upd

exam/questions.typ

@@ -503,7 +503,34 @@ $ <eq175>
 #align(center)[= Теоремы]
 
 #countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
-  Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
+
+  Уравнение $y' eq f(x)$ имеет бесконечно много решений, поскольку в формулу $y eq integral f(x) d x + C$ входит произвольная постоянная $C$.
+
+  Для того, чтобы получить единственное решение уравнения $y' eq f(x)$, подставим в начальное условие, то есть потребуем, чтобы функция $y$ принимала заданное значение $y_0$ при $x eq x_0$:
+
+  $
+  y |_(x eq x_0) eq y_0
+  $ <eq7>
+
+  Действительно, пусть функция $f(x)$ непрерывна на некотором интервале $(a, b)$ и точка $x_0 in (a, b)$. Заменяя в формуле $y eq integral f(x) d x + C$ неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом $x$ и нижним пределом $x_0$, получим:
+
+  $
+  y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + C.
+  $
+
+  Удовлетворим начальному условию. При $x eq x_0$ интеграл обращается в нуль и мы получим: 
+
+  $
+  C eq y_0. 
+  $
+
+  Таким образом, уравнение $y' eq f(x)$ при начальном условии @eq7 имеет единственное решение:
+
+  $
+  y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + y_0.
+  $
+
+  Отметим, что это решение единственно на всем интервале $(a, b)$.
 
 ]
 #countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[
@@ -554,7 +581,85 @@ $ <eq175>
 
   Следовательно, уравнение однородное.
 ]
-#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[
+
+  Рассмотрим сначала соответствующе однородное уравнение при $q(x) eq 0$:
+
+  $
+  tilde(y)' + p(x) tilde(y) eq 0. 
+  $
+
+  Переменные здесь разделяются:
+
+  $
+  frac(d tilde(y), d x) + p(x) tilde(y) eq 0 space.quad | dot frac(d x, tilde(y)) arrow.l " здесь мы предполагаем, что " tilde(y) eq.not 0. 
+  $
+
+  $
+  arrow.double.l.r frac(d tilde(y), tilde(y)) + p(x) d x eq 0 arrow.double.l.r ln |tilde(y)| eq -integral p(x) d x arrow.double.l.r tilde(y) eq C dot e^(- integral p(x) d x).
+  $ <eq30>
+
+  Здесь на постоянную $C$ мы не накладываем никаких ограничений. Делается это для того, чтобы решение $tilde(y) eq 0$ вошло в ответ (@eq30). Заменим неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом:
+
+  $
+  tilde(y) eq C dot e^(- integral_(x_0)^x p(t) d x) .
+  $
+
+  Если есть начальное условие:
+
+  $
+  tilde(y) |_(x eq x_0) eq y_0, 
+  $
+
+  то $C eq y_0$. Для интегрирования уравнения $y' + p(x) y eq q(x)$ воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
+
+  Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:
+
+  $
+  y eq u dot e^(- integral p(x) d x), 
+  $ <eq33>
+
+  считая $u$ не постоянной, а некоторой функцией от $x$. Дифференцируя, находим
+
+  $
+  y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).
+  $
+
+  Подставив $y'$ в уравнение $y' + p(x) y eq q(x)$, получим:
+
+  $
+  u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (- p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r \
+  arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r d u eq q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r \ 
+  arrow.double.l.r u eq integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C.
+  $
+
+  Подставляя $u$ в формулу @eq33, получим:
+
+  $
+  y eq e^(- integral p(x) d x) dot (integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C).
+  $
+
+  Заменим неопределенные интегралы на интегралы с переменными верхним пределом:
+
+  $
+  y(x) eq e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + C).
+  $ <eq37>
+
+  Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами $u$ и $v$, отличными от буквы $x$.
+
+  Если задано начальное условие: $y |_(x eq x_0) eq y_0$, то $C eq y_0$ и формула @eq37 принимает вид:
+
+  $
+  y(x) eq e^(- integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + y_0).
+  $
+
+  $
+  y(x) eq underbrace(y_0 dot e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u), tilde(y)) + underbrace(e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v, Y),
+  $
+
+  то есть $y eq tilde(y) + Y$.
+
+]
 #countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
 
   Рассмотрим уравнение второго порядка: 
@@ -821,10 +926,95 @@ $ <eq175>
 
 ]
 #countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[
+  Пусть функция $f(x, y, y', dots, y^((n - 1)))$ однозначна, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по $y, y', dots, y^((n - 1))$ при значениях аргументов $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n - 1)))$ и всех значениях, достаточно близких к ним. Тогда уравнение $y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n - 1)))$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям $cases(
+    y|_(x eq x_0) eq y_0, y'|_(x eq x_0) eq y'_0, dots, y^((n - 1)) |_(x eq x_0) eq y_0^((n - 1)).
+  )$
 
