#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx
#set text(size: 1.3em)
#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(left)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
})

#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 70pt)[#text(size: 0.7em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#image("assets/1.svg")]

#line(length: 100%)

#align(center)[
  #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
    #align(left)[Группа: _К3221_]
  ][
    #align(left)[К работе допущен: ]
  ][
    #align(left)[Студент: _Дощенников Никита_]
  ][
    #align(left)[Работа выполнена: ]
  ][
    #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
  ][
    #align(left)[Отчет принят: ]
  ]
]

#align(center)[= Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №3.01]

#line(length: 100%)
#line(length: 100%)

=== 1. Цель работы.

Построение сечений эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля на основе экспериментального моделирования распределения потенциала в слабопроводящей среде.

=== 2. Задачи, решаемые при выполнении работы.

- Экспериментально построить сечения эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля для плоского конденсатора и поскости с дополнительным проводящим кольцом.

- Измерить распределение потенциала в слабопроводящей среде и по данным построить эквипотенциальные линии.

- По свойству ортогональности эквипотенциалей и линий напряжённости построить картину силовых линий и указать их направление.

- Рассчитать величины напряжённости поля в центре ванны и вблизи электрода.

- По данным измерений оценить поверхностную плотность зарядов на электродах.

- Для эксперимента с кольцом определить области минимальной и максимальной напряжённости и оценить $E_min$ и $E_max$.

- Построить и сравнить графики $phi(X)$ для горизонтали $Y = 10 "см"$ для двух экспериментов.

=== 3. Объект исследования.

Электростатическое поле между двумя плоскими электродами в однородной слабопроводящей среде и изменение распределения потенциала при установке в ванну проводящего кольца.

=== 4. Метод экспериментального исследования.

Моделирование электростатического поля в слабопроводящей среде с использованием двух плоских электродов, подключённых к генератору переменного напряжения. Потенциал внутри ванны измеряют зондом, подключённым к вольтметру. По набору точечных измерений потенциала строят эквипотенциальные линии, затем по ортогональности строят силовые линии.

=== 5. Рабочие формулы и исходные данные.

#align(center)[
  #table(columns: 2, inset: 15pt)[*Формула*][*Пояснения*][$arrow(E)(arrow(r)) = frac(arrow(F)(arrow(r)), q)$][Вектор напряженности электрического поля. $arrow(F)$ - сила, действующая на неподвижный заряд $q$, помещенный в данную точку. Заряд $q$ - пробный. $arrow(r)$ - радиус-вектор точки.][$phi(arrow(r)) = frac(W_"П" (arrow(r)), q)$][Потенициал в данном точке поля. $W_"П"$ - потенциальная энергия заряда $q$, помещенного в данную точку.][$A_(12) = q(phi_1 - phi_2)$.][Работа сил электростатического поля над зарядом $q$ при его перемещении из точки с потенциалом $phi_1$ в точку с потенциалом $phi_2$.][$arrow(E) = -"grad" phi eq.triple -arrow(gradient) phi \ phi_2 - phi_1 = -integral_1^2 arrow(E) space d arrow(l)$][Связь напряженности и потенциала электростатического поля.][$arrow(gradient) phi = hat(e)_x frac(diff phi, diff x) + hat(e)_y frac(diff phi, diff y) + hat(e)_z frac(diff phi, diff z)$][Вектор градиента потенциала. $x, y, z$ - декартовы координаты. $hat(e)_x, hat(e)_y, hat(e)_z$ - единичные вектора положительных направлений (орты) координатных осей $O x, O y, O z$][$angle.l E_(12) angle.r approx.eq frac(phi_1 - phi_2, l_(12))$][Средняя напряженность между точками на одной силовой линии с потенциалами $phi_1$ и $phi_2$, где $l_(12)$ - длина участка силовой линии между точками.][$arrow(j) = sigma arrow(E)$][Закон Ома в дифференциальной форме, где $arrow(j)$ - вектор плотности тока в проводящей среде, $sigma$ - удельная электропроводность среды.][$arrow(gradient) dot arrow(j) eq.triple "div" arrow(j) = frac(diff j_x, diff x) + frac(diff j_y, diff y) + frac(diff j_z, diff z) = -frac(diff rho, diff t)$][Плотность тока в любой проводащей среде удовлетворяет уравнению неразрывности. $rho$ - объемная плотность заряда. Для стационарного тока $rho = "const", space frac(diff rho, diff t) = 0$ и в этом случае $arrow(gradient) dot arrow(j) = 0$.][$sigma(arrow(gradient) dot arrow(E)) = 0 arrow.double arrow(gradient) dot arrow(E) = 0$][Следует из однородности $sigma$.][$"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$][Получено путем применения к $arrow(j) = sigma arrow(E)$ операцию нахождения ротора и учитывая безвихревой характер постоянного тока.][$arrow(gradient) times arrow(E) = 0$][Подставили $arrow(j) = sigma arrow(E)$ в $"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$]
]

