me/differential_equations
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

upd

Browse Source
This commit is contained in:
Doschennikov Nikita
2026-01-12 22:37:29 +03:00
parent 71d1d2b37a
commit 6ba38a87bb
6 changed files with 15480 additions and 13338 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

23766
exam/questions.pdf
View File

File diff suppressed because it is too large Load Diff

38
exam/questions.typ
View File

@@ -31,7 +31,7 @@ Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
#align(center)[= Определения]
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение (done)], cb)[
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
$
@@ -44,7 +44,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение (done)], cb)[
Функция $phi$ - решение уравнения, если
@@ -66,7 +66,7 @@ $
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
#countblock("def", subname: [== Задача Коши (done)], cb)[
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
@@ -85,7 +85,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными (done)], cb)[
Уравнение в дифференциалах вида
@@ -123,7 +123,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
#countblock("def", subname: [== Однородная функция (done)], cb)[
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
@@ -136,7 +136,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка (done)], cb)[
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
@@ -157,7 +157,7 @@ $ <eq_homo>
]
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка (done)], cb)[
Дифференциальное уравнение вида
@@ -182,7 +182,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли (done)], cb)[
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
@@ -210,7 +210,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах (done)], cb)[
Уравнение
@@ -249,7 +249,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ (done)], cb)[
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
$
@@ -274,7 +274,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него (done)], cb)[
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
@@ -325,7 +325,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное (done)], cb)[
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
@@ -365,7 +365,7 @@ $
#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского (done)], cb)[
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
@@ -381,7 +381,7 @@ $
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений (done)], cb)[
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
@@ -393,7 +393,7 @@ $
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен (done)], cb)[
Многочлен
@@ -406,7 +406,7 @@ $
]
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы (done)], cb)[
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
@@ -454,7 +454,7 @@ dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
$
]
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ (done)], cb)[
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
@@ -1034,6 +1034,10 @@ $ <eq175>
]
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[
]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
Таким образом, если все корни характеристического уравнения кратности $n$ вещественны, то фундаментальная система решений состоит из следующих функций: