upd

exam/questions.typ

@@ -151,7 +151,7 @@ $
 
 $
 y' eq f(y/x)
-$
+$ <eq_homo>
 
 ]
 
@@ -506,7 +506,28 @@ $
   Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
 
 ]
-#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[
+
+  Сведем уравнение @eq_homo к уравнению с разделяющимися переменными. 
+
+  Для этого сделаем замену:
+
+  $
+  y/x eq u arrow.double.l.r y eq u x.
+  $
+
+  Следовательно,
+
+  $
+  y' eq u' dot x + u, space.quad d y eq u d x + x d u.
+  $
+
+  Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq_homo: 
+
+  $
+  u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u)
+  $
+]
 #countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
 
@@ -544,7 +565,7 @@ $
 
   $
   u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
-  $
+  $ <eq122>
 
   Тогда $Y'$ примет вид: 
 
@@ -563,13 +584,216 @@ $
   $
   u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
 
-  arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 -- "решение ЛОДУ")) 
+  arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 - "решение ЛОДУ")) + u_2 underbrace(y''_2 + a_1 y'_2 + a_2 y_2, eq 0 (y_2 - "решение ЛОДУ")) + u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
+  $
+
+  Учитывая введенные ранее ограничения @eq122, получаем систему уравнений для функций $u'_1, u'_2$:
+
+  $
+  cases(
+    u'_1 y_1 + u'_2 y_2 eq 0,
+    u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
+  )
+  $ <eq124>
+
+  Определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке в силу линейной независимости решений $y_1, y_2$.
+
+  Следовательно, система @eq124 разрешима единственным образом и при любой правой части. Пусть её решения имеют вид: 
+
+  $
+  cases(
+    u'_1 eq phi_1 (x),
+    u'_2 eq phi_2 (x).
+  )
+  $
+
+  Тогда функции $u_1 (x), u_2 (x)$ находятся интегрированием: 
+
+  $
+  cases(
+    u_1 eq integral phi_1 (x) space d x, 
+    u_2 eq integral phi_2 (x) space d x.
+  )
+  $
+
+  2) Рассмотрим уравнение $n$-го порядка:
+
+  $
+  y^((n)) + a_1 (x) y^((n - 1)) + dots + a_n (x) y eq f(x).
+  $
+
+  Здесь все построения аналогичны.
+
+  Решение ЛОДУ имеет вид: 
+
+  $
+  tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2 + dots + C_n y_n.
+  $
+
+  Частное решение ЛНДУ ищем в виде: 
+
+  $
+  Y eq u_1 (x) y_1 (x) + u_2 (x) y_2 (x) + dots + u_n (x) y_n (x).
+  $
+
+  Следуя описанной процедуре, получаем следующую систему уравнений для функций $u'_1, u'_2, dots, u'_n$:
+
+  $
+  cases(
+    u'_1 y_1 + u'_2 y_2 + dots + u'_n y_n eq 0,
+    u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 + dots + u'_n y'_n eq 0,
+    dots dots dots, 
+    u'_1 y_1^((n - 1)) + u'_2 y_2^((n - 1)) + dots + u'_n y_n^((n - 1)) eq f(x).
+  )
+  $ <eq131>
+
+  Определитель этой системы -- это определитель Вронского: 
+
+  $
+  mat(
+    y_1, y_2, dots, y_n;
+    y'_1, y'_2, dots, y'_n;
+    dots, dots, dots, dots;
+    y_1^((n - 1)), y_2^((n - 1)), dots, y_n^((n - 1));
+    delim: "|"
+  ) eq.not 0 " ни в одной точке".
+  $
+
+  Следовательно, система @eq131 разрешима единственным образом и при любой правой части. Решая её, находим $u'_1, u'_2, dots, u'_n$. Функции $u_1 (x), u_2 (x), dots, u_n (x)$ находятся интегрированием.
+
+]
+#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[
+
+  Напомним, что уравнением Бернулли называется уравнение вида
+
+  $
+  y' + p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где " a = "conts", space a eq.not 0, space a eq.not 1.
+  $ <eq40>
+
+  Его решение можно получить двумя способами.
+
+  *I*. Сведение к линейному уравнению.
+
+  Разделим обе части уравнения @eq40 на $y^a$:
+
+  $
+  frac(y', y^a) + p(x) y^(1 - a) eq q(x).
+  $
+
+  Сделаем замену: $z eq y^(1 - a)$.
+
+  Соответственно,
+
+  $
+  z' eq (1 - a) dot y^(-a) dot y' arrow.double.l.r frac(y', y^a) eq frac(z', 1 - a) .
+  $
+
+  Подстановим $z$ и $z'$ в исходное уравнение: 
+
+  $
+  frac(1, 1 - a) z' + p(x) z eq q(x).
+  $
+
+  Мы получили линейное уравнение.
+
+  *II*. (сведение к уравнению с разделяющимися переменными)
+
+  Сделаем замену переменной как в линейном уравнении:
+
+  $
+  y eq u dot e^(- integral p(x) d x).
+  $
+
+  Тогда 
+
+  $
+  y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).  
+  $
+
+  Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq40:
+  $
+  u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p (x) d x) dot (-p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq \
+  eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r d u eq q(x) u^a dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r  \
+
+  arrow.double.l.r frac(d u, u^a) eq q(x) dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x.
+  $
+
+  Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
+]
+#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[
+  Если $M d x + N d y$ представляет собой полный дифференциал, то восстановить функцию $u(x, y)$ с точностью до константы по её известному полному дифференциалу
+
+  $
+  d u eq M(x, y) d x + N(x, y) d y
+  $ <eq47>
+
+  можно с помощью криволинейного интеграла. А именно зафиксируем некоторую точку $(x_0, y_0)$. Тогда криволинейный интеграл
+
+  $
+  u(x, y) eq integral_L (M(x, y) d x + N(x, y) d y)
+  $ <eq48>
+
+  по произвольной кривой от точки $(x_0, y_0)$ до текущей точки $(x, y)$ даст значение функции $u(x, y)$, дифференциал которой имеет вид @eq47. Изменение начальной точки $(x_0, y_0)$ приводит к добавлению постоянной (функция $u(x, y)$ находится с точностью до константы).
+
+  Формула @eq48 принимает более удобный вид, если кривую $L$ выбрать в виде ломаной, показанной на  @img7.
+
+  #align(center)[
+    #figure(
+      image("assets/7.png"),
+      caption: [Кривая интегрирования $L$.],
+      supplement: [Рис.]
+    ) <img7>
+  ]
+
+  При таком выборе $L$ имеем: 
+
+  $
+  u(x, y) eq integral_(x_0)^x M(x, y_0) d x + integral_(y_0)^y N(x, y) d y.
+  $
+
+  Соответственно, решение уравнения: 
+
+  $
+  u(x, y) eq C.
   $
 
