#set text(size: 1.3em)
#set page(numbering: "1")
#set box(
  fill: luma(195),
  inset: (x: 4pt, y: 0pt),
  outset: (y: 3pt),
  radius: 2pt,
)

#align(center)[= _Формула полной вероятности._]

#align(center)[=== _Полная вероятность._]

_2. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на І-ом заводе, 15% — на ІІ-ом, остальные — на ІІІ-ем заводе. Вероятности того, что телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы._

*Решение*: Пусть событие $A$ - телевизор выдержит гарантию. $B_i$ - сделан на заводе $i in {I, I I, I I I}$.

$
P(B_1) = 0.45, space.quad P(B_2) = 0.15, space.quad P(B_3) = 1 - 0.45 - 0.15 = 0.40
$

$
P(A | B_1) = 0.96, space.quad P(A | B_2) = 0.84 space.quad P(A | B_3) = 0.90
$

$
P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = \
= P(B_1) P(A | B_1) + P(B_2) P(A | B_2) + P(B_3) P(A | B_3) = \
= 0.45 dot 0.96 + 0.15 dot 0.84 + 0.40 dot 0.90 = 0.432 + 0.126 + 0.360 = 0.918
$

*Ответ*: #box()[$0.918$]

#line(length: 100%)

_3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,25% брака, второй — 0,4%, третий — 0,6%. Какова вероятность попадания на сборку доброкачественной детали, если с первого автомата поступило 2000, со второго — 1500 и с третьего — 1300 деталей?_

*Решение*: Пусть $G$ - событие "деталь годная", $B_i$ - автомат $i$. Поступило $N_1 = 2000, space N_2 = 1500, space N_3 = 1300, space N = 4800$, доля брака $q_1 = 0.0025, space q_2 = 0.004, space q_3 = 0.006$, доля годных $p_1 = 0.9975, space p_2 = 0.996, space p_3 = 0.994$.

Доли деталей по автоматам: 

$
P(B_1) = frac(N_1, N) = frac(2000, 4800) = frac(5, 12), space.quad P(B_2) = frac(1500, 4800) = frac(5, 16), space.quad P(B_3) = frac(1300, 4800) = frac(13, 48)
$

По закону полной вероятности:

$
P(G) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(G | B_i)
$

Перепишем: 

$
P(G) = 1 - P(overline(G)) = 1 - sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(overline(G) | B_i).
$

Здесь $P(overline(G) | B_i) = q_i$. 

$
q_1 = 1/(400), space.quad q_2 = 1/(250), space.quad q_3 = 3/(500).
$

Тогда:

$
P(overline(G)) = 5/(12) dot 1/(400) + 5/(16) dot 1/(250) + (13)/(48) dot (3)/(500) = (47)/(12000). 
$

Значит:

$
P(G) = 1 - frac(47, 12000) = frac(11953, 12000) approx 0.996083
$

*Ответ*: #box()[$0.996083$]

#line(length: 100%)

_4. Вероятность того, что контрольную работу с первого раза напишет отличник, равна 0,9; хорошист – 0,7; троечник – 0,4. Найти вероятность того, что наудачу выбранный ученик напишет контрольную работу, если соотношение отличников, хорошистов и троечников в классе 1:3:5._

*Решение*: Пусть событие $A$ - ученик напишет контрольную с первого раза. Категории $B_1$ - отличник, $B_2$ - хорошист, $B_3$ - троечник. Условные вероятности $P(A | B_1) = 0.9, space P(A | B_2) = 0.7, space P(A | B_3) 0.4$. Соотношение в классе $1 : 3 : 5$. Сумма долей $1 + 3 + 5 = 9$, значит 

$
P(B_1) = 1/9, space.quad P(B_2) = 3/9 = 1/3, space.quad P(B_3) = 5/9
$

По формуле полной вероятности: 

$
P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = 1/9 dot 9/(10) + 1/3 dot 7/(10) + 5/9 dot 2/5 = 5/9 approx 0.556
$

*Ответ*: #box()[$0.556$]

#line(length: 100%)

_5. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?_

*Решение*: Если идти первым, то вероятность "счастливого" билета равна:

$
P_("1-й") = (24)/(30) = 4/5
$

Пусть $K$ - первый вытянул "известный" нашему студенту билет. $overline(K)$ - первый вытянул "неизвестный".

Тогда 

$P_("2-й") = P(K) dot P("успех" | K) + P(overline(K)) dot P("успех" | overline(K))$

$P(K) = (24)/(30), space P(overline(K)) = 6/(30)$

Если $K$ случилось, осталось 29 билетов, из них "известных" 23, значит $P("успех" | K) = (23)/(29)$.
 
