#set page(
  paper: "a4",
  // margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 14pt
)
#set par(
  /*first-line-indent: (
    amount: 1.5em,
    all: true
  ),*/
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)
#show link: underline
#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(center)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
  if counter(page).get().first() == 1 [
    #align(center)[
      Санкт-Петербург \ 2025
    ]
  ]
})

#set page(header: context {
  if counter(page).get().first() == 1 [
    #align(center)[
      Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
    ]
  ]
})



#show raw.where(block: false): box.with(
  fill: luma(240),
  inset: (x: 3pt, y: 0pt),
  outset: (y: 3pt),
  radius: 2pt,
)

#show raw.where(block: true): block.with(
  fill: luma(240),
  inset: 10pt,
  radius: 4pt,
)

// title

#for _ in range(5) { linebreak() }

#align(center)[Расчетно графическая работа №2]

#for _ in range(15) { linebreak() }


#align(right)[Выполнили:]
#align(right)[Левахин Лев]
#align(right)[Останин Андрей]
#align(right)[Дощенников Никита]
#align(right)[Группы: К3221, К3240]
#align(right)[Проверил:]
#align(right)[Владимир Владимирович Беспалов]

#pagebreak()

#outline(title: "Содержание")

#align(center)[=== Цель]

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения разными способами. 

Методы будут демонстрироваться на задаче Коши: 

$
y'' - 4y' + 5y = 4 e^(-2x), space y(0) = 0, space y'(0) = 1
$

#pagebreak()
#align(center)[=== Метод специальной правой части]

(Дощенников Никита)

Запишем характеристическое уравнение: 

$
r^2 - 4r + 5 = 0
$

Найдем его корни. Посчитаем дискриминант: 

$
cal(D) = b^2 - 4 a c = 16 - 4 dot 5 = -4 lt 0
$

Тогда корни: 

$
r_1 = frac(4 + sqrt(-4), 2) = 2 + i, space.quad r_2 = frac(4 - sqrt(-4), 2) = 2 - i
$

Запишем общее решение для однородного уравнения. Так как корни комплексные, то общее решение соответствует форме: 

$
y_"общ" = e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x + C_2 dot sin beta x)
$

В нашем случае $alpha = 2, beta = 1$. Тогда: 

$
y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
$

Специальный вид правой части соответствует виду:

$
f(x) = P_n (x) dot e^(alpha x)
$

где $P_0 (x) = 4 space (n = 0), alpha = -2$. 

Так как $alpha = -2$ не является корнем характеристического уравнения, частное решение представим в следующем виде: 

$
y_"частн" = e^(alpha x) dot Q_0 (x) = e^(-2 x) dot A
$

Найдем первую и вторую производные для частного решения: 

$
y'_"частн" eq (A e^(-2x))' = -2 A e^(-2x)
$

$
y''_"частн" eq (-2 A e^(-2x))' = 4 A e^(-2x)
$

Подставим в исходное уравнение: 

$
4 A e^(-2x) + 8 A e^(-2x) + 5 A e^(-2x) = 4e^(-2x)
$

Вынеся $e^(-2x)$ за скобки получим: 

$
e^(-2x) (4A + 8A + 5A) = e^(-2x)(4)
$

Отсюда видно, что

$
4A + 8A + 5A = 4 arrow.double 17A = 4 arrow.double A = frac(4, 17)
$

Тогда 

$
y_"частн" = A e^(-2x) = frac(4, 17) e^(-2x)
$

Запишем общее решение: 

$
y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x) + frac(4, 17) e^(-2x)
$

Теперь решим задачу Коши. Чтобы определить коэффициенты, подставим $0$ вместо $x$:

$
y = C_1 + frac(4, 17)
$

по условию $y(0) = 0$, то есть 

$
C_1 + frac(4, 17) = 0 arrow.double C_1 = -frac(4, 17).
$

Найдем производную $y'$:

$
y' = C_1 (e^(2x) cos x)' + C_2 (e^(2x) sin x)' + frac(4, 17)(e^(-2x))' = \
= C_1 (2e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C_2 (2e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) - frac(8, 17)e^(-2x) = \
= e^(2x)((2C_1 + C_2) cos x + (2 C_2 - C_1) sin x) - frac(8, 17) e^(-2x)
$

По условию $y'(0) = 1$. Подставим $0$ вместо $x$ и получим: 

$
y'(0) = 2C_1 + C_2 - frac(8, 17) = 1
$

Подставим $C_1 = -frac(4, 17)$:

$
-frac(8, 17) + C_2 - frac(8, 17) = 1 arrow.double C_2 = frac(33, 17)
$

Подставим найденные коэффициенты в итоговое решение: 

$
y = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
$


#pagebreak()
#align(center)[=== Метод вариации постоянной]

(Дощенников Никита)

Напомним вид общего решения для однородного уравнения: 

$
y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
$

Раскроем скобки и получим

$
y_"общ" = C_1 e^(2 x) cos x + C_2 e^(2 x) sin x
$

Сведем все к системе: 

$
cases(
  C'_1 (x) y_1 + C'_2 (x) y_2 = 0,
  C'_1 (x) y'_1 + C'_2 (x) y'_2 = f(x)
)
$

где $y_1 = e^(2x) cos x, space y_2 = e^(2x) sin x, space f(x) = 4 e^(-2x)$.

