1715 lines
79 KiB
Typst
1715 lines
79 KiB
Typst
#set text(font: "Maple Mono", size: 1em)
|
||
|
||
= Механика
|
||
|
||
=== Лекция 1. Кинематика поступательного движения.
|
||
|
||
*Механика* - наука о движении и равновесии тел.
|
||
|
||
*Материальной точкой* называется тело, размеры и форма которого в условиях данной задачи несущественны.
|
||
|
||
*Абсолютно твердое тело* - система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.
|
||
|
||
*Механическое движение* - изменение положения тела в пространстве с течением времени.
|
||
|
||
*Виды механического движения:*
|
||
|
||
+ Поступательное
|
||
+ Вращение вокруг неподвижной оси
|
||
+ Вращение вокруг неподвижной точки
|
||
+ Плоское движение
|
||
+ Свободное движение
|
||
|
||
*Поступательным* называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению.
|
||
|
||
*Плоским* называется такое движение твердого тела, при котором каждая его точка движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости.
|
||
|
||
*Описание механического движения.*
|
||
|
||
*Тело отсчета* - тело, относительно которого задается положение данного тела или данной точки.
|
||
|
||
*Система отсчета* - совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат, и синхронизованных между собой часов.
|
||
|
||
Международный стандарт ISO 31-11 предполагает использование следующих систем координат:
|
||
|
||
#image("assets/1.png")
|
||
|
||
#image("assets/2.png")
|
||
|
||
$rho gt.eq 0$ - расстояние от начала координат до $A'$
|
||
|
||
$0 lt.eq phi lt.eq 360 degree$ - угол между осью $0X$ и отрезком $0A'$
|
||
|
||
$z$ - апликата точки $A$
|
||
|
||
Цилиндрическая система координат удобна при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если взять ось $0Z$ в качестве оси симметрии. Бесконечный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение $x^2 + y^2 = r^2$,
|
||
|
||
А в цилиндрических - простое: $rho = r$
|
||
|
||
#image("assets/3.png")
|
||
|
||
$r gt.eq 0$ - расстояние от начала координат до заданной точки $A$.
|
||
|
||
$theta$ - угол между осью $0Z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $A$.
|
||
|
||
$0 lt.eq phi lt.eq 360 degree$ - угол между осью $0X$ и проекцией на плоскость $X 0 Y$ отрезка, соединющего точку $A$ с началом координат. Сферическая система координат удобна при анализе поверхностей, имеющих сферическую симметрию. Начало координат нужно поместить в центр симметрии, тогда уравнение сферы $r = r_("сферы")$
|
||
|
||
#image("assets/4.png")
|
||
#image("assets/5.png")
|
||
#image("assets/6.png")
|
||
#image("assets/7.png")
|
||
#image("assets/8.png")
|
||
#image("assets/9.png")
|
||
#image("assets/10.png")
|
||
#image("assets/11.png")
|
||
|
||
Векторным произведением векторов $accent(a, arrow)$ и $accent(b, arrow)$ называется вектор $accent(c, arrow)$, модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними, а направление определяется следующим образом: если смотреть на конец вектора $accent(c, arrow)$, то поворот вектора $accent(a, arrow)$ к вектору $accent(b, arrow)$ по кратчайшему пути осуществляется против часовой стрелки.
|
||
|
||
#image("assets/12.png")
|
||
|
||
*Дифференциалы - малые приращения*
|
||
|
||
$
|
||
Delta x space d x
|
||
$
|
||
|
||
В математике спокойно говорим "бесконечно малые"
|
||
|
||
В физике тоже так говорим, но понимаем, что это малые, но конечные (доступные для измерения) приращения, иначе они могут менять физический смысл - вместо классической, окажемся в мире квантовой механики.
|
||
|
||
#image("assets/13.png")
|
||
|
||
*Примеры вычисления дифференциалов*
|
||
|
||
Рассмотрим, например, такую функцию.
|
||
|
||
$
|
||
f = 3x^2
|
||
$
|
||
|
||
Теперь вычислим дифференциалы левой и правой части этого уравнения.
|
||
|
||
|
||
#align(center)[$d f = $ #underline(stroke: 1.5pt + red, offset: 2pt, [6x]) $space d x$]
|
||
|
||
Подчеркнута производная.
|
||
|
||
*Дифференциальное уравнение*
|
||
|
||
$
|
||
f'_x = 6x space frac(d f, d x) = 6x
|
||
$
|
||
|
||
Разделяем переменные. $d f = 6x space d x$
|
||
|
||
Нужно знать начальные условия. Пусть, например, при $x = 0 space f(x) = 3$
|
||
|
||
Интегрируем $integral d f = integral 6 x space d x$
|
||
|
||
$
|
||
f = 3x^2 + "const" = 3x^2 + 3
|
||
$
|
||
|
||
*Измерение времени.*
|
||
|
||
*Часы* - тело или система тел, в которых совершается периодический процесс, служащий для измерения времени.
|
||
|
||
*Одна секунда*
|
||
|
||
#align(center)[#text(size: 2em)[9102631700]]
|
||
|
||
колебаний электромагнитного излучения между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия 133.
|
||
|
||
*Измерение расстояний.*
|
||
|
||
*Один метр* - длина пути, проходимая светом в вакууме в течение
|
||
|
||
$
|
||
frac(1, 299792458) "секунды"
|
||
$
|
||
|
||
Такое измерение эталона метра вызвано тем, что экспериментальная погрешность определения скорости света в вакууме в настоящее время составляет примерно $0, 3$ м/с. Это превышает относительную точность воспроизведения метра $4 dot 10^(-9)$ предложенным выше способом. Относительная точность измерения расстояния будет непрерывно повышаться, чтобы каждый раз не менять определения метра, зафиксировали скорость света. Это позволило зафиксировать значения ряда физических констант.
|
||
|
||
Частота сверхтонкого расщепления основного состояния атома цезия-133 в точности равна 9192631770 Гц;
|
||
|
||
скорость света в вакууме $с$ в точности равна 299792458 $м/с$;
|
||
|
||
световая эффективность $k_(c d)$ монохроматического излучения частотой $540 dot 10^(12)$ Гц в точности равна 683 лм/Вт
|
||
|
||
*Планируется зафиксировать следующие константы*
|
||
|
||
постоянная Планка $h$ в точности равна $6.626 06X dot 10^(-34)$ Дж$dot$с;
|
||
|
||
элементарный электрический заряд $e$ в точности равен $1.602 17X dot 10^(-19)$ Кл;
|
||
|
||
постоянная Больцмана $k$ в точности равна $1.380 6X dot 10^(-23)$ Дж/К;
|
||
|
||
число Авогадро $N_A$ в точности равно $6.022 14X dot 10^(23) "моль"^(-1)$;
|
||
|
||
На XXIV Генеральной конференции по мерам и весам 17 - 21 октября 2011 года была единогласно принята резолюция, в которой, в частности, предложено в будущей ревизии Международной системы единиц переопределить четыре основные единицы СИ: килограмм, ампер, кельвин и моль.
|
||
|
||
Предполагается, что новые определения будут базироваться на фиксированных численных значениях постоянная Планка, элементарного электрического заряда, постоянной Больцмана и постоянной Авогадро, соответственно. Всем этим величинам будут приписаны точные значения, основанные на наиболее достоверных результатах измерений, рекомендованных Комитетом по данным для науки и техники (CODATA). Под фиксированием (или фиксацией) подразумевается "принятие некоторого точного численного значения величины по определению". В резолюции сформулированы следующие положения, касающихся этих единиц
|
||
|
||
*Килограмм* останется единицей массы, но его величина будет устанавливаться фиксацией численного значения постоянной Планка равным в точности $6.626 06X dot 10^(-34)$, когда она выражена единицей СИ $"м"^2 dot$ кг $dot$ $c^(-1)$, что эквивалентно Дж$dot$с.
|
||
|
||
*Ампер* останется единицей силы электрического тока, но его величина будет устанавливаться фиксацией численного значения элементарного электрического заряда равным в точности $1.602 17X dot 10^(-19)$, когда он выражен единицей СИ $c dot A$, что эквивалентно Кл.
