diff --git a/assets/1.png b/assets/1.png
new file mode 100644
index 0000000..d550c06
Binary files /dev/null and b/assets/1.png differ
diff --git a/assets/10.png b/assets/10.png
new file mode 100644
index 0000000..94837a9
Binary files /dev/null and b/assets/10.png differ
diff --git a/assets/11.png b/assets/11.png
new file mode 100644
index 0000000..06f66d1
Binary files /dev/null and b/assets/11.png differ
diff --git a/assets/12.png b/assets/12.png
new file mode 100644
index 0000000..6f5cf05
Binary files /dev/null and b/assets/12.png differ
diff --git a/assets/2.png b/assets/2.png
new file mode 100644
index 0000000..115350a
Binary files /dev/null and b/assets/2.png differ
diff --git a/assets/3.png b/assets/3.png
new file mode 100644
index 0000000..064bb5d
Binary files /dev/null and b/assets/3.png differ
diff --git a/assets/4.png b/assets/4.png
new file mode 100644
index 0000000..a889a92
Binary files /dev/null and b/assets/4.png differ
diff --git a/assets/5.png b/assets/5.png
new file mode 100644
index 0000000..52bb93b
Binary files /dev/null and b/assets/5.png differ
diff --git a/assets/6.png b/assets/6.png
new file mode 100644
index 0000000..bc63a70
Binary files /dev/null and b/assets/6.png differ
diff --git a/assets/7.png b/assets/7.png
new file mode 100644
index 0000000..53bf8f4
Binary files /dev/null and b/assets/7.png differ
diff --git a/assets/8.png b/assets/8.png
new file mode 100644
index 0000000..57c58a3
Binary files /dev/null and b/assets/8.png differ
diff --git a/assets/9.png b/assets/9.png
new file mode 100644
index 0000000..f7778c0
Binary files /dev/null and b/assets/9.png differ
diff --git a/ex.pdf b/ex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5ccab37
Binary files /dev/null and b/ex.pdf differ
diff --git a/questions.pdf b/questions.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b111617
Binary files /dev/null and b/questions.pdf differ
diff --git a/questions.typ b/questions.typ
new file mode 100644
index 0000000..576d699
--- /dev/null
+++ b/questions.typ
@@ -0,0 +1,5312 @@
+#set text(size: 1.3em)
+#set page(numbering: "1")
+
+#align(center)[= _Кинематика_]
+
+*Q:* _*1*. Что изучает раздел механики - кинематика?_
+
+*A:* Кинематика — это раздел механики, который изучает *механическое движение тел*, то есть изменение их положения во времени относительно других тел, *без рассмотрения причин этого движения* (то есть без учёта сил и масс).
+
+В кинематике рассматривают:
+
+- траектории движения тел (прямолинейное, криволинейное);
+- путь и перемещение;
+- скорость (мгновенную, среднюю);
+- ускорение (тангенциальное, нормальное, полное);
+- законы движения (равномерное, равноускоренное и т.д.).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2*. В чем заключается абстракция, которая позволяет заменить реальное тело понятием «материальная точка»? Приведите примеры._
+
+*A:* Абстракция «материальная точка» заключается в том, что при изучении движения *размеры и форма реального тела заменяются одной точкой с массой*, если этими размерами можно пренебречь по сравнению с расстояниями движения или если они несущественны для задачи.
+
+То есть тело рассматривается как материальная точка, когда:
+
+- его *размеры малы* по сравнению с расстоянием движения;
+- *форма и вращение тела не важны* для анализа задачи;
+- нас интересует *только траектория центра масс*.
+
+Примеры:
+
+1. *Автомобиль на трассе Москва – Санкт-Петербург*: расстояние в сотни километров намного больше размеров автомобиля → можно считать его материальной точкой.
+2. *Самолет в полёте*: при изучении траектории полета размеры самолета несущественны.
+3. *Земля в движении вокруг Солнца*: диаметр Земли ничтожен по сравнению с расстоянием до Солнца.
+4. *Капля дождя, падающая вниз*: её размеры малы относительно высоты падения.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. Перечислите способы описания движения материальных тел. Дайте их краткую характеристику._
+
+*A:* Существует три основных способа описания движения материальных тел в кинематике:
+
+1. *Координатный способ (задаётся уравнение движения)*
+
+- Движение описывается через *зависимость координат тела от времени*:
+
+$
+x = x(t), space.quad y = y(t), space.quad z = z(t)
+$
+- Позволяет точно задать траекторию и положение тела в любой момент времени.
+- Используется, например, при описании равномерного или равноускоренного движения.
+
+2. *Векторный способ*
+
+- Положение тела описывается *радиус-вектором* $arrow(r)(t)$, проведённым из начала координат в точку нахождения тела.
+- Удобен при решении задач в пространстве, так как сразу учитывает направление.
+- На его основе определяются скорость $arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)$ и ускорение $arrow(a)(t) = frac(d arrow(v), d t)$.
+
+3. *Скалярный (траекторный) способ*
+
+- Движение описывается через *путь $s(t)$*, пройденный телом вдоль траектории за время $t$.
+- Подходит для простых задач, когда важна только длина траектории, а не положение в пространстве.
+- Применяется, например, в задачах о движении по дороге или поезда по рельсам.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Какие элементы входят в состав системы отсчета?_
+
+*A:* Система отсчёта в механике — это совокупность средств, с помощью которых описывается движение тел. В её состав входят три основных элемента:
+
+1. *Тело отсчёта*
+
+- Тело, относительно которого рассматривается движение других тел.
+- Примеры: Земля, поезд, автомобиль, лабораторный стол.
+
+2. *Система координат*
+
+- Способ задания положения точки в пространстве.
+- Может быть прямоугольная декартова, цилиндрическая, сферическая и т.д.
+
+3. *Часы (прибор для измерения времени)*
+
+- Позволяют отслеживать, как меняются координаты тела во времени.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. С помощью каких кинематических характеристик описывается движение материальной точки?_
+
+*A:* Движение материальной точки в кинематике описывается рядом основных характеристик:
+
+1. *Траектория* – линия, которую описывает точка в процессе движения.
+2. *Путь $s$* – длина участка траектории, пройденного точкой за определённое время.
+3. *Перемещение $Delta arrow(r)$* – вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки.
+4. *Радиус-вектор $arrow(r)(t)$* – вектор, задающий положение точки в данный момент времени относительно начала координат.
+5. *Скорость*:
+
+- *Средняя* $v_"ср" = frac(s, t)$ или $arrow(v)_"ср" = frac(Delta arrow(r), Delta t)$.
+- *Мгновенная* $arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)$.
+6. *Ускорение*:
+
+- *Среднее* $arrow(a)_"ср" = frac(Delta arrow(v), Delta t)$.
+- *Мгновенное* $arrow(a)(t) = frac(d arrow(v), d t)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. Что называют траекторией? Как подразделяют движения по типу траекторий?_
+
+*A:* *Траектория* — это воображаемая линия в пространстве, по которой движется материальная точка.
+Она получается, если соединить все последовательные положения точки во времени.
+
+По типу траектории движение подразделяют на:
+
+1. *Прямолинейное* — если траектория является прямой линией.
+
+- Примеры: движение поезда по прямому участку пути, падение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.
+
+2. *Криволинейное* — если траектория представляет собой кривую линию.
+
+- Примеры: движение автомобиля по повороту дороги, движение планет по орбитам, полёт мяча по параболе.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. Что называют перемещением точки? При каком движении модуль вектора перемещения будет равен пройденному точкой пути?_
+
+*A:* *Перемещение точки* — это *вектор*, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением.
+
+- Обозначается $Delta arrow(r) = arrow(r)_2 - arrow(r)_1$.
+- Всегда направлен *из начальной точки в конечную*.
+
+*Различие с путём:*
+
+- *Путь* $s$ — это длина траектории, по которой двигалась точка.
+- *Перемещение* — это прямая «стрелка» из начальной в конечную точку.
+
+*Когда модуль перемещения равен пути?*
+
+- Только при *прямолинейном движении в одном направлении* (без возвратов и изменения направления).
+- В этом случае:
+
+$
+|Delta arrow(r)| = s
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. Что называют мгновенной скоростью точки? Как направлен вектор мгновенной скорости? Что называют средней скоростью движения? Какой ее физический смысл? Как направлен вектор средней скорости?_
+
+*A:* Разберём по порядку:
+
+*1. Мгновенная скорость точки*
+
+- Это векторная величина, равная производной радиус-вектора по времени:
+
+$
+arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)
+$
+- Показывает, *с какой быстротой и в каком направлении движется точка в данный момент времени*.
+
+*Направление вектора мгновенной скорости* — *касательно к траектории* в данной точке, в сторону движения.
+
+*2. Средняя скорость движения*
+
+- Определяется как отношение вектора перемещения ко времени движения:
+
+$
+arrow(v)_"ср" = frac(Delta arrow(r), Delta t)
+$
+
+- Её *физический смысл*: показывает, *с какой скоростью и в каком направлении в среднем перемещалась точка за рассматриваемый промежуток времени*.
+
+*Направление вектора средней скорости* — совпадает с направлением вектора перемещения (из начальной точки в конечную).
+
+Отличие:
+
+- *Мгновенная скорость* — «здесь и сейчас», направлена по касательной к траектории.
+- *Средняя скорость* — «в среднем за время», направлена от начала пути к концу.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. Что называют средним ускорением точки? Что характеризует эта величина? Как направлен вектор среднего ускорения? Какой физический смысл имеет мгновенное ускорение точки?_
+
+*A:*
+
+*1. Среднее ускорение точки*
+
+- Это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени:
+
+$
+arrow(a)_"ср" = frac(Delta arrow(v), Delta t)
+$
+
+*2. Что характеризует среднее ускорение*
+
+- Оно показывает, *как изменилась скорость тела (по величине и направлению) в среднем за данный промежуток времени*.
+
+*3. Направление вектора среднего ускорения*
+
+- Совпадает с направлением вектора приращения скорости $Delta arrow(v) = arrow(v)_2 - arrow(v)_1$.
+- То есть указывает туда, куда «сдвинулась» скорость за время $Delta t$.
+
+*4. Мгновенное ускорение точки*
+
+- Это предел среднего ускорения, когда промежуток времени стремится к нулю:
+
+$
+arrow(a) = lim_(Delta t arrow 0) frac(Delta arrow(v), Delta t) = frac(d arrow(v), d t)
+$
+
+*Физический смысл:* мгновенное ускорение показывает, *с какой быстротой и в каком направлении изменяется скорость точки в данный момент времени*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. Как по графику зависимости проекции скорости от времени $v_x = v_x (t)$ построить графики зависимостей координаты $x = x(t)$ и проекции ускорения $a_x = a_x (t)$?_
+
+*A:* Из $v_x (t)$ к $x(t)$
+
+- Формула: $x(t)=x(t_0)+ integral_(t_0)^t v_x (tau) space d tau$.
+- На практике: площадь под графиком $v_x (t)$ от $t_0$ до $t$.
+  Площадь *выше* оси $t$ — прибавляет $x$; *ниже* — вычитает.
+- Геометрические признаки:
+
+    - Наклон касательной к $x(t)$ равен $v_x$: если $v_x gt 0$, $x(t)$ растёт; если $v_x lt 0$, убывает.
+    - Точки экстремума $x(t)$ там, где $v_x eq 0$ (и меняет знак).
+- Для кусочно-простых участков:
+
+    - $v_x= "const"$ → $x(t)$ — прямая.
+    - $v_x$ — линейная функция времени → $x(t)$ — парабола.
+    - Площадь прямоугольников/треугольников удобно считать по формулам $S=v dot h$, $S=1/2 b dot h$.
+
+Из $v_x (t)$ к $a_x (t)$
+
+- Формула: $a_x (t)=(d v_x)/(d t)$.
+- На практике: *наклон* графика $v_x (t)$:
+
+    - Наклон $gt 0 arrow a_x gt 0$; наклон $lt 0 arrow a_x lt 0$; горизонтальный участок → $a_x = 0$.
+    - Если $v_x (t)$ — прямая с постоянным наклоном → $a_x$ — горизонтальная линия (константа).
+    - Излом/разрыв $v_x (t)$ → $a_x$ скачкообразно меняется (в точке производная не определена).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*11*. Почему при криволинейном движении направление вектора ускорения не совпадает с направлением скорости?_
+
+*A:* Причина
+
+При *криволинейном движении* меняется не только *величина скорости*, но и её *направление*.
+
+- *Скорость $arrow(v)$* всегда направлена *по касательной* к траектории.
+- Чтобы изменять *направление вектора скорости*, нужен вектор ускорения, который будет иметь *компоненту, перпендикулярную скорости*.
+
+Состав ускорения
+
+Полное ускорение $arrow(a)$ раскладывается на две части:
+
+1. *Тангенциальное ускорение* $arrow(a_tau)$ — вдоль траектории, изменяет *величину скорости*.
+
+$
+a_tau = frac(d v, d t)
+$
+
+2. *Нормальное (центростремительное) ускорение* $arrow(a)_n$ — перпендикулярно скорости, направлено к центру кривизны траектории, изменяет *направление скорости*.
+
+$
+a_n = frac(v^2, R)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*12*. Дайте определение радиуса кривизны плоской криволинейной траектории._
+
+*A:* *Радиус кривизны плоской криволинейной траектории* — это радиус той окружности, которая в данной точке траектории наилучшим образом её «приближает» (так называемая *оскуляющая окружность*).
+
+Формально: радиус кривизны $R$ характеризует степень «изгиба» траектории в данной точке.
+
+- Если $R$ велик → кривая почти прямая (слабый изгиб).
+- Если $R$ мал → кривая резко поворачивает (сильный изгиб).
+
+Связь с ускорением
+
+Для точки, движущейся по траектории:
+
+$
+a_n = frac(v^2, R)
+$
+
+где $a_n$ — нормальное (центростремительное) ускорение, $v$ — скорость, $R$ — радиус кривизны.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*13*. Автомобиль движется по закруглению дороги. Одинаковое ли расстояние проходят его правые и левые колеса?_
+
+*A:* Нет, расстояния будут разными.
+
+Автомобиль при движении по закруглению описывает *движение по дуге окружности*.
+
+- Центр поворота находится слева от автомобиля (если поворот налево) или справа (если поворот направо).
+- Тогда:
+
+    - *Левые колёса* движутся по окружности с меньшим радиусом $R - frac(d, 2)$.
+    - *Правые колёса* — по окружности с большим радиусом $R + frac(d, 2)$, где $d$ — ширина колеи автомобиля.
+
+Следствие
+
+- Длины дуг окружностей (а значит, пройденные расстояния) различаются:
+
+$
+s_"прав" = (R + d/2) phi, space.quad s_"лев" = (R - d/2) phi
+$
+
+где $phi$ — угол поворота в радианах.
+
+- Таким образом, *правые колёса проходят большее расстояние, чем левые* (при повороте влево; при повороте вправо — наоборот).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*14*. Каков физический смысл вектора бесконечно малого угла поворота $d arrow(phi)$?_
+
+*A:* Вектор *бесконечно малого угла поворота* $d arrow(phi)$ — это векторная величина, характеризующая *поворот твёрдого тела на бесконечно малый угол* за малый промежуток времени $d t$.
+
+Физический смысл
+
+- *Модуль* $|d arrow(phi)|$ равен величине угла поворота $d phi$ (в радианах).
+- *Направление* определяется по *правилу правого винта*: если вращать винт по ходу поворота тела, то поступательное движение винта укажет направление вектора $d arrow(phi)$.
+- В отличие от конечного угла поворота (который не является вектором), бесконечно малый угол $d arrow(phi)$ можно рассматривать как вектор, так как в пределе операции сложения углов становится коммутативной.
+
+Связь с другими величинами
+
+Из этого определения вводится *вектор угловой скорости*:
+
+$
+omega = frac(d arrow(phi), d t)
+$
+
+Он показывает, с какой скоростью и вокруг какой оси вращается тело.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*15*. Что называют угловым ускорением? Дайте определение и запишите единицу измерения углового ускорения. Как определяется направление вектора углового ускорения и чему равен его модуль?_
+
+*A:* *Угловое ускорение* — это векторная величина, равная производной угловой скорости по времени:
+
+$
+arrow(epsilon) = frac(d arrow(omega), d t)
+$
+
+*Единица измерения*
+
+- В СИ:
+
+$
+[epsilon] = frac("рад", "с"^2)
+$
+
+(радиан на секунду в квадрате).
+
+*Физический смысл*
+
+- Модуль $epsilon$ показывает, *с какой быстротой изменяется угловая скорость по величине*.
+- Направление $arrow(epsilon)$ показывает, *как изменяется направление вектора угловой скорости*.
+
+*Направление вектора углового ускорения*
+
+- Совпадает с направлением приращения угловой скорости $d arrow(omega)$.
+- Определяется по правилу правого винта:
+
+    - если тело «раскручивается» → $arrow(epsilon)$ направлено так же, как $arrow(omega)$;
+    - если «тормозится» → противоположно $arrow(omega)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*16*. Запишите формулу связи между векторами линейных и угловых скоростей._
+
+*A:* Формула выглядит так:
+
+$
+arrow(v) = arrow(omega) times arrow(r)
+$
+
+Где:
+
+- $arrow(v)$ — линейная скорость точки тела,
+- $arrow(omega)$ — угловая скорость вращения,
+- $arrow(r)$ — радиус-вектор точки относительно оси вращения,
+- знак «$times$» — векторное произведение.
+
+Свойства:
+
+- $|arrow(v)| = omega r_perp$, где $r_perp$ — перпендикуляр от оси вращения до точки.
+- Направление $arrow(v)$ всегда *перпендикулярно плоскости*, образованной $arrow(omega)$ и $arrow(r)$, то есть *касательно к траектории*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*17*. Что характеризует тангенциальное ускорение? Как направлен вектор тангенциального ускорения? Чему равен его модуль?_
+
+*A:* Тангенциальное ускорение $arrow(a)_tau$ показывает, *с какой скоростью изменяется по величине линейная скорость точки*, движущейся по криволинейной траектории.
+
+- Если $|arrow(v)|$ растёт → $arrow(a)_tau$ направлено по движению.
+- Если $|arrow(v)|$ убывает → $arrow(a)_tau$ направлено против движения.
+
+*2. Направление вектора*
+
+$arrow(a)_tau$ всегда направлено *по касательной к траектории*:
+
+- вдоль вектора скорости при разгоне,
+- противоположно вектору скорости при торможении.
+
+*3. Модуль тангенциального ускорения*
+
+$
+a_tau = frac(d v, d t)
+$
+
+где $v$ — модуль линейной скорости.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*18*. Что характеризует нормальное ускорение? Как направлен вектор нормального ускорения? Чему равен модуль этого ускорения? Зависит ли направление вектора нормального ускорения от направления движения точки по траектории?_
+
+*A:* Нормальное (или центростремительное) ускорение $arrow(a)_n$ отвечает за *изменение направления вектора скорости* при криволинейном движении.
+
+- Оно не меняет модуль скорости, а «поворачивает» её.
+
+*2. Направление вектора*
+
+$arrow(a)_n$ всегда направлено *перпендикулярно скорости* и обращено *к центру кривизны траектории*.
+
+*3. Модуль нормального ускорения*
+
+$
+a_n = frac(v^2, R)
+$
+
+где $v$ — скорость точки, $R$ — радиус кривизны траектории.
+
+*4. Зависимость от направления движения*
+
+Направление $arrow(a)_n$ *не зависит* от того, движется точка «вперёд» или «назад» по траектории.
+
+- В обоих случаях вектор направлен к центру кривизны.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*19*. Запишите связь между модулями нормального, тангенциального и полного ускорений. Как направление вектора полного ускорения связано с направлением вектора скорости точки?_
+
+*A:* *1. Связь модулей ускорений*
+
+Полное ускорение $arrow(a)$ складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих:
+
+- *тангенциального* $arrow(a_tau)$ (изменяет модуль скорости),
+- *нормального* $arrow(a_n)$ (изменяет направление скорости).
+
+По теореме Пифагора:
+
+$
+a = sqrt(a_tau^2 + a_n^2)
+$
+
+*2. Направление полного ускорения*
+
+- $arrow(a)$ всегда лежит в плоскости, образованной векторами $arrow(v)$ и $arrow(a_n)$.
+- Оно образует угол с вектором скорости:
+
+    - если $arrow(a_tau) eq.not 0$, то $arrow(a)$ имеет наклон вперёд или назад вдоль траектории;
+    - если $arrow(a_tau) = 0$, то $arrow(a)$ перпендикулярно $arrow(v)$ (чисто нормальное ускорение, равномерное движение по окружности).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*20*. Может ли полное ускорение точки при криволинейном движении быть направлено по касательной? По нормали?_
+
+*A:*
+
+*1. Может ли полное ускорение быть направлено по касательной?*
+
+Да, *может*, но только в частном случае:
+
+- если движение *прямолинейное*, тогда $a_n = 0$, а остаётся только тангенциальная составляющая $arrow(a_tau)$;
+- тогда полное ускорение совпадает с касательной (совпадает с направлением скорости при разгоне, противоположно при торможении).
+
+При криволинейном движении строго по касательной $arrow(a)$ быть не может, потому что всегда существует ненулевая нормальная составляющая $a_n$.
+
+*2. Может ли полное ускорение быть направлено по нормали?*
+
+Да, это возможно при *равномерном движении по окружности*:
+
+- скорость тела постоянна по величине, значит $a_tau = 0$;
+- остаётся только нормальное ускорение $arrow(a_n)$, направленное к центру кривизны;
+- тогда полное ускорение полностью совпадает с нормалью.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*21*. Что называют угловой скоростью движения точки по окружности? Дайте определение единицы угловой скорости._
+
+*A:* *Угловая скорость* — это физическая величина, которая показывает, *с какой быстротой изменяется угол поворота радиус-вектора, проведённого из центра окружности к точке*.
+
+Формула:
+
+$
+omega = frac(d phi, d t)
+$
+
+где $phi$ — угол поворота (в радианах), $t$ — время.
+
+*2. Единица измерения*
+
+В системе СИ:
+
+$
+[omega] = frac("рад", "с")
+$
+
+(радиан в секунду).
+
+*Физический смысл единицы*: угловая скорость равна $1 "рад/с"$, если радиус-вектор точки за одну секунду поворачивается на угол $1$ радиан.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*22*. Запишите формулу угловой скорости в векторной форме. Как направлен вектор угловой скорости и чему равен ее модуль?_
+
+*A:* *1. Формула в векторной форме*
+
+$
+arrow(omega) = frac(d arrow(phi), d t)
+$
+
+*2. Направление вектора угловой скорости*
+
+- Определяется *по правилу правого винта*: если вращать винт в направлении вращения тела, то поступательное движение винта укажет направление $arrow(omega)$.
+- То есть $arrow(omega)$ всегда направлен *вдоль оси вращения*.
+
+*3. Модуль угловой скорости*
+
+$
+omega = frac(d phi, d t)
+$
+
+Он равен *скорости изменения угла поворота радиус-вектора* и измеряется в рад/с.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*23*. Запишите выражения для нормального и тангенциального ускорений в векторной форме._
+
+*A:* *1. Тангенциальное ускорение*
+
+Характеризует изменение *модуля* скорости:
+
+$
+arrow(a)_tau = frac(d v, d t) arrow(tau)
+$
+
+где $arrow(tau)$ — единичный вектор по касательной к траектории (совпадает с направлением скорости).
+
+*2. Нормальное ускорение*
+
+Характеризует изменение *направления* скорости:
+
+$
+arrow(a)_n = frac(v^2, R) arrow(n)
+$
+
+где $arrow(n)$ — единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны траектории, $R$ — радиус кривизны.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*24*. Запишите формулу связи между векторами тангенциальног $arrow(a)_tau$ и углового $arrow(beta)$ ускорения. Изобразите эти векторы на рисунке._
+
+*A:* *Формула связи*
+
+- Векторно: $arrow(a)_tau = arrow(beta) times arrow(r)$.
+- По модулям: $a_tau = beta r$, направление - по касательной в сторону увеличения скорости (правило правой руки относительно $arrow(beta)$.
+
+Где $arrow(r)$ — радиус-вектор точки от оси вращения, $arrow(beta)$ — угловое ускорение (вдоль оси вращения).
+
+Дополнительно в полной формуле ускорения точки вращательного движения:
+$
+arrow(a) = arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)),
+$
+но здесь нас интересует именно первая часть.
+
+#align(center)[#image("assets/1.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*25*. Запишите формулу связи между векторами нормального ускорения $arrow(a)_n$ , угловой $arrow(omega)$ и линейной $arrow(v)$ скоростей. Изобразите связь между ними графически._
+
+*A:* Формулы связи:
+
+$
+arrow(a)_n = arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)), space.quad a_n = omega^2 r= frac(v^2, r), space.quad
+arrow(v) = arrow(omega) times arrow(r).
+$
+
+#align(center)[#image("assets/5.png")]
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*26*. Дайте определение понятию «число степеней свободы механической системы». Каково это число для свободного твердого тела? для тела закрепленного на неподвижной оси вращения?_
+
+*A:* *Число степеней свободы механической системы* — это минимальное количество независимых координат, необходимых для однозначного описания положения системы в пространстве.
+
+Иными словами: сколько независимых параметров нужно задать, чтобы точно определить положение тела.
+
+*Для различных случаев*
+
+1. *Свободное твёрдое тело в пространстве*
+
+- Положение определяется *3 координатами поступательного движения* (например, координаты центра масс $x,y,z$) и *3 углами, задающими ориентацию* тела (например, углы Эйлера).
+
+$
+f = 6
+$
+
+То есть у свободного твёрдого тела — *6 степеней свободы*.
