#set text(size: 1.3em)
#show link: underline
#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(center)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
  if counter(page).get().first() == 1 [
    #align(center)[
      Санкт-Петербург \ 2025
    ]
  ]
})

#set page(header: context {
  if counter(page).get().first() == 1 [
    #align(center)[
      Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
    ]
  ]
})



#show raw.where(block: false): box.with(
  fill: luma(240),
  inset: (x: 3pt, y: 0pt),
  outset: (y: 3pt),
  radius: 2pt,
)

#show raw.where(block: true): block.with(
  fill: luma(240),
  inset: 10pt,
  radius: 4pt,
)

// title

#for _ in range(5) { linebreak() }

#align(center)[Расчетно графическая работа №1]

#for _ in range(15) { linebreak() }


#align(right)[Выполнили:]
#align(right)[Левахин Лев]
#align(right)[Останин Андрей]
#align(right)[Дощенников Никита]
#align(right)[Группы: К3221, К3240]
#align(right)[Проверил:]
#align(right)[Владимир Владимирович Беспалов]

#pagebreak()

=== Цель

Изучение и практическое применение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, сравнение их точности и устойчивости на различных типах задач.

=== Задачи

1. Реализовать следующие численные методы решения ОДУ:

    - Явный метод Эйлера (1-го порядка)
    - Явный метод трапеций (улучшенный Эйлер, 2-го порядка)
    - Классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4)
    - Неявный метод Эйлера (1-го порядка)
    - Неявный метод трапеций (2-го порядка)


2. Решить две задачи:

    - Нежесткое нелинейное уравнение типа Риккати (`1.4`): исследование точности и сходимости явных методов
    - Жесткое линейное уравнение (`2.4`): исследование устойчивости неявных методов


3. Провести анализ погрешностей и построить графики решений
4. Сформулировать выводы о применимости различных методов

=== Теоретические основы

==== Постановка задачи Коши

Рассматривается начальная задача для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

$
frac(d y, d x) eq f(t, y), space.quad y(t_0) eq y_0
$

где

- $t$ - независимая переменная (время)
- $y(t)$ - искомая функция
- $f(t, y)$ - правая часть уравнения
- $y_0$ - начальное условие

==== Классификация численных методов

*Явные методы* - значение решения на следующем шаге вычисляется непосредственно из известных значений:

- Просты в реализации
- Требуют малого шага для жестких систем
- Примеры: явный Эйлер, RK4

*Неявные методы* - значение решения на следующем шаге находится из неявного уравнения:

- Требуют решения нелинейных уравнений на каждом шаге
- Обладают лучшей устойчивостью для жестких систем
- Примеры: неявный Эйлер, неявная трапеция

=== Описание реализованных методов

==== Явный метод Эйлера

$
y_(n + 1) eq y_n plus h dot f(t_n, y_n)
$

Имеет первый порядок точности $O(h)$.

```python
def euler_method(self, f, t_span, y0, h):
    t0, t_end = t_span
    N = int((t_end - t0) / h)
    t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    y = np.zeros(N + 1)
    y[0] = y0

    for i in range(N):
        y[i + 1] = y[i] + h * f(t[i], y[i])

    return t, y
```

Метод использует линейную аппроксимацию решения на основе производной в начале интервала. Это самый простой, но наименее точный метод.

==== Явный метод трапеций

$
k_1 eq f(t_n, y_n) \
k_2 eq f(t_n plus h, y_n plus h dot k_1) \
y_(n plus 1) eq y_n plus frac(h, 2) dot (k_1 plus k_2)
$

Имеет второй порядок точности $O(h^2)$.

```python
def explicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h):
    t0, t_end = t_span
    N = int((t_end - t0) / h)
    t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    y = np.zeros(N + 1)
    y[0] = y0

    for i in range(N):
        k1 = f(t[i], y[i])
        k2 = f(t[i] + h, y[i] + h * k1)
        y[i + 1] = y[i] + (h / 2) * (k1 + k2)

    return t, y
```

Метод сначала делает предсказание решения в конце интервала (явным Эйлером), затем усредняет производные в начале и конце интервала.

==== Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4)

$
k_1 eq f(t_n, y_n) \
k_2 eq f(t_n plus frac(h, 2), y_n plus h dot frac(k_1, 2)) \
k_3 eq f(t_n plus frac(h, 2), y_n plus h dot frac(k_2, 2)) \
k_4 eq f(t_n plus h, y_n plus h dot k_3) \
y_(n plus 1) = y_n + frac(h, 6) dot (k_1 plus 2 k_2 plus 2 k_3 plus k_4)
$

Имеет четвертый порядок точности $O(h^4)$

```python
def rk4_method(self, f, t_span, y0, h):
    t0, t_end = t_span
    N = int((t_end - t0) / h)
    t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    y = np.zeros(N + 1)
    y[0] = y0

    for i in range(N):
        k1 = f(t[i], y[i])
        k2 = f(t[i] + h/2, y[i] + h/2 * k1)
        k3 = f(t[i] + h/2, y[i] + h/2 * k2)
        k4 = f(t[i] + h, y[i] + h * k3)
        y[i + 1] = y[i] + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

    return t, y
```

Метод вычисляет четыре промежуточных значения производной внутри интервала и формирует взвешенное среднее. Это обеспечивает высокую точность.

