me/differential_equations
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

upd

Browse Source
This commit is contained in:
Doschennikov Nikita
2025-12-26 22:14:59 +03:00
parent b53eb65f5a
commit 5437bf5919
2 changed files with 10593 additions and 3403 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

13678
exam/questions.pdf
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff

270
exam/questions.typ
View File

@@ -1,25 +1,36 @@
#set page( #import "@preview/scripst:1.1.1": *
paper: "a4",
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm), #show: scripst.with(
numbering: "- 1 -" template: "article",
) title: [Дифференциальные уравнения],
#set text( // info: [],
font: "New Computer Modern", author: "Дощенников Никита",
size: 14pt // author: ("AnZrew", "AnZrew"),
) time: datetime.today().display(),
#set par( contents: true,
// first-line-indent: ( content-depth: 3,
// amount: 1.5em, matheq-depth: 2,
// all: true lang: "ru",
// ),
justify: true,
leading: 0.52em,
) )
#align(center)[=== Определения] /*
1. Дифференциальное уравнение #countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[
No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
$
a^n + b^n = c^n
$
for any integer value of $n$ greater than 2.
]
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
*/
#align(center)[= Определения]
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
$ $
@@ -30,9 +41,9 @@ $
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
#line(length: 100%) ]
2. Решение дифференциального уравнения, общее решение #countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
Функция $phi$ - решение уравнения, если Функция $phi$ - решение уравнения, если
@@ -49,9 +60,12 @@ $
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество. Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
#line(length: 100%)
3. Задача Коши ]
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
@@ -67,9 +81,10 @@ $
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными. Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
#line(length: 100%) ]
4. Уравнение с разделяющимися переменными
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
Уравнение в дифференциалах вида Уравнение в дифференциалах вида
@@ -104,10 +119,10 @@ M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
$ $
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
]
#line(length: 100%)
5. Однородная функция #countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
@@ -117,9 +132,10 @@ $
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$). Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
#line(length: 100%)
6. Однородное ДУ первого порядка ]
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
@@ -137,9 +153,10 @@ $
y' eq f(y/x) y' eq f(y/x)
$ $
#line(length: 100%) ]
7. Линейное ДУ первого порядка
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
Дифференциальное уравнение вида Дифференциальное уравнение вида
@@ -161,9 +178,10 @@ $
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции. где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
#line(length: 100%) ]
8. Уравнение Бернулли
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
Уравнением Бернулли называют уравнение вида Уравнением Бернулли называют уравнение вида
@@ -189,9 +207,9 @@ $
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1 y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
$ $
#line(length: 100%) ]
9. Уравнение в полных дифференциалах #countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
Уравнение Уравнение
@@ -227,10 +245,10 @@ $
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x). frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
$ $
#line(length: 100%) ]
10. Особое решение ДУ
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
$ $
@@ -251,9 +269,11 @@ $
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши. Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
#line(length: 100%)
11. ДУ высшего порядка, задача Коши для него ]
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
@@ -300,9 +320,11 @@ $
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения. Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
#line(length: 100%)
12. Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное ]
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
@@ -338,13 +360,11 @@ $
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка. называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
#line(length: 100%) ]
13. Линейная независимость функций #countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
#line(length: 100%) #countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
14. Определитель Вронского
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
@@ -356,9 +376,11 @@ W (t) colon.eq mat(
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|") y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
$ $
#line(length: 100%) ]
15. Фундаментальная система решений
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений. Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
@@ -366,9 +388,11 @@ $
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
#line(length: 100%) ]
16. Характеристический многочлен
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
Многочлен Многочлен
@@ -378,9 +402,10 @@ $
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения. называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
#line(length: 100%) ]
17. Система ДУ, решение системы
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши: Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
@@ -426,10 +451,9 @@ $
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \ phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b). dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
$ $
]
#line(length: 100%) #countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
18. Линейная однородная и неоднородная система ДУ
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
@@ -447,9 +471,11 @@ $
называется однородной, в противном случае -- неоднородной. называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
#line(length: 100%) ]
19. Функция оригинал
#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям: Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
@@ -460,11 +486,9 @@ $
$ $
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t). |f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
$ $
]
#line(length: 100%) #countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
20. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида: Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
$ $
@@ -472,39 +496,103 @@ $
$ $
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$. где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
]
#pagebreak() #pagebreak()
#align(center)[=== Теоремы] #align(center)[= Теоремы]
1. О существовании решения ДУ
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$. Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
2. Решение однородного дифференциального уравнения ]
3. О решении линейного однородного уравнения #countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[]
4. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной) #countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
5. Метод Бернулли #countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
6. О полном дифференциале
7. Об интегрирующем множителе Рассмотрим уравнение второго порядка:
8. О существовании решения ДУ высших порядков
9. Замены для уравнений, допускающих понижение порядка $
10. Свойства решений линейного однородного ДУ y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
11. Необходимое условие линейной зависимости решений $ <eq119>
12. Достаточное условие линейной зависимости решений
13. О базисе пространства решений Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
14. Общее решение линейного неоднородного ДУ
15. Принцип суперпозиции $
16. Метод вариации произвольных постоянных tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
17. О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена $ <eq120>
18. О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена
19. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
20. Метод неопределенных коэффициентов
21. Метод исключения для решения системы ДУ Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:
22. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах
23. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах $
24. Общее решение линейной неоднородной системы ДУ Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
25. Свойства преобразования Лапласа $ <eq121>
26. О дифференцировании изображения
27. О дифференцировании оригинала Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.
28. Об интегрировании оригинала
29. Преобразования Лапласа простейших функций Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.
$
Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
$
Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение:
$
u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
$
Тогда $Y'$ примет вид:
$
Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
$
Соответственно,
$
Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
$
Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:
$
u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 -- "решение ЛОДУ"))
$
]
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]