Найдем производные для $y_1$ и $y_2$:

$
y_1' = (e^(2x) cos x)' = 2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x
$

$
y_2' = (e^(2x) sin x)' = 2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x 
$

Тогда система примет следующий вид: 

$
cases(
  C'_1(x) (e^(2x) cos x) + C'_2(x) (e^(2x) sin x) = 0,
  C'_1(x) (2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C'_2(x) (2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) = 4e^(-2x),
)
$

Из первого уравнения системы: 

$
C'_1 = -C'_2 frac(e^(2x) sin x, e^(2x) cos x) = -C'_2 tg x
$

Подставим во второе уравнение системы и вынесем $C'_2 e^(2x)$: 

$
C'_2 e^(2x) (-tg x(2 cos x - sin x) + 2 sin x + cos x) = 4 e^(-2x)
$

Упростим

$
-tg x(2 cos x - sin x) = -frac(sin x, cos x) (2 cos x - sin x) = -2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)
$

Тогда

$
(-2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)) + 2 sin x + cos x = frac(sin^2 x + cos^2 x, cos x) = frac(1, cos x)
$

Вернемся в уравнение 2 системы. С учетом упрощения оно примет следующий вид:

$
C'_2 e^(2x) dot frac(1, cos x) = 4 e^(-2x) 
$

Отсюда 

$
C_2' = 4e^(-4x) cos x
$

Найдем $C'_1$

$
C'_1 = -C'_2 tg x = -4e^(-4x) cos x frac(sin x, cos x) = -4e^(-4x) sin x
$

Проинтегрируем и получим

$
C_1 = -4 integral e^(-4x) sin x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) \
C_2 = 4 integral e^(-4x) cos x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x)
$

Подставим в формулу частного решения: 

$
y_"частн" = C_1 (x) y_1 + C_2 (x) y_2 = \
= frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) dot e^(2x) cos x + frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x) dot e^(2x) sin x = \
= frac(4, 17) e^(-2x) ((4 sin x + cos x ) cos x + (4 cos x - sin x) sin x) = \
= frac(4, 17) e^(-2x) (4 sin x cos x + 4 cos x sin x + cos^2 x - sin^2 x) = \
= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + (cos^2 x + sin^2 x)) = \
= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + 1) = \
= frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2x)
$

Так как $e^(-2x) cos 2 x$ и $e^(-2x) sin 2x$ -- решения однородного уравнения, то выражение $frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2 x)$ -- это частное решение и часть однородного решения. Тогда окончательно получим

$
y_"частн" = frac(4, 17) e^(-2x)
$

Запишем общее решение: 

$
y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
$

Дальнейшее решение задачи Коши идентично описанному в первом методе.


#pagebreak()
#align(center)[=== Операционный метод] (Левахин Лев)


Применим преобразование Лапласа к исходному уравнению:
$ L[y''] - 4L[y'] + 5L[y] = 4L[e^(-2x)] $

Используем свойства преобразования Лапласа:
$ (p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)) - 4(p Y(p) - y(0)) + 5Y(p) = 4/(p+2) $

Подставим начальные условия $y(0)=0$, $y'(0)=1$:
$ (p^2 Y(p) - 1) - 4p Y(p) + 5Y(p) = 4/(p+2) $

Сгруппируем члены с $Y(p)$:
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) - 1 = 4/(p+2) $
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) = 1 + 4/(p+2) = (p+6)/(p+2) $

Выразим $Y(p)$:
$ Y(p) = (p+6)/((p+2)(p^2 - 4p + 5)) $

Разложим на простейшие дроби. Для этого сначала представим:
$ Y(p) = A/(p+2) + (B*p + C)/(p^2 - 4p + 5) $

Умножим обе части на $(p+2)(p^2 - 4p + 5)$:
$ p+6 = A(p^2 - 4p + 5) + (B*p + C)(p+2) $
$ p+6 = A p^2 - 4A p + 5A + B p^2 + 2B p + C p + 2C $
$ p+6 = (A+B)p^2 + (-4A + 2B + C)p + (5A + 2C) $

