upd

pracs/prac5/ans.typ

@@ -11,7 +11,7 @@
 
 #align(center)[=== _Полная вероятность._]
 
-_2. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на І-ом заводе, 15% — на ІІ-ом, остальные — на ІІІ-ем заводе. Вероятности того, что телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы._
+_2. $45%$ телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на $І$-ом заводе, $15%$ — на $І І$-ом, остальные — на $І І І$-ем заводе. Вероятности того, что телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны $0.96$; $0.84$; $0.9$ соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы._
 
 *Решение*: Пусть событие $A$ - телевизор выдержит гарантию. $B_i$ - сделан на заводе $i in {I, I I, I I I}$.
 
@@ -33,7 +33,7 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 
-_3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,25% брака, второй — 0,4%, третий — 0,6%. Какова вероятность попадания на сборку доброкачественной детали, если с первого автомата поступило 2000, со второго — 1500 и с третьего — 1300 деталей?_
+_3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает $0.25%$ брака, второй — $0.4%$, третий — $0.6%$. Какова вероятность попадания на сборку доброкачественной детали, если с первого автомата поступило $2000$, со второго — $1500$ и с третьего — $1300$ деталей?_
 
 *Решение*: Пусть $G$ - событие "деталь годная", $B_i$ - автомат $i$. Поступило $N_1 = 2000, space N_2 = 1500, space N_3 = 1300, space N = 4800$, доля брака $q_1 = 0.0025, space q_2 = 0.004, space q_3 = 0.006$, доля годных $p_1 = 0.9975, space p_2 = 0.996, space p_3 = 0.994$.
 
@@ -77,7 +77,7 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 
-_4. Вероятность того, что контрольную работу с первого раза напишет отличник, равна 0,9; хорошист – 0,7; троечник – 0,4. Найти вероятность того, что наудачу выбранный ученик напишет контрольную работу, если соотношение отличников, хорошистов и троечников в классе 1:3:5._
+_4. Вероятность того, что контрольную работу с первого раза напишет отличник, равна $0.9$; хорошист – $0.7$; троечник – $0.4$. Найти вероятность того, что наудачу выбранный ученик напишет контрольную работу, если соотношение отличников, хорошистов и троечников в классе $1:3:5$._
 
 *Решение*: Пусть событие $A$ - ученик напишет контрольную с первого раза. Категории $B_1$ - отличник, $B_2$ - хорошист, $B_3$ - троечник. Условные вероятности $P(A | B_1) = 0.9, space P(A | B_2) = 0.7, space P(A | B_3) 0.4$. Соотношение в классе $1 : 3 : 5$. Сумма долей $1 + 3 + 5 = 9$, значит 
 
@@ -95,7 +95,7 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 
-_5. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?_
+_5. Студент знает $24$ билета из $30$. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?_
 
 *Решение*: Если идти первым, то вероятность "счастливого" билета равна:
 
@@ -125,23 +125,23 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 
-_6. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 1 до 9, во второй от 10 до 20 и в третьей от 21 до 30. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер делится на 3?_
+_6. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от $1$ до $9$, во второй от $10$ до $20$ и в третьей от $21$ до $30$. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер делится на $3$?_
 
 *Решение*: три урны выбираются равновероятно, затем из каждой берется случайный шар. Пусть $U_1$ - урна с числами $1, dots, 9$, $U_2$ - урна с числами $10, dots, 20$, $U_3$ урна с числами $21, dots, 30$. $A$ - событие "номер делится на 3".
 
-В $U_1$: кратные 3 - 3, 6, 9, то есть $3/9 = 1/3$:
+В $U_1$: кратные $3$ - $3$, $6$, $9$, то есть $3/9 = 1/3$:
 
 $
 P(A | U_1) = 3/9 = 1/3
 $
 
-В $U_2$: кратные 3 - 12, 15, 18, то есть $3/11$:
+В $U_2$: кратные $3$ - $12$, $15$, $18$, то есть $3/11$:
 
 $
 P(A | U_2) = 3/11
 $
 
-В $U_3$: кратные 3 - 21, 24, 27, 30, то есть $4/10 = 2/5$:
+В $U_3$: кратные $3$ - $21$, $24$, $27$, $30$, то есть $4/10 = 2/5$:
 