+
+2. *Тело, закреплённое на неподвижной оси вращения*
+
+- Такое тело может только вращаться вокруг одной оси.
+- Его положение задаётся *одним углом поворота $phi$*.
+
+$
+f = 1
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*27*. Какое движение называют поступательным? Какие физические величины характеризуют кинематику поступательного движения твердого тела? Приведите примеры прямолинейного и криволинейного поступательного движения._
+
+*A:* *Поступательное движение* твёрдого тела — это движение, при котором *все точки тела движутся одинаково*:
+
+- их траектории одинаковы по форме и параллельны друг другу,
+- в любой момент времени скорости всех точек равны по величине и направлению.
+
+*2. Физические величины, характеризующие кинематику поступательного движения*
+
+Поскольку все точки тела движутся одинаково, его движение описывается так же, как движение *материальной точки*:
+
+- *координата/радиус-вектор* $arrow(r)(t)$,
+- *перемещение* $Delta arrow(r)$,
+- *скорость* $arrow(v) = frac(d arrow(r), d t)$,
+- *ускорение* $arrow(a) = frac(d arrow(v), d t)$.
+
+*3. Примеры*
+
+- *Прямолинейное поступательное движение*:
+
+    - лифт, движущийся вверх или вниз;
+    - автомобиль на прямом участке дороги.
+
+- *Криволинейное поступательное движение*:
+
+    - кабина аттракциона «колесо обозрения» (если рассматривать движение кабины как целого);
+    - поезд, движущийся по повороту пути;
+    - автобус на закруглении дороги.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*28*. Какое движение называют вращательным? Какие различают оси вращения? Что такое мгновенная ось вращения? Приведите примеры мгновенных осей вращения. Какое движение называют свободным?_
+
+*A:* *Вращательное движение* твёрдого тела — это движение, при котором *все его точки описывают окружности*, центры которых лежат на одной прямой. Эта прямая называется *осью вращения*.
+
+*2. Виды осей вращения*
+
+- *Неподвижная ось* — ось фиксирована в пространстве (например, колесо, закреплённое на оси).
+- *Подвижная ось* — ось меняет положение в пространстве (например, вращение волчка, когда его ось наклоняется).
+
+*3. Мгновенная ось вращения*
+
+Это такая воображаемая ось, вокруг которой тело *в данный момент времени* вращается.
+
+- Даже при сложном движении твёрдого тела (например, качении) всегда можно указать мгновенную ось вращения.
+
+*Примеры:*
+
+- При качении колеса по дороге мгновенная ось вращения проходит через точку касания с поверхностью.
+- При падении волчка мгновенная ось проходит через его контакт с плоскостью.
+
+*4. Свободное движение*
+
+*Свободное движение твёрдого тела* — это движение, происходящее *без наложенных связей*, то есть тело может перемещаться и вращаться как угодно в пространстве.
+
+- У свободного тела — *6 степеней свободы* (3 поступательных + 3 вращательных).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*29*. Какое движение называют плоским? Постройте примерную траекторию движения точки, расположенной на колесе автомобиля, который движется прямолинейно._
+
+*A:* Плоское движение твёрдого тела — это движение, при котором *все точки тела движутся в параллельных плоскостях* (чаще — в одной плоскости). Эквивалентно: мгновенная ось вращения всегда перпендикулярна этой плоскости; у такого движения 3 степени свободы.
+
+Траектория точки на колесе при прямолинейном качении
+
+Для точки на ободе колеса (качение без проскальзывания) траектория — *циклоид*:
+
+$
+x(t) = R (t - sin t), space.quad y(t) = R (1 - cos t).
+$
+
+#align(center)[#image("assets/2.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*30*. Запишите преобразования Галилея. Какие ньютоновские представления о пространстве и времени лежат в основе этих преобразований?_
+
+*A:* *1. Преобразования Галилея*
+
+Они связывают координаты и время одной и той же точки в двух инерциальных системах отсчёта:
+
+- Пусть система $K'$ движется относительно системы $K$ поступательно и равномерно со скоростью $v$ вдоль оси $x$.
+- Тогда:
+
+$
+x' &= x - v t, \
+y' &= y, \
+z' &= z, \
+t' &= t.
+$
+
+*2. Ньютоновские представления, лежащие в основе*
+
+1. *Абсолютное время*
+
+    - Время течёт одинаково для всех наблюдателей, независимо от движения систем отсчёта.
+    - Поэтому в преобразованиях Галилея: $t' = t$.
+
+2. *Абсолютное пространство*
+
+    - Пространство считается неизменным и одинаковым для всех наблюдателей.
+    - Разные инерциальные системы отсчёта отличаются только относительным поступательным движением.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*31*. Используя преобразования Галилея, получите закон сложения скоростей в классической физике. Обратите внимание на принятую терминологию для определения скоростей в этом законе._
+
+*A:* Галилеевы преобразования ($K′$ движется вдоль $+x$ со скоростью $V$ относительно $K$)
+
+$
+x' = x - V t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t'=t.
+$
+
+Дифференцируем по времени:
+
+$
+u'_x = frac(d x', d t) = frac(d x, d t) - V = u_x - V arrow.double lt.eq u_x = u'_x + V,
+$
+
+$
+u_y = u'_y, space.quad u_z = u'_z.
+$
+
+Закон сложения скоростей (векторно)
+
+$
+arrow(u) = arrow(V) + arrow(u)'
+$
+
+- $arrow(u)$ — *абсолютная скорость* точки (скорость точки в системе $K$);
+- $arrow(u')$ — *относительная скорость* той же точки (в системе $K'$);
+- $arrow(V)$ — *переносная скорость* (скорость системы $K'$ относительно $K$).
+
+Для осевого движения: $u_x = u'_x + V$, а поперечные компоненты не меняются: $u_y = u'_y, u_z = u'_z$.
+
+(При постоянном $arrow(V)$: ускорения совпадают, $arrow(a) = arrow(a')$.)
+
+#pagebreak()
+
+#align(center)[= _Динамика_]
+
+*Q:* _*1*. Сформулируйте первый закон Ньютона._
+
+*A:* Существуют такие системы отсчёта (называемые *инерциальными*), в которых *каждое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения*, пока на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2*. Что называют инерцией тела? Приведите примеры движения по инерции._
+
+*A:* *Инерция* — это свойство тела *сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения*, если на него не действуют силы или их действие взаимно компенсируется.
+
+Инерция отражает «ленивость» тела менять своё состояние движения.
+
+*Примеры движения по инерции*
+
+- Машина после выключения двигателя продолжает катиться по прямой (пока не остановят силы трения и сопротивления воздуха).
+- Камень, брошенный горизонтально, продолжает двигаться вперёд по инерции, даже когда начинает падать вниз.
+- Пассажир в автобусе при резкой остановке «по инерции» наклоняется вперёд.
+- Конькобежец или хоккеист, оттолкнувшись, некоторое время скользит почти равномерно по льду.
+- Планеты движутся по своим орбитам, сохраняя скорость благодаря инерции (при действии силы тяготения, которая меняет только направление).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. Как объяснить, что бегущий человек, споткнувшись, падает в направлении своего движения, а поскользнувшись – в направлении, противоположном направлению своего движения?_
+
+*A:* 
+
+Случай 1. Человек *споткнулся*
+
+- Ноги внезапно *останавливаются* (наталкиваются на препятствие).
+- Но верхняя часть тела по инерции продолжает двигаться вперёд.
+- Центр масс смещается за пределы опоры → человек падает *вперёд, по направлению движения*.
+
+Случай 2. Человек *поскользнулся*
+
+- Нога внезапно скользит вперёд (нет трения, которое её удерживает).
+- Нижняя часть тела уходит вперёд, а верхняя по инерции остаётся «позади».
+- Центр масс оказывается позади опоры → человек падает *назад, противоположно движению*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Какие системы отсчета называют инерциальными и неинерциальными? Приведите примеры таких систем._
+
+*A:* *1. Инерциальные системы отсчёта (ИСО)*
+
+Это такие системы отсчёта, в которых выполняется *первый закон Ньютона*: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано.
+
+*Примеры ИСО:*
+
+- Земля и связанные с ней системы отсчёта *с хорошим приближением* (если пренебречь её вращением вокруг оси и Солнца).
+- Космический корабль, движущийся равномерно и прямолинейно вдали от звёзд и планет.
+- Вагон поезда, движущийся без ускорения по прямому пути.
+
+*2. Неинерциальные системы отсчёта (НИСО)*
+
+Это системы, которые движутся *с ускорением* относительно инерциальных. В них тела *меняют своё движение даже без действия сил*, и для объяснения приходится вводить фиктивные (инерционные) силы.
+
+*Примеры НИСО:*
+
+- Карусель: пассажиров «отбрасывает» к краям из-за центробежной силы инерции.
+- Лифт, ускоренно движущийся вверх или вниз.
+- Автомобиль, резко тормозящий или ускоряющийся (пассажиров «кидает» вперёд или назад).
+- Земля с учётом её суточного вращения вокруг оси (поэтому в механике учитывают силы Кориолиса и центробежные силы).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. В каких системах отсчета выполняются законы Ньютона?_
+
+*A:* *Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта (ИСО).*
+
+Обоснование
+
+- В ИСО выполняется *первый закон Ньютона*: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии сил.
+- Во всех *неинерциальных системах отсчёта* (движущихся с ускорением относительно ИСО) для сохранения законов Ньютона приходится *вводить фиктивные силы* — силы инерции (центробежная, сила Кориолиса и др.).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. Что является причиной изменения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тела в инерциальной системе отсчета?_
+
+*A:* Причиной изменения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тела в инерциальной системе отсчёта является *действие силы* (взаимодействие с другими телами).
+
+Формулировка через второй закон Ньютона
+
+$
+arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
+$
+
+- если $arrow(F)_"рез" = 0$ → тело сохраняет своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения (закон инерции);
+- если $arrow(F)_"рез" eq.not 0$ → у тела появляется ускорение, и оно изменяет скорость по величине или направлению.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. Сформулируйте определение механической силы._
+
+*A:* *Механическая сила* — это векторная физическая величина, являющаяся *мерой механического взаимодействия тел*, в результате которого изменяется скорость движения (или форма) тела.
+
+*Основные свойства*
+
+- Сила имеет *модуль, направление и точку приложения*.
+- В ИСО изменение скорости тела определяется вторым законом Ньютона:
+
+$
+arrow(F) = m arrow(a)
+$
+
+- Сила может вызывать как *изменение состояния движения* (ускорение, торможение, изменение направления), так и *деформацию тела*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. Какие взаимодействия называются фундаментальными? Назовите критерии, которые лежат в основе характеристики этих взаимодействий._
+
+*A:* *Фундаментальные взаимодействия* — это такие взаимодействия, которые лежат в основе всех физических явлений и *не сводятся к другим, более простым взаимодействиям*.
+
+*2. Четыре фундаментальных взаимодействия*
+
+1. *Гравитационное* — между всеми телами, имеющими массу.
+2. *Электромагнитное* — между электрически заряженными частицами.
+3. *Сильное* — связывает протоны и нейтроны в ядрах (действует между кварками и глюонами).
+4. *Слабое* — отвечает за превращения элементарных частиц (например, $beta$-распад).
+
+*3. Критерии характеристики фундаментальных взаимодействий*
+
+- *Универсальность* — на какие частицы и тела оно действует (все массы, все заряды, только кварки и т.д.).
+- *Интенсивность (сила взаимодействия)* — насколько велико действие (сильное ≫ электромагнитное ≫ слабое ≫ гравитационное).
+- *Дальность действия* — бесконечная (гравитация, электромагнетизм) или очень малая (сильное, слабое).
+- *Переносчики взаимодействия* — кванты поля (гравитон, фотон, глюоны, W/Z-бозоны).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. Приведите примеры физических явлений, в которых проявляются известные типы фундаментальных взаимодействий._
+
+*A:* Примеры проявления фундаментальных взаимодействий
+
+1. *Гравитационное взаимодействие*
+
+   - Падение яблока на Землю.
+   - Движение планет вокруг Солнца.
+   - Приливы и отливы под действием Луны.
+   - Держит галактики и Вселенную в целом.
+
+2. *Электромагнитное взаимодействие*
+
+   - Притяжение и отталкивание электрических зарядов.
+   - Работа электродвигателя и генератора.
+   - Свет — это электромагнитные волны.
+   - Химические реакции (связи между атомами и молекулами).
+
+3. *Сильное взаимодействие*
+
+   - Удерживает протоны и нейтроны внутри атомного ядра.
+   - Обеспечивает существование атомов тяжелее водорода.
+   - Является источником энергии в термоядерных реакциях (Солнце, водородная бомба).
+
+4. *Слабое взаимодействие*
+
+   - $beta$-распад (распад нейтрона на протон, электрон и антинейтрино).
+   - Процессы в Солнце: превращения протонов, обеспечивающие ядерный синтез.
+   - Радиоактивность, используемая в медицине и геологии.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. Сформулируйте условие равенства двух сил. Какая сила называется результирующей? Как находится результирующая нескольких сил, направленных под углом друг к другу?_
+
+*A:* *1. Условие равенства двух сил*
+
+Две силы равны, если они имеют:
+
+- одинаковый *модуль*,
+- одно и то же *направление*,
+- одну и ту же *линию действия* (прямая, вдоль которой приложены силы).
+
+*2. Результирующая сила*
+
+*Результирующая сила* — это единственная сила, которая производит на тело такое же действие, как несколько данных сил вместе.
+
+*3. Как найти результирующую нескольких сил*
+
+- Если силы направлены под углом, их нужно *складывать как векторы*.
+- Геометрические способы:
+
+    - *правило параллелограмма* (для двух сил),
+    - *правило многоугольника* (для нескольких).
+
+- Аналитически (для двух сил под углом $phi$):
+
+$
+R = sqrt(F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 cos phi)
+$
+
+где $R$ — модуль результирующей.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*11*. При каком условии тело в системе, где действуют силы, будет находиться в состоянии покоя, или двигаться равномерно прямолинейно?_
+
+*A:* Чтобы тело находилось *в покое* или двигалось *равномерно и прямолинейно* (т.е. без ускорения), необходимо и достаточно, чтобы *результирующая всех сил, действующих на него, была равна нулю*:
+
+$
+arrow(F)_"рез" = sum_i arrow(F)_i = 0
+$
+
+Обоснование
+
+- Это напрямую следует из *второго закона Ньютона*:
+
+$
+arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
+$
+- Если $arrow(F)_"рез" = 0$, то $arrow(a) = 0$.
+- При $a = 0$ тело сохраняет своё состояние:
+
+    - остаётся в покое, если скорость была равна нулю,
+    - или движется равномерно и прямолинейно, если имело ненулевую скорость.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*12*. Что называют инертностью тела? Приведите примеры, которые подтверждают проявление инертности. Какая физическая величина служит мерой инертности тела?_
+
+*A:* *Инертность тела* — это свойство тела *сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения* и *сопротивляться изменению скорости* (т.е. изменению модуля или направления движения) под действием сил.
+
+*2. Примеры проявления инертности*
+
+- Автомобиль при разгоне: требуется сила двигателя, чтобы изменить скорость (чем больше масса, тем труднее разогнаться).
+- При резкой остановке поезда пассажиров по инерции бросает вперёд.
+- Труднее сдвинуть с места тяжёлый ящик, чем лёгкий.
+- Космический аппарат, выведенный за пределы атмосферы, движется по инерции без двигателя.
+
+*3. Мера инертности*
+
+Мерой инертности тела служит его *масса* $m$.
+
+- Чем больше масса, тем большее воздействие (сила) нужно приложить, чтобы изменить скорость:
+
+$
+arrow(F) = m arrow(a)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*13*. Сформулируйте определение массы. Опишите известные вам способы измерения массы._
+
+*A:* *Масса* — это физическая величина, которая:
+
+- служит *мерой инертности тела* (способности сопротивляться изменению движения под действием силы),
+- одновременно является *мерой гравитационного взаимодействия тел* (тяжести).
+
+*2. Способы измерения массы*
+
+1. *Динамический метод (через второй закон Ньютона)*
+
+    - Измеряют силу и ускорение:
+
+$
+m = F/a
+$
+    - Пример: определение массы через действие силы пружины или двигателя.
+
+2. *Статический метод (сравнение с эталоном на весах)*
+
+    - Сравнивают силу тяжести данного тела с силой тяжести известной массы.
+    - Пример: лабораторные рычажные весы.
+
+3. *Инерционный метод (через сравнение ускорений тел)*
+
+    - Два тела, на которые действуют одинаковые силы, будут иметь ускорения, обратно пропорциональные массам:
+
+$
+(m_1)/(m_2) = (a_2)/(a_1)
+$
+
+4. *Современные методы*
+
+    - Электронные весы (по силе реакции опоры).
+    - Метод крутильных весов (Кавендиш) — для гравитационного измерения массы.
+    - В микрофизике: определение масс частиц по радиусу траектории в магнитном поле.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*14*. Сформулируйте второй закон Ньютона и дайте определения всех входящих в него физических величин._
+
+*A:* Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально его массе.
+
+Математическая форма:
+
+$
+arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
+$
+
+*Физические величины*
+
+1. *$arrow(F)_"рез"$ — результирующая сила*
+
+    - Векторная сумма всех сил, действующих на тело.
+    - Определяет, как изменяется движение тела.
+    - Измеряется в ньютонах (Н).
+
+2. *$m$ — масса тела*
+
+    - Мера инертности тела (сопротивления изменению скорости).
+    - Измеряется в килограммах (кг).
+
+3. *$arrow(a)$ — ускорение тела*
+
+    - Характеризует изменение скорости тела по модулю и/или направлению.
+    - Определяется как $arrow(a) = frac(d arrow(v), d t)$.
+    - Измеряется в м/с².
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*15* Из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела $arrow(a) = 0$, если результирующая внешних сил $arrow(F) = 0$. Можно ли утверждать, что первый закон Ньютона является частным случаем второго закона?_
+
+*A:* Разбор вопроса
+
+- *Второй закон Ньютона:*
+
+$
+arrow(F)_"рез" = m arrow(a).
+$
+
+Если $arrow(F)_"рез" = 0$, то $arrow(a) = 0$. Значит, тело движется *равномерно и прямолинейно* или находится *в покое*.
+
+- *Первый закон Ньютона (закон инерции):*
+  Говорит именно об этом — тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы (или силы скомпенсированы).
+
+Ответ
+
+Да, *по содержанию первый закон Ньютона можно рассматривать как частный случай второго закона при $arrow(F)_"рез"=0$*.
+
+Но есть важный нюанс:
+
+- *Первый закон* вводит само понятие *инерциальных систем отсчёта* и постулирует их существование.
+- *Второй закон* формулируется и работает только внутри таких систем.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*16*. Сформулируйте второй закон Ньютона в самой общей форме. В чем отличие этой формулировки от выраженной уравнением $arrow(F) = m arrow(a)$?_
+
+*A:* *Второй закон Ньютона в общей форме*
+
+Сила, действующая на тело, равна *производной от импульса тела по времени*:
+
+$
+arrow(F)_"рез" = frac(d arrow(p), d t), space.quad "где " arrow(p) = m arrow(v).
+$
+
+*Отличие от формы $arrow(F) = m arrow(a)$*
+
+1. *Общая формулировка применима всегда*:
+
+    - для переменной массы (ракета, струя газа, сыпучие тела и т.п.);
+    - для релятивистских случаев (когда масса зависит от скорости);
+    - для систем тел.
+
+2. *Упрощённая форма $arrow(F) = m arrow(a)$* справедлива только при условии:
+
+    - масса тела постоянна ($m = "const"$);
+    - движение рассматривается в нерелятивистской механике (скорости $v << c$).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*17*. Что называют импульсом тела? В каких единицах измеряется импульс тела?_
+
+*A:* *Импульс тела* (или количество движения) — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:
+
+$
+arrow(p) = m arrow(v)
+$
+
+*Свойства*
+
+- Направление импульса совпадает с направлением скорости.
+- Импульс характеризует «количество движения» тела и играет ключевую роль в законе сохранения импульса.
+
+*Единицы измерения*
+
+В системе СИ:
+
+$
+[arrow(p)] = frac("кг" dot "м", "с")
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*18*. Что называют импульсом силы? Как рассчитать импульс силы за конечный интервал времени в случаях, если: а) сила не изменяется, б) сила изменяется с течением времени?_
+
+*A:* *Импульс силы* — это векторная величина, равная произведению силы на время её действия:
+
+$
+arrow(I) = integral_(t_1)^(t_2) arrow(F)(t) space d t
+$
+
+Импульс силы показывает, какое изменение импульса тела вызывает данная сила.
+
+*2. Закон связи*
+
+$
+Delta arrow(p) = arrow(I)
+$
+
+т.е. импульс силы за время действия равен изменению импульса тела.
+
+*3. Вычисление импульса силы*
+
+*а) Если сила постоянна во времени:*
+
+$
+arrow(I) = arrow(F)(t_2 - t_1) = arrow(F) Delta t
+$
+
+*б) Если сила изменяется во времени:*
+
+$
+arrow(I) = integral_(t_1)^(t_2) arrow(F)(t) d t
+$
+
+(геометрически — это площадь под графиком зависимости силы от времени).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*19*. Сформулируйте третий закон Ньютон. Приведите примеры его проявления._
+
+*A:* *Третий закон Ньютона*
+
+Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, *всегда равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам*:
+
+$
+arrow(F)_(12) = -arrow(F)_(21)
+$
+
+*Примеры проявления*
+
+1. *Опора и тело*
+
+    - Человек стоит на полу: он давит на пол силой тяжести, пол действует на него силой реакции опоры.
+
+2. *Удар молотка по гвоздю*
+
+    - Молоток действует на гвоздь, забивая его; гвоздь действует на молоток противоположной силой (поэтому рука ощущает удар).
+
+3. *Движение ракеты*
+
+    - Газы вылетают из сопла с силой, а ракета получает реактивную силу, направленную в противоположную сторону.
+
+4. *Плавание человека*
+
+    - Пловец отталкивает воду руками и ногами назад, вода толкает его вперёд.
+
+5. *Прыжок*
+
+    - Человек отталкивается ногами от земли вниз, земля «отталкивает» его вверх.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*20*. Являются ли уравновешивающими силы действия и противодействия? Имеют ли эти силы результирующую?_
+
+*A:* *1. Являются ли силы действия и противодействия уравновешивающими?*
+
+Нет
+
+- *Уравновешивающие силы* действуют на *одно и то же тело* и в сумме дают ноль → тело не ускоряется.
+- *Силы действия и противодействия* по третьему закону Ньютона действуют *на разные тела*, поэтому они не могут уравновешивать друг друга.
+
+*2. Имеют ли силы действия и противодействия результирующую?*
+
+Нет
+
+- Так как они приложены к разным телам, их нельзя складывать как силы, действующие на одно тело.
+- Каждое тело испытывает свою силу, и для каждого из них действуют *свои уравнения движения*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*21*. Человек тащит тележку. Перечислите силы, действующие на человека и тележку при движении по горизонтальной и наклонной дороге._
+
+*A:* Разберём отдельно человека и тележку и два случая дороги.
+
+*1. Горизонтальная дорога*
+
+*На человека действуют силы:*
+
+- сила тяжести $arrow(F)_t$, направленная вниз;
+- сила нормальной реакции опоры $arrow(N)$, направленная вверх;
+- сила трения между обувью и дорогой (реакция опоры), которая обеспечивает движение (толкает человека вперёд, т.к. он сам давит ногой назад);
+- сила со стороны тележки через ручку (обычно назад и немного вниз).
+
+*На тележку действуют силы:*
+
+- сила тяжести $arrow(F)_t$ (вниз);
+- сила нормальной реакции дороги $arrow(N)$ (вверх);
+- сила тяги со стороны человека (через ручку, вперёд и немного вверх);
+- сила трения качения или трения скольжения (против движения, назад).
+
+*2. Наклонная дорога (вверх или вниз)*
+
+*На человека:*
+
+- сила тяжести (вертикально вниз);
+- нормальная реакция поверхности (перпендикулярно наклону);
+- сила трения (вдоль наклонной, удерживает или помогает движению);
+- сила со стороны тележки (через ручку, направлена вниз по склону, если тележка тянет назад).
+
+*На тележку:*
+
+- сила тяжести (вертикально вниз, раскладывается на компоненту вдоль наклона $m g sin alpha$ и перпендикулярную $m g cos alpha$);
+- нормальная реакция наклонной поверхности;
+- сила тяги человека (вдоль наклона вверх, иногда с вертикальной компонентой);
+- сила трения качения/скольжения (против движения).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*22*. Какое трение называют сухим и какое — вязким?_
+
+*A:* *1. Сухое трение*
+
+- Возникает при *касании твёрдых поверхностей*.
+- Обусловлено неровностями поверхностей и силами молекулярного сцепления.
+- Характеризуется коэффициентом трения.
+- Бывает:
+
+    - *трение покоя* (удерживает тело до определённой силы),
+    - *трение скольжения*,
+    - *трение качения*.
+
+*Примеры:* скольжение ящика по полу, качение колеса по дороге.
+
+*2. Вязкое трение*
+
+- Возникает при *движении тела в жидкости или газе*.
+- Сила сопротивления пропорциональна скорости (при малых скоростях):
+
+$
+F = -k v
+$
+
+или зависит от квадрата скорости (при больших скоростях):
+
+$
+F tilde v^2
+$
+- Обусловлено внутренним трением (вязкостью) среды.
+
+*Примеры:* движение шарика в масле, сопротивление воздуха движению автомобиля или парашютиста.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*23*. Что определяет сила трения покоя? Как эту силу можно измерить на практике? Какие значения может принимать эта сила? В каких границах изменяется сила трения покоя? Что называют максимальной силой трения покоя?_
+
+*A:* *1. Что определяет сила трения покоя*
+
+Сила трения покоя — это сила, возникающая между соприкасающимися поверхностями, которая *удерживает тело от начала движения*.
