528 lines
13 KiB
Typst
528 lines
13 KiB
Typst
#set page(
|
||
paper: "a4",
|
||
// margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
||
)
|
||
#set text(
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
size: 14pt
|
||
)
|
||
#set par(
|
||
/*first-line-indent: (
|
||
amount: 1.5em,
|
||
all: true
|
||
),*/
|
||
justify: true,
|
||
leading: 0.52em,
|
||
)
|
||
#show link: underline
|
||
#set page(footer: context {
|
||
if counter(page).get().first() > 1 [
|
||
#align(center)[
|
||
#counter(page).display("1")
|
||
]
|
||
]
|
||
if counter(page).get().first() == 1 [
|
||
#align(center)[
|
||
Санкт-Петербург \ 2025
|
||
]
|
||
]
|
||
})
|
||
|
||
#set page(header: context {
|
||
if counter(page).get().first() == 1 [
|
||
#align(center)[
|
||
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
|
||
]
|
||
]
|
||
})
|
||
|
||
|
||
|
||
#show raw.where(block: false): box.with(
|
||
fill: luma(240),
|
||
inset: (x: 3pt, y: 0pt),
|
||
outset: (y: 3pt),
|
||
radius: 2pt,
|
||
)
|
||
|
||
#show raw.where(block: true): block.with(
|
||
fill: luma(240),
|
||
inset: 10pt,
|
||
radius: 4pt,
|
||
)
|
||
|
||
// title
|
||
|
||
#for _ in range(5) { linebreak() }
|
||
|
||
#align(center)[Расчетно графическая работа №2]
|
||
|
||
#for _ in range(15) { linebreak() }
|
||
|
||
|
||
#align(right)[Выполнили:]
|
||
#align(right)[Левахин Лев]
|
||
#align(right)[Останин Андрей]
|
||
#align(right)[Дощенников Никита]
|
||
#align(right)[Группы: К3221, К3240]
|
||
#align(right)[Проверил:]
|
||
#align(right)[Владимир Владимирович Беспалов]
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#outline(title: "Содержание")
|
||
|
||
#align(center)[=== Цель]
|
||
|
||
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения разными способами.
|
||
|
||
Методы будут демонстрироваться на задаче Коши:
|
||
|
||
$
|
||
y'' - 4y' + 5y = 4 e^(-2x), space y(0) = 0, space y'(0) = 1
|
||
$
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Метод специальной правой части]
|
||
|
||
(Дощенников Никита)
|
||
|
||
Запишем характеристическое уравнение:
|
||
|
||
$
|
||
r^2 - 4r + 5 = 0
|
||
$
|
||
|
||
Найдем его корни. Посчитаем дискриминант:
|
||
|
||
$
|
||
cal(D) = b^2 - 4 a c = 16 - 4 dot 5 = -4 lt 0
|
||
$
|
||
|
||
Тогда корни:
|
||
|
||
$
|
||
r_1 = frac(4 + sqrt(-4), 2) = 2 + i, space.quad r_2 = frac(4 - sqrt(-4), 2) = 2 - i
|
||
$
|
||
|
||
Запишем общее решение для однородного уравнения. Так как корни комплексные, то общее решение соответствует форме:
|
||
|
||
$
|
||
y_"общ" = e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x + C_2 dot sin beta x)
|
||
$
|
||
|
||
В нашем случае $alpha = 2, beta = 1$. Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
|
||
$
|
||
|
||
Специальный вид правой части соответствует виду:
|
||
|
||
$
|
||
f(x) = P_n (x) dot e^(alpha x)
|
||
$
|
||
|
||
где $P_0 (x) = 4 space (n = 0), alpha = -2$.