 $
 P(A | U_3) = 4/10 = 2/5
@@ -157,43 +157,290 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 
-_7. Из ящика, содержащего 4 белых и 6 черных шаров, утеряно два шара. Какова вероятность извлечь после этого два шара черного цвета?_
+_7. Из ящика, содержащего $4$ белых и $6$ черных шаров, утеряно два шара. Какова вероятность извлечь после этого два шара черного цвета?_
+
+*Решение*: Представим, что все $10$ шаров перемешали, и первые $2$ утеряны. В случайной перестановке любой набор из двух позиций равновероятно сожержит любую пару шаров. Значит вероятность того, что именно позиции $3$ и $4$ окажутся черными - такая же, как если бы мы просто сразу вытащили $2$ шара из $10$ без всяких потерь.
+
+Получим: 
+
+$
+P("оба черные") = frac(C^2_6, C^2_(10)) = frac(15, 45) = 1/3
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 0pt, y: 4pt))[$1/3$]
 
 #line(length: 100%)
 
-_8. В первом ящике 5 белых и 5 черных шаров, а во втором – 4 белых и 4 черных шара. Из первого во второй перекладывают 2 шара. Определить вероятность извлечения белого шара из второго ящика._
+_8. В первом ящике $5$ белых и $5$ черных шаров, а во втором – $4$ белых и $4$ черных шара. Из первого во второй перекладывают $2$ шара. Определить вероятность извлечения белого шара из второго ящика._
+
+*Решение*: Пусть $K$ число белых шаров, переложенных из первого ящика во второй ($K in {0, 1, 2}$).
+
+В первом ящике изначально $5$ белых и $5$ черных, перекладываем $2$ шара: 
+
+$
+P(K = 0) = frac(C^0_5 C^2_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9, \
+P(K = 1) = frac(C^1_5 C^1_5, C^2_(10)) = frac(25, 45) = 5/9, \
+P(K = 2) = frac(C^2_5 C^0_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9
+$
+
+Во втором ящике было $4$ белых и $4$ черных. После перекладки там становится $8 + 2 = 10$ шаров, из них белых $4 + K$. При случайном вытягивании шара из второго ящика:
+
+$
+P("белый" | K) = frac(4 + K, 10)
+$
+
+По формуле полной вероятности:
+
+$
+P("белый") = sum_(k = 0)^2 P(K = k) frac(4 + k, 10) = frac(1, 10)(2/9 dot 4 + 5/9 dot 5 + 2/9 dot 6) = \
+= frac(1, 10) dot frac(8 + 25 + 12, 9) = frac(1, 10) dot frac(45, 9) = 1/2
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x:2pt, y: 4pt))[$1/2$]
 
 #line(length: 100%)
 
-_9. Три стрелка случайным образом распределяют между собой 3 заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями $1/2$, $3/4$ и $7/8$ соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?_
+_9. Три стрелка случайным образом распределяют между собой $3$ заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями $1/2$, $3/4$ и $7/8$ соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?_
+
+*Решение*: Пусть есть $3$ стрелка: $S_1, S_2, S_3$. Они имеют вероятности попадания $p_1 = 1/2, space p_2 = 3/4 space p_3 = 7/8$. Есть $3$ заряда, из них $2$ боевых и $1$ холостой. Заряды случайно распределяются между стрелками: это то же самое, что случайно выбрать, кто получит холостой. Все $3$ варианта равновероятны. 
+
+Рассмотрим все случаи: 
+
+1) Холостой у $S_1$, стреляют $S_2, S_3$.
+
+Вероятность хотя бы одного попадания:
+
+$
+1 - (1 - p_2)(1 - p_3) = 1 - (1/4)(1/8) = 1 - 1/(32) = (31)/(32)
+$
+
+2) Холостой у $S_2$, стреляют $S_1, S_3$. 
+
+$
+1 - (1 - p_1)(1 - p_3) = 1 - (1/2)(1/8) = 1 - 1/(16) = (15)/(16)
+$
+
+3) Холостой у $S_3$, стреляют $S_1, S_2$.
+
+$
+1 - (1 - p_1)(1 - p_2) = 1 - (1/2)(1/4) = 1 - 1/8 = 7/8
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P("хотя бы одно попадание") = 1/3 ( (31)/(32) + (15)/(16) + 7/8 ) = 0.9271
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.9271$]
 
 #line(length: 100%)
 
