#set page(numbering: "- 1 -")
#set text(size: 1.3em)

#align(center)[= _Задачи_]

#align(center)[=== _Закон Кулона. Принцип суперпозиции_]

*1*. _На шелковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^+$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^+$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое._ 

*Решение*:

На шар действуют следующие силы: 

- Сила тяжести: $F_g = m g$ (действует вниз)
- Сила натяжения нити: $T$ (действует вдоль нити)
- Сила электрического отталкивания $F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$ (действует горизонтально, если шар $q_2$ подносят сбоку)

Теперь нить отклонилась на угол $theta$ с вертикалью (под действием электрической силы).

Найдем компоненты: 

- Вертикальная: $T cos theta = m g$
- Горизонтальная: $T sin theta = F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$

Так как натяжение нити уменьшилось вдвое: $T = frac(m g, 2)$.

Подставим в вертикальную компоненту: 

$
T cos theta = m g arrow.double frac(m g, 2) cos theta = m g arrow.double cos theta = 2
$

Так как $cos theta$ не может быть больше $1$, мы понимаем, что что-то не так...

Используем теорему Пифагора для сил: 

$
T = sqrt((m g)^2 + F^2_e)
$

- Изначально $F_e = 0 arrow.double T_0 = m g$
- Теперь $T = frac(m g, 2)$

$
T = sqrt((m g)^2 + F_e^2) = frac(m g, 2) arrow.double F_e^2 + (m g)^2 = (frac(m g, 2))^2 \
F_e^2 = (frac(m g, 2))^2 - (m g)^2 = frac(m^2 g^2, 4) - m^2 g^2 = -frac(3m^2 g^2, 4)
$

Получилось отрицательное число...

То есть: 

$
F_e = T_0 - T = m g - frac(m g, 2) = frac(m g, 2)
$

$
F_e = k frac(q_1 q_2, l^2) = frac(m g, 2)
$

Отсюда: 

$
l^2 = frac(2 k q_1 q_2, m g) arrow.double l = sqrt(frac(2 k q_1 q_2, m g))
$

*Ответ*: $l = sqrt(frac(2 k q_1^+ q_2^+, m g))$

#line(length: 100%)

*2*. _К потолку в одной точке на шелковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Раастояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет виды: $v(x) = frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ - некоторая постоянная)._ 

*Решение*:

Для одного шарика вертикальная и горизонтальная составляющие сил дают: 

- вертикальная: $T cos theta = m g$
- горизонтальная: $T sin theta = F_e$

гдe $F_e$ - кулоновская сила отталкивания между шариками: 

$
F_e = k frac(q^2, x^2)
$

При малом отклонении $sin theta approx tan theta approx frac(x/2, l) = frac(x, 2 l)$ (смещение одного шарика по горизонтали равно $x/2$). Подставим $T approx m g$ (поскольку $cos theta approx 1$) в горизонтальное уравнение: 

$
m g dot frac(x, 2 l) approx F_e = k frac(q^2, x^2)
$

Отсюда найдем зависимость $q$ от $x$:

$
k frac(q^2, x^2) = frac(m g x, 2 l) arrow.double q^2 = frac(m g, 2 k l) x^3
$

Значит 

$
q(x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(3/2)
$

По цепному правилу: 

$
frac(d q, d t) = frac(d q, d x) dot frac(d x, d t).
$

Вычислим производную по $x$:

$
frac(d q, d x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) dot 3/2 x^(1/2).
$

Теперь используем заданную скорость. Поскольку $v(x)$ дана как модуль скорости сближения, скорость изменения расстояния $x$ равна 

$
frac(d x, d t) = -frac(alpha, sqrt(x))
$

Подставляем: 

$
frac(d q, d t) = 3/2 sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(1/2) dot (-frac(alpha, sqrt(x))) = -frac(3, 2) alpha sqrt(frac(m g, 2 k l))
$


*Ответ*: $frac(d q, d t) = frac(3 alpha, 2)sqrt(frac(m g, 2 k l))$

#line(length: 100%)
*3*. _Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r_1)$ и $arrow(r_2)$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r_3)$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна $0$._

*Решение*: 

Чтобы сила на $q_1$ была нуль, векторная сумма сил от $q_2$ и $q_3$ на $q_1$ должна быть нулём. Это значит, что силы от $q_2$ и $q_3$ действуют вдоль одной линии и противоположны по направлению. Отсюда следует, что $arrow(r)_3$ лежит на прямой, проходящей через $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Аналогично для равновесия $q_2$. Поэтому $arrow(r)_3$ лежит на отрезке между $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$.

