upd

exam/questions.typ

@@ -525,8 +525,34 @@ $
   Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq_homo: 
 
   $
-  u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u)
+  u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r frac(d u, d x) dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r \
+  arrow.double.l.r frac(d u, f(u) - u) eq frac(d x, x) arrow.double.l.r integral frac(d u, f(u) - u) eq ln |x| + ln C_1 arrow.double.l.r x eq e^(integral frac(d u, f(u) - u)).
   $
+
+  Как определить, что уравнение однородное?
+  
+  С помощью метода размерностей.
+
+  Припишем функции $y$, переменной $x$ и их дифференциалам некоторые размерности. Например, метры:
+
+  $
+  x tilde "м", space.quad y tilde "м", space.quad d x tilde "м", space.quad d y tilde "м".
+  $
+
+  Производная $y' eq frac(d y, d x) tilde 1$ -- безразмерная величина.
+
+  Для трансцендентных функций (то есть функций, не являющихся алгебраическими: $sin x, cos x, tg x, ctg x, e^x, a^x, ln x, arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x$) в качестве аргумента должна стоять безразмерная величина: $e^(y/x), tg (y/x)$ и так далее.
+
+  Уравнение будет однородным, если в нем складываются величины одной размерности.
+
+  Например:
+
+  $
+  (x^2 + x y) y' eq x sqrt(x^2 - y^2) + x y + y^2, \
+  ("м"^2 + "м" dot "м") dot 1 eq "м" dot sqrt("м"^2 - "м"^2) + "м" dot "м" + "м"^2.
+  $
+
+  Следовательно, уравнение однородное.
 ]
 #countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[