upd

archive/notes/notes.typ

@@ -1,26 +0,0 @@
-#set text(size: 1.3em)
-
-#align(center)[=== Однородные]
-
-1. Если $k_1 eq.not k_2$ - действительные и различные, то #align(center)[$y eq C_1 dot e^(k_1 x) + C_2 dot e^(k_2 x)$]
-
-2. Если $k_1 eq k_2$ - действительные и совпавшие, то #align(center)[$y eq e^(k_1 x) dot (C_1 plus C_2 x)$]
-
-3. Если $k_(1, 2) eq alpha plus.minus beta i$ - комплексные корни, то #align(center)[$y eq e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x plus C_2 dot sin beta x).$]
-
-#align(center)[=== Неоднородные]
-
-1. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq P_n (x) dot e^(alpha x).$]
-    - Если $alpha$ не является корнем характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
-    - Если $alpha$ - корень характеристического уравнения кратности $S$ ($S in {1, 2}$), то #align(center)[$y_"частное" eq x^S dot e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
-
-2. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq e^(alpha x) dot (P_n (x) dot cos beta x + Q_m (x) dot sin beta x), space.quad N eq max(n, m).$]
-
-    - Если $alpha plus.minus beta i$ не являются корнями характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
-    - Если $alpha plus.minus beta i$ - корни характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq x dot e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
-
-=== Метод Лагранжа (Метод вариации постоянных)
-
-$
-cases(C'_1 (x) y_1 plus C'_2 (x) y_2 eq 0, C'_1 (x) y'_1 plus C'_2 (x) y'_2 eq f(x))
-$

exam/questions.typ

@@ -31,7 +31,7 @@ Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
 
 #align(center)[= Определения]
 
-#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение (done)], cb)[
   Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
 
 $
@@ -44,7 +44,7 @@ $
 
 ]
 
-#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение (done)], cb)[
 
 Функция $phi$ - решение уравнения, если
 
@@ -66,7 +66,7 @@ $
 
 
 
-#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Задача Коши (done)], cb)[
 
 Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
 
@@ -85,7 +85,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными (done)], cb)[
 
 Уравнение в дифференциалах вида
 
@@ -123,7 +123,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Однородная функция (done)], cb)[
 
 Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
 
@@ -136,7 +136,7 @@ $
 
 ]
 
-#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка (done)], cb)[
 
   Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
 
@@ -157,7 +157,7 @@ $ <eq_homo>
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка (done)], cb)[
 
   Дифференциальное уравнение вида
 
@@ -182,7 +182,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли (done)], cb)[
 
   Уравнением Бернулли называют уравнение вида
 
@@ -210,7 +210,7 @@ $
 
 ] 
 
-#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах (done)], cb)[
 
 Уравнение
 
@@ -249,7 +249,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ (done)], cb)[
 Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
 
 $
@@ -274,7 +274,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
+#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него (done)], cb)[
 
 Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
 
@@ -325,7 +325,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное (done)], cb)[
 
   Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
 
@@ -365,7 +365,7 @@ $
 
 #countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
 
-#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского (done)], cb)[
 
   Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
 
@@ -381,7 +381,7 @@ $
 
 
 
-#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений (done)], cb)[
 
   Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
 
@@ -393,7 +393,7 @@ $
 
 
 
-#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен (done)], cb)[
 
 Многочлен
 
@@ -406,7 +406,7 @@ $
 ]
 
 
-#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы (done)], cb)[
 
   Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
 
@@ -454,7 +454,7 @@ dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
 $
 ]
 
-#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
+#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ (done)], cb)[
 
   Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
 
@@ -1034,6 +1034,10 @@ $ <eq175>
 
 ]
 
+#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[
+
+]
+
 #countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
 