-_10. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для первого стрелка 0,5, а для второго — 0,6. Вероятность попадания в выбранную мишень для каждого стрелка равна 0,8 и 0,9 соответственно. Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?_
+_10. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для первого стрелка $0.5$, а для второго — $0.6$. Вероятность попадания в выбранную мишень для каждого стрелка равна $0.8$ и $0.9$ соответственно. Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?_
+
+*Решение*: Пусть $H_"2,1"$ - первый стрелок попал во вторую мишень, $H_"2,2"$ - второй стрелок попал во вторую мишень. Искомое событие: ровно одно попадание во вторую мишень - это 
+
+$
+(H_"2,1" inter overline(H_"2,2")) union (overline(H_"2,1") inter H_"2,2")
+$
+
+а события для разных стрелков независимы. 
+
+2. Вероятность попасть именно во вторую мишень для каждого: 
+
+Первый выбирает вторую с вероятностью $0.5$ и, выбрав её, попадает с $0.8$:
+
+$
+P(H_"2,1") = 0.5 dot 0.8 = 0.4
+$
+
+Второй выбирает вторую с вероятностью $0.4$ (потому что первую он выбирает $0.6$) и попадает с $0.9$:
+
+$
+P(H_"2,2") = 0.4 dot 0.9 = 0.36
+$
+
+Тогда 
+
+$
+P("ровно одно попадание во 2-ю") = P(H_"2,1")(1 - P(H_"2,1"))P(H_"2,2") = \
+= 0.4 dot (1 - 0.36) + (1 - 0.4) dot 0.36 = frac(59, 125)
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.472$]
 
 #align(center)[=== _Формула Байеса._]
 
-_11. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина._
+_11. Предположим, что $5%$ мужчин и $0.25%$ женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина._
+
+*Решение*: Пусть $M$ - человек - мужчина, $W$ - человек - женщина, $D$ - человек - дальтоник. Тогда: 
+
+$
+P(M) = P(W) = 1/2, space.quad P(D | M) = 0.05 space.quad P(D | W) = 0.0025 
+$
+
+По Байесу: 
+
+$
+P(M | D) = frac(P(M)P(D | M), P(M)P(D | M) + P(W)P(D | W)) = \
+= frac(1/2 dot 0.05, 1/2 dot 0.05 + 1/2 dot 0.0025) = 0.95238
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.95238$]
 
 #line(length: 100%)
 
 _12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, подготовленный хорошо— на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: a. отлично; b. плохо._
 
+В группе 10 студентов: 3 - "отлично", 4 - "хорошо", 2 - "посредственно", 1 - "плохо". Это априорные вероятности выбора студента: 
+
+$
+P(O) = frac(3, 10), space.quad P(H) = frac(4, 10) space.quad P(M) = frac(2, 10), space.quad P(P) = frac(1, 10)
+$
+
+Из $20$ экзаменационных вопросов студент "знает" $k$ штук:
+
+$
+k_O = 20, space.quad k_H = 16, space.quad k_M = 10, space.quad k_P = 5  
+$
+
+Экзаменатор задает 3 вопроса наугад (без возвращения) из $20$. Студент "ответил на 3 вопроса" = ответил на все 3 заданных.
+
+Если студент знает $k$ из 20, то вероятность, что все 3 заданных попадут в известные, равна 
+
+$
+P("ответил 3" | k) = frac(C^3_k, C_(20)^3)
+$
+
+Подставляем: 
+
+$
+C_(20)^3 = 1140, \
+P("ответил 3" | O) = 1, \
+P("ответил 3" | H) = frac(C_(16)^3, 1140) = frac(560, 1140) = frac(28, 57) \
+P("ответил 3" | M) = frac(C_(10)^3, 1140) = frac(120, 1140) = frac(2, 19) \
+P("ответил 3" | P) = frac(C_5^3, 1140) = frac(10, 1140) = frac(1, 114)
+$
+
+Ненормированные веса
+
+$
+w_O = P(O)P("ответил 3" | O) = frac(3, 10), \
+w_H = 4/(10) dot (28)/(57) = (56)/(285), \
+w_M = 2/(10) dot 2/(19) = 2/(95)
+w_P = 1/(10) dot 1/(114) = 1/(1140)
+$
+
+Сумма весов: 
+
+$
+W = w_O + w_H + w_M + w_P = frac(197, 380).
+$
+
+Апостериорные вероятности (делим каждый вес на $W$): 
+
+$
+P(O | "ответил 3") = frac(w_O, W) = frac(114, 197) approx 0.579, \
+P(H | "ответил 3") = frac(w_H, W) = frac(224, 591) approx 0.379, \
+P(M | "ответил 3") = frac(w_M, W) = frac(8, 197) approx 0.041,   \
+P(P | "ответил 3") = frac(w_P, W) = frac(1, 591) approx 0.00169.
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$"a) " frac(114, 197) = 0.579; " b) " frac(1, 591) approx 0.00169$]
+
 #line(length: 100%)
 
