differential_equations/подготовка к кр/main.typ

#align(center)[= Метод специальной правой части]

#align(center)[=== №1]

$
y'' + 3y' - 4y = e^(-4x) + x e^(-x)
$

Характеристический многочлен

$
lambda^2 + 3 lambda - 4 eq 0 arrow.double underline(lambda_1 eq 1), underline(lambda_2 eq -4)
$

$
y_"общ" eq C_1 dot e^(x) + C_2 dot e^(-4x)
$

Так как $-4$ -- корень характеристического многочлена, частное решение 

$
y_"частн"_1 eq underline(A dot e^(-4x) dot x) \
y'_"частн"_1 eq (A dot e^(-4x) dot x)' eq A(e^(-4x) - 4x dot e^(-4x)) eq underline(A e^(-4x) (1 - 4x)) \
y''_"частн"_1 eq (A e^(-4x) (1 - 4x))' eq A (-4(1 - 4x)e^(-4x) -4e^(-4x)) eq 4 A e^(-4x) (-1(1 - 4x) - 1) eq underline(4 A e^(-4x) (4x - 2))
$

Подставим в изначальное уравнение

$
underbrace(4 A e^(-4x) (4x - 2), y''_"частн"_1) + 3 underbrace(A e^(-4x) (1 - 4x), y'_"частн"_1) - 4 underbrace(A dot e^(-4x) dot x, y_"частн"_1) eq e^(-4x)
$

Тогда получим

$
4 A (4x - 2) + 3 A (1 - 4x) - 4 A x eq 1 \
underline(16 A x) - 8 A + 3 A - underline(12 A x) - underline(4 A x) eq 1 \
underline(0 A x) - 8 A + 3 A eq 1 eq 1 \
-5 A eq 1 \
A eq -1/5
$

Тогда 

$
y_"частн"_1 eq A e^(-4x) x eq -frac(x e^(-4x), 5)
$

Так как $lambda eq -1$ не является корнем характеристического многочлена 

$
y_"частн"_2 eq underline((B x + C) e^(-x)) \
y'_"частн"_2 eq B e^(-x) - e^(-x) (B x + C) eq underline(e^(-x) (B - B x - C)) \
y''_"частн"_2 eq -e^(-x) (B - B x - C) - B e^(-x) eq underline(e^(-x) (B x - 2 B + C))
$

Подставим в изначальное уравнение 

$
underbrace((B x - 2B + C)e^(-x), y''_"частн"_2) + 3 underbrace((B - B x - C)e^(-x), y'_"частн"_2) - 4 underbrace((B x + C)e^(-x), y_"частн"_2) eq x e^(-x)
$

$
(B x - 2B + C) + 3(B - B x - C) - 4 (B x + C) eq x \ 
underline(B x) - 2B + C + 3 B underline(- 3 B x) - 3 C underline(- 4 B x) - 4 C eq x \
underline(- 6 B x) + underbrace(B - 6 C, eq 0) eq x
$

Тогда 

$
- 6 B x eq x arrow.double -6 B eq 1 arrow.double B eq -1/6
$

$
B - 6 C eq 0 arrow.double -1/6 - 6 C eq 0 arrow.double C eq -1/36
$

Тогда 

$
y''_"частн"_2 eq (B x + C) e^(-x) eq (-1/6 x - 1/36) e^(-x) eq -1/6 (x + 1/6) e^(-x)
$

Тогда ответ

$
y eq y_"общ" + y_"частн"_1 + y_"частн"_2 eq C_1 e^x + C_2 e^(-4x) - 1/5 x e^(-4x) - 1/6 (x + 1/6) e^(-x)
$

#align(center)[=== №2]

$
y'' + 2 y' - 3y = x^2 e^x
$

Характеристический многочлен 

$
lambda^2 + 2 lambda - 3 eq (lambda - 1)(lambda + 3) arrow.double underline(lambda_1 eq 1), underline(lambda_2 eq -3)
$

Тогда общее решение будет выглядеть так

$
y_"общ" eq C_1 e^x + C_2 e^(-3x)
$

Так как $lambda = 1$ -- корень характеристического многочлена, то частное решение будет выглядеть так 