Пусть $L = |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|$ — расстояние между первыми двумя зарядами. Обозначим

$
d_(13) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|, space.quad d_(23) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_2|.
$

Тогда $d_(13) + d_(23) = L$

Уравнения равновесия

Сила Кулона по модулю между точками $i$ и $j$ (в масштабе $k$):
$
F_(i j) = k frac(|q_i q_j|, d_(i j)^2).
$

Для заряда $q_1$: силы от $q_2$ и $q_3$ должны компенсировать друг друга, значит по модулю
$
k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_1 |q_3|, d_(13)^2).
$
Отсюда (сокращая $k$ и $q_1$, $q_1 > 0$):
$
frac(q_2, L^2) = frac(|q_3|, d_(13)^2).
$
Помня, что $q_3$ отрицателен, можно записать
$
q_3 = -q_2 frac(d_(13)^2, L^2). space.quad space.quad (1)
$

Аналогично для заряда $q_2$:
$
k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_2 |q_3|, d_(23)^2),
$
откуда (сократив $k$ и $q_2$):
$
frac(q_1, L^2) = frac(|q_3|, d_(23)^2) space.quad arrow.double space.quad q_3 = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2). space.quad space.quad (2)
$

Приравняем правые части (1) и (2) — обе равны $q_3$:
$
-q_2 frac(d_(13)^2, L^2) = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2) space.quad arrow.double space.quad q_2 d_(13)^2 = q_1 d_(23)^2.
$

Возвращаемся к параметризации расстояний: положим $d_(13) = t$. Тогда $d_(23) = L - t$. Подставим:
$
q_2 t^2 = q_1 (L-t)^2.
$

Возьмём корни (положительные, так как $t gt 0$, $L - t > 0$):
$
sqrt(q_2), t = sqrt(q_1) (L-t).
$

Решаем относительно $t$:
$
t(sqrt(q_2) + sqrt(q_1)) = sqrt(q_1) L space.quad arrow.double space.quad t = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)) L.
$

Теперь вернёмся к векторной форме: точка $arrow(r)_3$ находится на отрезке $arrow(r)_1 arrow arrow(r)_2$ на расстоянии $t$ от $arrow(r)_1$. Значит
$
arrow(r)_3 = arrow(r)_1 + frac(t, L)(arrow(r)_2 - arrow(r)_1) = arrow(r)_1 + frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))(arrow(r)_2 - arrow(r)_1).
$

Разворачивая:

$
arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1  ,  sqrt(q_1) + sqrt(q_2)).
$

Наконец, подставим $t/L = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$ в (1) для $q_3$:
$
q_3 = -q_2 (t/L)^2 = -q_2(frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)))^2 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
$

*Ответ*: $q_3 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$

#line(length: 100%)

*4*. _Точечный заряд $q = 50$ мкКл расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 = 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряженность $arrow(E)$ электрического поля и ее модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) - 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах._

*Решение*:

Найдём вектор $arrow(R)$ — радиус-вектор от заряда до точки наблюдения:
$
arrow(R) = arrow(r) - arrow(r)_0 = (8-2, -5-3) = (6, -8) "м".
$

Длина вектора
$
R=|arrow(R)| = sqrt(6^2+(-8)^2) = sqrt(36+64) = sqrt(100) = 10 "м".
$

Постоянная Кулона (в СИ):
$
k = frac(1, 4 pi epsilon_0) approx 8.9875517923 times 10^9 frac("Н" dot "м"^2, "Кл"^2).
$

Поле точечного заряда:
$
arrow(E)(arrow(r)) = k q frac(arrow(R), R^3).
$

Вычислим по шагам.

1. $k q = 8.9875517923 times 10^9 dot 50 times 10^(-6) = 449377.589615$.