   Таким образом, если все корни характеристического уравнения кратности $n$ вещественны, то фундаментальная система решений состоит из следующих функций: 

notes/notes.typ

@@ -0,0 +1,299 @@
+#set text(size: 1.3em)
+#set math.equation(numbering: "(1)")
+
+#align(center)[=== Однородные]
+
+1. Если $k_1 eq.not k_2$ - действительные и различные, то #align(center)[$y eq C_1 dot e^(k_1 x) + C_2 dot e^(k_2 x)$]
+
+2. Если $k_1 eq k_2$ - действительные и совпавшие, то #align(center)[$y eq e^(k_1 x) dot (C_1 plus C_2 x)$]
+
+3. Если $k_(1, 2) eq alpha plus.minus beta i$ - комплексные корни, то #align(center)[$y eq e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x plus C_2 dot sin beta x).$]
+
+#align(center)[=== Неоднородные]
+
+1. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq P_n (x) dot e^(alpha x).$]
+    - Если $alpha$ не является корнем характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
+    - Если $alpha$ - корень характеристического уравнения кратности $S$ ($S in {1, 2}$), то #align(center)[$y_"частное" eq x^S dot e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
+
+2. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq e^(alpha x) dot (P_n (x) dot cos beta x + Q_m (x) dot sin beta x), space.quad N eq max(n, m).$]
+
+    - Если $alpha plus.minus beta i$ не являются корнями характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
+    - Если $alpha plus.minus beta i$ - корни характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq x dot e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
+
+=== Метод Лагранжа (Метод вариации постоянных)
+
+$
+cases(C'_1 (x) y_1 plus C'_2 (x) y_2 eq 0, C'_1 (x) y'_1 plus C'_2 (x) y'_2 eq f(x))
+$
+
+=== Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным
+
+$
+y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
+$ <eq1>
+
+если $c_1 eq c_2 eq 0$, то @eq1 -- однородное дифференциальное уравнение.
+
+Пусть $c_1$ и $c_2$ не равны нулю (или одно из них)
+
+Замена 
+
+$
+x eq u + alpha, space.quad y eq v + beta,
+$
+
+где $u, v$ -- новые переменные, $alpha, beta$ -- постоянные.
+
+$
+d x eq d u, space.quad d y eq d v 
+$
+
+$
+frac(d v, d u) eq frac(alpha_1 (u + alpha) + b_1 (v + beta) + c_1, a_2 (u + alpha) + b_2 (v + beta) + c_2)
+$
+
+$
+frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v + (a_1 alpha + b_1 beta + c_1), a_2 u + b_2 v + (a_2 alpha + b_2 beta + c_2))
+$
+
+$
+cases(
+  a_1 alpha + b_1 beta + c_1 eq 0,
+  a_2 alpha + b_2 beta + c_2 eq 0
+)
+$ <sys2>
+
+$
+frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v, a_2 u + b_2 v)
+$
+
+Если @sys2 не имеет решений, то есть
+
+$
+mat(
+  a_1, b_1;
+  a_2, b_2;
+  delim: "|"
+) eq a_1 b_2 - a_2 b_1 eq 0
+$
+
+$
+a_1 / a_2 eq b_1 / b_2 eq k, space.quad a_1 eq k dot a_2, space.quad b_1 eq k dot b_2
+$
+
+Тогда 
+
+$
+y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
+$
+
+$
+y' eq frac(k a_2 x + k b_2 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
+$
+
+$
+y' eq frac(k(a_2 x + b_2 y) + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
+$
+
+Замена $a_2 x + b_2 y eq z$
+
+$
+y' eq frac(k z + c_1, z + c_2)
+$
+