$
y_"частн" eq (A x^2 + B x + C) x e^x eq underline((A x^3 + B x^2 + C x) e^x) \
y'_"частн" eq A(x^3 e^x)' + B(x^2 e^x)' + C(x e^x)' eq \
eq A(3x^2 e^x + x^3 e^x) + B(2x e^x + x^2 e^x) + C(e^x + x e^x) eq \
eq underline(3A x^2 e^x + 2B x e^x + C e^x + A x^3 e^x + B x^2 e^x + C x e^x) \
y''_"частн" eq 3A(x^2 e^x)' + 2B(x e^x)' + C(e^x)' + A(x^3 e^x)' + B(x^2 e^x)' + C(x e^x)' eq \
eq 3A (2x e^x + x^2 e^x) + 2B (e^x + x e^x) + C(e^x) + A(3x^2 e^x + x^3 e^x) + B(2x e^x + x^2 e^x) + C(e^x + x e^x) eq \
eq (3 A + B) (2 x e^x + x^2 e^x) + (2 B + C) (e^x + x e^x) + C e^x + A(3x^2 e^x + x^3 e^x) eq \
eq underline(6A x e^x + 6A x^2 e^x + 2B e^x + 4B x e^x + 2C e^x + A x^3 e^x + B x^2 e^x + C x e^x)
$

Подставим в начальное уравнение

$
underbrace(6A x e^x + 6A x^2 e^x + 2B e^x + 4B x e^x + 2C e^x + A x^3 e^x + B x^2 e^x + C x e^x, y''_"частн") + \ 
+ 2 dot (underbrace(3A x^2 e^x + 2B x e^x + C e^x + A x^3 e^x + B x^2 e^x + C x e^x, y'_"частн")) - \
- 3 underbrace((A x^3 + B x^2 + C x)e^x, y_"частн") eq \ 
eq x^2 e^x \

6A x e^x + 12 A x^2 e^x + 2 B e^x + 8B x e^x + 4 C e^x eq x^2 e^x \

(12A) x^2 e^x + (6A + 8B) x e^x + (2B + 4C) e^x eq x^2 e^x  \

cases(
  12A eq 1, 
  6A + 8B eq 0,
  2B + 4C eq 0
) arrow.double cases(
  A eq 1/12,
  B eq -1/16,
  C eq 1/32
)\
$

Тогда частное решение

$
y_"частн" eq (A x^3 + B x^2 + C x)e^x eq (1/12 x^3 - 1/16 x^2 + 1/32 x) e^x
$

Запишем итоговое решение

$
y eq y_"общ" + y_"частн" eq C_1 e^x + C_2 e^(-3x) + (1/12 x^3 - 1/16 x^2 + 1/32 x) e^x
$

#align(center)[=== №3]

$
y'' - 4y' + 8y eq e^(2x) + sin 2x
$

Характеристический многочлен

$
lambda^2 - 4 lambda + 8 eq 0
$

Дискриминант

$
cal(D) eq (-4)^2 - 4(1 dot 8) eq 16 - 32 eq -16 lt 0
$

Корни

$
cases(
  lambda_1 eq frac(4 plus sqrt(-16), 2) eq underline(2 + 2i), 
  lambda_2 eq frac(4 minus sqrt(-16), 2) eq underline(2 - 2i)
)
$

Запишем общее решение

$
y_"общ" eq e^(2x) (C_1 cos 2x + C_2 sin 2x)
$

Запишем частное решение

Правая часть в виде $P_n (x) dot e^(alpha x)$

Тогда частное решение

$
y_"частн"_1 eq A e^(2x) \
y'_"частн"_1 eq A(e^(2x))' eq 2A e^(2x) \
y''_"частн"_1 eq 2A(e^(2x))' eq 4A e^(2x)
$

Подставим в изначальное уравнение

$
underbrace(4A e^(2x), y''_"частн"_1) - 4 (underbrace(2A e^(2x), y'_"частн"_1)) + 8 (underbrace(A e^(2x), y_"частн"_1)) eq e^(2x) \
4A - 8A + 8A eq 1 arrow.double A eq 1/4
$

Тогда частное решение для первого слагаемого равно

$
y_"частн"_1 eq 1/4 e^(2x)
$


$
y_"частн"_2 eq B cos 2x + C sin 2x \
y'_"частн"_2 eq -2B sin 2x + 2C cos 2x \
y''_"частн"_2 eq -4B cos 2x - 4C sin 2x
$

Теперь все подставим в изначальное уравнение

$
underbrace(-4(B cos 2x + C sin 2x), y''_"частн"_2) - 4(underbrace(-2(B sin 2x - C cos 2x), y'_"частн"_2)) + 8(underbrace(B cos 2x + C sin 2x, y_"частн"_2)) eq sin 2x
$

