#import "@preview/scripst:1.1.1": *
#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx

#show: scripst.with(
  template: "article",
  title: [Дифференциальные уравнения],
  // info: [],
  author: "Дощенников Никита",
  // author: ("AnZrew", "AnZrew"),
  time: datetime.today().display(),
  contents: true,
  content-depth: 3,
  matheq-depth: 2,
  lang: "ru",
)

/*

#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[

  No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
  $
    a^n + b^n = c^n
  $
  for any integer value of $n$ greater than 2.
]
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.

*/

#align(center)[= Определения]

#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение (done)], cb)[
  Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида

$
F(x, y, y') eq 0.
$

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.

]

#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение (done)], cb)[

Функция $phi$ - решение уравнения, если

$
phi in C^1 (a, b); \
F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
$

Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.

Общим решением уравнения называют множество всех его решений.

#align(center)[ИЛИ]

Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.


]



#countblock("def", subname: [== Задача Коши (done)], cb)[

Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения

$
y' eq f(x, y)
$

называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию

$
y(x_0) eq y_0.
$

Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.

]


#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными (done)], cb)[

Уравнение в дифференциалах вида

$
P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
$

называют уравнением с разделёнными переменными.

Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.

Уравнение вида

$
p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
$

называют уравнением с разделяющимися переменными.

#align(center)[ИЛИ]

Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду

$
y' eq g(x) dot h(y)
$

или

$
M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
$

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
]


#countblock("def", subname: [== Однородная функция (done)], cb)[

Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство

$
F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
$

Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).


]

#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка (done)], cb)[

  Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида

$
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
$

называется однородным уравнением.

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:

$
y' eq f(y/x)
$ <eq_homo>

]


#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка (done)], cb)[

  Дифференциальное уравнение вида

$
y' eq p(x) y plus q(x),
$

называется линейным уравнением первого порядка.

Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.

#align(center)[ИЛИ]

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

$
y' plus p(x) y eq q(x),
$

где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.

]


#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли (done)], cb)[

  Уравнением Бернулли называют уравнение вида

$
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
$

где $alpha in RR without {0, 1}$.

Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим

$
frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
$

Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.

#align(center)[ИЛИ]

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

$
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
$

] 

#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах (done)], cb)[

Уравнение

$
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
$

называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что

$
d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
$

то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальное уравнение вида

$
M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
$

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:

$
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
$

Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:

$
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
$

]


#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ (done)], cb)[
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения

$
Phi(x, y, y') eq 0
$

называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.

#align(center)[ИЛИ]

Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что

$
phi(x_0) eq psi(x_0)
$

при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.

Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.


]


#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него (done)], cb)[

Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида

$
F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
$

Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если

$
phi in C^n (a, b); \
F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
$

Каноническим уравнением будем называть уравнение

$
y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
$

разрешённое относительно старшей производной.

Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям

$
y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
$

Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом  называют начальными данными.

#align(center)[ИЛИ]

Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид

$
Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
$

или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид

$
y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
$

Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.


]


#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное (done)], cb)[

  Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида

$
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
$

где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.

Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть

$
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
$

называется однородным, в противном случае -- неоднородным.

#align(center)[ИЛИ]

Уравнение вида

$
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
$

называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.

Уравнение вида

$
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
$

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.

]

#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]

#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского (done)], cb)[

  Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют

$
W (t) colon.eq mat(
  y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
  dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
  dots, dots, dots, dots;
  y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
$

]



#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений (done)], cb)[

  Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.

#align(center)[ИЛИ]

Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

]



#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен (done)], cb)[

Многочлен

$
p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
$

называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.

]


#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы (done)], cb)[

  Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:

$
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
      dots,
      frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
$

Решением системы называется совокупность $n$ функций

$
y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
$

таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.

#align(center)[ИЛИ]

Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида

$
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
      dots,
      dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
$

Если ввести в рассмотрение векторы

$
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
$

то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения

$
dot(r) eq f(t, r).
$

Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если

$
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
$
]

#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ (done)], cb)[

  Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида

$
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
$

где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.

Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть

$
dot(r) eq P(t) r,
$

называется однородной, в противном случае -- неоднородной.

]



#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[

  Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:

- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:

$
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
$
]

#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:

$
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
$ <eq175>

где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
]


#pagebreak()
#align(center)[= Теоремы]

#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[

  Уравнение $y' eq f(x)$ имеет бесконечно много решений, поскольку в формулу $y eq integral f(x) d x + C$ входит произвольная постоянная $C$.

