367 lines
7.9 KiB
Typst
367 lines
7.9 KiB
Typst
#set text(size: 1.3em)
|
||
#set math.equation(numbering: "(1)")
|
||
|
||
#align(center)[=== Однородные]
|
||
|
||
1. Если $k_1 eq.not k_2$ - действительные и различные, то #align(center)[$y eq C_1 dot e^(k_1 x) + C_2 dot e^(k_2 x)$]
|
||
|
||
2. Если $k_1 eq k_2$ - действительные и совпавшие, то #align(center)[$y eq e^(k_1 x) dot (C_1 plus C_2 x)$]
|
||
|
||
3. Если $k_(1, 2) eq alpha plus.minus beta i$ - комплексные корни, то #align(center)[$y eq e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x plus C_2 dot sin beta x).$]
|
||
|
||
#align(center)[=== Неоднородные]
|
||
|
||
1. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq P_n (x) dot e^(alpha x).$]
|
||
- Если $alpha$ не является корнем характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
|
||
- Если $alpha$ - корень характеристического уравнения кратности $S$ ($S in {1, 2}$), то #align(center)[$y_"частное" eq x^S dot e^(alpha x) dot Q_n (x).$]
|
||
|
||
2. Специальный вид правой части: #align(center)[$f(x) eq e^(alpha x) dot (P_n (x) dot cos beta x + Q_m (x) dot sin beta x), space.quad N eq max(n, m).$]
|
||
|
||
- Если $alpha plus.minus beta i$ не являются корнями характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
|
||
- Если $alpha plus.minus beta i$ - корни характеристического уравнения, то #align(center)[$y_"частное" eq x dot e^(alpha x) dot (P_N (x) dot cos beta x + Q_N (x) dot sin beta x).$]
|
||
|
||
=== Метод Лагранжа (Метод вариации постоянных)
|
||
|
||
$
|
||
cases(C'_1 (x) y_1 plus C'_2 (x) y_2 eq 0, C'_1 (x) y'_1 plus C'_2 (x) y'_2 eq f(x))
|
||
$
|
||
|
||
=== Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным
|
||
|
||
$
|
||
y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
|
||
$ <eq1>
|
||
|
||
если $c_1 eq c_2 eq 0$, то @eq1 -- однородное дифференциальное уравнение.
|
||
|
||
Пусть $c_1$ и $c_2$ не равны нулю (или одно из них)
|
||
|
||
Замена
|
||
|
||
$
|
||
x eq u + alpha, space.quad y eq v + beta,
|
||
$
|
||
|
||
где $u, v$ -- новые переменные, $alpha, beta$ -- постоянные.
|
||
|
||
$
|
||
d x eq d u, space.quad d y eq d v
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d v, d u) eq frac(alpha_1 (u + alpha) + b_1 (v + beta) + c_1, a_2 (u + alpha) + b_2 (v + beta) + c_2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v + (a_1 alpha + b_1 beta + c_1), a_2 u + b_2 v + (a_2 alpha + b_2 beta + c_2))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
a_1 alpha + b_1 beta + c_1 eq 0,
|
||
a_2 alpha + b_2 beta + c_2 eq 0
|
||
)
|
||
$ <sys2>
|
||
|
||
$
|
||
frac(d v, d u) eq frac(a_1 u + b_1 v, a_2 u + b_2 v)
|
||
$
|
||
|
||
Если @sys2 не имеет решений, то есть
|
||
|
||
$
|
||
mat(
|
||
a_1, b_1;
|
||
a_2, b_2;
|
||
delim: "|"
|
||
) eq a_1 b_2 - a_2 b_1 eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a_1 / a_2 eq b_1 / b_2 eq k, space.quad a_1 eq k dot a_2, space.quad b_1 eq k dot b_2
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
y' eq frac(a_1 x + b_1 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' eq frac(k a_2 x + k b_2 y + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' eq frac(k(a_2 x + b_2 y) + c_1, a_2 x + b_2 y + c_2)
|
||
$
|
||
|
||
Замена $a_2 x + b_2 y eq z$
|
||
|
||
$
|
||
y' eq frac(k z + c_1, z + c_2)
|
||
$
|
||
|
||
=== Метод Бернулли
|
||
|
||
$
|
||
y' + p(x) dot y eq g(x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' + y dot underbrace(cos x, p(x)) eq underbrace(sin x dot cos x, g(x))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq u dot v, " где " u eq u(x), space v eq v(x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq underbrace(y / v, u) dot v eq u dot v
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot v + u dot v'
|
||
$
|
||
|
||
Подставим в изначальный пример
|
||
|
||
$
|
||
underbrace(u' dot v + u dot v', y') + underbrace(u dot v, y) dot cos x eq sin x cos x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u' dot v + u dot underbrace((v' + v dot cos x), eq 0) eq sin x cos x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v' + v dot cos x eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
integral frac(d v, v) eq - integral cos x space d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ln |v| eq - sin x, space.quad c eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
v eq e^(- sin x)
|
||
$
|
||
|
||
Теперь подставим $v$
|
||
|
||
$
|
||
u' dot underbrace(e^(- sin x), v) eq sin x cos x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
integral d u eq integral e^(sin x) dot sin x dot cos x dot d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u eq sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq u dot v, space.quad y eq (sin x dot e^(sin x) - e^(sin x) + C) dot e^(-sin x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq sin x - 1 + C dot e^(-sin x)
|
||
$
|
||
|
||
=== Метод вариации произвольнОЙ постояннОЙ (метод Лагранжа)