|
||
|
||
*Кельвин* останется единицей термодинамической температуры, но его величина будет устанавливаться фиксацией численного значения постоянной Больцмана равным в точности $1.380 6X dot 10^(-23)$, когда она выражена единицей СИ $"м"^(-2) dot "кг" dot c^(-2) dot K^(-1)$, что эквивалентно Дж$dot K^(-1)$.
|
||
|
||
*Моль* останется единицей количества вещества, но его величина будет устанавливаться фиксацией численного значения постоянной Авогадро равным в точности $6.022 14X dot 10^(23)$, когда она выражена единицей СИ $"моль"^(-1)$.
|
||
|
||
Выше и далее $X$ заменяет одну или более значащи цифр, которые будут определены в дальнейшем на основании наиболее точных рекомендаций CODATA.
|
||
|
||
*Систем единиц СИ*
|
||
|
||
"Systeme International d'Unites" Включает в себя основные и производные единицы.
|
||
|
||
*Основные единицы системы СИ: секунда, метр*
|
||
|
||
*Килограмм* - единица массы, равная массе международного эталона килограмма.
|
||
|
||
*Ампер* - сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным на расстоянии 1м друг от друга в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу взаимодействия, равную $2 dot 10^(-7) H$ на каждый метр длины.
|
||
|
||
*Кельвин* - единица абсолютной температуры, равная $frac(1, 273.16)$ части температуры тройной точки воды.
|
||
|
||
*Моль* - единица количества вещества, равная количеству вещества системы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомов, молекул), сколько содержится атомов углерода в углероде-12 массой $0.012$ кг.
|
||
|
||
*Кандела* - единица силы света, равная силе света в данном направлении от источника, испускающего монохроматическое излучение частоты $540 dot 10^(-12)$ Гц, сила излучения которого в этом направлении составляет $frac(1, 683)$ Вт/ср.
|
||
|
||
*Дополнительные единицы СИ.*
|
||
|
||
*Радиан* - угол между двумя раиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.
|
||
|
||
*Стерадиан* - телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающей на поверхности сферы площади, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
|
||
|
||
*Принципы, используемые про построении классической механики.*
|
||
|
||
+ Однородность пространства - все пространственные точки эквивалентны между собой. (Начало отсчета можно выбрать в любой точке.)
|
||
|
||
+ Изотропность пространства - все направления в пространстве эквивалентны. (Систему координат можно поворачивать произвольным образом)
|
||
|
||
+ Однородности времени - все моменты времени эквивалентны. (В любой момент можно начать отсчет времени)
|
||
|
||
*Радиус-вектор*
|
||
|
||
Радиус-вектор точки - вектор, проведенный из начала координат в данную точку.
|
||
|
||
#image("assets/14.png")
|
||
#image("assets/15.png")
|
||
|
||
*Перемещением материальной точки* за интервал времени от $t = t_1$ до $t = t_2$ называется вектор, проведенный из ее положения в момент времени $t_1$ в ее положение в момент времени $t_2$.
|
||
|
||
*Траекторией материальной точки* называется линия, которую она описывает при своем движении.
|
||
|
||
*Длиной пути* $S$ называется сумма длин всех участков траектории, пройденных материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени.
|
||
|
||
#image("assets/16.png")
|
||
#image("assets/17.png")
|
||
|
||
Вектор скорости точки в каждый момент времени направлен по касательной к ее пространственной траектории. Для получения траектории в пространстве скоростей необходимо все векторы скорости, относящиеся к выбранному моменту времени, отложить от одной точки-начала отсчета в пространстве скоростей.
|
||
|
||
Конец, изменяющегося во времени вектора скорости, вычерчивает некоторую кривую в пространстве скоростей, называющуюся годографом вектора скорости. (Гамильтон 1846 г.) Вектор мгновенного ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.
|
||
|
||
Мы будем использовать три способа описания движения - векторный, координатный и траекторный.
|
||
|
||
#image("assets/18.png")
|
||
#image("assets/19.png")
|
||
|
||
*Среднее ускорение материальной точки в интервале времени от $t_1$ до $t_2$:*
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow)_"ср" = frac(accent(v, arrow)(t_2) - accent(v, arrow)(t_1), t_2 - t_1) = frac(Delta accent(v, arrow), Delta t)
|
||
$
|
||
|
||
*Мгновенное ускорение:*
|
||
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$accent(a, arrow) = lim_(Delta t arrow 0) frac(Delta accent(v, arrow), Delta t) = frac(d accent(v, arrow), d t) = frac(d^2 accent(r, arrow), d t^2)$
|
||
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
*Скорость метериальной точки в момент времени t:*
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$accent(v, arrow)(t) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) (t) space d t,$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
]
|
||
|
||
где $accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
Радиус-вектор материальной точки в момент времени $t$:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) (t) space d t$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
где $accent(r, arrow)$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
Перемещение материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$Delta accent(r, arrow) = integral_0^t accent(v, arrow) (t) space d t$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Почему траектория тела, брошенного под углом к горизонту, плоская кривая?
|
||
|
||
$
|
||
Delta accent(r, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(g, arrow) t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
В любой момент времени вектор перемещения лежит в плоскости, содержащей векторы $accent(v, arrow)_0$ и $accent(g, arrow)$
|
||
|
||
#image("assets/20.png")
|
||
|
||
*II Вектор скорости материальной точки.*
|
||
|
||
Проекции вектора скорости на оси координат.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$v_x = frac(d x, d t); space v_y = frac(d y, d t); space v_z = frac(d z, d t)$
|
||
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Модуль вектора скорости:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$|accent(v, arrow)| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор скорости составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
|
||
$cos alpha = frac(v_x, |accent(v, arrow)|); space cos beta = frac(v_y, |accent(v, arrow)|); space cos gamma = frac(v_z, |accent(v, arrow)|)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
*III. Ускорение материальной точки.*
|
||
|
||
Проекции вектора ускорения на оси координат:
|
||
|
||
$
|
||
a_x = frac(d v_x, d t) = frac(d^2 x, d t^2); space a_y = frac(d v_y, d t) = frac(d^2 y, d t^2); space a_z = frac(d v_z, d t) = frac(d^2 z, d t^2)
|
||
$
|
||
|
||
Модуль вектора ускорения:
|
||
|
||
$
|
||
|accent(a, arrow)| = sqrt(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)
|
||
$
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор ускорения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(a_x, |accent(a, arrow)|); space cos beta = frac(a_y, |accent(a, arrow)|); space cos gamma = frac(a_z, |accent(a, arrow)|)
|
||
$
|
||
|
||
|
||
*IV. Перемещение материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$*
|
||
|
||
Проекции вектора перемещения на оси координат:
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_x = x_2 - x_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_y = y_2 - y_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
(accent(S, arrow))_z = z_2 - z_1
|
||
$
|
||
|
||
Модуль вектора перемещения:
|
||
|
||
$
|
||
|accent(S, arrow)| = sqrt(S_x^2 + S_y^2 + S_z^2)
|
||
$
|
||
|
||
Косинусы углов, которые вектор перемещения составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(S_x, |accent(S, arrow)|); space cos beta = frac(S_y, |accent(S, arrow)|); space cos gamma = frac(S_z, |accent(S, arrow)|);
|
||
$
|
||
|
||
*V. Приращение радиуса-вектора материальной точки (перемещение)*
|
||
|
||
Проекции приращения радиуса-вектора на оси координат:
|
||
|
||
$
|
||
Delta r_x = x_2 - x_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta r_y = y_2 - y_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta r_z = z_2 - z_1
|
||
$
|
||
|
||
Модуль приращения радиуса-вектора:
|
||
|
||
$
|
||
|Delta accent(r, arrow)| = sqrt(Delta r_x^2 + Delta r_y^2 + Delta r_z^2)
|
||
$
|
||
|
||
*Косинусы углов, которые приращение радиуса-вектора составляет с осями $0x, space 0y, space 0z$:*
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha = frac(Delta r_x, |Delta accent(r, arrow)|); space cos beta = frac(Delta r_y, |Delta accent(r, arrow)|); space cos gamma = frac(Delta r_z, |Delta accent(r, arrow)|)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/21.png")
|
||
#image("assets/22.png")
|
||
#image("assets/23.png")
|
||
#image("assets/24.png")
|
||
#image("assets/25.png")
|
||
#image("assets/26.png")
|
||
#image("assets/27.png")
|
||
|
||
Тангенциальное ускорение отвечает за скорость изменения модуля скорости
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow)_tau = frac(d |accent(v, arrow)|, d t) dot accent(tau, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
Нормальное ускорение пропорционально скорости изменения направления вектора скорости
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow)_n = |accent(v, arrow)| frac(d phi, d t) accent(n, arrow) = |accent(v, arrow)|^2 frac(1, R) accent(n, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/28.png")
|
||
|
||
*Движение с постоянным ускорением*
|
||
|
||
Зависимость скорости материальной точки от времени:
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = "const"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)(t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t
|
||
$
|
||
|
||
$accent(v, arrow)_0$ - скорость материальной точки в момент времени $t = 0$.