  Для того, чтобы получить единственное решение уравнения $y' eq f(x)$, подставим в начальное условие, то есть потребуем, чтобы функция $y$ принимала заданное значение $y_0$ при $x eq x_0$:

  $
  y |_(x eq x_0) eq y_0
  $ <eq7>

  Действительно, пусть функция $f(x)$ непрерывна на некотором интервале $(a, b)$ и точка $x_0 in (a, b)$. Заменяя в формуле $y eq integral f(x) d x + C$ неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом $x$ и нижним пределом $x_0$, получим:

  $
  y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + C.
  $

  Удовлетворим начальному условию. При $x eq x_0$ интеграл обращается в нуль и мы получим: 

  $
  C eq y_0. 
  $

  Таким образом, уравнение $y' eq f(x)$ при начальном условии @eq7 имеет единственное решение:

  $
  y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + y_0.
  $

  Отметим, что это решение единственно на всем интервале $(a, b)$.

]
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[

  Сведем уравнение @eq_homo к уравнению с разделяющимися переменными. 

  Для этого сделаем замену:

  $
  y/x eq u arrow.double.l.r y eq u x.
  $

  Следовательно,

  $
  y' eq u' dot x + u, space.quad d y eq u d x + x d u.
  $

  Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq_homo: 

  $
  u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r frac(d u, d x) dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r \
  arrow.double.l.r frac(d u, f(u) - u) eq frac(d x, x) arrow.double.l.r integral frac(d u, f(u) - u) eq ln |x| + ln C_1 arrow.double.l.r x eq e^(integral frac(d u, f(u) - u)).
  $

  Как определить, что уравнение однородное?
  
  С помощью метода размерностей.

  Припишем функции $y$, переменной $x$ и их дифференциалам некоторые размерности. Например, метры:

  $
  x tilde "м", space.quad y tilde "м", space.quad d x tilde "м", space.quad d y tilde "м".
  $

  Производная $y' eq frac(d y, d x) tilde 1$ -- безразмерная величина.

  Для трансцендентных функций (то есть функций, не являющихся алгебраическими: $sin x, cos x, tg x, ctg x, e^x, a^x, ln x, arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x$) в качестве аргумента должна стоять безразмерная величина: $e^(y/x), tg (y/x)$ и так далее.

  Уравнение будет однородным, если в нем складываются величины одной размерности.

  Например:

  $
  (x^2 + x y) y' eq x sqrt(x^2 - y^2) + x y + y^2, \
  ("м"^2 + "м" dot "м") dot 1 eq "м" dot sqrt("м"^2 - "м"^2) + "м" dot "м" + "м"^2.
  $

  Следовательно, уравнение однородное.
]
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[

  Рассмотрим сначала соответствующе однородное уравнение при $q(x) eq 0$:

  $
  tilde(y)' + p(x) tilde(y) eq 0. 
  $

  Переменные здесь разделяются:

  $
  frac(d tilde(y), d x) + p(x) tilde(y) eq 0 space.quad | dot frac(d x, tilde(y)) arrow.l " здесь мы предполагаем, что " tilde(y) eq.not 0. 
  $

  $
  arrow.double.l.r frac(d tilde(y), tilde(y)) + p(x) d x eq 0 arrow.double.l.r ln |tilde(y)| eq -integral p(x) d x arrow.double.l.r tilde(y) eq C dot e^(- integral p(x) d x).
  $ <eq30>

  Здесь на постоянную $C$ мы не накладываем никаких ограничений. Делается это для того, чтобы решение $tilde(y) eq 0$ вошло в ответ (@eq30). Заменим неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом:

  $
  tilde(y) eq C dot e^(- integral_(x_0)^x p(t) d x) .
  $

  Если есть начальное условие:

  $
  tilde(y) |_(x eq x_0) eq y_0, 
  $

  то $C eq y_0$. Для интегрирования уравнения $y' + p(x) y eq q(x)$ воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.

  Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:

  $
  y eq u dot e^(- integral p(x) d x), 
  $ <eq33>

  считая $u$ не постоянной, а некоторой функцией от $x$. Дифференцируя, находим

  $
  y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).
  $

  Подставив $y'$ в уравнение $y' + p(x) y eq q(x)$, получим:

  $
  u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (- p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r \
  arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r d u eq q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r \ 
  arrow.double.l.r u eq integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C.
  $

  Подставляя $u$ в формулу @eq33, получим:

  $
  y eq e^(- integral p(x) d x) dot (integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C).
  $

  Заменим неопределенные интегралы на интегралы с переменными верхним пределом:

  $
  y(x) eq e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + C).
  $ <eq37>

  Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами $u$ и $v$, отличными от буквы $x$.

  Если задано начальное условие: $y |_(x eq x_0) eq y_0$, то $C eq y_0$ и формула @eq37 принимает вид:

  $
  y(x) eq e^(- integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + y_0).
  $

  $
  y(x) eq underbrace(y_0 dot e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u), tilde(y)) + underbrace(e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v, Y),
  $

  то есть $y eq tilde(y) + Y$.

