upd
This commit is contained in:
13678
exam/questions.pdf
13678
exam/questions.pdf
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -1,26 +1,37 @@
|
|||||||
#set page(
|
#import "@preview/scripst:1.1.1": *
|
||||||
paper: "a4",
|
|
||||||
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
#show: scripst.with(
|
||||||
numbering: "- 1 -"
|
template: "article",
|
||||||
)
|
title: [Дифференциальные уравнения],
|
||||||
#set text(
|
// info: [],
|
||||||
font: "New Computer Modern",
|
author: "Дощенников Никита",
|
||||||
size: 14pt
|
// author: ("AnZrew", "AnZrew"),
|
||||||
)
|
time: datetime.today().display(),
|
||||||
#set par(
|
contents: true,
|
||||||
// first-line-indent: (
|
content-depth: 3,
|
||||||
// amount: 1.5em,
|
matheq-depth: 2,
|
||||||
// all: true
|
lang: "ru",
|
||||||
// ),
|
|
||||||
justify: true,
|
|
||||||
leading: 0.52em,
|
|
||||||
)
|
)
|
||||||
|
|
||||||
#align(center)[=== Определения]
|
/*
|
||||||
|
|
||||||
1. Дифференциальное уравнение
|
#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
|
||||||
|
$
|
||||||
|
a^n + b^n = c^n
|
||||||
|
$
|
||||||
|
for any integer value of $n$ greater than 2.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
|
||||||
|
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
|
||||||
|
|
||||||
|
*/
|
||||||
|
|
||||||
|
#align(center)[= Определения]
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
|
||||||
|
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
F(x, y, y') eq 0.
|
F(x, y, y') eq 0.
|
||||||
@@ -30,11 +41,11 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
2. Решение дифференциального уравнения, общее решение
|
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
phi in C^1 (a, b); \
|
phi in C^1 (a, b); \
|
||||||
@@ -49,9 +60,12 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Задача Коши
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
||||||
|
|
||||||
@@ -67,9 +81,10 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
4. Уравнение с разделяющимися переменными
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Уравнение в дифференциалах вида
|
Уравнение в дифференциалах вида
|
||||||
|
|
||||||
@@ -79,7 +94,7 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
называют уравнением с разделёнными переменными.
|
называют уравнением с разделёнными переменными.
|
||||||
|
|
||||||
Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.
|
Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.
|
||||||
|
|
||||||
Уравнение вида
|
Уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
@@ -104,10 +119,10 @@ M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
|
|||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
|
||||||
|
|
||||||
5. Однородная функция
|
#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
||||||
|
|
||||||
@@ -117,11 +132,12 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
|
||||||
|
|
||||||
6. Однородное ДУ первого порядка
|
]
|
||||||
|
|
||||||
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||||||
@@ -137,11 +153,12 @@ $
|
|||||||
y' eq f(y/x)
|
y' eq f(y/x)
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
7. Линейное ДУ первого порядка
|
|
||||||
|
|
||||||
Дифференциальное уравнение вида
|
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Дифференциальное уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
y' eq p(x) y plus q(x),
|
y' eq p(x) y plus q(x),
|
||||||
@@ -161,14 +178,15 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
8. Уравнение Бернулли
|
|
||||||
|
|
||||||
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
|
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
где $alpha in RR without {0, 1}$.
|
где $alpha in RR without {0, 1}$.
