#set text(size: 1.3em)
#set page(numbering: "1")
#set box(
  fill: luma(195),
  inset: (x: 4pt, y: 0pt),
  outset: (y: 3pt),
  radius: 2pt,
)

#align(center)[= _Формула полной вероятности._]

#align(center)[=== _Полная вероятность._]

_2. $45%$ телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на $І$-ом заводе, $15%$ — на $І І$-ом, остальные — на $І І І$-ем заводе. Вероятности того, что телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны $0.96$; $0.84$; $0.9$ соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы._

*Решение*: Пусть событие $A$ - телевизор выдержит гарантию. $B_i$ - сделан на заводе $i in {I, I I, I I I}$.

$
P(B_1) = 0.45, space.quad P(B_2) = 0.15, space.quad P(B_3) = 1 - 0.45 - 0.15 = 0.40
$

$
P(A | B_1) = 0.96, space.quad P(A | B_2) = 0.84 space.quad P(A | B_3) = 0.90
$

$
P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = \
= P(B_1) P(A | B_1) + P(B_2) P(A | B_2) + P(B_3) P(A | B_3) = \
= 0.45 dot 0.96 + 0.15 dot 0.84 + 0.40 dot 0.90 = 0.432 + 0.126 + 0.360 = 0.918
$

*Ответ*: #box()[$0.918$]

#line(length: 100%)

_3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает $0.25%$ брака, второй — $0.4%$, третий — $0.6%$. Какова вероятность попадания на сборку доброкачественной детали, если с первого автомата поступило $2000$, со второго — $1500$ и с третьего — $1300$ деталей?_

*Решение*: Пусть $G$ - событие "деталь годная", $B_i$ - автомат $i$. Поступило $N_1 = 2000, space N_2 = 1500, space N_3 = 1300, space N = 4800$, доля брака $q_1 = 0.0025, space q_2 = 0.004, space q_3 = 0.006$, доля годных $p_1 = 0.9975, space p_2 = 0.996, space p_3 = 0.994$.

Доли деталей по автоматам: 

$
P(B_1) = frac(N_1, N) = frac(2000, 4800) = frac(5, 12), space.quad P(B_2) = frac(1500, 4800) = frac(5, 16), space.quad P(B_3) = frac(1300, 4800) = frac(13, 48)
$

По закону полной вероятности:

$
P(G) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(G | B_i)
$

Перепишем: 

$
P(G) = 1 - P(overline(G)) = 1 - sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(overline(G) | B_i).
$

Здесь $P(overline(G) | B_i) = q_i$. 

$
q_1 = 1/(400), space.quad q_2 = 1/(250), space.quad q_3 = 3/(500).
$

Тогда:

$
P(overline(G)) = 5/(12) dot 1/(400) + 5/(16) dot 1/(250) + (13)/(48) dot (3)/(500) = (47)/(12000). 
$

Значит:

$
P(G) = 1 - frac(47, 12000) = frac(11953, 12000) approx 0.996083
$

*Ответ*: #box()[$0.996083$]

#line(length: 100%)

_4. Вероятность того, что контрольную работу с первого раза напишет отличник, равна $0.9$; хорошист – $0.7$; троечник – $0.4$. Найти вероятность того, что наудачу выбранный ученик напишет контрольную работу, если соотношение отличников, хорошистов и троечников в классе $1:3:5$._

*Решение*: Пусть событие $A$ - ученик напишет контрольную с первого раза. Категории $B_1$ - отличник, $B_2$ - хорошист, $B_3$ - троечник. Условные вероятности $P(A | B_1) = 0.9, space P(A | B_2) = 0.7, space P(A | B_3) 0.4$. Соотношение в классе $1 : 3 : 5$. Сумма долей $1 + 3 + 5 = 9$, значит 

$
P(B_1) = 1/9, space.quad P(B_2) = 3/9 = 1/3, space.quad P(B_3) = 5/9
$

По формуле полной вероятности: 

$
P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = 1/9 dot 9/(10) + 1/3 dot 7/(10) + 5/9 dot 2/5 = 5/9 approx 0.556
$

*Ответ*: #box()[$0.556$]

#line(length: 100%)

_5. Студент знает $24$ билета из $30$. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?_

*Решение*: Если идти первым, то вероятность "счастливого" билета равна:

$
P_("1-й") = (24)/(30) = 4/5
$

Пусть $K$ - первый вытянул "известный" нашему студенту билет. $overline(K)$ - первый вытянул "неизвестный".