 
 ]
-#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[
+
+  1. Уравнения вида $y^((n)) eq f(x)$.
+
+  Уравнение $y^((n)) eq f(x)$ решается с помощью $n$-кратного интегрирования.
+
+  2. Уравнения вида $Phi (x, y^((k)), y^((k + 1)), dots, y^((n)) eq 0$.
+
+  Здесь уравнение не содержит функции $y$ и её нескольких последовательных производных $y', y'', dots, y^((k - 1))$.
+
+  Сделаем замену:
+
+  $
+  z(x) eq y^((k)).
+  $
+
+  Тогда порядок уравнения понизится на $k$ единиц: 
+
+  $
+  Phi(x, z, z', dots, z^((n - k))) eq 0. 
+  $
+
+  Если мы найдем общий интеграл этого последнего уравнения
+
+  $
+  z eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)),
+  $
+
+  то $y$ определится из уравнения:
+
+  $
+  y^((k)) eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)).
+  $
+
+  3. Уравнения вида $Phi(y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0$.
+
+  Здесь уравнение не содержит независимой переменной $x$. 
+
+  Примем $y$ за независимую переменную и сделаем замену:
+
+  $
+  y' eq p(y).
+  $
+
+  Этим мы понизим порядок уравнения на 1. В ответе получим функцию $x eq x(y)$. Найдем, как преобразуются старшие производные при такой замене.
+
+  $
+  y'' eq frac(d, d x) (underbrace(frac(d y, d x), p)) eq frac(d, d x) (p(y)) eq frac(d p, d y) dot underbrace(frac(d y, d x), p) eq p dot frac(d p, d y).
+  $
+
+  $
+  y''' eq frac(d, d x) (y'') eq frac(d, d x) (p(y) dot frac(d p, d y)) eq frac(d p, d x) dot frac(d p, d y) + p(y) dot frac(d, d x) (frac(d p, d y)) eq \
+  eq p dot (frac(d p, d y))^2 + p^2 dot frac(d^2 p, d y^2).
+  $
+
+  4. Уравнения вида $frac(d, d x) Phi(x, y, y', dots, y^((n - 1))) eq 0$. 
+
+  Здесь левая часть уравнения представляет собой полную производную по $x$. Проинтегрировав уравнение, мы понизим его порядок на 1.
+
+  5. Уравнения вида $Phi(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0$, где $Phi$ -- однородная функция относительно $y, y', dots, y^((n))$.
+
+  $Phi(x, y, y', dots, y^((n)))$ называется однородной функцией $k$-го порядка относительно переменных $y, y', dots, y^((n))$, если она удовлетворяет следующему свойству:
+
+  $
+  Phi(x, t y, t y', dots, t y^((n))) eq t^k dot Phi(x, y, y', dots, y^((n))).
+  $
+
+  При $y eq.not 0$ сделаем замену переменных: 
+
+  $
+  z eq frac(y', y).
+  $
+
+  Тогда производные преобразуются по следующему правилу: 
+
+  $
+  y' eq z y, \
+  y'' eq z' y + z y' eq z' y + z^2 y.
+  $
+
+  И так далее. Таким образом, порядок уравнения понизится на 1. Функцию $y eq 0$ следует рассмотреть отдельно.
+
+]
 #countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
@@ -1103,7 +1293,7 @@ $ <eq175>
 
 #proof()[
   $
-  L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.circle
+  L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.o
   $
 
   $
@@ -1111,7 +1301,7 @@ $ <eq175>
   $
 
   $
-  eq.circle f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
+  eq.o f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
   $
 
   Формула для $f^((n)) (t)$ доказывается по индукции.
@@ -1160,6 +1350,50 @@ $ <eq175>
 #countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[
 
   Преобразование Лапласа определено только для функций, обращающихся в ноль при $t lt 0$. Поэтому выписывая таблицу изображений, будем считать, что функции-оригиналы обращаются в ноль на отрицательной полуоси. 
+
+  1. $L(1) eq 1/p;$
+
+  #proof()[
+    $
+    L(1) eq integral_0^infinity e^(- p t) dot 1 d t eq frac(e^(- p t), -p) |_0^infinity eq 1/p.
+    $
+  ]
+
+  2. $L(e^(a t)) eq 1/(p - a);$
+
+  #proof()[
+    $
+    L(e^(a t)) eq L(e^(a t) dot 1) eq 1/(p - a).
+    $
+  ]
+
+  3. $L(sin a t) eq a/(p^2 + a^2);$
+
+  #proof()[
+    $
+    L(sin a t) eq L(1/(2 i) (e^(i a t) - e^(- i a t))) eq \
+    eq 1/(2 i) (L(a^(i a t)) - L(e^(- i a t))) eq \
+    eq 1/(2 i) (1/(p - i a) - 1/(p + a i)) eq 1/(2 i) frac(2 i a, p^2 + a^2) eq frac(a, p^2 + a^2).
+    $
+  ]
+
+  4. $L(cos a t) eq frac(p, p^2 + a^2);$
+
+  #proof()[
+    $
+    L(cos a t) eq L(1/2 (e^(i a t) + e^(- i a t))) eq \
+    eq 1/2 (L(e^(i a t)) + L(e^(- i a t))) eq \
+    eq 1/2 (1/(p - i a) + 1/(p + i a)) eq 1/2 frac(2 p, p^2 + a^2) eq frac(p, p^2 + a^2).
+    $
+  ]
+
+  5. $L(t^n) eq frac(n!, p^(n + 1)).$
+
+  #proof()[
+    $
+    L(t^n) eq L(t^n dot 1) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) 1/p eq frac(n!, p^(n + 1)).
+    $
+  ]
 ]