#set text(size: 1.3em)
#set page(numbering: "1")

#align(center)[= _Кинематика_]

*Q:* _*1*. Что изучает раздел механики - кинематика?_

*A:* Кинематика — это раздел механики, который изучает *механическое движение тел*, то есть изменение их положения во времени относительно других тел, *без рассмотрения причин этого движения* (то есть без учёта сил и масс).

В кинематике рассматривают:

- траектории движения тел (прямолинейное, криволинейное);
- путь и перемещение;
- скорость (мгновенную, среднюю);
- ускорение (тангенциальное, нормальное, полное);
- законы движения (равномерное, равноускоренное и т.д.).

#line(length: 100%)

*Q:* _*2*. В чем заключается абстракция, которая позволяет заменить реальное тело понятием «материальная точка»? Приведите примеры._

*A:* Абстракция «материальная точка» заключается в том, что при изучении движения *размеры и форма реального тела заменяются одной точкой с массой*, если этими размерами можно пренебречь по сравнению с расстояниями движения или если они несущественны для задачи.

То есть тело рассматривается как материальная точка, когда:

- его *размеры малы* по сравнению с расстоянием движения;
- *форма и вращение тела не важны* для анализа задачи;
- нас интересует *только траектория центра масс*.

Примеры:

1. *Автомобиль на трассе Москва – Санкт-Петербург*: расстояние в сотни километров намного больше размеров автомобиля → можно считать его материальной точкой.
2. *Самолет в полёте*: при изучении траектории полета размеры самолета несущественны.
3. *Земля в движении вокруг Солнца*: диаметр Земли ничтожен по сравнению с расстоянием до Солнца.
4. *Капля дождя, падающая вниз*: её размеры малы относительно высоты падения.

#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. Перечислите способы описания движения материальных тел. Дайте их краткую характеристику._

*A:* Существует три основных способа описания движения материальных тел в кинематике:

1. *Координатный способ (задаётся уравнение движения)*

- Движение описывается через *зависимость координат тела от времени*:

$
x = x(t), space.quad y = y(t), space.quad z = z(t)
$
- Позволяет точно задать траекторию и положение тела в любой момент времени.
- Используется, например, при описании равномерного или равноускоренного движения.

2. *Векторный способ*

- Положение тела описывается *радиус-вектором* $arrow(r)(t)$, проведённым из начала координат в точку нахождения тела.
- Удобен при решении задач в пространстве, так как сразу учитывает направление.
- На его основе определяются скорость $arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)$ и ускорение $arrow(a)(t) = frac(d arrow(v), d t)$.

3. *Скалярный (траекторный) способ*

- Движение описывается через *путь $s(t)$*, пройденный телом вдоль траектории за время $t$.
- Подходит для простых задач, когда важна только длина траектории, а не положение в пространстве.
- Применяется, например, в задачах о движении по дороге или поезда по рельсам.

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Какие элементы входят в состав системы отсчета?_

*A:* Система отсчёта в механике — это совокупность средств, с помощью которых описывается движение тел. В её состав входят три основных элемента:

1. *Тело отсчёта*

- Тело, относительно которого рассматривается движение других тел.
- Примеры: Земля, поезд, автомобиль, лабораторный стол.

2. *Система координат*

- Способ задания положения точки в пространстве.
- Может быть прямоугольная декартова, цилиндрическая, сферическая и т.д.

3. *Часы (прибор для измерения времени)*

- Позволяют отслеживать, как меняются координаты тела во времени.


#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. С помощью каких кинематических характеристик описывается движение материальной точки?_

*A:* Движение материальной точки в кинематике описывается рядом основных характеристик:

1. *Траектория* – линия, которую описывает точка в процессе движения.
2. *Путь $s$* – длина участка траектории, пройденного точкой за определённое время.
3. *Перемещение $Delta arrow(r)$* – вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки.
4. *Радиус-вектор $arrow(r)(t)$* – вектор, задающий положение точки в данный момент времени относительно начала координат.
5. *Скорость*:

- *Средняя* $v_"ср" = frac(s, t)$ или $arrow(v)_"ср" = frac(Delta arrow(r), Delta t)$.
- *Мгновенная* $arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)$.
6. *Ускорение*:

- *Среднее* $arrow(a)_"ср" = frac(Delta arrow(v), Delta t)$.
- *Мгновенное* $arrow(a)(t) = frac(d arrow(v), d t)$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. Что называют траекторией? Как подразделяют движения по типу траекторий?_

*A:* *Траектория* — это воображаемая линия в пространстве, по которой движется материальная точка.
Она получается, если соединить все последовательные положения точки во времени.

По типу траектории движение подразделяют на:

1. *Прямолинейное* — если траектория является прямой линией.

- Примеры: движение поезда по прямому участку пути, падение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

2. *Криволинейное* — если траектория представляет собой кривую линию.

- Примеры: движение автомобиля по повороту дороги, движение планет по орбитам, полёт мяча по параболе.

#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. Что называют перемещением точки? При каком движении модуль вектора перемещения будет равен пройденному точкой пути?_

*A:* *Перемещение точки* — это *вектор*, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением.

- Обозначается $Delta arrow(r) = arrow(r)_2 - arrow(r)_1$.
- Всегда направлен *из начальной точки в конечную*.

*Различие с путём:*

- *Путь* $s$ — это длина траектории, по которой двигалась точка.
- *Перемещение* — это прямая «стрелка» из начальной в конечную точку.

*Когда модуль перемещения равен пути?*

- Только при *прямолинейном движении в одном направлении* (без возвратов и изменения направления).
- В этом случае:

$
|Delta arrow(r)| = s
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. Что называют мгновенной скоростью точки? Как направлен вектор мгновенной скорости? Что называют средней скоростью движения? Какой ее физический смысл? Как направлен вектор средней скорости?_

*A:* Разберём по порядку:

*1. Мгновенная скорость точки*

- Это векторная величина, равная производной радиус-вектора по времени:

$
arrow(v)(t) = frac(d arrow(r), d t)
$
- Показывает, *с какой быстротой и в каком направлении движется точка в данный момент времени*.

*Направление вектора мгновенной скорости* — *касательно к траектории* в данной точке, в сторону движения.

*2. Средняя скорость движения*

- Определяется как отношение вектора перемещения ко времени движения:

$
arrow(v)_"ср" = frac(Delta arrow(r), Delta t)
$

- Её *физический смысл*: показывает, *с какой скоростью и в каком направлении в среднем перемещалась точка за рассматриваемый промежуток времени*.

*Направление вектора средней скорости* — совпадает с направлением вектора перемещения (из начальной точки в конечную).

Отличие:

- *Мгновенная скорость* — «здесь и сейчас», направлена по касательной к траектории.
- *Средняя скорость* — «в среднем за время», направлена от начала пути к концу.

#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. Что называют средним ускорением точки? Что характеризует эта величина? Как направлен вектор среднего ускорения? Какой физический смысл имеет мгновенное ускорение точки?_

*A:*

*1. Среднее ускорение точки*

- Это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени:

$
arrow(a)_"ср" = frac(Delta arrow(v), Delta t)
$

*2. Что характеризует среднее ускорение*

- Оно показывает, *как изменилась скорость тела (по величине и направлению) в среднем за данный промежуток времени*.

*3. Направление вектора среднего ускорения*

- Совпадает с направлением вектора приращения скорости $Delta arrow(v) = arrow(v)_2 - arrow(v)_1$.
- То есть указывает туда, куда «сдвинулась» скорость за время $Delta t$.

*4. Мгновенное ускорение точки*

- Это предел среднего ускорения, когда промежуток времени стремится к нулю:

$
arrow(a) = lim_(Delta t arrow 0) frac(Delta arrow(v), Delta t) = frac(d arrow(v), d t)
$

*Физический смысл:* мгновенное ускорение показывает, *с какой быстротой и в каком направлении изменяется скорость точки в данный момент времени*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. Как по графику зависимости проекции скорости от времени $v_x = v_x (t)$ построить графики зависимостей координаты $x = x(t)$ и проекции ускорения $a_x = a_x (t)$?_

*A:* Из $v_x (t)$ к $x(t)$

- Формула: $x(t)=x(t_0)+ integral_(t_0)^t v_x (tau) space d tau$.
- На практике: площадь под графиком $v_x (t)$ от $t_0$ до $t$.
  Площадь *выше* оси $t$ — прибавляет $x$; *ниже* — вычитает.
- Геометрические признаки:

    - Наклон касательной к $x(t)$ равен $v_x$: если $v_x gt 0$, $x(t)$ растёт; если $v_x lt 0$, убывает.
    - Точки экстремума $x(t)$ там, где $v_x eq 0$ (и меняет знак).
- Для кусочно-простых участков:

    - $v_x= "const"$ → $x(t)$ — прямая.
    - $v_x$ — линейная функция времени → $x(t)$ — парабола.
    - Площадь прямоугольников/треугольников удобно считать по формулам $S=v dot h$, $S=1/2 b dot h$.

Из $v_x (t)$ к $a_x (t)$

- Формула: $a_x (t)=(d v_x)/(d t)$.
- На практике: *наклон* графика $v_x (t)$:

    - Наклон $gt 0 arrow a_x gt 0$; наклон $lt 0 arrow a_x lt 0$; горизонтальный участок → $a_x = 0$.
    - Если $v_x (t)$ — прямая с постоянным наклоном → $a_x$ — горизонтальная линия (константа).
    - Излом/разрыв $v_x (t)$ → $a_x$ скачкообразно меняется (в точке производная не определена).

#line(length: 100%)

*Q:* _*11*. Почему при криволинейном движении направление вектора ускорения не совпадает с направлением скорости?_

*A:* Причина

При *криволинейном движении* меняется не только *величина скорости*, но и её *направление*.

- *Скорость $arrow(v)$* всегда направлена *по касательной* к траектории.
- Чтобы изменять *направление вектора скорости*, нужен вектор ускорения, который будет иметь *компоненту, перпендикулярную скорости*.

Состав ускорения

Полное ускорение $arrow(a)$ раскладывается на две части:

1. *Тангенциальное ускорение* $arrow(a_tau)$ — вдоль траектории, изменяет *величину скорости*.

$
a_tau = frac(d v, d t)
$

2. *Нормальное (центростремительное) ускорение* $arrow(a)_n$ — перпендикулярно скорости, направлено к центру кривизны траектории, изменяет *направление скорости*.

$
a_n = frac(v^2, R)
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*12*. Дайте определение радиуса кривизны плоской криволинейной траектории._

*A:* *Радиус кривизны плоской криволинейной траектории* — это радиус той окружности, которая в данной точке траектории наилучшим образом её «приближает» (так называемая *оскуляющая окружность*).

Формально: радиус кривизны $R$ характеризует степень «изгиба» траектории в данной точке.

- Если $R$ велик → кривая почти прямая (слабый изгиб).
- Если $R$ мал → кривая резко поворачивает (сильный изгиб).

Связь с ускорением

Для точки, движущейся по траектории:

$
a_n = frac(v^2, R)
$

где $a_n$ — нормальное (центростремительное) ускорение, $v$ — скорость, $R$ — радиус кривизны.

#line(length: 100%)

*Q:* _*13*. Автомобиль движется по закруглению дороги. Одинаковое ли расстояние проходят его правые и левые колеса?_

*A:* Нет, расстояния будут разными.

Автомобиль при движении по закруглению описывает *движение по дуге окружности*.

- Центр поворота находится слева от автомобиля (если поворот налево) или справа (если поворот направо).
- Тогда:

    - *Левые колёса* движутся по окружности с меньшим радиусом $R - frac(d, 2)$.
    - *Правые колёса* — по окружности с большим радиусом $R + frac(d, 2)$, где $d$ — ширина колеи автомобиля.

Следствие

- Длины дуг окружностей (а значит, пройденные расстояния) различаются:

$
s_"прав" = (R + d/2) phi, space.quad s_"лев" = (R - d/2) phi
$

где $phi$ — угол поворота в радианах.

- Таким образом, *правые колёса проходят большее расстояние, чем левые* (при повороте влево; при повороте вправо — наоборот).

#line(length: 100%)

*Q:* _*14*. Каков физический смысл вектора бесконечно малого угла поворота $d arrow(phi)$?_

*A:* Вектор *бесконечно малого угла поворота* $d arrow(phi)$ — это векторная величина, характеризующая *поворот твёрдого тела на бесконечно малый угол* за малый промежуток времени $d t$.

Физический смысл

- *Модуль* $|d arrow(phi)|$ равен величине угла поворота $d phi$ (в радианах).
- *Направление* определяется по *правилу правого винта*: если вращать винт по ходу поворота тела, то поступательное движение винта укажет направление вектора $d arrow(phi)$.
- В отличие от конечного угла поворота (который не является вектором), бесконечно малый угол $d arrow(phi)$ можно рассматривать как вектор, так как в пределе операции сложения углов становится коммутативной.

Связь с другими величинами

Из этого определения вводится *вектор угловой скорости*:

$
omega = frac(d arrow(phi), d t)
$

Он показывает, с какой скоростью и вокруг какой оси вращается тело.

#line(length: 100%)

*Q:* _*15*. Что называют угловым ускорением? Дайте определение и запишите единицу измерения углового ускорения. Как определяется направление вектора углового ускорения и чему равен его модуль?_

*A:* *Угловое ускорение* — это векторная величина, равная производной угловой скорости по времени:

$
arrow(epsilon) = frac(d arrow(omega), d t)
$

*Единица измерения*

- В СИ:

$
[epsilon] = frac("рад", "с"^2)
$

(радиан на секунду в квадрате).

*Физический смысл*

- Модуль $epsilon$ показывает, *с какой быстротой изменяется угловая скорость по величине*.
- Направление $arrow(epsilon)$ показывает, *как изменяется направление вектора угловой скорости*.

*Направление вектора углового ускорения*

- Совпадает с направлением приращения угловой скорости $d arrow(omega)$.
- Определяется по правилу правого винта:

    - если тело «раскручивается» → $arrow(epsilon)$ направлено так же, как $arrow(omega)$;
    - если «тормозится» → противоположно $arrow(omega)$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*16*. Запишите формулу связи между векторами линейных и угловых скоростей._

*A:* Формула выглядит так:

$
arrow(v) = arrow(omega) times arrow(r)
$

Где:

- $arrow(v)$ — линейная скорость точки тела,
- $arrow(omega)$ — угловая скорость вращения,
- $arrow(r)$ — радиус-вектор точки относительно оси вращения,
- знак «$times$» — векторное произведение.

Свойства:

- $|arrow(v)| = omega r_perp$, где $r_perp$ — перпендикуляр от оси вращения до точки.
- Направление $arrow(v)$ всегда *перпендикулярно плоскости*, образованной $arrow(omega)$ и $arrow(r)$, то есть *касательно к траектории*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*17*. Что характеризует тангенциальное ускорение? Как направлен вектор тангенциального ускорения? Чему равен его модуль?_

*A:* Тангенциальное ускорение $arrow(a)_tau$ показывает, *с какой скоростью изменяется по величине линейная скорость точки*, движущейся по криволинейной траектории.

- Если $|arrow(v)|$ растёт → $arrow(a)_tau$ направлено по движению.
- Если $|arrow(v)|$ убывает → $arrow(a)_tau$ направлено против движения.

*2. Направление вектора*

$arrow(a)_tau$ всегда направлено *по касательной к траектории*:

- вдоль вектора скорости при разгоне,
- противоположно вектору скорости при торможении.

*3. Модуль тангенциального ускорения*

$
a_tau = frac(d v, d t)
$

где $v$ — модуль линейной скорости.

#line(length: 100%)

*Q:* _*18*. Что характеризует нормальное ускорение? Как направлен вектор нормального ускорения? Чему равен модуль этого ускорения? Зависит ли направление вектора нормального ускорения от направления движения точки по траектории?_

*A:* Нормальное (или центростремительное) ускорение $arrow(a)_n$ отвечает за *изменение направления вектора скорости* при криволинейном движении.

- Оно не меняет модуль скорости, а «поворачивает» её.

*2. Направление вектора*

$arrow(a)_n$ всегда направлено *перпендикулярно скорости* и обращено *к центру кривизны траектории*.

*3. Модуль нормального ускорения*

$
a_n = frac(v^2, R)
$

где $v$ — скорость точки, $R$ — радиус кривизны траектории.

*4. Зависимость от направления движения*

Направление $arrow(a)_n$ *не зависит* от того, движется точка «вперёд» или «назад» по траектории.

- В обоих случаях вектор направлен к центру кривизны.

#line(length: 100%)

*Q:* _*19*. Запишите связь между модулями нормального, тангенциального и полного ускорений. Как направление вектора полного ускорения связано с направлением вектора скорости точки?_

*A:* *1. Связь модулей ускорений*

Полное ускорение $arrow(a)$ складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих:

- *тангенциального* $arrow(a_tau)$ (изменяет модуль скорости),
- *нормального* $arrow(a_n)$ (изменяет направление скорости).

По теореме Пифагора:

$
a = sqrt(a_tau^2 + a_n^2)
$

*2. Направление полного ускорения*

- $arrow(a)$ всегда лежит в плоскости, образованной векторами $arrow(v)$ и $arrow(a_n)$.
- Оно образует угол с вектором скорости:

    - если $arrow(a_tau) eq.not 0$, то $arrow(a)$ имеет наклон вперёд или назад вдоль траектории;
    - если $arrow(a_tau) = 0$, то $arrow(a)$ перпендикулярно $arrow(v)$ (чисто нормальное ускорение, равномерное движение по окружности).

#line(length: 100%)

*Q:* _*20*. Может ли полное ускорение точки при криволинейном движении быть направлено по касательной? По нормали?_

*A:*

*1. Может ли полное ускорение быть направлено по касательной?*

Да, *может*, но только в частном случае:

- если движение *прямолинейное*, тогда $a_n = 0$, а остаётся только тангенциальная составляющая $arrow(a_tau)$;
- тогда полное ускорение совпадает с касательной (совпадает с направлением скорости при разгоне, противоположно при торможении).

При криволинейном движении строго по касательной $arrow(a)$ быть не может, потому что всегда существует ненулевая нормальная составляющая $a_n$.

*2. Может ли полное ускорение быть направлено по нормали?*

Да, это возможно при *равномерном движении по окружности*:

- скорость тела постоянна по величине, значит $a_tau = 0$;
- остаётся только нормальное ускорение $arrow(a_n)$, направленное к центру кривизны;
- тогда полное ускорение полностью совпадает с нормалью.

#line(length: 100%)

*Q:* _*21*. Что называют угловой скоростью движения точки по окружности? Дайте определение единицы угловой скорости._

*A:* *Угловая скорость* — это физическая величина, которая показывает, *с какой быстротой изменяется угол поворота радиус-вектора, проведённого из центра окружности к точке*.

Формула:

$
omega = frac(d phi, d t)
$

где $phi$ — угол поворота (в радианах), $t$ — время.

*2. Единица измерения*

В системе СИ:

$
[omega] = frac("рад", "с")
$

(радиан в секунду).

*Физический смысл единицы*: угловая скорость равна $1 "рад/с"$, если радиус-вектор точки за одну секунду поворачивается на угол $1$ радиан.

#line(length: 100%)

*Q:* _*22*. Запишите формулу угловой скорости в векторной форме. Как направлен вектор угловой скорости и чему равен ее модуль?_

*A:* *1. Формула в векторной форме*

$
arrow(omega) = frac(d arrow(phi), d t)
$

*2. Направление вектора угловой скорости*

- Определяется *по правилу правого винта*: если вращать винт в направлении вращения тела, то поступательное движение винта укажет направление $arrow(omega)$.
- То есть $arrow(omega)$ всегда направлен *вдоль оси вращения*.

*3. Модуль угловой скорости*

$
omega = frac(d phi, d t)
$

Он равен *скорости изменения угла поворота радиус-вектора* и измеряется в рад/с.

#line(length: 100%)

*Q:* _*23*. Запишите выражения для нормального и тангенциального ускорений в векторной форме._

*A:* *1. Тангенциальное ускорение*

Характеризует изменение *модуля* скорости:

$
arrow(a)_tau = frac(d v, d t) arrow(tau)
$

где $arrow(tau)$ — единичный вектор по касательной к траектории (совпадает с направлением скорости).

*2. Нормальное ускорение*

Характеризует изменение *направления* скорости:

$
arrow(a)_n = frac(v^2, R) arrow(n)
$

где $arrow(n)$ — единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны траектории, $R$ — радиус кривизны.

#line(length: 100%)

*Q:* _*24*. Запишите формулу связи между векторами тангенциальног $arrow(a)_tau$ и углового $arrow(beta)$ ускорения. Изобразите эти векторы на рисунке._

*A:* *Формула связи*

- Векторно: $arrow(a)_tau = arrow(beta) times arrow(r)$.
- По модулям: $a_tau = beta r$, направление - по касательной в сторону увеличения скорости (правило правой руки относительно $arrow(beta)$.

Где $arrow(r)$ — радиус-вектор точки от оси вращения, $arrow(beta)$ — угловое ускорение (вдоль оси вращения).

Дополнительно в полной формуле ускорения точки вращательного движения:
$
arrow(a) = arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)),
$
но здесь нас интересует именно первая часть.

#align(center)[#image("assets/1.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*25*. Запишите формулу связи между векторами нормального ускорения $arrow(a)_n$ , угловой $arrow(omega)$ и линейной $arrow(v)$ скоростей. Изобразите связь между ними графически._

*A:* Формулы связи:

$
arrow(a)_n = arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)), space.quad a_n = omega^2 r= frac(v^2, r), space.quad
arrow(v) = arrow(omega) times arrow(r).
$

#align(center)[#image("assets/5.png")]


#line(length: 100%)

*Q:* _*26*. Дайте определение понятию «число степеней свободы механической системы». Каково это число для свободного твердого тела? для тела закрепленного на неподвижной оси вращения?_

*A:* *Число степеней свободы механической системы* — это минимальное количество независимых координат, необходимых для однозначного описания положения системы в пространстве.

Иными словами: сколько независимых параметров нужно задать, чтобы точно определить положение тела.

*Для различных случаев*

1. *Свободное твёрдое тело в пространстве*

- Положение определяется *3 координатами поступательного движения* (например, координаты центра масс $x,y,z$) и *3 углами, задающими ориентацию* тела (например, углы Эйлера).

$
f = 6
$

То есть у свободного твёрдого тела — *6 степеней свободы*.

2. *Тело, закреплённое на неподвижной оси вращения*

- Такое тело может только вращаться вокруг одной оси.
- Его положение задаётся *одним углом поворота $phi$*.

$
f = 1
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*27*. Какое движение называют поступательным? Какие физические величины характеризуют кинематику поступательного движения твердого тела? Приведите примеры прямолинейного и криволинейного поступательного движения._

*A:* *Поступательное движение* твёрдого тела — это движение, при котором *все точки тела движутся одинаково*:

- их траектории одинаковы по форме и параллельны друг другу,
- в любой момент времени скорости всех точек равны по величине и направлению.

*2. Физические величины, характеризующие кинематику поступательного движения*

Поскольку все точки тела движутся одинаково, его движение описывается так же, как движение *материальной точки*:

- *координата/радиус-вектор* $arrow(r)(t)$,
- *перемещение* $Delta arrow(r)$,
- *скорость* $arrow(v) = frac(d arrow(r), d t)$,
- *ускорение* $arrow(a) = frac(d arrow(v), d t)$.

*3. Примеры*

- *Прямолинейное поступательное движение*:

    - лифт, движущийся вверх или вниз;
    - автомобиль на прямом участке дороги.

- *Криволинейное поступательное движение*:

    - кабина аттракциона «колесо обозрения» (если рассматривать движение кабины как целого);
    - поезд, движущийся по повороту пути;
    - автобус на закруглении дороги.

#line(length: 100%)

*Q:* _*28*. Какое движение называют вращательным? Какие различают оси вращения? Что такое мгновенная ось вращения? Приведите примеры мгновенных осей вращения. Какое движение называют свободным?_

*A:* *Вращательное движение* твёрдого тела — это движение, при котором *все его точки описывают окружности*, центры которых лежат на одной прямой. Эта прямая называется *осью вращения*.

