prob/pracs/prac4/ans.typ

#set text(size: 1.3em)
#set page(numbering: "1")
#set box(
  fill: luma(195),
  inset: (x: 4pt, y: 0pt),
  outset: (y: 3pt),
  radius: 2pt,
)

#align(center)[= _Домашняя работа №4_]

=== Q. _15. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена. А если стрелки сделают по два выстрела?_

*A*: 1. Если стрелки делают один выстрел: 

Если мишень поражена, то значит хотя бы один попал. Найдем вероятность того, что оба не попали и вычтем из единицы: 

$P("оба не попали за один выстрел") = (1 - 0,7) dot (1 - 0,8) = 0,3 dot 0,2 = 0,06$, 

$P("мишень поражена за один выстрел") = 1 - P("оба не попали за один выстрел") = 1 - 0,06 = 0,94$

2. Если стрелки делают по два выстрела каждый:

Будем следовать такой же логике и найдем вероятность что никто не попадет за два выстрела. 

$P("ни одного попадания") = P("оба не попали за один выстрел")^2 = 0,06^2 = 0,0036$, 

$P("мишень поражения за два выстрела") = 1 - P("ни одного попадания") = 1 - 0,0036 = 0,9964$

*Ответ*: #box()[$0,94; 0,9964$]

#line(length: 100%)

=== Q. _16. Станция метрополитена оборудована тремя эскалаторами. Вероятность безотказной работы для первого эскалатора равна 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что произойдет поломка не более одного эскалатора._

*A*: Условие можно трактовать следующим образом: произойдет поломка либо одного, либо нуля эскалаторов. Рассмотрим каждый случай и сложим вероятности:

Если сломался только один эскалатор, значит остальне два не сломались, поэтому рассмотрим все три случая:

$
P("поломка одного") = \
= underbrace((1 - 0\,9) dot 0\,8 dot 0\,7, "сломался первый") + underbrace(0\,9 dot (1 - 0\,8) dot 0\,7, "сломался второй") + underbrace(0\,9 dot 0\,8 dot (1 - 0\,7), "сломался третий") = \
= 0,1 dot 0,8 dot 0,7 + 0,9 dot 0,2 dot 0,7 + 0,9 dot 0,8 dot 0,3 = 0,398
$

Для нуля сломанных эскалаторов получаем: 

$
P("ничего не сломалось") = 0,9 dot 0,8 dot 0,7 = 0,504
$

В результате получим: 

$
P("поломка одного") + P("ничего не сломалось") = 0,398 + 0,504 = 0,902
$

*Ответ*: #box()[$0,902$]

#line(length: 100%)

=== Q. _17. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: a. оба студента; b. только первый; c. только один из них; d. хотя бы один из студентов._

*A*: 

a) Чтобы верно ответили оба студента, нужно чтобы каждому попался вопрос из списка выученных, соответственно: 

$
P("a)") = (20)/(25) dot (15)/(25) = (12)/(25) = 0,48
$

b) Если правильно отвечает только первый, значит второй ошибается. Рассчитаем соответствующую вероятность: 

$
P("b)") = (20)/(25) dot (25 - 15)/(25) = 8/(25) = 0,32
$

c) Сложим два варианта: только первый + только второй:

$
P("c)") = P("b)") + (25 - 20)/(25) dot (15)/(25) = 0,32 + 3/(25) = 0,32 + 0,12 = 0,44 
$

d) Вычтем из единицы вероятность того, что никто не знал: 

$
P("d)") = 1 - (25 - 20)/(25) dot (25 - 15)/(25) = 1 - 2/(25) = 0,08
$


*Ответ*: #box()[a) $0,48$; b) $0,32$; c) $0,44$; d) $0,08$]

#line(length: 100%)

=== Q. _18. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы: a. два вопроса; b. более двух вопросов; c. менее пяти вопросов._

*A*: a) Студент ответит на первый вопрос и ошибется на втором: 

$
P("a)") = (30)/(40) dot (10)/(39) = 5/(26)
$

b) Значит студента точно ответит правильно на первые два вопроса: 

$
P("b)") = (30)/(40) dot (29)/(39) = (29)/(52)
$

c) Вычтем из единицы вероятность того что понадобится не менее пяти вопросов: 

$
P("c)") = 1 - (30)/(40) dot (29)/(39) dot (28)/(38) dot (27)/(37) = (12797)/(18278)
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 4pt, y: 3pt))[a) $5/(26)$, b) $(29)/(52)$, c) $(12797)/(18278)$]

#line(length: 100%)

=== Q. _19.  Вероятность дозвониться с первой попытки в справочное бюро вокзала равна 0,4. Какова вероятность того, что: a. удастся дозвониться при втором звонке; b. придется звонить не более трех раз?_

*A*: a) Значит мы не дозвонимся на первом и дозвонимся на втором: 

$
P("a)") = (1 - 0,4) dot 0,4 = 0,24
$

b) Мы либо дозвонимся на первой, либо на второй, либо на третьей попытке: 

$
P("на первой") = 0,4 \
P("на второй") = (1 - 0,4) dot 0,4 = 0,24 \
P("на третьей") = (1 - 0,4)^2 dot 0,4 = 0,144 \
P("b)") = 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784
$

*Ответ*: #box()[a) $0,24$, b) $0,784$]

#line(length: 100%)

=== Q. _20. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три карты. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы одна шестерка?_

*A*: Найдем вероятность того, что не выпадет ни одна шестерка и вычтем из единицы: 

$
P("ни одной шестерки") = (32)/(36) dot (31)/(35) dot (30)/(34) = (248)/(357) 
$

$
P("хотя бы одна шестерка") = 1 - P("ни одной шестерки") = 1 - (248)/(357) = (109)/(357)
$

*Ответ*: #box(inset: (x: 4pt, y: 4pt))[$(109)/(357)$]

#line(length: 100%)

=== Q. _21. На АТС могут поступить вызовы трех типов. Вероятности поступления вызовов 1-го, 2-го и 3-го типа соответственно равны 0,2, 0,3, 0,5. поступило три вызова. Какова вероятность того, что a. все они разных типов; b. среди них нет вызова 2-го типа?_

*A*:

*Ответ*: a) Разберем все варианты: 

#align(center)[#table(columns: 3)[I звонок][II звонок][III звонок][1][2][3][1][3][2][2][3][1][2][1][3][3][2][1][3][1][2]]

Получаем: 

$
P("a)") = (0,2 dot 0,3 dot 0,5) dot (3!) = 9/(50) = 0,18
$

b) Значит каждый вызов это либо 1, либо 3:

$
P("b)") = (0,2 + 0,5)^3 = (343)/(1000) = 0,343
$

*Ответ*: #box()[a) $0,18$; b) $0,343$]