Тогда 

$P_("2-й") = P(K) dot P("успех" | K) + P(overline(K)) dot P("успех" | overline(K))$

$P(K) = (24)/(30), space P(overline(K)) = 6/(30)$

Если $K$ случилось, осталось 29 билетов, из них "известных" 23, значит $P("успех" | K) = (23)/(29)$.
 
Если $overline(K)$ случилось, осталось "известных" 24 из 29: $P("успех" | overline(K)) = (24)/(29)$

Подставив, получим: 

$
P_("2-й") = (24)/(30) dot (23)/(29) + 6/(30) dot (24)/(29) = 4/5
$

*Ответ*: #box(inset: (x:1pt, y: 4pt))[вероятность одинакова и равна $4/5$]

#line(length: 100%)

_6. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от $1$ до $9$, во второй от $10$ до $20$ и в третьей от $21$ до $30$. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер делится на $3$?_

*Решение*: три урны выбираются равновероятно, затем из каждой берется случайный шар. Пусть $U_1$ - урна с числами $1, dots, 9$, $U_2$ - урна с числами $10, dots, 20$, $U_3$ урна с числами $21, dots, 30$. $A$ - событие "номер делится на 3".

В $U_1$: кратные $3$ - $3$, $6$, $9$, то есть $3/9 = 1/3$:

$
P(A | U_1) = 3/9 = 1/3
$

В $U_2$: кратные $3$ - $12$, $15$, $18$, то есть $3/11$:

$
P(A | U_2) = 3/11
$

В $U_3$: кратные $3$ - $21$, $24$, $27$, $30$, то есть $4/10 = 2/5$:

$
P(A | U_3) = 4/10 = 2/5
$

По закону полной вероятности: 

$
P(A) = 1/3 (P(A | U_1) + P(A | U_2) + P(A | U_3)) = 1/3 (1/3 + 3/11 + 2/5) approx 0.33535
$

*Ответ*: #box()[$0.33535$]

#line(length: 100%)

_7. Из ящика, содержащего $4$ белых и $6$ черных шаров, утеряно два шара. Какова вероятность извлечь после этого два шара черного цвета?_

*Решение*: Представим, что все $10$ шаров перемешали, и первые $2$ утеряны. В случайной перестановке любой набор из двух позиций равновероятно сожержит любую пару шаров. Значит вероятность того, что именно позиции $3$ и $4$ окажутся черными - такая же, как если бы мы просто сразу вытащили $2$ шара из $10$ без всяких потерь.

Получим: 

$
P("оба черные") = frac(C^2_6, C^2_(10)) = frac(15, 45) = 1/3
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 0pt, y: 4pt))[$1/3$]

#line(length: 100%)

_8. В первом ящике $5$ белых и $5$ черных шаров, а во втором – $4$ белых и $4$ черных шара. Из первого во второй перекладывают $2$ шара. Определить вероятность извлечения белого шара из второго ящика._

*Решение*: Пусть $K$ число белых шаров, переложенных из первого ящика во второй ($K in {0, 1, 2}$).

В первом ящике изначально $5$ белых и $5$ черных, перекладываем $2$ шара: 

$
P(K = 0) = frac(C^0_5 C^2_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9, \
P(K = 1) = frac(C^1_5 C^1_5, C^2_(10)) = frac(25, 45) = 5/9, \
P(K = 2) = frac(C^2_5 C^0_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9
$

Во втором ящике было $4$ белых и $4$ черных. После перекладки там становится $8 + 2 = 10$ шаров, из них белых $4 + K$. При случайном вытягивании шара из второго ящика:

$
P("белый" | K) = frac(4 + K, 10)
$

По формуле полной вероятности:

