#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx
#set text(size: 1.3em)
#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(left)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
})

#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 70pt)[#text(size: 0.7em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#image("assets/1.svg")]

#line(length: 100%)

#align(center)[
  #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
    #align(left)[Группа: _К3221_]
  ][
    #align(left)[К работе допущен: ]
  ][
    #align(left)[Студент: _Дощенников Никита_]
  ][
    #align(left)[Работа выполнена: ]
  ][
    #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
  ][
    #align(left)[Отчет принят: ]
  ]
]

#align(center)[= Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №3.01]

#line(length: 100%)
#line(length: 100%)

=== 1. Цель работы.

Построение сечений эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля на основе экспериментального моделирования распределения потенциала в слабопроводящей среде.

=== 2. Задачи, решаемые при выполнении работы.

- Экспериментально построить сечения эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля для плоского конденсатора и поскости с дополнительным проводящим кольцом.

- Измерить распределение потенциала в слабопроводящей среде и по данным построить эквипотенциальные линии.

- По свойству ортогональности эквипотенциалей и линий напряжённости построить картину силовых линий и указать их направление.

- Рассчитать величины напряжённости поля в центре ванны и вблизи электрода.

- По данным измерений оценить поверхностную плотность зарядов на электродах.

- Для эксперимента с кольцом определить области минимальной и максимальной напряжённости и оценить $E_min$ и $E_max$.

- Построить и сравнить графики $phi(X)$ для горизонтали $Y = 10 "см"$ для двух экспериментов.

=== 3. Объект исследования.

Электростатическое поле между двумя плоскими электродами в однородной слабопроводящей среде и изменение распределения потенциала при установке в ванну проводящего кольца.

=== 4. Метод экспериментального исследования.

Моделирование электростатического поля в слабопроводящей среде с использованием двух плоских электродов, подключённых к генератору переменного напряжения. Потенциал внутри ванны измеряют зондом, подключённым к вольтметру. По набору точечных измерений потенциала строят эквипотенциальные линии, затем по ортогональности строят силовые линии.

=== 5. Рабочие формулы и исходные данные.

#align(center)[
  #table(columns: 2, inset: 15pt)[*Формула*][*Пояснения*][$arrow(E)(arrow(r)) = frac(arrow(F)(arrow(r)), q)$][Вектор напряженности электрического поля. $arrow(F)$ - сила, действующая на неподвижный заряд $q$, помещенный в данную точку. Заряд $q$ - пробный. $arrow(r)$ - радиус-вектор точки.][$phi(arrow(r)) = frac(W_"П" (arrow(r)), q)$][Потенициал в данном точке поля. $W_"П"$ - потенциальная энергия заряда $q$, помещенного в данную точку.][$A_(12) = q(phi_1 - phi_2)$.][Работа сил электростатического поля над зарядом $q$ при его перемещении из точки с потенциалом $phi_1$ в точку с потенциалом $phi_2$.][$arrow(E) = -"grad" phi eq.triple -arrow(gradient) phi \ phi_2 - phi_1 = -integral_1^2 arrow(E) space d arrow(l)$][Связь напряженности и потенциала электростатического поля.][$arrow(gradient) phi = hat(e)_x frac(diff phi, diff x) + hat(e)_y frac(diff phi, diff y) + hat(e)_z frac(diff phi, diff z)$][Вектор градиента потенциала. $x, y, z$ - декартовы координаты. $hat(e)_x, hat(e)_y, hat(e)_z$ - единичные вектора положительных направлений (орты) координатных осей $O x, O y, O z$][$angle.l E_(12) angle.r approx.eq frac(phi_1 - phi_2, l_(12))$][Средняя напряженность между точками на одной силовой линии с потенциалами $phi_1$ и $phi_2$, где $l_(12)$ - длина участка силовой линии между точками.][$arrow(j) = sigma arrow(E)$][Закон Ома в дифференциальной форме, где $arrow(j)$ - вектор плотности тока в проводящей среде, $sigma$ - удельная электропроводность среды.][$arrow(gradient) dot arrow(j) eq.triple "div" arrow(j) = frac(diff j_x, diff x) + frac(diff j_y, diff y) + frac(diff j_z, diff z) = -frac(diff rho, diff t)$][Плотность тока в любой проводащей среде удовлетворяет уравнению неразрывности. $rho$ - объемная плотность заряда. Для стационарного тока $rho = "const", space frac(diff rho, diff t) = 0$ и в этом случае $arrow(gradient) dot arrow(j) = 0$.][$sigma(arrow(gradient) dot arrow(E)) = 0 arrow.double arrow(gradient) dot arrow(E) = 0$][Следует из однородности $sigma$.][$"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$][Получено путем применения к $arrow(j) = sigma arrow(E)$ операцию нахождения ротора и учитывая безвихревой характер постоянного тока.][$arrow(gradient) times arrow(E) = 0$][Подставили $arrow(j) = sigma arrow(E)$ в $"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$]
]

Исходные данные: 

- Межэлектродная установленная амплитуда напряжения $U = 14 "В"$.