|
||
|
||
Так как $alpha = -2$ не является корнем характеристического уравнения, частное решение представим в следующем виде:
|
||
|
||
$
|
||
y_"частн" = e^(alpha x) dot Q_0 (x) = e^(-2 x) dot A
|
||
$
|
||
|
||
Найдем первую и вторую производные для частного решения:
|
||
|
||
$
|
||
y'_"частн" eq (A e^(-2x))' = -2 A e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y''_"частн" eq (-2 A e^(-2x))' = 4 A e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим в исходное уравнение:
|
||
|
||
$
|
||
4 A e^(-2x) + 8 A e^(-2x) + 5 A e^(-2x) = 4e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Вынеся $e^(-2x)$ за скобки получим:
|
||
|
||
$
|
||
e^(-2x) (4A + 8A + 5A) = e^(-2x)(4)
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда видно, что
|
||
|
||
$
|
||
4A + 8A + 5A = 4 arrow.double 17A = 4 arrow.double A = frac(4, 17)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
y_"частн" = A e^(-2x) = frac(4, 17) e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Запишем общее решение:
|
||
|
||
$
|
||
y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x) + frac(4, 17) e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Теперь решим задачу Коши. Чтобы определить коэффициенты, подставим $0$ вместо $x$:
|
||
|
||
$
|
||
y = C_1 + frac(4, 17)
|
||
$
|
||
|
||
по условию $y(0) = 0$, то есть
|
||
|
||
$
|
||
C_1 + frac(4, 17) = 0 arrow.double C_1 = -frac(4, 17).
|
||
$
|
||
|
||
Найдем производную $y'$:
|
||
|
||
$
|
||
y' = C_1 (e^(2x) cos x)' + C_2 (e^(2x) sin x)' + frac(4, 17)(e^(-2x))' = \
|
||
= C_1 (2e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C_2 (2e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) - frac(8, 17)e^(-2x) = \
|
||
= e^(2x)((2C_1 + C_2) cos x + (2 C_2 - C_1) sin x) - frac(8, 17) e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
По условию $y'(0) = 1$. Подставим $0$ вместо $x$ и получим:
|
||
|
||
$
|
||
y'(0) = 2C_1 + C_2 - frac(8, 17) = 1
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $C_1 = -frac(4, 17)$:
|
||
|
||
$
|
||
-frac(8, 17) + C_2 - frac(8, 17) = 1 arrow.double C_2 = frac(33, 17)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим найденные коэффициенты в итоговое решение:
|
||
|
||
$
|
||
y = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
|
||
$
|
||
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Метод вариации постоянной]
|
||
|
||
(Дощенников Никита)
|
||
|
||
Напомним вид общего решения для однородного уравнения:
|
||
|
||
$
|
||
y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
|
||
$
|
||
|
||
Раскроем скобки и получим
|
||
|
||
$
|
||
y_"общ" = C_1 e^(2 x) cos x + C_2 e^(2 x) sin x
|
||
$
|
||
|
||
Сведем все к системе:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
C'_1 (x) y_1 + C'_2 (x) y_2 = 0,
|
||
C'_1 (x) y'_1 + C'_2 (x) y'_2 = f(x)
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
где $y_1 = e^(2x) cos x, space y_2 = e^(2x) sin x, space f(x) = 4 e^(-2x)$.
|
||
|
||
Найдем производные для $y_1$ и $y_2$:
|
||
|
||
$
|
||
y_1' = (e^(2x) cos x)' = 2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y_2' = (e^(2x) sin x)' = 2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x
|
||
$
|
||
|
||
Тогда система примет следующий вид:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
C'_1(x) (e^(2x) cos x) + C'_2(x) (e^(2x) sin x) = 0,
|
||
C'_1(x) (2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C'_2(x) (2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) = 4e^(-2x),
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
Из первого уравнения системы:
|
||
|
||
$
|
||
C'_1 = -C'_2 frac(e^(2x) sin x, e^(2x) cos x) = -C'_2 tg x
|
||
$
|
||
|
||
Подставим во второе уравнение системы и вынесем $C'_2 e^(2x)$:
|
||
|
||
$
|
||
C'_2 e^(2x) (-tg x(2 cos x - sin x) + 2 sin x + cos x) = 4 e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Упростим
|
||
|
||
$
|
||
-tg x(2 cos x - sin x) = -frac(sin x, cos x) (2 cos x - sin x) = -2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
(-2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)) + 2 sin x + cos x = frac(sin^2 x + cos^2 x, cos x) = frac(1, cos x)
|
||
$
|
||
|
||
Вернемся в уравнение 2 системы. С учетом упрощения оно примет следующий вид:
|
||
|
||
$
|
||
C'_2 e^(2x) dot frac(1, cos x) = 4 e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда
|
||
|
||
$
|
||
C_2' = 4e^(-4x) cos x
|
||
$
|
||
|
||
Найдем $C'_1$
|
||
|
||
$
|
||
C'_1 = -C'_2 tg x = -4e^(-4x) cos x frac(sin x, cos x) = -4e^(-4x) sin x
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрируем и получим
|
||
|
||
$
|
||
C_1 = -4 integral e^(-4x) sin x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) \
|
||
C_2 = 4 integral e^(-4x) cos x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим в формулу частного решения:
|
||
|
||
$
|
||
y_"частн" = C_1 (x) y_1 + C_2 (x) y_2 = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) dot e^(2x) cos x + frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x) dot e^(2x) sin x = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-2x) ((4 sin x + cos x ) cos x + (4 cos x - sin x) sin x) = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-2x) (4 sin x cos x + 4 cos x sin x + cos^2 x - sin^2 x) = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + (cos^2 x + sin^2 x)) = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + 1) = \
|
||
= frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2x)
|
||
$
|
||
|
||
Так как $e^(-2x) cos 2 x$ и $e^(-2x) sin 2x$ -- решения однородного уравнения, то выражение $frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2 x)$ -- это частное решение и часть однородного решения. Тогда окончательно получим
|
||
|
||
$
|
||
y_"частн" = frac(4, 17) e^(-2x)
|
||
$
|
||
|
||
Запишем общее решение:
|
||
|
||
$
|
||
y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
|
||
$
|
||
|
||
Дальнейшее решение задачи Коши идентично описанному в первом методе.
