#set text(size: 1.3em)
#set math.equation(numbering: "(1)")

#align(center)[=== Однородные]

1. Если $k_1 eq.not k_2$ - действительные и различные, то #align(center)[$y eq C_1 dot e^(k_1 x) + C_2 dot e^(k_2 x)$]

2. Если $k_1 eq k_2$ - действительные и совпавшие, то #align(center)[$y eq e^(k_1 x) dot (C_1 plus C_2 x)$]

3. Если $k_(1, 2) eq alpha plus.minus beta i$ - комплексные корни, то #align(center)[$y eq e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x plus C_2 dot sin beta x).$]

#align(center)[=== Неоднородные]

1. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq P_n (x) dot e^(alpha x).$]
    - Если $alpha$ не является корнем характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
    - Если $alpha$ - корень характеристического уравнения кратности $S$ ($S in {1, 2}$), то #align(center)[$y_"частное" eq x^S dot e^(alpha x) dot Q_n (x).$]

2. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq e^(alpha x) dot (P_n (x) dot cos beta x + Q_m (x) dot sin beta x), space.quad N eq max(n, m).$]

    - Если $alpha plus.minus beta i$ не являются корнями характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
    - Если $alpha plus.minus beta i$ - корни характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq x dot e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]

=== Метод Лагранжа (Метод вариации постоянных)

$
cases(C'_1 (x) y_1 plus C'_2 (x) y_2 eq 0, C'_1 (x) y'_1 plus C'_2 (x) y'_2 eq f(x))
$

=== Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным

$
y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
$ <eq1>

если $c_1 eq c_2 eq 0$, то @eq1 -- однородное дифференциальное уравнение.

Пусть $c_1$ и $c_2$ не равны нулю (или одно из них)

Замена 

$
x eq u + alpha, space.quad y eq v + beta,
$

где $u, v$ -- новые переменные, $alpha, beta$ -- постоянные.

$
d x eq d u, space.quad d y eq d v 
$

$
frac(d v, d u) eq frac(alpha_1 (u + alpha) + b_1 (v + beta) + c_1, a_2 (u + alpha) + b_2 (v + beta) + c_2)
$

$
frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v + (a_1 alpha + b_1 beta + c_1), a_2 u + b_2 v + (a_2 alpha + b_2 beta + c_2))
$

$
cases(
  a_1 alpha + b_1 beta + c_1 eq 0,
  a_2 alpha + b_2 beta + c_2 eq 0
)
$ <sys2>

$
frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v, a_2 u + b_2 v)
$

Если @sys2 не имеет решений, то есть

$
mat(
  a_1, b_1;
  a_2, b_2;
  delim: "|"
) eq a_1 b_2 - a_2 b_1 eq 0
$

$
a_1 / a_2 eq b_1 / b_2 eq k, space.quad a_1 eq k dot a_2, space.quad b_1 eq k dot b_2
$

Тогда 

$
y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
$

$
y' eq frac(k a_2 x + k b_2 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
$

$
y' eq frac(k(a_2 x + b_2 y) + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
$

Замена $a_2 x + b_2 y eq z$

$
y' eq frac(k z + c_1, z + c_2)
$

=== Метод Бернулли

$
y' + p(x) dot y eq g(x)
$

$
y' + y dot underbrace(cos x, p(x)) eq underbrace(sin x dot cos x, g(x))
$

$
y eq u dot v, " где " u eq u(x), space v eq v(x)
$

$
y eq underbrace(y / v, u) dot v eq u dot v
$

$
y' eq u' dot v + u dot v'
$

Подставим в изначальный пример

$
underbrace(u' dot v + u dot v', y') + underbrace(u dot v, y) dot cos x eq sin x cos x 
$

$
u' dot v + u dot underbrace((v' + v dot cos x), eq 0) eq sin x cos x
$

$
v' + v dot cos x eq 0
$

$
integral frac(d v, v) eq - integral cos x space d x
$

$
ln |v| eq - sin x, space.quad c eq 0
$

$
v eq e^(- sin x)
$

Теперь подставим $v$

$
u' dot underbrace(e^(- sin x), v) eq sin x cos x
$

$
integral d u eq integral e^(sin x) dot sin x dot cos x dot d x
$

$
u eq sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C
$

$
y eq u dot v, space.quad y eq (sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C) dot e^(-sin x)
$