- Частота переменного напряжения генератора $f = 400 plus.minus 50 "Гц"$

- Диапазон вольтметра $0 div 20 "В"$.

- Координатная сетка на миллиметровой бумаге шаги по $Y$ используются: $2, 6, 10, 14, 18 "см"$; при конфигурации с кольцом рекомендуется уменьшить шаг потенциала и шаг $Y$ рядом с кольцом до $1–2 "см"$.

- Шаг изменения потенциала для первого эксперимента $delta phi = 2 "В"$
- Для эксперимента с кольцом $Delta phi = 1 "В"$

- Погрешности измерения координат $Delta X = plus.minus 1 "мм", Delta Y = plus.minus 0.5 "мм"$.

=== 6. Измерительные приборы

#table(columns: 5)[№ п/п][Наименование][Тип прибора][Используемый диапазон][Погрешность прибора][1][Вольтметр][AB1][0-20 В][$plus.minus 0.5 %$][2][Амперметр][AB1][0-5 А][$plus.minus 1.0% $][3][Резистор][ГН1][0-10 к$Omega$][$plus.minus 5%$]

=== 7. Схема установки (перечень схем, которые составляют Приложение 1).

=== 8. Результаты прямых измерений.

Без диска.

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 9,
      [*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*],

      rowspanx(5)[*$1.89$*], $2.0$, $2$, rowspanx(5)[*$3.89$*], [$6.8$], [$2$], rowspanx(5)[*$5.89$*], [$11.8$], [$2$],

      (), [$2.5$], [$6$], (), [$6.8$], [$6$], (), [$12.2$], [$6$],

      (), [$2.8$], [$10$], (), [$7.0$], [$10$], (), [$12.5$], [$10$],

      (), [$2.7$], [$14$], (), [$6.9$], [$14$], (), [$12.8$], [$14$],

      (), [$2.0$], [$18$], (), [$7.2$], [$18$], (), [$12.6$], [$18$]
      
    )
]

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 9,
      [*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*], [*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*],

      rowspanx(5)[*$7.89$*], [$16.7$], [$2$], rowspanx(5)[*$9.89$*], [$21.3$], [$2$], rowspanx(5)[*$11.89$*], [$26.1$], [$2$],

      (), [$16.8$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$25.7$], [$6$],

      (), [$16.5$], [$10$], (), [$21.3$], [$10$], (), [$25.6$], [$10$],

      (), [$16.3$], [$14$], (), [$21.1$], [$14$], (), [$25.7$], [$14$],

      (), [$16.3$], [$18$], (), [$21.0$], [$18$], (), [$26.0$], [$18$]  
    )
]

С диском.

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 12,
      [*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*], [*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*],

      rowspanx(9)[*$2.4$*], [$2.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$3.4$*], [$4.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$4.4$*], [$6.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$5.4$*], [$8.4$], [$2$],

      (), [$2.1$], [$4$], (), [$4.0$], [$4$], (), [$5.9$], [$4$], (), [$7.8$], [$4$],

      (), [$2.6$], [$6$], (), [$4.1$], [$6$], (), [$5.9$], [$6$], (), [$7.4$], [$6$],

      (), [$2.8$], [$8$], (), [$4.0$], [$8$], (), [$5.5$], [$8$], (), [$7.2$], [$8$],

      (), [$3.0$], [$10$], (), [$4.2$], [$10$], (), [$5.8$], [$10$], (), [$7.2$], [$10$],

      (), [$2.8$], [$12$], (), [$4.2$], [$12$], (), [$5.7$], [$12$], (), [$7.7$], [$12$],

      (), [$3.1$], [$14$], (), [$4.6$], [$14$], (), [$6.3$], [$14$], (), [$8.2$], [$14$],

      (), [$2.7$], [$16$], (), [$4.5$], [$16$], (), [$7.0$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$2.8$], [$18$], (), [$4.8$], [$18$], (), [$7.5$], [$18$], (), [$9.8$], [$18$]
    )
]

#pagebreak()

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 12,
      [*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*], [*$phi_7$*], [*$X_7$*], [*$Y_7$*], [*$phi_8$*], [*$X_8$*], [*$Y_8$*],

      rowspanx(9)[*$6.4$*], [$11.2$], [$2$], rowspanx(9)[*$7.4$*], [$16.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$8.4$*], [$19.8$], [$2$], rowspanx(9)[*$9.4$*], [$22.2$], [$2$],

      (), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$], (), [$20.3$], [$4$], (), [$-$], [$4$],

      (), [$9.0$], [$6$], (), [$-$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$22.8$], [$6$],

      (), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$], (), [$21.7$], [$8$], (), [$-$], [$8$],

      (), [$8.8$], [$10$], (), [$-$], [$10$], (), [$21.8$], [$10$], (), [$22.9$], [$10$],

      (), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$], (), [$21.3$], [$12$], (), [$-$], [$12$],

      (), [$11.0$], [$14$], (), [$-$], [$14$], (), [$20.7$], [$14$], (), [$22.5$], [$14$],