*2. Виды осей вращения*

- *Неподвижная ось* — ось фиксирована в пространстве (например, колесо, закреплённое на оси).
- *Подвижная ось* — ось меняет положение в пространстве (например, вращение волчка, когда его ось наклоняется).

*3. Мгновенная ось вращения*

Это такая воображаемая ось, вокруг которой тело *в данный момент времени* вращается.

- Даже при сложном движении твёрдого тела (например, качении) всегда можно указать мгновенную ось вращения.

*Примеры:*

- При качении колеса по дороге мгновенная ось вращения проходит через точку касания с поверхностью.
- При падении волчка мгновенная ось проходит через его контакт с плоскостью.

*4. Свободное движение*

*Свободное движение твёрдого тела* — это движение, происходящее *без наложенных связей*, то есть тело может перемещаться и вращаться как угодно в пространстве.

- У свободного тела — *6 степеней свободы* (3 поступательных + 3 вращательных).

#line(length: 100%)

*Q:* _*29*. Какое движение называют плоским? Постройте примерную траекторию движения точки, расположенной на колесе автомобиля, который движется прямолинейно._

*A:* Плоское движение твёрдого тела — это движение, при котором *все точки тела движутся в параллельных плоскостях* (чаще — в одной плоскости). Эквивалентно: мгновенная ось вращения всегда перпендикулярна этой плоскости; у такого движения 3 степени свободы.

Траектория точки на колесе при прямолинейном качении

Для точки на ободе колеса (качение без проскальзывания) траектория — *циклоид*:

$
x(t) = R (t - sin t), space.quad y(t) = R (1 - cos t).
$

#align(center)[#image("assets/2.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*30*. Запишите преобразования Галилея. Какие ньютоновские представления о пространстве и времени лежат в основе этих преобразований?_

*A:* *1. Преобразования Галилея*

Они связывают координаты и время одной и той же точки в двух инерциальных системах отсчёта:

- Пусть система $K'$ движется относительно системы $K$ поступательно и равномерно со скоростью $v$ вдоль оси $x$.
- Тогда:

$
x' &= x - v t, \
y' &= y, \
z' &= z, \
t' &= t.
$

*2. Ньютоновские представления, лежащие в основе*

1. *Абсолютное время*

    - Время течёт одинаково для всех наблюдателей, независимо от движения систем отсчёта.
    - Поэтому в преобразованиях Галилея: $t' = t$.

2. *Абсолютное пространство*

    - Пространство считается неизменным и одинаковым для всех наблюдателей.
    - Разные инерциальные системы отсчёта отличаются только относительным поступательным движением.


#line(length: 100%)

*Q:* _*31*. Используя преобразования Галилея, получите закон сложения скоростей в классической физике. Обратите внимание на принятую терминологию для определения скоростей в этом законе._

*A:* Галилеевы преобразования ($K′$ движется вдоль $+x$ со скоростью $V$ относительно $K$)

$
x' = x - V t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t'=t.
$

Дифференцируем по времени:

$
u'_x = frac(d x', d t) = frac(d x, d t) - V = u_x - V arrow.double lt.eq u_x = u'_x + V,
$

$
u_y = u'_y, space.quad u_z = u'_z.
$

Закон сложения скоростей (векторно)

$
arrow(u) = arrow(V) + arrow(u)'
$

- $arrow(u)$ — *абсолютная скорость* точки (скорость точки в системе $K$);
- $arrow(u')$ — *относительная скорость* той же точки (в системе $K'$);
- $arrow(V)$ — *переносная скорость* (скорость системы $K'$ относительно $K$).

Для осевого движения: $u_x = u'_x + V$, а поперечные компоненты не меняются: $u_y = u'_y, u_z = u'_z$.

(При постоянном $arrow(V)$: ускорения совпадают, $arrow(a) = arrow(a')$.)

#pagebreak()

#align(center)[= _Динамика_]

*Q:* _*1*. Сформулируйте первый закон Ньютона._

*A:* Существуют такие системы отсчёта (называемые *инерциальными*), в которых *каждое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения*, пока на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

#line(length: 100%)

*Q:* _*2*. Что называют инерцией тела? Приведите примеры движения по инерции._

*A:* *Инерция* — это свойство тела *сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения*, если на него не действуют силы или их действие взаимно компенсируется.

Инерция отражает «ленивость» тела менять своё состояние движения.

*Примеры движения по инерции*

- Машина после выключения двигателя продолжает катиться по прямой (пока не остановят силы трения и сопротивления воздуха).
- Камень, брошенный горизонтально, продолжает двигаться вперёд по инерции, даже когда начинает падать вниз.
- Пассажир в автобусе при резкой остановке «по инерции» наклоняется вперёд.
- Конькобежец или хоккеист, оттолкнувшись, некоторое время скользит почти равномерно по льду.
- Планеты движутся по своим орбитам, сохраняя скорость благодаря инерции (при действии силы тяготения, которая меняет только направление).

#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. Как объяснить, что бегущий человек, споткнувшись, падает в направлении своего движения, а поскользнувшись – в направлении, противоположном направлению своего движения?_

*A:* 

Случай 1. Человек *споткнулся*

- Ноги внезапно *останавливаются* (наталкиваются на препятствие).
- Но верхняя часть тела по инерции продолжает двигаться вперёд.
- Центр масс смещается за пределы опоры → человек падает *вперёд, по направлению движения*.

Случай 2. Человек *поскользнулся*

- Нога внезапно скользит вперёд (нет трения, которое её удерживает).
- Нижняя часть тела уходит вперёд, а верхняя по инерции остаётся «позади».
- Центр масс оказывается позади опоры → человек падает *назад, противоположно движению*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Какие системы отсчета называют инерциальными и неинерциальными? Приведите примеры таких систем._

*A:* *1. Инерциальные системы отсчёта (ИСО)*

Это такие системы отсчёта, в которых выполняется *первый закон Ньютона*: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано.

*Примеры ИСО:*

- Земля и связанные с ней системы отсчёта *с хорошим приближением* (если пренебречь её вращением вокруг оси и Солнца).
- Космический корабль, движущийся равномерно и прямолинейно вдали от звёзд и планет.
- Вагон поезда, движущийся без ускорения по прямому пути.

*2. Неинерциальные системы отсчёта (НИСО)*

Это системы, которые движутся *с ускорением* относительно инерциальных. В них тела *меняют своё движение даже без действия сил*, и для объяснения приходится вводить фиктивные (инерционные) силы.

*Примеры НИСО:*

- Карусель: пассажиров «отбрасывает» к краям из-за центробежной силы инерции.
- Лифт, ускоренно движущийся вверх или вниз.
- Автомобиль, резко тормозящий или ускоряющийся (пассажиров «кидает» вперёд или назад).
- Земля с учётом её суточного вращения вокруг оси (поэтому в механике учитывают силы Кориолиса и центробежные силы).

#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. В каких системах отсчета выполняются законы Ньютона?_

*A:* *Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта (ИСО).*

Обоснование

- В ИСО выполняется *первый закон Ньютона*: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии сил.
- Во всех *неинерциальных системах отсчёта* (движущихся с ускорением относительно ИСО) для сохранения законов Ньютона приходится *вводить фиктивные силы* — силы инерции (центробежная, сила Кориолиса и др.).

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. Что является причиной изменения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тела в инерциальной системе отсчета?_

*A:* Причиной изменения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тела в инерциальной системе отсчёта является *действие силы* (взаимодействие с другими телами).

Формулировка через второй закон Ньютона

$
arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
$

- если $arrow(F)_"рез" = 0$ → тело сохраняет своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения (закон инерции);
- если $arrow(F)_"рез" eq.not 0$ → у тела появляется ускорение, и оно изменяет скорость по величине или направлению.

#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. Сформулируйте определение механической силы._

*A:* *Механическая сила* — это векторная физическая величина, являющаяся *мерой механического взаимодействия тел*, в результате которого изменяется скорость движения (или форма) тела.

*Основные свойства*

- Сила имеет *модуль, направление и точку приложения*.
- В ИСО изменение скорости тела определяется вторым законом Ньютона:

$
arrow(F) = m arrow(a)
$

- Сила может вызывать как *изменение состояния движения* (ускорение, торможение, изменение направления), так и *деформацию тела*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. Какие взаимодействия называются фундаментальными? Назовите критерии, которые лежат в основе характеристики этих взаимодействий._

*A:* *Фундаментальные взаимодействия* — это такие взаимодействия, которые лежат в основе всех физических явлений и *не сводятся к другим, более простым взаимодействиям*.

*2. Четыре фундаментальных взаимодействия*

1. *Гравитационное* — между всеми телами, имеющими массу.
2. *Электромагнитное* — между электрически заряженными частицами.
3. *Сильное* — связывает протоны и нейтроны в ядрах (действует между кварками и глюонами).
4. *Слабое* — отвечает за превращения элементарных частиц (например, $beta$-распад).

*3. Критерии характеристики фундаментальных взаимодействий*

- *Универсальность* — на какие частицы и тела оно действует (все массы, все заряды, только кварки и т.д.).
- *Интенсивность (сила взаимодействия)* — насколько велико действие (сильное ≫ электромагнитное ≫ слабое ≫ гравитационное).
- *Дальность действия* — бесконечная (гравитация, электромагнетизм) или очень малая (сильное, слабое).
- *Переносчики взаимодействия* — кванты поля (гравитон, фотон, глюоны, W/Z-бозоны).

#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. Приведите примеры физических явлений, в которых проявляются известные типы фундаментальных взаимодействий._

*A:* Примеры проявления фундаментальных взаимодействий

1. *Гравитационное взаимодействие*

   - Падение яблока на Землю.
   - Движение планет вокруг Солнца.
   - Приливы и отливы под действием Луны.
   - Держит галактики и Вселенную в целом.

2. *Электромагнитное взаимодействие*

   - Притяжение и отталкивание электрических зарядов.
   - Работа электродвигателя и генератора.
   - Свет — это электромагнитные волны.
   - Химические реакции (связи между атомами и молекулами).

3. *Сильное взаимодействие*

   - Удерживает протоны и нейтроны внутри атомного ядра.
   - Обеспечивает существование атомов тяжелее водорода.
   - Является источником энергии в термоядерных реакциях (Солнце, водородная бомба).

4. *Слабое взаимодействие*

   - $beta$-распад (распад нейтрона на протон, электрон и антинейтрино).
   - Процессы в Солнце: превращения протонов, обеспечивающие ядерный синтез.
   - Радиоактивность, используемая в медицине и геологии.

#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. Сформулируйте условие равенства двух сил. Какая сила называется результирующей? Как находится результирующая нескольких сил, направленных под углом друг к другу?_

*A:* *1. Условие равенства двух сил*

Две силы равны, если они имеют:

- одинаковый *модуль*,
- одно и то же *направление*,
- одну и ту же *линию действия* (прямая, вдоль которой приложены силы).

*2. Результирующая сила*

*Результирующая сила* — это единственная сила, которая производит на тело такое же действие, как несколько данных сил вместе.

*3. Как найти результирующую нескольких сил*

- Если силы направлены под углом, их нужно *складывать как векторы*.
- Геометрические способы:

    - *правило параллелограмма* (для двух сил),
    - *правило многоугольника* (для нескольких).

- Аналитически (для двух сил под углом $phi$):

$
R = sqrt(F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 cos phi)
$

где $R$ — модуль результирующей.

#line(length: 100%)

*Q:* _*11*. При каком условии тело в системе, где действуют силы, будет находиться в состоянии покоя, или двигаться равномерно прямолинейно?_

*A:* Чтобы тело находилось *в покое* или двигалось *равномерно и прямолинейно* (т.е. без ускорения), необходимо и достаточно, чтобы *результирующая всех сил, действующих на него, была равна нулю*:

$
arrow(F)_"рез" = sum_i arrow(F)_i = 0
$

Обоснование

- Это напрямую следует из *второго закона Ньютона*:

$
arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
$
- Если $arrow(F)_"рез" = 0$, то $arrow(a) = 0$.
- При $a = 0$ тело сохраняет своё состояние:

    - остаётся в покое, если скорость была равна нулю,
    - или движется равномерно и прямолинейно, если имело ненулевую скорость.

#line(length: 100%)

*Q:* _*12*. Что называют инертностью тела? Приведите примеры, которые подтверждают проявление инертности. Какая физическая величина служит мерой инертности тела?_

*A:* *Инертность тела* — это свойство тела *сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения* и *сопротивляться изменению скорости* (т.е. изменению модуля или направления движения) под действием сил.

*2. Примеры проявления инертности*

- Автомобиль при разгоне: требуется сила двигателя, чтобы изменить скорость (чем больше масса, тем труднее разогнаться).
- При резкой остановке поезда пассажиров по инерции бросает вперёд.
- Труднее сдвинуть с места тяжёлый ящик, чем лёгкий.
- Космический аппарат, выведенный за пределы атмосферы, движется по инерции без двигателя.

*3. Мера инертности*

Мерой инертности тела служит его *масса* $m$.

- Чем больше масса, тем большее воздействие (сила) нужно приложить, чтобы изменить скорость:

$
arrow(F) = m arrow(a)
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*13*. Сформулируйте определение массы. Опишите известные вам способы измерения массы._

*A:* *Масса* — это физическая величина, которая:

- служит *мерой инертности тела* (способности сопротивляться изменению движения под действием силы),
- одновременно является *мерой гравитационного взаимодействия тел* (тяжести).

*2. Способы измерения массы*

1. *Динамический метод (через второй закон Ньютона)*

    - Измеряют силу и ускорение:

$
m = F/a
$
    - Пример: определение массы через действие силы пружины или двигателя.

2. *Статический метод (сравнение с эталоном на весах)*

    - Сравнивают силу тяжести данного тела с силой тяжести известной массы.
    - Пример: лабораторные рычажные весы.

3. *Инерционный метод (через сравнение ускорений тел)*

    - Два тела, на которые действуют одинаковые силы, будут иметь ускорения, обратно пропорциональные массам:

$
(m_1)/(m_2) = (a_2)/(a_1)
$

4. *Современные методы*

    - Электронные весы (по силе реакции опоры).
    - Метод крутильных весов (Кавендиш) — для гравитационного измерения массы.
    - В микрофизике: определение масс частиц по радиусу траектории в магнитном поле.

#line(length: 100%)

*Q:* _*14*. Сформулируйте второй закон Ньютона и дайте определения всех входящих в него физических величин._

*A:* Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально его массе.

Математическая форма:

$
arrow(F)_"рез" = m arrow(a)
$

*Физические величины*

1. *$arrow(F)_"рез"$ — результирующая сила*

    - Векторная сумма всех сил, действующих на тело.
    - Определяет, как изменяется движение тела.
    - Измеряется в ньютонах (Н).

2. *$m$ — масса тела*

    - Мера инертности тела (сопротивления изменению скорости).
    - Измеряется в килограммах (кг).

3. *$arrow(a)$ — ускорение тела*

    - Характеризует изменение скорости тела по модулю и/или направлению.
    - Определяется как $arrow(a) = frac(d arrow(v), d t)$.
    - Измеряется в м/с².

#line(length: 100%)

*Q:* _*15* Из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела $arrow(a) = 0$, если результирующая внешних сил $arrow(F) = 0$. Можно ли утверждать, что первый закон Ньютона является частным случаем второго закона?_

*A:* Разбор вопроса

- *Второй закон Ньютона:*

$
arrow(F)_"рез" = m arrow(a).
$

Если $arrow(F)_"рез" = 0$, то $arrow(a) = 0$. Значит, тело движется *равномерно и прямолинейно* или находится *в покое*.

- *Первый закон Ньютона (закон инерции):*
  Говорит именно об этом — тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы (или силы скомпенсированы).

Ответ

Да, *по содержанию первый закон Ньютона можно рассматривать как частный случай второго закона при $arrow(F)_"рез"=0$*.

Но есть важный нюанс:

- *Первый закон* вводит само понятие *инерциальных систем отсчёта* и постулирует их существование.
- *Второй закон* формулируется и работает только внутри таких систем.

#line(length: 100%)

*Q:* _*16*. Сформулируйте второй закон Ньютона в самой общей форме. В чем отличие этой формулировки от выраженной уравнением $arrow(F) = m arrow(a)$?_

*A:* *Второй закон Ньютона в общей форме*

Сила, действующая на тело, равна *производной от импульса тела по времени*:

$
arrow(F)_"рез" = frac(d arrow(p), d t), space.quad "где " arrow(p) = m arrow(v).
$

*Отличие от формы $arrow(F) = m arrow(a)$*

1. *Общая формулировка применима всегда*:

    - для переменной массы (ракета, струя газа, сыпучие тела и т.п.);
    - для релятивистских случаев (когда масса зависит от скорости);
    - для систем тел.

2. *Упрощённая форма $arrow(F) = m arrow(a)$* справедлива только при условии:

    - масса тела постоянна ($m = "const"$);
    - движение рассматривается в нерелятивистской механике (скорости $v << c$).

#line(length: 100%)

*Q:* _*17*. Что называют импульсом тела? В каких единицах измеряется импульс тела?_

*A:* *Импульс тела* (или количество движения) — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

$
arrow(p) = m arrow(v)
$

*Свойства*

- Направление импульса совпадает с направлением скорости.
- Импульс характеризует «количество движения» тела и играет ключевую роль в законе сохранения импульса.

*Единицы измерения*

В системе СИ:

$
[arrow(p)] = frac("кг" dot "м", "с")
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*18*. Что называют импульсом силы? Как рассчитать импульс силы за конечный интервал времени в случаях, если: а) сила не изменяется, б) сила изменяется с течением времени?_

*A:* *Импульс силы* — это векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

$
arrow(I) = integral_(t_1)^(t_2) arrow(F)(t) space d t
$

Импульс силы показывает, какое изменение импульса тела вызывает данная сила.

*2. Закон связи*

$
Delta arrow(p) = arrow(I)
$

т.е. импульс силы за время действия равен изменению импульса тела.

*3. Вычисление импульса силы*

*а) Если сила постоянна во времени:*

$
arrow(I) = arrow(F)(t_2 - t_1) = arrow(F) Delta t
$

*б) Если сила изменяется во времени:*

$
arrow(I) = integral_(t_1)^(t_2) arrow(F)(t) d t
$

(геометрически — это площадь под графиком зависимости силы от времени).

#line(length: 100%)

*Q:* _*19*. Сформулируйте третий закон Ньютон. Приведите примеры его проявления._

*A:* *Третий закон Ньютона*

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, *всегда равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам*:

$
arrow(F)_(12) = -arrow(F)_(21)
$

*Примеры проявления*

1. *Опора и тело*

    - Человек стоит на полу: он давит на пол силой тяжести, пол действует на него силой реакции опоры.

2. *Удар молотка по гвоздю*

    - Молоток действует на гвоздь, забивая его; гвоздь действует на молоток противоположной силой (поэтому рука ощущает удар).

3. *Движение ракеты*

    - Газы вылетают из сопла с силой, а ракета получает реактивную силу, направленную в противоположную сторону.

4. *Плавание человека*

    - Пловец отталкивает воду руками и ногами назад, вода толкает его вперёд.

5. *Прыжок*

    - Человек отталкивается ногами от земли вниз, земля «отталкивает» его вверх.

#line(length: 100%)

*Q:* _*20*. Являются ли уравновешивающими силы действия и противодействия? Имеют ли эти силы результирующую?_

*A:* *1. Являются ли силы действия и противодействия уравновешивающими?*

Нет

- *Уравновешивающие силы* действуют на *одно и то же тело* и в сумме дают ноль → тело не ускоряется.
- *Силы действия и противодействия* по третьему закону Ньютона действуют *на разные тела*, поэтому они не могут уравновешивать друг друга.

*2. Имеют ли силы действия и противодействия результирующую?*

Нет

- Так как они приложены к разным телам, их нельзя складывать как силы, действующие на одно тело.
- Каждое тело испытывает свою силу, и для каждого из них действуют *свои уравнения движения*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*21*. Человек тащит тележку. Перечислите силы, действующие на человека и тележку при движении по горизонтальной и наклонной дороге._

*A:* Разберём отдельно человека и тележку и два случая дороги.

*1. Горизонтальная дорога*

*На человека действуют силы:*

- сила тяжести $arrow(F)_t$, направленная вниз;
- сила нормальной реакции опоры $arrow(N)$, направленная вверх;
- сила трения между обувью и дорогой (реакция опоры), которая обеспечивает движение (толкает человека вперёд, т.к. он сам давит ногой назад);
- сила со стороны тележки через ручку (обычно назад и немного вниз).

*На тележку действуют силы:*

- сила тяжести $arrow(F)_t$ (вниз);
- сила нормальной реакции дороги $arrow(N)$ (вверх);
- сила тяги со стороны человека (через ручку, вперёд и немного вверх);
- сила трения качения или трения скольжения (против движения, назад).

*2. Наклонная дорога (вверх или вниз)*

*На человека:*

- сила тяжести (вертикально вниз);
- нормальная реакция поверхности (перпендикулярно наклону);
- сила трения (вдоль наклонной, удерживает или помогает движению);
- сила со стороны тележки (через ручку, направлена вниз по склону, если тележка тянет назад).

*На тележку:*

- сила тяжести (вертикально вниз, раскладывается на компоненту вдоль наклона $m g sin alpha$ и перпендикулярную $m g cos alpha$);
- нормальная реакция наклонной поверхности;
- сила тяги человека (вдоль наклона вверх, иногда с вертикальной компонентой);
- сила трения качения/скольжения (против движения).

#line(length: 100%)

*Q:* _*22*. Какое трение называют сухим и какое — вязким?_

*A:* *1. Сухое трение*

- Возникает при *касании твёрдых поверхностей*.
- Обусловлено неровностями поверхностей и силами молекулярного сцепления.
- Характеризуется коэффициентом трения.
- Бывает:

    - *трение покоя* (удерживает тело до определённой силы),
    - *трение скольжения*,
    - *трение качения*.

*Примеры:* скольжение ящика по полу, качение колеса по дороге.

*2. Вязкое трение*

- Возникает при *движении тела в жидкости или газе*.
- Сила сопротивления пропорциональна скорости (при малых скоростях):

$
F = -k v
$

или зависит от квадрата скорости (при больших скоростях):

$
F tilde v^2
$
- Обусловлено внутренним трением (вязкостью) среды.

*Примеры:* движение шарика в масле, сопротивление воздуха движению автомобиля или парашютиста.

#line(length: 100%)

*Q:* _*23*. Что определяет сила трения покоя? Как эту силу можно измерить на практике? Какие значения может принимать эта сила? В каких границах изменяется сила трения покоя? Что называют максимальной силой трения покоя?_

*A:* *1. Что определяет сила трения покоя*

Сила трения покоя — это сила, возникающая между соприкасающимися поверхностями, которая *удерживает тело от начала движения*.

- Она направлена *вдоль поверхности*, противоположно действующей силе, которая пытается сдвинуть тело.

*2. Как измерить на практике*

- На тело прикладывают постепенно возрастающую силу (например, динамометром).
- Пока тело не двигается, динамометр показывает силу трения покоя.
- При срыве с места сила достигает максимума — *максимальной силы трения покоя*.

*3. Какие значения может принимать сила трения покоя*

- Сила трения покоя изменяется в зависимости от приложенной силы, *адаптируясь* к ней:

$
F_"тр.п" = F_"прил", space.quad "пока тело покоится".
$

*4. Границы изменения силы трения покоя*

$
0 lt.eq F_"тр.п" lt.eq F_"тр.п"^"max"
$

*5. Максимальная сила трения покоя*

- Это наибольшее значение силы трения покоя, при котором тело ещё остаётся неподвижным.
- Определяется формулой:

$
F_"тр.п"^"max" = mu N
$

где $mu$ — коэффициент трения покоя, $N$ — сила нормальной реакции.

#line(length: 100%)

*Q:* _*24*. Запишите аналитический вид закона Амонтона - Кулона. От чего зависит коэффициент трения покоя? Может ли быть он быть > 1?_

*A:* *1. Закон Амонтона – Кулона (аналитический вид)*

Для скольжения:

$
F_"тр" = mu N
$

Для предельного трения покоя:

$
F_"тр.п"^"max" = mu N
$

где:

- $F_"тр"$ — сила трения,
- $N$ — сила нормальной реакции поверхности,
- $mu$ — коэффициент трения (покоя или скольжения).