|
||||||
@@ -189,9 +207,9 @@ $
|
|||||||
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
9. Уравнение в полных дифференциалах
|
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Уравнение
|
Уравнение
|
||||||
|
|
||||||
@@ -221,16 +239,16 @@ $
|
|||||||
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
|
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:
|
Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
10. Особое решение ДУ
|
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
|
||||||
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
@@ -251,9 +269,11 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
|
||||||
|
|
||||||
11. ДУ высшего порядка, задача Коши для него
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
@@ -300,11 +320,13 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
|
||||||
|
|
||||||
12. Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное
|
]
|
||||||
|
|
||||||
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
|
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
|
||||||
@@ -338,37 +360,39 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
13. Линейная независимость функций
|
#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
14. Определитель Вронского
|
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
||||||
|
|
||||||
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
W (t) colon.eq mat(
|
W (t) colon.eq mat(
|
||||||
y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
|
y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
|
||||||
dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
|
dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
|
||||||
dots, dots, dots, dots;
|
dots, dots, dots, dots;
|
||||||
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
15. Фундаментальная система решений
|
|
||||||
|
|
||||||
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
||||||
|
|
||||||
#align(center)[ИЛИ]
|
#align(center)[ИЛИ]
|
||||||
|
|
||||||
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
16. Характеристический многочлен
|
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
Многочлен
|
Многочлен
|
||||||
|
|
||||||
@@ -378,14 +402,15 @@ $
|
|||||||
|
|
||||||
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
17. Система ДУ, решение системы
|
|
||||||
|
|
||||||
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
|
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
|
||||||
dots,
|
dots,
|
||||||
frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
|
frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
|
||||||
$
|
$
|
||||||
@@ -403,15 +428,15 @@ $
|
|||||||
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
|
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
|
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
|
||||||
dots,
|
dots,
|
||||||
dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
|
dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
Если ввести в рассмотрение векторы
|
Если ввести в рассмотрение векторы
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
|
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
|
то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
|
||||||
@@ -426,12 +451,11 @@ $
|
|||||||
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
||||||
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
18. Линейная однородная и неоднородная система ДУ
|
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
||||||
|
|
||||||
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
|
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
|
||||||
@@ -442,69 +466,133 @@ $
|
|||||||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
|
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
dot(r) eq P(t) r,
|
dot(r) eq P(t) r,
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
]
|
||||||
|
|
||||||
19. Функция оригинал
|
|
||||||
|
|
||||||
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
|
||||||
|
#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
||||||
|
|
||||||
- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
|
- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
|
||||||
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
|
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
|
||||||
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:
|
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
#line(length: 100%)
|
#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
|
||||||
|
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
||||||
20. Преобразование Лапласа
|
|
||||||
|
|
||||||
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
|
||||||
|
|
||||||
$
|
$
|
||||||
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
||||||
$
|
$
|
||||||
|
|
||||||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
#pagebreak()
|
#pagebreak()
|
||||||
#align(center)[=== Теоремы]
|
#align(center)[= Теоремы]
|
||||||
|
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
|
||||||
|
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
|
||||||
|
|
||||||
|
]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
|
||||||
|
|
||||||
|
Рассмотрим уравнение второго порядка:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
|
||||||
|
$ <eq119>
|
||||||
|
|
||||||
|
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
|
||||||
|
$ <eq120>
|
||||||
|
|
||||||
|
где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
|
||||||
|
|
||||||
|
Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
|
||||||
|
$ <eq121>
|
||||||
|
|
||||||
|
Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.
|
||||||
|
|
||||||
|
Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
|
||||||
|
$
|
||||||
|
|
||||||
|
Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
|
||||||
|
$
|
||||||
|
|
||||||
|
Тогда $Y'$ примет вид:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
|
||||||
|
$
|
||||||
|
|
||||||
|
Соответственно,
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
|
||||||
|
$
|
||||||
|
|
||||||
|
Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:
|
||||||
|
|
||||||
|
$
|
||||||
|
u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||||||
|
|
||||||
|
arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 -- "решение ЛОДУ"))
|
||||||
|
$
|
||||||
|
|
||||||
|
]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
|
||||||
|
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
1. О существовании решения ДУ
|
|
||||||
|
|
||||||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Решение однородного дифференциального уравнения
|
|
||||||
3. О решении линейного однородного уравнения
|
|
||||||
4. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
|
|
||||||
5. Метод Бернулли
|
|
||||||
6. О полном дифференциале
|
|
||||||
7. Об интегрирующем множителе
|
|
||||||
8. О существовании решения ДУ высших порядков
|
|
||||||
9. Замены для уравнений, допускающих понижение порядка
|
|
||||||
10. Свойства решений линейного однородного ДУ
|
|
||||||
11. Необходимое условие линейной зависимости решений
|
|
||||||
12. Достаточное условие линейной зависимости решений
|
|
||||||
13. О базисе пространства решений
|
|
||||||
14. Общее решение линейного неоднородного ДУ
|
|
||||||
15. Принцип суперпозиции
|
|
||||||
16. Метод вариации произвольных постоянных
|
|
||||||
17. О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена
|
|
||||||
18. О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена
|
|
||||||
19. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
||||||
20. Метод неопределенных коэффициентов
|
|
||||||
21. Метод исключения для решения системы ДУ
|
|
||||||
22. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах
|
|
||||||
23. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах
|
|
||||||
24. Общее решение линейной неоднородной системы ДУ
|
|
||||||
25. Свойства преобразования Лапласа
|
|
||||||
26. О дифференцировании изображения
|
|
||||||
27. О дифференцировании оригинала
|
|
||||||
28. Об интегрировании оригинала
|
|
||||||
29. Преобразования Лапласа простейших функций
|
|
||||||
|
|||||||
Reference in New Issue
Block a user