|
||
|
||
*Зависимость радиуса-вектора материальной точки от времени:*
|
||
|
||
$accent(a, arrow) = "const"$
|
||
|
||
$accent(v, arrow)(t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t$
|
||
|
||
$
|
||
accent(r, arrow)(t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
$accent(r, arrow)_0$ - радиус-вектор материальной точки в момент времени $t = 0$
|
||
|
||
*Перемещение материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$:*
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = "const", space accent(v, arrow)(t) = accent(v, arrow)_0 + accent(a, arrow) dot t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta accent(r, arrow) (t) = integral_0^t accent(v, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta accent(r, arrow) (t) = accent(v, arrow)_0 t + frac(accent(a, arrow) t^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/29.png")
|
||
|
||
*Проекция на ось $0x$ перемещения материальной точки за интервал времени от $0$ до $t$:*
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$(Delta accent(r, arrow))_x = Delta x = frac(v_x^2 - x_(0 x)^2, 2 a_x)$
|
||
]
|
||
|
||
]
|
||
|
||
*Средняя скорость прохождения отрезка пути.*
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[
|
||
$v_"ср" = frac(S, Delta t)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Средней путевой скоростью движения точки называется скалярная величина равная отношению пути, пройденного точкой за интервал времени $Delta t$, к его продолжительности.
|
||
|
||
#image("assets/30.png")
|
||
|
||
Пример. Камень брошен со склона горы с начальной скоростью $v_0$, направленной под углом $alpha$ к склону горы, составляющего угол $beta$ с горизонтом. На каком расстоянии от точки бросания $l$ упадет камень?
|
||
|
||
#image("assets/31.png")
|
||
|
||
Выразим высоту в треугольнике через модуль каждого из векторов по очереди.
|
||
|
||
$
|
||
v_0 t sin alpha = frac(g t^2, 2) cos beta
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
t = frac(2 v_0 sin alpha, g cos beta)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
l = frac(2 v_0^2 sin alpha, g cos beta)(cos alpha + frac(sin alpha sin beta, cos beta)) = frac(2v_0^2 sin alpha, g cos^2 beta) cos(alpha - beta)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/32.png")
|
||
|
||
3). Проекцию перемещения материальной точки за интервал времени от $t_1$ до $t_2$:
|
||
|
||
$
|
||
(Delta accent(r, arrow))_x = 2 - 0.5 = 1.5 м
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/33.png")
|
||
#image("assets/34.png")
|
||
|
||
Пример. Материальная точка движется вдоль оси $0x$.
|
||
|
||
+ Укажите момент времени, когда мгновенная скорость точки максимальна.
|
||
|
||
+ Укажите момент времени $t_1$, когда мгновенная скорость совпадает по величине со средней путевой скоростью за интервал времени от $0$ до $t_1$.
|
||
|
||
#image("assets/35.png")
|
||
|
||
Пример. Материальная точка покоится в начале координат. В момент времени $t = 0$ она начинает движение вдоль оси $0x$. На рисунке показан график зависимости проекции ее ускорения на ось $0x$ от времени. Определите:
|
||
|
||
+ В какие моменты времени модуль скорости точки возрастает
|
||
|
||
+ В какой момент времени направление движения точки изменяется на противоположное.
|
||
|
||
+ Максимальное значение модуля скорости точки
|
||
|
||
+ На какое максимальное расстояние точка удалилась от начала координат
|
||
|
||
#image("assets/36.png")
|
||
|
||
=== Лекция 2. Кинематика вращательного движения.
|
||
|
||
#image("assets/37.png")
|
||
#image("assets/38.png")
|
||
|
||
Направление вектора угла поворота определяют по правилу правого винта: если смотреть вдоль вектора угла поворота, то мы будем видеть поворот, совершающимся по часовой стрелке.
|
||
|
||
#image("assets/39.png")
|
||
#image("assets/40.png")
|
||
#image("assets/41.png")
|
||
#image("assets/42.png")
|
||
#image("assets/43.png")
|
||
|
||
При рассмотрении таких векторов, как радиус-вектор, скорость или сила и. т. п., вопрос о выборе их направления не возникает - оно вытекает естественным образом из природы этих величин. Такие векторы называют полярными или истинными. Векторы, направление которых связано с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.
|
||
|
||
При изменении условия, определяющего направление псевдовекторов, например, переходе от правой системы координат к левой псевдовекторы меняют направление на противоположное, а полярные остаются без изменений. Если оба вектора в векторном произведении полярные (или аксиальные), то векторное произведение - аксиальный вектор.
|
||
|
||
Произведение полярного вектора на аксиальный будет полярным вектором. Изменение условия, определяющего направление псевдовекторов на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед аксиальным вектором. В итоге направление векторного произведения не изменится.
|
||
|
||
#image("assets/44.png")
|
||
#image("assets/45.png")
|
||
#image("assets/46.png")
|
||
#image("assets/47.png")
|
||
#image("assets/48.png")
|
||
|
||
Положение твердого тела однозначно определяется положением плоской фигуры $Phi$ в неподвижной плоскости $P$. Выберем произвольные точки $A'$ и $O'$ плоской фигуры $Phi$. Положение фигуры $Phi$
|
||
в плоскости $P$ можно определить, задав радиус-вектор $accent(r, arrow)_0$ точки $O'$ и угол между радиусом-вектором $accent(r, arrow)'$ задающим положение $A'$ относительно $O'$ (этот вектор жестко связан с фигурой) и некоторым фиксированным направлением в $K$ - системе отсчета.
|
||
|
||
Выберем произвольные точки $A$ и $O'$ плоской фигуры $Phi$. Положение фигуры $Phi$ в плоскости $P$ можно определить, задав радиус-вектор $accent(r, arrow)_0$ точки $O'$ и угол между радиусом-вектором $accent(r, arrow)'$, задающим положение $A$ относительно $O'$, и некоторым фиксированным направлением в $K$ - системе отсчета (например, с осью $0x$).
|
||
|
||
#image("assets/49.png")
|
||
|
||
Заметим, что, если $accent(r, arrow)'$ повернется на угол $d phi$, на такой же угол повернется и любой другой отрезок фигуры. Угловая скорости фигуры не зависит от выбора точки $O'$
|
||
|
||
Введем вспомогательную систему отсчета $K'$, с началом отсчета в точке $O'$. Оси $0x$ и $0x'$ направим параллельно. Пусть система отсчета $K'$ перемещается поступательно относительно $K$. Элементарное перемещение $d accent(r, arrow)$ точки $A$ в $K$ - системе
|
||
|
||
$
|
||
d accent(r, arrow) = d accent(r, arrow)_0 + d accent(r, arrow)' space (1)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/50.png")
|
||
|
||
Скорость любой точки $A$ твердого тела при плоском движении складывается из скорости $accent(v, arrow)_0$ произвольной точки $O'$ тела и $accent(v, arrow)' = [accent(omega, arrow), accent(r, arrow)']$ скорости, обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку $O'$.
|
||
|
||
#image("assets/51.png")
|
||
#image("assets/52.png")
|
||
#image("assets/53.png")
|
||
|
||
Орт $accent(e, arrow)_z$ направлен вдоль вектора угла поворота, первое слагаемое при подстановке в векторное произведение обратится в нуль. Рассмотрим второе слагаемое. Сначала рассмотрим общий случай, когда на движение точки не наложено никаких ограничений, в цилиндрической системе координат перемещение точки разделяют на две составляющие.