*2. От чего зависит коэффициент трения покоя*

- От *материала и состояния поверхностей* (сталь по льду, дерево по асфальту и т.д.).
- От *шероховатости* и чистоты поверхностей.
- От *наличия смазки* (уменьшает $mu$).
- Слабо зависит от площади соприкосновения (в отличие от интуитивного ожидания).

*3. Может ли коэффициент трения покоя быть больше 1?*

- $mu > 1$ означает, что сила трения больше силы нормального давления.
- Это возможно для очень шероховатых или «липких» поверхностей (резина по сухому асфальту, специальные покрытия).
- Например, для хорошей автомобильной шины на сухом асфальте $mu approx 1.0 – 1.2$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*25*. Как при помощи наклонной плоскости можно определить коэффициент трения покоя? Что называют углом трения покоя? Нарисуйте качественный график зависимости силы трения, которая действует на тело, от угла наклона плоскости в границах от 0° до 90°._

*A:* Как определить коэффициент трения покоя с помощью наклонной плоскости

Кладём брусок на гладко меняющий наклон стол. Медленно увеличиваем угол $alpha$ до момента *начала скольжения*. При «срыве» выполняется условие равновесия по касательной:

$
m g sin alpha^* = mu_s m g cos alpha^* arrow.double mu_s = tan alpha^*
$

Где $alpha^*$ — угол, при котором брусок только начинает скользить.

Что такое угол трения покоя

$
alpha^* = arctan mu_s
$

Это угол наклона плоскости, при котором максимальная сила трения покоя равна касательной составляющей веса и начинается скольжение.

Качественный график $F_"тр"(alpha)$ при $alpha in[0 degree, 90 degree]$

- До срыва: $F_"тр" = m g sin alpha$ (растёт линейно по синусу) до $alpha^*$.
- После срыва (движение): сила становится силой *трения скольжения* $F_"тр" = mu_k m g cos alpha$ и убывает с ростом $alpha$ ($mu_k lt.eq mu_s$).

Я построил наглядный график (по оси $y$ — $F_"тр" / m g$) с «переломом» в точке $alpha^* = arctan mu_s$:

#align(center)[#image("assets/3.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*26*. Начертите график зависимости силы сухого трения скольжения от относительной скорости движения. Как можно объяснить эту зависимость?_

*A:* 

#align(center)[#image("assets/4.png")]

*Особенности зависимости*

- Сила трения скольжения практически *не зависит от скорости*:

$
F_"тр" approx mu_k N
$
- Поэтому на графике она изображается как почти горизонтальная линия.
- В реальных условиях при очень малых скоростях возможны колебания (stick-slip), а при очень больших — небольшое уменьшение силы из-за разогрева и образования смазочного слоя.


#line(length: 100%)

*Q:* _*27*. Запишите уравнения движения тела при его равноускоренном скольжении по шероховатой наклонной плоскости._

*A:* Кладём ось $x$ вдоль плоскости, вверх по наклону. Нормальная реакция $ N = m g cos alpha$.
Сила трения скольжения $F_"тр" = mu_k N = mu_k m g cos alpha$.

1) Скатывание вниз (вдоль $-x$): тело движется вниз

Ускорение вдоль оси $x$ (со знаком!):

$
a = -g(sin alpha - mu_k cos alpha).
$

Если считать вниз положительным направлением, модуль ускорения:

$
a_arrow.b = g(sin alpha - mu_k cos alpha).
$

Уравнения движения (для произвольных $x_0,v_0$ в принятом направлении):

$
v(t)= v_0 + a t, space.quad x(t) = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 .
$

2) Бросок вверх по плоскости (тело скользит вверх)

Обе силы по касательной (проекция веса $m g sin alpha$ и трение $mu_k m g cos alpha$) направлены вниз, поэтому

$
a = -g(sin alpha+mu_k cos alpha),
$

а уравнения движения те же по форме:

$
v(t)=v_0 + a t, space.quad x(t)= x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 .
$

Время до остановки: $t_"ст" = -frac(v_0, a) = frac(v_0, g(sin alpha + mu_k cos alpha))$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*28*. Запишите закон Кулона для трения качения. Проанализируйте, от каких факторов зависит эта сила? В чем заключается физический смысл коэффициента трения качения?_

*A:* *Закон Кулона для трения качения*

Сила трения качения пропорциональна силе нормальной реакции и обратно пропорциональна радиусу катящегося тела:

$
F_"кач" = frac(M_"кач", R) = frac(mu_"кач" N, R)
$

где:

- $F_"кач"$ — сила трения качения,
- $M_"кач" = mu_"кач" N$ — момент сопротивления качению,
- $mu_"кач"$ — коэффициент трения качения (имеет размерность *длины*),
- $R$ — радиус катящегося тела,
- $N$ — сила нормальной реакции опоры.

*От чего зависит сила трения качения*

- От *величины силы нормальной реакции* (массы тела).
- От *радиуса катящегося тела* (чем больше радиус, тем меньше сопротивление качению).
- От *коэффициента трения качения $mu_"кач"$*, который определяется:

    - свойствами материалов (твёрдость, упругость);
    - степенью деформации поверхностей (колесо и дорога, шарик и подшипник);
    - качеством смазки.

*Физический смысл коэффициента трения качения*

$mu_"кач"$ — это *плечо силы нормальной реакции*, т.е. расстояние от линии действия силы нормального давления до геометрической точки контакта.

- Чем больше деформация поверхностей → тем больше $mu_"кач"$.
- Поэтому коэффициент трения качения измеряется в *метрах*, в отличие от коэффициента трения скольжения (безразмерного).

#line(length: 100%)

*Q:* _*29*. Объясните возникновение силы трения качения. Какую роль при этом играют пластичность и упругое последействие? Могла бы возникнуть сила трения качения, если бы тело, которое катится, и поверхность были абсолютно упругими?_

*A:* *1. Причина возникновения силы трения качения*

При качении соприкасающихся тел (шар, колесо, цилиндр) в точке касания возникает *не точечный, а площадной контакт*.

- Из-за деформации катящегося тела и (или) поверхности линия действия силы нормальной реакции *смещается вперёд* относительно вертикали.
- Это смещение создаёт момент сопротивления качению — и именно он проявляется как *сила трения качения*.

*2. Роль пластичности и упругого последействия*

- *Пластичность* (необратимая деформация) приводит к тому, что часть материала остаётся «смятой» после контакта → это увеличивает плечо силы и, значит, трение качения.
- *Упругое последействие* (запаздывание восстановления формы после снятия нагрузки) также вызывает смещение реакции вперёд, усиливая сопротивление качению.

*3. Абсолютно упругий случай*

Если бы и катящееся тело, и поверхность были *совершенно упругими и недеформируемыми*, контакт происходил бы в одной идеальной точке.

- Смещения реакции не было бы.
- Следовательно, *сила трения качения отсутствовала бы*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*30*. Материальная точка массой 𝑚 движется по окружности радиуса $R$ с угловым ускорением $beta$. Можно ли по этим данным определить действующую на точку силу? Дайте ответ и приведите необходимые пояснения._

*A:* *полную силу определить нельзя* — данных недостаточно.

Почему: при движении по окружности ускорение точки

$
arrow(a) = arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r))
$

Следовательно,

$
arrow(F) = m arrow(a) = m (arrow(beta) times arrow(r) + arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r))),
$

и нужна ещё *угловая скорость $omega$* (или $v$) для нормальной составляющей.

Что можно сказать по данным:

- Тангенциальная часть определяется: $F_tau = m beta R$ (по касательной; направление по знаку $beta$).
- Нормальная часть: $F_n = m omega^2 R$ — *неопределима без $omega$*.
- Частные случаи:
    - в момент пуска из покоя ($omega = 0$) $arrow.double arrow(F) = m beta R arrow(tau)$;
    - зная $omega$ (или $v$), $|arrow(F)| = m R sqrt(beta^2 + omega^4)$ и $tan phi = frac(F_tau, F_n) = frac(beta, omega^2)$ (угол $phi$ между $arrow(F)$ и нормалью).

#line(length: 100%)

*Q:* _*31*. Можно ли утверждать полную идентичность протекания некоторого явления или процесса во всех инерциальных системах отсчета? Подтвердите сделанный вывод примерами._

*A:* Да. Согласно *принципу относительности Галилея (Ньютона)*, *законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта*.

Это означает, что процессы в разных ИСО протекают одинаково, и *по самим законам движения* невозможно выделить «привилегированную» систему.

*Пояснение*

- В ИСО одинаково выполняются законы Ньютона.
- Следовательно, полная механическая картина явления (траектории, силы, ускорения, уравнения движения) будет тождественна, если учесть относительные скорости систем.

*Примеры*

1. *Бросок тела вверх в поезде, движущемся равномерно*

    - В системе, связанной с поездом, мяч подлетает и возвращается в руку.
    - В системе Земли — мяч движется по наклонной траектории, но относительно пассажира результат одинаков.

2. *Опыт Галилея с падающими телами*

    - Камень падает одинаково на палубе равномерно движущегося корабля и на неподвижной земле.

3. *Маятник Фуко в равномерно движущейся лаборатории*

    - Колебания маятника будут происходить так же, как если бы лаборатория покоилась.

#line(length: 100%)

*Q:* _*32*. В чем заключается принцип относительности Галилея?_

*A:* *Принцип относительности Галилея*

Все механические явления во *всех инерциальных системах отсчёта* протекают одинаково.
Законы механики имеют *одинаковый вид* во всех инерциальных системах, поэтому никакими механическими опытами, проведёнными внутри такой системы, невозможно определить, находится ли она в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

*Примеры*

- В равномерно движущемся поезде предметы ведут себя так же, как и в покоящемся (яблоко падает вертикально в руку, маятник качается одинаково).
- На корабле, идущем с постоянной скоростью по гладкой воде, механические эксперименты дают те же результаты, что и на неподвижном.

#line(length: 100%)

*Q:* _*33*. Приведите примеры, когда реальные объекты можно рассматривать как системы материальных точек. Какова природа сил взаимодействия между точками?_

*A:* *1. Когда реальные объекты можно рассматривать как системы материальных точек*

Реальные тела состоят из большого числа частиц, и в механике их часто упрощают, представляя как *систему материальных точек*. Примеры:

- *Газ* → как совокупность большого числа молекул (каждая молекула — материальная точка).
- *Жидкость* → при изучении движения частиц в гидродинамике (каждый элементарный объём жидкости — система точек).
- *Население планеты или города* → при моделировании транспортных потоков или движения толпы.
- *Звёзды в галактике* → каждая звезда рассматривается как материальная точка в задаче о движении галактики.
- *Рой спутников* или движущихся тел → при анализе их гравитационного взаимодействия.

*2. Природа сил взаимодействия между точками*

- *Гравитационные силы* — притяжение всех тел, имеющих массу (действуют на большие расстояния).
- *Электромагнитные силы* — взаимодействия заряженных частиц и атомов (определяют упругость, трение, сопротивление и т.п.).
- *Сильное и слабое взаимодействия* — действуют на уровне элементарных частиц и ядер (удерживают протоны и нейтроны в ядре, вызывают радиоактивные превращения).

#line(length: 100%)

*Q:* _*34*. Что понимают под аддитивностью массы? Какими опытами подтверждается аддитивность массы?_

*A:* *Аддитивность массы* — это свойство массы быть *суммой масс частей системы*:

$
m_"сист" = m_1 + m_2 + dots + m_n
$

если тела движутся с малыми скоростями (в нерелятивистской механике) и не учитывать превращения энергии в массу.

*2. Физический смысл*

- Масса сложной системы равна массе её компонентов.
- Это свойство делает массу удобной мерой количества вещества.

*3. Опыты, подтверждающие аддитивность массы*

1. *Взвешивание смеси тел*

    - Масса двух тел, помещённых вместе на весы, равна сумме масс каждого по отдельности.

2. *Опыт Лавуазье (закон сохранения массы)*

    - При химических реакциях (например, горении) масса продуктов равна массе исходных веществ, если учесть все выделившиеся газы.

3. *Механическое сложение*

    - Соединение грузов на одной чаше весов → показания равны сумме масс.

#line(length: 100%)

*Q:* _*35*. Что называют центром масс механической системы? Запишите формулы для нахождения радиуса - вектора и координат центра масс системы материальных точек._

*A:* *Центр масс механической системы* — это воображаемая точка, положение которой описывает «среднее» распределение массы в системе.

- При движении система ведёт себя так, *как если бы вся её масса была сосредоточена в центре масс*, а на него действовала равнодействующая всех внешних сил.

*Формулы для системы материальных точек*

1. *Радиус-вектор центра масс*

$
arrow(R) = frac(sum_(i = 1)^n m_i arrow(r)_i, sum_(i = 1)^n m_i)
$

где:

- $m_i$ — масса $i$-й точки,
- $arrow(r)_i$ — радиус-вектор $i$-й точки,
- $arrow(R)$ — радиус-вектор центра масс.

2. *Координаты центра масс*
   Если заданы координаты точек $(x_i, y_i, z_i)$:

$
x_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i x_i, sum_(i = 1)^n m_i), space.quad
y_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i y_i, sum_(i = 1)^n m_i), space.quad
z_c = frac(sum_(i = 1)^n m_i z_i, sum_(i = 1)^n m_i)
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*36*. Что называют импульсом системы материальных точек?_

*A:* *Импульс системы материальных точек* — это векторная сумма импульсов всех точек системы:

$
arrow(P) = sum_(i = 1)^n arrow(p)_i = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i
$

где:

- $arrow(p)_i = m_i arrow(v)_i$ — импульс $i$-й точки,
- $m_i$ — масса точки,
- $arrow(v)_i$ — её скорость.

*Свойства*

- Импульс системы равен произведению её полной массы на скорость центра масс:

$
arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м.", space.quad M = sum_(i = 1)^n m_i
$

- Изменение импульса системы определяется действием *внешних сил* (внутренние силы взаимно компенсируются по третьему закону Ньютона).

#line(length: 100%)

*Q:* _*37*. Опираясь на третий закон Ньютона, покажите, что в замкнутой системе сумма внутренних сил равна нулю._

*A:* Пусть в замкнутой системе из $N$ материальных точек внутренняя сила, с которой $j$-я точка действует на $i$-ю, равна $arrow(F)_(i j)$. По третьему закону Ньютона

$
arrow(F)_(i j) = -arrow(F)_(j i).
$

Суммарная внутренняя сила по системе:

$
arrow(F)_"вн" = sum_(i = 1)^N sum_(j = 1", " j eq.not i)^N arrow(F)_(i j).
$

Сгруппируем попарно действия и противодействия:

$
arrow(F)_"вн" = sum_(i < j) (arrow(F)_(i j) + arrow(F)_(j i)) = sum_(i < j) (arrow(F)_(i j) - arrow(F)_(i j)) = arrow(0).
$

Итак, в замкнутой системе (внешние силы отсутствуют) сумма *внутренних* сил равна нулю. Отсюда следует

$
frac(d arrow(P), d t) = sum arrow(F)_"внеш" + sum arrow(F)_"вн" = arrow(0),
$

то есть импульс системы $arrow(P)$ сохраняется.


#line(length: 100%)

*Q:* _*38*. Сформулируйте закон сохранения импульса системы материальных точек. Приведите примеры применения закона сохранения импульса системы._

*A:* *Закон сохранения импульса системы материальных точек*

В замкнутой системе (где отсутствуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю) *векторный импульс сохраняется во времени*:

$
arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i = "const"
$

или

$
frac(d arrow(P), d t) = arrow(F)_"внеш" = 0 arrow.double arrow(P) = "const".
$

*Примеры применения закона*

1. *Удар тел*

    - При абсолютно упругих и неупругих ударах сумма импульсов тел до удара равна сумме импульсов после удара.

2. *Реактивное движение (ракета)*

    - Импульс системы «ракета + истекающие газы» сохраняется, поэтому ракета получает движение в противоположную сторону относительно струи газов.

3. *Выстрел оружия*

    - Пуля получает вперёд импульс, ружьё — назад (отдача).

4. *Разлет осколков при взрыве*

    - Сумма импульсов всех осколков равна импульсу системы до взрыва.

5. *Движение по воде или льду*

    - Человек, толкая лодку от берега, придаёт ей импульс, а сам получает равный и противоположный (лодка уплывает, человек отталкивается).

#line(length: 100%)

*Q:* _*39*. Каким образом необходимо выбрать начало координат системы отсчета для того, чтобы импульс механической системы был равен нулю?_

*A:* Импульс системы выражается через скорость центра масс:

$
arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м.", space.quad M = sum_(i = 1)^n m_i .
$

Следовательно, чтобы $arrow(P) = 0$, необходимо, чтобы скорость центра масс системы была равна нулю:

$
arrow(V)_"ц.м." = 0.
$

Как этого достичь?

Нужно выбрать *систему отсчёта с началом координат в центре масс и неподвижную относительно него* (т.е. систему отсчёта, связанную с центром масс).

В такой системе:

$
arrow(P) = 0,
$

и импульс системы в целом равен нулю, хотя отдельные точки могут двигаться относительно центра масс.

#line(length: 100%)

*Q:* _*40*. Покажите, что для незамкнутых систем импульс может сохраняться неизменным относительно некоторых направлений. Приведите примеры._

*A:* Из уравнения для системы $frac(d arrow(P), d t) = arrow(F)_"внеш"$ следует, что для любого направления с единичным вектором $hat(n)$

$
frac(d, d t) (arrow(P) dot hat(n))=arrow(F)_"внеш" dot hat(n).
$

Значит, *проекция импульса на $hat(n)$ сохраняется*, если *проекция равнодействующей внешних сил на $hat(n)$ равна нулю*.

Примеры

1. *Бросок тела в однородном поле тяжести.*
   $arrow(F)_"внеш" = m arrow(g)$ вертикальна ⇒ горизонтальные компоненты импульса $(P_x,P_y)$ *сохраняются*.

2. *Столкновение тел на горизонтальной гладкой поверхности.*
   Внешние силы (вес и реакции опор) вертикальны ⇒ *горизонтальный импульс системы* во время удара *сохраняется*.

3. *Тело на гладкой наклонной плоскости.*
   Перпендикулярно плоскости: $N - m g cos alpha = 0$ ⇒ проекция внешней силы на нормаль нулевая ⇒ *импульс по нормали* сохраняется (остаётся нулём). Вдоль плоскости действует $m g sin alpha$ ⇒ там импульс не сохраняется.

4. *Заряженная частица в однородном магнитном поле $arrow(B)$.*
   Сила $arrow(F) = q, arrow(v) times arrow(B) perp arrow(B)$ ⇒ $arrow(F) dot hat(B) = 0$ ⇒ *проекция импульса на направление $arrow(B)$* постоянна.

#line(length: 100%)

*Q:* _*41*. Сформулируйте закон сохранения импульса механической системы, используя скорость движения центра масс системы._

*A:* *Запишем связь импульса с центром масс*

Импульс системы из $n$ точек:

$
arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i = M arrow(V)_"ц.м.",
$

где

- $M = sum_(i = 1)^n m_i$ — масса системы,
- $arrow(V)_"ц.м."$ — скорость центра масс.

*Формулировка закона*

*Импульс механической системы сохраняется, если равнодействующая внешних сил равна нулю.*

В терминах центра масс это означает:

- Если $sum arrow(F)_"внеш" = 0$, то

$
arrow(V)_"ц.м." = "const", space.quad arrow(P) = M arrow(V)_"ц.м." = "const".
$

*Физический смысл*

- Центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.
- Даже если внутри системы происходят столкновения, взрывы, деформации — *движение центра масс не меняется*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*42*. Сформулируйте второй закон Ньютона для системы материальных точек. Поясните, почему в изменении импульса играют роль только внешние силы._

*A:* *Второй закон Ньютона для системы материальных точек*

Для системы из $n$ точек суммарная производная импульса по времени равна равнодействующей *внешних сил*, действующих на систему:

$
frac(d arrow(P), d t) = sum_(i = 1)^n arrow(F)_i^"внеш", 
space.quad "где " arrow(P) = sum_(i = 1)^n m_i arrow(v)_i.
$

*Почему в изменении импульса играют роль только внешние силы?*

1. *Внутренние силы подчиняются 3-му закону Ньютона:*

    - Если на $i$-ю точку действует сила от $j$-й $arrow(F)_(i j)$, то на $j$-ю — сила $arrow(F)_(j i) = -arrow(F)_(i j)$.
    - При суммировании по системе эти силы *взаимно компенсируются*.

2. *Остаются только внешние силы:*

    - Вклад во изменение импульса системы дают лишь силы, действующие извне.
    - Поэтому траектория центра масс и закон сохранения импульса зависят именно от внешних сил.

#line(length: 100%)

*Q:* _*43*. Запишите формулу движения тела переменной массы. Покажите, что уравнение движения тела переменной массы представляет собой второй закон Ньютона в его общей форме._

*A:* Уравнение движения тела переменной массы (Мещерского)

$
m frac(d arrow(v), d t) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" (-frac(d m, d t))
$

где

- $m(t)$ — масса тела, $arrow(v)(t)$ — скорость тела,
- $arrow(F)_"внеш"$ — равнодействующая внешних сил,
- $arrow(u)_"отн"$ — скорость отделяющейся/присоединяющейся массы *относительно тела* (вектор из тела к струе).
  Принято: при *истечении* массы $dot(m) < 0$, тогда тяга $arrow(T) = arrow(u)_"отн" (-dot(m))$.

Эквивалентная форма:

$
frac(d, d t)(m arrow(v)) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" dot(m)
$

(здесь $dot(m) > 0$ трактуется как *приток* массы к телу, $dot(m) < 0$ — отток.)

Почему это — второй закон Ньютона в общей форме

Общая формулировка второго закона:

$
arrow(F)_"внеш" = frac(d arrow(p), d t), space.quad arrow(p) = m arrow(v).
$

Для *открытой* системы «тело» обменяется массой со средой, поэтому помимо изменения собственного импульса $(d(m arrow(v)))/(d t)$ нужно учесть импульс уносимой/притекающей массы. Баланс импульса за $d t$ даёт именно добавочный член $arrow(u)_"отн" dot m$. Отсюда:

$
frac(d arrow(p), d t) = arrow(F)_"внеш" + arrow(u)_"отн" dot m,
$

что и есть применение $arrow(F)_"внеш" = (d arrow(p)) / (d t)$ к открытой системе.

Частный случай $ dot(m) = 0 arrow.double m dot(arrow(v)) = arrow(F)_"внеш"$ возвращает привычную форму $arrow(F) = m arrow(a)$.

#align(center)[= _Механическая работа и энергия_]

*Q:* _*1*. Запишите формулу для расчета работы постоянной силы._

*A:* Формула для работы постоянной силы:

$
A = arrow(F) dot arrow(s) = F s cos(alpha),
$

где:

- $arrow(F)$ — постоянная сила,
- $arrow(s)$ — перемещение точки приложения силы,
- $(alpha)$ — угол между направлением силы и перемещением.

Если сила направлена вдоль перемещения $alpha = 0$, то $A = F s$.
Если перпендикулярно $alpha = 90 degree$, то $A = 0$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*2*. Что можно сказать относительно работы центростремительной силы? Чему равна работа силы, которая действует на тело, движущееся по окружности с ускорением?_

*A:* 1. *Центростремительная сила* всегда направлена к центру окружности, а перемещение тела в данный момент — по касательной.
   → угол между $arrow(F)_"цс"$ и $arrow(s)$ равен $90 degree$.

2. Работа силы:
$
A = F s cos alpha,
$
   при $alpha = 90 degree$ получаем $A = 0$.

*Вывод:* центростремительная сила работы не совершает. Она лишь изменяет направление скорости, но не её модуль.

3. *Если на тело, движущееся по окружности, действует ускорение вдоль траектории (тангенциальное ускорение),* то появляется касательная составляющая силы $F_tau$.

    - Именно эта сила и совершает работу, изменяя скорость тела.
    - Тогда работа равна:
$
A = F_tau s = m a_tau s.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. В каких случаях элементарную работу постоянной силы следует обозначать $delta A$, а в каких $d A$?_

*A:* Отличный вопрос, это как раз про *математическую строгость записи*.