$
y eq sin x - 1 + C dot e^(-sin x)
$

=== Метод вариации произвольнОЙ постояннОЙ (метод Лагранжа)

$
y' + p(x) y eq g(x)
$

$
y' + p(x) y eq 0
$

$
frac(d y, d x) eq -p(x) y space.quad | dot frac(d x, y)
$

$
integral frac(d y, y) eq -integral p(x) d x
$

$
ln |y| = -integral p(x) d x + ln |C_1|
$

$
ln |y| - ln |C_1| = -integral p(x) d x
$

$
ln |y/(C_1)| eq -integral p(x) d x
$

$
|y/(C_1)| eq e^(-integral p(x) d x)
$

$
y eq plus.minus C_1 dot e^(-integral p(x) d x)
$

$
y eq C dot e^(-integral p(x) d x)
$

Полагаем $C eq C(x)$

$
y eq C(x) dot e^(-integral p(x) d x)
$

Потом можно найти $y'$ и подставить $y$ и $y'$ в изначальное уравнение и найти $C(x)$. Готовая формула выглядит вот так

$
y eq (integral g(x) dot exp(integral p(x) d x) dot d x + C) dot exp(-integral p(x) d x)
$

=== Уравнение в полных дифференциалах

$
y' eq - frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
$

$
frac(d y, d x) eq -frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
$

$
underbrace((e^x + y + sin y), P(x, y)) d x + underbrace((e^y + x + x dot cos y), Q(x, y)) dot d y eq 0
$

$
P(x, y) eq e^x + y + sin y
$

$
Q(x, y) eq e^y + x + x dot cos y
$

$
frac(partial P, partial y) eq 1 + cos y, space.quad frac(partial Q, partial x) eq 1 + cos y
$

Значит уравнение в полных дифференциалах

$
d u eq (e^x + y + sin y) d x + (e^y + x + x dot cos y) d y 
$

$
d u eq frac(partial u, partial x) dot d x + frac(partial u, partial y) dot d y
$

$
frac(partial u, partial x) eq e^x + y + sin y
$

$
frac(partial u, partial y) eq e^y + x + x dot cos y
$

$
u(x, y) eq integral (e^x + y + sin y) d x eq e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y)
$

$
frac(partial u, partial y) eq (e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y))'_y eq x + x dot cos y + phi' (y)
$

$
x + x dot cos y + phi'(y) eq e^y + x + x cos y
$

$
phi'(y) eq e^y arrow.double integral e^y d y 
$

$
phi(y) eq e^y + C
$

$
u(x, y) eq e^x + y dot x + sin y dot x + e^y + C
$

$
e^x + y dot x + sin y dot x + e^y eq C_2
$

=== Интегрирующий множитель

$
mu(x, y) - "интегрирующий множитель"
$

$
mu(x, y) dot P(x, y) d x + mu(x, y) dot Q(x, y) d y eq 0
$

$
frac(partial(mu(x, y) dot P(x, y)), partial y) eq frac(partial(mu(x, y) dot Q(x, y)), partial x)
$

$
mu eq mu(x, y), space.quad P eq P(x, y), space.quad Q eq Q(x, y)
$

$
frac(partial M, partial y) dot P + mu dot frac(partial P, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot Q + mu dot frac(partial Q, partial x)
$

$
frac(partial mu, partial y) dot P - frac(partial mu, partial x) dot Q eq mu dot (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y))
$

1) Пусть $mu eq mu(x)$

$
- frac(d mu, d x) dot Q eq mu dot (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y))
$

$
frac(d mu, mu) eq -1/Q (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)) dot d x
$

$
ln mu eq integral 1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)) dot d x
$

$
mu (x) eq exp(integral underbrace(1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)), eq F_1 (x)) dot d x)
$

При этом

$
1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)) eq F_1 (x)
$

То есть зависеть только от $x$.

2) Пусть $mu eq mu(y)$

Размышляя аналогично, получим формулу

$
mu(y) eq exp(integral underbrace(1/P (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)), eq F_2 (y)) d y)
$

При этом 

$
1/P (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)) eq F_2 (y)
$

То есть зависеть только от $y$.