Получим систему уравнений:
$
cases(
  A + B = 0,
  -4A + 2B + C = 1,
  5A + 2C = 6
)
$
A + B = 0, при p^2
-4A + 2B + C = 1, при p^1
5A + 2C = 6, при p^0

Из первого уравнения: $B = -A$. Подставим в остальные:
$
cases(
  -4A - 2A + C = 1,
  5A + 2C = 6
)
$
$
cases(
  -6A + C = 1,
  5A + 2C = 6
)$

Решим систему: из первого $C = 1 + 6A$, подставим во второе:
$ 5A + 2(1 + 6A) = 6 $
$ 5A + 2 + 12A = 6 $
$ 17A = 4 $
$ A = 4/17 $

Тогда:
$ B = -4/17 $
$ C = 1 + 6*(4/17) = 1 + 24/17 = 41/17 $

Итак:
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + ((-4/17)p + 41/17)/(p^2 - 4p + 5) $

Преобразуем второе слагаемое. Заметим, что $p^2 - 4p + 5 = (p-2)^2 + 1$:
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * p + 41/17)/((p-2)^2 + 1) $

Выделим в числителе второй дроби слагаемое $p-2$:
$ -4/17 * p + 41/17 = -4/17 * (p-2) - 8/17 + 41/17 = -4/17 * (p-2) + 33/17 $

Тогда:
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * (p-2) + 33/17)/((p-2)^2 + 1) $
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) - (4/17) * (p-2)/((p-2)^2 + 1) + (33/17)/((p-2)^2 + 1) $

Применим обратное преобразование Лапласа, используя свойства:
$ L^(-1)[1/(p+2)] = e^(-2t) $
$ L^(-1)[(p-2)/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) cos t $
$ L^(-1)[1/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) sin t $

Получаем решение:
$ y(x) = (4/17)e^(-2x) - (4/17)e^(2x) cos x + (33/17)e^(2x) sin x $

Или в более компактной форме:
$ y(x) = e^(2x)(-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17)e^(-2x) $

Полученное решение полностью совпадает с результатами предыдущих методов.


#pagebreak()
#align(center)[=== Метод разложения в ряд] (Останин Андрей)

Ищем решение в виде степенного ряда:
$
y(x) = sum_(n=0)^infinity a_(n) x^n
$

Тогда производные имеют вид:
$
y'(x) = sum_(n=1)^infinity n a_(n) x^(n-1), quad
y''(x) = sum_(n=2)^infinity n(n-1) a_(n) x^(n-2)
$

Правая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
$
4 e^(-2x) = sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n, quad
b_(n) = frac(4 (-2)^n, n!)
$

Приведём ряды для производных к одинаковым степеням $x^n$:
$
y'' = sum_(n=0)^infinity (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n
$

$
y' = sum_(n=0)^infinity (n+1) a_(n+1) x^n
$

Подставляя полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
$
sum_(n=0)^infinity [
(n+2)(n+1) a_(n+2)
- 4 (n+1) a_(n+1)
+ 5 a_(n)
] x^n
=
sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n
$

Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:
$
(n+2)(n+1) a_(n+2)
- 4 (n+1) a_(n+1)
+ 5 a_(n)
=
b_(n)
$

Начальные условия задачи Коши дают:
$
a_(0) = y(0) = 0, quad a_(1) = y'(0) = 1
$

Найдём первые коэффициенты ряда.

При $n = 0$:
$
2 a_(2) - 4 a_(1) + 5 a_(0) = 4
$
$
2 a_(2) - 4 = 4 arrow.double a_(2) = 4
$

При $n = 1$:
$
6 a_(3) - 8 a_(2) + 5 a_(1) = -8
$
$
6 a_(3) - 32 + 5 = -8 arrow.double a_(3) = frac(19, 6)
$

При $n = 2$:
$
12 a_(4) - 12 a_(3) + 5 a_(2) = 8
$
$
12 a_(4) - 38 + 20 = 8 arrow.double a_(4) = frac(13, 6)
$

При $n = 3$:
$
20 a_(5) - 16 a_(4) + 5 a_(3) = - frac(16, 3)
$
$
20 a_(5) - frac(208, 6) + frac(95, 6) = - frac(16, 3)
arrow.double a_(5) = frac(27, 40)
$

Таким образом, решение в виде степенного ряда имеет вид:
$
y(x) =
x
+ 4 x^2
+ frac(19, 6) x^3
+ frac(13, 6) x^4
+ frac(27, 40) x^5
+ dots
$

Полученное разложение совпадает с рядом Тейлора точного решения, найденного ранее другими методами.