$
P("белый") = sum_(k = 0)^2 P(K = k) frac(4 + k, 10) = frac(1, 10)(2/9 dot 4 + 5/9 dot 5 + 2/9 dot 6) = \
= frac(1, 10) dot frac(8 + 25 + 12, 9) = frac(1, 10) dot frac(45, 9) = 1/2
$

*Ответ*: #box(inset: (x:2pt, y: 4pt))[$1/2$]

#line(length: 100%)

_9. Три стрелка случайным образом распределяют между собой $3$ заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями $1/2$, $3/4$ и $7/8$ соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?_

*Решение*: Пусть есть $3$ стрелка: $S_1, S_2, S_3$. Они имеют вероятности попадания $p_1 = 1/2, space p_2 = 3/4 space p_3 = 7/8$. Есть $3$ заряда, из них $2$ боевых и $1$ холостой. Заряды случайно распределяются между стрелками: это то же самое, что случайно выбрать, кто получит холостой. Все $3$ варианта равновероятны. 

Рассмотрим все случаи: 

1) Холостой у $S_1$, стреляют $S_2, S_3$.

Вероятность хотя бы одного попадания:

$
1 - (1 - p_2)(1 - p_3) = 1 - (1/4)(1/8) = 1 - 1/(32) = (31)/(32)
$

2) Холостой у $S_2$, стреляют $S_1, S_3$. 

$
1 - (1 - p_1)(1 - p_3) = 1 - (1/2)(1/8) = 1 - 1/(16) = (15)/(16)
$

3) Холостой у $S_3$, стреляют $S_1, S_2$.

$
1 - (1 - p_1)(1 - p_2) = 1 - (1/2)(1/4) = 1 - 1/8 = 7/8
$

По формуле полной вероятности: 

$
P("хотя бы одно попадание") = 1/3 ( (31)/(32) + (15)/(16) + 7/8 ) = 0.9271
$

*Ответ*: #box()[$0.9271$]

#line(length: 100%)

_10. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для первого стрелка $0.5$, а для второго — $0.6$. Вероятность попадания в выбранную мишень для каждого стрелка равна $0.8$ и $0.9$ соответственно. Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?_

*Решение*: Пусть $H_"2,1"$ - первый стрелок попал во вторую мишень, $H_"2,2"$ - второй стрелок попал во вторую мишень. Искомое событие: ровно одно попадание во вторую мишень - это 

$
(H_"2,1" inter overline(H_"2,2")) union (overline(H_"2,1") inter H_"2,2")
$

а события для разных стрелков независимы. 

2. Вероятность попасть именно во вторую мишень для каждого: 

Первый выбирает вторую с вероятностью $0.5$ и, выбрав её, попадает с $0.8$:

$
P(H_"2,1") = 0.5 dot 0.8 = 0.4
$

Второй выбирает вторую с вероятностью $0.4$ (потому что первую он выбирает $0.6$) и попадает с $0.9$:

$
P(H_"2,2") = 0.4 dot 0.9 = 0.36
$

Тогда 

$
P("ровно одно попадание во 2-ю") = P(H_"2,1")(1 - P(H_"2,1"))P(H_"2,2") = \
= 0.4 dot (1 - 0.36) + (1 - 0.4) dot 0.36 = frac(59, 125)
$

*Ответ*: #box()[$0.472$]

#align(center)[=== _Формула Байеса._]

_11. Предположим, что $5%$ мужчин и $0.25%$ женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина._

*Решение*: Пусть $M$ - человек - мужчина, $W$ - человек - женщина, $D$ - человек - дальтоник. Тогда: 

$
P(M) = P(W) = 1/2, space.quad P(D | M) = 0.05 space.quad P(D | W) = 0.0025 
$

По Байесу: 

$
P(M | D) = frac(P(M)P(D | M), P(M)P(D | M) + P(W)P(D | W)) = \
= frac(1/2 dot 0.05, 1/2 dot 0.05 + 1/2 dot 0.0025) = 0.95238
$

*Ответ*: #box()[$0.95238$]

#line(length: 100%)

_12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, подготовленный хорошо— на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: a. отлично; b. плохо._

В группе 10 студентов: 3 - "отлично", 4 - "хорошо", 2 - "посредственно", 1 - "плохо". Это априорные вероятности выбора студента: 

$
P(O) = frac(3, 10), space.quad P(H) = frac(4, 10) space.quad P(M) = frac(2, 10), space.quad P(P) = frac(1, 10)
$

Из $20$ экзаменационных вопросов студент "знает" $k$ штук:

$
k_O = 20, space.quad k_H = 16, space.quad k_M = 10, space.quad k_P = 5  
$

Экзаменатор задает 3 вопроса наугад (без возвращения) из $20$. Студент "ответил на 3 вопроса" = ответил на все 3 заданных.