2. $R^3 = 10^3 = 1000$.

3. множитель перед вектором $arrow(R)$:
$
frac(k q, R^3) = frac(449377.589615, 1000) = 449.377589615.
$

4. Компоненты поля:
$
E_x = 449.377589615 dot 6 = 2696.26553769 "В/м",
$
$
E_y = 449.377589615 dot (-8) = -3595.02071692 "В/м".
$

5. Модуль поля:
$
|arrow(E)| = sqrt(E_x^2 + E_y^2) = sqrt(2696.2655^2 + (-3595.0207)^2) = 4493.77589615 "В/м".
$

*Ответ*: $E = 4.5 "кВ/м"; arrow(E) = 2.7 arrow(i) - 3.6 arrow(j)$

#line(length: 100%)
*5*. _Точечные заряды $q^((+))$ и $q^((-))$ расположены по углам квадрата, диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин._

#align(center)[#image("assets/1.png")]

*Решение*:

Положение вершин и параметры

Диагональ квадрата = $2 l$. Пусть центр квадрата — начало координат, стороны параллельны осям $x, y$. Тогда координаты вершин можно взять как
$
(plus.minus a, plus.minus a, 0),
$
где
$
a = frac(l, sqrt(2))
$

Пусть заряды:

- в верхних вершинах ($ -a, +a, 0$) и ($+a, +a, 0$) — по $+q$;
- в нижних вершинах ($ -a, -a, 0$) и ($+a, -a, 0$) — по $-q$.

Точка наблюдения (вершина «пирамиды») находится на оси, проходящей через центр и перпендикулярно плоскости квадрата:
$
P(0,0,x).
$

Расстояние от любой вершины до точки $P$:
$
R = sqrt(a^2+a^2+x^2) = sqrt(2a^2+x^2) = sqrt(l^2+x^2).
$

Поле от одной вершины — векторная форма

Поле точечного заряда $q_i$ в точке $P$ равно
$
arrow(E)_i = k frac(q_i, R^3) arrow(R)_i,
$
где $arrow(R)_i$ — вектор от вершины к точке $P$.

Возьмём, например, вершину ($+a,+a,0$) с зарядом $+q$. Тогда
$
arrow(R) = (0 - a, 0 - a, x - 0) = (-a, -a, x).
$
Компоненты поля от этой вершины:
$
E_x^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
E_y^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
E_z^((1)) = k frac(q x, R^3).
$

Аналогично для остальных вершин — запишем вклады по компонентам и просуммируем, учитывая знаки зарядов.

Суммирование вкладов — симметрия

Из симметрии видно:

- $x$ - компоненты от вершин попарно отменяются (пары ($+a,+a$) и ($+a,-a$) дают противоположные $x$-компоненты с одинаковыми коэффициентами и одинаковыми зарядами по модулю — суммарно ноль).
- вертикальные ($z$) компоненты: верхние вершины дают вклад $+ k frac(q x, R^3)$ каждая, нижние — дают вклад $-q$ каждое, то есть вклад нижних равен $-k frac(q x, R^3)$ для каждой; суммарно $E_z = k frac(q x, R^3) + k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) = 0$. Иначе говоря, вертикальные компоненты компенсируются, потому что суммарный заряд равен нулю (две + и две −).
- $y$ - компоненты не компенсируются, а складываются с одинаковым знаком. Посчитаем их.

Возьмём по очереди все четыре угла. Для вершины ($+a,+a$) с $+q$ её $y$ - компонента равна
$
E_y^((+a,+a)) = k frac(q(-a), R^3).
$
Для вершины ($-a,+a$) с $+q$: $E_y^((-a,+a)) = k frac(q(-a), R^3)$. Их сумма даёт $2 dot k frac(q(-a), R^3)$.

Для нижних вершин с зарядом $-q$:

- вершина ($+a,-a$): вектор $arrow(R) = (-a, +a, x)$ (заметим: её $y$ - компонента равна $+a$), и заряд $-q$ даёт вклад $E_y^((+a,-a)) = (-q) dot k frac(+a, R^3) = -k frac(q a, R^3)$.
- вершина ($-a,-a$): аналогично даёт $-k frac(q a, R^3)$.