 _13. Из четырех игральных костей одна фальшивая — на ней 6 очков выпадает с вероятностью $1/3$. При бросании случайно выбранной кости выпала шестерка. Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?_
 
+*Решение*: Пусть $F$ - выбрана фальшивая кость, $N$ - выбрана нормальная кость, $S$ - выпала шестерка. 
+
+Дано: 
+
+$
+P(F) = 1/4, space.quad P(N) = 3/4
+$
+
+Вероятности выпадения шестерки: 
+
+$
+P(S | F) = 1/3, space.quad P(S | N) = 1/6
+$
+
+По формуле общей вероятности: 
+
+$
+P(S) = P(F)P(S | F) + P(N)P(S | N) = 1/4 dot 1/3 + 3/4 dot 1/6
+$
+
+Вычислим:
+
+$
+P(S) = 1/(12) + 3/(24) = 1/(12) + 1/8 = 5/(24)
+$
+
+По формуле Байеса: 
+
+$
+P(F | S) = frac(P(F)P(S | F), P(S)) = frac(1/4 dot 1/3, 5/(24)) = 0.4 
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.4$]
+
 #line(length: 100%)
 
 _14. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, и счет в игре равен количеству выпавших очков. В другой игре используются две игральные кости, и счет в игре равен сумме выпавших очков. Вы слышите, что выпало 4 очка. В какую игру вероятнее всего играли?_
 
+*Решение*: Пусть $G_1$ - игра с одной костью, $G_2$ - с двумя. Приоры равны: $P(G_1) = P(G_2) = 1/2$, $S$ - счет равен $4$.
+
+Если $G_1$: $P(S | G_1) = P("выпало 4 на d6") = 1/6$.
+Если $G_2$: $P(S | G_2) = P("сумма 2d6 = 4") = 3/(36) = 1/(12)$.
+
+$
+P(G_1 | S) prop 1/2 dot 1/6 = 1/(12), space.quad P(G_2 | S) prop 1/2 dot 1/(12) = 1/(24)
+$
+
+Нормируем: 
+
+$
+P(G_1 | S) = frac(1/(12), 1/(12) + 1/(24)) = 2/3, space.quad P(G_2 | S) = frac(1/(24), 1/(12) + 1/(24)) = 1/3.
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[С вероятностью $2/3$ играли одной костью, а двумя - $1/3$]
+
 #align(center)[=== _Домашняя работа._]
 
-_1. Из 1000 ламп 100 принадлежит первой партии, 250 — второй и остальные — третьей партии. В первой партии 6% , во второй — 5%, в третьей — 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?_
+_1. Из $1000$ ламп $100$ принадлежит первой партии, $250$ — второй и остальные — третьей партии. В первой партии $6%$ , во второй — $5%$, в третьей — $4%$ бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?_
+
+*Решение*: Пусть $B$ - лампа бракована. $P_1, P_2, P_3$ - лампа из $1$-й, $2$-й, $3$-й партии. 
+
+Тогда: 
+
+$
+P(P_1) = frac(100, 1000) = 0.1, space.quad P(P_2) = frac(250, 1000) = 0.25, space.quad P(P_3) = frac(650, 1000) = 0.65
+$
+
+$
+P(B | P_1) = 0.06, space.quad P(B | P_2) = 0.05, space.quad P(B | P_3) = 0.04
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P(B) = sum_(i = 1)^3 P(P_i)P(B | P_i) = \
+= 0.1 dot 0.06 + 0.25 dot 0.05 + 0.65 dot 0.04 = frac(89, 2000)
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$(89)/(2000)$]
 
 #line(length: 100%)
 
-_2. Автомобиль на перекрестке может поехать прямо, а может свернуть направо или налево. Вероятность попадания в «пробку» при проезде прямо равна 0,5; направо – 0,3; налево – 0,2. Определить вероятность беспрепятственного проезда._
+_2. Автомобиль на перекрестке может поехать прямо, а может свернуть направо или налево. Вероятность попадания в «пробку» при проезде прямо равна $0.5$; направо – $0.3$; налево – $0.2$. Определить вероятность беспрепятственного проезда._
+
+*Решение*: Пусть $A_1$ - машина едет прямо, $A_2$ - машина поворачивает направо, $A_3$ - машина поворачивает налево.
+
+Эти 3 события 
+
+*Ответ*:
 
 #line(length: 100%)