Если $overline(K)$ случилось, осталось "известных" 24 из 29: $P("успех" | overline(K)) = (24)/(29)$

Подставив, получим: 

$
P_("2-й") = (24)/(30) dot (23)/(29) + 6/(30) dot (24)/(29) = 4/5
$

*Ответ*: #box(inset: (x:1pt, y: 4pt))[вероятность одинакова и равна $4/5$]

#line(length: 100%)

_6. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 1 до 9, во второй от 10 до 20 и в третьей от 21 до 30. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер делится на 3?_

*Решение*: три урны выбираются равновероятно, затем из каждой берется случайный шар. Пусть $U_1$ - урна с числами $1, dots, 9$, $U_2$ - урна с числами $10, dots, 20$, $U_3$ урна с числами $21, dots, 30$. $A$ - событие "номер делится на 3".

В $U_1$: кратные 3 - 3, 6, 9, то есть $3/9 = 1/3$:

$
P(A | U_1) = 3/9 = 1/3
$

В $U_2$: кратные 3 - 12, 15, 18, то есть $3/11$:

$
P(A | U_2) = 3/11
$

В $U_3$: кратные 3 - 21, 24, 27, 30, то есть $4/10 = 2/5$:

$
P(A | U_3) = 4/10 = 2/5
$

По закону полной вероятности: 

$
P(A) = 1/3 (P(A | U_1) + P(A | U_2) + P(A | U_3)) = 1/3 (1/3 + 3/11 + 2/5) approx 0.33535
$

*Ответ*: #box()[$0.33535$]

#line(length: 100%)

_7. Из ящика, содержащего 4 белых и 6 черных шаров, утеряно два шара. Какова вероятность извлечь после этого два шара черного цвета?_

#line(length: 100%)

_8. В первом ящике 5 белых и 5 черных шаров, а во втором – 4 белых и 4 черных шара. Из первого во второй перекладывают 2 шара. Определить вероятность извлечения белого шара из второго ящика._

#line(length: 100%)

_9. Три стрелка случайным образом распределяют между собой 3 заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями $1/2$, $3/4$ и $7/8$ соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?_

#line(length: 100%)

_10. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для первого стрелка 0,5, а для второго — 0,6. Вероятность попадания в выбранную мишень для каждого стрелка равна 0,8 и 0,9 соответственно. Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?_

#align(center)[=== _Формула Байеса._]

_11. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина._

#line(length: 100%)

_12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, подготовленный хорошо— на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: a. отлично; b. плохо._

#line(length: 100%)

_13. Из четырех игральных костей одна фальшивая — на ней 6 очков выпадает с вероятностью $1/3$. При бросании случайно выбранной кости выпала шестерка. Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?_

#line(length: 100%)

_14. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, и счет в игре равен количеству выпавших очков. В другой игре используются две игральные кости, и счет в игре равен сумме выпавших очков. Вы слышите, что выпало 4 очка. В какую игру вероятнее всего играли?_

#align(center)[=== _Домашняя работа._]

_1. Из 1000 ламп 100 принадлежит первой партии, 250 — второй и остальные — третьей партии. В первой партии 6% , во второй — 5%, в третьей — 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?_

#line(length: 100%)

_2. Автомобиль на перекрестке может поехать прямо, а может свернуть направо или налево. Вероятность попадания в «пробку» при проезде прямо равна 0,5; направо – 0,3; налево – 0,2. Определить вероятность беспрепятственного проезда._

#line(length: 100%)

_3. В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока._

#line(length: 100%)

_4. Имеются три одинаковых ящика. В первом лежат 2 белых и 2 черных шара; во втором — 3 черных шара; в третьем — 1 черный и 5 белых шара. Некто случайным образом вынимает шар из наугад выбранного ящика. Какова вероятность, что шар будет белый?_

#line(length: 100%)

_5. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 10 до 25, во второй от 26 до 32 и в третьей от 33 до 45 включительно. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер будет простым числом?_

#line(length: 100%)

_6. Берут две колоды по 36 карт. Из первой колоды во вторую перекладывают 2 карты. Затем из второй колоды берется одна карта. Какова вероятность того, что это дама?_

#line(length: 100%)

_7. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекают 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые._

#line(length: 100%)

_8. Среди трех игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестерка появляется с вероятностью $1/3$. Бросили две игральные кости. Определить вероятность того, что выпали две шестерки._