$
cases(
  4B - 8C eq 0,
  4C + 8B eq 1
) arrow.double cases(
  C eq 1/20,
  B eq 1/10
)
$

Тогда частное решение для $sin 2x$

$
y_"частн"_2 eq 1/10 cos 2x + 1/20 sin 2x
$

Финальное решение

$
y eq y_"общ" + y_"частн"_1 + y_"частн"_2 eq e^(2x) (C_1 cos 2x + C_2 sin 2x) + 1/4 e^(2x) + 1/10 cos 2x + 1/20 sin 2x
$

#align(center)[= Метод исключения]

#align(center)[=== №4]

$
cases(
  x' eq x - 3y, 
  y' eq 3x + y
)
$

Из первого уравнения 

$
3y eq x - x' arrow.double y eq frac(x - x', 3)
$

$
y' eq 1/3 (x - x')' eq 1/3 (x' - x'')
$

$
underbrace(1/3(x' - x''), y') = 3x + underbrace(1/3 (x - x'), y) space.quad | dot 3
$

$
x' - x'' = 9x + x - x' \ 
x'' - 2x' + 10 x eq 0 \
cal(D) eq 4 - 4 dot 10 eq -36 \
sqrt(cal(D)) eq sqrt(-36) eq 6i \
x(t) eq underline(e^t (C_1 cos 3t + C_2 sin 3t)) \
x' eq e^t ((C_1 + 3 C_2) cos 3 t + (C_2 - 3 C_1) sin 3 t) \
y(t) eq 1/3(x - x') eq underline(e^t (C_1 sin 3t - C_2 cos 3t))
$

#align(center)[=== №5]

$
cases(
  x' eq 2x + y,
  y' eq 4y - x
)
$

Из первого уравнения 

$
y eq x' - 2x \
y' eq x'' - 2x'
$

$
underbrace(x'' - 2x', y') eq underbrace(4x' - 8x, 4y) - x
$

$
x'' - 6x' + 9x eq 0 \
underline(x(t) eq e^(3t) (C_1 + C_2 t))
$

$
x'(t) eq 3 C_1 e^(3t) + C_2 (e^(3t) + 3t e^(3t))
$

$
y(t) eq x' - 2x eq underline(e^(3t) (C_1 + C_2 (1 + t)))
$

#align(center)[= Метод Эйлера]

#align(center)[=== №6]

$
(lambda_1 eq 1, lambda_(2, 3) eq plus.minus i)
$

$
cases(
  x' eq 2x + 2z - y,
  y' eq x + 2z,
  z' eq y - 2x - z
)
$

Выпишем матрицу системы 

$
A eq mat(
  2, -1, 2;
  1, 0, 2;
  -2, 1, -1;
)
$

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы $A$. Для поиска собственных чисел составим характеристическое уравнение

$
det(A - lambda I) eq mat(
  2 - lambda, -1, 2;
  1, 0 - lambda, 2;
  -2, 1, -1 - lambda;
  delim: "|"
) eq (1 - lambda)(lambda^2 + 1)
$

Итак, собственные числа:

$
lambda_1 eq 1, lambda_2 eq i, lambda_3 eq -i
$

Найдем собственные векторы

$
(A - lambda_1 I) X_1 eq OO arrow.double.l.r mat(
  1, -1, 2;
  1, -1, 2;
  -2, 1, -2;
) vec(xi_1, xi_2, xi_3) eq vec(0, 0, 0)
$

$
X_1 eq C_1 vec(0, 2, 1)
$

$
(A - lambda_2 I) X_2 eq OO arrow.double.l.r mat(
  2 - i, -1, 2;
  1, -i, 2;
  -2, 1, -1 - i;
) vec(eta_1, eta_2, eta_3) eq vec(0, 0, 0)
$

$
X_2 eq C_2 vec(-1 - i, -1 - i, 1)
$

$
(A - lambda_3 I) X_3 eq OO arrow.double.l.r mat(
  2 + i, -1, 2;
  1, i, 2;
  -2, 1, -1 + i;
) vec(chi_1, chi_2, chi_3) eq vec(0, 0, 0)
$

$
X_3 eq overline(X_2) eq C_3 vec(-1 + i, -1 + i, 1)
$

Запишем ответ

$
vec(x, y, z) eq C_1 e^(t) vec(0, 2, 1) + C_2 e^(i t) vec(-1 - i, -1 - i, 1) + C_3 e^(-i t) vec(-1 + i, -1 + i, 1)
$


#align(center)[=== №7]