- *$delta A$* (дельта-A) используют, когда речь идёт об *элементарной работе силы* в физике:
$
delta A = arrow(F) dot d arrow(r) = F d r cos alpha.
$
  Здесь важно, что работа — не полный дифференциал некоторой функции, а *в общем случае* зависит от траектории. Поэтому пишут «$delta$» вместо «$d$».

- *$d A$* пишут тогда, когда работа может быть представлена как полный дифференциал некоторой функции состояния (например, если сила потенциальная и можно ввести потенциальную энергию). В таком случае:
$
d A = -d U,
$
где $U$ — потенциальная энергия.

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Как рассчитывается работа переменной силы? Как изобразить элементарную и полную работу на графике зависимости тангенциальной составляющей силы от пути?_

*A:* Ключевые формулы и графическая интерпретация:

- Элементарная работа переменной силы вдоль траектории:
  $
  delta A = F_tau (s) d s = arrow(F) d arrow(r).
  $

- Полная работа на участке $s in [s_1, s_2]$:
  $
  A=integral_(s_1)^(s_2) F_tau (s) d s.
  $

На графике $F_tau (s)$ площадь под кривой и есть работа: положительные участки дают положительный вклад, участки ниже оси — отрицательный. Прямоугольник иллюстрирует элементарную работу $delta A$ при малом $d s$.

#align(center)[#image("assets/6.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. Что называют мощностью? Каким образом можно найти работу, если известна мощность механизма? В каких случаях мощность можно выразить формулой $N = arrow(F) dot arrow(v)$?_

*A:* *Мощность* — это физическая величина, равная скорости совершения работы:
$
N = frac(d A, d t).
$

2. Как найти работу через мощность

Если известна мощность механизма:

- при постоянной мощности:
$
A = N dot t,
$
- при переменной мощности:
$
A = integral_(t_1)^(t_2) N(t) space d t.
$

3. Формула через силу и скорость

$
N = arrow(F) dot arrow(v) = F v cos alpha,
$
где $alpha$ — угол между направлением силы и скорости.

Эта запись справедлива в тех случаях, когда работа совершается *силой, приложенной к движущейся точке*, у которой есть мгновенная скорость $arrow(v)$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. Чему равна кинетическая энергия свободно падающего тела в момент падения на Землю, если в средней точке пути его потенциальная энергия равна $U$?_

*A:* 

1. *Закон сохранения энергии* для свободного падения:
$
E_"полная" = E_k + E_p = "const".
$

2. В верхней точке: $E_k=0$, $E_p = U_"нач"$.
   В нижней точке (в момент падения): $E_p=0$, значит
$
E_k^"низ" = U_"нач".
$

3. Нам дано, что *в средней точке пути* потенциальная энергия равна (U).

- На середине пути по высоте потенциальная энергия в 2 раза меньше, чем начальная:
$
U = 1/2 U_"нач".
$
- Значит, начальная энергия:
$
U_"нач" = 2 U.
$

4. Следовательно, кинетическая энергия внизу:
$
E_k^"низ" = U_"нач" = 2 U.
$

*Ответ:* при падении на Землю кинетическая энергия тела равна
$
E_k = 2 U.
$



#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. Какие силы называются консервативными? Перечислите, какие из известных вам сил являются консервативными. Какие системы называются консервативными? Какие силы называются диссипативными?_

*A:* *Консервативные силы* — это силы, работа которых *не зависит от траектории*, а определяется только начальными и конечными положениями точки.
Для них можно ввести *потенциальную энергию* $U$, и выполняется:
$
delta A = - d U.
$
Эквивалентное условие: циркуляция силы по замкнутому контуру равна нулю.

2. Примеры консервативных сил

- сила тяжести,
- сила упругости (Гука),
- кулоновская сила (электростатическое взаимодействие),
- силы в центральных полях, где энергия зависит только от расстояния до центра.

3. Консервативные системы

*Консервативная система* — система, в которой действуют только консервативные силы.
Для такой системы сохраняется полная механическая энергия:
$
E = E_k + U = "const".
$

4. Диссипативные силы

*Диссипативные силы* — силы, которые необратимо рассеивают механическую энергию (обычно в тепло), и для них нельзя ввести потенциальную энергию.
Примеры:

- сила трения скольжения,
- сила сопротивления воздуха или жидкости,
- вязкое трение.

#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. Что называют кинетической энергией тела? Получите формулу для подсчета кинетической энергии материальной точки, движущейся поступательно. Запишите формулу, которая устанавливает связь между кинетической энергией и импульсом тела._

*A:* *Кинетическая энергия* — это часть механической энергии, которая характеризует движение тела и равна работе всех сил, сообщивших телу данное состояние движения.

2. Вывод формулы для материальной точки

Пусть на точку массы $m$ действует сила $arrow(F)$, вызывающая перемещение $d arrow(r)$.
Элементарная работа:
$
delta A = arrow(F) dot d arrow(r).
$

По II закону Ньютона: $arrow(F) = m frac(d arrow(v), d t)$.
Тогда
$
delta A = m frac(d arrow(v), d t) dot arrow(v) d t = m arrow(v) dot d arrow(v).
$

Интегрируя от $v = 0$ до $v$:
$
A = integral_0^v m v, d v = frac(m v^2, 2).
$

Таким образом:
$
E_k = frac(m v^2, 2).
$

3. Связь с импульсом

Импульс $arrow(p) = m arrow(v)$.
Подставим:
$
E_k = frac(m v^2, 2) = frac(p^2, 2 m).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. Докажите теорему об изменении кинетической энергии механической системы и объясните, почему эта теорема справедлива только для равнодействующей всех сил, приложенных к системе._

*A:* Доказательство (система из $N$ материальных точек $m_k$):

Кинетическая энергия:
$
T=sum_(k = 1)^N frac(m_k v_k^2, 2).
$
Дифференцируем:
$
d T = sum_(k=1)^N m_k arrow(v)_k dot d arrow(v)_k
=sum_(k=1)^N arrow(F)_k dot arrow(v)_k d t
=sum_(k=1)^N arrow(F)_k dot d arrow(r)_k,
$

где $arrow(F)_k = m_k (d arrow(v)_k) / (d t)$ — *полная* сила на $k$-ю точку (все внешние + все внутренние, включая силы связей). Интегрируя по движению от 1 до 2, получаем теорему о работе–изменении кинетической энергии:
$
Delta T = sum_(k = 1)^N integral_1^2 arrow(F)_k dot d arrow(r)_k = A_"всех сил" = A_"внеш" + A_"внутр"
$

Почему теорема «работа = изменение $T$» справедлива *только для равнодействующей всех сил*:

- В правой части стоит суммарная работа *всех* сил, действующих на систему. Если взять работу лишь части сил (например, одной внешней), то недостающий вклад остальных сил, вообще говоря, не равен нулю. Тогда
$
Delta T = A_"эта сила" + A_"прочие силы",
$

и равенство $Delta T = A_"эта сила"$ верно лишь в специальных случаях (когда $A_"прочие силы" = 0$: идеальные связи без работы, отсутствуют другие силы, или их работа взаимно компенсируется).
- В общем случае внутренние силы вносят ненулевую работу (их попарная сумма по модулю взаимно противоположна, но их *мощность* $ arrow(F)_(i j) dot (arrow(v)_i - arrow(v)_j)$  не обязана обнуляться), поэтому без их учёта равенство нарушится.
- Частные полезные формы:

    - Если силы связей идеальны (работы нет), а внутренние силы консервативны, то $Delta T = A_"внеш"$ и $Delta( T + U_"внутр") = A_"внеш, неконсерват."$.
    - Для поступательного движения точки: $Delta T = integral arrow(F)_"рез" dot d arrow(r)$.
    - Для системы: разложение Кёнига $T = T_"цм" + T_"отн"$; работа равнодействующей *внешних* сил меняет $T_"цм"$, а внутренние и связи — $T_"отн"$.

Итак, строгое равенство «работа = изменение кинетической энергии» получается именно при суммировании работы *всех* сил (равнодействующей в смысле их суммарной работы по траекториям точек системы).

#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. Что называют потенциальной энергией механической системы? От чего она зависит? Объясните, почему потенциальная энергия может быть установлена только с точностью до некоторой постоянной. Как выбирается эта постоянная?_

*A:* *Потенциальная энергия механической системы* — это часть механической энергии, которая определяется положением тел в поле *консервативных сил*.
Математически:
$
U(M) = -integral_(M_0)^M arrow(F) dot d arrow(r),
$
где $M_0$ — выбранная точка отсчёта.

2. От чего зависит

- от координат (положения) точки или системы в пространстве;
- от взаимных расстояний между телами (для сил притяжения/отталкивания);
- от деформации упругих элементов (например, пружины).

То есть она зависит *не от пути движения*, а только от конфигурации системы.

3. Почему задаётся с точностью до постоянной

Работа консервативных сил выражается разностью значений потенциальной энергии:
$
A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2.
$
Абсолютное значение $U$ не имеет физического смысла, важна только её разность.
Поэтому добавление произвольной константы $C$ не меняет физических результатов:
$
U'(M) = U(M) + C.
$

4. Как выбирается постоянная

Константу выбирают *условно*, в зависимости от удобства:

- в поле тяжести Земли обычно берут $U=0$ на уровне земли или в выбранной плоскости;
- в законе всемирного тяготения и кулоновском взаимодействии — на бесконечности ($U(infinity) = 0$);
- для упругой пружины — в положении равновесия, когда деформация равна нулю.

#line(length: 100%)

*Q:* _*11*. Что называют потенциалом гравитационного поля? Запишите формулу работы гравитационных сил при движении материальной точки, применяя понятие потенциала._

*A:* *Потенциал гравитационного поля* в некоторой точке пространства — это величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещённой в эту точку:
$
phi(arrow(r)) = frac(U, m).
$

Для поля тяготения массы $M$ на расстоянии $r$:
$
phi(r) = -frac(G M, r),
$
где $G$ — гравитационная постоянная.

2. Связь с потенциальной энергией

Потенциальная энергия массы $m$ в поле:
$
U = m phi.
$

3. Работа гравитационных сил через потенциал

При перемещении материальной точки из точки 1 в точку 2:
$
A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2 = m (phi_1 - phi_2).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*12*. Как зависит потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек от расстояния между ними?_

*A:* Для двух материальных точек массами $m_1$ и $m_2$ на расстоянии $r$ между ними:

$
U(r) = -frac(G m_1 m_2, r),
$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Свойства зависимости:

- Потенциальная энергия *обратно пропорциональна расстоянию*: чем больше $r$, тем меньше по модулю $U$.
- Знак отрицательный, потому что силы тяготения притягивающие, и при сближении тел потенциальная энергия уменьшается (становится более отрицательной).
- При $r arrow infinity$:
$
U(infinity) = 0,
$
  что принято как условие выбора нуля потенциальной энергии.
- При $r arrow 0$ $U arrow -infinity$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*13*. Для произвольной консервативной силы получите формулу, которая устанавливает связь консервативной силы с потенциальной энергией._

*A:* Ключевой результат для консервативной силы $arrow F$ и потенциальной энергии $U$:

$
delta A = arrow(F) dot d arrow(r) = -d U arrow.double arrow(F) = -gradient U
$

В проекциях:
$
F_x= -frac(diff U, diff x), space.quad
F_y= -frac(diff U, diff y), space.quad
F_z= -frac(diff U, diff z).
$

Вывод: из определения потенциальной энергии $U($*$r$*$)$ как величины, чья разность равна работе с противоположным знаком,
$
A_(1 arrow 2) = U_1 - U_2,
$

получаем $delta A =  arrow(F) dot d arrow(r) = - d U$. Сравнивая коэффициенты при независимых $d x, d y, d z$, имеем $arrow(F)=-gradient U$.

Частный случай (радиально-симметричное поле $U(r)$):
$
arrow(F)(r) = -frac(d U, d r) hat(r).
$


#line(length: 100%)

*Q:* _*14*. Будет ли при движении планеты по эллипсу оставаться постоянной ее полная механическая энергия? Будет ли меняться кинетическая энергия планеты?_

*A:*

1. Полная механическая энергия

Планета движется в гравитационном поле Солнца. Гравитационная сила — *консервативная*, внешних сил нет.
Значит, для планеты выполняется закон сохранения механической энергии:
$
E = E_k + U = "const".
$
То есть *полная механическая энергия при движении по эллипсу остаётся постоянной*.

2. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия зависит от скорости:
$
E_k = frac(m v^2, 2).
$
А по второму закону Кеплера скорость планеты на эллиптической орбите переменна:

- в перигелии скорость максимальна,
- в афелии — минимальна.

Значит, *кинетическая энергия меняется*: она возрастает при приближении к Солнцу и убывает при удалении.

#line(length: 100%)

*Q:* _*15*. Сформулируйте и запишите аналитическую форму закона сохранения механической энергии для замкнутой системы, в которой действуют консервативные и диссипативные силы._

*A:* В замкнутой системе с консервативными и диссипативными силами *полная энергия сохраняется*, а *механическая энергия* $E_"м"= T + U$ убывает на величину работы диссипативных сил (переходит во внутреннюю энергию, тепло).

Главные формулы

- Интегрально:
$
E_"м,2"-E_"м,1" = A_"нк",
space.quad A_"нк" lt.eq 0,
$
  где $A_"нк"$ — работа неконсервативных (диссипативных) сил на участке движения.

- Дифференциально (мощность диссипации):
$
frac(d, d t)(T + U) = P_"нк" lt.eq 0.
$

- Эквивалентно через внутреннюю энергию (для замкнутой адиабатной системы):
$
Delta(T + U) + Delta E_"вн" = 0
space.quad arrow.double.l.r.long space.quad
Delta E_"м" = -Delta E_"вн".
$

- Частный случай (только консервативные силы):
$
T_2 + U_2 = T_1 + U_1.
$

Смысл: диссипативные силы совершают отрицательную работу, уменьшая $T +U $; убывшая механическая энергия появляется как рост $E_"вн"$ (нагрев и т.п.).


#line(length: 100%)

*Q:* _*16*. По какому признаку делятся удары на абсолютно упругие и абсолютно неупругие?_

*A:*

- *Абсолютно упругий удар* — это удар, при котором *сохраняется как импульс, так и механическая энергия (кинетическая)* системы тел. После удара тела разлетаются, не теряя суммарной $E_k$.

- *Абсолютно неупругий удар* — удар, при котором сохраняется только *импульс*, а часть кинетической энергии теряется (переходит во внутреннюю энергию, тепло, деформацию). При таком ударе тела после удара движутся *совместно* как одно целое.

*Признак деления:* по тому, сохраняется ли полная кинетическая энергия системы тел после удара.

#line(length: 100%)

*Q:* _*17*. Выведите формулу для работы неупругих сил при центральном неупругом ударе шаров и проанализируйте ее. Как следует поступить, чтобы вся кинетическая энергия тел, которые участвуют в столкновении, пошла на их деформацию?_

*A:* Работа неупругих сил при центральном ударе

Пусть два шара масс $m_1, m_2$ движутся вдоль одной прямой с начальными скоростями $u_1, u_2$ и после удара имеют скорости $v_1, v_2$.

Сохраняется импульс:
$
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
$
и введём коэффициент восстановления $e in [0,1]$:
$
v_2 - v_1 = -e (u_2 - u_1).
$

Потеря кинетической энергии (а значит, работа неупругих сил над системой)
$
A_"неупр" = Delta K = K_"после" - K_"до" = -1/2 mu (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2 lt.eq 0
$
где $mu = frac(m_1 m_2, m_1 + m_2)$ — приведённая масса.

При абсолютно неупругом ударе ($e=0$):
$
A_"неупрг" = -1/2 mu (u_1 - u_2)^2, space.quad v = frac(m_1 u_1 + m_2 u_2, m_1 + m_2) "(движение вместе)"
$

Анализ формулы

- Потери тем больше, чем больше относительная скорость $|u_1 - u_2|$, чем ближе $e$ к нулю и чем больше $mu$.
- Максимально возможная потеря при данном ($u_1 - u_2$) достигается при $e=0$; она равна всей *относительной* кинетической энергии в системе центра масс: $K_"отн" = 1/2 mu(u_1 - u_2)^2$.

Как сделать, чтобы вся кинетическая энергия ушла в деформацию?

Это возможно, только если:

1. удар абсолютно неупругий: $e=0$ (тела «слипаются»), и
2. начальный импульс системы равен нулю: $m_1 u_1 + m_2 u_2=0$ (центр масс покоится).

Тогда после удара $v=0$ и
$
K_"после" = 0, space.quad A_"неупр" = -K_"до",
$
то есть *вся* начальная кинетическая энергия переходит в деформацию/тепло.
Если $m_1 u_1 + m_2 u_2 eq.not 0$, неизбежно остаётся «транспортная» энергия движения центра масс, которую внутренними (неупругими) силами погасить нельзя.


#line(length: 100%)

*Q:* _*18*. Опишите, что происходит с телами при абсолютно упругом ударе, на какие два этапа делится процесс столкновения? Как изменяется потенциальная и кинетическая энергия тел в процессе столкновения?_

*A:* 1. Абсолютно упругий удар

При абсолютно упругом ударе тела после столкновения *не теряют* суммарной механической энергии:

- *импульс системы* сохраняется,
- *кинетическая энергия* системы тоже сохраняется.
  То есть энергия не уходит на тепло и необратимые деформации, а только «перераспределяется» между телами.

2. Два этапа процесса столкновения

Процесс можно разделить на *два последовательных этапа*:

1. *Сжатие (деформация):*

    - При сближении тел их скорости уменьшаются (относительное движение тормозится).
    - Кинетическая энергия частично превращается в потенциальную энергию упругой деформации (например, упругого сжатия).

2. *Разжатие (восстановление формы):*

    - Накопленная потенциальная энергия возвращается в кинетическую.
    - Тела разлетаются, и в конце процесса потенциальная энергия снова равна нулю, а вся энергия — кинетическая.

3. Изменение энергий

- *В процессе удара:*

    - $E_k$ уменьшается на этапе сжатия и увеличивается на этапе разжатия.
    - $U_"пот"$ возрастает при сжатии и падает до нуля при разжатии.

- *Итог:*

    - До удара: энергия полностью кинетическая.
    - В момент наибольшей деформации: часть кинетической энергии превращена в потенциальную (у тел минимальная относительная скорость).
    - После удара: потенциальная энергия снова равна нулю, суммарная кинетическая энергия совпадает с начальной, но скорости тел перераспределены.

#line(length: 100%)

*Q:* _*19*. Выведите формулы для подсчета скоростей тел после удара при центральном абсолютно упругом ударе._

*A:* Центральный абсолютно упругий удар (одномерно, до: $u_1, u_2$; после: $v_1, v_2$):

$
v_1 &= frac(m_1-m_2, m_1+m_2), u_1 + frac(2m_2, m_1+m_2), u_2, \
v_2 &= frac(2m_1, m_1+m_2), u_1 + frac(m_2 - m_1, m_1 + m_2), u_2 .
$

Эквивалентная форма (полезна для проверок):
$
m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\qquad v_2-v_1=-(u_2-u_1).
$

Частные случаи:

- $u_2 = 0$: $v_1 = frac(m_1 - m_2, m_1 + m_2)u_1, v_2 = frac(2m_1, m_1 + m_2)u_1$.
- $m_1 = m_2$: $v_1 = u_2, v_2 = u_1$ (обмен скоростями).
- $m_2 arrow infinity, u_2=0$: $v_1 arrow -u_1$ (упругое отражение от «жёсткой стены»).


#line(length: 100%)

*Q:* _*20*. При каком условии тело, которое участвует в столкновении, отскакивает от другого тела без потери кинетической энергии? Какой импульс при этом получает первое тело?_

*A:* *Условие без потери $E_k$:* абсолютно упругий удар о неподвижное «бесконечно массивное» тело (идеально жёсткую стену). Тогда модуль скорости сохраняется: после удара нормальная компонента скорости меняет знак, касательная — та же.

*Импульс, полученный первым телом (масса $m$, до удара скорость $arrow(v)$):*

$
arrow(J) = Delta arrow(p) = m(arrow(v)_"после" - arrow(v)_"до") = -2m (arrow(v) dot hat(n)) hat(n),
$

где $hat(n)$ — единичная нормаль к стене в точке удара.
По модулю: $J = 2 m|v_n|$. Если удар строго лобовой ($arrow(v) || hat(n)$), то $arrow(J) = -2 m arrow(v)$.


#pagebreak()

#align(center)[= _Движение АТТ. Неинерциальные системы отсчета._]

*Q:* _*1*. Что называют моментом силы относительно точки? Относительно оси вращения? Покажите, что момент силы не изменяется при перемещении силы вдоль линии действия._

*A:* Момент силы относительно точки

Векторный момент силы $arrow(F)$ относительно точки $O$:
$
arrow(M)_O = arrow(r) times arrow(F)
$
где $arrow(r)$ — радиус-вектор от $O$ к точке приложения силы. По модулю (в плоскости):
$
|arrow(M_O)| = F d_perp,
$

$d_perp$ — плечо (перпендикуляр от $O$ к линии действия силы).

Момент силы относительно оси

Проекция моментного вектора на единичный вектор оси $hat(e)$:
$
M_"оси" = hat(e) dot (arrow(r) times arrow(F)) = F d_(perp ", оси")
$
где $d_(perp ",к оси")$ — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (с учётом знака по правилу правой руки).

Неизменность при переносе силы вдоль линии действия

Пусть точка приложения силы переносится с $A$ в $B$ по её линии действия. Тогда

$
arrow(r)_B = arrow(r)_A + lambda hat(s), space.quad hat(s) || arrow(F).
$

Моменты относительно $O$:
$
arrow(M)_O^((B)) = arrow(r)_B times arrow(F) = (arrow(r)_A + lambda hat(s)) times arrow(F) = arrow(r)_A times arrow(F) + lambda (hat(s) times arrow(F)) = arrow(r)_A times arrow(F) = arrow(M)_O^((A)),
$

поскольку $hat(s) || arrow(F) arrow.double hat(s) times arrow(F) = arrow(0)$.
Следовательно, *момент силы не меняется при её сдвиге вдоль собственной линии действия* (принцип эквивалентности/переносимости). Это верно и для момента относительно оси, т.к. берётся проекция одного и того же $arrow(M)_O$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*2*. Какая из составляющих силы, действующей под углом к оси вращения, вызывает вращение тела? Чему равен момент силы, параллельной оси вращения?_

*A:*

- *Вращение вызывает тангенциальная составляющая* силы — перпендикулярная радиусу $arrow(r)$ и оси.
- Момент относительно оси:
$
arrow(M) = arrow(r) times arrow(F), space.quad M = r, F_tau = r F sin phi,
$
  где $phi$ — угол между $arrow(r)$ и $arrow(F)$.
- *Если сила параллельна оси вращения*, её момент относительно этой оси равен *нулю*:
$
M_"о оси" = (arrow(r) times arrow(F)) dot hat(e)_"оси" = 0 space.quad "при " arrow(F) || hat(e)_"оси".
$


#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. Что называют парой сил?_

*A:* *Пара сил* — это система из двух сил, которые:

- равны по модулю,
- параллельны и направлены в противоположные стороны,
- линии их действия не совпадают.

Основные свойства пары сил:

- Равнодействующая пары сил всегда равна нулю → поступательного движения не вызывает.
- Но пара сил создаёт *момент*, который вызывает вращение тела:
$
M = F dot d,
$
  где $F$ — величина одной из сил, $d$ — плечо пары (расстояние между линиями действия сил).

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Сформулируйте закон всемирного тяготения. В каких случаях аналитическое выражение этого закона для двух материальных точек справедливо и для тел, которые имеют конечные размеры?_

*A:*

1. Закон всемирного тяготения (Ньютон)

Две материальные точки массы $m_1$ и $m_2$ притягиваются друг к другу с силой:

$
F = G frac(m_1 m_2, r^2),
$

где:

- $G approx 6,67 dot 10^(-11), "H·м"^2/"кг"^2$ — гравитационная постоянная,
- $r$ — расстояние между массами,
- сила направлена вдоль линии, соединяющей эти массы.

