upd
This commit is contained in:
13678
exam/questions.pdf
13678
exam/questions.pdf
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -1,25 +1,36 @@
|
||||
#set page(
|
||||
paper: "a4",
|
||||
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
||||
numbering: "- 1 -"
|
||||
)
|
||||
#set text(
|
||||
font: "New Computer Modern",
|
||||
size: 14pt
|
||||
)
|
||||
#set par(
|
||||
// first-line-indent: (
|
||||
// amount: 1.5em,
|
||||
// all: true
|
||||
// ),
|
||||
justify: true,
|
||||
leading: 0.52em,
|
||||
#import "@preview/scripst:1.1.1": *
|
||||
|
||||
#show: scripst.with(
|
||||
template: "article",
|
||||
title: [Дифференциальные уравнения],
|
||||
// info: [],
|
||||
author: "Дощенников Никита",
|
||||
// author: ("AnZrew", "AnZrew"),
|
||||
time: datetime.today().display(),
|
||||
contents: true,
|
||||
content-depth: 3,
|
||||
matheq-depth: 2,
|
||||
lang: "ru",
|
||||
)
|
||||
|
||||
#align(center)[=== Определения]
|
||||
/*
|
||||
|
||||
1. Дифференциальное уравнение
|
||||
#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[
|
||||
|
||||
No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
|
||||
$
|
||||
a^n + b^n = c^n
|
||||
$
|
||||
for any integer value of $n$ greater than 2.
|
||||
]
|
||||
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
|
||||
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
|
||||
|
||||
*/
|
||||
|
||||
#align(center)[= Определения]
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
|
||||
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
||||
|
||||
$
|
||||
@@ -30,9 +41,9 @@ $
|
||||
|
||||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
2. Решение дифференциального уравнения, общее решение
|
||||
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
|
||||
|
||||
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
||||
|
||||
@@ -49,9 +60,12 @@ $
|
||||
|
||||
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
3. Задача Коши
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
|
||||
|
||||
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
||||
|
||||
@@ -67,9 +81,10 @@ $
|
||||
|
||||
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
4. Уравнение с разделяющимися переменными
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
|
||||
|
||||
Уравнение в дифференциалах вида
|
||||
|
||||
@@ -104,10 +119,10 @@ M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
|
||||
$
|
||||
|
||||
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
||||
]
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
5. Однородная функция
|
||||
#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
|
||||
|
||||
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
||||
|
||||
@@ -117,9 +132,10 @@ $
|
||||
|
||||
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
6. Однородное ДУ первого порядка
|
||||
]
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
|
||||
|
||||
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
||||
|
||||
@@ -137,9 +153,10 @@ $
|
||||
y' eq f(y/x)
|
||||
$
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
7. Линейное ДУ первого порядка
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
|
||||
|
||||
Дифференциальное уравнение вида
|
||||
|
||||
@@ -161,9 +178,10 @@ $
|
||||
|
||||
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
8. Уравнение Бернулли
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
|
||||
|
||||
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
||||
|
||||
@@ -189,9 +207,9 @@ $
|
||||
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
||||
$
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
9. Уравнение в полных дифференциалах
|
||||
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
|
||||
|
||||
Уравнение
|
||||
|
||||
@@ -227,10 +245,10 @@ $
|
||||
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
10. Особое решение ДУ
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
|
||||
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
||||
|
||||
$
|
||||
@@ -251,9 +269,11 @@ $
|
||||
|
||||
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
11. ДУ высшего порядка, задача Коши для него
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
|
||||
|
||||
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
||||
|
||||
@@ -300,9 +320,11 @@ $
|
||||
|
||||
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
12. Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
|
||||
|
||||
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
||||
|
||||
@@ -338,13 +360,11 @@ $
|
||||
|
||||
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
13. Линейная независимость функций
|
||||
#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
14. Определитель Вронского
|
||||
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
|
||||
|
||||
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
||||
|
||||
@@ -356,9 +376,11 @@ W (t) colon.eq mat(
|
||||
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
||||
$
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
15. Фундаментальная система решений
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
|
||||
|
||||
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
||||
|
||||
@@ -366,9 +388,11 @@ $
|
||||
|
||||
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
16. Характеристический многочлен
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
|
||||
|
||||
Многочлен
|
||||
|
||||
@@ -378,9 +402,10 @@ $
|
||||
|
||||
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
17. Система ДУ, решение системы
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
|
||||
|
||||
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
||||
|
||||
@@ -426,10 +451,9 @@ $
|
||||
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
||||
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
18. Линейная однородная и неоднородная система ДУ
|
||||
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
|
||||
|
||||
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
||||
|
||||
@@ -447,9 +471,11 @@ $
|
||||
|
||||
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
]
|
||||
|
||||
19. Функция оригинал
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[
|
||||
|
||||
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
||||
|
||||
@@ -460,11 +486,9 @@ $
|
||||
$
|
||||
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
#line(length: 100%)
|
||||
|
||||
20. Преобразование Лапласа
|
||||
|
||||
#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
|
||||
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
||||
|
||||
$
|
||||
@@ -472,39 +496,103 @@ $
|
||||
$
|
||||
|
||||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
#align(center)[=== Теоремы]
|
||||
|
||||
1. О существовании решения ДУ
|
||||
#align(center)[= Теоремы]
|
||||
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
|
||||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
|
||||
|
||||
2. Решение однородного дифференциального уравнения
|
||||
3. О решении линейного однородного уравнения
|
||||
4. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
|
||||
5. Метод Бернулли
|
||||
6. О полном дифференциале
|
||||
7. Об интегрирующем множителе
|
||||
8. О существовании решения ДУ высших порядков
|
||||
9. Замены для уравнений, допускающих понижение порядка
|
||||
10. Свойства решений линейного однородного ДУ
|
||||
11. Необходимое условие линейной зависимости решений
|
||||
12. Достаточное условие линейной зависимости решений
|
||||
13. О базисе пространства решений
|
||||
14. Общее решение линейного неоднородного ДУ
|
||||
15. Принцип суперпозиции
|
||||
16. Метод вариации произвольных постоянных
|
||||
17. О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена
|
||||
18. О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена
|
||||
19. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
|
||||
20. Метод неопределенных коэффициентов
|
||||
21. Метод исключения для решения системы ДУ
|
||||
22. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах
|
||||
23. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах
|
||||
24. Общее решение линейной неоднородной системы ДУ
|
||||
25. Свойства преобразования Лапласа
|
||||
26. О дифференцировании изображения
|
||||
27. О дифференцировании оригинала
|
||||
28. Об интегрировании оригинала
|
||||
29. Преобразования Лапласа простейших функций
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
|
||||
|
||||
Рассмотрим уравнение второго порядка:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
|
||||
$ <eq119>
|
||||
|
||||
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
|
||||
|
||||
$
|
||||
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
|
||||
$ <eq120>
|
||||
|
||||
где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
|
||||
|
||||
Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
|
||||
$ <eq121>
|
||||
|
||||
Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.
|
||||
|
||||
Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
|
||||
|
||||
Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение:
|
||||
|
||||
$
|
||||
u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Тогда $Y'$ примет вид:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Соответственно,
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:
|
||||
|
||||
$
|
||||
u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||||
|
||||
arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 -- "решение ЛОДУ"))
|
||||
$
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user