$
(lambda_1 eq 0, lambda_2 eq lambda_3 eq 1)
$

$
cases(
  x' eq 2x - y - z,
  y' eq 3x - 2y - 3z,
  z' eq 2z - x + y
)
$

Запишем матрицу системы

$
A eq mat(
  2, -1, -1;
  3, -2, -3;
  -1, 1, 2;
)
$

Найдем собственные числа

$
det(A - lambda I) eq mat(
  2 - lambda, -1, -1;
  3, -2 - lambda, -3;
  -1, 1, 2 - lambda;
  delim: "|"
) eq -lambda(lambda - 1)^2
$

Тогда собственные числа

$
lambda_1 eq 0, lambda_2 eq lambda_3 eq 1 
$

Найдем собственный вектор для $lambda_1 eq 0$

$
(A - lambda_1 I) X_1 eq OO arrow.double.l.r mat(
  2, -1, -1;
  3, -2, -3;
  -1, 1, 2;
) vec(xi_1, xi_2, xi_3) eq vec(0, 0, 0)
$

$
X_1 eq C_1 vec(1, 3, -1)
$

Для $lambda = 1$

$
(A - 1 I) eq mat(
  1, -1, -1;
  3, -3, -3;
  -1, 1, 1;
)
$

Ранг этой матрицы = 1. То есть по факту все три уравнения зависимы. Любое можно выразить через другое. Поэтому берем любое, например, первое

$
x - y - z eq 0 arrow.double x = y + z
$

Теперь $y, z$ -- свободные переменные.

Первый вектор

$
X_2 eq vec(1, 1, 0)
$

Второй вектор

$
X_3 eq vec(1, 0, 1)
$

Получим итоговое решение

$
vec(x, y, z) eq C_1 vec(1, 3, -1) + C_2 e^t vec(1, 1, 0) + C_3 e^t vec(1, 0, 1)
$

= Метод вариации постоянной

$
cases(
  x' eq y - 5 cos t, 
  y' eq 2x + y
)
$

Запишем систему в матричной форме

$
X eq vec(x, y), space.quad X' eq vec(x', y')
$

Тогда 

$
X' eq A X + F(t), space.quad A eq mat(0, 1; 2, 1), space.quad F(t) eq vec(-5 cos t, 0)
$

Решим однородную систему

$
det(A - lambda I) eq mat(-lambda, 1; 2, 1 - lambda; delim: "|") eq (lambda - 2)(lambda + 1) eq 0\ 
lambda_1 eq 2, space lambda_2 eq -1
$

Находим собственные векторы

$
(A - 2 I) X_1 eq 0 arrow.double mat(-2, 1; 2, -1) vec(x, y) eq vec(0, 0)
$

$
X_1 eq C_1 vec(1, 2)
$

$
(A + I) V_2 eq 0 arrow.double mat(1, 1; 2, 2) vec(x, y) eq 0
$

$
X_2 eq C_2 vec(1, -1)
$

Общее решение однородной системы

$
X_h (t) eq C_1 e^(2t) vec(1, 2) + C_2 e^(-t) vec(1, -1)
$

Теперь ищем частное решение в виде 

$
u'_1 X_1 + u'_2 X_2 eq F(t)
$

$
u'_1 vec(1, 2) + u'_2 vec(1, -1) eq vec(-5 cos t, 0)
$

или

$
cases(
  u'_1 + u'_2 = -5 cos t,
  2 u'_1 - u'_2 eq 0
)
$

Из второго уравнения системы

$
u'_2 eq 2u'_1
$

Подставим в первое 

$
u'_1 + 2u'_1 eq 3u'_1 eq -5 cos t arrow.double u'_1 eq -5/3 cos t \
u'_2 eq 2 u'_1 eq -10/3 cos t
$

$
u_1 (t) eq integral -5/3 cos t d t eq -5/3 sin t \
u_2 (t) eq integral -10/3 cos t d t eq -10/3 sin t
$

Частное решение

$
X_p (t) eq u_1 X_1 + u_2 X_2 eq (-5/3 sin t) vec(1, 2) + (-10/3 sin t) vec(1, -1) eq vec(-5 sin t, 0)
$

Финальное решение

$
y eq y_"общ" + y_"частн" eq C_1 e^(2t) vec(1, 2) + C_2 e^(-t) vec(1, -1) + vec(-5 sin t, 0)
$

#line(length: 50%)

$
cases(
  u'_1 e^(2 t) + u'_2 e^(-t) eq 0,
  u'_1 (2 e^(2 t)) + u'_2 (-e^(-t)) eq -5 cos t
)
$