
||
|
||
Её скорость относительно $K$-системы $V = 0.2 c$
|
||
|
||
Формула преобразования скоростей даёт для проекции скорости фотона на ось системы $0X'$ результат $K'$:
|
||
|
||
$
|
||
v'_(X') = frac(v_X - V, 1 - frac(v_X V, c^2)) = frac(- c - 0.2 c, 1 + frac(c dot 0.2 c, c^2)) = -c
|
||
$
|
||
|
||
Постулат Эйнштейна утверждает, что скорость света одинакова во всех системах отсчета. Именно такой результат мы и должны были получить.
|
||
|
||
*Пример*. При какой скорости движения частицы ее кинетическая энергия равна ее энергии покоя?
|
||
|
||
*Решение*
|
||
|
||
Энергия покоя частицы $E_0 = m c^2$
|
||
|
||
Кинетическая энергия частицы
|
||
|
||
$
|
||
E_K = m c^2 (frac(1, sqrt(1 - frac(v^2, c^2))) - 1)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = frac(sqrt(3), 2) c = 0.87 c
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы, имеющей массу $m$, от $0.60 c$ до $0.80 c$? Во сколько раз меньше получится результат, если проводить вычисления по формулам классической механики?
|
||
|
||
*Решение*. Работа идет на увеличение кинетической энергии частицы
|
||
|
||
$
|
||
A_"рел" = E_(K 2) - E_(K 1) = m c^2 (frac(1, sqrt(1 - frac(v_2^2, c^2))) - 1 - (frac(1, sqrt(1 - frac(v_1^2, c^2))) - 1)) = 0.42 m c^2
|
||
$
|
||
|
||
По классической формуле
|
||
|
||
$
|
||
A_"кл" = E_(K 2) - E_(K 1) = frac(m v_2^2, 2) - frac(m v_1^2, 2) = 0.14 m c^2.
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(A_"рел", A_"кл") = 3.
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Общая мощность излучения Солнца составляет $3.8 dot 10^26 "Вт"$. Вычислите, на сколько килограммов уменьшается масса Солнца за $1 "нс"$.
|
||
|
||
*Решение*. Энергия, которую излучает Солнце за время $t$, равна
|
||
|
||
$
|
||
P t = Delta m c^2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta m = frac(P t, c^2) = 4.2 "кг"
|
||
$
|
||
|
||
*Пример*. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массой $m = 9.11 dot 10^(-30) "кг"$ и радиуса $R = 2.82 dot 10^(-15) "м"$ обладающем собственным моментом импульса $M = 0.913 dot 10^(-34) frac("кг" dot "м"^2, "с")$
|
||
|
||
(Вытекающее из квантовой теории и подтвержденное экспериментально значение собственного момента импульса электрона).
|
||
|
||
|