+
+- Она направлена *вдоль поверхности*, противоположно действующей силе, которая пытается сдвинуть тело.
+
+*2. Как измерить на практике*
+
+- На тело прикладывают постепенно возрастающую силу (например, динамометром).
+- Пока тело не двигается, динамометр показывает силу трения покоя.
+- При срыве с места сила достигает максимума — *максимальной силы трения покоя*.
+
+*3. Какие значения может принимать сила трения покоя*
+
+- Сила трения покоя изменяется в зависимости от приложенной силы, *адаптируясь* к ней:
+
+$
+F_"тр.п" = F_"прил", space.quad "пока тело покоится".
+$
+
+*4. Границы изменения силы трения покоя*
+
+$
+0 lt.eq F_"тр.п" lt.eq F_"тр.п"^"max"
+$
+
+*5. Максимальная сила трения покоя*
+
+- Это наибольшее значение силы трения покоя, при котором тело ещё остаётся неподвижным.
+- Определяется формулой:
+
+$
+F_"тр.п"^"max" = mu N
+$
+
+где $mu$ — коэффициент трения покоя, $N$ — сила нормальной реакции.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*24*. Запишите аналитический вид закона Амонтона - Кулона. От чего зависит коэффициент трения покоя? Может ли быть он быть > 1?_
+
+*A:* *1. Закон Амонтона – Кулона (аналитический вид)*
+
+Для скольжения:
+
+$
+F_"тр" = mu N
+$
+
+Для предельного трения покоя:
+
+$
+F_"тр.п"^"max" = mu N
+$
+
+где:
+
+- $F_"тр"$ — сила трения,
+- $N$ — сила нормальной реакции поверхности,
+- $mu$ — коэффициент трения (покоя или скольжения).
+
+*2. От чего зависит коэффициент трения покоя*
+
+- От *материала и состояния поверхностей* (сталь по льду, дерево по асфальту и т.д.).
+- От *шероховатости* и чистоты поверхностей.
+- От *наличия смазки* (уменьшает $mu$).
+- Слабо зависит от площади соприкосновения (в отличие от интуитивного ожидания).
+
+*3. Может ли коэффициент трения покоя быть больше 1?*
+
+- $mu > 1$ означает, что сила трения больше силы нормального давления.
+- Это возможно для очень шероховатых или «липких» поверхностей (резина по сухому асфальту, специальные покрытия).
+- Например, для хорошей автомобильной шины на сухом асфальте $mu approx 1.0 – 1.2$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*25*. Как при помощи наклонной плоскости можно определить коэффициент трения покоя? Что называют углом трения покоя? Нарисуйте качественный график зависимости силы трения, которая действует на тело, от угла наклона плоскости в границах от 0° до 90°._
+
+*A:* Как определить коэффициент трения покоя с помощью наклонной плоскости
+
+Кладём брусок на гладко меняющий наклон стол. Медленно увеличиваем угол $alpha$ до момента *начала скольжения*. При «срыве» выполняется условие равновесия по касательной:
+
+$
+m g sin alpha^* = mu_s m g cos alpha^* arrow.double mu_s = tan alpha^*
+$
+
+Где $alpha^*$ — угол, при котором брусок только начинает скользить.
+
+Что такое угол трения покоя
+
+$
+alpha^* = arctan mu_s
+$
+
+Это угол наклона плоскости, при котором максимальная сила трения покоя равна касательной составляющей веса и начинается скольжение.
+
+Качественный график $F_"тр"(alpha)$ при $alpha in[0 degree, 90 degree]$
+
+- До срыва: $F_"тр" = m g sin alpha$ (растёт линейно по синусу) до $alpha^*$.
+- После срыва (движение): сила становится силой *трения скольжения* $F_"тр" = mu_k m g cos alpha$ и убывает с ростом $alpha$ ($mu_k lt.eq mu_s$).
+
+Я построил наглядный график (по оси $y$ — $F_"тр" / m g$) с «переломом» в точке $alpha^* = arctan mu_s$:
+
+#align(center)[#image("assets/3.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*26*. Начертите график зависимости силы сухого трения скольжения от относительной скорости движения. Как можно объяснить эту зависимость?_
+
+*A:* 
+
+#align(center)[#image("assets/4.png")]
+
+*Особенности зависимости*
+
+- Сила трения скольжения практически *не зависит от скорости*:
+
+$
+F_"тр" approx mu_k N
+$
+- Поэтому на графике она изображается как почти горизонтальная линия.
+- В реальных условиях при очень малых скоростях возможны колебания (stick-slip), а при очень больших — небольшое уменьшение силы из-за разогрева и образования смазочного слоя.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*27*. Запишите уравнения движения тела при его равноускоренном скольжении по шероховатой наклонной плоскости._
+
+*A:* Кладём ось $x$ вдоль плоскости, вверх по наклону. Нормальная реакция $ N = m g cos alpha$.
+Сила трения скольжения $F_"тр" = mu_k N = mu_k m g cos alpha$.
+
+1) Скатывание вниз (вдоль $-x$): тело движется вниз
+
+Ускорение вдоль оси $x$ (со знаком!):
+
+$
+a = -g(sin alpha - mu_k cos alpha).
+$
+
+Если считать вниз положительным направлением, модуль ускорения:
+
+$
+a_arrow.b = g(sin alpha - mu_k cos alpha).
+$
+
+Уравнения движения (для произвольных $x_0,v_0$ в принятом направлении):
+
+$
+v(t)= v_0 + a t, space.quad x(t) = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 .
+$
+
+2) Бросок вверх по плоскости (тело скользит вверх)
+
+Обе силы по касательной (проекция веса $m g sin alpha$ и трение $mu_k m g cos alpha$) направлены вниз, поэтому
+
+$
+a = -g(sin alpha+mu_k cos alpha),
+$
+
+а уравнения движения те же по форме:
+
+$
+v(t)=v_0 + a t, space.quad x(t)= x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 .
+$
+
+Время до остановки: $t_"ст" = -frac(v_0, a) = frac(v_0, g(sin alpha + mu_k cos alpha))$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*28*. Запишите закон Кулона для трения качения. Проанализируйте, от каких факторов зависит эта сила? В чем заключается физический смысл коэффициента трения качения?_
+
+*A:* *Закон Кулона для трения качения*
+
+Сила трения качения пропорциональна силе нормальной реакции и обратно пропорциональна радиусу катящегося тела:
+
+$
+F_"кач" = frac(M_"кач", R) = frac(mu_"кач" N, R)
+$
+
+где:
+
+- $F_"кач"$ — сила трения качения,
+- $M_"кач" = mu_"кач" N$ — момент сопротивления качению,
+- $mu_"кач"$ — коэффициент трения качения (имеет размерность *длины*),
+- $R$ — радиус катящегося тела,
+- $N$ — сила нормальной реакции опоры.
+
+*От чего зависит сила трения качения*
+
+- От *величины силы нормальной реакции* (массы тела).
+- От *радиуса катящегося тела* (чем больше радиус, тем меньше сопротивление качению).
+- От *коэффициента трения качения $mu_"кач"$*, который определяется:
+
+    - свойствами материалов (твёрдость, упругость);
+    - степенью деформации поверхностей (колесо и дорога, шарик и подшипник);
+    - качеством смазки.
+
+*Физический смысл коэффициента трения качения*
+
+$mu_"кач"$ — это *плечо силы нормальной реакции*, т.е. расстояние от линии действия силы нормального давления до геометрической точки контакта.
+
+- Чем больше деформация поверхностей → тем больше $mu_"кач"$.
+- Поэтому коэффициент трения качения измеряется в *метрах*, в отличие от коэффициента трения скольжения (безразмерного).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*29*. Объясните возникновение силы трения качения. Какую роль при этом играют пластичность и упругое последействие? Могла бы возникнуть сила трения качения, если бы тело, которое катится, и поверхность были абсолютно упругими?_
+
+*A:* *1. Причина возникновения силы трения качения*
+
+При качении соприкасающихся тел (шар, колесо, цилиндр) в точке касания возникает *не точечный, а площадной контакт*.
+
+- Из-за деформации катящегося тела и (или) поверхности линия действия силы нормальной реакции *смещается вперёд* относительно вертикали.
+- Это смещение создаёт момент сопротивления качению — и именно он проявляется как *сила трения качения*.
+
+*2. Роль пластичности и упругого последействия*
+
+- *Пластичность* (необратимая деформация) приводит к тому, что часть материала остаётся «смятой» после контакта → это увеличивает плечо силы и, значит, трение качения.
+- *Упругое последействие* (запаздывание восстановления формы после снятия нагрузки) также вызывает смещение реакции вперёд, усиливая сопротивление качению.
+
+*3. Абсолютно упругий случай*
+
+Если бы и катящееся тело, и поверхность были *совершенно упругими и недеформируемыми*, контакт происходил бы в одной идеальной точке.
+
+- Смещения реакции не было бы.
+- Следовательно, *сила трения качения отсутствовала бы*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*30*. Материальная точка массой 𝑚 движется по окружности радиуса $R$ с угловым ускорением $beta$. Можно ли по этим данным определить действующую на точку силу? Дайте ответ и приведите необходимые пояснения._
+
+*A:* *полную силу определить нельзя* — данных недостаточно.
+
+Почему: при движении по окружности ускорение точки
+
+$
+arrow(a) = arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r))
+$
+
+Следовательно,
+
+$
+arrow(F) = m arrow(a) = m (arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r))),
+$
+
+и нужна ещё *угловая скорость $omega$* (или $v$) для нормальной составляющей.
+
+Что можно сказать по данным:
+
+- Тангенциальная часть определяется: $F_tau = m beta R$ (по касательной; направление по знаку $beta$).
+- Нормальная часть: $F_n = m omega^2 R$ — *неопределима без $omega$*.
+- Частные случаи:
+    - в момент пуска из покоя ($omega = 0$) $arrow.double arrow(F) = m beta R arrow(tau)$;
+    - зная $omega$ (или $v$), $|arrow(F)| = m R sqrt(beta^2 + omega^4)$ и $tan phi = frac(F_tau, F_n) = frac(beta, omega^2)$ (угол $phi$ между $arrow(F)$ и нормалью).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*31*. Можно ли утверждать полную идентичность протекания некоторого явления или процесса во всех инерциальных системах отсчета? Подтвердите сделанный вывод примерами._
+
+*A:* Да. Согласно *принципу относительности Галилея (Ньютона)*, *законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта*.
+
+Это означает, что процессы в разных ИСО протекают одинаково, и *по самим законам движения* невозможно выделить «привилегированную» систему.
+
+*Пояснение*
+
+- В ИСО одинаково выполняются законы Ньютона.
+- Следовательно, полная механическая картина явления (траектории, силы, ускорения, уравнения движения) будет тождественна, если учесть относительные скорости систем.
+
+*Примеры*
+
+1. *Бросок тела вверх в поезде, движущемся равномерно*
+
+    - В системе, связанной с поездом, мяч подлетает и возвращается в руку.
+    - В системе Земли — мяч движется по наклонной траектории, но относительно пассажира результат одинаков.
+
+2. *Опыт Галилея с падающими телами*
+
+    - Камень падает одинаково на палубе равномерно движущегося корабля и на неподвижной земле.
+
+3. *Маятник Фуко в равномерно движущейся лаборатории*
+
+    - Колебания маятника будут происходить так же, как если бы лаборатория покоилась.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*32*. В чем заключается принцип относительности Галилея?_
+
+*A:* *Принцип относительности Галилея*
+
+Все механические явления во *всех инерциальных системах отсчёта* протекают одинаково.
+Законы механики имеют *одинаковый вид* во всех инерциальных системах, поэтому никакими механическими опытами, проведёнными внутри такой системы, невозможно определить, находится ли она в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
+
+*Примеры*
+
+- В равномерно движущемся поезде предметы ведут себя так же, как и в покоящемся (яблоко падает вертикально в руку, маятник качается одинаково).
+- На корабле, идущем с постоянной скоростью по гладкой воде, механические эксперименты дают те же результаты, что и на неподвижном.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*33*. Приведите примеры, когда реальные объекты можно рассматривать как системы материальных точек. Какова природа сил взаимодействия между точками?_
+
+*A:* *1. Когда реальные объекты можно рассматривать как системы материальных точек*
+
+Реальные тела состоят из большого числа частиц, и в механике их часто упрощают, представляя как *систему материальных точек*. Примеры:
+
+- *Газ* → как совокупность большого числа молекул (каждая молекула — материальная точка).
+- *Жидкость* → при изучении движения частиц в гидродинамике (каждый элементарный объём жидкости — система точек).
+- *Население планеты или города* → при моделировании транспортных потоков или движения толпы.
+- *Звёзды в галактике* → каждая звезда рассматривается как материальная точка в задаче о движении галактики.
+- *Рой спутников* или движущихся тел → при анализе их гравитационного взаимодействия.
+
+*2. Природа сил взаимодействия между точками*
+
+- *Гравитационные силы* — притяжение всех тел, имеющих массу (действуют на большие расстояния).
+- *Электромагнитные силы* — взаимодействия заряженных частиц и атомов (определяют упругость, трение, сопротивление и т.п.).
+- *Сильное и слабое взаимодействия* — действуют на уровне элементарных частиц и ядер (удерживают протоны и нейтроны в ядре, вызывают радиоактивные превращения).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*34*. Что понимают под аддитивностью массы? Какими опытами подтверждается аддитивность массы?_
+
+*A:* *Аддитивность массы* — это свойство массы быть *суммой масс частей системы*:
+
+$
+m_"сист" = m_1 + m_2 + dots + m_n
+$
+
+если тела движутся с малыми скоростями (в нерелятивистской механике) и не учитывать превращения энергии в массу.
+
+*2. Физический смысл*
+
+- Масса сложной системы равна массе её компонентов.
+- Это свойство делает массу удобной мерой количества вещества.
+
+*3. Опыты, подтверждающие аддитивность массы*
+
+1. *Взвешивание смеси тел*
+
+    - Масса двух тел, помещённых вместе на весы, равна сумме масс каждого по отдельности.
+
+2. *Опыт Лавуазье (закон сохранения массы)*
+
+    - При химических реакциях (например, горении) масса продуктов равна массе исходных веществ, если учесть все выделившиеся газы.
+
+3. *Механическое сложение*
+
+    - Соединение грузов на одной чаше весов → показания равны сумме масс.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*35*. Что называют центром масс механической системы? Запишите формулы для нахождения радиуса - вектора и координат центра масс системы материальных точек._
+
+*A:* *Центр масс механической системы* — это воображаемая точка, положение которой описывает «среднее» распределение массы в системе.
+
+- При движении система ведёт себя так, *как если бы вся её масса была сосредоточена в центре масс*, а на него действовала равнодействующая всех внешних сил.
+
+*Формулы для системы материальных точек*
+
+1. *Радиус-вектор центра масс*
+
+$
+arrow(R) = frac(sum_(i = 1)^n m_i arrow(r)_i, sum_(i = 1)^n m_i)
+$
+
+где:
+
+- $m_i$ — масса $i$-й точки,
+- $arrow(r)_i$ — радиус-вектор $i$-й точки,
+- $arrow(R)$ — радиус-вектор центра масс.
+
+2. *Координаты центра масс*
+   Если заданы координаты точек $(x_i, y_i, z_i)$:
+
+$
+x_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i x_i, sum_(i = 1)^n m_i), space.quad
+y_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i y_i, sum_(i = 1)^n m_i), space.quad
+z_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i z_i, sum_(i = 1)^n m_i)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*36*. Что называют импульсом системы материальных точек?_
+
+*A:* *Импульс системы материальных точек* — это векторная сумма импульсов всех точек системы:
+
+$
+arrow(P) = sum_(i = 1)^n arrow(p)_i = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i
+$
+
+где:
+
+- $arrow(p)_i = m_i arrow(v)_i$ — импульс $i$-й точки,
+- $m_i$ — масса точки,
+- $arrow(v)_i$ — её скорость.
+
+*Свойства*
+
+- Импульс системы равен произведению её полной массы на скорость центра масс:
+
+$
+arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м.", space.quad M = sum_(i = 1)^n m_i
+$
+
+- Изменение импульса системы определяется действием *внешних сил* (внутренние силы взаимно компенсируются по третьему закону Ньютона).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*37*. Опираясь на третий закон Ньютона, покажите, что в замкнутой системе сумма внутренних сил равна нулю._
+
+*A:* Пусть в замкнутой системе из $N$ материальных точек внутренняя сила, с которой $j$-я точка действует на $i$-ю, равна $arrow(F)_(i j)$. По третьему закону Ньютона
+
+$
+arrow(F)_(i j) = -arrow(F)_(j i).
+$
+
+Суммарная внутренняя сила по системе:
+
+$
+arrow(F)_"вн" = sum_(i = 1)^N sum_(j = 1", " j eq.not i)^N arrow(F)_(i j).
+$
+
+Сгруппируем попарно действия и противодействия:
+
+$
+arrow(F)_"вн" = sum_(i < j) (arrow(F)_(i j) + arrow(F)_(j i)) = sum_(i < j) (arrow(F)_(i j) - arrow(F)_(i j)) = arrow(0).
+$
+
+Итак, в замкнутой системе (внешние силы отсутствуют) сумма *внутренних* сил равна нулю. Отсюда следует
+
+$
+frac(d arrow(P), d t) = sum arrow(F)_"внеш" + sum arrow(F)_"вн" = arrow(0),
+$
+
+то есть импульс системы $arrow(P)$ сохраняется.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*38*. Сформулируйте закон сохранения импульса системы материальных точек. Приведите примеры применения закона сохранения импульса системы._
+
+*A:* *Закон сохранения импульса системы материальных точек*
+
+В замкнутой системе (где отсутствуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю) *векторный импульс сохраняется во времени*:
+
+$
+arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i = "const"
+$
+
+или
+
+$
+frac(d arrow(P), d t) = arrow(F)_"внеш" = 0 arrow.double arrow(P) = "const".
+$
+
+*Примеры применения закона*
+
+1. *Удар тел*
+
+    - При абсолютно упругих и неупругих ударах сумма импульсов тел до удара равна сумме импульсов после удара.
+
+2. *Реактивное движение (ракета)*
+
+    - Импульс системы «ракета + истекающие газы» сохраняется, поэтому ракета получает движение в противоположную сторону относительно струи газов.
+
+3. *Выстрел оружия*
+
+    - Пуля получает вперёд импульс, ружьё — назад (отдача).
+
+4. *Разлет осколков при взрыве*
+
+    - Сумма импульсов всех осколков равна импульсу системы до взрыва.
+
+5. *Движение по воде или льду*
+
+    - Человек, толкая лодку от берега, придаёт ей импульс, а сам получает равный и противоположный (лодка уплывает, человек отталкивается).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*39*. Каким образом необходимо выбрать начало координат системы отсчета для того, чтобы импульс механической системы был равен нулю?_
+
+*A:* Импульс системы выражается через скорость центра масс:
+
+$
+arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м.", space.quad M = sum_(i = 1)^n m_i .
+$
+
+Следовательно, чтобы $arrow(P) = 0$, необходимо, чтобы скорость центра масс системы была равна нулю:
+
+$
+arrow(V)_"ц.м." = 0.
+$
+
+Как этого достичь?
+
+Нужно выбрать *систему отсчёта с началом координат в центре масс и неподвижную относительно него* (т.е. систему отсчёта, связанную с центром масс).
+
+В такой системе:
+
+$
+arrow(P) = 0,
+$
+
+и импульс системы в целом равен нулю, хотя отдельные точки могут двигаться относительно центра масс.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*40*. Покажите, что для незамкнутых систем импульс может сохраняться неизменным относительно некоторых направлений. Приведите примеры._
+
+*A:* Из уравнения для системы $frac(d arrow(P), d t) = arrow(F)_"внеш"$ следует, что для любого направления с единичным вектором $hat(n)$
+
+$
+frac(d, d t) (arrow(P) dot hat(n))=arrow(F)_"внеш" dot hat(n).
+$
+
+Значит, *проекция импульса на $hat(n)$ сохраняется*, если *проекция равнодействующей внешних сил на $hat(n)$ равна нулю*.
+
+Примеры
+
+1. *Бросок тела в однородном поле тяжести.*
+   $arrow(F)_"внеш" = m arrow(g)$ вертикальна ⇒ горизонтальные компоненты импульса $(P_x,P_y)$ *сохраняются*.
+
+2. *Столкновение тел на горизонтальной гладкой поверхности.*
+   Внешние силы (вес и реакции опор) вертикальны ⇒ *горизонтальный импульс системы* во время удара *сохраняется*.
+
+3. *Тело на гладкой наклонной плоскости.*
+   Перпендикулярно плоскости: $N - m g cos alpha = 0$ ⇒ проекция внешней силы на нормаль нулевая ⇒ *импульс по нормали* сохраняется (остаётся нулём). Вдоль плоскости действует $m g sin alpha$ ⇒ там импульс не сохраняется.
+
+4. *Заряженная частица в однородном магнитном поле $arrow(B)$.*
+   Сила $arrow(F) = q, arrow(v) times arrow(B) perp arrow(B)$ ⇒ $arrow(F) dot hat(B) = 0$ ⇒ *проекция импульса на направление $arrow(B)$* постоянна.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*41*. Сформулируйте закон сохранения импульса механической системы, используя скорость движения центра масс системы._
+
+*A:* *Запишем связь импульса с центром масс*
+
+Импульс системы из $n$ точек:
+
+$
+arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i = M arrow(V)_"ц.м.",
+$
+
+где
+
+- $M = sum_(i = 1)^n m_i$ — масса системы,
+- $arrow(V)_"ц.м."$ — скорость центра масс.
+
+*Формулировка закона*
+
+*Импульс механической системы сохраняется, если равнодействующая внешних сил равна нулю.*
+
+В терминах центра масс это означает:
+
+- Если $sum arrow(F)_"внеш" = 0$, то
+
+$
+arrow(V)_"ц.м." = "const", space.quad arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м." = "const".
+$
+
+*Физический смысл*
+
+- Центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.
+- Даже если внутри системы происходят столкновения, взрывы, деформации — *движение центра масс не меняется*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*42*. Сформулируйте второй закон Ньютона для системы материальных точек. Поясните, почему в изменении импульса играют роль только внешние силы._
+
+*A:* *Второй закон Ньютона для системы материальных точек*
+
+Для системы из $n$ точек суммарная производная импульса по времени равна равнодействующей *внешних сил*, действующих на систему:
+
+$
+frac(d arrow(P), d t) = sum_(i = 1)^n arrow(F)_i^"внеш", 
+space.quad "где " arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i.
+$
+
+*Почему в изменении импульса играют роль только внешние силы?*
+
+1. *Внутренние силы подчиняются 3-му закону Ньютона:*
+
+    - Если на $i$-ю точку действует сила от $j$-й $arrow(F)_(i j)$, то на $j$-ю — сила $arrow(F)_(j i) = -arrow(F)_(i j)$.
+    - При суммировании по системе эти силы *взаимно компенсируются*.
+
+2. *Остаются только внешние силы:*
+
+    - Вклад во изменение импульса системы дают лишь силы, действующие извне.
+    - Поэтому траектория центра масс и закон сохранения импульса зависят именно от внешних сил.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*43*. Запишите формулу движения тела переменной массы. Покажите, что уравнение движения тела переменной массы представляет собой второй закон Ньютона в его общей форме._
+
+*A:* Уравнение движения тела переменной массы (Мещерского)
+
+$
+m frac(d arrow(v), d t) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" (-frac(d m, d t))
+$
+
+где
+
+- $m(t)$ — масса тела, $arrow(v)(t)$ — скорость тела,
+- $arrow(F)_"внеш"$ — равнодействующая внешних сил,
+- $arrow(u)_"отн"$ — скорость отделяющейся/присоединяющейся массы *относительно тела* (вектор из тела к струе).
+  Принято: при *истечении* массы $dot(m) < 0$, тогда тяга $arrow(T) = arrow(u)_"отн" (-dot(m))$.
+
+Эквивалентная форма:
+
+$
+frac(d, d t)(m arrow(v)) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" dot(m)
+$
+
+(здесь $dot(m) > 0$ трактуется как *приток* массы к телу, $dot(m) < 0$ — отток.)
+
+Почему это — второй закон Ньютона в общей форме
+
+Общая формулировка второго закона:
+
+$
+arrow(F)_"внеш" = frac(d arrow(p), d t), space.quad arrow(p) = m arrow(v).
+$
+
+Для *открытой* системы «тело» обменяется массой со средой, поэтому помимо изменения собственного импульса $(d(m arrow(v)))/(d t)$ нужно учесть импульс уносимой/притекающей массы. Баланс импульса за $d t$ даёт именно добавочный член $arrow(u)_"отн" dot m$. Отсюда:
+
+$
+frac(d arrow(p), d t) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" dot m,
+$
+
+что и есть применение $arrow(F)_"внеш" = (d arrow(p)) / (d t)$ к открытой системе.
+
+Частный случай $ dot(m) = 0 arrow.double m dot(arrow(v)) = arrow(F)_"внеш"$ возвращает привычную форму $arrow(F) = m arrow(a)$.
+
+#align(center)[= _Механическая работа и энергия_]
+
+*Q:* _*1*. Запишите формулу для расчета работы постоянной силы._
+
+*A:* Формула для работы постоянной силы:
+
+$
+A = arrow(F) dot arrow(s) = F s cos(alpha),
+$
+
+где:
+
+- $arrow(F)$ — постоянная сила,
+- $arrow(s)$ — перемещение точки приложения силы,
+- $(alpha)$ — угол между направлением силы и перемещением.
+
+Если сила направлена вдоль перемещения $alpha = 0$, то $A = F s$.
