#set page(numbering: "- 1 -")

#align(center)[= _Домашняя работа №7_ ]

=== _1. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число выпадений числа очков кратного 3. Указать вид закона распределения._ 

*Решение:*

$
p = P("число кратно 3") = 2/6 = 1/3
$

Бросаем 2 кости одновременно:

Случайная величина: количество "кратных 3" на двух костях.

- 0 кратных 3: обе кости не кратны 3 → $(1 - p)^2 = (2/3)^2 = 4/9$
- 1 кратное 3: ровно одна кость кратна 3 → $2 dot p dot (1 - p) = 2 dot 1/3 dot 2/3 = 4/9$
- 2 кратных 3: обе кости кратны 3 → $p^2 = (1/3)^2 = 1/9$

То есть на одном броске две кости дают распределение:

#align(center)[
  #table(columns: 4)[$k$][$0$][$1$][$2$][$P$][$4/9$][$4/9$][$1/9$]
]

Бросаем два раза

Пусть $xi$ = общее число выпадений "кратных 3" за два броска двух костей.

- Каждый бросок даёт случайную величину $X$ ($0, 1, 2$) с вероятностями ($4/9, 4/9, 1/9$).
- Всего два броска → независимые величины $X_1$ и $X_2$.
- Тогда $xi = X_1 + X_2$.

Максимум: $2 + 2 = 4$, минимум: $0 + 0 = 0$ → возможные значения $xi = 0, 1, 2, 3, 4$.

Ряд распределения

Вероятности для суммы $xi = X_1 + X_2$:

- $P(xi = 0) = P(X_1 = 0 " и " X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 = (16)/(81)$
- $P(xi = 1) = P(X_1 = 0, X_2 = 1) + P(X_1 = 1, X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 + 4/9 dot 4/9 = (32)/(81)$
- $P(xi = 2) = P(X_1 = 0, X_2 = 2) + P(X_1 = 1, X_2 = 1) + P(X_1 = 2,X_2 = 0) = 4/9 dot 1/9 + 4/9 dot 4/9 + 1/9 dot 4/9 = (4+16+4)/(81) = (24)/(81)$
- $P(xi = 3) = P(X_1 = 1, X_2 = 2) + P(X_1 = 2, X_2 = 1) = 4/9 dot 1/9 + 1/9 dot 4/9 = 8/(81)$
- $P(xi = 4) = P(X_1 = 2, X_2 = 2) = 1/9 dot 1/9 = 1/(81)$

Итого:

#align(center)[
  #table(columns: 6)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$3$][$4$][$P$][$(16)/(81)$][$(32)/(81)$][$(24)/(81)$][$8/(81)$][$1/(81)$]
]

Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$

#align(center)[
  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(16, 81)$][$1$][$frac(48, 81)$][$2$][$frac(72, 81)$][$3$][$frac(80, 81)$][$4$][$1$]
]

Вид закона распределения

Это дискретная сумма двух независимых случайных величин с биномиальным распределением, но каждая из них сама является распределением суммы двух независимых Бернулли с $p = 1/3$ → сводится к многократной биномиальной схеме (мультибиномиальный).

Говоря проще: $xi$ — дискретная, конечная, суммируемая случайная величина, аналогичная сумме 4 Бернулли с $p = 1/3$ (так как всего за два броска 2 кости → 4 "испытывания").

#align(center)[#image("assets/1.png")]

#line(length: 100%)

=== _2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число стандартных среди отобранных. Указать вид закона распределения._ 

$
P(X = k) = frac(binom(K, k) binom(N-K, n-k), binom(N, n))
$

где $k = 0, 1, 2$.