]
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[

  Рассмотрим уравнение второго порядка: 

  $
  y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
  $ <eq119>

  Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: 

  $
  tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
  $ <eq120>

  где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.

  Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:

  $
  Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
  $ <eq121>

  Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.

  Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
  
  Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.

  $
  Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
  $

  Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение: 

  $
  u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
  $ <eq122>

  Тогда $Y'$ примет вид: 

  $
  Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
  $

  Соответственно,

  $
  Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
  $

  Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:

  $
  u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 - "решение ЛОДУ")) + u_2 underbrace(y''_2 + a_1 y'_2 + a_2 y_2, eq 0 (y_2 - "решение ЛОДУ")) + u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
  $

  Учитывая введенные ранее ограничения @eq122, получаем систему уравнений для функций $u'_1, u'_2$:

  $
  cases(
    u'_1 y_1 + u'_2 y_2 eq 0,
    u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
  )
  $ <eq124>

  Определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке в силу линейной независимости решений $y_1, y_2$.

  Следовательно, система @eq124 разрешима единственным образом и при любой правой части. Пусть её решения имеют вид: 

  $
  cases(
    u'_1 eq phi_1 (x),
    u'_2 eq phi_2 (x).
  )
  $

  Тогда функции $u_1 (x), u_2 (x)$ находятся интегрированием: 

  $
  cases(
    u_1 eq integral phi_1 (x) space d x, 
    u_2 eq integral phi_2 (x) space d x.
  )
  $

  2) Рассмотрим уравнение $n$-го порядка:

  $
  y^((n)) + a_1 (x) y^((n - 1)) + dots + a_n (x) y eq f(x).
  $

  Здесь все построения аналогичны.

  Решение ЛОДУ имеет вид: 

  $
  tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2 + dots + C_n y_n.
  $

  Частное решение ЛНДУ ищем в виде: 

  $
  Y eq u_1 (x) y_1 (x) + u_2 (x) y_2 (x) + dots + u_n (x) y_n (x).
  $

  Следуя описанной процедуре, получаем следующую систему уравнений для функций $u'_1, u'_2, dots, u'_n$:

  $
  cases(
    u'_1 y_1 + u'_2 y_2 + dots + u'_n y_n eq 0,
    u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 + dots + u'_n y'_n eq 0,
    dots dots dots, 
    u'_1 y_1^((n - 1)) + u'_2 y_2^((n - 1)) + dots + u'_n y_n^((n - 1)) eq f(x).
  )
  $ <eq131>

  Определитель этой системы -- это определитель Вронского: 

  $
  mat(
    y_1, y_2, dots, y_n;
    y'_1, y'_2, dots, y'_n;
    dots, dots, dots, dots;
    y_1^((n - 1)), y_2^((n - 1)), dots, y_n^((n - 1));
    delim: "|"
  ) eq.not 0 " ни в одной точке".
  $

  Следовательно, система @eq131 разрешима единственным образом и при любой правой части. Решая её, находим $u'_1, u'_2, dots, u'_n$. Функции $u_1 (x), u_2 (x), dots, u_n (x)$ находятся интегрированием.

]
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[

  Напомним, что уравнением Бернулли называется уравнение вида

  $
  y' + p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где " a = "conts", space a eq.not 0, space a eq.not 1.
  $ <eq40>

  Его решение можно получить двумя способами.

  *I*. Сведение к линейному уравнению.

  Разделим обе части уравнения @eq40 на $y^a$:

  $
  frac(y', y^a) + p(x) y^(1 - a) eq q(x).
  $

  Сделаем замену: $z eq y^(1 - a)$.

  Соответственно,

  $
  z' eq (1 - a) dot y^(-a) dot y' arrow.double.l.r frac(y', y^a) eq frac(z', 1 - a) .
  $

  Подстановим $z$ и $z'$ в исходное уравнение: 

  $
  frac(1, 1 - a) z' + p(x) z eq q(x).
  $

  Мы получили линейное уравнение.

  *II*. (сведение к уравнению с разделяющимися переменными)

  Сделаем замену переменной как в линейном уравнении:

  $
  y eq u dot e^(- integral p(x) d x).
  $

  Тогда 

  $
  y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).  
  $

  Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq40:
  $
  u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p (x) d x) dot (-p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq \
  eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r d u eq q(x) u^a dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r  \

  arrow.double.l.r frac(d u, u^a) eq q(x) dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x.
  $

  Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
]
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[
  Если $M d x + N d y$ представляет собой полный дифференциал, то восстановить функцию $u(x, y)$ с точностью до константы по её известному полному дифференциалу

  $
  d u eq M(x, y) d x + N(x, y) d y
  $ <eq47>

  можно с помощью криволинейного интеграла. А именно зафиксируем некоторую точку $(x_0, y_0)$. Тогда криволинейный интеграл

  $
  u(x, y) eq integral_L (M(x, y) d x + N(x, y) d y)
  $ <eq48>

  по произвольной кривой от точки $(x_0, y_0)$ до текущей точки $(x, y)$ даст значение функции $u(x, y)$, дифференциал которой имеет вид @eq47. Изменение начальной точки $(x_0, y_0)$ приводит к добавлению постоянной (функция $u(x, y)$ находится с точностью до константы).