|
||
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Операционный метод] (Левахин Лев)
|
||
|
||
|
||
Применим преобразование Лапласа к исходному уравнению:
|
||
$ L[y''] - 4L[y'] + 5L[y] = 4L[e^(-2x)] $
|
||
|
||
Используем свойства преобразования Лапласа:
|
||
$ (p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)) - 4(p Y(p) - y(0)) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
|
||
|
||
Подставим начальные условия $y(0)=0$, $y'(0)=1$:
|
||
$ (p^2 Y(p) - 1) - 4p Y(p) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
|
||
|
||
Сгруппируем члены с $Y(p)$:
|
||
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) - 1 = 4/(p+2) $
|
||
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) = 1 + 4/(p+2) = (p+6)/(p+2) $
|
||
|
||
Выразим $Y(p)$:
|
||
$ Y(p) = (p+6)/((p+2)(p^2 - 4p + 5)) $
|
||
|
||
Разложим на простейшие дроби. Для этого сначала представим:
|
||
$ Y(p) = A/(p+2) + (B*p + C)/(p^2 - 4p + 5) $
|
||
|
||
Умножим обе части на $(p+2)(p^2 - 4p + 5)$:
|
||
$ p+6 = A(p^2 - 4p + 5) + (B*p + C)(p+2) $
|
||
$ p+6 = A p^2 - 4A p + 5A + B p^2 + 2B p + C p + 2C $
|
||
$ p+6 = (A+B)p^2 + (-4A + 2B + C)p + (5A + 2C) $
|
||
|
||
Получим систему уравнений:
|
||
$
|
||
cases(
|
||
A + B = 0,
|
||
-4A + 2B + C = 1,
|
||
5A + 2C = 6
|
||
)
|
||
$
|
||
A + B = 0, при p^2
|
||
-4A + 2B + C = 1, при p^1
|
||
5A + 2C = 6, при p^0
|
||
|
||
Из первого уравнения: $B = -A$. Подставим в остальные:
|
||
$
|
||
cases(
|
||
-4A - 2A + C = 1,
|
||
5A + 2C = 6
|
||
)
|
||
$
|
||
$
|
||
cases(
|
||
-6A + C = 1,
|
||
5A + 2C = 6
|
||
)$
|
||
|
||
Решим систему: из первого $C = 1 + 6A$, подставим во второе:
|
||
$ 5A + 2(1 + 6A) = 6 $
|
||
$ 5A + 2 + 12A = 6 $
|
||
$ 17A = 4 $
|
||
$ A = 4/17 $
|
||
|
||
Тогда:
|
||
$ B = -4/17 $
|
||
$ C = 1 + 6*(4/17) = 1 + 24/17 = 41/17 $
|
||
|
||
Итак:
|
||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + ((-4/17)p + 41/17)/(p^2 - 4p + 5) $
|
||
|
||
Преобразуем второе слагаемое. Заметим, что $p^2 - 4p + 5 = (p-2)^2 + 1$:
|
||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * p + 41/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||
|
||
Выделим в числителе второй дроби слагаемое $p-2$:
|
||
$ -4/17 * p + 41/17 = -4/17 * (p-2) - 8/17 + 41/17 = -4/17 * (p-2) + 33/17 $
|
||
|
||
Тогда:
|
||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * (p-2) + 33/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) - (4/17) * (p-2)/((p-2)^2 + 1) + (33/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||
|
||
Применим обратное преобразование Лапласа, используя свойства:
|
||
$ L^(-1)[1/(p+2)] = e^(-2t) $
|
||
$ L^(-1)[(p-2)/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) cos t $
|
||
$ L^(-1)[1/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) sin t $
|
||
|
||
Получаем решение:
|
||
$ y(x) = (4/17)e^(-2x) - (4/17)e^(2x) cos x + (33/17)e^(2x) sin x $
|
||
|
||
Или в более компактной форме:
|
||
$ y(x) = e^(2x)(-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17)e^(-2x) $
|
||
|
||
Полученное решение полностью совпадает с результатами предыдущих методов.
