#set text(size: 1.3em)

#align(center)[=== Однородные]

1. Если $k_1 eq.not k_2$ - действительные и различные, то #align(center)[$y eq C_1 dot e^(k_1 x) + C_2 dot e^(k_2 x)$]

2. Если $k_1 eq k_2$ - действительные и совпавшие, то #align(center)[$y eq e^(k_1 x) dot (C_1 plus C_2 x)$]

3. Если $k_(1, 2) eq alpha plus.minus beta i$ - комплексные корни, то #align(center)[$y eq e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x plus C_2 dot sin beta x).$]

#align(center)[=== Неоднородные]

1. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq P_n (x) dot e^(alpha x).$]
    - Если $alpha$ не является корнем характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
    - Если $alpha$ - корень характеристического уравнения кратности $S$ ($S in {1, 2}$), то #align(center)[$y_"частное" eq x^S dot e^(alpha x) dot Q_n (x).$]

2. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq e^(alpha x) dot (P_n (x) dot cos beta x + Q_m (x) dot sin beta x), space.quad N eq max(n, m).$]

    - Если $alpha plus.minus beta i$ не являются корнями характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
    - Если $alpha plus.minus beta i$ - корни характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq x dot e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]

=== Метод Лагранжа (Метод вариации постоянных)

$
cases(C'_1 (x) y_1 plus C'_2 (x) y_2 eq 0, C'_1 (x) y'_1 plus C'_2 (x) y'_2 eq f(x))
$