==== Неявный метод Эйлера

$
y_(n plus 1) eq y_n plus h dot f(t_(n plus 1), y_(n plus 1))
$

Имеет первый порядок точности $O(h)$

```python
def backward_euler(self, f, t_span, y0, h):
    t0, t_end = t_span
    N = int((t_end - t0) / h)
    t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    y = np.zeros(N + 1)
    y[0] = y0

    for i in range(N):
        t_next = t[i + 1]

        def equation(z):
            return z - h * f(t_next, z) - y[i]

        y[i + 1] = fsolve(equation, y[i])[0]

    return t, y
```

Метод использует производную в конце интервала, что требует решения нелинейного уравнения на каждом шаге с помощью `fsolve`. Это обеспечивает безусловную устойчивость для линейных задач.

==== Неявный метод трапеций

$
y_(n plus 1) eq y_n plus frac(h, 2) dot [f(t_n, y_n) plus f(t_(n plus 1), t_(n + 1)]
$

Имеет второй порядок точности $O(h^2)$

```python
def implicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h):
    t0, t_end = t_span
    N = int((t_end - t0) / h)
    t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
    y = np.zeros(N + 1)
    y[0] = y0

    for i in range(N):
        t_n = t[i]
        t_np1 = t[i + 1]
        y_n = y[i]

        def equation(z):
            return z - y_n - (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_np1, z))

        y[i + 1] = fsolve(equation, y_n)[0]

    return t, y
```

Метод усредняет производные в начале и конце интервала (как явная трапеция), но использует неизвестное значение $y_(n+1)$, что требует решения нелинейного уравнения. Метод A-устойчив.

=== Задачи

==== 1.4

$
y' eq y^2 - t, space.quad y(0) eq 1, space.quad t in [0, 1.5], space.quad h eq 0.25
$

- Нелинейное уравнение типа Риккати
- Не имеет аналитического решения
- Нежесткая система - подходит для явных методов
- Используется для анализа точности и сходимости

```python
def problem_1_4():
    def f(t, y):
        return y**2 - t

    t_span = [0, 1.5]
    y0 = 1
    h = 0.25

    solver = ODESolver()

    t_euler, y_euler = solver.euler_method(f, t_span, y0, h)
    t_trap, y_trap = solver.explicit_trapezoid(f, t_span, y0, h)
    t_rk4, y_rk4 = solver.rk4_method(f, t_span, y0, h)

    sol_ref = solve_ivp(f, t_span, [y0], method='RK45',
                       rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
```

==== 2.4

$
y' eq -2000y plus t, space.quad y(0) eq 0, space.quad t in [0, 1], space.quad h eq 1
$

- Линейное уравнение с большим отрицательным коэффициентом $lambda = -2000$
- Жесткая система
- Явный метод Эйлера неустойчив при больших шагах
- Требует неявных методов для устойчивости

```python
def problem_2_4():
    def f(t, y):
        return -2000 * y + t

    t_span = [0, 1]
    y0 = 0
    h = 1

    solver = ODESolver()

    t_euler, y_euler = solver.euler_method(f, t_span, y0, h)
    t_beuler, y_beuler = solver.backward_euler(f, t_span, y0, h)
    t_itrap, y_itrap = solver.implicit_trapezoid(f, t_span, y0, h)

    sol_ref = solve_ivp(f, t_span, [y0], method='Radau',
                       rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
```

=== Результаты

==== 1.4

Мы уменьшили интервал с $[0, 1.5]$ до $[0, 1]$ для того, чтобы избежать "взрыва решения", так как уравнение нелинейно.

Результаты программы:

```bash
=== ЗАДАЧА 1.4: y' = y² - t, y(0) = 1 ===
Ошибка метода Эйлера: 6.44e+00
Ошибка явного метода трапеций: 3.76e+00
Ошибка метода РК4: 6.45e-01
```

Ошибка получилась порядка $10^(-1)$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [График решения задачи 1.4]
  ) <g1>
]

- RK4 самый точный. Ошибка $tilde 10^(-1)$ в разы меньше остальных. На графике траектория почти совпадает с эталоном.