+=== Метод Бернулли
+
+$
+y' + p(x) dot y eq g(x)
+$
+
+$
+y' + y dot underbrace(cos x, p(x)) eq underbrace(sin x dot cos x, g(x))
+$
+
+$
+y eq u dot v, " где " u eq u(x), space v eq v(x)
+$
+
+$
+y eq underbrace(y / v, u) dot v eq u dot v
+$
+
+$
+y' eq u' dot v + u dot v'
+$
+
+Подставим в изначальный пример
+
+$
+underbrace(u' dot v + u dot v', y') + underbrace(u dot v, y) dot cos x eq sin x cos x 
+$
+
+$
+u' dot v + u dot underbrace((v' + v dot cos x), eq 0) eq sin x cos x
+$
+
+$
+v' + v dot cos x eq 0
+$
+
+$
+integral frac(d v, v) eq - integral cos x space d x
+$
+
+$
+ln |v| eq - sin x, space.quad c eq 0
+$
+
+$
+v eq e^(- sin x)
+$
+
+Теперь подставим $v$
+
+$
+u' dot underbrace(e^(- sin x), v) eq sin x cos x
+$
+
+$
+integral d u eq integral e^(sin x) dot sin x dot cos x dot d x
+$
+
+$
+u eq sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C
+$
+
+$
+y eq u dot v, space.quad y eq (sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C) dot e^(-sin x)
+$
+
+$
+y eq sin x - 1 + C dot e^(-sin x)
+$
+
+=== Метод вариации произвольнОЙ постояннОЙ (метод Лагранжа)
+
+$
+y' + p(x) y eq g(x)
+$
+
+$
+y' + p(x) y eq 0
+$
+
+$
+frac(d y, d x) eq -p(x) y space.quad | dot frac(d x, y)
+$
+
+$
+integral frac(d y, y) eq -integral p(x) d x
+$
+
+$
+ln |y| = -integral p(x) d x + ln |C_1|
+$
+
+$
+ln |y| - ln |C_1| = -integral p(x) d x
+$
+
+$
+ln |y/(C_1)| eq -integral p(x) d x
+$
+
+$
+|y/(C_1)| eq e^(-integral p(x) d x)
+$
+
+$
+y eq plus.minus C_1 dot e^(-integral p(x) d x)
+$
+
+$
+y eq C dot e^(-integral p(x) d x)
+$
+
+Полагаем $C eq C(x)$
+
+$
+y eq C(x) dot e^(-integral p(x) d x)
+$
+
+Потом можно найти $y'$ и подставить $y$ и $y'$ в изначальное уравнение и найти $C(x)$. Готовая формула выглядит вот так
+
+$
+y eq (integral g(x) dot exp(integral p(x) d x) dot d x + C) dot exp(-integral p(x) d x)
+$
+
+=== Уравнение в полных дифференциалах
+
+$
+y' eq - frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
+$
+
+$
+frac(d y, d x) eq -frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
+$
+
+$
+underbrace((e^x + y + sin y), P(x, y)) d x + underbrace((e^y + x + x dot cos y), Q(x, y)) dot d y eq 0
+$
+
+$
+P(x, y) eq e^x + y + sin y
+$
+
+$
+Q(x, y) eq e^y + x + x dot cos y
+$
+
+$
+frac(partial P, partial y) eq 1 + cos y, space.quad frac(partial Q, partial x) eq 1 + cos y
+$
+
+Значит уравнение в полных дифференциалах
+
+$
+d u eq (e^x + y + sin y) d x + (e^y + x + x dot cos y) d y 
+$
+
+$
+d u eq frac(partial u, partial x) dot d x + frac(partial u, partial y) dot d y
+$
+
+$
+frac(partial u, partial x) eq e^x + y + sin y
+$
+
+$
+frac(partial u, partial y) eq e^y + x + x dot cos y
+$
+
+$
+u(x, y) eq integral (e^x + y + sin y) d x eq e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y)
+$
+
+$
+frac(partial u, partial y) eq (e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y))'_y eq x + x dot cos y + phi' (y)
+$
+
+$
+x + x dot cos y + phi'(y) eq e^y + x + x cos y
+$
+
+$
+phi'(y) eq e^y arrow.double integral e^y d y 
+$
+
+$
+phi(y) eq e^y + C
+$
+
+$
+u(x, y) eq e^x + y dot x + sin y dot x + e^y + C
+$
+
+$
+e^x + y dot x + sin y dot x + e^y eq C_2
+$
+