2. Когда формула применима к телам конечных размеров

Для тел с протяжённой массой закон остаётся справедливым, если:

- *Тела сферически симметричны* (однородные шары или оболочки):
  тогда можно считать, что вся масса сосредоточена в центре шара.

- *Расстояние между телами велико* по сравнению с их размерами:
  в этом случае тоже можно приближённо считать тела точечными массами.

#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. Зависят ли периоды обращения планет вокруг Солнца от их масс? Каким был бы период обращения Луны вокруг Земли, если бы масса Луны была вдвое больше?_

*A:*

Зависит ли период от массы планеты?

По третьему закону Кеплера для двух тел
$
T = 2 pi sqrt(frac(a^3, G(M + m))),
$
где $M$ — масса центрального тела, $m$ — масса спутника/планеты.
Если $m << M$ (планеты вокруг Солнца), то

$
T approx 2 pi sqrt(frac(a^3, G M)),
$
и период *практически не зависит* от массы самой планеты.

Если массу Луны удвоить

Полагая ту же орбиту (тот же $a$) и неизменную массу Земли,
$
T' = T sqrt(frac(M_(plus.big)+m_"Л", M_(plus.big)+2 m_"Л"))
 approx T times 0,994.
$

Численно: вместо $T approx 27,32$ суток получим $T' approx 27,16$ суток — период стал бы на $tilde 0,6%$ короче.

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. Какие опыты позволяют сделать заключение, что инертная и гравитационные массы пропорциональны между собой? В чем суть этих опытов?_

*A:*

1. Суть вопроса

Инертная масса $m_i$ — мера сопротивления тела ускорению ($F = m_i a$).
Гравитационная масса $m_g$ — мера силы, с которой тело участвует в гравитационном взаимодействии ($F_g = G (m_g M) / r^2$).

Эксперименты показывают, что $m_i prop m_g$, т.е. отношение $m_g/m_i$ одинаково для всех тел.

2. Классические опыты

а) Галилео Галилей (Пиза, XVII в.)

- Сбрасывал разные тела с наклонной плоскости и башни.
- Ускорение падения оказалось одинаковым для всех тел независимо от массы и материала.
- Вывод: ускорение не зависит от массы, значит $m_g prop m_i$.

б) Ньютон (Маятники)

- Сравнивал периоды колебаний маятников с разными гирями.
- Если бы $m_g$ и $m_i$ были разными, периоды различались бы.
- На опыте периоды совпадают.

в) Этвёш (конец XIX в.)

- Проводил эксперименты с *крутильными весами*: сравнивал ускорения падения разных материалов (дерево, платина, медь).
- Сверхточные измерения показали, что различий нет в пределах погрешности ($(Delta a)/a < 10^(-9)$).

3. Современные проверки

- С помощью спутников и лазерных интерферометров продолжают уточнять эквивалентность масс (основа *принципа эквивалентности* в общей теории относительности).
- Подтверждения получены с точностью лучше чем $10^(-13)$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. Как определить массу Земли, если известна гравитационная постоянная?_

*A:*

1. Закон всемирного тяготения

Для тела массы $m$ на поверхности Земли сила тяжести равна:
$
F = G frac(M_(plus.big) m, R_(plus.big)^2),
$
где

- $M_(plus.big)$ — масса Земли,
- $R_(plus.big)$ — радиус Земли,
- $G$ — гравитационная постоянная.

2. Связь с ускорением свободного падения

Сила тяжести равна также $F = m g$.
Приравняем:
$
m g = G frac(M_(plus.big) m, R_(plus.big)^2).
$

Сокращаем $m$:
$
g = G frac(M_(plus.big), R_(plus.big)^2).
$

3. Формула для массы Земли

$
M_(plus.big) = frac(g R_(plus.big)^2, G).
$

4. Подстановка чисел

- $g approx 9,81 , "м"/("с"^2)$,
- $R_(plus.big) approx 6,37 dot 10^6 , "м"$,
- $G approx 6,67 dot 10^(-11) , ("Н·м"^2)/("кг"^2)$.

$
M_(plus.big) approx frac(9.81 dot (6.37 dot 10^6)^2, 6.67 dot 10^(-11)) approx 5.97 dot 10^(24), "кг".
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. Какую физическую величину называют напряженностью поля? Изобразите графическую зависимость модуля напряженности поля тяготения от расстояния до точки, которая создает поле. Какие поля называют центральными, однородными?_

*A:* Разберём подробно:

1. Напряжённость поля

*Напряжённость гравитационного поля* в точке пространства — это сила, действующая на единичную массу, помещённую в эту точку:

$
arrow(g) = frac(arrow(F), m) = G frac(M, r^2) hat(r),
$

где $M$ — масса, создающая поле, $r$ — расстояние до центра.
Размерность: м/с².

2. Зависимость от расстояния

Модуль напряжённости:
$
g(r) = G frac(M, r^2).
$

Это *обратно-квадратичная зависимость*: при увеличении расстояния в 2 раза напряжённость уменьшается в 4 раза.

3. Центральные и однородные поля

- *Центральное поле* — поле, в котором силовые линии направлены радиально к центру (или от центра), а напряжённость зависит только от расстояния $r$.
  Пример: поле тяготения Земли (вне её поверхности), кулоновское поле точечного заряда.

- *Однородное поле* — поле, в котором напряжённость во всех точках одинакова по величине и направлению.
  Пример: приближённо поле тяжести у поверхности Земли; электрическое поле между обкладками заряжённого плоского конденсатора.

#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. Сформулируйте законы Кеплера. Обоснуйте вывод этих законов. Как связаны законы Кеплера с законом всемирного тяготения?_

*A:*

1. Законы Кеплера

1. *Первый закон (закон орбит):*
   Каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. *Второй закон (закон площадей):*
   Радиус-вектор, проведённый от планеты к Солнцу, за равные промежутки времени описывает равные площади.
   (Иными словами, планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него.)

3. *Третий закон (закон периодов):*
   Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
$
frac(T_1^2, a_1^3) = frac(T_2^2, a_2^3) = "const".
$

2. Обоснование

- *1-й закон* следует из решения задачи двух тел в ньютоновской механике: при центральной силе $F prop 1/r^2$ траектория — коническая кривая (эллипс, парабола, гипербола).
- *2-й закон* отражает сохранение углового момента $arrow(L) = m arrow(r) times arrow(v)$, что выполняется для центральных сил.
- *3-й закон* выводится из равенства центростремительной силы и силы тяготения:
$
frac(m v^2, r) = G frac(M m, r^2).
$
  Отсюда $T^2 tilde a^3$.

3. Связь с законом всемирного тяготения

Закон Кеплера — это *эмпирический результат* (на основе наблюдений Тихо Браге).
Закон Ньютона всемирного тяготения дал *теоретическое объяснение* этим законам:

- форма орбит (1-й закон),
- сохранение площади (2-й закон),
- зависимость периода от радиуса (3-й закон).

#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. При помощи каких физических законов можно доказать, что в соответствии с первым законом Кеплера планеты движутся по плоским эллиптическим траекториям?_

*A:*

1. Что утверждает первый закон Кеплера

Орбита планеты вокруг Солнца — *эллипс в плоскости*, в одном фокусе которого находится Солнце.

2. Какими законами это доказывается

1. *Закон сохранения момента импульса*
$
arrow(L) = m arrow(r) times arrow(v) = "const".
$
   Так как сила тяготения центральная ($ arrow(F) || arrow(r)$), момент силы равен нулю.
   Следовательно, вектор $arrow(L)$ постоянен и задаёт одно направление.
   Значит, движение всегда происходит *в одной плоскости*, перпендикулярной $arrow(L)$.

2. *Второй закон Ньютона + закон всемирного тяготения*
$
m dot(dot(arrow(r))) = -frac(G M m, r^2) hat(r).
$
   Это уравнение движения в центральном поле $prop 1/(r^2)$.
   Математическое решение этого уравнения (через полярные координаты и интеграл энергии) показывает, что траектория — *коническое сечение*:
$
r(phi) = frac(p, 1+e cos phi),
$
   где $e$ — эксцентриситет.

- При $0 lt.eq e < 1$ — это *эллипс*.
- При $e = 0$ — окружность.

3. Вывод

Используя:

- *закон сохранения момента импульса* (движение в плоскости),
- *второй закон Ньютона* + закон тяготения $F prop 1/(r^2)$ (траектория — коническое сечение),

мы доказываем, что планеты действительно движутся по *плоским эллиптическим орбитам* (1-й закон Кеплера).

#line(length: 100%)

*Q:* _*11*. Выведите формулу, по которой определяется первая космическая скорость._

*A:* Для круговой орбиты у поверхности (радиус $R$, масса планеты $M$) требуемая центростремительная сила обеспечивается гравитацией:
$
frac(m v^2, R) = G frac(M m, R^2) arrow.double v=sqrt(frac(G M, R)).
$

Эквивалентно, через $g = (G M)/(R^2)$:
$
v=sqrt(g R).
$

Для Земли ($R approx 6.37 dot 10^6 "м", g approx 9.81 "м/с"^2$):
$
v_1 approx 7.9 "км/с".
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*12*. Известно, что по мере увеличения радиуса орбиты скорость искусственного спутника Земли уменьшается. Означает ли это, что при запуске спутника на орбиты большего радиуса двигатели ракеты должны совершать меньшую работу?_

*A:* 

1. Скорость спутника на орбите

Для радиуса орбиты $r$:
$
v = sqrt(frac(G M, r)),
$
и действительно, чем больше $r$, тем меньше $v$.

2. Энергия спутника на орбите

Полная механическая энергия спутника:
$
E = E_k + E_p = frac(m v^2, 2) - frac(G M m, r).
$

Подставляем $v$:
$
E = -frac(G M m, 2 r).
$

3. Работа при переходе на орбиту

Чтобы перевести спутник с радиуса $r_1$ на орбиту $r_2 > r_1$, нужно увеличить его энергию:
$
Delta E = E_2 - E_1 = -frac(G M m, 2r_2) + frac(G M m, 2r_1).
$
Так как $r_2 > r_1$, $|E_2| < |E_1|$, следовательно, $Delta E > 0$.

Значит, при переходе на более далёкую орбиту нужно *добавить энергию*, несмотря на то что конечная скорость меньше.

4. Вывод

Нет, двигатели не совершают меньшую работу. Наоборот, чтобы вывести спутник на более высокую орбиту, нужно затратить *больше работы*, чем на низкую орбиту, потому что необходимо преодолеть гравитационное притяжение Земли и увеличить полную энергию спутника.

#line(length: 100%)

*Q:* _*13*. Дайте определение третьей космической скорости. Проанализируйте все факторы, которые влияют на величину этой скорости._

*A:*

1. Определение

*Третья космическая скорость* $v_3$ — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно смогло *навсегда покинуть Солнечную систему*, преодолев не только земное, но и солнечное притяжение.

Это скорость ухода за пределы Солнечной системы.

2. Факторы, которые учитываются

1. *Притяжение Земли.*
   Чтобы покинуть Землю, телу нужно сначала достичь второй космической скорости:
$
v_2 = sqrt(frac(2 G M_(plus.big), R_(plus.big))) approx 11,2 "км/с".
$

2. *Притяжение Солнца.*
   Находясь на орбите Земли вокруг Солнца, тело движется вместе с Землёй со скоростью
$
v_"Земли" approx 29,8 "км/с".
$
   Чтобы покинуть Солнечную систему с орбиты Земли, нужно увеличить скорость относительно Солнца до скорости убегания с расстояния $r = 1 "а.е."$:
$
v_"убег. от Солнца" = sqrt(frac(2 G M_(dot.circle), r)).
$

3. *Сложение скоростей.*
   Для ухода из Солнечной системы удобно разогнаться в том же направлении, куда движется Земля, тогда требуется наименьший «добавок» скорости.

3. Формула третьей космической скорости

Приближённо:
$
v_3 = sqrt(v_2^2 + v_"убег. от Солнца"^2 - v_"Земли"^2).
$

Численно:
$
v_3 approx 16,7 "км/с".
$

4. Итог

Величина третьей космической скорости определяется:

- массой и радиусом Земли (через $v_2$),
- массой Солнца и расстоянием Земли до Солнца (через $v_"убег. от Солнца"$),
- орбитальной скоростью Земли (за счёт которой «помогает» движение планеты).

#line(length: 100%)

*Q:* _*14*. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?_

*A:*

1. Момент инерции материальной точки

*Момент инерции материальной точки относительно оси вращения*:
$
I = m r^2,
$
где

- $m$ — масса точки,
- $r$ — расстояние от точки до оси вращения.

Это мера «инертности» точки во вращательном движении.

2. Момент инерции тела

Для протяжённого тела момент инерции вычисляется суммированием (интегрированием):
$
I = sum_i m_i r_i^2 space.quad "или" space.quad I = integral r^2 d m.
$
Он зависит от:

- массы тела,
- распределения массы относительно оси (чем дальше масса от оси, тем больше $I$),
- выбора оси вращения.

3. Роль в вращательном движении

Момент инерции играет такую же роль, как масса при поступательном движении:

- *В динамике вращения:*
$
M = I alpha,
$
  где $M$ — момент силы, $alpha$ — угловое ускорение.

- *В кинетической энергии вращения:*
$
E_k = frac(1, 2) I omega^2.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*15*. Запишите известные вам формулы для вычисления моментов инерции однородных сплошных тел правильной геометрической формы (шар, куб, прямой круговой конус)._

*A:* Хорошо, соберём основные формулы для *однородных сплошных тел* (масса $M$), характерный размер $R$ или $a, h$):

1. Шар

- Сплошной однородный шар радиуса $R$, ось через центр:
  $
  I = frac(2, 5) M R^2.
  $

2. Куб

- Куб со стороной $a$, ось через центр, параллельная ребру:
$
I = frac(1, 6) M a^2.
$
- Если ось через центр, перпендикулярно грани (например, через центр куба вдоль диагонали):
$
I = frac(1, 6) M a^2 space.quad ("ось по любой координатной оси").
$

3. Прямой круговой конус

- Однородный конус массы $M$, высоты $h$ и основания радиуса $R$, ось вращения проходит через вершину и центр основания (ось симметрии):
$
I = frac(3, 10) M R^2.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*16*. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Что произойдет с моментом инерции тела, если ось перемещать параллельно самой себе, отдаляясь от центра инерции?_

*A:*

1. Теорема Гюйгенса–Штейнера (теорема о параллельных осях)

*Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, равен*:

$
I = I_c + M d^2,
$

где

- $I_c$ — момент инерции относительно параллельной оси через центр масс,
- $M$ — масса тела,
- $d$ — расстояние между осями.

2. Следствие

Если ось перемещать параллельно самой себе, отдаляясь от центра масс:

- $I$ будет *увеличиваться* пропорционально квадрату расстояния $d$.
- Чем дальше ось от центра масс, тем больше момент инерции.

#line(length: 100%)

*Q:* _*17*. Найдите момент инерции стержня массой 𝑚 и длиной $l$, относительно оси, которая проходит на расстоянии $2/3$ от его конца перпендикулярно стержню._

*A:* Ответ: $I = frac(1, 9) m l^2$.

Короткий вывод: для однородного стержня
$
I_"цм" = frac(1, 12)m l^2.
$
Ось проходит на расстоянии $frac(2, 3) l$ от конца, значит её расстояние от центра масс:
$
a = |frac(2, 3)l - frac(1, 2)l| = frac(1, 6)l.
$
По теореме Гюйгенса–Штейнера:
$
I=I_"цм" + m a^2
=frac(1, 12)m l^2 + m(frac(1, 6) l)^2
=frac(1, 12)m l^2 + frac(1, 36)m l^2
=frac(1, 9)m l^2.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*18*. Найдите момент инерции диска массой 𝑚 и радиусом 𝑅 относительно оси, которая перпендикулярна плоскости диска и проходит через его край._

*A:* $I_"край" = frac(3, 2) m R^2$

Короткий вывод: для сплошного диска
$
I_"цм" = frac(1, 2)m R^2.
$

Ось у края параллельна оси через центр и отстоит на расстояние $d = R$.
По теореме Гюйгенса–Штейнера:
$
I = I_"цм" + m d^2
= frac(1, 2)m R^2 + m R^2
= frac(3, 2)m R^2.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*19*. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела._

*A:* *Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела* формулируется так:

Угловое ускорение твёрдого тела прямо пропорционально действующему на него моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения.

Математическая запись:
$
M = I alpha,
$
где

- $M$ — суммарный момент сил относительно оси вращения,
- $I$ — момент инерции тела относительно той же оси,
- $alpha$ — угловое ускорение.

#line(length: 100%)

*Q:* _*20*. Что называется моментом импульса относительно точки? Относительно оси?_

*A:*

1. Момент импульса относительно точки

*Момент импульса материальной точки относительно точки $O$:*
$
arrow(L)_O = arrow(r) times arrow(p),
$
где

- $arrow(r)$ — радиус-вектор точки относительно $O$,
- $arrow(p) = m arrow(v)$ — импульс точки,
- «$times$» — векторное произведение.

Физический смысл: мера вращательного движения частицы относительно точки.

2. Момент импульса относительно оси

Если выбрана ось с направляющим вектором $hat(e)$, то момент импульса относительно оси определяется как проекция момента импульса на эту ось:
$
L_"ось" = arrow(L)_O dot hat(e).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*21*. Сформулируйте закон сохранения момента импульса тела. Приведите примеры проявления этого закона._

*A:*

1. Закон сохранения момента импульса

Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему относительно выбранной оси (или точки), равен нулю, то *момент импульса этой системы сохраняется*:

$
frac(d arrow(L), d t) = arrow(M)_"внеш".
$

Если $arrow(M)_"внеш" = 0$, то
$
arrow(L) = "const".
$

2. Физический смысл

Закон аналогичен закону сохранения импульса в поступательном движении: отсутствие внешнего «крутящего воздействия» сохраняет вращательное движение.

3. Примеры проявления

- *Фигура вращающегося фигуриста:* при прижатии рук к телу радиус масс уменьшается → момент инерции уменьшается, угловая скорость увеличивается, чтобы сохранить $L = I omega$.
- *Космический спутник или планета:* в отсутствии внешних моментов сохраняет угловой момент при вращении вокруг оси или орбитальном движении.
- *Кошка в прыжке:* умеет поворачивать своё тело в воздухе, сохраняя суммарный момент импульса нулевым.
- *Сжатие газа в туманности:* уменьшение радиуса облака приводит к увеличению скорости вращения (образование галактик, звёзд).

#line(length: 100%)

*Q:* _*22*. Получите формулу для кинетической энергии тела, которое вращается вокруг неподвижной оси._

*A:*

Пусть твёрдое тело вращается с угловой скоростью $omega$ вокруг неподвижной оси. Разобьём его на точки масс $m_i$ на расстояниях $r_i$ от оси. Скорость каждой точки $v_i = omega r_i$. Тогда

$
E_k = sum_i 1/2 m_i v_i^2
=1/2 sum_i m_i (omega r_i)^2
=1/2 omega^2 sum_i m_i r_i^2
=1/2 I omega^2,
$
где $I=sum_i m_i r_i^2$ — момент инерции относительно оси (в непрерывном случае $I = integral r^2 d m$).

Итого:
$E_k = 1/2 I omega^2$.


#line(length: 100%)

*Q:* _*23*. Получите формулу для кинетической энергии плоского движения твердого тела._

*A:* Плоское движение = поступательное движения центра масс $G$ + вращение вокруг $G$.
Для точки $i$: $arrow(v)_i = arrow(v)_G + arrow(omega) times arrow(r)_i'$, где $arrow(r)_i' = arrow(G i)$, $sum m_i arrow(r)_i' = 0$.

$
T& = 1/2 sum_i m_i v_i^2
=1/2 sum_i m_i (v_G^2 + 2, arrow(v)_G dot (arrow(omega) times arrow(r)_i') + |arrow(omega) times arrow(r)_i'|^2) \
&=1/2 M v_G^2 + 1/2 sum_i m_i,|arrow(omega) times arrow(r)_i'|^2
=1/2 M v_G^2+ 1/2 I_G omega^2,
$

где $M=sum m_i$, $I_G = sum m_i (r_i')^2$ — момент инерции относительно центра масс.

Итого:
$
T=1/2 M v_G^2 + 1/2 I_G omega^2.
$

Эквивалентно для произвольной точки $O$:
$
T = 1/2 M v_O^2 + 1/2 I_O omega^2 - M(arrow(v)_O dot(arrow(omega) times arrow(r)_(G O))),
$
а при выборе $O=G$ смешанный член исчезает, что даёт формулу выше.

#line(length: 100%)

*Q:* _*24*. Чему равна кинетическая энергия диска (шара) массой $m$ и радиусом $R$, который катится без скольжения по горизонтальной плоскости, если его центр масс имеет скорость $V$ . Покажите, что получится такая же формула, если рассматривать качение относительно мгновенной оси вращения._

*A:* 

Через разложение «поступательное + вращение вокруг ЦМ»

Без скольжения: $V = omega R$.
$
T= 1/2 m V^2 + 1/2 I_"цм" omega^2.
$

- Диск (сплошной): $I_"цм" = 1/2 m R^2$
$
T=1/2 m V^2 + 1/2 (1/2 m R^2)(frac(V, R))^2 = 3/4 m V^2.
$

- Шар (сплошной): $I_"цм" = 2/5 m R^2$
$
T = 1/2 m V^2 + 1/2 (2/5 m R^2)(V/R)^2 = 7/(10) m V^2.
$

Через мгновенную ось вращения (точка контакта $P$)

При чистом качении мгновенно $v_P = 0$ ⇒ движение — чистое вращение вокруг $P$:
$
T=1/2 I_P omega^2, space.quad I_P = I_"цм" + m R^2.
$

- Диск: $I_P = 1/2 m R^2 + m R^2 = 3/2 m R^2$
$
T=1/2(3/2 m R^2)(V/R)^2 = 3/4 m V^2.
$

- Шар: $I_P = 2/5 m R^2 + m R^2 = 7/5 m R^2$
$
T = 1/2(7/5 m R^2)(V/R)^2 = 7/10 m V^2.
$

Обе методики дают одинаковые результаты, как и должно быть.


#line(length: 100%)

*Q:* _*25*. Какие оси вращения называют свободными? Главными осями инерции? Приведите примеры вращения тел вокруг свободных осей. Поясните характерные особенности, которыми сопровождается вращение тел вокруг осей с наименьшим и наибольшим моментом инерции._

*A:*

1. Свободные оси вращения

*Свободные оси вращения* — такие оси, вокруг которых тело может вращаться без действия внешних моментов сил, сохраняя постоянное направление в пространстве.

2. Главные оси инерции

*Главные оси инерции* — оси, проходящие через центр масс тела и совпадающие с осями симметрии распределения массы.

- В этих осях тензор инерции диагонален, и вращение вокруг такой оси является устойчивым.
- Для симметричных тел: это ось симметрии и любые взаимно перпендикулярные оси, связанные с симметрией.

3. Примеры вращения вокруг свободных осей

- Вращение волчка вокруг оси симметрии.
- Полёт снаряда, пущенного с вращением вокруг продольной оси (гироскопическая стабилизация).
- Вращение космического спутника вокруг оси с симметрией массы.

4. Особенности вращения вокруг разных главных осей

- *Вращение вокруг оси с наименьшим моментом инерции* и вокруг оси с наибольшим моментом инерции — устойчивое (тело сохраняет ориентацию).
- *Вращение вокруг промежуточной оси* (средний момент инерции) — неустойчивое: малейшее возмущение приводит к тому, что тело начинает «перекидываться» (пример — трюк с книгой или смартфоном, подброшенным в воздух).

#line(length: 100%)

*Q:* _*26*. Сформулируйте условия равновесия твердого тела. Перечислите виды равновесия. Какие изменения могут происходить с кинетической энергией тел при разных видах равновесия?_

*A:* Разберём по порядку:

1. Условия равновесия твёрдого тела

Для того чтобы твёрдое тело находилось в равновесии, необходимо:

1. *Условие поступательного равновесия*
$
sum arrow(F) = 0
$
   (сумма всех внешних сил равна нулю).

2. *Условие вращательного равновесия*
$
sum arrow(M) = 0
$
   (сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю).