- Явная трапеция имеет среднюю точность. Ошибка меньше, чем у Эйлера, но заметно хуже RK4.

- Метод эйлера самый неточный. Ошибка огромная, отклонение от эталона быстро растёт.

==== 2.4

Результаты программы:

```bash
=== ЗАДАЧА 2.4: y' = -2000y + t, y(0) = 0 ===
Ошибка явного метода Эйлера: 5.00e-04
Ошибка неявного метода Эйлера: 1.25e-10
Ошибка неявного метода трапеций: 2.50e-07
```


#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [График решения задачи 2.4]
  ) <g2>
]

- Неявный Эйлер самый точный и устойчивый. Ошибка $tilde 10^(-10)$.

- Неявная трапеция тоже устойчива, но точность хуже. Ошибка $tilde 10^(-7)$.

- Явный Эйлер нестабилен, даёт неправильную форму решения.

=== Структура программы

==== Класс `ODESolver`

Класс инкапсулирует все численные методы:

```python
class ODESolver:
    def euler_method(self, f, t_span, y0, h): ...
    def explicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h): ...
    def rk4_method(self, f, t_span, y0, h): ...
    def backward_euler(self, f, t_span, y0, h): ...
    def implicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h): ...
```

==== Функция решения задач

Каждая задача решается в отдельной функции:

- `problem_1_4()` - для нежесткой задачи
- `problem_2_4()` - для жесткой задачи

Функции выполняют:

1. Определение правой части ОДУ
2. Задание параметров интегрирования
3. Вызов численных методов
4. Получение эталонного решения
5. Вычисление погрешностей
6. Построение графиков

==== Вычисление эталонного решения

Используются высокоточные методы из библиотеки SciPy:

- `solve_ivp` с методом RK45 для нежестких систем
- `solve_ivp` с методом Radau для жестких систем
- Строгие допуски: `rtol=1e-10`, `atol=1e-12`

==== Анализ погрешности

Глобальная погрешность вычисляется как норма разности:

```python
err = np.linalg.norm(y_numerical - y_reference)
```

где используется евклидова норма $L_2$.

=== Выводы

О порядке точности:

- Порядок метода существенно влияет на точность при одинаковом шаге
- Для достижения заданной точности метод более высокого порядка требует меньше вычислений
- RK4 является оптимальным выбором для нежестких задач


О явных и неявных методах:

- Явные методы просты в реализации, но имеют ограничения по устойчивости
- Неявные методы требуют решения нелинейных уравнений, но обеспечивают устойчивость
- Для жестких систем неявные методы необходимы


О жесткости:

- Жесткие системы характеризуются наличием сильно различающихся масштабов времени
- Явные методы требуют непрактично малых шагов для жестких систем
- A-устойчивые неявные методы позволяют использовать большие шаги

=== Приложение

Полный код программы:

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
from scipy.optimize import fsolve


class ODESolver:
    def euler_method(self, f, t_span, y0, h):
        t0, t_end = t_span
        N = int((t_end - t0) / h)
        t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
        y = np.zeros(N + 1)
        y[0] = y0

        for i in range(N):
            y[i + 1] = y[i] + h * f(t[i], y[i])

        return t, y

    def explicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h):
        t0, t_end = t_span
        N = int((t_end - t0) / h)
        t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
        y = np.zeros(N + 1)
        y[0] = y0

        for i in range(N):
            k1 = f(t[i], y[i])
            k2 = f(t[i] + h, y[i] + h * k1)
            y[i + 1] = y[i] + (h / 2) * (k1 + k2)

        return t, y

    def rk4_method(self, f, t_span, y0, h):
        t0, t_end = t_span
        N = int((t_end - t0) / h)
        t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
        y = np.zeros(N + 1)
        y[0] = y0

        for i in range(N):
            k1 = f(t[i], y[i])
            k2 = f(t[i] + h/2, y[i] + h/2 * k1)
            k3 = f(t[i] + h/2, y[i] + h/2 * k2)
            k4 = f(t[i] + h, y[i] + h * k3)
            y[i + 1] = y[i] + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

        return t, y

    def backward_euler(self, f, t_span, y0, h):
        t0, t_end = t_span
        N = int((t_end - t0) / h)
        t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
        y = np.zeros(N + 1)
        y[0] = y0

        for i in range(N):
            t_next = t[i + 1]

            def equation(z):
                return z - h * f(t_next, z) - y[i]

            y[i + 1] = fsolve(equation, y[i])[0]

        return t, y

    def implicit_trapezoid(self, f, t_span, y0, h):
        t0, t_end = t_span
        N = int((t_end - t0) / h)
        t = np.linspace(t0, t_end, N + 1)
        y = np.zeros(N + 1)
        y[0] = y0