Если студент знает $k$ из 20, то вероятность, что все 3 заданных попадут в известные, равна 

$
P("ответил 3" | k) = frac(C^3_k, C_(20)^3)
$

Подставляем: 

$
C_(20)^3 = 1140, \
P("ответил 3" | O) = 1, \
P("ответил 3" | H) = frac(C_(16)^3, 1140) = frac(560, 1140) = frac(28, 57) \
P("ответил 3" | M) = frac(C_(10)^3, 1140) = frac(120, 1140) = frac(2, 19) \
P("ответил 3" | P) = frac(C_5^3, 1140) = frac(10, 1140) = frac(1, 114)
$

Ненормированные веса

$
w_O = P(O)P("ответил 3" | O) = frac(3, 10), \
w_H = 4/(10) dot (28)/(57) = (56)/(285), \
w_M = 2/(10) dot 2/(19) = 2/(95)
w_P = 1/(10) dot 1/(114) = 1/(1140)
$

Сумма весов: 

$
W = w_O + w_H + w_M + w_P = frac(197, 380).
$

Апостериорные вероятности (делим каждый вес на $W$): 

$
P(O | "ответил 3") = frac(w_O, W) = frac(114, 197) approx 0.579, \
P(H | "ответил 3") = frac(w_H, W) = frac(224, 591) approx 0.379, \
P(M | "ответил 3") = frac(w_M, W) = frac(8, 197) approx 0.041,   \
P(P | "ответил 3") = frac(w_P, W) = frac(1, 591) approx 0.00169.
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$"a) " frac(114, 197) = 0.579; " b) " frac(1, 591) approx 0.00169$]

#line(length: 100%)

_13. Из четырех игральных костей одна фальшивая — на ней 6 очков выпадает с вероятностью $1/3$. При бросании случайно выбранной кости выпала шестерка. Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?_

*Решение*: Пусть $F$ - выбрана фальшивая кость, $N$ - выбрана нормальная кость, $S$ - выпала шестерка. 

Дано: 

$
P(F) = 1/4, space.quad P(N) = 3/4
$

Вероятности выпадения шестерки: 

$
P(S | F) = 1/3, space.quad P(S | N) = 1/6
$

По формуле общей вероятности: 

$
P(S) = P(F)P(S | F) + P(N)P(S | N) = 1/4 dot 1/3 + 3/4 dot 1/6
$

Вычислим:

$
P(S) = 1/(12) + 3/(24) = 1/(12) + 1/8 = 5/(24)
$

По формуле Байеса: 

$
P(F | S) = frac(P(F)P(S | F), P(S)) = frac(1/4 dot 1/3, 5/(24)) = 0.4 
$

*Ответ*: #box()[$0.4$]

#line(length: 100%)

_14. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, и счет в игре равен количеству выпавших очков. В другой игре используются две игральные кости, и счет в игре равен сумме выпавших очков. Вы слышите, что выпало 4 очка. В какую игру вероятнее всего играли?_

*Решение*: Пусть $G_1$ - игра с одной костью, $G_2$ - с двумя. Приоры равны: $P(G_1) = P(G_2) = 1/2$, $S$ - счет равен $4$.

Если $G_1$: $P(S | G_1) = P("выпало 4 на d6") = 1/6$.
Если $G_2$: $P(S | G_2) = P("сумма 2d6 = 4") = 3/(36) = 1/(12)$.