2. Виды равновесия

- *Устойчивое равновесие* — при малом отклонении тело возвращается в исходное положение (пример: шар в чашке).
- *Неустойчивое равновесие* — при малом отклонении тело отклоняется ещё больше (шар на вершине горки).
- *Безразличное (нейтральное) равновесие* — при смещении тело остаётся в новом положении (шар на горизонтальной плоскости).

3. Изменения кинетической энергии при малых отклонениях

- *Устойчивое равновесие* — потенциальная энергия при отклонении возрастает, поэтому при возвращении в положение равновесия она преобразуется в кинетическую. Тело колеблется вокруг положения равновесия.
- *Неустойчивое равновесие* — потенциальная энергия при малом смещении уменьшается, и тело «уходит» дальше, кинетическая энергия возрастает.
- *Безразличное равновесие* — потенциальная энергия не меняется, поэтому кинетическая энергия также остаётся постоянной (при отсутствии внешних возмущений).

#line(length: 100%)

*Q:* _*27*. Какие системы отсчета называют неинерциальными? В чем заключается принципиальное отличие сил инерции от других сил, определяющих взаимодействие тел? Как меняются силы инерции и ньютоновские силы при переходе от одной неинерциальной системы отсчета к другой?_

*A:*

1. Неинерциальные системы отсчёта

*Неинерциальная система отсчёта (НИСО)* — это система, которая движется с ускорением относительно инерциальной системы.
В таких системах законы Ньютона не выполняются в их простом виде — для согласия с опытом приходится вводить *фиктивные (инерциальные) силы*.

2. Отличие сил инерции от «настоящих» сил

- *Ньютоновские силы* (гравитация, упругости, трения и т. д.) — это реальные взаимодействия между телами.
- *Силы инерции* — не связаны с каким-либо физическим взаимодействием, они появляются лишь как поправка при рассмотрении движения в НИСО.
  Формула:
$
arrow(F)_"инерц" = - m arrow(a)_0,
$
  где $arrow(a)_0$ — ускорение самой системы отсчёта.

3. Как меняются силы при переходе между системами

- При переходе от одной НИСО к другой изменяются *силы инерции*: они зависят от ускорения новой системы отсчёта.
- «Настоящие» ньютоновские силы, обусловленные взаимодействием тел, при этом *не меняются*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*28*. Запишите формулу для силы инерции в неинерциальной системе отсчета, которая движется поступательно. Как направлена эта сила? Является ли сила инерции консервативной? Может ли она совершать работу?_

*A:*

1. Формула силы инерции при поступательном движении НИСО

Если система отсчёта движется с ускорением $arrow(a)_0$ относительно инерциальной, то для тела массы $m$ в этой НИСО вводят силу инерции:

$
arrow(F)_"инерц" = - m arrow(a)_0.
$

2. Направление силы

- Сила инерции всегда направлена *против ускорения системы отсчёта*.
- То есть, если сама система ускоряется вправо, то сила инерции в ней действует влево.

3. Консервативность

- Сила инерции *не является консервативной*, потому что она не связана с каким-либо потенциальным полем и не является силой реального взаимодействия.

4. Может ли она совершать работу?

- Да, в уравнениях движения в НИСО сила инерции может входить в выражение для работы и энергии.
- Однако эта «работа» не есть физическая передача энергии от какого-то реального источника, а лишь математическая поправка, учитывающая ускорение системы отсчёта.

#line(length: 100%)

*Q:* _*29*. Чем различается аналитический вид второго закона Ньютона в инерциальной и неинерциальной системах отсчета? Выполняется ли третий закон Ньютона в НИСО?_

*A:*

1. Второй закон Ньютона в *инерциальной системе отсчёта (ИСО)*

$
m arrow(a) = sum arrow(F),
$
где $sum arrow(F)$ — сумма всех *реальных* сил, действующих на тело.

2. Второй закон Ньютона в *неинерциальной системе отсчёта (НИСО)*

Если система ускоряется с $arrow(a)_0$ относительно ИСО, то вводится *сила инерции*:
$
m arrow(a)' = sum arrow(F) + arrow(F)_"инерц", space.quad arrow(F)_"инерц" = -m arrow(a)_0,
$
где $arrow(a)'$ — ускорение тела относительно НИСО.

В НИСО второй закон Ньютона выполняется только с учётом добавления фиктивных сил инерции.

3. Третий закон Ньютона в НИСО

- *Третий закон Ньютона* (действие = противодействие) относится к реальным взаимодействиям тел и *справедлив всегда*, в том числе в НИСО.
- Но *силы инерции* не связаны с взаимодействием тел, поэтому они не имеют пары «действие–противодействие».

#line(length: 100%)

*Q:* _*30*. На тележке, которая движется по горизонтальной поверхности с постоянным ускорением $a = 5 "м/с"^2$, на нити длиной $l = 1 "м"$ висит груз массой $m = 1 "кг"$. Найдите силу натяжения нити и угол, который она образует с вертикалью, при условии, что груз неподвижен относительно тележки._

*A:* Решение в ускоренной (неинерциальной) системе тележки:

$
T sin theta = m a space.quad T cos theta = m g arrow.double tan theta = frac(a, g), space.quad T = m sqrt(g^2 + a^2).
$

Подставим $m=1, "кг"$, $a = 5, "м/с"^2$, $g = 9.81, "м/с"^2$:

$
theta = arctan(frac(5, 9.81)) approx 27.0 degree, space.quad
T=sqrt(9.81^2+5^2) approx 11.01 "Н".
$

Ответ: $theta approx 27 degree$ к вертикали, натяжение $T approx 11.0 "Н"$.


#line(length: 100%)

*Q:* _*31*. Выполняются ли законы сохранения механической энергии и импульса в неинерциальных системах отсчета? Приведите соответствующие пояснения._

*A:*

1. Закон сохранения механической энергии

- В *инерциальных системах*: выполняется, если действуют только консервативные силы.
- В *неинерциальных системах*:

    - приходится вводить силы инерции; они *неконсервативны*, их работа зависит от траектории.
    - поэтому строгий закон сохранения механической энергии *не выполняется*.
    - Энергию можно «сохранить» только формально, если учитывать дополнительный член, связанный с энергией самой системы отсчёта.

2. Закон сохранения импульса

- В *инерциальных системах*: выполняется, если на систему не действуют внешние силы.
- В *неинерциальных системах*:

    - появляются силы инерции, зависящие от массы и ускорения системы.
    - они не подчиняются третьему закону Ньютона и не компенсируются.
    - поэтому импульс системы тел в НИСО *вообще не сохраняется*.

3. Итог

- *В НИСО законы сохранения механической энергии и импульса нарушаются* в их обычной форме.
- Они могут выполняться только при введении «фиктивных поправок» (работа сил инерции, импульс системы отсчёта).

#line(length: 100%)

*Q:* _*32*. В чем заключается отличие происхождения поля сил инерции и поля сил тяготения? В чем заключаются особенности поля сил инерции?_

*A:*

1. Происхождение полей

- *Поле сил тяготения*

    - Реальное поле, возникающее вследствие гравитационного взаимодействия тел по закону всемирного тяготения.
    - Его источник — масса.
    - Силы тяготения действуют независимо от выбора системы отсчёта.

- *Поле сил инерции*

    - Мнимое (фиктивное) поле, возникающее при рассмотрении движения в неинерциальных системах отсчёта.
    - Его «источник» — ускорение самой системы отсчёта.
    - Силы инерции не связаны с реальными взаимодействиями.

2. Особенности поля сил инерции

1. *Зависимость от выбора системы отсчёта.*
   В другой системе (например, инерциальной) эти силы полностью исчезают.

2. *Неконсервативность.*
   Силы инерции не выражаются через потенциальную энергию (работа зависит от пути).

3. *Пропорциональность массе.*
   $arrow(F)_text"инерц" = -m arrow(a)_0$. Все тела в данной НИСО испытывают одинаковое ускорение под действием этих сил (напоминает принцип эквивалентности).

4. *Не выполняется третий закон Ньютона.*
   Силы инерции не имеют пары «действие — противодействие».

#line(length: 100%)

*Q:* _*33*. В чем заключается принцип суперпозиции полей сил инерции и притяжения? Ощущает ли отличие поля сил инерции и поля сил тяготения наблюдатель, который находится в неинерциальной системе отсчета?_

*A:*

1. Принцип суперпозиции

В НИСО на тело действуют как *реальные силы* (например, гравитации), так и *фиктивные силы инерции*.
Поле инерции просто *накладывается* на поле тяготения (или другое реальное поле).

Пример: в лифте, движущемся с ускорением $a$, эффективное поле силы тяжести для пассажира:
$
arrow(g)_"эфф" = arrow(g) + arrow(a)_"лиф".
$

2. Может ли наблюдатель отличить поля?

- Для наблюдателя внутри НИСО (например, в ускоряющемся лифте или ракете) *силы инерции и силы тяготения неразличимы*.
- Именно на этом основан *принцип эквивалентности Эйнштейна*: локально невозможно отличить действие гравитационного поля от равномерно ускоренного движения.

3. Вывод

- *Принцип суперпозиции:* в НИСО суммируются поле тяготения и поле инерции.
- *Различие:* внешний наблюдатель (в ИСО) видит, что силы инерции фиктивные, а внутренний наблюдатель (в НИСО) воспринимает их как реальные и не может отличить от гравитации.

#line(length: 100%)

*Q:* _*34*. Какие силы инерции возникают во вращающихся системах отсчета? По какой формуле рассчитывается центробежная сила инерции? Как определяется ее направление? Зависит ли направление центробежной силы от направления угловой скорости
вращения?_

*A:*

1. Силы инерции во вращающихся системах отсчёта

При переходе к вращающейся системе отсчёта возникают:

- *Центробежная сила инерции*
- *Сила Кориолиса*
- (при неравномерном вращении — ещё и сила Эйлера).

2. Центробежная сила инерции

Для точки массы $m$, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, в системе, вращающейся с угловой скоростью $arrow(omega)$:
$
arrow(F)_"цб" = m omega^2 arrow(r)_perp,
$
или в векторной форме:
$
arrow(F)_"цб" = m arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)).
$

3. Направление

- Всегда направлена *от оси вращения наружу*, вдоль радиуса.
- То есть противоположна центростремительному ускорению.

4. Зависимость от направления угловой скорости

- Величина $|arrow(F)_"цб"| = m omega^2 r$ зависит только от модуля $omega$.
- Направление силы *не зависит от знака/направления вращения*, а определяется только положением точки относительно оси.

#line(length: 100%)

*Q:* _*35*. Как изменится модуль центробежной силы инерции, если скорость вращения системы отсчета увеличить в $n$ раз? Дайте необходимые пояснения._

*A:* 

$
arrow(F)_"цб" = m arrow(omega) times (arrow(omega) times arrow(r)), space.quad F_"цб" = m omega^2 r.
$

Если угловую скорость увеличить в $n$ раз ($omega arrow n omega$), то
$
F'_"цб" = m(n omega)^2 r = n^2 m omega^2 r = n^2 F_"цб".
$

То есть модуль центробежной силы возрастает *в $n^2$ раз*. Причина — квадратичная зависимость от $omega$ (или эквивалентно от линейной скорости $v = omega r$: $F_"цб" = (m v^2)/r)$.


#line(length: 100%)

*Q:* _*36*. При движении космического корабля по круговой орбите имеет место состояние невесомости. Почему оно пропадает, когда корабль входит в атмосферу Земли? На каких участках траектории космического корабля возникают перегрузки? Что называют перегрузкой?_

*A:*

1. Невесомость на орбите

Корабль и всё внутри него движутся по орбите с одинаковым ускорением свободного падения $g_"орб"$.

- На корабль и на космонавтов действует только сила тяготения.
- Опоры (пол, кресла) не оказывают давления → *сила реакции опоры равна нулю*, и человек ощущает невесомость.

2. Почему невесомость пропадает в атмосфере

При входе в атмосферу возникает сила сопротивления воздуха (аэродинамическая сила), действующая на корпус корабля.

- Корабль начинает замедляться.
- Космонавт внутри ещё движется по инерции, ударяется о стенку → возникает сила давления.
- Появляется весовое ощущение → невесомость исчезает.

3. Где возникают перегрузки

Перегрузки возникают там, где ускорение корабля (или его частей) отличается от ускорения свободного падения:

- *При старте* ракеты — от действия реактивной тяги.
- *При манёврах* (изменение скорости или траектории).
- *При торможении в атмосфере* (вход в плотные слои, аэродинамическое замедление).

4. Определение перегрузки

*Перегрузка* — это отношение полной кажущейся силы (реакции опоры), действующей на человека или прибор, к его весу в состоянии покоя на поверхности Земли:
$
n = frac(R, m g).
$

Если $n>1$, человек ощущает усиленный вес (давление кресла), если $n<1$ — невесомость или даже «отрицательный вес».

#line(length: 100%)

*Q:* _*37*. При каких условиях возникают кориолисовы силы инерции? Зависит ли сила Кориолиса от скорости движения тела во вращающейся системе отсчета? Приведите примеры проявления сил Кориолиса на Земле._

*A:*

1. Условия возникновения

*Сила Кориолиса* появляется в неинерциальной системе отсчёта, которая *вращается* с угловой скоростью $arrow(omega)$.
Она действует на тело, которое имеет скорость $arrow(v)'$ относительно этой вращающейся системы.

2. Формула

$
arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)').
$

- Она есть *только при движении тела* внутри вращающейся системы ($arrow(v)' eq.not 0$).
- Чем больше скорость $v'$, тем больше сила.
- Зависит от направления движения относительно оси вращения.

3. Примеры проявления на Земле

- *Отклонение снарядов, ракет, авиации*: в Северном полушарии вправо от направления движения, в Южном — влево.
- *Циркуляция атмосферы и океанов*: пассаты, циклоны и антициклоны закручиваются из-за силы Кориолиса.
- *Течения рек*: в северном полушарии течение интенсивнее размывает правый берег, в южном — левый.
- *Маятник Фуко*: плоскость колебаний медленно поворачивается из-за вращения Земли.

#line(length: 100%)

*Q:* _*38*. По какой формуле находится сила Кориолиса? Сформулируйте правило, по которому определяется направление силы Кориолиса. Почему сила Кориолиса отсутствует, когда тело движется параллельно оси вращения системы?_

*A:*

1. Формула силы Кориолиса

$
arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)'),
$
где

- $m$ — масса тела,
- $arrow(omega)$ — угловая скорость вращающейся системы отсчёта,
- $arrow(v)'$ — скорость тела относительно этой системы.

2. Направление силы (правило)

Направление $arrow(F)_"кор"$ определяется по правилу векторного произведения:

- берём вектор $arrow(omega)$ (ось вращения, направление по правилу правого винта),
- берём вектор скорости $arrow(v)'$,
- строим $arrow(omega) times arrow(v)'$ по правилу правой руки,
- умножаем на $-2 m$, то есть получаем вектор, направленный в противоположную сторону.

Иными словами: сила Кориолиса всегда перпендикулярна и к оси вращения, и к направлению движения.

3. Почему сила Кориолиса отсутствует при движении вдоль оси вращения

- Если $arrow(v)'$ параллелен $arrow(omega)$, то $arrow(omega) times arrow(v)' = 0$.
- Следовательно, $arrow(F)_"кор" = 0$.
- Физически: движение вдоль оси вращения не связано с изменением радиус-вектора относительно оси, поэтому вращение системы не создаёт поперечного отклонения.

#line(length: 100%)

*Q:* _*39*. Как направлена сила Кориолиса при движении тела: по экватору с востока на запад; с запада на восток; на экваторе вдоль меридиана?_

*A:*

1. Формула

$
arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)'),
$
где $arrow(omega)$ — угловая скорость вращения Земли (направлена вдоль земной оси с юга на север, то есть к Северному полюсу).

2. Движение по экватору с *запада на восток*

- Скорость $arrow(v)'$ направлена на восток.
- $arrow(omega)$ направлена на север.
- Векторное произведение $arrow(omega) times arrow(v)'$ — вверх (радиально наружу).
- С учётом минуса: сила Кориолиса направлена *к центру Земли (вниз)*.

3. Движение по экватору с *востока на запад*

- Скорость $arrow(v)'$ направлена на запад.
- $arrow(omega) times arrow(v)'$ — вниз (к центру).
- Сила Кориолиса с минусом — *радиально наружу (вверх)*.

4. Движение на экваторе вдоль меридиана (север ↔ юг)

- Здесь $arrow(v)'$ параллельна $arrow(omega)$.
- Тогда $arrow(omega) times arrow(v)' = 0$.
- *Сила Кориолиса отсутствует.*

#line(length: 100%)

*Q:* _*40*. Объясните, как на основе существования сил Кориолиса было экспериментально доказано суточное вращение Земли при помощи маятника Фуко._

*A:*

1. Суть маятника Фуко

Маятник Фуко — это длинный тяжёлый маятник, способный свободно качаться в любой вертикальной плоскости.

- В идеале плоскость его колебаний остаётся неизменной в инерциальной системе.
- Но Земля вращается → для наблюдателя, находящегося на Земле (неинерциальная система), плоскость колебаний *кажется поворачивающейся*.

2. Роль силы Кориолиса

На колеблющийся груз действует сила Кориолиса:
$
arrow(F)_"кор" = -2 m (arrow(omega) times arrow(v)).
$

- Она вызывает постепенное смещение траектории грузика.
- В результате плоскость колебаний маятника медленно поворачивается относительно поверхности Земли.

3. Наблюдаемый эффект

Скорость поворота плоскости:
$
Omega = omega sin phi,
$
где $omega$ — угловая скорость вращения Земли, $phi$ — широта.

- На *полюсах* ($phi = 90 degree$) плоскость полностью поворачивается за 24 часа.
- На *экваторе* ($phi=0$) поворот отсутствует.
- В промежуточных широтах — период больше суток, но всегда конечен.

4. Экспериментальное доказательство

Фуко (1851 г., Пантеон, Париж) подвесил маятник длиной 67 м.

- Плоскость колебаний маятника постепенно поворачивалась относительно здания.
- Это было наглядным доказательством того, что вращается именно Земля, а не маятник.

#line(length: 100%)

*Q:* _*41*. Существование кориолисовых сил является результатом того, что в северном полушарии правый берег реки всегда более крутой, чем левый; правый рельс железной дороги изнашивается сильнее, чем левый. Вместе с тем известно, что сила Кориолиса перпендикулярна вектору относительной скорости и, следовательно, не может выполнять работы. За счет какой энергии выполняется работа в рассмотренных выше случаях?_

*A:*

1. Свойство силы Кориолиса

Сила Кориолиса всегда перпендикулярна скорости тела:
$
arrow(F)_"кор" perp arrow(v),
$
поэтому работа этой силы равна нулю:
$
A = integral arrow(F)_"кор" dot d arrow(r) = 0.
$
Она может *изменять направление движения*, но не его кинетическую энергию.

2. Тогда откуда работа в реальных процессах?

Когда мы наблюдаем такие явления, как:

- размыв правого берега рек в Северном полушарии,
- больший износ правого рельса,

работа совершается *не силой Кориолиса напрямую*, а *реальными силами взаимодействия*:

- Для рек: давление и трение потока о берега. Сила Кориолиса лишь отклоняет поток, перераспределяя направление скоростей → вода сильнее ударяет в правый берег, и его разрушает *гидродинамическая сила воды*.
- Для поездов: Кориолис вызывает микроскопическое смещение колёс относительно рельсов → возрастает давление на правый рельс, и именно *нормальная реакция рельса* выполняет работу изнашивания.

3. Источник энергии

Энергия берётся из *основного движения системы*:

- в реках — из потенциальной энергии воды, стекающей вниз по уклону,
- в железной дороге — из работы двигателя локомотива, обеспечивающего поступательное движение поезда.

#line(length: 100%)

*Q:* _*42*. Дайте определение веса тела. Какова природа этой силы? Запишите формулу связи веса тела с силами инерции для системы, которая движется относительно Земли поступательно с некоторым ускорением._

*A:*

1. Определение веса тела

*Вес тела* — сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие действия на него сил притяжения и инерции.

То есть вес — это *реакция опоры* (или натяжение подвеса), а не сама сила тяжести.

2. Природа силы

- Основная причина появления веса — *гравитационная сила*, действующая на тело.
- Но если система отсчёта неинерциальная (движется с ускорением), то к силе тяжести добавляются *силы инерции*, и вес изменяется.

3. Формула для поступательно ускоряющейся системы

Если система движется с ускорением $arrow(a)_0$ относительно Земли (например, лифт), то эффективный вес:

$
arrow(P) = m arrow(g) - m arrow(a)_0,
$

где

- $m$ — масса тела,
- $arrow(g)$ — ускорение свободного падения,
- $arrow(a)_0$ — ускорение системы.

4. Примеры

- Лифт ускоряется *вверх* с ускорением $a$:
$
P = m(g + a) space.quad arrow.double space.quad "кажущийся вес увеличивается".
$

- Лифт ускоряется *вниз*:
$
P = m(g-a) space.quad arrow.double space.quad "вес уменьшается".
$

- При $a = g$:
$
P = 0 space.quad arrow.double space.quad "невесомость".
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*43*. Какие причины обусловливают зависимость ускорения свободного падения от географической широты места? Как выражается эта зависимость?_

*A:*

1. Причины зависимости $g$ от широты $phi$

1. *Вращение Земли*

    - При вращении Земли тело испытывает центробежное ускорение:
$
a_"цб" = omega^2 R cos phi,
$
     направленное от оси вращения.
    - На экваторе ($phi = 0 degree$) оно максимальное, на полюсах ($phi = 90 degree$) равно нулю.

2. *Сплюснутость Земли (геоид)*

    - Радиус Земли на экваторе больше, чем на полюсах.
    - По закону тяготения $g prop frac(1, R^2)$.
    - Поэтому на экваторе $g$ меньше, а на полюсах больше.

2. Общая зависимость

Ускорение свободного падения на широте $phi$:
$
g(phi) = g_0 (1 + alpha sin^2 phi) - omega^2 R cos^2 phi,
$
где

- $g_0$ — номинальное значение у поверхности Земли,
- $alpha$ — поправка на сплюснутость Земли ($approx 0.0053$),
- $omega$ — угловая скорость вращения Земли,
- $R$ — экваториальный радиус Земли.

3. Итог

- На экваторе $g approx 9.78 "м/с"^2$.
- На полюсах $g approx 9.83 "м/с"^2$.
- Разница $≈ 0.5 %$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*44*. Какой формулой определяется угол между направлением к центру Земли и направлением линии отвеса? От чего зависит его величина? В каких границах он изменяется?_

*A:*

1. Причина отклонения

Линия отвеса определяется *суммарным ускорением*, действующим на тело:
$
arrow(g)_"эфф" = arrow(g) + arrow(a)_"цб",
$
где

- $arrow(g)$ — ускорение гравитации (к центру Земли),
- $arrow(a)_"цб"$ — центробежное ускорение из-за вращения Земли.

Центробежное ускорение направлено перпендикулярно оси вращения, поэтому отвес чуть отклоняется от истинного центра Земли.

2. Формула для угла отклонения $delta$

Угол между направлением к центру Земли и линией отвеса:
$
tan delta = frac(a_"цб,гор", g),
$
где $a_"цб,гор" = omega^2 R cos phi dot sin phi$ — горизонтальная составляющая центробежного ускорения на широте $phi$.

Приближённо:
$
delta approx frac(omega^2 R, g) sin phi cos phi.
$

3. Зависимость и границы

- Зависит от широты $phi$.
- На экваторе ($phi = 0 degree$) и на полюсах ($phi = 90 degree$) угол равен нулю (отвес точно указывает в центр Земли).
- Максимальное отклонение наблюдается при $phi=45 degree$.
- Величина отклонения очень мала: порядка *2′ (угловых минут)*, то есть меньше $0.05°$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*45*. В каких границах изменяется вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения? Какие причины обуславливают эти изменения?_

*A:*

1. Диапазон значений $g$ на Земле

Ускорение свободного падения у поверхности Земли изменяется примерно в пределах:

$
g approx 9,78 "м/с"^2 space.quad "экватор" div 9,83 "м/с"^2 space.quad "полюсы".
$

Разница ≈ 0,05 м/с² (около 0,5 %).