|
||
|
||
#image("assets/54.png")
|
||
#image("assets/55.png")
|
||
|
||
При вращении вокруг неподвижной оси $rho = R$ не изменяется. Нет радиального перемещения $d p$, есть только поперечное перемещение $rho d phi$. Нет радиальной скорости
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)_r = frac(d rho, d t) accent(e, arrow)_r
|
||
$
|
||
|
||
есть только трансверсальная скорость
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)_phi = rho frac(d phi, d t) accent(e, arrow)_phi = rho omega accent(e, arrow)_phi
|
||
$
|
||
|
||
А она в свою очередь может быть представлена в виде
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow) = [accent(omega, arrow), accent(r, arrow)]
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
R = r sin theta
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = omega R
|
||
$
|
||
|
||
=== Лекция 3. Динамика поступательного движения.
|
||
*Законы динамики Ньютона.*
|
||
|
||
I закон:
|
||
|
||
Существуют такие системы отсчета, в которых свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такие системы отсчета называются инерциальными.
|
||
|
||
II закон:
|
||
|
||
$
|
||
accent(a, arrow) = frac(accent(F, arrow)_Sigma, m)
|
||
$
|
||
|
||
$accent(F, arrow)_Sigma$ - сумма всех сил, действующих на тело
|
||
|
||
III закон:
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow)_(12) = -accent(F, arrow)_(21)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/56.png")
|
||
#image("assets/57.png")
|
||
#image("assets/58.png")
|
||
|
||
*Масса инертная и гравитационная*
|
||
|
||
Казалось бы, инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные свойства материи. Количественные меры этих свойств могли бы быть разными, но...
|
||
|
||
I. Впервые (сам не подозревая об этом) доказать на опыте равенство инертной и гравитационной масс пытался Галилей. Он проводил опыты, стремясь опровергнуть утверждение Аристотеля о том, что тяжелые тела падают быстрее легких.
|
||
|
||
$
|
||
m_"инертн" a = m_"грав" g
|
||
$
|
||
|
||
для всех тел.
|
||
|
||
II. Ньютон открыл закон всемирного тяготения, анализируя законы Кеплера и используя свой закон динамики.
|
||
|
||
$
|
||
m_"инертн" a = F_"грав" = G frac(m_"грав" M, r^2)
|
||
$
|
||
|
||
Он первый проверил пропорциональность инертной и гравитационной масс с точностью до $10^(-3)$
|
||
|
||
III. Современные эксперименты доказали равенство инертной и гравитационной масс с относительной погрешностью измерений до $10^(-12)$.
|
||
|
||
В классической механике можно выбрать один и тот же эталон для измерения обеих масс и говорить просто и массе, которая выступает как мера инертности тела и как мера его гравитационного взаимодействия.
|
||
|
||
*Принцип эквивалентности сил тяготения и сил инерции Эйнштейна.*
|
||
|
||
Общая теория относительности релятивистская теория гравитации. Равенство инертной и гравитационной масс заложено в основу теории. Все физические явления в однородном поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем однородном поле сил инерции.
|
||
|
||
*Законы Кеплера.*
|
||
|
||
+ Траектории, по которым движутся планеты, предствавляют собой эллипсы, а одном из фокусов которых находится Солнце.
|
||
|
||
+ Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, зачерчивает за равные промежутки времени одинаковые площади.
|
||
|
||
+ Для всех планет отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси эллиптической орбиты имеет одно и то же значение.
|
||
|
||
$
|
||
frac(T_1^2, R_1^3) = frac(T_2^2, R_2^3)
|
||
$
|
||
|
||
*Вывод третьего закона Кеплера из закона всемирного тяготения.*
|
||
|
||
Будем рассматривать движение по круговым орбитам
|
||
|
||
$
|
||
a_"цс" = frac(v^2, R) = frac(4 pi^2 R, T^2) = frac(F_"грав", m) = G frac(M_"Солн", R^2)
|
||
$
|
||
|
||
Для всех планет, вращающихся вокруг Солнца,
|
||
|
||
$
|
||
G frac(M_"солн", 4 pi^2) = frac(R^3, T^2) = "const"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(T_1^2, R_1^3) = frac(T_2^2, R_2^3)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/59.png")
|
||
#image("assets/60.png")
|
||
|
||
Пример. Брусок массой $m$ находится на наклонной плоскости, составляющей угол $alpha$ с горизонтом. Коэффицент трения бруска о плоскость равен $mu$. Вычислите силу трения, действующую на брусок.
|
||
|
||
#image("assets/61.png")
|
||
|
||
Если составляющая силы тяжести, направленная вдоль плоскости,
|
||
|
||
$
|
||
m g sin alpha
|
||
$
|
||
|
||
больше максимально возможного значения силы трения покоя, брусок скользит вдоль наклонной плоскости
|
||
|
||
$
|
||
F_"тр. ск." = mu N = mu m g cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
Если
|
||
|
||
$
|
||
m g sin alpha lt mu m g cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
F_"тр. покоя" = m g sin alpha
|
||
$
|
||
|
||
*Сила сопротивления*
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow)_"сопр" = -k accent(v, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
При больших скоростях
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow)_"сопр" = -k v accent(v, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/62.png")
|
||
#image("assets/63.png")
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow) = m dot frac(d^2 accent(r, arrow), d t^2) space.quad accent(a, arrow) = frac(accent(F, arrow)_"суммарн", m)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)(t) = accent(v, arrow)_0 + integral_0^t accent(a, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(r, arrow) (t) = accent(r, arrow)_0 + integral_0^t accent(v, arrow) space d t
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/64.png")
|
||
|
||
$
|
||
x' = x - V_x t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' = y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
z' = z
|
||
$
|
||
|
||
*Покажем, что законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.*
|
||
|
||
1. Масса не зависит от скорости, т.е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета:
|
||
|
||
$
|
||
m = m'
|
||
$
|
||
|
||
2.
|
||
$
|
||
t = t'; space.quad accent(a, arrow) = accent(a, arrow)' space.quad ("т.к." space frac(d^2 accent(r, arrow), d t^2) = frac(d^2 accent(r, arrow)', d t'^2))
|
||
$
|
||
|
||
3. Сила может зависеть от масс взаимодействующих тел, от взаимного расположения тел и от их относительной скорости.
|
||
|
||
#set math.cases(reverse: true)
|
||
$
|
||
cases(
|
||
accent(r, arrow)_1 - accent(r, arrow)_2 = accent(r, arrow)'_1 - accent(r, arrow)'_2,
|
||
accent(v, arrow)_1 - accent(v, arrow)_2 = accent(v, arrow)'_1 - accent(v, arrow)'_2,
|
||
m = m'
|
||
) arrow.double accent(F, arrow) = accent(F, arrow)'
|
||
$
|
||
|
||
*Принцип относительности Галилея.*
|
||
|
||
Законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
|
||
|
||
*Силы инерции*
|
||
|
||
При переходе из инерциальной системы отсчета в неинерциальную ускорения приобретают, в худшем случае, три математические добавки
|
||
|
||
$
|
||
m accent(a, arrow)_"нсо" = m(accent(a, arrow)_"исо" + accent(a, arrow)')
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Sigma accent(F, arrow)_"взаимодействия"
|
||
$
|
||
|
||
В неинерциальных системах отсчета можно формально сохранить вид II закона Ньютона, если добавить к силам взаимодействия силы инерции.
|
||
|
||
$
|
||
m accent(a, arrow)_"нсо" = Sigma accent(F, arrow)_"взаимодействия" + Sigma accent(F, arrow)_"инерции"
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/65.png")
|
||
#image("assets/66.png")
|
||
#image("assets/67.png")
|
||
#image("assets/68.png")
|
||
#image("assets/69.png")
|
||
|
||
=== Лекция 4. Второй закон Ньютона в импульсной форме. Закон сохранения импульса.
|
||
|
||
Второй закон Ньютона в импульсной форме. Основное уравнение динамики.
|
||
|
||
Импульс тела:
|
||
|
||
$
|
||
accent(p, arrow) = m accent(v, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(p, arrow)_2 - accent(p, arrow)_1 = accent(F, arrow) Delta t
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$(d accent(p, arrow))/(d t) = accent(F, arrow)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Приращение импульса тела равно импульсу действавшей на него силы.
|
||
|
||
$
|
||
[accent(p, arrow)] = ("кг" dot "м")/"с" space.quad floor.l accent(F, arrow) Delta t floor.r = "H" dot "c"
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/70.png")
|
||
|
||
*Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс.*
|
||
|
||
1. Радиус-вектор центра масс: $accent(r, arrow)_c = frac(sum_i m_i accent(r, arrow)_i, sum_i m_i)$
|
||
|
||
2. Скорость центра масс:
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)_c = frac(d accent(r, arrow)_c, d t) = frac(sum_i m_i accent(v, arrow)_i, sum_i m_i) = frac(accent(P, arrow)_"системы", m_"системы")
|
||
$
|
||
|
||
3. Закон движения центра масс системы частиц:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$m_"системы" frac(d accent(v, arrow)_c, d t) = frac(d accent(P, arrow)_"системы", d t) = sum_i accent(F, arrow)_(i "внешн.")$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
Центр масс любой системы частиц, движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней была бы приложены все внешние силы.
|
||
|
||
#image("assets/71.png")
|
||
|
||
*Ц - система.*
|
||
|
||
Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, называют системой отсчета центра масс или Ц-системой.
|
||
|
||
Отличительной особенностью Ц-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю.