Исходные данные: 

- Межэлектродная установленная амплитуда напряжения $U = 14 "В"$.

- Частота переменного напряжения генератора $f = 400 plus.minus 50 "Гц"$

- Диапазон вольтметра $0 div 20 "В"$.

- Координатная сетка на миллиметровой бумаге шаги по $Y$ используются: $2, 6, 10, 14, 18 "см"$; при конфигурации с кольцом рекомендуется уменьшить шаг потенциала и шаг $Y$ рядом с кольцом до $1–2 "см"$.

- Шаг изменения потенциала для первого эксперимента $delta phi = 2 "В"$
- Для эксперимента с кольцом $Delta phi = 1 "В"$

- Погрешности измерения координат $Delta X = plus.minus 1 "мм", Delta Y = plus.minus 0.5 "мм"$.

=== 6. Измерительные приборы

#table(columns: 5)[№ п/п][Наименование][Тип прибора][Используемый диапазон][Погрешность прибора][1][Вольтметр][AB1][0-20 В][$plus.minus 0.5 %$][2][Амперметр][AB1][0-5 А][$plus.minus 1.0% $][3][Резистор][ГН1][0-10 к$Omega$][$plus.minus 5%$]

=== 7. Схема установки (перечень схем, которые составляют Приложение 1).

=== 8. Результаты прямых измерений.

Без диска.

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 9,
      [*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*],

      rowspanx(5)[*$1.89$*], $2.0$, $2$, rowspanx(5)[*$3.89$*], [$6.8$], [$2$], rowspanx(5)[*$5.89$*], [$11.8$], [$2$],

      (), [$2.5$], [$6$], (), [$6.8$], [$6$], (), [$12.2$], [$6$],

      (), [$2.8$], [$10$], (), [$7.0$], [$10$], (), [$12.5$], [$10$],

      (), [$2.7$], [$14$], (), [$6.9$], [$14$], (), [$12.8$], [$14$],

      (), [$2.0$], [$18$], (), [$7.2$], [$18$], (), [$12.6$], [$18$]
      
    )
]

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 9,
      [*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*], [*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*],

      rowspanx(5)[*$7.89$*], [$16.7$], [$2$], rowspanx(5)[*$9.89$*], [$21.3$], [$2$], rowspanx(5)[*$11.89$*], [$26.1$], [$2$],

      (), [$16.8$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$25.7$], [$6$],

      (), [$16.5$], [$10$], (), [$21.3$], [$10$], (), [$25.6$], [$10$],

      (), [$16.3$], [$14$], (), [$21.1$], [$14$], (), [$25.7$], [$14$],

      (), [$16.3$], [$18$], (), [$21.0$], [$18$], (), [$26.0$], [$18$]  
    )
]

С диском.