$
P(G_1 | S) prop 1/2 dot 1/6 = 1/(12), space.quad P(G_2 | S) prop 1/2 dot 1/(12) = 1/(24)
$

Нормируем: 

$
P(G_1 | S) = frac(1/(12), 1/(12) + 1/(24)) = 2/3, space.quad P(G_2 | S) = frac(1/(24), 1/(12) + 1/(24)) = 1/3.
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[С вероятностью $2/3$ играли одной костью, а двумя - $1/3$]

#align(center)[=== _Домашняя работа._]

_1. Из $1000$ ламп $100$ принадлежит первой партии, $250$ — второй и остальные — третьей партии. В первой партии $6%$ , во второй — $5%$, в третьей — $4%$ бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?_

*Решение*: Пусть $B$ - лампа бракована. $P_1, P_2, P_3$ - лампа из $1$-й, $2$-й, $3$-й партии. 

Тогда: 

$
P(P_1) = frac(100, 1000) = 0.1, space.quad P(P_2) = frac(250, 1000) = 0.25, space.quad P(P_3) = frac(650, 1000) = 0.65
$

$
P(B | P_1) = 0.06, space.quad P(B | P_2) = 0.05, space.quad P(B | P_3) = 0.04
$

По формуле полной вероятности: 

$
P(B) = sum_(i = 1)^3 P(P_i)P(B | P_i) = \
= 0.1 dot 0.06 + 0.25 dot 0.05 + 0.65 dot 0.04 = frac(89, 2000)
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$(89)/(2000)$]

#line(length: 100%)

_2. Автомобиль на перекрестке может поехать прямо, а может свернуть направо или налево. Вероятность попадания в «пробку» при проезде прямо равна $0.5$; направо – $0.3$; налево – $0.2$. Определить вероятность беспрепятственного проезда._

*Решение*: Пусть направления выбираются равновероятно:

$
P("без пробки") = 1/3 (1 - 0.5 + 1 - 0.3 + 1 - 0.2) = 0.667
$

*Ответ*: #box()[$0.667$]

#line(length: 100%)

_3. В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока._

*Решение*: 

$
P(F_1) = 5/(10) = 0.5, space.quad P(F_2) = 2/(10) = 0.2, space.quad P(F_3) = 3/(10) = 0.3
$

Надежности:

$
P(A | F_1) = 0.96, space.quad P(A | F_2) = 0.92, space.quad P(A | F_3) = 0.94
$

где A - не потребует ремонтажа. 

Тогда 

$
P(A) = sum_i P(F_i) P(A | F_i) = 0.5 dot 0.96 + 0.2 dot 0.92 + 0.3 dot 0.94 = 0.946 
$

*Ответ*: #box()[$0.946$] 

#line(length: 100%)

_4. Имеются три одинаковых ящика. В первом лежат 2 белых и 2 черных шара; во втором — 3 черных шара; в третьем — 1 черный и 5 белых шара. Некто случайным образом вынимает шар из наугад выбранного ящика. Какова вероятность, что шар будет белый?_

*Решение*: Три ящика, выбираются равновероятно — значит, $P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = 1/3$.

Состав: 

#table(columns: 5, inset: 10pt)[*Ящик*][*Белые*][*Чёрные*][*Всего*][$P("белый" | B_i)$][1][2][2][4][$frac(2,4) = frac(1,2)$][2][0][3][3][0][3][5][1][6][$5/6$]

По формуле полной вероятности: 

$
P("белый") = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P("белый" | B_i)
$

$
P("белый") = 1/3 (1/2 + 0 + 5/6) = 4/9
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$4/9$]

#line(length: 100%)

_5. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 10 до 25, во второй от 26 до 32 и в третьей от 33 до 45 включительно. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер будет простым числом?_

*Решение*:

Обозначим $A$ — "номер простое число", $U_1, U_2, U_3$ — выбор $1$-й, $2$-й, $3$-й урны.

Тогда по формуле полной вероятности:
$
P(A)= 1/3 (P(A | U_1) + P(A | U_2) + P(A | U_3)).
$

По формуле условной вероятности: 

Урна 1: числа $10 dots 25$. Простые: $11,13,17,19,23$.

$
P(A | U_1) = frac(5, 16)
$  

Урна 2: числа $26 dots 32$. Простые: $29,31$.