Сумма вкладов от нижних вершин: $-2 k frac(q a, R^3)$. Но обратим внимание: при записи выше знаки «минус» в координатах и знак заряда дают плюс в результате (следует внимательно проследить направление векторов). Если аккуратно пройти по всем четырём, то итоговая сумма $y$-компонент равна
$
E_y = 4 k frac(q a, R^3).
$
(Короткая проверка знаков: для верхних вершин $y$-вклад направлен в отрицательную сторону $y$ (т.к. вектор от вершины к точке имеет $y$-компонент $-a$), а для нижних вершин заряд отрицательный, и отрицательный заряд умноженный на положительную геометрическую $y$-компонент даёт тоже отрицательный вклад; все четыре вклада ориентированы в одну сторону — поэтому складываются.)

Компоненты $x$ суммарно 0, $z$ суммарно 0, остаётся единственная ненулевая компонента $y$.

Подставляем $a = frac(l, sqrt(2))$ и $R = sqrt(l^2+x^2)$

$
E = |E_y| = 4 k frac(q a, R^3) = 4 k frac(q, R^3) dot frac(l, sqrt(2)) = k frac(4, sqrt(2)) frac(q l, (l^2 + x^2)^(3/2)).
$
Упростим коэффициент:
$
frac(4, sqrt(2)) = 2 sqrt(2).
$

*Ответ*: $E = k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 + x^2)^(3/2))$

#line(length: 100%)
/*
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
**. __

*Решение*:

*Ответ*: 

#line(length: 100%)
*/

#align(center)[=== _Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса_]

*1*. _Напряженность электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2)$, где $alpha = "const"$, a $arrow(i), arrow(j)$ - орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат._ 

*Решение*: Преобразуем $arrow(E)$:

$
arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2) = frac(alpha (x arrow(i) + y arrow(j)), x^2 + y^2) = frac(alpha arrow(r), r^2)
$

Будем использовать сферические координаты: 

$
x = R sin theta cos phi \
y = R sin theta sin phi \
z = R cos theta
$


*Ответ*: $P = 4 pi alpha R$.

#line(length: 100%)

*2*. _Объемная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) = rho_0 (1 - r/R)$, где $rho_0 = "const"$. Найти:_

- _модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;_
- _максимальное значение модуля напряженности $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$._

_Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$._

*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) = frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 - frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) = frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max = 2/3 R, space.quad E_r (r_max) = frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.

*3*. _Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 " м"$, объемная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряженности электрического поля:_ 

- _на расстоянии $r = 0.1 " м"$ от центра шара;_
- _на поверхности шара;_
- _на расстоянии $r = 0.25 " м"$ от центра шара;_

_Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$._

*Ответ*: $E(0.1) approx 15 " В/м"$, $E(0.2) approx 30 " В/м" (r lt.eq R)$, $E(0.25) approx 96 " В/м"$, $E(0.2) approx 151 " В/м" (r gt.eq R)$. 

*4*. _Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещен в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon = 1$. Среда заполнена зарядом, объемная плотность которого $rho = alpha/r$, где $alpha$ - постоянная, а $r$ - расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от $r$._ 

*Ответ*: $q = 2 pi alpha R^2$.

*5*. _Система представлена областью пространства. По пространству распределен заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho = rho_0 "exp"(-alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряженности, как функцию $r$._

*Ответ*: $E_r = frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - "exp"(-alpha r^3))$.

*6*. _Рассчитать напряженность электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $sigma$. Расчет произвести 2-мя способами:_

- _с использованием закона Кулона;_
- _с использованием теоремы Гаусса._

*Ответ*: $arrow(E) = frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.

*7*. _Рассчитать напряженность электростатического поля создаваемого бесконечно длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $lambda$. Расчет произвести 2-мя способами:_

- _с использованием закона Кулона;_
- _с использованием теоремы Гаусса._

*Ответ*: $arrow(E) = frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.

*8*. _Рассчитать вектор напряженности электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объемной плотностью $rho$ и $-rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$._ 

*Ответ*: $arrow(E) = frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.

*9*. _Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) = frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ - постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике._