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)_c = 0 = frac(accent(P, arrow)_"системы", m_"системы")
|
||
$
|
||
|
||
Для замкнутой системы частиц Ц-система является инерциальной.
|
||
|
||
Пример. Два электрона сближаются, двигаясь вдоль одной прямой. На какое минимальное расстояние они сблизятся, если на очень большом расстоянии друг от друга они имеют скорости $v_1 = 50 "м/с"$ и $v_2 = 20 "м/с"$.
|
||
|
||
#image("assets/72.png")
|
||
|
||
$
|
||
m frac(tilde(v)_1^2, 2) + m frac(tilde(v)_2^2, 2) + U_infinity = k frac(e^2, r_"min") + 0
|
||
$
|
||
|
||
В момент максимального сближения электронов их кинетическая энергия в Ц-системе равна нулю.
|
||
|
||
$r_"min" = frac(k e^2, m tilde(v)^2)$
|
||
|
||
*Закон сохранения импульса*
|
||
|
||
Импульс замкнутой системы частиц не изменяется с течением времени
|
||
|
||
1. В классической механике закон сохранения импульса является следствие из законов Ньютона:
|
||
|
||
$
|
||
frac(d accent(P, arrow)_"системы", d t) = sum_i accent(F, arrow)_(i "внешн.")
|
||
$
|
||
|
||
В замкнутой системе частиц
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow)_(i "внешн.") = 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(P, arrow)_"системы" = "const"
|
||
$
|
||
|
||
2. Закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.
|
||
|
||
*Закон сохранения импульса можно применять*
|
||
|
||
1. Если система частиц замкнута ($accent(F, arrow)_"внешн" = 0$)
|
||
|
||
2. Если $sum_i accent(F, arrow)_(i "внешн") = 0$
|
||
|
||
3. Если $sum_i F_(i x) = 0$, то $p_x = "const"$
|
||
|
||
4. Если кратковременные силы взаимодействия в системе во много раз превосходят по величине внешние силы
|
||
|
||
|
||
#image("assets/73.png")
|
||
#image("assets/74.png")
|
||
#image("assets/75.png")
|
||
#image("assets/76.png")
|
||
|
||
=== Лекция 5. Работа. Мощность. Энергия.
|
||
|
||
#image("assets/77.png")
|
||
|
||
*Элементарной работой* $delta A$ силы *$accent(F, arrow)$* на малом перемещении *$d accent(r, arrow)$* нызывается скалярное произведение *$accent(F, arrow)$* на *$d accent(r, arrow)$*.
|
||
|
||
*Работой* $A$, совершаемой силой *$accent(F, arrow)$* на конечном участке траектории точки ее приложения, называется алгебраическая сумма элементарных работ этой силы на всех малых частях этого участка.
|
||
|
||
#image("assets/78.png")
|
||
#image("assets/79.png")
|
||
|
||
*Мгновенная мощность силы*
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$N = frac(delta A, d t) = accent(F, arrow) frac(d accent(r, arrow), d t) = accent(F, arrow) accent(v, arrow) = F_tau dot v$]]
|
||
|
||
$
|
||
[N] = "Вт"
|
||
$
|
||
|
||
Мощностью (мгновенной мощностью) силы называется скалярная физическая величина $N$, равная отношению элементарной работы этой силы $delta A$ к малому промежутку времени $d t$, в течение которого эта работа совершается.
|
||
|
||
*Срядняя мощность силы*
|
||
|
||
Средней мощностью силы в интервале времени от $t$ до $t + Delta t$ называется физическая величина $N_"ср"$, равная отношению работы $A$, совершаемой этой силой за промежуток времени $Delta t$ к его продолжительности.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$N_"ср" = frac(A, Delta t)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
*Кинетической энергией* тела называется энергия его механического движения.
|
||
|
||
#image("assets/80.png")
|
||
#image("assets/81.png")
|
||
|
||
$
|
||
delta A = m v space d v
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
A = integral_I^(I I) m v space d v = frac(m v_(I I)^2, 2) - frac(m v_I^2, 2) = Delta E_K
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E_K = frac(m v^2, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Сумма работ всех сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии тела.
|
||
|
||
*Консервативные силы.*
|
||
|
||
*Стационарным* называют поле, остающееся постоянным во времени.
|
||
|
||
*Консервативными* называют силы, работа которых при перемещении частицы из одной точки в другую не зависит от пути между этими точками.
|
||
|
||
#image("assets/82.png")
|
||
|
||
*Диссипативными* называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна.
|
||
|
||
*Гироскопическими* называются силы, зависящие от скорости материальной точки, на которую они действуют, и направленные перпендикулярно к этой скорости. (Эти силы не могут совершать работы.)
|
||
|
||
*Центральные силы*
|
||
|
||
*Центральными* называют силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы.
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow) = plus.minus F(r) frac(accent(r, arrow), r)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/83.png")
|
||
|
||
*Потенциальной энергией частицы* называется энергия зависящая от ее положения в потенциальном поле.
|
||
|
||
*Потенциальной энергией системы частиц* называется часть энергии механической системы, зависящая только от ее конфигурации, т.е. от взаимного расположения всех частиц системы и от их положения во внешнем потенциальном поле.
|
||
|
||
#image("assets/84.png")
|
||
|
||
$
|
||
A_(12) = integral_1^2 accent(F, arrow)_"конс" space d accent(r, arrow) = U_1 - U_2 = - Delta U
|
||
$
|
||
|
||
Работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле. Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной (не зависящей от $accent(r, arrow)$) постоянной.
|
||
|
||
*Потенциальная энергия и сила поля.*
|
||
|
||
$
|
||
-d U = delta A = accent(F, arrow) space d accent(r, arrow) = F_tau space d l
|
||
$
|
||
|
||
$F_tau = - frac(diff U, diff l)$ Знак частной производной указывает на то, что производная берется по определенному направлению
|
||
|
||
$
|
||
F_x = - frac(diff U, diff x); space F_y = - frac(diff U, diff y); space F_z = - frac(diff U, diff z)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow) = -(frac(diff U, diff x) accent(i, arrow) + frac(diff U, diff y) accent(j, arrow) + frac(diff U, diff z) accent(k, arrow)) = -"grad" U = - gradient U
|
||
$
|
||
|
||
*Векторный дифференциальный оператор набла*
|
||
|
||
$
|
||
gradient C = (-frac(diff, diff x) accent(i, arrow) + frac(diff, diff y) accent(j, arrow) + frac(diff, diff z) accent(k, arrow)) C = "grad" C
|
||
$
|
||
|
||
*Напряженность и потенциал силового поля.*
|
||
|
||
Выделим величину, характеризующую частицу, находящуюся в силовом поле $(q, m)$. Останутся величины, характеризующие само поле - напряженность и потенциал.
|
||
|
||
$
|
||
accent(F, arrow) = q accent(E, arrow) space.quad U = q phi
|
||
$
|
||
|
||
$accent(E, arrow)$ - силовая характеристика поля
|
||
|
||
$phi$ - энергетическая характеристика поля
|
||
|
||
*Связь напряженность и потенциала*
|
||
|
||
$
|
||
accent(E, arrow) = -(frac(diff phi, diff x) accent(i, arrow) + frac(diff phi, diff y) accent(j, arrow) + frac(diff phi, diff z) accent(k, arrow)) = -"grad" phi
|
||
$
|
||
|
||
Напряженность поля направлена в сторону наибыстрейшего убывания его потенциала.