  Формула @eq48 принимает более удобный вид, если кривую $L$ выбрать в виде ломаной, показанной на  @img7.

  #align(center)[
    #figure(
      image("assets/7.png"),
      caption: [Кривая интегрирования $L$.],
      supplement: [Рис.]
    ) <img7>
  ]

  При таком выборе $L$ имеем: 

  $
  u(x, y) eq integral_(x_0)^x M(x, y_0) d x + integral_(y_0)^y N(x, y) d y.
  $

  Соответственно, решение уравнения: 

  $
  u(x, y) eq C.
  $

]
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[
  Напомним вид интегрирующего множителя:

  $
  d u eq mu M d x + mu N d y.
  $

  Напишем условие того, что $d u$ является полным дифференциалом: 

  $
  frac(partial, partial y) (mu M) eq frac(partial, partial x) (mu N) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r frac(partial mu, partial y) dot M + mu dot frac(partial M, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot N + mu dot frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \ 

  arrow.double.l.r N frac(partial mu, partial x) - M frac(partial mu, partial y) eq (frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x)) mu arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r N dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y)) - M dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y), frac(partial ln mu, partial y)) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r N dot frac(partial ln mu, partial x) - M dot frac(partial ln mu, partial y) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x).
  $ <eq52>

  Таким образом, для нахождения инегрирующего множителя мы получим уравнение в частных производных. Иногда удается найти его решение. Если $mu eq mu(x)$, то $frac(partial mu, partial y) eq 0$ и уравнение @eq52 примет вид:

  $
  frac(d ln mu, d x) eq frac(frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x), N).
  $

  Если правая часть уравнения не зависит от $y$, то $ln mu$ находится интегрированием.

]
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[
  Пусть функция $f(x, y, y', dots, y^((n - 1)))$ однозначна, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по $y, y', dots, y^((n - 1))$ при значениях аргументов $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n - 1)))$ и всех значениях, достаточно близких к ним. Тогда уравнение $y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n - 1)))$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям $cases(
    y|_(x eq x_0) eq y_0, y'|_(x eq x_0) eq y'_0, dots, y^((n - 1)) |_(x eq x_0) eq y_0^((n - 1)).
  )$


]
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[

  1. Уравнения вида $y^((n)) eq f(x)$.

  Уравнение $y^((n)) eq f(x)$ решается с помощью $n$-кратного интегрирования.

  2. Уравнения вида $Phi (x, y^((k)), y^((k + 1)), dots, y^((n)) eq 0$.

  Здесь уравнение не содержит функции $y$ и её нескольких последовательных производных $y', y'', dots, y^((k - 1))$.

  Сделаем замену:

  $
  z(x) eq y^((k)).
  $

  Тогда порядок уравнения понизится на $k$ единиц: 

  $
  Phi(x, z, z', dots, z^((n - k))) eq 0. 
  $

  Если мы найдем общий интеграл этого последнего уравнения

  $
  z eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)),
  $

  то $y$ определится из уравнения:

  $
  y^((k)) eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)).
  $

  3. Уравнения вида $Phi(y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0$.

  Здесь уравнение не содержит независимой переменной $x$. 

  Примем $y$ за независимую переменную и сделаем замену:

  $
  y' eq p(y).
  $

  Этим мы понизим порядок уравнения на 1. В ответе получим функцию $x eq x(y)$. Найдем, как преобразуются старшие производные при такой замене.

  $
  y'' eq frac(d, d x) (underbrace(frac(d y, d x), p)) eq frac(d, d x) (p(y)) eq frac(d p, d y) dot underbrace(frac(d y, d x), p) eq p dot frac(d p, d y).
  $

  $
  y''' eq frac(d, d x) (y'') eq frac(d, d x) (p(y) dot frac(d p, d y)) eq frac(d p, d x) dot frac(d p, d y) + p(y) dot frac(d, d x) (frac(d p, d y)) eq \
  eq p dot (frac(d p, d y))^2 + p^2 dot frac(d^2 p, d y^2).
  $

  4. Уравнения вида $frac(d, d x) Phi(x, y, y', dots, y^((n - 1))) eq 0$. 

