511 lines
20 KiB
Typst
511 lines
20 KiB
Typst
#set page(
|
||
paper: "a4",
|
||
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
||
numbering: "- 1 -"
|
||
)
|
||
#set text(
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
size: 14pt
|
||
)
|
||
#set par(
|
||
// first-line-indent: (
|
||
// amount: 1.5em,
|
||
// all: true
|
||
// ),
|
||
justify: true,
|
||
leading: 0.52em,
|
||
)
|
||
|
||
#align(center)[=== Определения]
|
||
|
||
1. Дифференциальное уравнение
|
||
|
||
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y') eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
2. Решение дифференциального уравнения, общее решение
|
||
|
||
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
|
||
$
|
||
|
||
Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.
|
||
|
||
Общим решением уравнения называют множество всех его решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
3. Задача Коши
|
||
|
||
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(x, y)
|
||
$
|
||
|
||
называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0.
|
||
$
|
||
|
||
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
4. Уравнение с разделяющимися переменными
|
||
|
||
Уравнение в дифференциалах вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделёнными переменными.
|
||
|
||
Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду
|
||
|
||
$
|
||
y' eq g(x) dot h(y)
|
||
$
|
||
|
||
или
|
||
|
||
$
|
||
M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
5. Однородная функция
|
||
|
||
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
||
|
||
$
|
||
F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
|
||
$
|
||
|
||
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
6. Однородное ДУ первого порядка
|
||
|
||
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным уравнением.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(y/x)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
7. Линейное ДУ первого порядка
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x),
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным уравнением первого порядка.
|
||
|
||
Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x),
|
||
$
|
||
|
||
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
8. Уравнение Бернулли
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
|
||
$
|
||
|
||
где $alpha in RR without {0, 1}$.
|
||
|
||
Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим
|
||
|
||
$
|
||
frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
9. Уравнение в полных дифференциалах
|
||
|
||
Уравнение
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что
|
||
|
||
$
|
||
d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
|
||
$
|
||
|
||
то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:
|
||
|
||
$
|
||
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
|
||
$
|
||
|
||
Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
10. Особое решение ДУ
|
||
|
||
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y') eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что
|
||
|
||
$
|
||
phi(x_0) eq psi(x_0)
|
||
$
|
||
|
||
при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.
|
||
|
||
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
11. ДУ высшего порядка, задача Коши для него
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^n (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
|
||
$
|
||
|
||
Каноническим уравнением будем называть уравнение
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
|
||
$
|
||
|
||
разрешённое относительно старшей производной.
|
||
|
||
Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
|
||
$
|
||
|
||
Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом называют начальными данными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
|
||
$
|
||
|
||
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
12. Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное
|
||
|
||
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным, в противном случае -- неоднородным.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
13. Линейная независимость функций
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
14. Определитель Вронского
|
||
|
||
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
||
|
||
$
|
||
W (t) colon.eq mat(
|
||
y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
|
||
dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
15. Фундаментальная система решений
|
||
|
||
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
16. Характеристический многочлен
|
||
|
||
Многочлен
|
||
|
||
$
|
||
p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
|
||
$
|
||
|
||
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
17. Система ДУ, решение системы
|
||
|
||
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
||
|
||
$
|
||
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
|
||
dots,
|
||
frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
|
||
$
|
||
|
||
Решением системы называется совокупность $n$ функций
|
||
|
||
$
|
||
y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
|
||
$
|
||
|
||
таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
|
||
|
||
$
|
||
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
|
||
dots,
|
||
dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
|
||
$
|
||
|
||
Если ввести в рассмотрение векторы
|
||
|
||
$
|
||
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
|
||
$
|
||
|
||
то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq f(t, r).
|
||
$
|
||
|
||
Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
||
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
18. Линейная однородная и неоднородная система ДУ
|
||
|
||
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
19. Функция оригинал
|
||
|
||
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
||
|
||
- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
|
||
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
|
||
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:
|
||
|
||
$
|
||
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
20. Преобразование Лапласа
|
||
|
||
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
||
|
||
$
|
||
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
||
$
|
||
|
||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Теоремы]
|
||
|
||
1. О существовании решения ДУ
|
||
|
||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
|
||
|
||
2. Решение однородного дифференциального уравнения
|
||
3. О решении линейного однородного уравнения
|
||
4. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
|
||
5. Метод Бернулли
|
||
6. О полном дифференциале
|
||
7. Об интегрирующем множителе
|
||
8. О существовании решения ДУ высших порядков
|
||
9. Замены для уравнений, допускающих понижение порядка
|
||
10. Свойства решений линейного однородного ДУ
|
||
11. Необходимое условие линейной зависимости решений
|
||
12. Достаточное условие линейной зависимости решений
|
||
13. О базисе пространства решений
|
||
14. Общее решение линейного неоднородного ДУ
|
||
15. Принцип суперпозиции
|
||
16. Метод вариации произвольных постоянных
|
||
17. О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена
|
||
18. О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена
|
||
19. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
|
||
20. Метод неопределенных коэффициентов
|
||
21. Метод исключения для решения системы ДУ
|
||
22. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах
|
||
23. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах
|
||
24. Общее решение линейной неоднородной системы ДУ
|
||
25. Свойства преобразования Лапласа
|
||
26. О дифференцировании изображения
|
||
27. О дифференцировании оригинала
|
||
28. Об интегрировании оригинала
|
||
29. Преобразования Лапласа простейших функций
|