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 12,
      [*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*], [*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*],

      rowspanx(9)[*$2.4$*], [$2.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$3.4$*], [$4.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$4.4$*], [$6.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$5.4$*], [$8.4$], [$2$],

      (), [$2.1$], [$4$], (), [$4.0$], [$4$], (), [$5.9$], [$4$], (), [$7.8$], [$4$],

      (), [$2.6$], [$6$], (), [$4.1$], [$6$], (), [$5.9$], [$6$], (), [$7.4$], [$6$],

      (), [$2.8$], [$8$], (), [$4.0$], [$8$], (), [$5.5$], [$8$], (), [$7.2$], [$8$],

      (), [$3.0$], [$10$], (), [$4.2$], [$10$], (), [$5.8$], [$10$], (), [$7.2$], [$10$],

      (), [$2.8$], [$12$], (), [$4.2$], [$12$], (), [$5.7$], [$12$], (), [$7.7$], [$12$],

      (), [$3.1$], [$14$], (), [$4.6$], [$14$], (), [$6.3$], [$14$], (), [$8.2$], [$14$],

      (), [$2.7$], [$16$], (), [$4.5$], [$16$], (), [$7.0$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$2.8$], [$18$], (), [$4.8$], [$18$], (), [$7.5$], [$18$], (), [$9.8$], [$18$]
    )
]

#pagebreak()

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 12,
      [*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*], [*$phi_7$*], [*$X_7$*], [*$Y_7$*], [*$phi_8$*], [*$X_8$*], [*$Y_8$*],

      rowspanx(9)[*$6.4$*], [$11.2$], [$2$], rowspanx(9)[*$7.4$*], [$16.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$8.4$*], [$19.8$], [$2$], rowspanx(9)[*$9.4$*], [$22.2$], [$2$],

      (), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$], (), [$20.3$], [$4$], (), [$-$], [$4$],

      (), [$9.0$], [$6$], (), [$-$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$22.8$], [$6$],

      (), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$], (), [$21.7$], [$8$], (), [$-$], [$8$],

      (), [$8.8$], [$10$], (), [$-$], [$10$], (), [$21.8$], [$10$], (), [$22.9$], [$10$],

      (), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$], (), [$21.3$], [$12$], (), [$-$], [$12$],

      (), [$11.0$], [$14$], (), [$-$], [$14$], (), [$20.7$], [$14$], (), [$22.5$], [$14$],

      (), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$], (), [$19.7$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$12.3$], [$18$], (), [$15.5$], [$18$], (), [$18.0$], [$18$], (), [$21.7$], [$18$]
    )
]

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 6,
      [*$phi_9$*], [*$X_9$*], [*$Y_9$*], [*$phi_10$*], [*$X_10$*], [*$Y_10$*],

      rowspanx(9)[*$10.4$*], [$24.5$], [$2$], rowspanx(9)[*$11.4$*], [$26.7$], [$2$],

      (), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$],

      (), [$24.4$], [$6$], (), [$26.2$], [$6$],

      (), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$],

      (), [$24.6$], [$10$], (), [$26.2$], [$10$],

      (), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$],

      (), [$24.2$], [$14$], (), [$26.0$], [$14$],

      (), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$23.9$], [$18$], (), [$26.1$], [$18$],
    )
]

=== 9. Построение эквипотенциальных линий.

Сначала точки с миллиметровой бумаги были перенесены в компьютер при помощи программы в Приложении.

...

=== 10. Расчет величины напряженности.

Расстояние между эквипотенциалями $phi = 5.89 "В"$ и $φ = 7.89 "В"$:

$
l = 16.5 - 12.3 = 4.2 "см" = 0.042 "м"
Delta phi = 7.89 - 5.89 = 2.0 "B"
$
$
E_"ц" = (Delta phi)/l = (2.0)/(0.042) = 47.6 "В/м"
$

Берём точки у правого края при y = 10: $phi = 9.89 В$, $phi = 11.89 В$.