+Если перпендикулярно $alpha = 90 degree$, то $A = 0$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2*. Что можно сказать относительно работы центростремительной силы? Чему равна работа силы, которая действует на тело, движущееся по окружности с ускорением?_
+
+*A:* 1. *Центростремительная сила* всегда направлена к центру окружности, а перемещение тела в данный момент — по касательной.
+   → угол между $arrow(F)_"цс"$ и $arrow(s)$ равен $90 degree$.
+
+2. Работа силы:
+$
+A = F s cos alpha,
+$
+   при $alpha = 90 degree$ получаем $A = 0$.
+
+*Вывод:* центростремительная сила работы не совершает. Она лишь изменяет направление скорости, но не её модуль.
+
+3. *Если на тело, движущееся по окружности, действует ускорение вдоль траектории (тангенциальное ускорение),* то появляется касательная составляющая силы $F_tau$.
+
+    - Именно эта сила и совершает работу, изменяя скорость тела.
+    - Тогда работа равна:
+$
+A = F_tau s = m a_tau s.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. В каких случаях элементарную работу постоянной силы следует обозначать $delta A$, а в каких $d A$?_
+
+*A:* Отличный вопрос, это как раз про *математическую строгость записи*.
+
+- *$delta A$* (дельта-A) используют, когда речь идёт об *элементарной работе силы* в физике:
+$
+delta A = arrow(F) dot d arrow(r) = F d r cos alpha.
+$
+  Здесь важно, что работа — не полный дифференциал некоторой функции, а *в общем случае* зависит от траектории. Поэтому пишут «$delta$» вместо «$d$».
+
+- *$d A$* пишут тогда, когда работа может быть представлена как полный дифференциал некоторой функции состояния (например, если сила потенциальная и можно ввести потенциальную энергию). В таком случае:
+$
+d A = -d U,
+$
+где $U$ — потенциальная энергия.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Как рассчитывается работа переменной силы? Как изобразить элементарную и полную работу на графике зависимости тангенциальной составляющей силы от пути?_
+
+*A:* Ключевые формулы и графическая интерпретация:
+
+- Элементарная работа переменной силы вдоль траектории:
+  $
+  delta A = F_tau (s) d s = arrow(F) d arrow(r).
+  $
+
+- Полная работа на участке $s in [s_1, s_2]$:
+  $
+  A=integral_(s_1)^(s_2) F_tau (s) d s.
+  $
+
+На графике $F_tau (s)$ площадь под кривой и есть работа: положительные участки дают положительный вклад, участки ниже оси — отрицательный. Прямоугольник иллюстрирует элементарную работу $delta A$ при малом $d s$.
+
+#align(center)[#image("assets/6.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. Что называют мощностью? Каким образом можно найти работу, если известна мощность механизма? В каких случаях мощность можно выразить формулой $N = arrow(F) dot arrow(v)$?_
+
+*A:* *Мощность* — это физическая величина, равная скорости совершения работы:
+$
+N = frac(d A, d t).
+$
+
+2. Как найти работу через мощность
+
+Если известна мощность механизма:
+
+- при постоянной мощности:
+$
+A = N dot t,
+$
+- при переменной мощности:
+$
+A = integral_(t_1)^(t_2) N(t) space d t.
+$
+
+3. Формула через силу и скорость
+
+$
+N = arrow(F) dot arrow(v) = F v cos alpha,
+$
+где $alpha$ — угол между направлением силы и скорости.
+
+Эта запись справедлива в тех случаях, когда работа совершается *силой, приложенной к движущейся точке*, у которой есть мгновенная скорость $arrow(v)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. Чему равна кинетическая энергия свободно падающего тела в момент падения на Землю, если в средней точке пути его потенциальная энергия равна $U$?_
+
+*A:* 
+
+1. *Закон сохранения энергии* для свободного падения:
+$
+E_"полная" = E_k + E_p = "const".
+$
+
+2. В верхней точке: $E_k=0$, $E_p = U_"нач"$.
+   В нижней точке (в момент падения): $E_p=0$, значит
+$
+E_k^"низ" = U_"нач".
+$
+
+3. Нам дано, что *в средней точке пути* потенциальная энергия равна (U).
+
+- На середине пути по высоте потенциальная энергия в 2 раза меньше, чем начальная:
+$
+U = 1/2 U_"нач".
+$
+- Значит, начальная энергия:
+$
+U_"нач" = 2 U.
+$
+
+4. Следовательно, кинетическая энергия внизу:
+$
+E_k^"низ" = U_"нач" = 2 U.
+$
+
+*Ответ:* при падении на Землю кинетическая энергия тела равна
+$
+E_k = 2 U.
+$
+
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. Какие силы называются консервативными? Перечислите, какие из известных вам сил являются консервативными. Какие системы называются консервативными? Какие силы называются диссипативными?_
+
+*A:* *Консервативные силы* — это силы, работа которых *не зависит от траектории*, а определяется только начальными и конечными положениями точки.
+Для них можно ввести *потенциальную энергию* $U$, и выполняется:
+$
+delta A = - d U.
+$
+Эквивалентное условие: циркуляция силы по замкнутому контуру равна нулю.
+
+2. Примеры консервативных сил
+
+- сила тяжести,
+- сила упругости (Гука),
+- кулоновская сила (электростатическое взаимодействие),
+- силы в центральных полях, где энергия зависит только от расстояния до центра.
+
+3. Консервативные системы
+
+*Консервативная система* — система, в которой действуют только консервативные силы.
+Для такой системы сохраняется полная механическая энергия:
+$
+E = E_k + U = "const".
+$
+
+4. Диссипативные силы
+
+*Диссипативные силы* — силы, которые необратимо рассеивают механическую энергию (обычно в тепло), и для них нельзя ввести потенциальную энергию.
+Примеры:
+
+- сила трения скольжения,
+- сила сопротивления воздуха или жидкости,
+- вязкое трение.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. Что называют кинетической энергией тела? Получите формулу для подсчета кинетической энергии материальной точки, движущейся поступательно. Запишите формулу, которая устанавливает связь между кинетической энергией и импульсом тела._
+
+*A:* *Кинетическая энергия* — это часть механической энергии, которая характеризует движение тела и равна работе всех сил, сообщивших телу данное состояние движения.
+
+2. Вывод формулы для материальной точки
+
+Пусть на точку массы $m$ действует сила $arrow(F)$, вызывающая перемещение $d arrow(r)$.
+Элементарная работа:
+$
+delta A = arrow(F) dot d arrow(r).
+$
+
+По II закону Ньютона: $arrow(F) = m frac(d arrow(v), d t)$.
+Тогда
+$
+delta A = m frac(d arrow(v), d t) dot arrow(v) d t = m arrow(v) dot d arrow(v).
+$
+
+Интегрируя от $v = 0$ до $v$:
+$
+A = integral_0^v m v, d v = frac(m v^2, 2).
+$
+
+Таким образом:
+$
+E_k = frac(m v^2, 2).
+$
+
+3. Связь с импульсом
+
+Импульс $arrow(p) = m arrow(v)$.
+Подставим:
+$
+E_k = frac(m v^2, 2) = frac(p^2, 2 m).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. Докажите теорему об изменении кинетической энергии механической системы и объясните, почему эта теорема справедлива только для равнодействующей всех сил, приложенных к системе._
+
+*A:* Доказательство (система из $N$ материальных точек $m_k$):
+
+Кинетическая энергия:
+$
+T=sum_(k = 1)^N frac(m_k v_k^2, 2).
+$
+Дифференцируем:
+$
+d T = sum_(k=1)^N m_k arrow(v)_k dot d arrow(v)_k
+=sum_(k=1)^N arrow(F)_k dot arrow(v)_k d t
+=sum_(k=1)^N arrow(F)_k dot d arrow(r)_k,
+$
+
+где $arrow(F)_k = m_k (d arrow(v)_k) / (d t)$ — *полная* сила на $k$-ю точку (все внешние + все внутренние, включая силы связей). Интегрируя по движению от 1 до 2, получаем теорему о работе–изменении кинетической энергии:
+$
+Delta T = sum_(k = 1)^N integral_1^2 arrow(F)_k dot d arrow(r)_k = A_"всех сил" = A_"внеш" + A_"внутр"
+$
+
+Почему теорема «работа = изменение $T$» справедлива *только для равнодействующей всех сил*:
+
+- В правой части стоит суммарная работа *всех* сил, действующих на систему. Если взять работу лишь части сил (например, одной внешней), то недостающий вклад остальных сил, вообще говоря, не равен нулю. Тогда
+$
+Delta T = A_"эта сила" + A_"прочие силы",
+$
+
+и равенство $Delta T = A_"эта сила"$ верно лишь в специальных случаях (когда $A_"прочие силы" = 0$: идеальные связи без работы, отсутствуют другие силы, или их работа взаимно компенсируется).
+- В общем случае внутренние силы вносят ненулевую работу (их попарная сумма по модулю взаимно противоположна, но их *мощность* $ arrow(F)_(i j) dot (arrow(v)_i - arrow(v)_j)$  не обязана обнуляться), поэтому без их учёта равенство нарушится.
+- Частные полезные формы:
+
+    - Если силы связей идеальны (работы нет), а внутренние силы консервативны, то $Delta T = A_"внеш"$ и $Delta( T + U_"внутр") = A_"внеш, неконсерват."$.
+    - Для поступательного движения точки: $Delta T = integral arrow(F)_"рез" dot d arrow(r)$.
+    - Для системы: разложение Кёнига $T = T_"цм" + T_"отн"$; работа равнодействующей *внешних* сил меняет $T_"цм"$, а внутренние и связи — $T_"отн"$.
+
+Итак, строгое равенство «работа = изменение кинетической энергии» получается именно при суммировании работы *всех* сил (равнодействующей в смысле их суммарной работы по траекториям точек системы).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. Что называют потенциальной энергией механической системы? От чего она зависит? Объясните, почему потенциальная энергия может быть установлена только с точностью до некоторой постоянной. Как выбирается эта постоянная?_
+
+*A:* *Потенциальная энергия механической системы* — это часть механической энергии, которая определяется положением тел в поле *консервативных сил*.
+Математически:
+$
+U(M) = -integral_(M_0)^M arrow(F) dot d arrow(r),
+$
+где $M_0$ — выбранная точка отсчёта.
+
+2. От чего зависит
+
+- от координат (положения) точки или системы в пространстве;
+- от взаимных расстояний между телами (для сил притяжения/отталкивания);
+- от деформации упругих элементов (например, пружины).
+
+То есть она зависит *не от пути движения*, а только от конфигурации системы.
+
+3. Почему задаётся с точностью до постоянной
+
+Работа консервативных сил выражается разностью значений потенциальной энергии:
+$
+A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2.
+$
+Абсолютное значение $U$ не имеет физического смысла, важна только её разность.
+Поэтому добавление произвольной константы $C$ не меняет физических результатов:
+$
+U'(M) = U(M) + C.
+$
+
+4. Как выбирается постоянная
+
+Константу выбирают *условно*, в зависимости от удобства:
+
+- в поле тяжести Земли обычно берут $U=0$ на уровне земли или в выбранной плоскости;
+- в законе всемирного тяготения и кулоновском взаимодействии — на бесконечности ($U(infinity) = 0$);
+- для упругой пружины — в положении равновесия, когда деформация равна нулю.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*11*. Что называют потенциалом гравитационного поля? Запишите формулу работы гравитационных сил при движении материальной точки, применяя понятие потенциала._
+
+*A:* *Потенциал гравитационного поля* в некоторой точке пространства — это величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещённой в эту точку:
+$
+phi(arrow(r)) = frac(U, m).
+$
+
+Для поля тяготения массы $M$ на расстоянии $r$:
+$
+phi(r) = -frac(G M, r),
+$
+где $G$ — гравитационная постоянная.
+
+2. Связь с потенциальной энергией
+
+Потенциальная энергия массы $m$ в поле:
+$
+U = m phi.
+$
+
+3. Работа гравитационных сил через потенциал
+
+При перемещении материальной точки из точки 1 в точку 2:
+$
+A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2 = m (phi_1 - phi_2).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*12*. Как зависит потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек от расстояния между ними?_
+
+*A:* Для двух материальных точек массами $m_1$ и $m_2$ на расстоянии $r$ между ними:
+
+$
+U(r) = -frac(G m_1 m_2, r),
+$
+
+где $G$ — гравитационная постоянная.
+
+Свойства зависимости:
+
+- Потенциальная энергия *обратно пропорциональна расстоянию*: чем больше $r$, тем меньше по модулю $U$.
+- Знак отрицательный, потому что силы тяготения притягивающие, и при сближении тел потенциальная энергия уменьшается (становится более отрицательной).
+- При $r arrow infinity$:
+$
+U(infinity) = 0,
+$
+  что принято как условие выбора нуля потенциальной энергии.
+- При $r arrow 0$ $U arrow -infinity$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*13*. Для произвольной консервативной силы получите формулу, которая устанавливает связь консервативной силы с потенциальной энергией._
+
+*A:* Ключевой результат для консервативной силы $arrow F$ и потенциальной энергии $U$:
+
+$
+delta A = arrow(F) dot d arrow(r) = -d U arrow.double arrow(F) = -gradient U
+$
+
+В проекциях:
+$
+F_x= -frac(diff U, diff x), space.quad
+F_y= -frac(diff U, diff y), space.quad
+F_z= -frac(diff U, diff z).
+$
+
+Вывод: из определения потенциальной энергии $U($*$r$*$)$ как величины, чья разность равна работе с противоположным знаком,
+$
+A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2,
+$
+
+получаем $delta A =  arrow(F) dot d arrow(r) = - d U$. Сравнивая коэффициенты при независимых $d x, d y, d z$, имеем $arrow(F)=-gradient U$.
+
+Частный случай (радиально-симметричное поле $U(r)$):
+$
+arrow(F)(r) = -frac(d U, d r) hat(r).
+$
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*14*. Будет ли при движении планеты по эллипсу оставаться постоянной ее полная механическая энергия? Будет ли меняться кинетическая энергия планеты?_
+
+*A:*
+
+1. Полная механическая энергия
+
+Планета движется в гравитационном поле Солнца. Гравитационная сила — *консервативная*, внешних сил нет.
+Значит, для планеты выполняется закон сохранения механической энергии:
+$
+E = E_k + U = "const".
+$
+То есть *полная механическая энергия при движении по эллипсу остаётся постоянной*.
+
+2. Кинетическая энергия
+
+Кинетическая энергия зависит от скорости:
+$
+E_k = frac(m v^2, 2).
+$
+А по второму закону Кеплера скорость планеты на эллиптической орбите переменна:
+
+- в перигелии скорость максимальна,
+- в афелии — минимальна.
+
+Значит, *кинетическая энергия меняется*: она возрастает при приближении к Солнцу и убывает при удалении.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*15*. Сформулируйте и запишите аналитическую форму закона сохранения механической энергии для замкнутой системы, в которой действуют консервативные и диссипативные силы._
+
+*A:* В замкнутой системе с консервативными и диссипативными силами *полная энергия сохраняется*, а *механическая энергия* $E_"м"= T + U$ убывает на величину работы диссипативных сил (переходит во внутреннюю энергию, тепло).
+
+Главные формулы
+
+- Интегрально:
+$
+E_"м,2"-E_"м,1" = A_"нк",
+space.quad A_"нк" lt.eq 0,
+$
+  где $A_"нк"$ — работа неконсервативных (диссипативных) сил на участке движения.
+
+- Дифференциально (мощность диссипации):
+$
+frac(d, d t)(T + U) = P_"нк" lt.eq 0.
+$
+
+- Эквивалентно через внутреннюю энергию (для замкнутой адиабатной системы):
+$
+Delta(T + U) + Delta E_"вн" = 0
+space.quad arrow.double.l.r.long space.quad
+Delta E_"м" = -Delta E_"вн".
+$
+
+- Частный случай (только консервативные силы):
+$
+T_2 + U_2 = T_1 + U_1.
+$
+
+Смысл: диссипативные силы совершают отрицательную работу, уменьшая $T +U $; убывшая механическая энергия появляется как рост $E_"вн"$ (нагрев и т.п.).
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*16*. По какому признаку делятся удары на абсолютно упругие и абсолютно неупругие?_
+
+*A:*
+
+- *Абсолютно упругий удар* — это удар, при котором *сохраняется как импульс, так и механическая энергия (кинетическая)* системы тел. После удара тела разлетаются, не теряя суммарной $E_k$.
+
+- *Абсолютно неупругий удар* — удар, при котором сохраняется только *импульс*, а часть кинетической энергии теряется (переходит во внутреннюю энергию, тепло, деформацию). При таком ударе тела после удара движутся *совместно* как одно целое.
+
+*Признак деления:* по тому, сохраняется ли полная кинетическая энергия системы тел после удара.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*17*. Выведите формулу для работы неупругих сил при центральном неупругом ударе шаров и проанализируйте ее. Как следует поступить, чтобы вся кинетическая энергия тел, которые участвуют в столкновении, пошла на их деформацию?_
+
+*A:* Работа неупругих сил при центральном ударе
+
+Пусть два шара масс $m_1, m_2$ движутся вдоль одной прямой с начальными скоростями $u_1, u_2$ и после удара имеют скорости $v_1, v_2$.
+
+Сохраняется импульс:
+$
+m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
+$
+и введём коэффициент восстановления $e in [0,1]$:
+$
+v_2 - v_1 = -e (u_2 - u_1).
+$
+
+Потеря кинетической энергии (а значит, работа неупругих сил над системой)
+$
+A_"неупр" = Delta K = K_"после" - K_"до" = -1/2 mu (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2 lt.eq 0
+$
+где $mu = frac(m_1 m_2, m_1 + m_2)$ — приведённая масса.
+
+При абсолютно неупругом ударе ($e=0$):
+$
+A_"неупрг" = -1/2 mu (u_1 - u_2)^2, space.quad v = frac(m_1 u_1 + m_2 u_2, m_1 + m_2) "(движение вместе)"
+$
+
+Анализ формулы
+
+- Потери тем больше, чем больше относительная скорость $|u_1 - u_2|$, чем ближе $e$ к нулю и чем больше $mu$.
+- Максимально возможная потеря при данном ($u_1 - u_2$) достигается при $e=0$; она равна всей *относительной* кинетической энергии в системе центра масс: $K_"отн" = 1/2 mu(u_1 - u_2)^2$.
+
+Как сделать, чтобы вся кинетическая энергия ушла в деформацию?
+
+Это возможно, только если:
+
+1. удар абсолютно неупругий: $e=0$ (тела «слипаются»), и
+2. начальный импульс системы равен нулю: $m_1 u_1 + m_2 u_2=0$ (центр масс покоится).
+
+Тогда после удара $v=0$ и
+$
+K_"после" = 0, space.quad A_"неупр" = -K_"до",
+$
+то есть *вся* начальная кинетическая энергия переходит в деформацию/тепло.
+Если $m_1 u_1 + m_2 u_2 eq.not 0$, неизбежно остаётся «транспортная» энергия движения центра масс, которую внутренними (неупругими) силами погасить нельзя.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*18*. Опишите, что происходит с телами при абсолютно упругом ударе, на какие два этапа делится процесс столкновения? Как изменяется потенциальная и кинетическая энергия тел в процессе столкновения?_
+
+*A:* 1. Абсолютно упругий удар
+
+При абсолютно упругом ударе тела после столкновения *не теряют* суммарной механической энергии:
+
+- *импульс системы* сохраняется,
+- *кинетическая энергия* системы тоже сохраняется.
+  То есть энергия не уходит на тепло и необратимые деформации, а только «перераспределяется» между телами.
+
+2. Два этапа процесса столкновения
+
+Процесс можно разделить на *два последовательных этапа*:
+
+1. *Сжатие (деформация):*
+
+    - При сближении тел их скорости уменьшаются (относительное движение тормозится).
+    - Кинетическая энергия частично превращается в потенциальную энергию упругой деформации (например, упругого сжатия).
+
+2. *Разжатие (восстановление формы):*
+
+    - Накопленная потенциальная энергия возвращается в кинетическую.
+    - Тела разлетаются, и в конце процесса потенциальная энергия снова равна нулю, а вся энергия — кинетическая.
+
+3. Изменение энергий
+
+- *В процессе удара:*
+
+    - $E_k$ уменьшается на этапе сжатия и увеличивается на этапе разжатия.
+    - $U_"пот"$ возрастает при сжатии и падает до нуля при разжатии.
+
+- *Итог:*
+
+    - До удара: энергия полностью кинетическая.
+    - В момент наибольшей деформации: часть кинетической энергии превращена в потенциальную (у тел минимальная относительная скорость).
+    - После удара: потенциальная энергия снова равна нулю, суммарная кинетическая энергия совпадает с начальной, но скорости тел перераспределены.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*19*. Выведите формулы для подсчета скоростей тел после удара при центральном абсолютно упругом ударе._
+
+*A:* Центральный абсолютно упругий удар (одномерно, до: $u_1, u_2$; после: $v_1, v_2$):
+
+$
+v_1 &= frac(m_1-m_2, m_1+m_2), u_1 + frac(2m_2, m_1+m_2), u_2, \
+v_2 &= frac(2m_1, m_1+m_2), u_1 + frac(m_2 - m_1, m_1 + m_2), u_2 .
+$
+
+Эквивалентная форма (полезна для проверок):
+$
+m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\qquad v_2-v_1=-(u_2-u_1).
+$
+
+Частные случаи:
+
+- $u_2 = 0$: $v_1 = frac(m_1 - m_2, m_1 + m_2)u_1, v_2 = frac(2m_1, m_1 + m_2)u_1$.
+- $m_1 = m_2$: $v_1 = u_2, v_2 = u_1$ (обмен скоростями).
+- $m_2 arrow infinity, u_2=0$: $v_1 arrow -u_1$ (упругое отражение от «жёсткой стены»).
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*20*. При каком условии тело, которое участвует в столкновении, отскакивает от другого тела без потери кинетической энергии? Какой импульс при этом получает первое тело?_
+
+*A:* *Условие без потери $E_k$:* абсолютно упругий удар о неподвижное «бесконечно массивное» тело (идеально жёсткую стену). Тогда модуль скорости сохраняется: после удара нормальная компонента скорости меняет знак, касательная — та же.
+
+*Импульс, полученный первым телом (масса $m$, до удара скорость $arrow(v)$):*
+
+$
+arrow(J) = Delta arrow(p) = m(arrow(v)_"после" - arrow(v)_"до") = -2m (arrow(v) dot hat(n)) hat(n),
+$
+
+где $hat(n)$ — единичная нормаль к стене в точке удара.
+По модулю: $J = 2 m|v_n|$. Если удар строго лобовой ($arrow(v) || hat(n)$), то $arrow(J) = -2 m arrow(v)$.
+
+
+#pagebreak()
+
+#align(center)[= _Движение АТТ. Неинерциальные системы отсчета._]
+
+*Q:* _*1*. Что называют моментом силы относительно точки? Относительно оси вращения? Покажите, что момент силы не изменяется при перемещении силы вдоль линии действия._
+
+*A:* Момент силы относительно точки
+
+Векторный момент силы $arrow(F)$ относительно точки $O$:
+$
+arrow(M)_O = arrow(r) times arrow(F)
+$
+где $arrow(r)$ — радиус-вектор от $O$ к точке приложения силы. По модулю (в плоскости):
+$
+|arrow(M_O)| = F d_perp,
+$
+
+$d_perp$ — плечо (перпендикуляр от $O$ к линии действия силы).
+
+Момент силы относительно оси
+
+Проекция моментного вектора на единичный вектор оси $hat(e)$:
+$
+M_"оси" = hat(e) dot (arrow(r) times arrow(F)) = F d_(perp ", оси")
+$
+где $d_(perp ",к оси")$ — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (с учётом знака по правилу правой руки).
+
+Неизменность при переносе силы вдоль линии действия
+
+Пусть точка приложения силы переносится с $A$ в $B$ по её линии действия. Тогда
+
+$
+arrow(r)_B = arrow(r)_A + lambda hat(s), space.quad hat(s) || arrow(F).
+$
+
+Моменты относительно $O$:
+$
+arrow(M)_O^((B)) = arrow(r)_B times arrow(F) = (arrow(r)_A + lambda hat(s)) times arrow(F) = arrow(r)_A times arrow(F) + lambda (hat(s) times arrow(F)) = arrow(r)_A times arrow(F) = arrow(M)_O^((A)),
+$
+
+поскольку $hat(s) || arrow(F) arrow.double hat(s) times arrow(F) = arrow(0)$.
+Следовательно, *момент силы не меняется при её сдвиге вдоль собственной линии действия* (принцип эквивалентности/переносимости). Это верно и для момента относительно оси, т.к. берётся проекция одного и того же $arrow(M)_O$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2*. Какая из составляющих силы, действующей под углом к оси вращения, вызывает вращение тела? Чему равен момент силы, параллельной оси вращения?_
+
+*A:*
+
+- *Вращение вызывает тангенциальная составляющая* силы — перпендикулярная радиусу $arrow(r)$ и оси.
+- Момент относительно оси:
+$
+arrow(M) = arrow(r) times arrow(F), space.quad M = r, F_tau = r F sin phi,
+$
+  где $phi$ — угол между $arrow(r)$ и $arrow(F)$.
+- *Если сила параллельна оси вращения*, её момент относительно этой оси равен *нулю*:
+$
+M_"о оси" = (arrow(r) times arrow(F)) dot hat(e)_"оси" = 0 space.quad "при " arrow(F) || hat(e)_"оси".
+$
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. Что называют парой сил?_
+
+*A:* *Пара сил* — это система из двух сил, которые:
+
+- равны по модулю,
+- параллельны и направлены в противоположные стороны,
+- линии их действия не совпадают.