|
||
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Метод разложения в ряд] (Останин Андрей)
|
||
|
||
Ищем решение в виде степенного ряда:
|
||
$
|
||
y(x) = sum_(n=0)^infinity a_(n) x^n
|
||
$
|
||
|
||
Тогда производные имеют вид:
|
||
$
|
||
y'(x) = sum_(n=1)^infinity n a_(n) x^(n-1), quad
|
||
y''(x) = sum_(n=2)^infinity n(n-1) a_(n) x^(n-2)
|
||
$
|
||
|
||
Правая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
|
||
$
|
||
4 e^(-2x) = sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n, quad
|
||
b_(n) = frac(4 (-2)^n, n!)
|
||
$
|
||
|
||
Приведём ряды для производных к одинаковым степеням $x^n$:
|
||
$
|
||
y'' = sum_(n=0)^infinity (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y' = sum_(n=0)^infinity (n+1) a_(n+1) x^n
|
||
$
|
||
|
||
Подставляя полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
|
||
$
|
||
sum_(n=0)^infinity [
|
||
(n+2)(n+1) a_(n+2)
|
||
- 4 (n+1) a_(n+1)
|
||
+ 5 a_(n)
|
||
] x^n
|
||
=
|
||
sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:
|
||
$
|
||
(n+2)(n+1) a_(n+2)
|
||
- 4 (n+1) a_(n+1)
|
||
+ 5 a_(n)
|
||
=
|
||
b_(n)
|
||
$
|
||
|
||
Начальные условия задачи Коши дают:
|
||
$
|
||
a_(0) = y(0) = 0, quad a_(1) = y'(0) = 1
|
||
$
|
||
|
||
Найдём первые коэффициенты ряда.
|
||
|
||
При $n = 0$:
|
||
$
|
||
2 a_(2) - 4 a_(1) + 5 a_(0) = 4
|
||
$
|
||
$
|
||
2 a_(2) - 4 = 4 arrow.double a_(2) = 4
|
||
$
|
||
|
||
При $n = 1$:
|
||
$
|
||
6 a_(3) - 8 a_(2) + 5 a_(1) = -8
|
||
$
|
||
$
|
||
6 a_(3) - 32 + 5 = -8 arrow.double a_(3) = frac(19, 6)
|
||
$
|
||
|
||
При $n = 2$:
|
||
$
|
||
12 a_(4) - 12 a_(3) + 5 a_(2) = 8
|
||
$
|
||
$
|
||
12 a_(4) - 38 + 20 = 8 arrow.double a_(4) = frac(13, 6)
|
||
$
|
||
|
||
При $n = 3$:
|
||
$
|
||
20 a_(5) - 16 a_(4) + 5 a_(3) = - frac(16, 3)
|
||
$
|
||
$
|
||
20 a_(5) - frac(208, 6) + frac(95, 6) = - frac(16, 3)
|
||
arrow.double a_(5) = frac(27, 40)
|
||
$
|
||
|
||
Таким образом, решение в виде степенного ряда имеет вид:
|
||
$
|
||
y(x) =
|
||
x
|
||
+ 4 x^2
|
||
+ frac(19, 6) x^3
|
||
+ frac(13, 6) x^4
|
||
+ frac(27, 40) x^5
|
||
+ dots
|
||
$
|
||
|
||
Полученное разложение совпадает с рядом Тейлора точного решения, найденного ранее другими методами.
|
||
|