|
||
|
||
$
|
||
E_tau = frac(diff phi, diff tau) = 0
|
||
$
|
||
|
||
Линии напряженности направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.
|
||
|
||
*Силовое поле можно задать двумя способами:*
|
||
|
||
1. Указать значение потенциала в каждой точке
|
||
|
||
$
|
||
accent(E, arrow) = -(frac(diff phi, diff x) accent(i, arrow) + frac(diff phi, diff y) accent(j, arrow) + frac(diff phi, diff z) accent(k, arrow)) = -"grad" phi
|
||
$
|
||
|
||
2. Указать значение напряженности в каждой точке
|
||
|
||
$
|
||
phi = - integral E_r space d r
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/85.png")
|
||
#image("assets/86.png")
|
||
#image("assets/87.png")
|
||
#image("assets/88.png")
|
||
|
||
*Полная механическая энергия частицы в поле*
|
||
|
||
*Полной механической энергией* частицы в поле называют сумму ее кинетической и потенциальной энергии.
|
||
|
||
$
|
||
E_"полн. мех." = E_K + U
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta E_K = A_"консервативных сил" + A_"сторонних сил"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
A_"конс." = -Delta U
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta E_"полн. мех." = Delta (E_K + U) = A_"сторонних сил"
|
||
$
|
||
|
||
|
||
Приращение *полной механической энергии* частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех *сторонних сил*, действующих на частицу на этом пути.
|
||
|
||
#image("assets/89.png")
|
||
#image("assets/90.png")
|
||
|
||
*Собственная механическая энергия системы взаимодействующих частиц*
|
||
|
||
$
|
||
E_"собств" = E_K + U_"собств"
|
||
$
|
||
|
||
*Собственной механической энергией системы взаимодействующих частиц* называют сумму ее кинетической и собственной потенциальной энергии.
|
||
|
||
$
|
||
Delta E_(K "системы") = A_"внешних консервативных и неконсервативных сил" + A_"консервативных внутренних сил" + A_"диссипативных внутренних сил"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
A_"консервативных внутренних сил" = -Delta U_"соб."
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Delta(E_K + U_"соб") = A_"внешних сил" + A_"диссипативных внутренних сил"
|
||
$
|
||
|
||
*Закон сохранения собственной механической энергии:*
|
||
|
||
Собственная механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняется в процессе движения.
|
||
|
||
*Если в замкнутой системе частиц действуют диссипативные силы:*
|
||
|
||
$
|
||
Delta E_"собств" = A_"диссипативных внутренних сил" lt 0
|
||
$
|
||
|
||
Часть собственной механической энергии переходит во внутреннюю.
|
||
|
||
*Универсальный закон сохранения энергии*
|
||
|
||
Энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи.
|
||
|
||
|
||
#image("assets/91.png")
|
||
|
||
*Теория соударений.*
|
||
|
||
*Ударом* называется столкновение тел, при котором за весьма малый промежуток времени происходит значительное изменение скоростей тел.
|
||
|
||
*Линией удара* называется общая нормаль, проведенная к повехностям двух соприкасающихся тел в месте их соприкосновения при ударе.
|
||
|
||
Удар называется *центральным*, если в момент удара центры масс сталкивающихся тел находятся на линии удара.
|
||
|
||
Удар двух тел называется *абсолютно упругими*, если при этом ударе полная механическая энергия системы не изменяется.
|
||
|
||
Удар двух тел называется *абсолютно неупругим*, если после удара оба тела движутся как одно целое.
|
||
|
||
#image("assets/92.png")
|
||
|
||
Часть полной механической энергии системы переходит во внутреннюю:
|
||
|
||
$
|
||
frac(m_1 v_1^2, 2) + frac(m_2 v_2^2, 2) = frac((m_1 + m_2) v'^2, 2) + Q
|
||
$
|
||
|
||
Скорость центра масс системы не изменяется:
|
||
|
||
$
|
||
accent(v, arrow)'_c = frac(m_1 accent(v, arrow)_1 ' + m_2 accent(v, arrow)_2 ', m_1 + m_2) = frac(m_1 accent(v, arrow)_1 + m_2 accent(v, arrow)_2, m_1 + m_2) = accent(v, arrow)_c
|
||
$
|
||
|
||
*В системе отсчета, связанной с центром масс.*
|
||
|
||
$
|
||
tilde(accent(v, arrow))_1 = accent(v, arrow)_1 - accent(v, arrow)_c = frac(m_2 (accent(v, arrow)_1 - accent(v, arrow)_2), m_1 + m_2) space.quad tilde(accent(v, arrow))_2 = frac(m_1 (accent(v, arrow)_2 - accent(v, arrow)_1), m_1 + m_2)
|
||
$
|
||
|
||
До удара $tilde(accent(p, arrow))_1 = -tilde(accent(p, arrow))_2$, после удара $tilde(accent(p, arrow))' = 0$
|
||
|
||
Закон сохранения импульса: $tilde(accent(p, arrow))_1 + tilde(accent(p, arrow))_2 = 0$
|
||
|
||
Суммарная кинетическая энергия частиц целиком переходит во внутреннюю:
|
||
|
||
$
|
||
frac(m_1 m_2^2 |accent(v, arrow)_1 - accent(v, arrow)_2|^2, 2(m_1 + m_2)^2) + frac(m_2 m_1^2 |accent(v, arrow)_2 - accent(v, arrow)_1|^2, 2(m_1 + m_2)^2) = frac(1, 2) frac(m_1 m_2, m_1 + m_2) |accent(v, arrow)_2 - accent(v, arrow)_1|^2 = Q
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/93.png")
|
||
|
||
$
|
||
m_1 v_(1x) - m_1 v_(1x) ' = m_2 v_(2x) ' - m_2 v_(2x) space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
m_1(v_(1x)^2 - v_(1x)^('2)) = m_2 (v_(2x)^('2) - v_(2x)^2) space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_(1x) + v_(1x) ' = v_(2x) ' + v_(2x) space.quad (5)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнений (3) и (5) определяем:
|
||
|
||
$
|
||
v^'_(1x) = frac(2m_2v_(2x) + (m_1 - m_2)v_(1x), m_1 + m_2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_(2x)^' = frac(2m_1v_(1x) + (m_2 - m_1)v_(2x), m_1 + m_2)
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/94.png")
|
||
#image("assets/95.png")
|
||
|
||
=== Лекция 6. Динамика вращательного движения.
|
||
|
||
#image("assets/96.png")
|
||
#image("assets/97.png")
|
||
|
||
*Уравнение моментов*
|
||
|
||
$
|
||
frac(d accent(L, arrow), d t) = [frac(d accent(r, arrow), d t), accent(p, arrow)] + [accent(r, arrow), frac(d accent(p, arrow), d t)] = [accent(v, arrow), accent(p, arrow)] + [accent(r, arrow), accent(F, arrow)]
|
||
$
|
||
|
||
Закон динамики вращения частицы вокруг точки
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$frac(d accent(L, arrow), d t) = accent(M, arrow)$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
#image("assets/98.png")
|
||
#image("assets/99.png")
|
||
#image("assets/100.png")
|
||
|
||
*Вращение системы материальных точек вокруг точки. Уравнение моментов.*
|
||
|
||
$
|
||
accent(L, arrow)_"системы" = sum_i accent(L, arrow)_i
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d accent(L, arrow)_"системы", d t) = sum_i accent(M, arrow)_"внутренних сил" + sum_i accent(M, arrow)_"внешних сил" = sum_i accent(M, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
По 3 закону Ньютона $accent(F, arrow)_(i k) = -accent(F, arrow)_(k i)$
|
||
|
||
Внутренние силы направлены вдоль одной прямой. Их $accent(M, arrow)_Sigma = 0$
|
||
|
||
*Вращение твердого тела вокруг точки*
|
||
|
||
$
|
||
accent(L, arrow) = sum_i accent(L, arrow)_i
|
||
$
|
||
|
||
Закон динамики вращательного движения.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(
|
||
stroke: 1pt + red,
|
||
inset: (x: 20pt, y: 20pt)
|
||
)[
|
||
$frac(d accent(L, arrow), d t) = sum_i accent(M, arrow)_"внешних сил"$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
*Момент импульса частицы относительно оси.*
|
||
|
||
Момент импульса частицы относительно оси равен проекции момента импульса частицы относительно любой из точек оси на эту ось.