  Здесь левая часть уравнения представляет собой полную производную по $x$. Проинтегрировав уравнение, мы понизим его порядок на 1.

  5. Уравнения вида $Phi(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0$, где $Phi$ -- однородная функция относительно $y, y', dots, y^((n))$.

  $Phi(x, y, y', dots, y^((n)))$ называется однородной функцией $k$-го порядка относительно переменных $y, y', dots, y^((n))$, если она удовлетворяет следующему свойству:

  $
  Phi(x, t y, t y', dots, t y^((n))) eq t^k dot Phi(x, y, y', dots, y^((n))).
  $

  При $y eq.not 0$ сделаем замену переменных: 

  $
  z eq frac(y', y).
  $

  Тогда производные преобразуются по следующему правилу: 

  $
  y' eq z y, \
  y'' eq z' y + z y' eq z' y + z^2 y.
  $

  И так далее. Таким образом, порядок уравнения понизится на 1. Функцию $y eq 0$ следует рассмотреть отдельно.

]
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[
  
  

]
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[

  Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
]
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[

  Докажите, что если $phi_1$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t)$, $phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_2 (t)$, то $phi_1 + phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t) + q_2 (t)$.

]

#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[

]

#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[

  Таким образом, если все корни характеристического уравнения кратности $n$ вещественны, то фундаментальная система решений состоит из следующих функций: 

  $
  e^(lambda_1 x), e^(lambda_2 x), dots, e^(lambda_n x).
  $

]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[

  Если среди корней есть кратные, то для каждого из них нужно найти столько линейно независимых решений, какова его кратность. Рассмотрим эту ситуацию для уравнения второго порядка: 

  $
  y'' + a_1 y' + a_2 y eq 0. 
  $ <eq94>

  Напишем характеристическое уравнение: 

  $
  lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0.
  $

  Пусть $lambda_1$ -- корень второй кратности характеристического уравнения. Тогда дискриминант уравнения равен нулю: $D eq a_1^2 - 4 a_2 eq 0$. Следовательно,

  $
  lambda_1 eq -frac(a_1, 2).
  $ <eq96>

  Одно из решений уравнения @eq94 -- это $e^(lambda_1 x)$. Найдем второе решение, линейно независимое с ним. Будем искать его в виде: 

  $
  y_2 eq u(x) dot e^(lambda_1 x).
  $

  Тогда: 

  $
  y'_2 eq e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u), 
  $

  $
  y''_2 eq e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u).
  $

  Подставим $y_2, y_2', y_2''$ в исходное уравнение @eq94:

  $
  e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u) + a_1 e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u) + a_2 u e^(lambda_1 x) eq 0 \
  arrow.double.l.r e^(lambda_1 x) (u'' + underbrace((2 lambda_1 + a_1), eq 0 (" в силу " lambda_1 eq -frac(a_1, 2) ))) u' + underbrace((lambda_1^2 + a_1 lambda_1 + a_2), eq 0 ("в силу" lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0) u') eq 0 arrow.double.l.r  \
  arrow.double.l.r u'' eq 0 arrow.double.l.r u eq C_1 x + C_2. 
  $

  Выберем функцию $u$ следующим образом: $u eq x$. Тогда: 

  $
  y_2 eq x dot e^(lambda_1 x).
  $

  Проверим, что решения $y_1$ и $y_2$ будут линейно независимы: 

  $
  W(y_1, y_2) eq mat(y_1, y_2; y'_1, y'_2; delim: "|") eq mat(e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x); lambda_1 e^(lambda_1 x), e^(lambda_1 x) + lambda_1 x e^(lambda_1 x)) eq e^(2 lambda_1 x) eq.not 0. 
  $

  Таким образом фундаментальная система решений для уравнения @eq94 имеет вид: 

  $
  e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x).
  $

  ...
]
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[
  
  Метод неопределенных коэффициентов работает только для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью $f(x)$ специального вида.

  $
  y^((n)) + a_1 y^((n - 1)) + dots + a_n y eq f(x), 
  $

  где $a_1, a_2, dots, a_n$ -- некоторые постоянные.

  В некоторых случаях решение дифференциального уравнения удается подобрать. Составим таблицу видов частных решений для различных видов правых частей $f(x)$.

  #align(center)[
    #figure(
      tablex(columns: 3, align: horizon, [Правая часть дифференциального уравнения], [Корни характеристического уравнения], [Виды частного решения], rowspanx(2)[$P_m (x)$], [1) Число 0 не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x)$], (), [2) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x)$], rowspanx(2)[$P_m (x) e^(alpha x)$], [1) Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], (), [2) Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], rowspanx(2)[$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$], [1) Числа $plus.minus$ i beta не являются корнями характеристического уравнения], [$tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x$], (), [2) Числа $plus.minus beta i$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x)$], rowspanx(2)[$e^(alpha x) (P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x)$], [1) Числа $alpha plus.minus i beta$ не являются корнями характеристического уравнения], [$(tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$], (), [2) Числа $alpha plus.minus beta$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$]),
      caption: [Таблица видов частных решений для различных видов правых частей],
      supplement: [Табл.]
    )
  ]

  $k$ -- наибольшая из степеней $m$ и $n$.
  $tilde(P)_m (x)$ -- это полином степени $m$ с неопределенными коэффициентами.