      (), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$], (), [$19.7$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$12.3$], [$18$], (), [$15.5$], [$18$], (), [$18.0$], [$18$], (), [$21.7$], [$18$]
    )
]

#align(center)[
    #tablex(
      columns: 6,
      [*$phi_9$*], [*$X_9$*], [*$Y_9$*], [*$phi_10$*], [*$X_10$*], [*$Y_10$*],

      rowspanx(9)[*$10.4$*], [$24.5$], [$2$], rowspanx(9)[*$11.4$*], [$26.7$], [$2$],

      (), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$],

      (), [$24.4$], [$6$], (), [$26.2$], [$6$],

      (), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$],

      (), [$24.6$], [$10$], (), [$26.2$], [$10$],

      (), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$],

      (), [$24.2$], [$14$], (), [$26.0$], [$14$],

      (), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$],

      (), [$23.9$], [$18$], (), [$26.1$], [$18$],
    )
]

=== 9. Построение эквипотенциальных линий.

Сначала точки с миллиметровой бумаги были перенесены в компьютер при помощи программы в Приложении.

#align(center)[#image("assets/1.png")]
#align(center)[#image("assets/2.png")]

Затем я соединил их эквипотенциальными линиями.

#align(center)[#image("assets/3.png")]
#align(center)[#image("assets/4.png")]

После, я добавил систему линий поля: 

#align(center)[#image("assets/5.png")]
#align(center)[#image("assets/6.png")]

=== 10. Расчет величины напряженности.

Напряженность в центре ванны и поверхностная плотность заряда.

По формуле $angle.l E_(12) angle.r approx.eq frac(phi_1 - phi_2, l_(12))$ величина напряженности в центре электролитической ванны между линиями с $phi = 5.89 " и " phi = 7.89$: 

При $y = 10 "см"$: $phi_4 = 5.89 "В"$ при $x = 12.5 "см"$; $phi_5 = 7.89 "В"$ при $x = 16.5 "см"$.

$
angle.l E_"ц" angle.r approx frac(phi_5 - phi_4, l_(45)) = frac(7.89 - 5.89, (165 - 125) times 10^(-3)) = 50.0 "В/м"
$

В окрестности одного из электродов

Аналогично в окрестности правого электрода между линиями с $phi = 9.89$ и $phi = 11.89$

Смотрим точки при $y = 10 "см"$: $phi = 9.89 "В"$ при $x = 21.3 "см"$; $phi = 11.89 "В"$ при $x = 25.6 "см"$.

$
angle.l E_"э" angle.r approx frac(11.89 - 9.89, (256 - 213) times 10^(-3)) = 46.5 "В/м"
$

Поверхностная плотность

Правый электрод находится при $X = 30 "см"$ с потенциалом $phi = 14 "В"$.

Ближайшая измеренная точка: $phi = 11.89 "В"$ при $x = 25.6 "см"$

По нормали к электроду:

$
Delta phi = 14 - 11.89 = 2.11 "В" \
Delta l_n = (300 - 256) times 10^(-3) = 44 × 10^(-3) "м"
$

$
sigma' = -frac(epsilon - 1, epsilon) sigma
$

Возьмём $epsilon = 79$. Тогда множитель
$
frac(epsilon - 1, epsilon) = frac(79-1, 79) = frac(78, 79) approx 0.987341772.
$

Следовательно
$
sigma' approx -0.987342 sigma
$

Если учитывать максимальное значение $epsilon = 81$:

$
frac(80, 81) approx 0.987654321 space.quad arrow.double space.quad sigma' approx -0.987654 sigma.
$


=== 12. Нахождение $E_min$ и $E_max$.

Между $phi = 8.4$ и $phi = 9.4$ справа от кольца.

$
Delta x = 1.1 "см" = 0.011 "м"
$

$
E = frac(1.0, 0.011) = 90.9 "В/м"
$

$
E_max = 91 "В/м", space (22.4, 10)
$

Между $φ = 6.4$ и $φ = 8.4$
Путь $approx 6 "см" = 0.06 "м"$

$
E = frac(2.0, 0.06) = 33.3 "В/м"
$

$
E_min = 33 "В/м", space (15, 9)
$

Точки $E_min$ и $E_max$:

#align(center)[#image("assets/7.png")]

=== 13. Построение графика $phi = phi(x), space y = 10 "см"$.

#align(center)[#image("assets/8.png")]

=== 14. Вывод.

В ходе работы экспериментально построены эквипотенциальные линии и силовые линии поля для двух конфигураций — без кольца и с кольцом.

В центре ванны напряжённость составила $E_"ц" approx 50 "В/м"$, у правого электрода — $E_"э" approx 46.5 "В/м"$.

Для системы с кольцом найдены:
$E_max approx 91 "В/м"$ и $E_"min" approx 33 "В/м"$.

Поверхностная плотность наведённого заряда определяется как $sigma' = -frac(epsilon-1, epsilon) sigma approx -0.987 sigma$ при $epsilon = 79$, что показывает почти полное экранирование поля водой.