+
+Основные свойства пары сил:
+
+- Равнодействующая пары сил всегда равна нулю → поступательного движения не вызывает.
+- Но пара сил создаёт *момент*, который вызывает вращение тела:
+$
+M = F dot d,
+$
+  где $F$ — величина одной из сил, $d$ — плечо пары (расстояние между линиями действия сил).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Сформулируйте закон всемирного тяготения. В каких случаях аналитическое выражение этого закона для двух материальных точек справедливо и для тел, которые имеют конечные размеры?_
+
+*A:*
+
+1. Закон всемирного тяготения (Ньютон)
+
+Две материальные точки массы $m_1$ и $m_2$ притягиваются друг к другу с силой:
+
+$
+F = G frac(m_1 m_2, r^2),
+$
+
+где:
+
+- $G approx 6,67 dot 10^(-11), "H·м"^2/"кг"^2$ — гравитационная постоянная,
+- $r$ — расстояние между массами,
+- сила направлена вдоль линии, соединяющей эти массы.
+
+2. Когда формула применима к телам конечных размеров
+
+Для тел с протяжённой массой закон остаётся справедливым, если:
+
+- *Тела сферически симметричны* (однородные шары или оболочки):
+  тогда можно считать, что вся масса сосредоточена в центре шара.
+
+- *Расстояние между телами велико* по сравнению с их размерами:
+  в этом случае тоже можно приближённо считать тела точечными массами.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. Зависят ли периоды обращения планет вокруг Солнца от их масс? Каким был бы период обращения Луны вокруг Земли, если бы масса Луны была вдвое больше?_
+
+*A:*
+
+Зависит ли период от массы планеты?
+
+По третьему закону Кеплера для двух тел
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(a^3, G(M + m))),
+$
+где $M$ — масса центрального тела, $m$ — масса спутника/планеты.
+Если $m << M$ (планеты вокруг Солнца), то
+
+$
+T approx 2 pi sqrt(frac(a^3, G M)),
+$
+и период *практически не зависит* от массы самой планеты.
+
+Если массу Луны удвоить
+
+Полагая ту же орбиту (тот же $a$) и неизменную массу Земли,
+$
+T' = T sqrt(frac(M_(plus.big)+m_"Л", M_(plus.big)+2 m_"Л"))
+ approx T times 0,994.
+$
+
+Численно: вместо $T approx 27,32$ суток получим $T' approx 27,16$ суток — период стал бы на $tilde 0,6%$ короче.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. Какие опыты позволяют сделать заключение, что инертная и гравитационные массы пропорциональны между собой? В чем суть этих опытов?_
+
+*A:*
+
+1. Суть вопроса
+
+Инертная масса $m_i$ — мера сопротивления тела ускорению ($F = m_i a$).
+Гравитационная масса $m_g$ — мера силы, с которой тело участвует в гравитационном взаимодействии ($F_g = G (m_g M) / r^2$).
+
+Эксперименты показывают, что $m_i prop m_g$, т.е. отношение $m_g/m_i$ одинаково для всех тел.
+
+2. Классические опыты
+
+а) Галилео Галилей (Пиза, XVII в.)
+
+- Сбрасывал разные тела с наклонной плоскости и башни.
+- Ускорение падения оказалось одинаковым для всех тел независимо от массы и материала.
+- Вывод: ускорение не зависит от массы, значит $m_g prop m_i$.
+
+б) Ньютон (Маятники)
+
+- Сравнивал периоды колебаний маятников с разными гирями.
+- Если бы $m_g$ и $m_i$ были разными, периоды различались бы.
+- На опыте периоды совпадают.
+
+в) Этвёш (конец XIX в.)
+
+- Проводил эксперименты с *крутильными весами*: сравнивал ускорения падения разных материалов (дерево, платина, медь).
+- Сверхточные измерения показали, что различий нет в пределах погрешности ($(Delta a)/a < 10^(-9)$).
+
+3. Современные проверки
+
+- С помощью спутников и лазерных интерферометров продолжают уточнять эквивалентность масс (основа *принципа эквивалентности* в общей теории относительности).
+- Подтверждения получены с точностью лучше чем $10^(-13)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. Как определить массу Земли, если известна гравитационная постоянная?_
+
+*A:*
+
+1. Закон всемирного тяготения
+
+Для тела массы $m$ на поверхности Земли сила тяжести равна:
+$
+F = G frac(M_(plus.big) m, R_(plus.big)^2),
+$
+где
+
+- $M_(plus.big)$ — масса Земли,
+- $R_(plus.big)$ — радиус Земли,
+- $G$ — гравитационная постоянная.
+
+2. Связь с ускорением свободного падения
+
+Сила тяжести равна также $F = m g$.
+Приравняем:
+$
+m g = G frac(M_(plus.big) m, R_(plus.big)^2).
+$
+
+Сокращаем $m$:
+$
+g = G frac(M_(plus.big), R_(plus.big)^2).
+$
+
+3. Формула для массы Земли
+
+$
+M_(plus.big) = frac(g R_(plus.big)^2, G).
+$
+
+4. Подстановка чисел
+
+- $g approx 9,81 , "м"/("с"^2)$,
+- $R_(plus.big) approx 6,37 dot 10^6 , "м"$,
+- $G approx 6,67 dot 10^(-11) , ("Н·м"^2)/("кг"^2)$.
+
+$
+M_(plus.big) approx frac(9.81 dot (6.37 dot 10^6)^2, 6.67 dot 10^(-11)) approx 5.97 dot 10^(24), "кг".
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. Какую физическую величину называют напряженностью поля? Изобразите графическую зависимость модуля напряженности поля тяготения от расстояния до точки, которая создает поле. Какие поля называют центральными, однородными?_
+
+*A:* Разберём подробно:
+
+1. Напряжённость поля
+
+*Напряжённость гравитационного поля* в точке пространства — это сила, действующая на единичную массу, помещённую в эту точку:
+
+$
+arrow(g) = frac(arrow(F), m) = G frac(M, r^2) hat(r),
+$
+
+где $M$ — масса, создающая поле, $r$ — расстояние до центра.
+Размерность: м/с².
+
+2. Зависимость от расстояния
+
+Модуль напряжённости:
+$
+g(r) = G frac(M, r^2).
+$
+
+Это *обратно-квадратичная зависимость*: при увеличении расстояния в 2 раза напряжённость уменьшается в 4 раза.
+
+3. Центральные и однородные поля
+
+- *Центральное поле* — поле, в котором силовые линии направлены радиально к центру (или от центра), а напряжённость зависит только от расстояния $r$.
+  Пример: поле тяготения Земли (вне её поверхности), кулоновское поле точечного заряда.
+
+- *Однородное поле* — поле, в котором напряжённость во всех точках одинакова по величине и направлению.
+  Пример: приближённо поле тяжести у поверхности Земли; электрическое поле между обкладками заряжённого плоского конденсатора.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. Сформулируйте законы Кеплера. Обоснуйте вывод этих законов. Как связаны законы Кеплера с законом всемирного тяготения?_
+
+*A:*
+
+1. Законы Кеплера
+
+1. *Первый закон (закон орбит):*
+   Каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
+
+2. *Второй закон (закон площадей):*
+   Радиус-вектор, проведённый от планеты к Солнцу, за равные промежутки времени описывает равные площади.
+   (Иными словами, планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него.)
+
+3. *Третий закон (закон периодов):*
+   Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
+$
+frac(T_1^2, a_1^3) = frac(T_2^2, a_2^3) = "const".
+$
+
+2. Обоснование
+
+- *1-й закон* следует из решения задачи двух тел в ньютоновской механике: при центральной силе $F prop 1/r^2$ траектория — коническая кривая (эллипс, парабола, гипербола).
+- *2-й закон* отражает сохранение углового момента $arrow(L) = m arrow(r) times arrow(v)$, что выполняется для центральных сил.
+- *3-й закон* выводится из равенства центростремительной силы и силы тяготения:
+$
+frac(m v^2, r) = G frac(M m, r^2).
+$
+  Отсюда $T^2 tilde a^3$.
+
+3. Связь с законом всемирного тяготения
+
+Закон Кеплера — это *эмпирический результат* (на основе наблюдений Тихо Браге).
+Закон Ньютона всемирного тяготения дал *теоретическое объяснение* этим законам:
+
+- форма орбит (1-й закон),
+- сохранение площади (2-й закон),
+- зависимость периода от радиуса (3-й закон).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. При помощи каких физических законов можно доказать, что в соответствии с первым законом Кеплера планеты движутся по плоским эллиптическим траекториям?_
+
+*A:*
+
+1. Что утверждает первый закон Кеплера
+
+Орбита планеты вокруг Солнца — *эллипс в плоскости*, в одном фокусе которого находится Солнце.
+
+2. Какими законами это доказывается
+
+1. *Закон сохранения момента импульса*
+$
+arrow(L) = m arrow(r) times arrow(v) = "const".
+$
+   Так как сила тяготения центральная ($ arrow(F) || arrow(r)$), момент силы равен нулю.
+   Следовательно, вектор $arrow(L)$ постоянен и задаёт одно направление.
+   Значит, движение всегда происходит *в одной плоскости*, перпендикулярной $arrow(L)$.
+
+2. *Второй закон Ньютона + закон всемирного тяготения*
+$
+m dot(dot(arrow(r))) = -frac(G M m, r^2) hat(r).
+$
+   Это уравнение движения в центральном поле $prop 1/(r^2)$.
+   Математическое решение этого уравнения (через полярные координаты и интеграл энергии) показывает, что траектория — *коническое сечение*:
+$
+r(phi) = frac(p, 1+e cos phi),
+$
+   где $e$ — эксцентриситет.
+
+- При $0 lt.eq e < 1$ — это *эллипс*.
+- При $e = 0$ — окружность.
+
+3. Вывод
+
+Используя:
+
+- *закон сохранения момента импульса* (движение в плоскости),
+- *второй закон Ньютона* + закон тяготения $F prop 1/(r^2)$ (траектория — коническое сечение),
+
+мы доказываем, что планеты действительно движутся по *плоским эллиптическим орбитам* (1-й закон Кеплера).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*11*. Выведите формулу, по которой определяется первая космическая скорость._
+
+*A:* Для круговой орбиты у поверхности (радиус $R$, масса планеты $M$) требуемая центростремительная сила обеспечивается гравитацией:
+$
+frac(m v^2, R) = G frac(M m, R^2) arrow.double v=sqrt(frac(G M, R)).
+$
+
+Эквивалентно, через $g = (G M)/(R^2)$:
+$
+v=sqrt(g R).
+$
+
+Для Земли ($R approx 6.37 dot 10^6 "м", g approx 9.81 "м/с"^2$):
+$
+v_1 approx 7.9 "км/с".
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*12*. Известно, что по мере увеличения радиуса орбиты скорость искусственного спутника Земли уменьшается. Означает ли это, что при запуске спутника на орбиты большего радиуса двигатели ракеты должны совершать меньшую работу?_
+
+*A:* 
+
+1. Скорость спутника на орбите
+
+Для радиуса орбиты $r$:
+$
+v = sqrt(frac(G M, r)),
+$
+и действительно, чем больше $r$, тем меньше $v$.
+
+2. Энергия спутника на орбите
+
+Полная механическая энергия спутника:
+$
+E = E_k + E_p = frac(m v^2, 2) - frac(G M m, r).
+$
+
+Подставляем $v$:
+$
+E = -frac(G M m, 2 r).
+$
+
+3. Работа при переходе на орбиту
+
+Чтобы перевести спутник с радиуса $r_1$ на орбиту $r_2 > r_1$, нужно увеличить его энергию:
+$
+Delta E = E_2 - E_1 = -frac(G M m, 2r_2) + frac(G M m, 2r_1).
+$
+Так как $r_2 > r_1$, $|E_2| < |E_1|$, следовательно, $Delta E > 0$.
+
+Значит, при переходе на более далёкую орбиту нужно *добавить энергию*, несмотря на то что конечная скорость меньше.
+
+4. Вывод
+
+Нет, двигатели не совершают меньшую работу. Наоборот, чтобы вывести спутник на более высокую орбиту, нужно затратить *больше работы*, чем на низкую орбиту, потому что необходимо преодолеть гравитационное притяжение Земли и увеличить полную энергию спутника.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*13*. Дайте определение третьей космической скорости. Проанализируйте все факторы, которые влияют на величину этой скорости._
+
+*A:*
+
+1. Определение
+
+*Третья космическая скорость* $v_3$ — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно смогло *навсегда покинуть Солнечную систему*, преодолев не только земное, но и солнечное притяжение.
+
+Это скорость ухода за пределы Солнечной системы.
+
+2. Факторы, которые учитываются
+
+1. *Притяжение Земли.*
+   Чтобы покинуть Землю, телу нужно сначала достичь второй космической скорости:
+$
+v_2 = sqrt(frac(2 G M_(plus.big), R_(plus.big))) approx 11,2 "км/с".
+$
+
+2. *Притяжение Солнца.*
+   Находясь на орбите Земли вокруг Солнца, тело движется вместе с Землёй со скоростью
+$
+v_"Земли" approx 29,8 "км/с".
+$
+   Чтобы покинуть Солнечную систему с орбиты Земли, нужно увеличить скорость относительно Солнца до скорости убегания с расстояния $r = 1 "а.е."$:
+$
+v_"убег. от Солнца" = sqrt(frac(2 G M_(dot.circle), r)).
+$
+
+3. *Сложение скоростей.*
+   Для ухода из Солнечной системы удобно разогнаться в том же направлении, куда движется Земля, тогда требуется наименьший «добавок» скорости.
+
+3. Формула третьей космической скорости
+
+Приближённо:
+$
+v_3 = sqrt(v_2^2 + v_"убег. от Солнца"^2 - v_"Земли"^2).
+$
+
+Численно:
+$
+v_3 approx 16,7 "км/с".
+$
+
+4. Итог
+
+Величина третьей космической скорости определяется:
+
+- массой и радиусом Земли (через $v_2$),
+- массой Солнца и расстоянием Земли до Солнца (через $v_"убег. от Солнца"$),
+- орбитальной скоростью Земли (за счёт которой «помогает» движение планеты).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*14*. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?_
+
+*A:*
+
+1. Момент инерции материальной точки
+
+*Момент инерции материальной точки относительно оси вращения*:
+$
+I = m r^2,
+$
+где
+
+- $m$ — масса точки,
+- $r$ — расстояние от точки до оси вращения.
+
+Это мера «инертности» точки во вращательном движении.
+
+2. Момент инерции тела
+
+Для протяжённого тела момент инерции вычисляется суммированием (интегрированием):
+$
+I = sum_i m_i r_i^2 space.quad "или" space.quad I = integral r^2 d m.
+$
+Он зависит от:
+
+- массы тела,
+- распределения массы относительно оси (чем дальше масса от оси, тем больше $I$),
+- выбора оси вращения.
+
+3. Роль в вращательном движении
+
+Момент инерции играет такую же роль, как масса при поступательном движении:
+
+- *В динамике вращения:*
+$
+M = I alpha,
+$
+  где $M$ — момент силы, $alpha$ — угловое ускорение.
+
+- *В кинетической энергии вращения:*
+$
+E_k = frac(1, 2) I omega^2.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*15*. Запишите известные вам формулы для вычисления моментов инерции однородных сплошных тел правильной геометрической формы (шар, куб, прямой круговой конус)._
+
+*A:* Хорошо, соберём основные формулы для *однородных сплошных тел* (масса $M$), характерный размер $R$ или $a, h$):
+
+1. Шар
+
+- Сплошной однородный шар радиуса $R$, ось через центр:
+  $
+  I = frac(2, 5) M R^2.
+  $
+
+2. Куб
+
+- Куб со стороной $a$, ось через центр, параллельная ребру:
+$
+I = frac(1, 6) M a^2.
+$
+- Если ось через центр, перпендикулярно грани (например, через центр куба вдоль диагонали):
+$
+I = frac(1, 6) M a^2 space.quad ("ось по любой координатной оси").
+$
+
+3. Прямой круговой конус
+
+- Однородный конус массы $M$, высоты $h$ и основания радиуса $R$, ось вращения проходит через вершину и центр основания (ось симметрии):
+$
+I = frac(3, 10) M R^2.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*16*. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Что произойдет с моментом инерции тела, если ось перемещать параллельно самой себе, отдаляясь от центра инерции?_
+
+*A:*
+
+1. Теорема Гюйгенса–Штейнера (теорема о параллельных осях)
+
+*Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, равен*:
+
+$
+I = I_c + M d^2,
+$
+
+где
+
+- $I_c$ — момент инерции относительно параллельной оси через центр масс,
+- $M$ — масса тела,
+- $d$ — расстояние между осями.
+
+2. Следствие
+
+Если ось перемещать параллельно самой себе, отдаляясь от центра масс:
+
+- $I$ будет *увеличиваться* пропорционально квадрату расстояния $d$.
+- Чем дальше ось от центра масс, тем больше момент инерции.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*17*. Найдите момент инерции стержня массой 𝑚 и длиной $l$, относительно оси, которая проходит на расстоянии $2/3$ от его конца перпендикулярно стержню._
+
+*A:* Ответ: $I = frac(1, 9) m l^2$.
+
+Короткий вывод: для однородного стержня
+$
+I_"цм" = frac(1, 12)m l^2.
+$
+Ось проходит на расстоянии $frac(2, 3) l$ от конца, значит её расстояние от центра масс:
+$
+a = |frac(2, 3)l - frac(1, 2)l| = frac(1, 6)l.
+$
+По теореме Гюйгенса–Штейнера:
+$
+I=I_"цм" + m a^2
+=frac(1, 12)m l^2 + m(frac(1, 6) l)^2
+=frac(1, 12)m l^2 + frac(1, 36)m l^2
+=frac(1, 9)m l^2.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*18*. Найдите момент инерции диска массой 𝑚 и радиусом 𝑅 относительно оси, которая перпендикулярна плоскости диска и проходит через его край._
+
+*A:* $I_"край" = frac(3, 2) m R^2$
+
+Короткий вывод: для сплошного диска
+$
+I_"цм" = frac(1, 2)m R^2.
+$
+
+Ось у края параллельна оси через центр и отстоит на расстояние $d = R$.
+По теореме Гюйгенса–Штейнера:
+$
+I = I_"цм" + m d^2
+= frac(1, 2)m R^2 + m R^2
+= frac(3, 2)m R^2.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*19*. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела._
+
+*A:* *Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела* формулируется так:
+
+Угловое ускорение твёрдого тела прямо пропорционально действующему на него моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения.
+
+Математическая запись:
+$
+M = I alpha,
+$
+где
+
+- $M$ — суммарный момент сил относительно оси вращения,
+- $I$ — момент инерции тела относительно той же оси,
+- $alpha$ — угловое ускорение.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*20*. Что называется моментом импульса относительно точки? Относительно оси?_
+
+*A:*
+
+1. Момент импульса относительно точки
+
+*Момент импульса материальной точки относительно точки $O$:*
+$
+arrow(L)_O = arrow(r) times arrow(p),
+$
+где
+
+- $arrow(r)$ — радиус-вектор точки относительно $O$,
+- $arrow(p) = m arrow(v)$ — импульс точки,
+- «$times$» — векторное произведение.
+
+Физический смысл: мера вращательного движения частицы относительно точки.
+
+2. Момент импульса относительно оси
+
+Если выбрана ось с направляющим вектором $hat(e)$, то момент импульса относительно оси определяется как проекция момента импульса на эту ось:
+$
+L_"ось" = arrow(L)_O dot hat(e).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*21*. Сформулируйте закон сохранения момента импульса тела. Приведите примеры проявления этого закона._
+
+*A:*
+
+1. Закон сохранения момента импульса
+
+Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему относительно выбранной оси (или точки), равен нулю, то *момент импульса этой системы сохраняется*:
+
+$
+frac(d arrow(L), d t) = arrow(M)_"внеш".
+$
+
+Если $arrow(M)_"внеш" = 0$, то
+$
+arrow(L) = "const".
+$
+
+2. Физический смысл
+
+Закон аналогичен закону сохранения импульса в поступательном движении: отсутствие внешнего «крутящего воздействия» сохраняет вращательное движение.
+
+3. Примеры проявления
+
+- *Фигура вращающегося фигуриста:* при прижатии рук к телу радиус масс уменьшается → момент инерции уменьшается, угловая скорость увеличивается, чтобы сохранить $L = I omega$.
+- *Космический спутник или планета:* в отсутствии внешних моментов сохраняет угловой момент при вращении вокруг оси или орбитальном движении.
+- *Кошка в прыжке:* умеет поворачивать своё тело в воздухе, сохраняя суммарный момент импульса нулевым.
+- *Сжатие газа в туманности:* уменьшение радиуса облака приводит к увеличению скорости вращения (образование галактик, звёзд).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*22*. Получите формулу для кинетической энергии тела, которое вращается вокруг неподвижной оси._
+
+*A:*
+
+Пусть твёрдое тело вращается с угловой скоростью $omega$ вокруг неподвижной оси. Разобьём его на точки масс $m_i$ на расстояниях $r_i$ от оси. Скорость каждой точки $v_i = omega r_i$. Тогда
+
+$
+E_k = sum_i 1/2 m_i v_i^2
+=1/2 sum_i m_i (omega r_i)^2
+=1/2 omega^2 sum_i m_i r_i^2
+=1/2 I omega^2,
+$
+где $I=sum_i m_i r_i^2$ — момент инерции относительно оси (в непрерывном случае $I = integral r^2 d m$).
+
+Итого:
+$E_k = 1/2 I omega^2$.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*23*. Получите формулу для кинетической энергии плоского движения твердого тела._
+
+*A:* Плоское движение = поступательное движения центра масс $G$ + вращение вокруг $G$.
+Для точки $i$: $arrow(v)_i = arrow(v)_G + arrow(omega) times arrow(r)_i'$, где $arrow(r)_i' = arrow(G i)$, $sum m_i arrow(r)_i' = 0$.
+
+$
+T& = 1/2 sum_i m_i v_i^2
+=1/2 sum_i m_i (v_G^2 + 2, arrow(v)_G dot (arrow(omega) times arrow(r)_i') + |arrow(omega) times arrow(r)_i'|^2) \
+&=1/2 M v_G^2 + 1/2 sum_i m_i,|arrow(omega) times arrow(r)_i'|^2
+=1/2 M v_G^2+ 1/2 I_G omega^2,
+$
+
+где $M=sum m_i$, $I_G = sum m_i (r_i')^2$ — момент инерции относительно центра масс.
+
+Итого:
+$
+T=1/2 M v_G^2 + 1/2 I_G omega^2.
+$
+
+Эквивалентно для произвольной точки $O$:
+$
+T = 1/2 M v_O^2 + 1/2 I_O omega^2 - M(arrow(v)_O dot(arrow(omega) times arrow(r)_(G O))),
+$
+а при выборе $O=G$ смешанный член исчезает, что даёт формулу выше.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*24*. Чему равна кинетическая энергия диска (шара) массой $m$ и радиусом $R$, который катится без скольжения по горизонтальной плоскости, если его центр масс имеет скорость $V$ . Покажите, что получится такая же формула, если рассматривать качение относительно мгновенной оси вращения._
+
+*A:* 
+
+Через разложение «поступательное + вращение вокруг ЦМ»
+
+Без скольжения: $V = omega R$.
+$
+T= 1/2 m V^2 + 1/2 I_"цм" omega^2.
+$
+
+- Диск (сплошной): $I_"цм" = 1/2 m R^2$
+$
+T=1/2 m V^2 + 1/2 (1/2 m R^2)(frac(V, R))^2 = 3/4 m V^2.
+$
+
+- Шар (сплошной): $I_"цм" = 2/5 m R^2$
+$
+T = 1/2 m V^2 + 1/2 (2/5 m R^2)(V/R)^2 = 7/(10) m V^2.
+$
+
+Через мгновенную ось вращения (точка контакта $P$)
+
+При чистом качении мгновенно $v_P = 0$ ⇒ движение — чистое вращение вокруг $P$:
+$
+T=1/2 I_P omega^2, space.quad I_P = I_"цм" + m R^2.
+$
+
+- Диск: $I_P = 1/2 m R^2 + m R^2 = 3/2 m R^2$
+$
+T=1/2(3/2 m R^2)(V/R)^2 = 3/4 m V^2.
+$
+
+- Шар: $I_P = 2/5 m R^2 + m R^2 = 7/5 m R^2$
+$
+T = 1/2(7/5 m R^2)(V/R)^2 = 7/10 m V^2.
+$
+
+Обе методики дают одинаковые результаты, как и должно быть.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*25*. Какие оси вращения называют свободными? Главными осями инерции? Приведите примеры вращения тел вокруг свободных осей. Поясните характерные особенности, которыми сопровождается вращение тел вокруг осей с наименьшим и наибольшим моментом инерции._
+
+*A:*
+
+1. Свободные оси вращения
+
+*Свободные оси вращения* — такие оси, вокруг которых тело может вращаться без действия внешних моментов сил, сохраняя постоянное направление в пространстве.
+
+2. Главные оси инерции
+
+*Главные оси инерции* — оси, проходящие через центр масс тела и совпадающие с осями симметрии распределения массы.
+
+- В этих осях тензор инерции диагонален, и вращение вокруг такой оси является устойчивым.
+- Для симметричных тел: это ось симметрии и любые взаимно перпендикулярные оси, связанные с симметрией.
+
+3. Примеры вращения вокруг свободных осей
+
+- Вращение волчка вокруг оси симметрии.
+- Полёт снаряда, пущенного с вращением вокруг продольной оси (гироскопическая стабилизация).
+- Вращение космического спутника вокруг оси с симметрией массы.
+
+4. Особенности вращения вокруг разных главных осей
+
+- *Вращение вокруг оси с наименьшим моментом инерции* и вокруг оси с наибольшим моментом инерции — устойчивое (тело сохраняет ориентацию).