|
||
|
||
#image("assets/101.png")
|
||
|
||
*Момент силы, действующий на частицу, относительно оси.*
|
||
|
||
Момент силы относительно оси равен проекции момента силы относительно любой из точек оси на эту ось.
|
||
|
||
#image("assets/102.png")
|
||
#image("assets/103.png")
|
||
|
||
*Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.*
|
||
|
||
Полученные выше уравнения справедливы для каждой из точек твердого тела. Но необходимо помнить о том, что внутренние сил (силы взаимодействия частей тела) образуют пары. Моменты пар внутренних сил равны нулю. Момент импульса твердого тела может изменяться под действием только внешних сил.
|
||
|
||
*Для каждой из точек твердого тела закон динамики вращательного движения*
|
||
|
||
$
|
||
frac(d L_z, d t) = M_z space.quad m rho^2 epsilon_z = M_z
|
||
$
|
||
|
||
Для всех точек твердого тела значения $omega_z$ и $epsilon_z$ одинаковы.
|
||
|
||
Произведения $m rho^2$ для всех точек различны. Просуммируем эти значения для всех точек твердого тела (получим момент инерции), тогда можно будет записать закон динамики вращательного движения для всего твердого тела.
|
||
|
||
#image("assets/104.png")
|
||
|
||
$
|
||
I_0
|
||
$
|
||
|
||
Центральный момент инерции момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
|
||
|
||
|
||
#image("assets/105.png")
|
||
#image("assets/106.png")
|
||
#image("assets/107.png")
|
||
#image("assets/108.png")
|
||
#image("assets/109.png")
|
||
#image("assets/110.png")
|
||
#image("assets/111.png")
|
||
|
||
Закон динамики вращшения твердого тела вокруг неподвижной оси связывает скалярные величины.
|
||
|
||
$
|
||
M_(z "внешн") = frac(d L_z, d t) = I dot frac(d omega_z, d t) = I dot epsilon_z
|
||
$
|
||
|
||
Однако, для каждого твердого тела есть особые оси (они называются главными) при вращении относительно которых тот закон можно записывать в векторном виде. (Просто $L z$ направлен вдоль оси вращения.)
|
||
|
||
#image("assets/112.png")
|
||
|
||
Вы будете решать самые простые задачи только про вращение твердых тел вокруг их главных осей, поэтому не удивляйтесь, если увидите в учебнике этот закон записанным в векторном виде.
|
||
|
||
#image("assets/113.png")
|
||
#image("assets/114.png")
|
||
|
||
|
||
3. Связь линейного и углового ускорений.
|
||
|
||
$
|
||
a = epsilon R space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
Из (1) и (3) $frac(m a, 2) = F_"тр" space.quad (4)$
|
||
|
||
Из (2) и (4) $a = frac(2, 3) g sin alpha$
|
||
|
||
#image("assets/115.png")
|
||
|
||
#image("assets/116.png")
|
||
|
||
Из (1), (2) и (3)
|
||
|
||
$
|
||
a = frac(m g sin alpha, m + frac(I_0, R^2)) space.quad t = sqrt(frac(2 S, a))
|
||
$
|
||
|
||
Чем больше момент инерции цилиндра, тем больше время скатывания.
|
||
|
||
#image("assets/117.png")
|
||
|
||
2. Закон динамики поступательного движения грузов. В проекции на ось $X$.
|
||
|
||
$
|
||
m_1 a = m_1 g - T_1
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
m_2 a = -m_2 g + T_2
|
||
$
|
||
|
||
3. Связь линейного и углового ускорений.
|
||
|
||
$
|
||
a = epsilon R space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
Из (1), (2) и (3).
|
||
|
||
$
|
||
a = frac(g(m_1 - m_2), frac(m, 2) + m_1 + m_2) space.quad (4)
|
||
$
|
||
|
||
Из (2) и (4) определяем $T_1$ и $T_2$.
|
||
|
||
#image("assets/118.png")
|
||
|
||
$
|
||
T R = frac(m R^2, 2) epsilon space.quad (1)
|
||
$
|
||
|
||
2. Закон динамики поступательного движения цилиндра. В проекции на ось $X$.
|
||
|
||
$
|
||
m a = m g - T space.quad (2)
|
||
$
|
||
|
||
3. Связь линейного и углового ускорений.
|
||
|
||
$
|
||
a = epsilon R space.quad (3)
|
||
$
|
||
|
||
Из (1) и (3). $T = frac(m a, 2) space.quad (4)$
|
||
|
||
Из (2) и (4). $a = frac(2, 3)g$
|
||
|
||
#image("assets/119.png")
|
||
#image("assets/120.png")
|
||
#image("assets/121.png")
|
||
#image("assets/122.png")
|
||
#image("assets/123.png")
|
||
#image("assets/124.png")
|
||
|
||
*Закон сохранения момента импульса*
|
||
|
||
1. Классическая механика. Запишем уравнение моментов *при вращении материальной точки относительно точки* $frac(d accent(L, arrow), d t) = accent(M, arrow)$
|
||
|
||
Если $accent(M, arrow),$ то $accent(L, arrow) = "const"$
|
||
|
||
*При вращении материальной точки вокруг неподвижной оси*
|
||
|
||
Закон динамики вращательного движения
|
||
|
||
$
|
||
frac(d L_z, d t) = M_z
|
||
$
|
||
|
||
Если $M_z = 0$, то #rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$L_z = "const"$]
|
||
|
||
$
|
||
m rho^2 omega_z = "const"
|
||
$
|
||
|
||
*При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси*
|
||
|
||
Закон динамики вращательного движения
|
||
|
||
$
|
||
M_(z "внешних сил") = frac(d L_z, d t) = I dot frac(d omega_z, d t) = I dot epsilon_z
|
||
$
|
||
|
||
Если $M_(z "внешних сил") = 0$
|
||
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$L_z = I omega_z = "const"$] $space.quad epsilon_z = 0$
|
||
]
|
||
|
||
2. Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы.
|
||
|
||
#image("assets/125.png")
|
||
#image("assets/126.png")
|
||
#image("assets/127.png")
|
||
#image("assets/128.png")
|
||
#image("assets/129.png")
|
||
#image("assets/130.png")
|
||
|
||
*Пример.* Человек стоит на краю неподвижной карусели радиусом $r$ и ловит мяч, летящий по касательной к карусели со скоростью $v$. Момент инерции человека $I_"ч"$, момент инерции карусели $I_"к"$. С какой угловой скоростью начнет вращаться карусель? Как уменьшится кинетическая энергия карусели?
|
||
|
||
$
|
||
m v r = (m r^2 + I_"к" + I_"ч")omega
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E к_1 - E к_2 = frac(m v^2, 2) - frac((m r^2 + I_"к" + I_"ч")omega^2, 2) gt 0
|
||
$
|
||
|
||
*Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела*
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$E_"к" = frac(m v_c^2, 2) + frac(I_0 omega^2, 2)$]]
|
||
|
||
$v_c$ - скорость движения центра масс
|
||
|
||
$omega$ - угловая скорость вращения твердого тела, вокруг оси, проходящей через центр масс.
|
||
|
||
$I_0$ - центральный момент инерции твердого тела
|
||
|
||
#image("assets/131.png")
|
||
|
||
*Задание.* Вычислите центральный момент инерции шара
|
||
|
||
=== Лекция 7. Специальная теория относительности.
|
||
|
||
*Постулаты Эйнштейна*
|
||
|
||
*I. Принцип относительности:*
|
||
|
||
Все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны, т. е. не меняются, при переходе от одной инерциальной системы отсчеты к другой. Другими словами, все инерциальные системы отсчета эквивалентны (неразличимы) по своими физическим свойствам; никакими опытами нельзя выделить одну из них как предпочтительную.