  Если правая часть уравнения $f(x)$ есть сумма двух правых частей специального вида: $f(x) eq f_1 (x) + f_2 (x)$, то частное решение следует искать в виде суммы двух решений: $Y_1 + Y_2$, где $Y_1$ отвечает правой части $f_1$, а $Y_2$ отвечает правой части $f_2$.

]
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[

  Метод исключения аналогичен соответствующему алгебраическому методу. 

  Если одно из уравнений системы позволяет выразить одну из неизвестных функций через другие, то сделаем это и подставим данное выражение в остальные уравнения. Мы получим систему из $(n - 1)$-го уравнения с $(n - 1)$-ой неизвестной функцией. Однако, порядок уравнений возрастет. Повторяем эту процедуру до тех пор, пока не придем к одному уравнению $n$-го порядка. Решаем это уравнение и через его решение выражаем остальные искомые функции.

  Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений: 

  $
  cases(
    frac(d y_1, d x) eq a y_1 + b y_2 + f(x),
    frac(d y_2, d x) eq c y_1 + d y_2 + g(x).
  ) 
  $ <eq154>

  Здесь $a, b, c, d$ -- постоянные коэффициенты, а $f(x)$ и $g(x)$ -- заданные функции. $y_1 (x)$ и $y_2 (x)$ -- искомые функции.

  Выразим $y_2$ из первого уравнения системы @eq154:

  $
  y_2 eq 1/b dot (frac(d y_1, d x - a y_1 - f(x))).
  $ <eq155>

  Подставим во второе уравнение системы @eq154 вместо $y_2$ правую часть @eq155, получаем уравнение второго порядка относительно $y_1 (x)$:

  $
  A frac(d^2 y_1, d x^2) + B frac(d y_1, d x) + C y_1 + P(x) eq 0,
  $ <eq156>

  где $A, B, C$ -- некоторые постоянные.

  Решая уравнение @eq156, находим $y_1 eq y_1 (x)$. Подставим найденное выражение для $y_1$ и $frac(d y_1, d y)$ в @eq155, найдем $y_2$.

]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[

  Матричный метод применим только для линейных однородных систем уравнений с постоянными коэффициентами: 

  $
  cases(
    y'_1 eq a_11 y_1 + a_12 y_2 + dots + a_(1 n) y_n, 
    y'_2 eq a_21 y_1 + a_22 y_2 + dots + a_(2 n) y_n,
    dots dots dots dots, 
    y'_n eq a_(n 1) y_1 + a_(n 2) y_2 + dots a_(n n) y_n.
  )
  $ <eq159>

  где $a_(i j)$ -- некоторые постоянные коэффициенты.

  Система уравнений @eq159 может быть записана в матричном виде: 

  $
  Y' eq A Y, 
  $ <eq160>

  где введены следующие обозначения: 

  $

  Y eq vec(y_1, y_2, dots, y_n), space.quad A eq mat(a_11, dots, a_(1 n); dots.v, dots.down, dots.v; a_(n 1), dots, a_(n n)), space.quad Y' eq vec(y'_1, y'_2, dots.v, y'_n).
  $

  Матрица-столбец

  $
  Y eq var(y_1, y_2, dots.v, y_n)
  $

  называется частным решением матричного уравнения @eq160 на интервале $(a, b)$, если ее подстановка в уравнение обращает его в тождество для любых $x in (a, b)$.

  Система $n$ частных решений уравнения @eq160 

  $
  Y_1 (x) eq vec(y_1^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots.v, y_n^((1)) (x)), dots dots, Y_n (x) eq vec(y_1^((n)) (x), y_2^((n)) (x), dots.v, y_n^((n)) (x))
  $

  называется фундаментальной на интервале $(a, b)$, если функции $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ линейно независимы.

  Линейная независимость решений $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ уравнения @eq160 эквивалентна тому, что определитель

  $
  mat(
    y_1^((1)) (x), y_1^((2)) (x), dots, y_1^((n)) (x); 
    y_2^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots, y_2^((n)) (x); 
    dots, dots, dots, dots;
    y_n^((1)) (x), y_n^((2)) (x), dots, y_n^((n)) (x); delim: "|"
  ) eq.not 0 forall x in (a, b)
  $ <eq162>

  Без доказательства.