+- *Вращение вокруг промежуточной оси* (средний момент инерции) — неустойчивое: малейшее возмущение приводит к тому, что тело начинает «перекидываться» (пример — трюк с книгой или смартфоном, подброшенным в воздух).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*26*. Сформулируйте условия равновесия твердого тела. Перечислите виды равновесия. Какие изменения могут происходить с кинетической энергией тел при разных видах равновесия?_
+
+*A:* Разберём по порядку:
+
+1. Условия равновесия твёрдого тела
+
+Для того чтобы твёрдое тело находилось в равновесии, необходимо:
+
+1. *Условие поступательного равновесия*
+$
+sum arrow(F) = 0
+$
+   (сумма всех внешних сил равна нулю).
+
+2. *Условие вращательного равновесия*
+$
+sum arrow(M) = 0
+$
+   (сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю).
+
+2. Виды равновесия
+
+- *Устойчивое равновесие* — при малом отклонении тело возвращается в исходное положение (пример: шар в чашке).
+- *Неустойчивое равновесие* — при малом отклонении тело отклоняется ещё больше (шар на вершине горки).
+- *Безразличное (нейтральное) равновесие* — при смещении тело остаётся в новом положении (шар на горизонтальной плоскости).
+
+3. Изменения кинетической энергии при малых отклонениях
+
+- *Устойчивое равновесие* — потенциальная энергия при отклонении возрастает, поэтому при возвращении в положение равновесия она преобразуется в кинетическую. Тело колеблется вокруг положения равновесия.
+- *Неустойчивое равновесие* — потенциальная энергия при малом смещении уменьшается, и тело «уходит» дальше, кинетическая энергия возрастает.
+- *Безразличное равновесие* — потенциальная энергия не меняется, поэтому кинетическая энергия также остаётся постоянной (при отсутствии внешних возмущений).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*27*. Какие системы отсчета называют неинерциальными? В чем заключается принципиальное отличие сил инерции от других сил, определяющих взаимодействие тел? Как меняются силы инерции и ньютоновские силы при переходе от одной неинерциальной системы отсчета к другой?_
+
+*A:*
+
+1. Неинерциальные системы отсчёта
+
+*Неинерциальная система отсчёта (НИСО)* — это система, которая движется с ускорением относительно инерциальной системы.
+В таких системах законы Ньютона не выполняются в их простом виде — для согласия с опытом приходится вводить *фиктивные (инерциальные) силы*.
+
+2. Отличие сил инерции от «настоящих» сил
+
+- *Ньютоновские силы* (гравитация, упругости, трения и т. д.) — это реальные взаимодействия между телами.
+- *Силы инерции* — не связаны с каким-либо физическим взаимодействием, они появляются лишь как поправка при рассмотрении движения в НИСО.
+  Формула:
+$
+arrow(F)_"инерц" = - m arrow(a)_0,
+$
+  где $arrow(a)_0$ — ускорение самой системы отсчёта.
+
+3. Как меняются силы при переходе между системами
+
+- При переходе от одной НИСО к другой изменяются *силы инерции*: они зависят от ускорения новой системы отсчёта.
+- «Настоящие» ньютоновские силы, обусловленные взаимодействием тел, при этом *не меняются*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*28*. Запишите формулу для силы инерции в неинерциальной системе отсчета, которая движется поступательно. Как направлена эта сила? Является ли сила инерции консервативной? Может ли она совершать работу?_
+
+*A:*
+
+1. Формула силы инерции при поступательном движении НИСО
+
+Если система отсчёта движется с ускорением $arrow(a)_0$ относительно инерциальной, то для тела массы $m$ в этой НИСО вводят силу инерции:
+
+$
+arrow(F)_"инерц" = - m arrow(a)_0.
+$
+
+2. Направление силы
+
+- Сила инерции всегда направлена *против ускорения системы отсчёта*.
+- То есть, если сама система ускоряется вправо, то сила инерции в ней действует влево.
+
+3. Консервативность
+
+- Сила инерции *не является консервативной*, потому что она не связана с каким-либо потенциальным полем и не является силой реального взаимодействия.
+
+4. Может ли она совершать работу?
+
+- Да, в уравнениях движения в НИСО сила инерции может входить в выражение для работы и энергии.
+- Однако эта «работа» не есть физическая передача энергии от какого-то реального источника, а лишь математическая поправка, учитывающая ускорение системы отсчёта.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*29*. Чем различается аналитический вид второго закона Ньютона в инерциальной и неинерциальной системах отсчета? Выполняется ли третий закон Ньютона в НИСО?_
+
+*A:*
+
+1. Второй закон Ньютона в *инерциальной системе отсчёта (ИСО)*
+
+$
+m arrow(a) = sum arrow(F),
+$
+где $sum arrow(F)$ — сумма всех *реальных* сил, действующих на тело.
+
+2. Второй закон Ньютона в *неинерциальной системе отсчёта (НИСО)*
+
+Если система ускоряется с $arrow(a)_0$ относительно ИСО, то вводится *сила инерции*:
+$
+m arrow(a)' = sum arrow(F) + arrow(F)_"инерц", space.quad arrow(F)_"инерц" = -m arrow(a)_0,
+$
+где $arrow(a)'$ — ускорение тела относительно НИСО.
+
+В НИСО второй закон Ньютона выполняется только с учётом добавления фиктивных сил инерции.
+
+3. Третий закон Ньютона в НИСО
+
+- *Третий закон Ньютона* (действие = противодействие) относится к реальным взаимодействиям тел и *справедлив всегда*, в том числе в НИСО.
+- Но *силы инерции* не связаны с взаимодействием тел, поэтому они не имеют пары «действие–противодействие».
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*30*. На тележке, которая движется по горизонтальной поверхности с постоянным ускорением $a = 5 "м/с"^2$, на нити длиной $l = 1 "м"$ висит груз массой $m = 1 "кг"$. Найдите силу натяжения нити и угол, который она образует с вертикалью, при условии, что груз неподвижен относительно тележки._
+
+*A:* Решение в ускоренной (неинерциальной) системе тележки:
+
+$
+T sin theta = m a space.quad T cos theta = m g arrow.double tan theta = frac(a, g), space.quad T = m sqrt(g^2 + a^2).
+$
+
+Подставим $m=1, "кг"$, $a = 5, "м/с"^2$, $g = 9.81, "м/с"^2$:
+
+$
+theta = arctan(frac(5, 9.81)) approx 27.0 degree, space.quad
+T=sqrt(9.81^2+5^2) approx 11.01 "Н".
+$
+
+Ответ: $theta approx 27 degree$ к вертикали, натяжение $T approx 11.0 "Н"$.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*31*. Выполняются ли законы сохранения механической энергии и импульса в неинерциальных системах отсчета? Приведите соответствующие пояснения._
+
+*A:*
+
+1. Закон сохранения механической энергии
+
+- В *инерциальных системах*: выполняется, если действуют только консервативные силы.
+- В *неинерциальных системах*:
+
+    - приходится вводить силы инерции; они *неконсервативны*, их работа зависит от траектории.
+    - поэтому строгий закон сохранения механической энергии *не выполняется*.
+    - Энергию можно «сохранить» только формально, если учитывать дополнительный член, связанный с энергией самой системы отсчёта.
+
+2. Закон сохранения импульса
+
+- В *инерциальных системах*: выполняется, если на систему не действуют внешние силы.
+- В *неинерциальных системах*:
+
+    - появляются силы инерции, зависящие от массы и ускорения системы.
+    - они не подчиняются третьему закону Ньютона и не компенсируются.
+    - поэтому импульс системы тел в НИСО *вообще не сохраняется*.
+
+3. Итог
+
+- *В НИСО законы сохранения механической энергии и импульса нарушаются* в их обычной форме.
+- Они могут выполняться только при введении «фиктивных поправок» (работа сил инерции, импульс системы отсчёта).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*32*. В чем заключается отличие происхождения поля сил инерции и поля сил тяготения? В чем заключаются особенности поля сил инерции?_
+
+*A:*
+
+1. Происхождение полей
+
+- *Поле сил тяготения*
+
+    - Реальное поле, возникающее вследствие гравитационного взаимодействия тел по закону всемирного тяготения.
+    - Его источник — масса.
+    - Силы тяготения действуют независимо от выбора системы отсчёта.
+
+- *Поле сил инерции*
+
+    - Мнимое (фиктивное) поле, возникающее при рассмотрении движения в неинерциальных системах отсчёта.
+    - Его «источник» — ускорение самой системы отсчёта.
+    - Силы инерции не связаны с реальными взаимодействиями.
+
+2. Особенности поля сил инерции
+
+1. *Зависимость от выбора системы отсчёта.*
+   В другой системе (например, инерциальной) эти силы полностью исчезают.
+
+2. *Неконсервативность.*
+   Силы инерции не выражаются через потенциальную энергию (работа зависит от пути).
+
+3. *Пропорциональность массе.*
+   $arrow(F)_text"инерц" = -m arrow(a)_0$. Все тела в данной НИСО испытывают одинаковое ускорение под действием этих сил (напоминает принцип эквивалентности).
+
+4. *Не выполняется третий закон Ньютона.*
+   Силы инерции не имеют пары «действие — противодействие».
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*33*. В чем заключается принцип суперпозиции полей сил инерции и притяжения? Ощущает ли отличие поля сил инерции и поля сил тяготения наблюдатель, который находится в неинерциальной системе отсчета?_
+
+*A:*
+
+1. Принцип суперпозиции
+
+В НИСО на тело действуют как *реальные силы* (например, гравитации), так и *фиктивные силы инерции*.
+Поле инерции просто *накладывается* на поле тяготения (или другое реальное поле).
+
+Пример: в лифте, движущемся с ускорением $a$, эффективное поле силы тяжести для пассажира:
+$
+arrow(g)_"эфф" = arrow(g) + arrow(a)_"лиф".
+$
+
+2. Может ли наблюдатель отличить поля?
+
+- Для наблюдателя внутри НИСО (например, в ускоряющемся лифте или ракете) *силы инерции и силы тяготения неразличимы*.
+- Именно на этом основан *принцип эквивалентности Эйнштейна*: локально невозможно отличить действие гравитационного поля от равномерно ускоренного движения.
+
+3. Вывод
+
+- *Принцип суперпозиции:* в НИСО суммируются поле тяготения и поле инерции.
+- *Различие:* внешний наблюдатель (в ИСО) видит, что силы инерции фиктивные, а внутренний наблюдатель (в НИСО) воспринимает их как реальные и не может отличить от гравитации.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*34*. Какие силы инерции возникают во вращающихся системах отсчета? По какой формуле рассчитывается центробежная сила инерции? Как определяется ее направление? Зависит ли направление центробежной силы от направления угловой скорости
+вращения?_
+
+*A:*
+
+1. Силы инерции во вращающихся системах отсчёта
+
+При переходе к вращающейся системе отсчёта возникают:
+
+- *Центробежная сила инерции*
+- *Сила Кориолиса*
+- (при неравномерном вращении — ещё и сила Эйлера).
+
+2. Центробежная сила инерции
+
+Для точки массы $m$, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, в системе, вращающейся с угловой скоростью $arrow(omega)$:
+$
+arrow(F)_"цб" = m omega^2 arrow(r)_perp,
+$
+или в векторной форме:
+$
+arrow(F)_"цб" = m arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)).
+$
+
+3. Направление
+
+- Всегда направлена *от оси вращения наружу*, вдоль радиуса.
+- То есть противоположна центростремительному ускорению.
+
+4. Зависимость от направления угловой скорости
+
+- Величина $|arrow(F)_"цб"| = m omega^2 r$ зависит только от модуля $omega$.
+- Направление силы *не зависит от знака/направления вращения*, а определяется только положением точки относительно оси.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*35*. Как изменится модуль центробежной силы инерции, если скорость вращения системы отсчета увеличить в $n$ раз? Дайте необходимые пояснения._
+
+*A:* 
+
+$
+arrow(F)_"цб" = m arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)), space.quad F_"цб" = m omega^2 r.
+$
+
+Если угловую скорость увеличить в $n$ раз ($omega arrow n omega$), то
+$
+F'_"цб" = m(n omega)^2 r = n^2 m omega^2 r = n^2 F_"цб".
+$
+
+То есть модуль центробежной силы возрастает *в $n^2$ раз*. Причина — квадратичная зависимость от $omega$ (или эквивалентно от линейной скорости $v = omega r$: $F_"цб" = (m v^2)/r)$.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*36*. При движении космического корабля по круговой орбите имеет место состояние невесомости. Почему оно пропадает, когда корабль входит в атмосферу Земли? На каких участках траектории космического корабля возникают перегрузки? Что называют перегрузкой?_
+
+*A:*
+
+1. Невесомость на орбите
+
+Корабль и всё внутри него движутся по орбите с одинаковым ускорением свободного падения $g_"орб"$.
+
+- На корабль и на космонавтов действует только сила тяготения.
+- Опоры (пол, кресла) не оказывают давления → *сила реакции опоры равна нулю*, и человек ощущает невесомость.
+
+2. Почему невесомость пропадает в атмосфере
+
+При входе в атмосферу возникает сила сопротивления воздуха (аэродинамическая сила), действующая на корпус корабля.
+
+- Корабль начинает замедляться.
+- Космонавт внутри ещё движется по инерции, ударяется о стенку → возникает сила давления.
+- Появляется весовое ощущение → невесомость исчезает.
+
+3. Где возникают перегрузки
+
+Перегрузки возникают там, где ускорение корабля (или его частей) отличается от ускорения свободного падения:
+
+- *При старте* ракеты — от действия реактивной тяги.
+- *При манёврах* (изменение скорости или траектории).
+- *При торможении в атмосфере* (вход в плотные слои, аэродинамическое замедление).
+
+4. Определение перегрузки
+
+*Перегрузка* — это отношение полной кажущейся силы (реакции опоры), действующей на человека или прибор, к его весу в состоянии покоя на поверхности Земли:
+$
+n = frac(R, m g).
+$
+
+Если $n>1$, человек ощущает усиленный вес (давление кресла), если $n<1$ — невесомость или даже «отрицательный вес».
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*37*. При каких условиях возникают кориолисовы силы инерции? Зависит ли сила Кориолиса от скорости движения тела во вращающейся системе отсчета? Приведите примеры проявления сил Кориолиса на Земле._
+
+*A:*
+
+1. Условия возникновения
+
+*Сила Кориолиса* появляется в неинерциальной системе отсчёта, которая *вращается* с угловой скоростью $arrow(omega)$.
+Она действует на тело, которое имеет скорость $arrow(v)'$ относительно этой вращающейся системы.
+
+2. Формула
+
+$
+arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)').
+$
+
+- Она есть *только при движении тела* внутри вращающейся системы ($arrow(v)' eq.not 0$).
+- Чем больше скорость $v'$, тем больше сила.
+- Зависит от направления движения относительно оси вращения.
+
+3. Примеры проявления на Земле
+
+- *Отклонение снарядов, ракет, авиации*: в Северном полушарии вправо от направления движения, в Южном — влево.
+- *Циркуляция атмосферы и океанов*: пассаты, циклоны и антициклоны закручиваются из-за силы Кориолиса.
+- *Течения рек*: в северном полушарии течение интенсивнее размывает правый берег, в южном — левый.
+- *Маятник Фуко*: плоскость колебаний медленно поворачивается из-за вращения Земли.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*38*. По какой формуле находится сила Кориолиса? Сформулируйте правило, по которому определяется направление силы Кориолиса. Почему сила Кориолиса отсутствует, когда тело движется параллельно оси вращения системы?_
+
+*A:*
+
+1. Формула силы Кориолиса
+
+$
+arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)'),
+$
+где
+
+- $m$ — масса тела,
+- $arrow(omega)$ — угловая скорость вращающейся системы отсчёта,
+- $arrow(v)'$ — скорость тела относительно этой системы.
+
+2. Направление силы (правило)
+
+Направление $arrow(F)_"кор"$ определяется по правилу векторного произведения:
+
+- берём вектор $arrow(omega)$ (ось вращения, направление по правилу правого винта),
+- берём вектор скорости $arrow(v)'$,
+- строим $arrow(omega) times arrow(v)'$ по правилу правой руки,
+- умножаем на $-2 m$, то есть получаем вектор, направленный в противоположную сторону.
+
+Иными словами: сила Кориолиса всегда перпендикулярна и к оси вращения, и к направлению движения.
+
+3. Почему сила Кориолиса отсутствует при движении вдоль оси вращения
+
+- Если $arrow(v)'$ параллелен $arrow(omega)$, то $arrow(omega) times arrow(v)' = 0$.
+- Следовательно, $arrow(F)_"кор" = 0$.
+- Физически: движение вдоль оси вращения не связано с изменением радиус-вектора относительно оси, поэтому вращение системы не создаёт поперечного отклонения.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*39*. Как направлена сила Кориолиса при движении тела: по экватору с востока на запад; с запада на восток; на экваторе вдоль меридиана?_
+
+*A:*
+
+1. Формула
+
+$
+arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)'),
+$
+где $arrow(omega)$ — угловая скорость вращения Земли (направлена вдоль земной оси с юга на север, то есть к Северному полюсу).
+
+2. Движение по экватору с *запада на восток*
+
+- Скорость $arrow(v)'$ направлена на восток.
+- $arrow(omega)$ направлена на север.
+- Векторное произведение $arrow(omega) times arrow(v)'$ — вверх (радиально наружу).
+- С учётом минуса: сила Кориолиса направлена *к центру Земли (вниз)*.
+
+3. Движение по экватору с *востока на запад*
+
+- Скорость $arrow(v)'$ направлена на запад.
+- $arrow(omega) times arrow(v)'$ — вниз (к центру).
+- Сила Кориолиса с минусом — *радиально наружу (вверх)*.
+
+4. Движение на экваторе вдоль меридиана (север ↔ юг)
+
+- Здесь $arrow(v)'$ параллельна $arrow(omega)$.
+- Тогда $arrow(omega) times arrow(v)' = 0$.
+- *Сила Кориолиса отсутствует.*
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*40*. Объясните, как на основе существования сил Кориолиса было экспериментально доказано суточное вращение Земли при помощи маятника Фуко._
+
+*A:*
+
+1. Суть маятника Фуко
+
+Маятник Фуко — это длинный тяжёлый маятник, способный свободно качаться в любой вертикальной плоскости.
+
+- В идеале плоскость его колебаний остаётся неизменной в инерциальной системе.
+- Но Земля вращается → для наблюдателя, находящегося на Земле (неинерциальная система), плоскость колебаний *кажется поворачивающейся*.
+
+2. Роль силы Кориолиса
+
+На колеблющийся груз действует сила Кориолиса:
+$
+arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)).
+$
+
+- Она вызывает постепенное смещение траектории грузика.
+- В результате плоскость колебаний маятника медленно поворачивается относительно поверхности Земли.
+
+3. Наблюдаемый эффект
+
+Скорость поворота плоскости:
+$
+Omega = omega sin phi,
+$
+где $omega$ — угловая скорость вращения Земли, $phi$ — широта.
+
+- На *полюсах* ($phi = 90 degree$) плоскость полностью поворачивается за 24 часа.
+- На *экваторе* ($phi=0$) поворот отсутствует.
+- В промежуточных широтах — период больше суток, но всегда конечен.
+
+4. Экспериментальное доказательство
+
+Фуко (1851 г., Пантеон, Париж) подвесил маятник длиной 67 м.
+
+- Плоскость колебаний маятника постепенно поворачивалась относительно здания.
+- Это было наглядным доказательством того, что вращается именно Земля, а не маятник.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*41*. Существование кориолисовых сил является результатом того, что в северном полушарии правый берег реки всегда более крутой, чем левый; правый рельс железной дороги изнашивается сильнее, чем левый. Вместе с тем известно, что сила Кориолиса перпендикулярна вектору относительной скорости и, следовательно, не может выполнять работы. За счет какой энергии выполняется работа в рассмотренных выше случаях?_
+
+*A:*
+
+1. Свойство силы Кориолиса
+
+Сила Кориолиса всегда перпендикулярна скорости тела:
+$
+arrow(F)_"кор" perp arrow(v),
+$
+поэтому работа этой силы равна нулю:
+$
+A = integral arrow(F)_"кор" dot d arrow(r) = 0.
+$
+Она может *изменять направление движения*, но не его кинетическую энергию.
+
+2. Тогда откуда работа в реальных процессах?
+
+Когда мы наблюдаем такие явления, как:
+
+- размыв правого берега рек в Северном полушарии,
+- больший износ правого рельса,
+
+работа совершается *не силой Кориолиса напрямую*, а *реальными силами взаимодействия*:
+
+- Для рек: давление и трение потока о берега. Сила Кориолиса лишь отклоняет поток, перераспределяя направление скоростей → вода сильнее ударяет в правый берег, и его разрушает *гидродинамическая сила воды*.
+- Для поездов: Кориолис вызывает микроскопическое смещение колёс относительно рельсов → возрастает давление на правый рельс, и именно *нормальная реакция рельса* выполняет работу изнашивания.
+
+3. Источник энергии
+
+Энергия берётся из *основного движения системы*:
+
+- в реках — из потенциальной энергии воды, стекающей вниз по уклону,
+- в железной дороге — из работы двигателя локомотива, обеспечивающего поступательное движение поезда.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*42*. Дайте определение веса тела. Какова природа этой силы? Запишите формулу связи веса тела с силами инерции для системы, которая движется относительно Земли поступательно с некоторым ускорением._
+
+*A:*
+
+1. Определение веса тела
+
+*Вес тела* — сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие действия на него сил притяжения и инерции.
+
+То есть вес — это *реакция опоры* (или натяжение подвеса), а не сама сила тяжести.
+
+2. Природа силы
+
+- Основная причина появления веса — *гравитационная сила*, действующая на тело.
+- Но если система отсчёта неинерциальная (движется с ускорением), то к силе тяжести добавляются *силы инерции*, и вес изменяется.
+
+3. Формула для поступательно ускоряющейся системы
+
+Если система движется с ускорением $arrow(a)_0$ относительно Земли (например, лифт), то эффективный вес:
+
+$
+arrow(P) = m arrow(g) - m arrow(a)_0,
+$
+
+где
+
+- $m$ — масса тела,
+- $arrow(g)$ — ускорение свободного падения,
+- $arrow(a)_0$ — ускорение системы.
+
+4. Примеры
+
+- Лифт ускоряется *вверх* с ускорением $a$:
+$
+P = m(g + a) space.quad arrow.double space.quad "кажущийся вес увеличивается".
+$
+
+- Лифт ускоряется *вниз*:
+$
+P = m(g-a) space.quad arrow.double space.quad "вес уменьшается".
+$
+
+- При $a = g$:
+$
+P = 0 space.quad arrow.double space.quad "невесомость".
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*43*. Какие причины обусловливают зависимость ускорения свободного падения от географической широты места? Как выражается эта зависимость?_
+
+*A:*
+
+1. Причины зависимости $g$ от широты $phi$
+
+1. *Вращение Земли*
+
+    - При вращении Земли тело испытывает центробежное ускорение:
+$
+a_"цб" = omega^2 R cos phi,
+$
+     направленное от оси вращения.
+    - На экваторе ($phi = 0 degree$) оно максимальное, на полюсах ($phi = 90 degree$) равно нулю.
+
+2. *Сплюснутость Земли (геоид)*
+
+    - Радиус Земли на экваторе больше, чем на полюсах.
+    - По закону тяготения $g prop frac(1, R^2)$.
+    - Поэтому на экваторе $g$ меньше, а на полюсах больше.
+
+2. Общая зависимость
+
+Ускорение свободного падения на широте $phi$:
+$
+g(phi) = g_0 (1 + alpha sin^2 phi) - omega^2 R cos^2 phi,
+$
+где
+
+- $g_0$ — номинальное значение у поверхности Земли,
+- $alpha$ — поправка на сплюснутость Земли ($approx 0.0053$),
+- $omega$ — угловая скорость вращения Земли,
+- $R$ — экваториальный радиус Земли.
+
+3. Итог
+
+- На экваторе $g approx 9.78 "м/с"^2$.
+- На полюсах $g approx 9.83 "м/с"^2$.
+- Разница $≈ 0.5 %$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*44*. Какой формулой определяется угол между направлением к центру Земли и направлением линии отвеса? От чего зависит его величина? В каких границах он изменяется?_
+
+*A:*
+
+1. Причина отклонения
+
+Линия отвеса определяется *суммарным ускорением*, действующим на тело:
+$
+arrow(g)_"эфф" = arrow(g) + arrow(a)_"цб",
+$
+где
+
+- $arrow(g)$ — ускорение гравитации (к центру Земли),
+- $arrow(a)_"цб"$ — центробежное ускорение из-за вращения Земли.
+
+Центробежное ускорение направлено перпендикулярно оси вращения, поэтому отвес чуть отклоняется от истинного центра Земли.
+
+2. Формула для угла отклонения $delta$
+
+Угол между направлением к центру Земли и линией отвеса:
+$
+tan delta = frac(a_"цб,гор", g),
+$
+где $a_"цб,гор" = omega^2 R cos phi dot sin phi$ — горизонтальная составляющая центробежного ускорения на широте $phi$.
+
+Приближённо:
+$
+delta approx frac(omega^2 R, g) sin phi cos phi.
+$
+
+3. Зависимость и границы
+
+- Зависит от широты $phi$.
+- На экваторе ($phi = 0 degree$) и на полюсах ($phi = 90 degree$) угол равен нулю (отвес точно указывает в центр Земли).
+- Максимальное отклонение наблюдается при $phi=45 degree$.