|
||
|
||
*II. Принцип инвариантности скорости света:*
|
||
|
||
Скорость света в вакууме не зависит от движения источника света и одинакова во всех направлениях. Это значит, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
|
||
|
||
#image("assets/132.png")
|
||
#image("assets/133.png")
|
||
#image("assets/134.png")
|
||
#image("assets/135.png")
|
||
|
||
*Интервал между событиями 1 и 2*
|
||
|
||
$S_(12) = sqrt(c^2 t_(12)^2 - l_(12)^2) = "inv"$
|
||
|
||
_I. Пространственноподобный интервал_ $l_(12) gt c t_(12)$
|
||
|
||
Можно найти такую $K'$ систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно
|
||
|
||
$
|
||
(t_(12)^' = 0) c^2 t_(12)^2 - l_(12)^2 = -l_(12)^('2)
|
||
$
|
||
|
||
_II. Времениподобный интервал_ $c t_(12) gt l_(12)$
|
||
|
||
Можно найти такую $K'$ систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке
|
||
|
||
$
|
||
(l_(12)^' = 0) c^2 t_(12)^2 - l_(12)^2 = c^2 t_(12)^('2)
|
||
$
|
||
|
||
_III. Светоподобный интервал_ $c t_(12) = l_(12)$
|
||
|
||
События, разделенные времениподобными и светоподобными интервалами $l_(12) lt.eq c t_(12)$ могут быть причинно-связаны друг с другом.
|
||
|
||
#image("assets/136.png")
|
||
#image("assets/137.png")
|
||
#image("assets/138.png")
|
||
|
||
Из преобразований Лоренца видно, что в теории относительности можно говорить об "определенном моменте времени" лишь применительно к какой-либо инерциальной системе отсчета. Так, например, одному моменту времени в системе отсчета $K$ (одному определенному значению времени $t$ в этой системе) соответствует множество значений времени $t'$ в системе отсчета $K'$ в зависимости от значений координаты $x$.
|
||
|
||
#image("assets/139.png")
|
||
#image("assets/140.png")
|
||
#image("assets/141.png")
|
||
|
||
аналогично получаем выражение для $v'_(z')$
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v'_(z') = frac(v_z sqrt(1 - (frac(V, c))^2), 1 - frac(v_x V, c^2))$]]
|
||
|
||
Модуль скорости
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v' = sqrt(v_x^('2) + v_y^('2) + v_z^('2))$]]
|
||
|
||
Преобразование скорости при переходе из $K'$ в $K$.
|
||
|
||
$
|
||
v_x = frac(d x, d t) = frac(frac(d x, d t'), frac(d t, d t'))
|
||
$
|
||
|
||
#image("assets/142.png")
|
||
|
||
Действуя аналогично, получаем выражение для
|
||
|
||
$
|
||
v_y = frac(v'_(y') sqrt(1 - (frac(V, c))^2), 1 + frac(v'_(x') V, c^2))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v_z = frac(v'_(z') sqrt(1 - (frac(V, c))^2), 1 + frac(v'_(x')V, c^2))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)
|
||
$
|
||
|
||
Формулы преобразования идентичны. $K'$ - система отсчета движется относительно $K$-системы со скоростью $V$, $K$-система относительно $K'$ со скоростью - $V$.
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v'_(x') = frac(v_x - V, 1 - frac(v_x V, c^2))$]]
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$v_x = frac(v'_(x') + V, 1 + frac(v'_(x')V, c^2))$]]
|
||
|
||
Это подтверждает тот факт, что системы отсчета равноправны.
|
||
|
||
*Преобразование ускорения при переходе из $K$ в $K'$*
|
||
|
||
Формулы преобразования идентичны. $K'$-система отсчета движется относительно $K$-системы со скоростью $V, K$-система относительно $K'$ со скоростью $-V$.
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$a'_(x') = frac(d v'(x'), d t') = a_x (
|
||
|
||
frac(
|
||
sqrt(1 - frac(V^2, c^2))
|
||
,
|
||
|
||
1 - frac(v_x V, c^2)
|
||
|
||
))^3$]]
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$a'_(y') = frac(d v'_(y'), d t') = [(1 - frac(v_x V, c^2))a_y + frac(v_y V, c^2)a_x] frac(1 - frac(V^2, c^2), (1 - frac(v_x V, c^2))^3)$]]
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$a'_(z') = frac(d v'_(z'), d t') = [
|
||
(1 - frac(v_x V, c^2))a_z + frac(v_z V, c^2) a_x] frac(1 - frac(V^2, c^2), (1 - frac(v_x V, c^2))^3)$]]
|
||
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$
|
||
a_x = frac(d v_x, d t) = a'_(x')(
|
||
|
||
frac(sqrt(1 - frac(V^2, c^2)), 1 - frac(v'_(x')V, c^2))
|
||
|
||
|
||
)^3
|
||
$]]
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$
|
||
a_z = frac(d v_z, d t) = [
|
||
(1 - frac(v'_(x')V, c^2))a'_(z') - frac(v'_(z')V, c^2) a'_(x')
|
||
|
||
]frac(1 - frac(V^2, c^2), (1 + frac(v'_(x')V, c^2))^3)
|
||
$]]
|
||
|
||
*Получим выражение для релятивистского импульса частицы.*
|
||
|
||
Будем исходить из того, что закон сохранения импульса должен выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Рассмотрим две одинаковые частицы, которые в системе отсчета $K$ движутся навстречу друг другу с равными по модулю скоростями $v_0$. Выберем систему $K'$, которая движется вдоль оси $X$ со скоростью равной проекции скорости первой частицы на $X$. В этой системе первая частица движется со скоростью $accent(u, arrow)$ вверх.
|
||
|
||
#image("assets/143.png")
|
||
|
||
Рассмотрим также вторую систему отсчета $K''$, которая движется навстречу оси $X$ со скоростью, равной проекции скорости второй частицы на ось $X$. В этой системе отсчета вторая частица движется навстречу оси $Y''$ со скоростью $u$. необходимо, чтобы в любой системе отсчета получалось, что при столкновении частицы остановятся, так как выполнился ЗСИ.
|
||
|
||
#image("assets/144.png")
|
||
#image("assets/145.png")
|
||
|
||
*Основное уравнение релятивистской динамики*
|
||
|
||
$
|
||
frac(d accent(p, arrow), d t) = accent(F, arrow)
|
||
$
|
||
|
||
Релятивистский импульс частицы
|
||
|
||
$
|
||
accent(p, arrow) = frac(m accent(v, arrow), sqrt(1 - (frac(v, c))^2))
|
||
$
|
||
|
||
*Кинетическая энергия релятивистской частицы*
|
||
|
||
$
|
||
E_"к" = m c^2 (frac(1, sqrt(1 - (frac(v, c))^2)) - 1)
|
||
$
|
||
|
||
Энергия покоя $E_0 = m c^2$
|
||
|
||
$m(m_0)$ Масса (Ранее говорили "масса покоя")
|
||
|
||
*Полная энергия релятивистской частицы*
|
||
|
||
$
|
||
E_"полн" = E_"кин" + E_0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E_"полн" = frac(m c^2, sqrt(1 - (frac(v, c))^2))
|
||
$
|
||
|
||
Полная энергия частицы и ее импульс связаны соотношением.
|
||
|
||
$
|
||
frac(E^2, c^2) - p^2 = m^2 c^2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4
|
||
$
|
||
|
||
При переходе от одной системы отсчета к другой не изменяется масса частицы, следовательно, релятивистским инвариантом является
|
||
|
||
$
|
||
frac(E^2, c^2) - p^2 = frac(E^('2), c^2) - p^('2) = frac(E_0^2, c^2)
|
||
$
|
||
|
||
*Фотон.*
|
||
|
||
Фотон - квант света. Скорость фотона равна $c$.
|
||
|
||
Поскольку знаменатель в формуле для импульса обращается в нуль,
|
||
|
||
|
||
$
|
||
accent(p, arrow) = frac(m accent(v, arrow), sqrt(1 - (frac(v, c))^2))
|
||
$
|
||
|
||
масса фотона равна нулю.
|
||
|
||
*Энергия фотона.*
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$E = h theta.alt = frac(h c, lambda)$]]
|
||
|
||
$theta.alt$ - частота света
|
||
|
||
$lambda$ - длина волны света
|
||
|
||
Вычислим *импульс фотона*. Для этого воспользуемся формулой, связывающей энергию и импульс частицы.
|
||
|
||
$
|
||
frac(E^2, c^2) - p^2 = m^2 c^2 = 0
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[#rect(stroke: 1pt + red, inset: (x: 20pt, y: 20pt))[$p = frac(E, c) = frac(h theta.alt, c) = frac(h, lambda)$]]
|