  Заметим, что верхние индексы $(1), (2), dots dots, (n)$ -- это номер частного решения (а не порядок производной).

  Общее решение матричного дифференциального уравнения @eq160 есть линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными коэффициентами $C_1, C_2, dots dots C_n$:

  $
  Y(x) eq C_1 Y_1 (x) + C_2 Y_2 (x) + dots dots + C_n Y_n (x).
  $ <eq163>

  В обычной записи это дает решение системы @eq159:

  $
  cases(
    y_1 (x) eq C_1 y_1^((1)) (x) + C_2 y_1^((2)) (x) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x), 
    dots dots dots dots,
    y_n (x) eq C_1 y_n^((1)) (x) + C_2 y_n^((2)) (x) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x), 
  )
  $

  #proof()[
    Для того, чтобы проверить, что @eq163 есть общее решение, нужно убедиться в том, что для любых начальных условий $y_1 (x_0), y_2 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$ можно найти значения $C_1, C_2, dots dots, C_n$ такие, что решение @eq163 будет им удовлетворять: 

    $
    cases(
      y_1 (x_0) eq C_1 y_1^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x_0), 
      dots dots dots dots,
      y_n (x_0) eq C_1 y_n^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x_0).
    )
    $ <eq165>

    Система @eq165 -- это неоднородная линейная система аогебраических уравнений относительно $C_1, C_2, dots dots, C_n$. Её определитель отличен от нуля при любом $x$ (формула @eq162), поэтому система @eq165 однозначно разрешима при любых $y_1 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$, что и доказывает теорему.
  ]

  В соответствии с теоремой, для решения системы @eq159 нам требуется найти фундаментальную систему решений уравнения @eq160. Будем искать решения в следующем виде:

  $
  Y(x) eq vec(xi_1, xi_2, dots.v, xi_n) dot e^(lambda x), space.quad xi_i in RR
  $ <eq166>

  Подставим @eq166 в @eq160:

  $
  vec(xi_1, dots.v, xi_n) lambda e^(lambda x) eq A vec(xi_1, dots.v, xi_n) e^(lambda x).
  $

  Сокращая на $e^(lambda x)$, приходим к алгебраическому матричному уравнению:

  $
  A X eq lambda X, space.quad "где " X eq vec(xi_1, dots.v, xi_n) \

  arrow.double.l.r (A - I lambda) X eq OO. 
  $ <eq168>

  Мы получили задачу о собственных векторах и собственных значениях матрицы $A$. Условие существования нетривиального решения уравнения @eq168 таково:

  $
  det (A - lambda I) eq 0.
  $

  Корни $lambda_i$ этого алгебраического уравнения $n$-ой степени -- это собственные значения матрицы $A$, а нетривиальные решения уравнения @eq168, соответствующие $lambda eq lambda_i$ -- это собственные векторы.

  Подстановка собственного вектора и собственного значения в формулу @eq166 даст нам решение $Y(x)$ матричного уравнения @eq160 (или системы @eq159). Таким образом, линейно независимые собственные векторы матрицы $A$ дают нам вектор-функции из фундаментальной системы решений.

  Для того, чтобы получить всю фундаментальную систему, требуется найти $n$ линейно независимых решений.

  При рассмотрении теории систем дифференциальных уравнений мы обозначали независимую переменную через $x$, а функции через $y_1, y_2, dots dots, y_n$ для того, чтобы продемонстрировать сходство с теорией отдельных дифференциальных уравнений. При решении задач мы будем использовать для независимой переменной более традиционное обозначение $t$, а для функций -- обозначения $x, y, z$ во избежание излишней индексации.

]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[

    Если корень $lambda eq lambda_0$ имеет кратность $s$, то ему должны соответствовать $s$ линейно независимых решений. Одной функции $e^(lambda_0 t)$ будет недостаточно. В этом случае ищем решение в виде: 

  $
  Y_1 e^(lambda_0 t) + Y_2 t e^(lambda_0 t) + dots dots + Y_s t^(s - 1) e^(lambda_0 t).
  $ <eq173>

  Для определения координат векторов $Y_1, Y_2, dots dots, Y_s$ подставляем @eq173 в исходную систему уравнений и в каждом из уравнений приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях.

]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[

  1. $L(alpha f + beta g) eq alpha L f + beta L g$ -- линейность;

  Доказательство очевидно в силу линейности интеграла.

  2. $L(f(a t)) eq 1/a F(p/a), space.quad a gt 0$ -- теорема подобия;

  #proof()[
    $
    L(f(a t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(a t) d t.
    $

    Замена: $s eq a t arrow.double d s eq a d t$.

