upd
This commit is contained in:
@@ -1,4 +1,5 @@
|
||||
#import "@preview/scripst:1.1.1": *
|
||||
#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx
|
||||
|
||||
#show: scripst.with(
|
||||
template: "article",
|
||||
@@ -1015,21 +1016,124 @@ $ <eq175>
|
||||
И так далее. Таким образом, порядок уравнения понизится на 1. Функцию $y eq 0$ следует рассмотреть отдельно.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[
|
||||
|
||||
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[
|
||||
|
||||
Докажите, что если $phi_1$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t)$, $phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_2 (t)$, то $phi_1 + phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t) + q_2 (t)$.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
|
||||
|
||||
Таким образом, если все корни характеристического уравнения кратности $n$ вещественны, то фундаментальная система решений состоит из следующих функций:
|
||||
|
||||
$
|
||||
e^(lambda_1 x), e^(lambda_2 x), dots, e^(lambda_n x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
|
||||
|
||||
Если среди корней есть кратные, то для каждого из них нужно найти столько линейно независимых решений, какова его кратность. Рассмотрим эту ситуацию для уравнения второго порядка:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y'' + a_1 y' + a_2 y eq 0.
|
||||
$ <eq94>
|
||||
|
||||
Напишем характеристическое уравнение:
|
||||
|
||||
$
|
||||
lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Пусть $lambda_1$ -- корень второй кратности характеристического уравнения. Тогда дискриминант уравнения равен нулю: $D eq a_1^2 - 4 a_2 eq 0$. Следовательно,
|
||||
|
||||
$
|
||||
lambda_1 eq -frac(a_1, 2).
|
||||
$ <eq96>
|
||||
|
||||
Одно из решений уравнения @eq94 -- это $e^(lambda_1 x)$. Найдем второе решение, линейно независимое с ним. Будем искать его в виде:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y_2 eq u(x) dot e^(lambda_1 x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y'_2 eq e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u),
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
y''_2 eq e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Подставим $y_2, y_2', y_2''$ в исходное уравнение @eq94:
|
||||
|
||||
$
|
||||
e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u) + a_1 e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u) + a_2 u e^(lambda_1 x) eq 0 \
|
||||
arrow.double.l.r e^(lambda_1 x) (u'' + underbrace((2 lambda_1 + a_1), eq 0 (" в силу " lambda_1 eq -frac(a_1, 2) ))) u' + underbrace((lambda_1^2 + a_1 lambda_1 + a_2), eq 0 ("в силу" lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0) u') eq 0 arrow.double.l.r \
|
||||
arrow.double.l.r u'' eq 0 arrow.double.l.r u eq C_1 x + C_2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Выберем функцию $u$ следующим образом: $u eq x$. Тогда:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y_2 eq x dot e^(lambda_1 x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Проверим, что решения $y_1$ и $y_2$ будут линейно независимы:
|
||||
|
||||
$
|
||||
W(y_1, y_2) eq mat(y_1, y_2; y'_1, y'_2; delim: "|") eq mat(e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x); lambda_1 e^(lambda_1 x), e^(lambda_1 x) + lambda_1 x e^(lambda_1 x)) eq e^(2 lambda_1 x) eq.not 0.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Таким образом фундаментальная система решений для уравнения @eq94 имеет вид:
|
||||
|
||||
$
|
||||
e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
...
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[
|
||||
|
||||
Метод неопределенных коэффициентов работает только для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью $f(x)$ специального вида.
|
||||
|
||||
$
|
||||
y^((n)) + a_1 y^((n - 1)) + dots + a_n y eq f(x),
|
||||
$
|
||||
|
||||
где $a_1, a_2, dots, a_n$ -- некоторые постоянные.
|
||||
|
||||
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения удается подобрать. Составим таблицу видов частных решений для различных видов правых частей $f(x)$.
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
tablex(columns: 3, align: horizon, [Правая часть дифференциального уравнения], [Корни характеристического уравнения], [Виды частного решения], rowspanx(2)[$P_m (x)$], [1) Число 0 не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x)$], (), [2) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x)$], rowspanx(2)[$P_m (x) e^(alpha x)$], [1) Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], (), [2) Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], rowspanx(2)[$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$], [1) Числа $plus.minus$ i beta не являются корнями характеристического уравнения], [$tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x$], (), [2) Числа $plus.minus beta i$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x)$], rowspanx(2)[$e^(alpha x) (P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x)$], [1) Числа $alpha plus.minus i beta$ не являются корнями характеристического уравнения], [$(tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$], (), [2) Числа $alpha plus.minus beta$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$]),
|
||||
caption: [Таблица видов частных решений для различных видов правых частей],
|
||||
supplement: [Табл.]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
$k$ -- наибольшая из степеней $m$ и $n$.
|
||||
$tilde(P)_m (x)$ -- это полином степени $m$ с неопределенными коэффициентами.
|
||||
|
||||
Если правая часть уравнения $f(x)$ есть сумма двух правых частей специального вида: $f(x) eq f_1 (x) + f_2 (x)$, то частное решение следует искать в виде суммы двух решений: $Y_1 + Y_2$, где $Y_1$ отвечает правой части $f_1$, а $Y_2$ отвечает правой части $f_2$.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[
|
||||
|
||||
Метод исключения аналогичен соответствующему алгебраическому методу.
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user