2. Причины изменения $g$

1. *Вращение Земли*

    - На экваторе действует центробежное ускорение:
     $
     a_"цб" = omega^2 R_"экв" approx 0,034 "м/с"^2,
     $
     что уменьшает эффективное $g$.
    - На полюсах центробежного ускорения нет → $g$ больше.

2. *Сплюснутость Земли (геоид)*

    - Земля не идеально сферическая: радиус на экваторе больше, чем на полюсах.
    - По закону тяготения $g prop 1/(R^2)$, поэтому на экваторе (где радиус больше) $g$ меньше.

3. *Локальные геологические особенности*

    - Различия в плотности пород, наличие гор, впадин, полезных ископаемых создают небольшие локальные отклонения $g$ (в пределах тысячных долей).

#line(length: 100%)

*Q:* _*46*. Одно и то же тело взвесили на пружинных и рычажных весах на экваторе и полюсе. Различаются показания этих приборов? Если, да, то каким именно образом? Дайте необходимые пояснения._

*A:*

1. Что измеряют разные весы

- *Рычажные весы* (двухчашечные) сравнивают массы по уравновешиванию моментов сил тяжести.
  ➝ Их показания определяются отношением масс и *не зависят* от величины ускорения свободного падения $g$.

- *Пружинные весы* измеряют силу упругости пружины, которая уравновешивает вес тела.
  ➝ Их показания пропорциональны *силе тяжести*, то есть зависят от значения $g$.

2. Зависимость $g$ от широты

На экваторе и на полюсе $g$ различно:

- На *экваторе* меньше, потому что:

  1. радиус Земли больше (дальше от центра → меньше $g$);
  2. есть центробежное ускорение из-за вращения Земли.

- На *полюсе* $g$ больше (радиус меньше, центробежное ускорение отсутствует).

3. Сравнение показаний

- *Рычажные весы*: одинаковые на экваторе и на полюсе.
- *Пружинные весы*: покажут меньший «вес» на экваторе, больший — на полюсе.

#line(length: 100%)

*Q:* _*47*. Что называют гироскопом? Какие оси имеет гироскоп? В чем заключается гироскопический эффект? Какие явления называют прецессией? Нутацией?_

*A:*

1. Что называют гироскопом

*Гироскоп* — это быстро вращающееся твёрдое тело (обычно ротор), установленное так, что его ось вращения может свободно изменять ориентацию в пространстве.
Основное свойство: благодаря большому моменту импульса $arrow(L) = I arrow(omega)$ ось гироскопа сохраняет своё направление в пространстве при отсутствии внешних моментов.

2. Оси гироскопа

- *Ось вращения* (собственная ось ротора).
- *Ось симметрии подвеса* (через центр масс и опору).
- *Ось прецессии* (ось, вокруг которой поворачивается ось гироскопа под действием внешнего момента).

3. Гироскопический эффект

*Гироскопический эффект* — это свойство гироскопа сохранять неизменным направление своей оси в пространстве или изменять его особым образом (прецессией), несмотря на приложенные силы.
Основан на законе сохранения момента импульса.

4. Прецессия

*Прецессия* — это медленное вращение оси гироскопа вокруг другой оси под действием момента внешних сил, перпендикулярного вектору собственного момента импульса.
Скорость прецессии:
$
Omega = M/L.
$

5. Нутация

*Нутация* — это дополнительные колебательные движения оси гироскопа (наклонные колебания вокруг линии средней прецессии).
Они возникают при резком изменении внешнего момента или при несовершенстве подвеса.

#line(length: 100%)

*Q:* _*48*. Почему под действием момента внешних сил, перпендикулярного оси собственного импульса, гироскоп начинает совершать прецессию?_

*A:*

1. Собственный момент импульса гироскопа

Вращающееся тело (ротор) имеет момент импульса
$
arrow(L) = I arrow(omega),
$
направленный вдоль оси вращения.

2. Действие внешнего момента

Если к гироскопу приложен момент внешних сил $arrow(M)$, то по закону изменения момента импульса:
$
frac(d arrow(L), d t) = arrow(M).
$

- Если $arrow(M)$ направлен *перпендикулярно* $arrow(L)$, то он не меняет величину $|arrow(L)|$, а изменяет только *направление* вектора $arrow(L)$.
- Вектор $arrow(L)$ начинает поворачиваться в направлении действия $arrow(M)$.

3. Прецессия

Поскольку ось гироскопа совпадает с направлением $arrow(L)$, её ориентация также начинает изменяться → ось описывает медленное вращение вокруг вертикали (или другой оси, вдоль которой приложен момент). Это движение называется *прецессией*.

Скорость прецессии:
$
arrow(Omega) = frac(arrow(M), |arrow(L)|).
$

4. Физический смысл

- Момент сил не «опрокидывает» гироскоп (как это было бы для невращающегося тела), а лишь изменяет направление его оси.
- Поэтому гироскоп «устойчив» и реагирует на внешний момент боковым вращением — прецессией.

#line(length: 100%)

*Q:* _*49*. Приведите примеры практического применения гироскопического эффекта._

*A:* Гироскопический эффект — это способность вращающегося тела сохранять направление своей оси в пространстве (устойчивость при воздействии внешних моментов). Его активно используют в технике.

Примеры применения:

1. *Навигация и ориентация*

    - гирокомпасы на кораблях и подводных лодках (ориентация без магнитного поля);
    - гироскопические приборы в авиации (гирогоризонт, авиагоризонт, указатель поворота);
    - инерциальные навигационные системы ракет, спутников, космических аппаратов.

2. *Транспорт*

    - стабилизация велосипедов, мотоциклов (вращающиеся колёса дают устойчивость);
    - гиростабилизаторы в поездах и автомобилях для повышения устойчивости.

3. *Космос*

    - ориентация искусственных спутников и космических станций (маховики-реакционные колёса, гиростабилизаторы).

4. *Морская техника*

    - гиростабилизаторы на судах и яхтах для уменьшения качки.

5. *Электроника и бытовая техника*

    - гиродатчики в смартфонах, дронах, геймпадах — для определения положения в пространстве.

#pagebreak()
#align(center)[= _Колебания и волны_]

*Q:* _*1*. Какое движение называется колебательным? Приведите примеры._

*A:* *Колебательное движение* — это движение, которое многократно повторяется во времени и происходит около положения устойчивого равновесия.
Основные признаки:

- наличие равновесного положения,
- отклонение от него,
- возврат под действием сил, стремящихся вернуть систему в равновесие,
- периодичность или квазипериодичность.

Примеры колебательных движений:

- механические:

    - колебания маятника,
    - колебания пружинного маятника (груз на пружине),
    - вибрация струны;
- акустические: звуковые колебания воздуха;
- электрические: колебания заряда и тока в колебательном контуре $L C$;
- физические системы: колебания молекул в твёрдых телах (фононы), колебания в кристаллической решётке.

#line(length: 100%)

*Q:* _*2*. Какие колебания называются гармоническими? По каким критериям эти колебания в природе и технике выделяют в особую группу?_

*A:* *Гармонические колебания* — это такие колебания, при которых физическая величина (смещение, скорость, ток и т. п.) изменяется по закону синуса или косинуса:

$
x(t) = A cos(omega t + phi_0),
$

где $A$ — амплитуда, $omega$ — циклическая частота, $phi_0$ — начальная фаза.

2. Критерии выделения в особую группу

Гармонические колебания считаются базовыми, потому что:

- *линейность*: они возникают в линейных системах при малых отклонениях от равновесия (например, закон Гука);
- *универсальность*: любое сложное периодическое движение можно разложить в сумму гармонических (ряд Фурье);
- *простота анализа*: имеют чёткие характеристики (амплитуда, период, частота, фаза), легко измеряемые и вычисляемые;
- *распространённость*: в природе и технике они встречаются очень часто — от маятника и колебаний атомов в кристалле до переменного тока и радиоволн.

#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. Дайте определение основных величин, характеризующих гармоническое колебательное движение (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). Каков физический смысл этих характеристик?_

*A:* Возьмём гармоническое колебание

$
x(t) = A cos(omega t + phi_0).
$

Основные величины

1. *Амплитуда $A$*

    - Максимальное по модулю отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.
    - Физический смысл: характеризует «размах» колебаний (максимальное смещение, максимальный ток и т. д.).

2. *Фаза $phi(t) = omega t + phi_0$*

    - Аргумент функции косинуса/синуса, определяющий состояние колеблющейся системы в данный момент времени.
    - Физический смысл: задаёт «положение» колебания на цикле (например, находится ли система в максимуме, на спаде, в равновесии).

3. *Начальная фаза $phi_0$*

    - Значение фазы в момент $t = 0$.
    - Физический смысл: определяет, с какого состояния система начинает колебаться.

4. *Период $T$*

    - Время одного полного колебания.
    - Физический смысл: длительность одного «цикла» движения.
    - Формула:
$
T = frac(2 pi, omega).
$

5. *Частота $nu$*

    - Число колебаний в единицу времени.
    - Связь с периодом:
$
nu = 1/T.
$
    - Физический смысл: показывает, сколько раз за секунду повторяется движение.

6. *Циклическая частота $omega$*

    - Угловая скорость изменения фазы (в радианах в секунду).
    - Связь с частотой:
$
omega = 2 pi nu = frac(2 pi, T).
$
    - Физический смысл: показывает, с какой скоростью «бежит» фаза; удобно в формулах, потому что измеряется в рад/с.

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Какими признаками определяются упругие силы? В чем различие упругих и квазиупругих сил?_

*A:* 1. Признаки упругих сил

Упругая сила проявляется, когда тело деформируется, и характеризуется:

- *Противодействием деформации* — стремится вернуть тело в исходное (равновесное) состояние.
- *Зависимостью только от величины деформации* (для идеальной упругости):
$
F = -k Delta x
$
  (закон Гука, где $k$ — жёсткость, $Delta x$ — удлинение/сжатие).
- *Мгновенной обратимостью*: работа упругой силы полностью возвращается при устранении деформации (нет потерь энергии).

2. Квазиупругие силы

Это силы, которые внешне ведут себя *похоже на упругие*, но:

- они не полностью восстанавливают исходное состояние;
- при деформации и обратном движении часть энергии рассеивается (в тепло, внутренние процессы);
- сила зависит не только от величины деформации, но и от скорости, времени, внутреннего трения.

Пример: резина, полимеры, биологические ткани — при растяжении и отпускании графики $F(Delta x)$ не совпадают (явление гистерезиса).

3. Различие

- *Упругие силы*: строго подчиняются закону Гука, полностью обратимы, энергия сохраняется.
- *Квазиупругие силы*: лишь приближённо подчиняются закону Гука, сопровождаются диссипацией энергии, обратимость неполная.

#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. Какие колебания называются свободными? При каких условиях свободные колебания будут незатухающими?_

*A:* *Свободные колебания* — это колебания системы, происходящие только за счёт её собственных внутренних сил после того, как система была выведена из положения равновесия, *без дальнейшего внешнего воздействия*.

Примеры: колебания маятника после отклонения, груз на пружине после растяжения.

2. Условия незатухающих свободных колебаний

В реальности всегда есть силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), из-за которых колебания затухают.
*Незатухающими* свободные колебания будут только при идеализированных условиях:

- отсутствуют диссипативные силы (трение, сопротивление среды, внутренние потери),
- действуют только *консервативные силы* (сила тяжести, упругости).

В этом случае система бесконечно долго колеблется с постоянной амплитудой и постоянной собственной частотой.

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. На примере прямолинейных гармонических колебаний установите связь между амплитудами и фазами смещения скорости и ускорения материальной точки._

*A:* Возьмём прямолинейные гармонические колебания

$
x(t) = A cos(omega t + phi).
$

Амплитуды:
$
v(t) = dot(x) = -A omega sin(omega t + phi) = A omega cos (omega t + phi + frac(pi, 2)) arrow.double A_v = omega A,
$
$
a(t)= dot(x) = -omega^2 x = -A omega^2 cos(omega t + phi) = A omega^2 cos (omega t + phi + pi) arrow.double A_a = omega^2 A.
$

Фазовые сдвиги:

- Скорость опережает смещение на $frac(pi, 2)$ (четверть периода):
  $phi_v = phi + frac(pi, 2)$.
- Ускорение в противофазе со смещением (сдвиг $pi$):
  $phi_a = phi + pi$.
- Ускорение опережает скорость на $frac(pi, 2)$ (или скорость отстаёт на $frac(pi, 2))$.

Итог по связям:
$
A_v = omega A, space.quad A_a = omega^2 A, space.quad phi_v - phi = frac(pi, 2), space.quad phi_a - phi = pi.
$


#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. В течении какой доли периода колебаний совпадают направления векторов смещения и скорости простого гармонического осциллятора?_

*A:* Полпериода.

В SHM $x = A cos(omega t + phi)$, $v = -A omega sin(omega t + phi)$. Направления совпадают, когда $x$ и $v$ одного знака ⇔ $sin(2(omega t + phi)) < 0$, что выполняется на интервалах ($frac(pi, 2), pi$) и ($frac(3 pi, 2), 2 pi$) по фазе — суммарно $T/2$. Физически: совпадают, когда осциллятор уходит от равновесия к крайним положениям.


#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. При помощи метода векторных диаграмм найдите выражение для амплитуды: результирующего колебания, полученного в результате сложения двух колебаний одного направления и одинаковых частот. При каком условии амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний? Модулю их разности?_

*A:* Классическое сложение фазоров.

Пусть
$
x_1 = A_1 cos( omega t+ phi_1), space.quad
x_2 = A_2 cos( omega t+ phi_2), space.quad
Delta phi = phi_2 - phi_1.
$
Тогда результирующее колебание того же вида
$
x = A cos( omega t + phi),
$
где амплитуда и фаза задаются по векторной диаграмме:
$
A = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 cos Delta phi)
$

$
tan phi= frac(A_1 sin phi_1 + A_2 sin phi_2, A_1 cos phi_1+A_2 cos phi_2).
$

Условия:

- $A = A_1 + A_2$ при фазовом совпадении ($Delta phi = 0$, в фазе).
- $A = |A_1 - A_2|$ при противофазе ($Delta phi = pi$).

#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. В каком случае при сложении двух колебаний будет наблюдаться процесс биений? Запишите уравнение такого процесса, изобразите график зависимости смещения от времени._

*A:* *Когда возникают биения:* при сложении двух колебаний одного направления с близкими, но различными частотами $omega_1 approx omega_2$ и сравнимыми амплитудами.

*Уравнение суммы* (для простоты $A_1 = A_2 = A, phi_1 = phi_2 = 0$):
$
x(t) = A cos omega_1 t + A cos omega_2 t = 2 A cos(frac(omega_2-omega_1, 2)t), cos(frac(omega_1 + omega_2, 2)t).
$
Амплитуда медленно меняется по огибающей

$ 2 A cos(frac(Delta omega, 2)t)$.
Частота биений $f_b = |f_2 - f_1|$, период биений $T_b = frac(1, |f_2 - f_1|)$.

Для разных амплитуд:
$
x = A_1 cos omega_1 t + A_2 cos omega_2 t, space.quad A_"огиб" (t) = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 cos(Delta omega, t)).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. Каков вид траектории точки, которая участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми частотами? При каких значениях разности фаз траекторией движения будет прямая и при каких — эллипс?_

*A:* Возьмём

$
x(t) = A cos omega t, space.quad y(t) = B cos(omega t + delta).
$

Вид траектории

Исключая $t$, получаем связь
$
(frac(x, A))^2 + (frac(y, B))^2 - 2 frac(x, A) frac(y, B) cos delta = sin^2 delta,
$

что описывает *эллипс* (вообще — повернутый). Угол поворота $theta$ удовлетворяет
$
tan 2 theta = frac(2 A B cos delta, A^2 - B^2).
$

Когда прямая?

- При $delta = 0$ или $delta = pi$:
$
y=plus.minus frac(B, A) x,
$
  то есть траектория — *прямая* (проекции синфазны/противофазны).

Когда эллипс?

- При любом $delta eq.not.triple 0, pi mod(2 pi)$ — *эллипс*.
- Частный случай круга: если $A=B$ и $delta = plus.minus frac(pi, 2)$, то
$
x^2+y^2=A^2,
$
  траектория — *окружность*.


#line(length: 100%)

*Q:* _*11*. Что называется фигурами Лиссажу? Как по виду фигур Лиссажу можно установить соотношение частот складываемых колебаний?_

*A:* *Фигуры Лиссажу* — это траектории, которые описывает точка, участвующая одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях:

$
x(t) = A_x cos(omega_x t + phi_x), space.quad
y(t) = A_y cos(omega_y t + phi_y).
$

Если частоты отличаются, получаются характерные замкнутые или незамкнутые кривые на плоскости ($x,y$).

2. Установление соотношения частот

- Если отношение частот рациональное:
$
frac(omega_x, omega_y) = frac(n, m),
$
  то траектория замкнута и называется *фигурой Лиссажу*.
- Числа $n$ и $m$ можно определить по виду фигуры:

    - *число петель* вдоль оси $x = n$,
    - *число петель* вдоль оси $y = m$.

Пример: при $omega_x : omega_y = 2:1$ получится фигура с двумя «петлями» по оси $x$ и одной по оси $y$.

3. Особый случай

Если $omega_x / omega_y$ иррационально, то кривая *не замыкается*, и траектория со временем заполняет всё ограниченное прямоугольное пространство.

#line(length: 100%)

*Q:* _*12*. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, математического и физического маятников._

*A:* Разберём каждый тип маятника.

1. *Пружинный маятник*

Тело массы $m$ на пружине жёсткости $k$.

Уравнение движения:

$
m dot(dot(x)) + k x = 0.
$

Собственная циклическая частота:
$
omega = sqrt(frac(k, m)).
$

Период:
$
T = 2 pi sqrt(frac(m, k)).
$

2. *Математический маятник*

Груз массы $m$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$.
При малых углах $(sin phi approx phi)$:

$
dot(dot(phi)) + frac(g, l) phi = 0.
$

Собственная частота:
$
omega = sqrt(frac(g, l)).
$
Период:
$
T = 2 pi sqrt(frac(l, g)).
$

3. *Физический маятник*

Любое твёрдое тело, колеблющееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.
Уравнение движения:
$
I dot(dot(phi)) + m g l phi = 0,
$
где $I$ — момент инерции относительно оси подвеса, $l$ — расстояние от оси до центра масс.
Собственная частота:
$
omega = sqrt(frac(m g l, I)).
$
Период:
$
T = 2 pi sqrt(frac(I, m g l)).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*13*. В чем состоит различие между математическим и физическим маятниками? В чем заключается физический смысл приведенной длины физического маятника?_

*A:* 

1. Математический маятник

- Идеализированная модель.
- Материальная точка массы $m$, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины $l$.
- Колебания происходят под действием силы тяжести.
- Период колебаний:
$
T = 2 pi sqrt(l/g).
$

2. Физический маятник

- Любое реальное твёрдое тело, способное колебаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.
- Тело имеет распределение масс и момент инерции (I) относительно оси подвеса.
- Период колебаний:
$
T = 2 pi sqrt(frac(I, m g d)),
$
  где $d$ — расстояние от оси подвеса до центра масс.

3. Приведённая длина физического маятника

- Вводят для того, чтобы *сравнить физический маятник с эквивалентным математическим*.
- Определяется как:
$
l_"пр" = frac(I, m d).
$

- Тогда формула периода приобретает вид:
$
T = 2 pi sqrt(frac(l_"пр", g)),
$
  что полностью аналогично периоду математического маятника.

#line(length: 100%)

*Q:* _*14*. Почему период колебаний математического маятника не зависит от массы, а период физического маятника зависит от момента инерции._

*A:*

1. Математический маятник

- Период:
$
T = 2 pi sqrt(l / g).
$
- Здесь масса $m$ сокращается при выводе: сила тяжести $F = m g$ пропорциональна массе, и ускорение $a = F / m = g$ не зависит от массы.
  Поэтому *период математического маятника не зависит от массы груза*.

2. Физический маятник

- Период:
$
T = 2 pi sqrt(frac(I, m g d)),
$
  где $I$ — момент инерции относительно оси подвеса, $d$ — расстояние от центра масс до оси.

- Здесь масса входит в момент инерции $I$. Для тела с распределённой массой $I = sum m_i r_i^2$.

- Таким образом, период определяется не только массой, но и её распределением относительно оси.

#line(length: 100%)

*Q:* _*15*. Какие колебания называются затухающими? Как изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний? Выразите эту зависимость аналитически и графически._

*A:* *Затухающие колебания* — это колебания с убывающей во времени амплитудой из-за потерь энергии (трение, сопротивление среды и т.п.).

- При линейном вязком сопротивлении:
$
x(t) = A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi), space.quad A(t) = A_0 e^(-gamma t).
$
- Полезные характеристики:
$
Lambda = ln frac(x_n, x_(n+1)) = gamma T_d, space.quad zeta = frac(gamma, omega_0), space.quad omega = omega_0 sqrt(1 - zeta^2) (zeta < 1).
$

График с огибающей $plus.minus A(t)$ построен выше.

#align(center)[#image("assets/8.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*16*. Что понимают под периодом затухающих колебаний? Что такое коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность колебательной системы?_

*A:*

1. Период затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний:
$
x(t) = A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi),
$
где $gamma$ — коэффициент затухания, $omega$ — круговая частота затухающих колебаний.

*Периодом* $T_d$ называют время между двумя последовательными колебаниями:
$
T_d = frac(2 pi, omega).
$

2. Коэффициент затухания $gamma$

Характеризует скорость убывания амплитуды:
$
A(t) = A_0 e^(-gamma t).
$
Единицы измерения: [1/с].

3. Логарифмический декремент $Lambda$

Величина, показывающая, во сколько раз уменьшается амплитуда за один период:
$
Lambda = ln frac(A(t), A(t + T_d)) = gamma T_d.
$

4. Добротность (Q) колебательной системы

Показывает «качество» колебаний — насколько долго система сохраняет энергию. Определение:
$
Q = frac(2 pi dot "(запасённая энергия)", "потерянная энергия за период").
$
Через параметры затухания:
$
Q = frac(pi, Lambda) = frac(omega, 2 gamma).
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*17*. Получите формулы, выражающие зависимость кинетической и потенциальной энергий колебательной системы от времени. В каких случаях полная энергия колебательной системы будет постоянной? Представьте энергетические характеристики колебательной системы графически._

*A:* Сформулируем для гармонического осциллятора $m dot(dot(x)) x + k x=0$ (и с затуханием при необходимости).

Формулы энергий

Для решения $x(t) = A cos(omega t + phi)$, $omega = sqrt(k/m)$:
$
v(t) = -A omega sin(omega t + phi).
$
$
E_k(t) = 1/2 m v^2 = 1/2 m A^2 omega^2 sin^2(omega t + phi),
$
$
E_p(t) = 1/2 k x^2 = 1/2 k A^2 cos^2(omega t + phi).
$
$
E(t) = E_k + E_p = 1/2 k A^2 = "const".
$

Если есть вязкое затухание $m dot(dot(x)) + 2 m gamma dot(x) + k x = 0$, $x= A_0 e^(-gamma t) cos(omega t + phi)$ с $omega = sqrt(omega_0^2 - gamma^2)$, $omega_0 = sqrt(k/m)$. Тогда амплитуда убывает как $e^(-gamma t)$, а полная энергия как
$
E(t) prop A^2(t) approx E_0,e^(-2 gamma t) space.quad (gamma << omega_0).
$

Когда энергия постоянна

Полная энергия постоянна *только* в консервативном случае: нет сил трения/сопротивления, параметры $m, k$ постоянны, внешних источников или откачки энергии нет.

#align(center)[#image("assets/9.png")]
#align(center)[#image("assets/10.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*18*. Дайте определение собственных и вынужденных колебаний системы. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Какова зависимость амплитуды вынужденных колебаний, возбуждаемых силой, которая изменяется по гармоническому закону, от частоты этой силы? Представьте данную зависимость аналитически и графически - для нескольких различных коэффициентов сопротивления._

*A:*

Определения

- *Собственные колебания* — свободные колебания системы без внешнего периодического воздействия (возникают за счёт начального отклонения/скорости).
- *Вынужденные колебания* — колебания под действием внешней силы $F(t)$, обычно периодической.