 ]
-#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[]
-#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[]
-#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[
+  Напомним вид интегрирующего множителя:
+
+  $
+  d u eq mu M d x + mu N d y.
+  $
+
+  Напишем условие того, что $d u$ является полным дифференциалом: 
+
+  $
+  frac(partial, partial y) (mu M) eq frac(partial, partial x) (mu N) arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r frac(partial mu, partial y) dot M + mu dot frac(partial M, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot N + mu dot frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \ 
+
+  arrow.double.l.r N frac(partial mu, partial x) - M frac(partial mu, partial y) eq (frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x)) mu arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r N dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y)) - M dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y), frac(partial ln mu, partial y)) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \
+
+  arrow.double.l.r N dot frac(partial ln mu, partial x) - M dot frac(partial ln mu, partial y) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x).
+  $ <eq52>
+
+  Таким образом, для нахождения инегрирующего множителя мы получим уравнение в частных производных. Иногда удается найти его решение. Если $mu eq mu(x)$, то $frac(partial mu, partial y) eq 0$ и уравнение @eq52 примет вид:
+
+  $
+  frac(d ln mu, d x) eq frac(frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x), N).
+  $
+
+  Если правая часть уравнения не зависит от $y$, то $ln mu$ находится интегрированием.
+
+]
 #countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
@@ -577,7 +801,11 @@ $
 #countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
-#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[
+
+  Докажите, что если $phi_1$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t)$, $phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_2 (t)$, то $phi_1 + phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t) + q_2 (t)$.
+
+]
 #countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]