    $
    eq integral_0^infinity e^(-p/a s) f(s) 1/a d s eq 1/a F(p/a).
    $
  ]

  3. $L(e^(a t) f(t)) eq F(p - a)$ -- теорема смещения;

  #proof()[
    $
    L(e^(a t) f(t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) e^(a t) f(t) d t eq integral_0^infinity e^(-(p - a) t) f(t) d t eq F(p - a).
    $
  ]

  4. $L(f(t - a)) eq e^(- a p) F(p), space.quad a gt 0$ -- теорема запаздывания;

  #proof()[
    $
    L(f(t - a)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(t - a) d t eq
    $

    Замена: $s eq t - a arrow.double d s eq d t$.

    $
    eq integral_(-a)^infinity e^(- p s) e^(- a p) f(s) d s eq 
    $

    $f(s) eq 0$ при $s lt 0$ 

    $
    eq e^(- a p) integral_0^infinity e^(- p s) f(s) d s eq e^(- a p) F(p).
    $
  ]

]

#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[

  $
  L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)
  $

  $
  L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)
  $



]

#proof()[
  Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:

  $
  F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t, \
  frac(d, d p) F(p) eq -integral_0^infinity e^(- p t) t f(t) d t eq -L (t f(t)).
  $

  Соответственно,

  $
  frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
  $
]


#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[

  $
  L(f'(t)) eq p F(p) - f(0).
  $

  $
  L(f^((n)) (t)) eq p^n F(p) - p^(n - 1) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0).
  $
]

#proof()[
  $
  L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.o
  $

  $
  u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f(t), space.quad d v eq f'(t) d t 
  $

  $
  eq.o f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
  $

  Формула для $f^((n)) (t)$ доказывается по индукции.

  База проверена $(n eq 1)$. Переход $n arrow n + 1$:

  $
  L(f^((n + 1)) (t)) eq integral_0^infinity f^((n + 1)) (t) e^(- p t) d t eq.o
  $

  $
  u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f^((n)) (t), space.quad d v eq f^((n + 1)) (t) d t
  $

  $
  eq.o f^((n)) (t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f^((n)) (t) e^((- p t)) d t eq \ 
  eq -f^((n)) (0) + p(p^n F(p) - p^((n - 1)) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0)) eq \ 
  eq p^((n + 1)) F(p) - p^n f(0) - p^(n - 1) f'(0) - dots - f^((n)) (0).
  $
]


#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[

  $
  L(integral_0^t f(tau) d tau) eq frac(F(p), p).
  $
]

#proof()[
  Введем функцию Хевисайда по следующему правилу: 

  $
  theta(t) eq cases(1", " t gt.eq 0, 0", " t lt 0)
  $

  Тогда:

  $
  L(integral_0^t f(tau) d tau) eq L(integral_0^infinity underbrace(theta(1 - tau), eq 1 " при " 0 lt.eq tau lt.eq t) dot f(tau) d tau) eq L(theta * f) eq L(theta) L(f) eq 1/p F(p).
  $


]

#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[

  Преобразование Лапласа определено только для функций, обращающихся в ноль при $t lt 0$. Поэтому выписывая таблицу изображений, будем считать, что функции-оригиналы обращаются в ноль на отрицательной полуоси. 

  1. $L(1) eq 1/p;$

  #proof()[
    $
    L(1) eq integral_0^infinity e^(- p t) dot 1 d t eq frac(e^(- p t), -p) |_0^infinity eq 1/p.
    $
  ]

  2. $L(e^(a t)) eq 1/(p - a);$

  #proof()[
    $
    L(e^(a t)) eq L(e^(a t) dot 1) eq 1/(p - a).
    $
  ]

  3. $L(sin a t) eq a/(p^2 + a^2);$

  #proof()[
    $
    L(sin a t) eq L(1/(2 i) (e^(i a t) - e^(- i a t))) eq \
    eq 1/(2 i) (L(a^(i a t)) - L(e^(- i a t))) eq \
    eq 1/(2 i) (1/(p - i a) - 1/(p + a i)) eq 1/(2 i) frac(2 i a, p^2 + a^2) eq frac(a, p^2 + a^2).
    $
  ]

  4. $L(cos a t) eq frac(p, p^2 + a^2);$

  #proof()[
    $
    L(cos a t) eq L(1/2 (e^(i a t) + e^(- i a t))) eq \
    eq 1/2 (L(e^(i a t)) + L(e^(- i a t))) eq \
    eq 1/2 (1/(p - i a) + 1/(p + i a)) eq 1/2 frac(2 p, p^2 + a^2) eq frac(p, p^2 + a^2).
    $
  ]

  5. $L(t^n) eq frac(n!, p^(n + 1)).$

  #proof()[
    $
    L(t^n) eq L(t^n dot 1) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) 1/p eq frac(n!, p^(n + 1)).
    $
  ]
]