Уравнение вынужденных колебаний (линейный осциллятор с вязким сопротивлением)

$
m dot(dot(x)) + 2 m gamma dot(x) + k x = F_0 cos(Omega t).
$

Здесь $omega_0 = sqrt(k/m)$ — собственная частота, $gamma$ — коэффициент затухания.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний

$
x(t) = A(Omega) cos(Omega t - delta), space.quad A(Omega) = frac(F_0/m, sqrt((omega_0^2 - Omega^2)^2 + (2 gamma Omega)^2)).
$
Пик около $Omega_"рез" approx sqrt(omega_0^2 - 2 gamma^2)$ (чем меньше $gamma$, тем выше и уже резонанс).

График $A(Omega)$ для разных $gamma$

Я построил АЧХ для $gamma = 0.2, 0.8, 1.6$ при $omega_0 = 6$ (в безразмерных единицах). Вертикальная пунктирная — $Omega = omega_0$.

#align(center)[#image("assets/11.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*19*. В чем состоит суть явления резонанса? От чего зависит резонансная частота? Запишите формулу, определяющую резонансную частоту. Приведите примеры явления резонанса._

*A:*

1. Суть явления резонанса

*Резонанс* — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний системы, когда частота внешней силы $Omega$ близка к собственной частоте системы $omega_0$.
Физический смысл: внешняя сила подкачивает энергию синхронно с колебаниями, и энергия накапливается.

2. От чего зависит резонансная частота

Резонансная частота зависит:

- от *собственной частоты системы* $omega_0 = sqrt(k/m)$,
- от *коэффициента затухания* $gamma$.

3. Формула для резонансной частоты

Максимум амплитуды $A(Omega)$ достигается при:
$
Omega_"рез" = sqrt(omega_0^2 - 2 gamma^2).
$

- При малом затухании $gamma << omega_0$:
$
Omega_"рез" approx omega_0.
$

4. Примеры резонанса

- Раскачивание качелей: толчки с частотой, близкой к собственной.
- Колебания мостов под действием ветра или шагов (знаменитый случай — разрушение моста Такома Нарроуз в 1940 году).
- Механический резонанс в машинах и механизмах (опасен, т.к. амплитуды могут стать разрушительными).
- Электрический резонанс в колебательных контурах (LCR-цепи).
- Акустический резонанс — усиление звука в резонансных полостях (например, в музыкальных инструментах).

#line(length: 100%)

*Q:* _*20*. Какие системы: называют автоколебательными? Приведите пример такой системы. Из каких основных элементов состоит автоколебательная система? Приведите пример релаксационных колебаний и охарактеризуйте их._

*A:* 

1. Автоколебательные системы

*Автоколебательная система* — это система, в которой колебания поддерживаются за счёт внутренних источников энергии, без внешнего периодического воздействия.
Энергия, теряемая на сопротивление, периодически восполняется самим устройством → колебания устойчиво поддерживаются.

2. Примеры автоколебательных систем

- Маятниковые часы (маятник получает импульс от механизма).
- Генераторы электрических колебаний (ламповые, транзисторные).
- Свисток, органная труба (подпитка колебаний потоком воздуха).
- Биологические ритмы (например, сердечные сокращения, дыхание).

3. Основные элементы автоколебательной системы

1. *Колебательная система* (например, механический маятник, LC-контур).
2. *Источник энергии* (механическая пружина, батарея, поток воздуха).
3. *Устройство обратной связи*, которое подводит энергию к системе в нужной фазе, компенсируя потери.

4. Релаксационные колебания

- Это особый тип автоколебаний, при которых процесс имеет *медленный накопительный этап* и *быстрый скачок*.
- Обычно форма сигнала далека от синусоиды (пилообразная, импульсная).

*Примеры:*

- мигание неоновой лампы;
- работа генератора импульсов на электронной лампе или транзисторе;
- сердечные ритмы, дыхательные циклы.

*Характеристика:* период релаксационных колебаний определяется временем медленного накопления энергии и моментом её быстрой разрядки.

#line(length: 100%)

*Q:* _*21*. Что называют волновым движением? Какие силы должны действовать между частицами среды, чтобы в ней могли распространяться колебания?_

*A:* *Волновое движение* — это процесс распространения колебаний в пространстве, при котором переносится энергия (и импульс), но вещество среды при этом не переносится.
Каждая частица среды лишь совершает колебания около своего положения равновесия, а возмущение передаётся соседним частицам.

2. Условия для распространения колебаний

Чтобы волна могла распространяться в среде, между её частицами должны действовать силы, которые:

- *стремятся вернуть частицу в равновесие* (силы упругости, давления, тяжести и др.);
- *связывают движение соседних частиц* (иначе колебание не будет передаваться).

То есть необходимы *силы взаимодействия* между частицами среды (упругие силы, силы давления, электромагнитные взаимодействия и т.п.), которые обеспечивают передачу энергии колебаний от одной частицы к другой.

#line(length: 100%)

*Q:* _*22*. Какие волны называются продольными? поперечными? Объясните механизм распространения деформаций в каждом из этих случаев. Какие волны могут распространяться в твердых телах, жидкостях и газах?_

*A:*

1. Продольные волны

- *Определение:* частицы среды колеблются *вдоль направления распространения волны*.
- *Механизм:* в среде возникают *периоды сжатия и разрежения*. Сжатые участки передают давление на соседние, и волна распространяется дальше.
- *Примеры:* звуковые волны в воздухе, газах и жидкостях.

2. Поперечные волны

- *Определение:* частицы среды колеблются *перпендикулярно направлению распространения волны*.
- *Механизм:* возникает чередование участков *сдвиговых деформаций*; упругие силы, стремящиеся вернуть частицы в исходное положение, передают возмущение соседям.
- *Примеры:* волны на поверхности воды, электромагнитные волны, колебания в струне.

3. Где какие волны распространяются

- *В твёрдых телах:* возможны *оба типа* (продольные и поперечные), так как твёрдое тело сопротивляется как сжатию, так и сдвигу.
- *В жидкостях и газах:* возможны *только продольные* волны, потому что они не обладают упругостью сдвига (не могут поддерживать поперечные деформации).

#line(length: 100%)

*Q:* _*23*. Что можно сказать о переносе энергии упругой деформации и переносе массы при распространении механической волны?_

*A:* 

1. Перенос энергии

- При распространении механической волны *переносится энергия упругой деформации и кинетическая энергия колебаний частиц*.
- Частицы среды совершают колебания около положения равновесия, но их взаимодействие передаёт энергию соседям → возмущение распространяется.
- Таким образом, *энергия волны перемещается вместе с волной*.

2. Перенос массы

- Масса среды *не переносится* вместе с волной.
- Каждая частица лишь колеблется около своей равновесной точки, выполняя движение вперёд-назад (продольные) или вверх-вниз (поперечные), но *не смещается на большие расстояния*.
- В среднем перемещение массы отсутствует — переносится только энергия.

#line(length: 100%)

*Q:* _*24*. Объясните качественно зависимость скорости упругих волн от модуля Юнга (модуля сдвига) и плотности среды._

*A:*

1. Что определяет скорость волны?

Скорость распространения механической волны зависит от двух факторов:

- *упругость среды* (способность сопротивляться деформации),
- *инертность среды* (масса/плотность частиц, которые нужно разгонять).

2. Продольные волны (звук в твёрдом теле, жидкостях, газах)

Для стержня или твёрдого тела:
$
v = sqrt(frac(E, rho)),
$

где $E$ — модуль Юнга (характеризует упругость при растяжении/сжатии), $rho$ — плотность.

- Чем больше $E$, тем быстрее волна (среда «жёстче», быстрее восстанавливает форму).
- Чем больше $rho$, тем медленнее волна (частицы тяжелее, труднее разогнать).

3. Поперечные волны (в твёрдых телах)

$
v = sqrt(frac(G, rho)),
$
где $G$ — модуль сдвига.

- Чем больше $G$, тем выше скорость поперечной волны.
- Чем больше плотность $rho$, тем меньше скорость.

4. Качественный вывод

- *Жёсткие, но лёгкие материалы* (например, сталь по сравнению с резиной) → высокая скорость волн.
- *Мягкие или плотные материалы* → низкая скорость.


#line(length: 100%)

*Q:* _*25*. В чем состоит различие между гармоническими колебаниями и волновым процессом? Запишите уравнение плоской монохроматической волны, дайте определение физических характеристик волны. Какова связь между этими величинами?_

*A:*

1. Гармонические колебания vs волновой процесс

- *Гармонические колебания* — это периодические изменения физической величины (смещения, скорости, давления и т. п.) во времени около положения равновесия в *одной точке*.
$
x(t) = A cos(omega t + phi).
$

- *Волновой процесс* — это распространение колебаний в пространстве: возмущение от одной точки передаётся другим → возникает пространственно-временной процесс.
$
xi(x,t) = A cos(omega t - k x + phi).
$

2. Уравнение плоской монохроматической волны

$
xi(x,t) = A cos(omega t - k x + phi),
$
где:

- $A$ — амплитуда колебаний,
- $omega = 2 pi f$ — циклическая частота,
- $f$ — частота,
- $T = frac(1, f)$ — период,
- $k = frac(2 pi, lambda)$ — волновое число,
- $lambda$ — длина волны,
- $v$ — фазовая скорость волны.

3. Связь характеристик волны

Основное соотношение:
$
v = frac(omega, k) = lambda f.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*26*. Нарисуйте график зависимости координат точек среды, в которой распространяется бегущая волна, от расстояния до источника волны. На каком расстоянии друг от друга находятся соседние точки среды, которые колеблются в одинаковых фазах?_

*A:* График профиля бегущей волны $xi(x, t_0)$ готов.
Соседние точки, колеблющиеся в одинаковых фазах, разделены расстоянием *одна длина волны* $lambda$ (и вообще $n lambda$, $n in Z$).

#align(center)[#image("assets/12.png")]

#line(length: 100%)

*Q:* _*27*. Что называется фронтом волны? Чем отличается фронт волны от волновой поверхности? Какие волны называются плоскими, сферическими? Приведите примеры._

*A:*

1. Фронт волны

*Фронт волны* — геометрическое место точек, до которых дошло возмущение в данный момент времени.

- Иначе говоря, это граница раздела между «возмущённой» и «невозмущённой» частями среды.
- Обычно фронт изображают как поверхность, движущуюся со скоростью распространения волны.

2. Волновая поверхность

*Волновая поверхность* — геометрическое место точек, которые колеблются в *одной и той же фазе*.

- В отличие от фронта, это не граница области, а совокупность «фазово-синхронных» точек.

Фронт волны всегда является *частным случаем волновой поверхности*, которая соответствует определённой фазе (например, началу возмущения).

3. Типы волн

- *Плоские волны* — волновые поверхности представляют собой параллельные плоскости.

    - Пример: электромагнитная волна, распространяющаяся от антенны вдоль определённого направления; акустическая волна в узкой трубе.

- *Сферические волны* — волновые поверхности представляют собой концентрические сферы с центром в источнике.

    - Пример: звук от точечного источника (хлопок, взрыв); волны на воде от падающей капли.

#line(length: 100%)

*Q:* _*28*. Что называют фазовой и групповой скоростями? Чем вызвано их различие? Могут ли эти скорости совпадать? Что называют дисперсией волн?_

*A:*

1. Фазовая скорость

$
v_"ф" = frac(omega, k)
$
— скорость распространения *отдельной фазы* (например, гребня, впадины) гармонической волны.

2. Групповая скорость

$
v_"гр" = frac(d omega, d k)
$
— скорость распространения огибающей суперпозиции волн (волнового пакета), т. е. скорость переноса энергии и информации.

3. Причина различия

- Различие фазовой и групповой скоростей возникает, если *частота зависит от волнового числа* $omega = omega(k)$ не линейно.
- Это связано с тем, что разные гармонические компоненты распространяются с разными скоростями.

4. Когда они совпадают?

- Если среда *недисперсионная*, т. е. $omega prop k$ (линейная зависимость).
- Пример: электромагнитные волны в вакууме — там $v_"ф" = v_"гр" = c$.

5. Дисперсия волн

*Дисперсия* — это зависимость фазовой скорости (или частоты) от длины волны (или волнового числа):
$
v_"ф" = v_"ф" lambda space.quad "или" space.quad omega = omega(k).
$

- В дисперсионных средах $v_"ф" eq.not v_"гр"$.
- Примеры:

    - свет в стекле (разные цвета распространяются с разными скоростями),
    - поверхностные гравитационные волны на воде,
    - волны в волноводах.

#line(length: 100%)

*Q:* _*29*. Как образуются стоячие волны? Перечислите свойства, которые отличают стоячую волну от бегущей. Что называют узлами и пучностями смещений в стоячей волне?_

*A:*

1. Образование стоячих волн

Стоячая волна возникает при *наложении (интерференции) двух встречных волн* одинаковой частоты, амплитуды и скорости.
Чаще всего — это падающая и отражённая волна в ограниченной системе (струна, труба, столб воздуха).

Математически:
$
xi_1 = A cos(omega t - k x), space.quad xi_2 = A cos(omega t + k x).
$
Сумма:
$
xi(x,t) = 2 A cos(k x) cos(omega t).
$

2. Отличия стоячей волны от бегущей

- *Нет переноса энергии вдоль среды* (энергия «колеблется» локально).
- *Амплитуда колебаний зависит от координаты*: в одних точках смещения всегда нулевые, в других — максимальные.
- *Нет движения волнового фронта*, как в бегущей волне; остаётся лишь чередование узлов и пучностей.

3. Узлы и пучности

- *Узлы* — точки, где $cos(k x)=0$ → смещение всегда равно нулю.
- *Пучности* — точки, где $|cos(k x)| = 1$ → амплитуда максимальна.

Расстояние между соседними узлами или пучностями равно $frac(lambda, 2)$.

#line(length: 100%)

*Q:* _*30*. В чем заключается суть эффекта Доплера? Запишите формулу частоты воспринимаемого звука для случая неподвижного источника и движущегося наблюдателя; неподвижного наблюдателя и движущегося источника. Приведите примеры проявления эффекта Доплера для механических волн._

*A:*

1. Суть эффекта Доплера

*Эффект Доплера* — это изменение частоты и длины волны, воспринимаемой наблюдателем, если источник и наблюдатель движутся относительно друг друга.

- Если они сближаются → воспринимаемая частота выше.
- Если удаляются → воспринимаемая частота ниже.

2. Формулы для звука

Пусть:

- $f$ — частота источника,
- $v$ — скорость звука в среде,
- $v_"набл"$ — скорость наблюдателя (считается положительной при движении к источнику),
- $v_"ист"$ — скорость источника (положительная при движении к наблюдателю).

(а) Неподвижный источник, движется наблюдатель

$
f' = f (1 plus.minus frac(v_"набл", v)),
$
где «+» — при движении навстречу источнику, «–» — при удалении.

(б) Неподвижный наблюдатель, движется источник

$
f' = f dot frac(v, v minus.plus v_"ист"),
$
где «–» в знаменателе — источник движется к наблюдателю, «+» — от него.

3. Примеры проявления эффекта Доплера для механических волн

- Изменение тона сирены проезжающей машины или поезда.
- Изменение звука скорой помощи при приближении и удалении.
- Изменение частоты звука пропеллера или винта самолёта при пролёте мимо.

#pagebreak()

#align(center)[= _Основы специальной теории относительности (СТО)_]

*Q:* _*1.* В чем различие ньютоновских представлений о пространстве и времени в классической механике и представлений об этих формах существования материи в специальной теории относительности?_

*A:* *1. Ньютоновские представления (классическая механика)*

- *Пространство* — абсолютное, существует само по себе, одинаково для всех наблюдателей.
- *Время* — абсолютное, течёт одинаково и независимо от движения наблюдателя или тел.
- Пространство и время рассматриваются *раздельно*.
- Преобразования Галилея:

$
x' = x - v t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t' = t.
$

*2. Представления в специальной теории относительности (СТО)*

- *Пространство и время* — взаимосвязанные, образуют единое *пространственно-временное континуум* (4-мерное пространство Минковского).
- *Время не абсолютно*: интервалы времени зависят от движения наблюдателя (эффект замедления времени).
- *Пространство не абсолютно*: длины зависят от движения (эффект сокращения длин).
- Законы природы инвариантны относительно *преобразований Лоренца*, а не Галилея:

$
x' = gamma (x - v t), space.quad t' = gamma (t - frac(v x, c^2)), space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2))).
$

*3. Сравнение*

#table(columns: 3)[*Характеристика*][*Классическая механика (Ньютон)*][*СТО (Эйнштейн)*][Пространство][Абсолютное, одинаковое для всех][Относительно, зависит от системы отсчёта][Время][Абсолютное, одинаково для всех][Относительно, зависит от движения][Связь][Независимы друг от друга][Единый континуум «пространство–время»][Преобразования][Галилея][Лоренца][Предельная скорость][Не ограничена][Существует предел — скорость света $c$]

#line(length: 100%)

*Q:* _*2.* Сформулируйте первый и второй постулаты Эйнштейна. Как эти постулаты подтверждаются преобразованиями Лоренца? Как связаны между собой эти преобразования с преобразованиями Галилея?_

*A:* *1. Постулаты Эйнштейна (специальная теория относительности)*

1. *Принцип относительности*
   Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
   → Ни одна ИСО не является «привилегированной».

2. *Постулат постоянства скорости света*
   Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчёта и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя:

$
c = "const".
$

*2. Как эти постулаты связаны с преобразованиями Лоренца*

- *Принцип относительности* → преобразования координат должны обеспечивать одинаковый вид физических законов (например, уравнений Максвелла) во всех ИСО.
- *Постоянство скорости света* → в любых ИСО световой фронт подчиняется уравнению:

$
x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2.
$

Чтобы это условие сохранялось, преобразования между системами должны быть *именно преобразованиями Лоренца*:

$
x' &= gamma(x - v t), \
y' &= y, \
z' &= z, \
t' &= gamma (t - frac(v x, c^2)), space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2))).
$

*3. Связь преобразований Лоренца и Галилея*

- При малых скоростях $v << c$:

$
gamma approx 1, space.quad t' approx t,
$

и преобразования Лоренца переходят в *преобразования Галилея*:

$
x' = x - v t, space.quad y' = y, space.quad z' = z, space.quad t' = t.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*3*. Времениподобным или пространственноподобным является интервал между стартом и возвращением космического корабля?_

*A:* *1. Интервал в СТО*

Интервал между событиями в пространстве-времени:

$
s^2 = c^2 Delta t^2 - Delta r^2,
$

где $Delta t$ — разность времен, $Delta r$ — пространственное расстояние между событиями.

- Если $s^2 > 0$ → интервал *времениподобный* (события можно связать причинно).
- Если $s^2 < 0$ → интервал *пространственноподобный* (события нельзя связать сигналом со скоростью ≤ c).
- Если $s^2 = 0$ → интервал *светоподобный*.

*2. События: старт и возвращение корабля*

- Пространственные координаты *совпадают* (старт и возвращение происходят в одной точке, например, на Земле):

$
Delta r = 0.
$
- Временной интервал $Delta t > 0$.

Тогда:

$
s^2 = c^2 Delta t^2 > 0.
$

#line(length: 100%)

*Q:* _*4*. Предположим, что скорость света стала бесконечно большой. Что произошло бы при этом с предсказаниями теории относительности по поводу сокращения длины и замедления времени?_

*A:* *1. Напомним эффекты СТО*

- *Замедление времени:*

$
Delta t' = gamma Delta t, space.quad gamma = frac(1, sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))
$

- *Сокращение длины:*

$
L' = frac(L, gamma).
$

*2. Пусть $c arrow infinity$*

- Тогда $frac(v^2, c^2) arrow 0$.
- Следовательно:

$
gamma arrow 1.
$

*3. Последствия*

- *Замедление времени исчезает:*
  $Delta t' = Delta t$. Время становится абсолютным.
- *Сокращение длины исчезает:*
  $L' = L$. Пространство становится абсолютным.

#line(length: 100%)

*Q:* _*5*. Какие вам известны величины, сохраняющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?_

*A:* *Сохраняющиеся величины при переходе от одной ИСО к другой*

При преобразованиях Лоренца (или Галилея в классическом пределе) *формы законов физики* и некоторые физические величины остаются неизменными.

1. *В классической механике (преобразования Галилея):*

- *Время*: $t' = t$.
- *Масса*: постоянна и не зависит от скорости.
- *Расстояния между точками в один и тот же момент времени* (в пределах абсолютного пространства).
- *Импульс и энергия* сохраняются в замкнутых системах при любых переходах.

2. *В специальной теории относительности (преобразования Лоренца):*

- *Интервал в пространстве-времени*:

$
s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2
$
- *Скорость света* $c$.
- *Собственное время* между событиями на мировой линии.
- *Собственная длина* (в системе, связанной с телом).
- *Масса покоя* частицы.
- *Законы сохранения энергии, импульса и заряда*.

#line(length: 100%)

*Q:* _*6*. Две частицы удаляются в противоположные стороны от некоторого наблюдателя со скоростью $v = 3/5 "с"$ каждая. Каков модуль их относительной скорости?_

*A:* Ответ: $u_"отн" = frac(15, 17)c approx 0.882 "c".$

Пояснение: скорости вдоль одной прямой составляются по СТО:

$
u_"отн" = frac(u + v, 1 + frac(u v, c^2)).
$

Здесь $u = v = frac(3, 5)c$ (в противоположные стороны относительно наблюдателя), поэтому

$
u_"отн" = frac(3/5 "c" + 3/5 "c", 1 + (3/5 "c")^2/("c"^2)) = frac(6/5 "c", 1 + 9/25) = frac(6/5 "c", 34/25) = frac(15, 17)"c" approx 0.882"c".
$

(Классическое сложение дало бы $>c$, что неверно.)


#line(length: 100%)

*Q:* _*7*. Полная энергия релятивистской частицы в 𝑛 раз превышает ее энергию покоя. Каково отношение модуля импульса частицы к произведению ее массы на скорость света $p/(m c)$._

*A:* 

$
frac(p, m c) = sqrt(n^2 - 1).
$

Обоснование: $E = n m c^2$, а $E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2$ ⇒ $(p c)^2 = (n^2 - 1)(m c^2)^2$ ⇒ $p=m c sqrt(n^2 - 1)$.


#line(length: 100%)

*Q:* _*8*. Чему равна производная энергии релятивистской частицы по ее импульсу $frac(diff E, diff p)$?_

*A:* $frac(d E, d p) = frac(p c^2, E) = v.$

Вывод: $E = sqrt((p c)^2 + (m c^2)^2) arrow.double frac(d E, d p) = frac(p c^2, sqrt((p c)^2 + (m c^2)^2))$. С учётом $v = frac(p c^2, E)$ получаем $frac(d E, d p) = v$.


#line(length: 100%)

*Q:* _*9*. К телу массой $m$ в течение бесконечного периода времени приложена постоянная сила. Как изменяются со временем скорость и импульс этого тела?_

*A:* Зависит от рамки (классика vs СТО).

Классическая механика (Ньютон)

$
arrow(F)="const" arrow.double 
arrow(p)(t)= arrow(p)_0 + arrow(F)t, space.quad
arrow(v)(t)= arrow(v)_0 + frac(arrow(F), m)t.
$

И импульс, и скорость растут линейно (без ограничения).

Специальная теория относительности

$
frac(d arrow(p), d t)=arrow(F) arrow.double arrow(p)(t) = arrow(p)_0 + arrow(F)t
$

$
arrow(v)(t) = frac(arrow(p) c^2, E) = frac(arrow(p)(t)c, sqrt(arrow(p)(t)^2 + (m c)^2)).
$

Импульс растёт линейно, а скорость *монотонно приближается к $c$* и никогда его не достигает.


#line(length: 100%)

*Q:* _*10*. Релятивистская частица движется со скоростью, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя. Какую долю составляет ее скорость от скорости света в вакууме?_

*A:* Когда $K = E_0$, то $gamma - 1 = 1 arrow.double gamma = 2$.

$
gamma = frac(1, sqrt(1 - beta^2))=2 arrow.double 1 - beta^2 = 1/4 arrow.double beta = sqrt(3/4) = frac(sqrt(3), 2) approx 0.866.
$

Ответ: $v approx 0.866 "c"$.