#import "@preview/scripst:1.1.1": *

#show: scripst.with(
  template: "article",
  title: [Дифференциальные уравнения],
  // info: [],
  author: "Дощенников Никита",
  // author: ("AnZrew", "AnZrew"),
  time: datetime.today().display(),
  contents: true,
  content-depth: 3,
  matheq-depth: 2,
  lang: "ru",
)

/*

#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[

  No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
  $
    a^n + b^n = c^n
  $
  for any integer value of $n$ greater than 2.
]
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.

*/

#align(center)[= Определения]

#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
  Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида

$
F(x, y, y') eq 0.
$

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.

]

#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[

Функция $phi$ - решение уравнения, если

$
phi in C^1 (a, b); \
F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
$

Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.

Общим решением уравнения называют множество всех его решений.

#align(center)[ИЛИ]

Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.


]



#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[

Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения

$
y' eq f(x, y)
$

называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию

$
y(x_0) eq y_0.
$

Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.

]


#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[

Уравнение в дифференциалах вида

$
P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
$

называют уравнением с разделёнными переменными.

Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.

Уравнение вида

$
p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
$

называют уравнением с разделяющимися переменными.

#align(center)[ИЛИ]

Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду

$
y' eq g(x) dot h(y)
$

или

$
M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
$

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
]


#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[

Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство

$
F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
$

Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).


]

#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[

  Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида

$
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
$

называется однородным уравнением.

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:

$
y' eq f(y/x)
$

]


#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[

  Дифференциальное уравнение вида

$
y' eq p(x) y plus q(x),
$

называется линейным уравнением первого порядка.

Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.

#align(center)[ИЛИ]

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

$
y' plus p(x) y eq q(x),
$

где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.

]


#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[

  Уравнением Бернулли называют уравнение вида

$
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
$

где $alpha in RR without {0, 1}$.

Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим

$
frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
$

Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.

#align(center)[ИЛИ]

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

$
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
$

] 

#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[

Уравнение

$
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
$

называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что

$
d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
$

то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.

#align(center)[ИЛИ]

Дифференциальное уравнение вида

$
M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
$

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:

$
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
$

Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:

$
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
$

]


#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения

$
Phi(x, y, y') eq 0
$

называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.

#align(center)[ИЛИ]

Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что

$
phi(x_0) eq psi(x_0)
$

при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.

Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.


]


#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[

Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида

$
F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
$

Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если

$
phi in C^n (a, b); \
F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
$

Каноническим уравнением будем называть уравнение

$
y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
$

разрешённое относительно старшей производной.

Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям

$
y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
$

Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом  называют начальными данными.

#align(center)[ИЛИ]

Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид

$
Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
$

или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид

$
y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
$

Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.


]


#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[

  Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида

$
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
$

где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.

Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть

$
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
$

называется однородным, в противном случае -- неоднородным.

#align(center)[ИЛИ]

Уравнение вида

$
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
$

называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.

Уравнение вида

$
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
$

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.

]

#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]

#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[

  Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют

$
W (t) colon.eq mat(
  y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
  dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
  dots, dots, dots, dots;
  y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
$

]



#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[

  Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.

#align(center)[ИЛИ]

Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

]



#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[

Многочлен

$
p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
$

называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.

]


#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[

  Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:

$
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
      dots,
      frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
$

Решением системы называется совокупность $n$ функций

$
y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
$

таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.

#align(center)[ИЛИ]

Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида

$
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
      dots,
      dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
$

Если ввести в рассмотрение векторы

$
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
$

то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения

$
dot(r) eq f(t, r).
$

Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если

$
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
$
]

#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[

  Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида

$
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
$

где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.

Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть

$
dot(r) eq P(t) r,
$

называется однородной, в противном случае -- неоднородной.

]



#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[

  Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:

- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:

$
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
$
]

#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:

$
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
$

где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
]


#pagebreak()
#align(center)[= Теоремы]

#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
  Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.

]
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[

  Рассмотрим уравнение второго порядка: 

  $
  y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
  $ <eq119>

  Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: 

  $
  tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
  $ <eq120>

  где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.

  Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:

  $
  Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
  $ <eq121>

  Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.

  Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
  
  Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.

  $
  Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
  $

  Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение: 

  $
  u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
  $

  Тогда $Y'$ примет вид: 

  $
  Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
  $

  Соответственно,

  $
  Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
  $

  Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:

  $
  u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \

  arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 -- "решение ЛОДУ")) 
  $

]
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]