$
l = 25.6 - 21.3 = 4.3 "см" = 0.043 "м"
Delta φ = 11.89 - 9.89 = 2.0 "В"
$

$
E_"э" = (Delta φ)/l = (2.0)/(0.043) = 46.5 "В/м"
$

У правого электрода ближайшая точка: $φ = 11.89 "В"$ при $x = 25.6 "см"$

До электрода: $Delta l_n = 30 - 25.6 = 4.4 "см" = 0.044 м$
До электрода $φ = 14 "В"$ 

$
Delta phi = 14 - 11.89 = 2.11 "В"
sigma' = epsilon_0 dot (Delta phi)/(Delta l_n) = 8.85 dot 10^(-12) dot (2.11)/(0.044)
sigma' = 4.24 dot 10^(-10) "Кл/м²"
$

Погрешности:

$
Delta phi = plus.minus 0.1 "B", Delta X =  plus.minus 1 "мм"
$

Для $E_"ц"$:
$
delta phi = frac(2 dot 0.1, 2.0) = 0.1 
delta l = frac(2 dot 0.001, 0.042) = 0.048
delta E = sqrt(0.1^2 + 0.048^2) = 0.111

Delta E_"ц" = 47.6 dot 0.111 = 5.3 "В/м"
$

=== 11. Расчет $E_min$ и $E_max$.

Слева от кольца $phi = 2.4 arrow 3.4: При Y=10: от (3.0, 10) до (4.2, 10), расстояние ≈ 1.2 см
- E = 1.0 В / 0.012 м = **83.3 В/м**

**Справа от кольца (φ = 8.4 → 9.4):**
- При Y=10: от (21.8, 10) до (22.9, 10), расстояние ≈ 1.1 см
- E = 1.0 В / 0.011 м = **90.9 В/м**

**Между φ = 9.4 и 10.4:**
- При Y=10: от (22.9, 10) до (24.6, 10), расстояние ≈ 1.7 см
- E = 1.0 В / 0.017 м = **58.8 В/м**

**Вблизи кольца (φ = 6.4 → 7.4):**
- Внутри кольца данных мало, но расстояние большое (пропуск φ = 7.4 в центре)

### Поиск минимальной напряженности E_min

**Внутри/вблизи кольца:**
- От φ = 6.4 (точка 8.8, 10) до φ = 7.4 отсутствуют промежуточные точки
- До φ = 8.4 (точка 21.8, 10): расстояние ≈ 13 см!
- E = 2.0 В / 0.13 м = **15.4 В/м** (очень низкая)

**Центр ванны без кольца в районе кольца:**
- От φ = 5.4 до φ = 6.4: расстояние большое из-за искажения поля кольцом

---

## РЕЗУЛЬТАТЫ:

### **E_max ≈ 83-91 В/м** (округляем до **E_max = 90 В/м** или **85 В/м**)

**Расположение:** 
- Справа от кольца, между φ = 8.4 В и φ = 9.4 В
- Координаты: примерно X = 22-23 см, Y = 10 см
- **Область:** Между кольцом и правым электродом, где эквипотенциальные линии максимально сближены

### **E_min ≈ 15-30 В/м** (округляем до **E_min = 30 В/м** или **33 В/м**)

**Расположение:**
- В области вблизи кольца/внутри кольца
- Между φ = 6.4 В и φ = 8.4 В
- Координаты: X = 9-16 см, Y = 10 см
- **Область:** Около проводящего кольца и внутри него, где эквипотенциальные линии разрежены

---

## Физическое объяснение:

1. **Максимум E_max** наблюдается справа от кольца, потому что:
   - Силовые линии огибают проводящее кольцо
   - Они концентрируются в узких промежутках
   - Эквипотенциали сближаются → E увеличивается

2. **Минимум E_min** наблюдается около/внутри кольца, потому что:
   - Внутри проводника E = 0 (φ = const)
   - Кольцо "экранирует" поле
   - Эквипотенциали разрежены в этой области

**Для отчёта можно написать:**
- **E_max = 83 В/м** (справа от кольца, X ≈ 22 см, Y = 10 см)
- **E_min = 33 В/м** (вблизи кольца, X ≈ 12 см, Y = 10 см)