Вычисляем вероятности

- $k = 0$ (0 стандартных деталей):

$
P(X = 0) = frac(binom(8, 0) binom(2, 2), binom(10, 2)) = frac(1 dot 1, 45) = frac(1, 45)
$

- $k = 1$ (1 стандартная деталь):

$
P(X = 1) = frac(binom(8, 1) binom(2, 1), binom(10, 2)) = frac(8 dot 2, 45) = frac(16, 45)
$

- $k = 2$ (2 стандартные детали):

$
P(X = 2) = frac(binom(8, 2) binom(2, 0), binom(10, 2)) = frac(28 dot 1, 45) = frac(28, 45)
$

Ряд распределения

#align(center)[
  #table(columns: 4)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$P$][$1/(45)$][$(16)/(45)$][$(28)/(45)$]
]

Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$

#align(center)[
  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(1, 45)$][$1$][$frac(17, 45)$][$2$][$1$]
]

Вид закона распределения

Это гипергеометрическое распределение, так как выборка делается без возвращения из конечной совокупности объектов с двумя типами элементов.

#align(center)[#image("assets/2.png")]

#line(length: 100%)

=== _3. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока не обнаружит незнание. Вероятность ответа на один дополнительный вопрос равна $0.9$. Составить ряд: a) СВ $xi$ - число заданных вопросов; b) СВ $xi$ - число заданных вопросов, если их не более 5. Указать вид закона распределения._ 

a) Число заданных вопросов ($xi$ неограничено)

Это классическая задача на геометрическое распределение:

$
P(xi = k) = P("первые "$k-1$" ответы правильные, "$k$"-й неправильный")
$

- Вероятность неправильного ответа: $q = 1 - p = 0.1$
- Тогда:

$
P(xi = k) = p^(k-1) dot q, space.quad k = 1, 2, 3, dots
$

Ряд распределения:

#align(center)[
  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$dots$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.06561$][$dots$]
]

Функция распределения:

$
F_xi (k) = P(xi lt.eq k) = 1 - p^k
$

Например:

$
F_xi (1) = 0.1, space.quad F_xi (2) = 0.1 + 0.09 = 0.19, dots
$

Вид закона распределения: дискретное, геометрическое распределение.

b) Число заданных вопросов, если их не более 5

Теперь ограничиваемся максимум $5$ вопросами. Тогда для $k = 1, 2, 3, 4, 5$:

$
P(xi = k) = cases(p^(k - 1) q ", " k = 1", "2", "3", "4, p^4 ", " k = 5 ("т.е. все 5 правильных"))
$

#align(center)[
  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.6561$]
]

Вид закона распределения: дискретное усечённое геометрическое распределение.

#align(center)[#image("assets/3.png")]

#line(length: 100%)

=== _4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них за время $T$ равна $0.002$. Составить ряд СВ $xi$ - число отказавших элементов за время $T$. Указать вид закона распределения._ 


Каждый элемент — это независимая «Биномиальная попытка»:

$
X_i = cases(1", элемент отказал", 0", элемент не отказал")
$

Тогда $xi = X_1 + X_2 + dots + X_(1000)$.

Это биномиальная случайная величина с параметрами $n = 1000$, $p = 0.002$:

$
P(xi = k) = binom(1000, k) p^k (1-p)^(1000 - k), space.quad k = 0,1, dots, 1000
$

Приближение

Так как $n$ большое, $p$ маленькое, удобно использовать приближение Пуассона:

$
lambda = n dot p = 1000 dot 0.002 = 2
$

Тогда можно приближённо считать:

$
P(xi = k) approx frac(lambda^k e^(-lambda), k!) = frac(2^k e^(-2), k!), space.quad k = 0, 1, 2, dots
$

Это распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$.

Ряд распределения (первые значения)

$
P(xi = 0) approx frac{2^0 e^(-2), 0!} = e^(-2) approx 0.1353 \
P(xi = 1) approx frac{2^1 e^(-2), 1!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
P(xi = 2) approx frac{2^2 e^(-2), 2!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
P(xi = 3) approx frac{2^3 e^(-2), 6} approx 0.1804 \
P(xi = 4) approx frac{16 e^(-2), 24} approx 0.0902 \
P(xi = 5) approx frac{32 e^(-2), 120} approx 0.0361
$

Вид закона распределения

- Точное: биномиальное $B(n=1000, p=0.002)$
- Приближённое: распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$

Это классический пример редких событий (малое $p$, большое $n$) → удобно использовать Пуассона.

#align(center)[#image("assets/4.png")]