|
||
|
||
$
|
||
y' + p(x) y eq g(x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' + p(x) y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d y, d x) eq -p(x) y space.quad | dot frac(d x, y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
integral frac(d y, y) eq -integral p(x) d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ln |y| = -integral p(x) d x + ln |C_1|
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ln |y| - ln |C_1| = -integral p(x) d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ln |y/(C_1)| eq -integral p(x) d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
|y/(C_1)| eq e^(-integral p(x) d x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq plus.minus C_1 dot e^(-integral p(x) d x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y eq C dot e^(-integral p(x) d x)
|
||
$
|
||
|
||
Полагаем $C eq C(x)$
|
||
|
||
$
|
||
y eq C(x) dot e^(-integral p(x) d x)
|
||
$
|
||
|
||
Потом можно найти $y'$ и подставить $y$ и $y'$ в изначальное уравнение и найти $C(x)$. Готовая формула выглядит вот так
|
||
|
||
$
|
||
y eq (integral g(x) dot exp(integral p(x) d x) dot d x + C) dot exp(-integral p(x) d x)
|
||
$
|
||
|
||
=== Уравнение в полных дифференциалах
|
||
|
||
$
|
||
y' eq - frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d y, d x) eq -frac(e^x + y + sin y, e^y + x + x dot cos y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
underbrace((e^x + y + sin y), P(x, y)) d x + underbrace((e^y + x + x dot cos y), Q(x, y)) dot d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) eq e^x + y + sin y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Q(x, y) eq e^y + x + x dot cos y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial P, partial y) eq 1 + cos y, space.quad frac(partial Q, partial x) eq 1 + cos y
|
||
$
|
||
|
||
Значит уравнение в полных дифференциалах
|
||
|
||
$
|
||
d u eq (e^x + y + sin y) d x + (e^y + x + x dot cos y) d y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
d u eq frac(partial u, partial x) dot d x + frac(partial u, partial y) dot d y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial u, partial x) eq e^x + y + sin y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial u, partial y) eq e^y + x + x dot cos y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq integral (e^x + y + sin y) d x eq e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial u, partial y) eq (e^x + y dot x + sin y dot x + phi(y))'_y eq x + x dot cos y + phi' (y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
x + x dot cos y + phi'(y) eq e^y + x + x cos y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
phi'(y) eq e^y arrow.double integral e^y d y
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
phi(y) eq e^y + C
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq e^x + y dot x + sin y dot x + e^y + C
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
e^x + y dot x + sin y dot x + e^y eq C_2
|
||
$
|
||
|
||
=== Интегрирующий множитель
|
||
|
||
$
|
||
mu(x, y) - "интегрирующий множитель"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
mu(x, y) dot P(x, y) d x + mu(x, y) dot Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial(mu(x, y) dot P(x, y)), partial y) eq frac(partial(mu(x, y) dot Q(x, y)), partial x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
mu eq mu(x, y), space.quad P eq P(x, y), space.quad Q eq Q(x, y)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial M, partial y) dot P + mu dot frac(partial P, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot Q + mu dot frac(partial Q, partial x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial mu, partial y) dot P - frac(partial mu, partial x) dot Q eq mu dot (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y))
|
||
$
|
||
|
||
1) Пусть $mu eq mu(x)$
|
||
|
||
$
|
||
- frac(d mu, d x) dot Q eq mu dot (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y))
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
frac(d mu, mu) eq -1/Q (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)) dot d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ln mu eq integral 1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)) dot d x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
mu (x) eq exp(integral underbrace(1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)), eq F_1 (x)) dot d x)
|
||
$
|
||
|
||
При этом
|
||
|
||
$
|
||
1/Q (frac(partial P, partial y) - frac(partial Q, partial x)) eq F_1 (x)
|
||
$
|
||
|
||
То есть зависеть только от $x$.
|
||
|
||
2) Пусть $mu eq mu(y)$
|
||
|
||
Размышляя аналогично, получим формулу
|
||
|
||
$
|
||
mu(y) eq exp(integral underbrace(1/P (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)), eq F_2 (y)) d y)
|
||
$
|
||
|
||
При этом
|
||
|
||
$
|
||
1/P (frac(partial Q, partial x) - frac(partial P, partial y)) eq F_2 (y)
|
||
$
|
||
|
||
То есть зависеть только от $y$.
|