$
P(A | U_2) = 2/7
$

Урна 3: числа $33 dots 45$. Простые: $37,41,43$.

$
P(A | U_3) = 3/(13)
$

$
P(A) = 1/3 (5/(16) + 2/7 + 3/(13)) approx 0.2763
$

*Ответ*: #box()[$0.2763$]

#line(length: 100%)

_6. Берут две колоды по $36$ карт. Из первой колоды во вторую перекладывают $2$ карты. Затем из второй колоды берется одна карта. Какова вероятность того, что это дама?_

*Решение*:  Во второй колоде изначально $4$ дамы из $36$ карт. Из первой колоды перекладываем $2$ случайные карты. В первой колоде доля дам $4/(36)$, значит ожидаемое число дам среди переложенных двух равно

$E[K] = 2 dot 4/(36) = 2/9$

Тогда ожидаемое число дам во второй колоде после перекладки: 

$
4 + E[K] = 4 + 2/9 = (38)/9
$

После перекладки во второй колоде $38$ карт, и мы вытягиваем одну наугад. Безусловная вероятность вытянуть даму равна

$
E[frac(4 + K, 38)] = frac(E[4 + K], 38) = frac(4 + 2/9, 38) = frac((38)/9, 38) = 1/9
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$1/9$]

#line(length: 100%)

_7. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекают 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые._

*Решение*: В альбоме изначально $7$ чистых и $6$ гашеных, всего $13$. Достаем $2$ наугад, гасим их и возвращаем. Пусть $К$ - сколько из этих двух были чистыми. Тогда $K in {0, 1, 2}$.

$
P(K = 0) = frac(C_7^0 C_6^2, C_(13)^2) = frac(15, 78) = frac(5, 26), \
P(K = 1) = frac(C_7^1 C_6^1, C_(13)^2) = frac(42, 78) = frac(7, 13), \
P(K = 2) = frac(C_7^2 C_6^0, C_(13)^2) = frac(21, 78) = frac(7, 26)
$

После этого в альбоме все те же $13$ марок, но чистых осталось $7 - K$.

Теперь тянем $3$ марки. Условная вероятность, что все $3$ - чистые, при фиксированном $K = k$:

$
P("все 3 чистые" | K = k) = frac(C_(7 - k)^3, C_(13)^3)
$

Вычислим нужные комбинации: 

$
C_(13)^3 = 286, space.quad C_7^3 = 35, space.quad C_6^3 = 20, space.quad C_5^3 = 10
$

Значит: 

$
P("все 3" | K = 0) = frac(35, 286), \
P("все 3" | K = 1) = frac(20, 286), \
P("все 3" | K = 2) = frac(10, 286)
$

По формуле полной вероятности: 

$
P = sum_(k = 0)^2 P(K = k)P("все 3" | K = k) = 0.0706
$

*Ответ*: #box()[$0.0706$]

#line(length: 100%)

_8. Среди трех игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестерка появляется с вероятностью $1/3$. Бросили две игральные кости. Определить вероятность того, что выпали две шестерки._

*Решение*: $3$ кости: $2$ честные, $1$ фальшивая.

У честной кости: $P(6) = 1/6$

У фальшивой кости: $P(6) = 1/3$

Пусть $C$ - честная кость, $F$ - фальшивая. 

Возможные пары: 

#table(columns: 3, inset: 10pt)[*Пара брошенных костей*][*Вероятность выбора*][*\# шестерок*][C, C][$frac(C_2^2, C_3^2) = 1/3$][обе честные][C, F][$frac(C_2^1 C_1^1, C_3^2) = 2/3$][одна честная, одна фальшивая]

Если обе честные: 

$
P(6, 6 | C, C) = (1/6)^2 = 1/(36)
$

Если одна честная и одна фальшивая: 

$
P(6, 6 | C, F) = 1/6 dot 1/3 = 1/(18)
$

Формула полной вероятности: 

$
P(6, 6) = P(C, C) dot P(6, 6 | C, C) + P(C, F) dot P(6, 6 | C, F) = \
= 1/3 dot 1/(36) + 2/3 dot 1/(18) = 0.0463
$

*Ответ*: #box()[$0.0463$]