+- Величина отклонения очень мала: порядка *2′ (угловых минут)*, то есть меньше $0.05°$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*45*. В каких границах изменяется вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения? Какие причины обуславливают эти изменения?_
+
+*A:*
+
+1. Диапазон значений $g$ на Земле
+
+Ускорение свободного падения у поверхности Земли изменяется примерно в пределах:
+
+$
+g approx 9,78 "м/с"^2 space.quad "экватор" div 9,83 "м/с"^2 space.quad "полюсы".
+$
+
+Разница ≈ 0,05 м/с² (около 0,5 %).
+
+2. Причины изменения $g$
+
+1. *Вращение Земли*
+
+    - На экваторе действует центробежное ускорение:
+     $
+     a_"цб" = omega^2 R_"экв" approx 0,034 "м/с"^2,
+     $
+     что уменьшает эффективное $g$.
+    - На полюсах центробежного ускорения нет → $g$ больше.
+
+2. *Сплюснутость Земли (геоид)*
+
+    - Земля не идеально сферическая: радиус на экваторе больше, чем на полюсах.
+    - По закону тяготения $g prop 1/(R^2)$, поэтому на экваторе (где радиус больше) $g$ меньше.
+
+3. *Локальные геологические особенности*
+
+    - Различия в плотности пород, наличие гор, впадин, полезных ископаемых создают небольшие локальные отклонения $g$ (в пределах тысячных долей).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*46*. Одно и то же тело взвесили на пружинных и рычажных весах на экваторе и полюсе. Различаются показания этих приборов? Если, да, то каким именно образом? Дайте необходимые пояснения._
+
+*A:*
+
+1. Что измеряют разные весы
+
+- *Рычажные весы* (двухчашечные) сравнивают массы по уравновешиванию моментов сил тяжести.
+  ➝ Их показания определяются отношением масс и *не зависят* от величины ускорения свободного падения $g$.
+
+- *Пружинные весы* измеряют силу упругости пружины, которая уравновешивает вес тела.
+  ➝ Их показания пропорциональны *силе тяжести*, то есть зависят от значения $g$.
+
+2. Зависимость $g$ от широты
+
+На экваторе и на полюсе $g$ различно:
+
+- На *экваторе* меньше, потому что:
+
+  1. радиус Земли больше (дальше от центра → меньше $g$);
+  2. есть центробежное ускорение из-за вращения Земли.
+
+- На *полюсе* $g$ больше (радиус меньше, центробежное ускорение отсутствует).
+
+3. Сравнение показаний
+
+- *Рычажные весы*: одинаковые на экваторе и на полюсе.
+- *Пружинные весы*: покажут меньший «вес» на экваторе, больший — на полюсе.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*47*. Что называют гироскопом? Какие оси имеет гироскоп? В чем заключается гироскопический эффект? Какие явления называют прецессией? Нутацией?_
+
+*A:*
+
+1. Что называют гироскопом
+
+*Гироскоп* — это быстро вращающееся твёрдое тело (обычно ротор), установленное так, что его ось вращения может свободно изменять ориентацию в пространстве.
+Основное свойство: благодаря большому моменту импульса $arrow(L) = I arrow(omega)$ ось гироскопа сохраняет своё направление в пространстве при отсутствии внешних моментов.
+
+2. Оси гироскопа
+
+- *Ось вращения* (собственная ось ротора).
+- *Ось симметрии подвеса* (через центр масс и опору).
+- *Ось прецессии* (ось, вокруг которой поворачивается ось гироскопа под действием внешнего момента).
+
+3. Гироскопический эффект
+
+*Гироскопический эффект* — это свойство гироскопа сохранять неизменным направление своей оси в пространстве или изменять его особым образом (прецессией), несмотря на приложенные силы.
+Основан на законе сохранения момента импульса.
+
+4. Прецессия
+
+*Прецессия* — это медленное вращение оси гироскопа вокруг другой оси под действием момента внешних сил, перпендикулярного вектору собственного момента импульса.
+Скорость прецессии:
+$
+Omega = M/L.
+$
+
+5. Нутация
+
+*Нутация* — это дополнительные колебательные движения оси гироскопа (наклонные колебания вокруг линии средней прецессии).
+Они возникают при резком изменении внешнего момента или при несовершенстве подвеса.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*48*. Почему под действием момента внешних сил, перпендикулярного оси собственного импульса, гироскоп начинает совершать прецессию?_
+
+*A:*
+
+1. Собственный момент импульса гироскопа
+
+Вращающееся тело (ротор) имеет момент импульса
+$
+arrow(L) = I arrow(omega),
+$
+направленный вдоль оси вращения.
+
+2. Действие внешнего момента
+
+Если к гироскопу приложен момент внешних сил $arrow(M)$, то по закону изменения момента импульса:
+$
+frac(d arrow(L), d t) = arrow(M).
+$
+
+- Если $arrow(M)$ направлен *перпендикулярно* $arrow(L)$, то он не меняет величину $|arrow(L)|$, а изменяет только *направление* вектора $arrow(L)$.
+- Вектор $arrow(L)$ начинает поворачиваться в направлении действия $arrow(M)$.
+
+3. Прецессия
+
+Поскольку ось гироскопа совпадает с направлением $arrow(L)$, её ориентация также начинает изменяться → ось описывает медленное вращение вокруг вертикали (или другой оси, вдоль которой приложен момент). Это движение называется *прецессией*.
+
+Скорость прецессии:
+$
+arrow(Omega) = frac(arrow(M), |arrow(L)|).
+$
+
+4. Физический смысл
+
+- Момент сил не «опрокидывает» гироскоп (как это было бы для невращающегося тела), а лишь изменяет направление его оси.
+- Поэтому гироскоп «устойчив» и реагирует на внешний момент боковым вращением — прецессией.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*49*. Приведите примеры практического применения гироскопического эффекта._
+
+*A:* Гироскопический эффект — это способность вращающегося тела сохранять направление своей оси в пространстве (устойчивость при воздействии внешних моментов). Его активно используют в технике.
+
+Примеры применения:
+
+1. *Навигация и ориентация*
+
+    - гирокомпасы на кораблях и подводных лодках (ориентация без магнитного поля);
+    - гироскопические приборы в авиации (гирогоризонт, авиагоризонт, указатель поворота);
+    - инерциальные навигационные системы ракет, спутников, космических аппаратов.
+
+2. *Транспорт*
+
+    - стабилизация велосипедов, мотоциклов (вращающиеся колёса дают устойчивость);
+    - гиростабилизаторы в поездах и автомобилях для повышения устойчивости.
+
+3. *Космос*
+
+    - ориентация искусственных спутников и космических станций (маховики-реакционные колёса, гиростабилизаторы).
+
+4. *Морская техника*
+
+    - гиростабилизаторы на судах и яхтах для уменьшения качки.
+
+5. *Электроника и бытовая техника*
+
+    - гиродатчики в смартфонах, дронах, геймпадах — для определения положения в пространстве.
+
+#pagebreak()
+#align(center)[= _Колебания и волны_]
+
+*Q:* _*1*. Какое движение называется колебательным? Приведите примеры._
+
+*A:* *Колебательное движение* — это движение, которое многократно повторяется во времени и происходит около положения устойчивого равновесия.
+Основные признаки:
+
+- наличие равновесного положения,
+- отклонение от него,
+- возврат под действием сил, стремящихся вернуть систему в равновесие,
+- периодичность или квазипериодичность.
+
+Примеры колебательных движений:
+
+- механические:
+
+    - колебания маятника,
+    - колебания пружинного маятника (груз на пружине),
+    - вибрация струны;
+- акустические: звуковые колебания воздуха;
+- электрические: колебания заряда и тока в колебательном контуре $L C$;
+- физические системы: колебания молекул в твёрдых телах (фононы), колебания в кристаллической решётке.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2*. Какие колебания называются гармоническими? По каким критериям эти колебания в природе и технике выделяют в особую группу?_
+
+*A:* *Гармонические колебания* — это такие колебания, при которых физическая величина (смещение, скорость, ток и т. п.) изменяется по закону синуса или косинуса:
+
+$
+x(t) = A cos(omega t + phi_0),
+$
+
+где $A$ — амплитуда, $omega$ — циклическая частота, $phi_0$ — начальная фаза.
+
+2. Критерии выделения в особую группу
+
+Гармонические колебания считаются базовыми, потому что:
+
+- *линейность*: они возникают в линейных системах при малых отклонениях от равновесия (например, закон Гука);
+- *универсальность*: любое сложное периодическое движение можно разложить в сумму гармонических (ряд Фурье);
+- *простота анализа*: имеют чёткие характеристики (амплитуда, период, частота, фаза), легко измеряемые и вычисляемые;
+- *распространённость*: в природе и технике они встречаются очень часто — от маятника и колебаний атомов в кристалле до переменного тока и радиоволн.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. Дайте определение основных величин, характеризующих гармоническое колебательное движение (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). Каков физический смысл этих характеристик?_
+
+*A:* Возьмём гармоническое колебание
+
+$
+x(t) = A cos(omega t + phi_0).
+$
+
+Основные величины
+
+1. *Амплитуда $A$*
+
+    - Максимальное по модулю отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.
+    - Физический смысл: характеризует «размах» колебаний (максимальное смещение, максимальный ток и т. д.).
+
+2. *Фаза $phi(t) = omega t + phi_0$*
+
+    - Аргумент функции косинуса/синуса, определяющий состояние колеблющейся системы в данный момент времени.
+    - Физический смысл: задаёт «положение» колебания на цикле (например, находится ли система в максимуме, на спаде, в равновесии).
+
+3. *Начальная фаза $phi_0$*
+
+    - Значение фазы в момент $t = 0$.
+    - Физический смысл: определяет, с какого состояния система начинает колебаться.
+
+4. *Период $T$*
+
+    - Время одного полного колебания.
+    - Физический смысл: длительность одного «цикла» движения.
+    - Формула:
+$
+T = frac(2 pi, omega).
+$
+
+5. *Частота $nu$*
+
+    - Число колебаний в единицу времени.
+    - Связь с периодом:
+$
+nu = 1/T.
+$
+    - Физический смысл: показывает, сколько раз за секунду повторяется движение.
+
+6. *Циклическая частота $omega$*
+
+    - Угловая скорость изменения фазы (в радианах в секунду).
+    - Связь с частотой:
+$
+omega = 2 pi nu = frac(2 pi, T).
+$
+    - Физический смысл: показывает, с какой скоростью «бежит» фаза; удобно в формулах, потому что измеряется в рад/с.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Какими признаками определяются упругие силы? В чем различие упругих и квазиупругих сил?_
+
+*A:* 1. Признаки упругих сил
+
+Упругая сила проявляется, когда тело деформируется, и характеризуется:
+
+- *Противодействием деформации* — стремится вернуть тело в исходное (равновесное) состояние.
+- *Зависимостью только от величины деформации* (для идеальной упругости):
+$
+F = -k Delta x
+$
+  (закон Гука, где $k$ — жёсткость, $Delta x$ — удлинение/сжатие).
+- *Мгновенной обратимостью*: работа упругой силы полностью возвращается при устранении деформации (нет потерь энергии).
+
+2. Квазиупругие силы
+
+Это силы, которые внешне ведут себя *похоже на упругие*, но:
+
+- они не полностью восстанавливают исходное состояние;
+- при деформации и обратном движении часть энергии рассеивается (в тепло, внутренние процессы);
+- сила зависит не только от величины деформации, но и от скорости, времени, внутреннего трения.
+
+Пример: резина, полимеры, биологические ткани — при растяжении и отпускании графики $F(Delta x)$ не совпадают (явление гистерезиса).
+
+3. Различие
+
+- *Упругие силы*: строго подчиняются закону Гука, полностью обратимы, энергия сохраняется.
+- *Квазиупругие силы*: лишь приближённо подчиняются закону Гука, сопровождаются диссипацией энергии, обратимость неполная.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. Какие колебания называются свободными? При каких условиях свободные колебания будут незатухающими?_
+
+*A:* *Свободные колебания* — это колебания системы, происходящие только за счёт её собственных внутренних сил после того, как система была выведена из положения равновесия, *без дальнейшего внешнего воздействия*.
+
+Примеры: колебания маятника после отклонения, груз на пружине после растяжения.
+
+2. Условия незатухающих свободных колебаний
+
+В реальности всегда есть силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), из-за которых колебания затухают.
+*Незатухающими* свободные колебания будут только при идеализированных условиях:
+
+- отсутствуют диссипативные силы (трение, сопротивление среды, внутренние потери),
+- действуют только *консервативные силы* (сила тяжести, упругости).
+
+В этом случае система бесконечно долго колеблется с постоянной амплитудой и постоянной собственной частотой.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. На примере прямолинейных гармонических колебаний установите связь между амплитудами и фазами смещения скорости и ускорения материальной точки._
+
+*A:* Возьмём прямолинейные гармонические колебания
+
+$
+x(t) = A cos(omega t + phi).
+$
+
+Амплитуды:
+$
+v(t) = dot(x) = -A omega sin(omega t + phi) = A omega cos (omega t + phi + frac(pi, 2)) arrow.double A_v = omega A,
+$
+$
+a(t)= dot(x) = -omega^2 x = -A omega^2 cos(omega t + phi) = A omega^2 cos (omega t + phi + pi) arrow.double A_a = omega^2 A.
+$
+
+Фазовые сдвиги:
+
+- Скорость опережает смещение на $frac(pi, 2)$ (четверть периода):
+  $phi_v = phi + frac(pi, 2)$.
+- Ускорение в противофазе со смещением (сдвиг $pi$):
+  $phi_a = phi + pi$.
+- Ускорение опережает скорость на $frac(pi, 2)$ (или скорость отстаёт на $frac(pi, 2))$.
+
+Итог по связям:
+$
+A_v = omega A, space.quad A_a = omega^2 A, space.quad phi_v - phi = frac(pi, 2), space.quad phi_a - phi = pi.
+$
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. В течении какой доли периода колебаний совпадают направления векторов смещения и скорости простого гармонического осциллятора?_
+
+*A:* Полпериода.
+
+В SHM $x = A cos(omega t + phi)$, $v = -A omega sin(omega t + phi)$. Направления совпадают, когда $x$ и $v$ одного знака ⇔ $sin(2(omega t + phi)) < 0$, что выполняется на интервалах ($frac(pi, 2), pi$) и ($frac(3 pi, 2), 2 pi$) по фазе — суммарно $T/2$. Физически: совпадают, когда осциллятор уходит от равновесия к крайним положениям.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. При помощи метода векторных диаграмм найдите выражение для амплитуды: результирующего колебания, полученного в результате сложения двух колебаний одного направления и одинаковых частот. При каком условии амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний? Модулю их разности?_
+
+*A:* Классическое сложение фазоров.
+
+Пусть
+$
+x_1 = A_1 cos( omega t+ phi_1), space.quad
+x_2 = A_2 cos( omega t+ phi_2), space.quad
+Delta phi = phi_2 - phi_1.
+$
+Тогда результирующее колебание того же вида
+$
+x = A cos( omega t + phi),
+$
+где амплитуда и фаза задаются по векторной диаграмме:
+$
+A = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 cos Delta phi)
+$
+
+$
+tan phi= frac(A_1 sin phi_1 + A_2 sin phi_2, A_1 cos phi_1+A_2 cos phi_2).
+$
+
+Условия:
+
+- $A = A_1 + A_2$ при фазовом совпадении ($Delta phi = 0$, в фазе).
+- $A = |A_1 - A_2|$ при противофазе ($Delta phi = pi$).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. В каком случае при сложении двух колебаний будет наблюдаться процесс биений? Запишите уравнение такого процесса, изобразите график зависимости смещения от времени._
+
+*A:* *Когда возникают биения:* при сложении двух колебаний одного направления с близкими, но различными частотами $omega_1 approx omega_2$ и сравнимыми амплитудами.
+
+*Уравнение суммы* (для простоты $A_1 = A_2 = A, phi_1 = phi_2 = 0$):
+$
+x(t) = A cos omega_1 t + A cos omega_2 t = 2 A cos(frac(omega_2-omega_1, 2)t), cos(frac(omega_1 + omega_2, 2)t).
+$
+Амплитуда медленно меняется по огибающей
+
+$ 2 A cos(frac(Delta omega, 2)t)$.
+Частота биений $f_b = |f_2 - f_1|$, период биений $T_b = frac(1, |f_2 - f_1|)$.
+
+Для разных амплитуд:
+$
+x = A_1 cos omega_1 t + A_2 cos omega_2 t, space.quad A_"огиб" (t) = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 cos(Delta omega, t)).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. Каков вид траектории точки, которая участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми частотами? При каких значениях разности фаз траекторией движения будет прямая и при каких — эллипс?_
+
+*A:* Возьмём
+
+$
+x(t) = A cos omega t, space.quad y(t) = B cos(omega t + delta).
+$
+
+Вид траектории
+
+Исключая $t$, получаем связь
+$
+(frac(x, A))^2 + (frac(y, B))^2 - 2 frac(x, A) frac(y, B) cos delta = sin^2 delta,
+$
+
+что описывает *эллипс* (вообще — повернутый). Угол поворота $theta$ удовлетворяет
+$
+tan 2 theta = frac(2 A B cos delta, A^2 - B^2).
+$
+
+Когда прямая?
+
+- При $delta = 0$ или $delta = pi$:
+$
+y=plus.minus frac(B, A) x,
+$
+  то есть траектория — *прямая* (проекции синфазны/противофазны).
+
+Когда эллипс?
+
+- При любом $delta eq.not.triple 0, pi mod(2 pi)$ — *эллипс*.
+- Частный случай круга: если $A=B$ и $delta = plus.minus frac(pi, 2)$, то
+$
+x^2+y^2=A^2,
+$
+  траектория — *окружность*.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*11*. Что называется фигурами Лиссажу? Как по виду фигур Лиссажу можно установить соотношение частот складываемых колебаний?_
+
+*A:* *Фигуры Лиссажу* — это траектории, которые описывает точка, участвующая одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях:
+
+$
+x(t) = A_x cos(omega_x t + phi_x), space.quad
+y(t) = A_y cos(omega_y t + phi_y).
+$
+
+Если частоты отличаются, получаются характерные замкнутые или незамкнутые кривые на плоскости ($x,y$).
+
+2. Установление соотношения частот
+
+- Если отношение частот рациональное:
+$
+frac(omega_x, omega_y) = frac(n, m),
+$
+  то траектория замкнута и называется *фигурой Лиссажу*.
+- Числа $n$ и $m$ можно определить по виду фигуры:
+
+    - *число петель* вдоль оси $x = n$,
+    - *число петель* вдоль оси $y = m$.
+
+Пример: при $omega_x : omega_y = 2:1$ получится фигура с двумя «петлями» по оси $x$ и одной по оси $y$.
+
+3. Особый случай
+
+Если $omega_x / omega_y$ иррационально, то кривая *не замыкается*, и траектория со временем заполняет всё ограниченное прямоугольное пространство.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*12*. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, математического и физического маятников._
+
+*A:* Разберём каждый тип маятника.
+
+1. *Пружинный маятник*
+
+Тело массы $m$ на пружине жёсткости $k$.
+
+Уравнение движения:
+
+$
+m dot(dot(x)) + k x = 0.
+$
+
+Собственная циклическая частота:
+$
+omega = sqrt(frac(k, m)).
+$
+
+Период:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(m, k)).
+$
+
+2. *Математический маятник*
+
+Груз массы $m$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$.
+При малых углах $(sin phi approx phi)$:
+
+$
+dot(dot(phi)) + frac(g, l) phi = 0.
+$
+
+Собственная частота:
+$
+omega = sqrt(frac(g, l)).
+$
+Период:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(l, g)).
+$
+
+3. *Физический маятник*
+
+Любое твёрдое тело, колеблющееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.
+Уравнение движения:
+$
+I dot(dot(phi)) + m g l phi = 0,
+$
+где $I$ — момент инерции относительно оси подвеса, $l$ — расстояние от оси до центра масс.
+Собственная частота:
+$
+omega = sqrt(frac(m g l, I)).
+$
+Период:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(I, m g l)).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*13*. В чем состоит различие между математическим и физическим маятниками? В чем заключается физический смысл приведенной длины физического маятника?_
+
+*A:* 
+
+1. Математический маятник
+
+- Идеализированная модель.
+- Материальная точка массы $m$, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины $l$.
+- Колебания происходят под действием силы тяжести.
+- Период колебаний:
+$
+T = 2 pi sqrt(l/g).
+$
+
+2. Физический маятник
+
+- Любое реальное твёрдое тело, способное колебаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.
+- Тело имеет распределение масс и момент инерции (I) относительно оси подвеса.
+- Период колебаний:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(I, m g d)),
+$
+  где $d$ — расстояние от оси подвеса до центра масс.
+
+3. Приведённая длина физического маятника
+
+- Вводят для того, чтобы *сравнить физический маятник с эквивалентным математическим*.
+- Определяется как:
+$
+l_"пр" = frac(I, m d).
+$
+
+- Тогда формула периода приобретает вид:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(l_"пр", g)),
+$
+  что полностью аналогично периоду математического маятника.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*14*. Почему период колебаний математического маятника не зависит от массы, а период физического маятника зависит от момента инерции._
+
+*A:*
+
+1. Математический маятник
+
+- Период:
+$
+T = 2 pi sqrt(l / g).
+$
+- Здесь масса $m$ сокращается при выводе: сила тяжести $F = m g$ пропорциональна массе, и ускорение $a = F / m = g$ не зависит от массы.
+  Поэтому *период математического маятника не зависит от массы груза*.
+
+2. Физический маятник
+
+- Период:
+$
+T = 2 pi sqrt(frac(I, m g d)),
+$
+  где $I$ — момент инерции относительно оси подвеса, $d$ — расстояние от центра масс до оси.
+
+- Здесь масса входит в момент инерции $I$. Для тела с распределённой массой $I = sum m_i r_i^2$.
+
+- Таким образом, период определяется не только массой, но и её распределением относительно оси.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*15*. Какие колебания называются затухающими? Как изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний? Выразите эту зависимость аналитически и графически._
+
+*A:* *Затухающие колебания* — это колебания с убывающей во времени амплитудой из-за потерь энергии (трение, сопротивление среды и т.п.).
+
+- При линейном вязком сопротивлении:
+$
+x(t) = A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi), space.quad A(t) = A_0 e^(-gamma t).
+$
+- Полезные характеристики:
+$
+Lambda = ln frac(x_n, x_(n+1)) = gamma T_d, space.quad zeta = frac(gamma, omega_0), space.quad omega = omega_0 sqrt(1 - zeta^2) (zeta < 1).
+$
+
+График с огибающей $plus.minus A(t)$ построен выше.
+
+#align(center)[#image("assets/8.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*16*. Что понимают под периодом затухающих колебаний? Что такое коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность колебательной системы?_
+
+*A:*
+
+1. Период затухающих колебаний
+
+Уравнение затухающих колебаний:
+$
+x(t) = A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi),
+$
+где $gamma$ — коэффициент затухания, $omega$ — круговая частота затухающих колебаний.
+
+*Периодом* $T_d$ называют время между двумя последовательными колебаниями:
+$
+T_d = frac(2 pi, omega).
+$
+
+2. Коэффициент затухания $gamma$
+
+Характеризует скорость убывания амплитуды:
+$
+A(t) = A_0 e^(-gamma t).
+$
+Единицы измерения: [1/с].
+
+3. Логарифмический декремент $Lambda$
+
+Величина, показывающая, во сколько раз уменьшается амплитуда за один период:
+$
+Lambda = ln frac(A(t), A(t + T_d)) = gamma T_d.
+$
+
+4. Добротность (Q) колебательной системы
+
+Показывает «качество» колебаний — насколько долго система сохраняет энергию. Определение:
+$
+Q = frac(2 pi dot "(запасённая энергия)", "потерянная энергия за период").
+$
+Через параметры затухания:
+$
+Q = frac(pi, Lambda) = frac(omega, 2 gamma).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*17*. Получите формулы, выражающие зависимость кинетической и потенциальной энергий колебательной системы от времени. В каких случаях полная энергия колебательной системы будет постоянной? Представьте энергетические характеристики колебательной системы графически._
+
+*A:* Сформулируем для гармонического осциллятора $m dot(dot(x)) x + k x=0$ (и с затуханием при необходимости).
+
+Формулы энергий
+
+Для решения $x(t) = A cos(omega t + phi)$, $omega = sqrt(k/m)$:
+$
+v(t) = -A omega sin(omega t + phi).
+$
+$
+E_k(t) = 1/2 m v^2 = 1/2 m A^2 omega^2 sin^2(omega t + phi),
+$
+$
+E_p(t) = 1/2 k x^2 = 1/2 k A^2 cos^2(omega t + phi).
+$
+$
+E(t) = E_k + E_p = 1/2 k A^2 = "const".
+$
+
+Если есть вязкое затухание $m dot(dot(x)) + 2 m gamma dot(x) + k x = 0$, $x= A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi)$ с $omega = sqrt(omega_0^2 - gamma^2)$, $omega_0 = sqrt(k/m)$. Тогда амплитуда убывает как $e^(-gamma t)$, а полная энергия как
+$
+E(t) prop A^2(t) approx E_0,e^(-2 gamma t) space.quad (gamma << omega_0).
+$
+
+Когда энергия постоянна
+
+Полная энергия постоянна *только* в консервативном случае: нет сил трения/сопротивления, параметры $m, k$ постоянны, внешних источников или откачки энергии нет.
+
+#align(center)[#image("assets/9.png")]
+#align(center)[#image("assets/10.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*18*. Дайте определение собственных и вынужденных колебаний системы. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Какова зависимость амплитуды вынужденных колебаний, возбуждаемых силой, которая изменяется по гармоническому закону, от частоты этой силы? Представьте данную зависимость аналитически и графически - для нескольких различных коэффициентов сопротивления._
+
+*A:*
+
+Определения
+
+- *Собственные колебания* — свободные колебания системы без внешнего периодического воздействия (возникают за счёт начального отклонения/скорости).