        for i in range(N):
            t_n = t[i]
            t_np1 = t[i + 1]
            y_n = y[i]

            def equation(z):
                return z - y_n - (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_np1, z))

            y[i + 1] = fsolve(equation, y_n)[0]

        return t, y

def problem_1_4():
    print("=== ЗАДАЧА 1.4: y' = y² - t, y(0) = 1 ===")

    def f(t, y):
        return y**2 - t

    t_span = [0, 1.0]
    y0 = 1
    h = 0.25

    solver = ODESolver()

    t_euler, y_euler = solver.euler_method(f, t_span, y0, h)
    t_trap, y_trap = solver.explicit_trapezoid(f, t_span, y0, h)
    t_rk4, y_rk4 = solver.rk4_method(f, t_span, y0, h)

    sol_ref = solve_ivp(f, t_span, [y0], method='RK45',
                       rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
    t_ref = np.linspace(t_span[0], t_span[1], 100)
    y_ref = sol_ref.sol(t_ref)[0]

    y_ref_euler = sol_ref.sol(t_euler)[0]
    y_ref_trap = sol_ref.sol(t_trap)[0]
    y_ref_rk4 = sol_ref.sol(t_rk4)[0]

    err_euler = np.linalg.norm(y_euler - y_ref_euler)
    err_trap = np.linalg.norm(y_trap - y_ref_trap)
    err_rk4 = np.linalg.norm(y_rk4 - y_ref_rk4)

    print(f"Ошибка метода Эйлера: {err_euler:.2e}")
    print(f"Ошибка явного метода трапеций: {err_trap:.2e}")
    print(f"Ошибка метода РК4: {err_rk4:.2e}")

    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.plot(t_ref, y_ref, 'k-', linewidth=5, label='Эталонное решение (solve_ivp)')
    plt.plot(t_euler, y_euler, 'bo-', markersize=10, label='Метод Эйлера')
    plt.plot(t_trap, y_trap, 'c*-',  markersize=15, label='Явный метод трапеций')
    plt.plot(t_rk4, y_rk4, 'rs-', markersize=5, label='Метод РК4')

    plt.xlabel('t')
    plt.ylabel('y(t)')
    plt.title('Задача 1.4: y\' = y² - t, y(0) = 1')
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.show()

    return t_euler, y_euler, t_trap, y_trap, t_rk4, y_rk4, t_ref, y_ref


if __name__ == "__main__":
    result1 = problem_1_4()

def problem_2_4():
    print("\n=== ЗАДАЧА 2.4: y' = -2000y + t, y(0) = 0 ===")

    def f(t, y):
        return -2000 * y + t

    t_span = [0, 1]
    y0 = 0
    h = 1

    solver = ODESolver()

    t_euler, y_euler = solver.euler_method(f, t_span, y0, h)
    t_beuler, y_beuler = solver.backward_euler(f, t_span, y0, h)
    t_itrap, y_itrap = solver.implicit_trapezoid(f, t_span, y0, h)

    sol_ref = solve_ivp(f, t_span, [y0], method='Radau',
                       rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
    t_ref = np.linspace(t_span[0], t_span[1], 100)
    y_ref = sol_ref.sol(t_ref)[0]

    y_ref_euler = sol_ref.sol(t_euler)[0]
    y_ref_beuler = sol_ref.sol(t_beuler)[0]
    y_ref_itrap = sol_ref.sol(t_itrap)[0]

    err_euler = np.linalg.norm(y_euler - y_ref_euler)
    err_beuler = np.linalg.norm(y_beuler - y_ref_beuler)
    err_itrap = np.linalg.norm(y_itrap - y_ref_itrap)

    print(f"Ошибка явного метода Эйлера: {err_euler:.2e}")
    print(f"Ошибка неявного метода Эйлера: {err_beuler:.2e}")
    print(f"Ошибка неявного метода трапеций: {err_itrap:.2e}")

    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.plot(t_ref, y_ref, 'k-', linewidth=5, label='Эталонное решение (solve_ivp)')
    plt.plot(t_euler, y_euler, 'bo-', markersize=4, label='Явный метод Эйлера')
    plt.plot(t_beuler, y_beuler, 'g^-', markersize=4, label='Неявный метод Эйлера')
    plt.plot(t_itrap, y_itrap, 'm*-',linewidth=2.2, markersize=4, label='Неявный метод трапеций')

    plt.xlabel('t')
    plt.ylabel('y(t)')
    plt.title('Задача 2.4: y\' = -2000y + t, y(0) = 0 (жесткая система)')
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.show()

    return t_euler, y_euler, t_beuler, y_beuler, t_itrap, y_itrap, t_ref, y_ref


if __name__ == "__main__":
    result2 = problem_2_4()
```