+- *Вынужденные колебания* — колебания под действием внешней силы $F(t)$, обычно периодической.
+
+
+Уравнение вынужденных колебаний (линейный осциллятор с вязким сопротивлением)
+
+$
+m dot(dot(x)) + 2 m gamma dot(x) + k x = F_0 cos(Omega t).
+$
+
+Здесь $omega_0 = sqrt(k/m)$ — собственная частота, $gamma$ — коэффициент затухания.
+
+Амплитуда установившихся вынужденных колебаний
+
+$
+x(t) = A(Omega) cos(Omega t - delta), space.quad A(Omega) = frac(F_0/m, sqrt((omega_0^2 - Omega^2)^2 + (2 gamma Omega)^2)).
+$
+Пик около $Omega_"рез" approx sqrt(omega_0^2 - 2 gamma^2)$ (чем меньше $gamma$, тем выше и уже резонанс).
+
+График $A(Omega)$ для разных $gamma$
+
+Я построил АЧХ для $gamma = 0.2, 0.8, 1.6$ при $omega_0 = 6$ (в безразмерных единицах). Вертикальная пунктирная — $Omega = omega_0$.
+
+#align(center)[#image("assets/11.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*19*. В чем состоит суть явления резонанса? От чего зависит резонансная частота? Запишите формулу, определяющую резонансную частоту. Приведите примеры явления резонанса._
+
+*A:*
+
+1. Суть явления резонанса
+
+*Резонанс* — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний системы, когда частота внешней силы $Omega$ близка к собственной частоте системы $omega_0$.
+Физический смысл: внешняя сила подкачивает энергию синхронно с колебаниями, и энергия накапливается.
+
+2. От чего зависит резонансная частота
+
+Резонансная частота зависит:
+
+- от *собственной частоты системы* $omega_0 = sqrt(k/m)$,
+- от *коэффициента затухания* $gamma$.
+
+3. Формула для резонансной частоты
+
+Максимум амплитуды $A(Omega)$ достигается при:
+$
+Omega_"рез" = sqrt(omega_0^2 - 2 gamma^2).
+$
+
+- При малом затухании $gamma << omega_0$:
+$
+Omega_"рез" approx omega_0.
+$
+
+4. Примеры резонанса
+
+- Раскачивание качелей: толчки с частотой, близкой к собственной.
+- Колебания мостов под действием ветра или шагов (знаменитый случай — разрушение моста Такома Нарроуз в 1940 году).
+- Механический резонанс в машинах и механизмах (опасен, т.к. амплитуды могут стать разрушительными).
+- Электрический резонанс в колебательных контурах (LCR-цепи).
+- Акустический резонанс — усиление звука в резонансных полостях (например, в музыкальных инструментах).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*20*. Какие системы: называют автоколебательными? Приведите пример такой системы. Из каких основных элементов состоит автоколебательная система? Приведите пример релаксационных колебаний и охарактеризуйте их._
+
+*A:* 
+
+1. Автоколебательные системы
+
+*Автоколебательная система* — это система, в которой колебания поддерживаются за счёт внутренних источников энергии, без внешнего периодического воздействия.
+Энергия, теряемая на сопротивление, периодически восполняется самим устройством → колебания устойчиво поддерживаются.
+
+2. Примеры автоколебательных систем
+
+- Маятниковые часы (маятник получает импульс от механизма).
+- Генераторы электрических колебаний (ламповые, транзисторные).
+- Свисток, органная труба (подпитка колебаний потоком воздуха).
+- Биологические ритмы (например, сердечные сокращения, дыхание).
+
+3. Основные элементы автоколебательной системы
+
+1. *Колебательная система* (например, механический маятник, LC-контур).
+2. *Источник энергии* (механическая пружина, батарея, поток воздуха).
+3. *Устройство обратной связи*, которое подводит энергию к системе в нужной фазе, компенсируя потери.
+
+4. Релаксационные колебания
+
+- Это особый тип автоколебаний, при которых процесс имеет *медленный накопительный этап* и *быстрый скачок*.
+- Обычно форма сигнала далека от синусоиды (пилообразная, импульсная).
+
+*Примеры:*
+
+- мигание неоновой лампы;
+- работа генератора импульсов на электронной лампе или транзисторе;
+- сердечные ритмы, дыхательные циклы.
+
+*Характеристика:* период релаксационных колебаний определяется временем медленного накопления энергии и моментом её быстрой разрядки.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*21*. Что называют волновым движением? Какие силы должны действовать между частицами среды, чтобы в ней могли распространяться колебания?_
+
+*A:* *Волновое движение* — это процесс распространения колебаний в пространстве, при котором переносится энергия (и импульс), но вещество среды при этом не переносится.
+Каждая частица среды лишь совершает колебания около своего положения равновесия, а возмущение передаётся соседним частицам.
+
+2. Условия для распространения колебаний
+
+Чтобы волна могла распространяться в среде, между её частицами должны действовать силы, которые:
+
+- *стремятся вернуть частицу в равновесие* (силы упругости, давления, тяжести и др.);
+- *связывают движение соседних частиц* (иначе колебание не будет передаваться).
+
+То есть необходимы *силы взаимодействия* между частицами среды (упругие силы, силы давления, электромагнитные взаимодействия и т.п.), которые обеспечивают передачу энергии колебаний от одной частицы к другой.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*22*. Какие волны называются продольными? поперечными? Объясните механизм распространения деформаций в каждом из этих случаев. Какие волны могут распространяться в твердых телах, жидкостях и газах?_
+
+*A:*
+
+1. Продольные волны
+
+- *Определение:* частицы среды колеблются *вдоль направления распространения волны*.
+- *Механизм:* в среде возникают *периоды сжатия и разрежения*. Сжатые участки передают давление на соседние, и волна распространяется дальше.
+- *Примеры:* звуковые волны в воздухе, газах и жидкостях.
+
+2. Поперечные волны
+
+- *Определение:* частицы среды колеблются *перпендикулярно направлению распространения волны*.
+- *Механизм:* возникает чередование участков *сдвиговых деформаций*; упругие силы, стремящиеся вернуть частицы в исходное положение, передают возмущение соседям.
+- *Примеры:* волны на поверхности воды, электромагнитные волны, колебания в струне.
+
+3. Где какие волны распространяются
+
+- *В твёрдых телах:* возможны *оба типа* (продольные и поперечные), так как твёрдое тело сопротивляется как сжатию, так и сдвигу.
+- *В жидкостях и газах:* возможны *только продольные* волны, потому что они не обладают упругостью сдвига (не могут поддерживать поперечные деформации).
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*23*. Что можно сказать о переносе энергии упругой деформации и переносе массы при распространении механической волны?_
+
+*A:* 
+
+1. Перенос энергии
+
+- При распространении механической волны *переносится энергия упругой деформации и кинетическая энергия колебаний частиц*.
+- Частицы среды совершают колебания около положения равновесия, но их взаимодействие передаёт энергию соседям → возмущение распространяется.
+- Таким образом, *энергия волны перемещается вместе с волной*.
+
+2. Перенос массы
+
+- Масса среды *не переносится* вместе с волной.
+- Каждая частица лишь колеблется около своей равновесной точки, выполняя движение вперёд-назад (продольные) или вверх-вниз (поперечные), но *не смещается на большие расстояния*.
+- В среднем перемещение массы отсутствует — переносится только энергия.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*24*. Объясните качественно зависимость скорости упругих волн от модуля Юнга (модуля сдвига) и плотности среды._
+
+*A:*
+
+1. Что определяет скорость волны?
+
+Скорость распространения механической волны зависит от двух факторов:
+
+- *упругость среды* (способность сопротивляться деформации),
+- *инертность среды* (масса/плотность частиц, которые нужно разгонять).
+
+2. Продольные волны (звук в твёрдом теле, жидкостях, газах)
+
+Для стержня или твёрдого тела:
+$
+v = sqrt(frac(E, rho)),
+$
+
+где $E$ — модуль Юнга (характеризует упругость при растяжении/сжатии), $rho$ — плотность.
+
+- Чем больше $E$, тем быстрее волна (среда «жёстче», быстрее восстанавливает форму).
+- Чем больше $rho$, тем медленнее волна (частицы тяжелее, труднее разогнать).
+
+3. Поперечные волны (в твёрдых телах)
+
+$
+v = sqrt(frac(G, rho)),
+$
+где $G$ — модуль сдвига.
+
+- Чем больше $G$, тем выше скорость поперечной волны.
+- Чем больше плотность $rho$, тем меньше скорость.
+
+4. Качественный вывод
+
+- *Жёсткие, но лёгкие материалы* (например, сталь по сравнению с резиной) → высокая скорость волн.
+- *Мягкие или плотные материалы* → низкая скорость.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*25*. В чем состоит различие между гармоническими колебаниями и волновым процессом? Запишите уравнение плоской монохроматической волны, дайте определение физических характеристик волны. Какова связь между этими величинами?_
+
+*A:*
+
+1. Гармонические колебания vs волновой процесс
+
+- *Гармонические колебания* — это периодические изменения физической величины (смещения, скорости, давления и т. п.) во времени около положения равновесия в *одной точке*.
+$
+x(t) = A cos(omega t + phi).
+$
+
+- *Волновой процесс* — это распространение колебаний в пространстве: возмущение от одной точки передаётся другим → возникает пространственно-временной процесс.
+$
+xi(x,t) = A cos(omega t - k x + phi).
+$
+
+2. Уравнение плоской монохроматической волны
+
+$
+xi(x,t) = A cos(omega t - k x + phi),
+$
+где:
+
+- $A$ — амплитуда колебаний,
+- $omega = 2 pi f$ — циклическая частота,
+- $f$ — частота,
+- $T = frac(1, f)$ — период,
+- $k = frac(2 pi, lambda)$ — волновое число,
+- $lambda$ — длина волны,
+- $v$ — фазовая скорость волны.
+
+3. Связь характеристик волны
+
+Основное соотношение:
+$
+v = frac(omega, k) = lambda f.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*26*. Нарисуйте график зависимости координат точек среды, в которой распространяется бегущая волна, от расстояния до источника волны. На каком расстоянии друг от друга находятся соседние точки среды, которые колеблются в одинаковых фазах?_
+
+*A:* График профиля бегущей волны $xi(x, t_0)$ готов.
+Соседние точки, колеблющиеся в одинаковых фазах, разделены расстоянием *одна длина волны* $lambda$ (и вообще $n lambda$, $n in Z$).
+
+#align(center)[#image("assets/12.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*27*. Что называется фронтом волны? Чем отличается фронт волны от волновой поверхности? Какие волны называются плоскими, сферическими? Приведите примеры._
+
+*A:*
+
+1. Фронт волны
+
+*Фронт волны* — геометрическое место точек, до которых дошло возмущение в данный момент времени.
+
+- Иначе говоря, это граница раздела между «возмущённой» и «невозмущённой» частями среды.
+- Обычно фронт изображают как поверхность, движущуюся со скоростью распространения волны.
+
+2. Волновая поверхность
+
+*Волновая поверхность* — геометрическое место точек, которые колеблются в *одной и той же фазе*.
+
+- В отличие от фронта, это не граница области, а совокупность «фазово-синхронных» точек.
+
+Фронт волны всегда является *частным случаем волновой поверхности*, которая соответствует определённой фазе (например, началу возмущения).
+
+3. Типы волн
+
+- *Плоские волны* — волновые поверхности представляют собой параллельные плоскости.
+
+    - Пример: электромагнитная волна, распространяющаяся от антенны вдоль определённого направления; акустическая волна в узкой трубе.
+
+- *Сферические волны* — волновые поверхности представляют собой концентрические сферы с центром в источнике.
+
+    - Пример: звук от точечного источника (хлопок, взрыв); волны на воде от падающей капли.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*28*. Что называют фазовой и групповой скоростями? Чем вызвано их различие? Могут ли эти скорости совпадать? Что называют дисперсией волн?_
+
+*A:*
+
+1. Фазовая скорость
+
+$
+v_"ф" = frac(omega, k)
+$
+— скорость распространения *отдельной фазы* (например, гребня, впадины) гармонической волны.
+
+2. Групповая скорость
+
+$
+v_"гр" = frac(d omega, d k)
+$
+— скорость распространения огибающей суперпозиции волн (волнового пакета), т. е. скорость переноса энергии и информации.
+
+3. Причина различия
+
+- Различие фазовой и групповой скоростей возникает, если *частота зависит от волнового числа* $omega = omega(k)$ не линейно.
+- Это связано с тем, что разные гармонические компоненты распространяются с разными скоростями.
+
+4. Когда они совпадают?
+
+- Если среда *недисперсионная*, т. е. $omega prop k$ (линейная зависимость).
+- Пример: электромагнитные волны в вакууме — там $v_"ф" = v_"гр" = c$.
+
+5. Дисперсия волн
+
+*Дисперсия* — это зависимость фазовой скорости (или частоты) от длины волны (или волнового числа):
+$
+v_"ф" = v_"ф" lambda space.quad "или" space.quad omega = omega(k).
+$
+
+- В дисперсионных средах $v_"ф" eq.not v_"гр"$.
+- Примеры:
+
+    - свет в стекле (разные цвета распространяются с разными скоростями),
+    - поверхностные гравитационные волны на воде,
+    - волны в волноводах.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*29*. Как образуются стоячие волны? Перечислите свойства, которые отличают стоячую волну от бегущей. Что называют узлами и пучностями смещений в стоячей волне?_
+
+*A:*
+
+1. Образование стоячих волн
+
+Стоячая волна возникает при *наложении (интерференции) двух встречных волн* одинаковой частоты, амплитуды и скорости.
+Чаще всего — это падающая и отражённая волна в ограниченной системе (струна, труба, столб воздуха).
+
+Математически:
+$
+xi_1 = A cos(omega t - k x), space.quad xi_2 = A cos(omega t + k x).
+$
+Сумма:
+$
+xi(x,t) = 2 A cos(k x) cos(omega t).
+$
+
+2. Отличия стоячей волны от бегущей
+
+- *Нет переноса энергии вдоль среды* (энергия «колеблется» локально).
+- *Амплитуда колебаний зависит от координаты*: в одних точках смещения всегда нулевые, в других — максимальные.
+- *Нет движения волнового фронта*, как в бегущей волне; остаётся лишь чередование узлов и пучностей.
+
+3. Узлы и пучности
+
+- *Узлы* — точки, где $cos(k x)=0$ → смещение всегда равно нулю.
+- *Пучности* — точки, где $|cos(k x)| = 1$ → амплитуда максимальна.
+
+Расстояние между соседними узлами или пучностями равно $frac(lambda, 2)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*30*. В чем заключается суть эффекта Доплера? Запишите формулу частоты воспринимаемого звука для случая неподвижного источника и движущегося наблюдателя; неподвижного наблюдателя и движущегося источника. Приведите примеры проявления эффекта Доплера для механических волн._
+
+*A:*
+
+1. Суть эффекта Доплера
+
+*Эффект Доплера* — это изменение частоты и длины волны, воспринимаемой наблюдателем, если источник и наблюдатель движутся относительно друг друга.
+
+- Если они сближаются → воспринимаемая частота выше.
+- Если удаляются → воспринимаемая частота ниже.
+
+2. Формулы для звука
+
+Пусть:
+
+- $f$ — частота источника,
+- $v$ — скорость звука в среде,
+- $v_"набл"$ — скорость наблюдателя (считается положительной при движении к источнику),
+- $v_"ист"$ — скорость источника (положительная при движении к наблюдателю).
+
+(а) Неподвижный источник, движется наблюдатель
+
+$
+f' = f (1 plus.minus frac(v_"набл", v)),
+$
+где «+» — при движении навстречу источнику, «–» — при удалении.
+
+(б) Неподвижный наблюдатель, движется источник
+
+$
+f' = f dot frac(v, v minus.plus v_"ист"),
+$
+где «–» в знаменателе — источник движется к наблюдателю, «+» — от него.
+
+3. Примеры проявления эффекта Доплера для механических волн
+
+- Изменение тона сирены проезжающей машины или поезда.
+- Изменение звука скорой помощи при приближении и удалении.
+- Изменение частоты звука пропеллера или винта самолёта при пролёте мимо.
+
+#pagebreak()
+
+#align(center)[= _Основы специальной теории относительности (СТО)_]
+
+*Q:* _*1.* В чем различие ньютоновских представлений о пространстве и времени в классической механике и представлений об этих формах существования материи в специальной теории относительности?_
+
+*A:* *1. Ньютоновские представления (классическая механика)*
+
+- *Пространство* — абсолютное, существует само по себе, одинаково для всех наблюдателей.
+- *Время* — абсолютное, течёт одинаково и независимо от движения наблюдателя или тел.
+- Пространство и время рассматриваются *раздельно*.
+- Преобразования Галилея:
+
+$
+x' = x - v t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t' = t.
+$
+
+*2. Представления в специальной теории относительности (СТО)*
+
+- *Пространство и время* — взаимосвязанные, образуют единое *пространственно-временное континуум* (4-мерное пространство Минковского).
+- *Время не абсолютно*: интервалы времени зависят от движения наблюдателя (эффект замедления времени).
+- *Пространство не абсолютно*: длины зависят от движения (эффект сокращения длин).
+- Законы природы инвариантны относительно *преобразований Лоренца*, а не Галилея:
+
+$
+x' = gamma (x - v t), space.quad t' = gamma (t - frac(v x, c^2)), space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2))).
+$
+
+*3. Сравнение*
+
+#table(columns: 3)[*Характеристика*][*Классическая механика (Ньютон)*][*СТО (Эйнштейн)*][Пространство][Абсолютное, одинаковое для всех][Относительно, зависит от системы отсчёта][Время][Абсолютное, одинаково для всех][Относительно, зависит от движения][Связь][Независимы друг от друга][Единый континуум «пространство–время»][Преобразования][Галилея][Лоренца][Предельная скорость][Не ограничена][Существует предел — скорость света $c$]
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*2.* Сформулируйте первый и второй постулаты Эйнштейна. Как эти постулаты подтверждаются преобразованиями Лоренца? Как связаны между собой эти преобразования с преобразованиями Галилея?_
+
+*A:* *1. Постулаты Эйнштейна (специальная теория относительности)*
+
+1. *Принцип относительности*
+   Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
+   → Ни одна ИСО не является «привилегированной».
+
+2. *Постулат постоянства скорости света*
+   Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчёта и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя:
+
+$
+c = "const".
+$
+
+*2. Как эти постулаты связаны с преобразованиями Лоренца*
+
+- *Принцип относительности* → преобразования координат должны обеспечивать одинаковый вид физических законов (например, уравнений Максвелла) во всех ИСО.
+- *Постоянство скорости света* → в любых ИСО световой фронт подчиняется уравнению:
+
+$
+x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2.
+$
+
+Чтобы это условие сохранялось, преобразования между системами должны быть *именно преобразованиями Лоренца*:
+
+$
+x' &= gamma(x - v t), \
+y' &= y, \
+z' &= z, \
+t' &= gamma (t - frac(v x, c^2)), space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2))).
+$
+
+*3. Связь преобразований Лоренца и Галилея*
+
+- При малых скоростях $v << c$:
+
+$
+gamma approx 1, space.quad t' approx t,
+$
+
+и преобразования Лоренца переходят в *преобразования Галилея*:
+
+$
+x' = x - v t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t' = t.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*3*. Времениподобным или пространственноподобным является интервал между стартом и возвращением космического корабля?_
+
+*A:* *1. Интервал в СТО*
+
+Интервал между событиями в пространстве-времени:
+
+$
+s^2 = c^2 Delta t^2 - Delta r^2,
+$
+
+где $Delta t$ — разность времен, $Delta r$ — пространственное расстояние между событиями.
+
+- Если $s^2 > 0$ → интервал *времениподобный* (события можно связать причинно).
+- Если $s^2 < 0$ → интервал *пространственноподобный* (события нельзя связать сигналом со скоростью ≤ c).
+- Если $s^2 = 0$ → интервал *светоподобный*.
+
+*2. События: старт и возвращение корабля*
+
+- Пространственные координаты *совпадают* (старт и возвращение происходят в одной точке, например, на Земле):
+
+$
+Delta r = 0.
+$
+- Временной интервал $Delta t > 0$.
+
+Тогда:
+
+$
+s^2 = c^2 Delta t^2 > 0.
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*4*. Предположим, что скорость света стала бесконечно большой. Что произошло бы при этом с предсказаниями теории относительности по поводу сокращения длины и замедления времени?_
+
+*A:* *1. Напомним эффекты СТО*
+
+- *Замедление времени:*
+
+$
+Delta t' = gamma Delta t, space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))
+$
+
+- *Сокращение длины:*
+
+$
+L' = frac(L, gamma).
+$
+
+*2. Пусть $c arrow infinity$*
+
+- Тогда $frac(v^2, c^2) arrow 0$.
+- Следовательно:
+
+$
+gamma arrow 1.
+$
+
+*3. Последствия*
+
+- *Замедление времени исчезает:*
+  $Delta t' = Delta t$. Время становится абсолютным.
+- *Сокращение длины исчезает:*
+  $L' = L$. Пространство становится абсолютным.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*5*. Какие вам известны величины, сохраняющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?_
+
+*A:* *Сохраняющиеся величины при переходе от одной ИСО к другой*
+
+При преобразованиях Лоренца (или Галилея в классическом пределе) *формы законов физики* и некоторые физические величины остаются неизменными.
+
+1. *В классической механике (преобразования Галилея):*
+
+- *Время*: $t' = t$.
+- *Масса*: постоянна и не зависит от скорости.
+- *Расстояния между точками в один и тот же момент времени* (в пределах абсолютного пространства).
+- *Импульс и энергия* сохраняются в замкнутых системах при любых переходах.
+
+2. *В специальной теории относительности (преобразования Лоренца):*
+
+- *Интервал в пространстве-времени*:
+
+$
+s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2
+$
+- *Скорость света* $c$.
+- *Собственное время* между событиями на мировой линии.
+- *Собственная длина* (в системе, связанной с телом).
+- *Масса покоя* частицы.
+- *Законы сохранения энергии, импульса и заряда*.
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*6*. Две частицы удаляются в противоположные стороны от некоторого наблюдателя со скоростью $v = 3/5 "с"$ каждая. Каков модуль их относительной скорости?_
+
+*A:* Ответ: $u_"отн" = frac(15, 17)c approx 0.882 "c".$
+
+Пояснение: скорости вдоль одной прямой составляются по СТО:
+
+$
+u_"отн" = frac(u + v, 1 + frac(u v, c^2)).
+$
+
+Здесь $u = v = frac(3, 5)c$ (в противоположные стороны относительно наблюдателя), поэтому
+
+$
+u_"отн" = frac(3/5 "c" + 3/5 "c", 1 + (3/5 "c")^2/("c"^2)) = frac(6/5 "c", 1 + 9/25) = frac(6/5 "c", 34/25) = frac(15, 17)"c" approx 0.882"c".
+$
+
+(Классическое сложение дало бы $>c$, что неверно.)
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*7*. Полная энергия релятивистской частицы в 𝑛 раз превышает ее энергию покоя. Каково отношение модуля импульса частицы к произведению ее массы на скорость света $p/(m c)$._
+
+*A:* 
+
+$
+frac(p, m c) = sqrt(n^2 - 1).
+$
+
+Обоснование: $E = n m c^2$, а $E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2$ ⇒ $(p c)^2 = (n^2 - 1)(m c^2)^2$ ⇒ $p=m c sqrt(n^2 - 1)$.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*8*. Чему равна производная энергии релятивистской частицы по ее импульсу $frac(diff E, diff p)$?_
+
+*A:* $frac(d E, d p) = frac(p c^2, E) = v.$
+
+Вывод: $E = sqrt((p c)^2 + (m c^2)^2) arrow.double frac(d E, d p) = frac(p c^2, sqrt((p c)^2 + (m c^2)^2))$. С учётом $v = frac(p c^2, E)$ получаем $frac(d E, d p) = v$.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*9*. К телу массой $m$ в течение бесконечного периода времени приложена постоянная сила. Как изменяются со временем скорость и импульс этого тела?_
+
+*A:* Зависит от рамки (классика vs СТО).
+
+Классическая механика (Ньютон)
+
+$
+arrow(F)="const" arrow.double 
+arrow(p)(t)= arrow(p)_0 + arrow(F)t, space.quad
+arrow(v)(t)= arrow(v)_0 + frac(arrow(F), m)t.
+$
+
+И импульс, и скорость растут линейно (без ограничения).
+
+Специальная теория относительности
+
+$
+frac(d arrow(p), d t)=arrow(F) arrow.double arrow(p)(t) = arrow(p)_0 + arrow(F)t
+$
+
+$
+arrow(v)(t) = frac(arrow(p) c^2, E) = frac(arrow(p)(t)c, sqrt(arrow(p)(t)^2 + (m c)^2)).
+$
+
+Импульс растёт линейно, а скорость *монотонно приближается к $c$* и никогда его не достигает.
+
+
+#line(length: 100%)
+
+*Q:* _*10*. Релятивистская частица движется со скоростью, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя. Какую долю составляет ее скорость от скорости света в вакууме?_
+
+*A:* Когда $K = E_0$, то $gamma - 1 = 1 arrow.double gamma = 2$.
+
+$
+gamma = frac(1, sqrt(1 - beta^2))=2 arrow.double 1 - beta^2 = 1/4 arrow.double beta = sqrt(3/4) = frac(sqrt(3), 2) approx 0.866.
+$
+
+Ответ: $v approx 0.866 "c"$.
+
+
+
diff --git a/theory.pdf b/theory.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3c52b75
Binary files /dev/null and b/theory.pdf differ