#show math.equation: set text(size: 16pt, weight: "light", top-edge: "ascender", bottom-edge: "descender")


#set page(
  paper: "a4",
  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 14pt,
  lang: "ru",
  weight: "light"
)
#set par(
  //first-line-indent: (
  //  amount: 1.5em,
  //  all: true
  //),
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)



#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(left)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
})

#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 70pt)[#text(size: 0.7em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#image("assets/1.svg")]

#line(length: 100%)

#align(center)[
  #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
    #align(left)[Группа: _К3221_]
  ][
    #align(left)[К работе допущен: ]
  ][
    #align(left)[Студенты: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
  ][
    #align(left)[Работа выполнена: ]
  ][
    #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
  ][
    #align(left)[Отчет принят: ]
  ]
]

#align(center)[#text(size: 20pt)[*Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №4.07 \ \ Изучение дифракции фраунгофера на одной и многих щелях*]]



#line(length: 100%)
#line(length: 100%)

/*

=== 1. Цель работы.

1. Изучение дифракции Фраунгофера на одной щели, на четырех щелях, на одномерной и двумерной дифракционных решетках.
2. Исследование распределения интенсивности в дифракционной картине.

=== 2. Задачи работы.

1. Получить картины дифракции Фраунгофера от различных объектов.
2. Определить размеры щели.
3. Определить ширину центрального дифракционного максимума.
4. Определить интенсивности порядков дифракции.
5. Объяснить изменение дифракционной картины при наклонном падении лучей.

===== Линейные положения минимумов

Для одной щели $alpha eq 0 degree$:

$
x_1 eq 12.4 "мм" eq 0.0124 "м" \
x_2 eq 25.0 "мм" eq 0.0250 "м" \
x_3 eq 37.6 "мм" eq 0.0376 "м"
$

Центральный максимум лежит в $x eq 0$. Ширина центрального максимума $Delta x_0 eq 2 x_1 eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м".$

Расчет ширины щели $b$:

$
Delta x_0 eq 2 frac(lambda F, b) arrow.double b eq 2 frac(lambda F, Delta x_0)
$

Подставив значения получим:

$
lambda &eq 632.8 "нм" eq 6.328 times 10^(-7) "м" \
F &eq 200 "мм" eq 0.200 "м" \
Delta x_0 &eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м"
$

$
b approx 10.21 "мкм"
$

Условие минимума: 

$
b sin phi_m eq m lambda arrow.double phi_m eq arcsin(frac(m lambda, b))
$

Подставив числа получим: 

$
m eq 1: sin phi_1 eq 0.062 arrow.double phi_1 eq 3.5546 degree \
m eq 2: sin phi_2 eq 0.124 arrow.double phi_2 eq 7.1230 degree \
m eq 3: sin phi_3 eq 0.186 arrow.double phi_3 eq 10.7194 degree
$

По формуле $phi_m approx frac(x_m, F)$:

$
phi_1 &approx 3.5523 degree \
phi_2 &approx 7.1620 degree \
phi_3 &approx 10.7716 degree
$

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 6, inset: 10pt)[$L, "мм"$][$alpha, "град"$][$m$][$x, "мм"$][$b, "мм"$][$frac(J_max, J_0)$][200][0][0][0][10,2][1][200][0][1][12,4][10,2][0,81][200][0][2][25,0][10,2][0,45][200][0][3][37,6][10,2][0,20][200][5][0][0][10,2][0,98][200][5][1][12,6][10,2][0,80][200][5][2][25,3][10,2][0,44][200][5][3][38,0][10,2][0,19],
    supplement: [Табл.],
    caption: []
  ) <table1>
]

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 2, inset: 10pt)[$alpha, "град"$][$frac(J, J_0)$][0][0.159][15][0.159][30][0.156][45][0.200][60][0.366],
    supplement: [Табл.],
    caption: []
  ) <table2>
]

По формуле для однощелевой дифракции: 

$
frac(J, J_0) eq (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b sin theta, lambda)
$

- Первый боковой максимум: $frac(J_1, J_0) approx 0.045$
- Второй боковой максимум: $frac(J_2, J_0) approx 0.016$
- Третий боковой максимум: $frac(J_3, J_0) approx 0.008$

Для дифракции на двух щелях положение максимума первого порядка задается формулой: 

$
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 1
$

Эффективная ширина щели изменяется как: 

$
b_"эфф" eq frac(b, cos alpha)
$

Подставив числа, получим: 

$
alpha = 0 degree: space.quad b_"эфф" = 10.21 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(lambda, b_"эфф") = frac(6.328 dot 10^(-7), 1.021 dot 10^(-5)) approx 0.0620 "рад" approx 3.55 degree
$

$
alpha = 15 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 15^degree) approx 10.57 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.057 dot 10^(-5)) approx 0.0599 "рад" approx 3.43 degree
$

$
alpha = 30 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 30 degree) approx 11.79 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.179 dot 10^(-5)) approx 0.0537 "рад" approx 3.08 degree
$

$
alpha = 45 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 45 degree) approx 14.44 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.444 dot 10^(-5)) approx 0.0438 "рад" approx 2.51 degree
$

$
alpha = 60 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 60 degree) approx 20.42 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 2.042 dot 10^(-5)) approx 0.0310 "рад" approx 1.78 degree
$

Для одной щели ширина центрального максимума на экране определяется как расстояние между первыми минимумами по обе стороны от центра:

$
Delta x_"эксп" eq x_"мин"^((+1)) - x_"мин"^((-1))
$

где $x_"мин"^((plus.minus 1))$ - линейные координаты первых минимумов дифракционной картины.

По формуле для ширины центрального максимума: 

$
Delta x_"теор" eq frac(2 lambda L, b) eq frac(2 dot 6 dot 10^(-7) dot 1, 2 dot 10^(-4)) eq 6 "мм"
$

$
Delta x_"эксп" eq 3.1 - (-3.0) eq 6.1 "мм"
$

По интерференциальной формуле для $N$ щелей.

Для одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0)$, тогда для $N$ щелей: 

$
J_max^((N)) eq J_max^((1)) dot N^2
$

- Центральный максимум одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0) eq 1$
- Две щели: $frac(J_max^((2)), J_0) eq 4$
- Три щели: $frac(J_max^((3)), J_0) eq 9$
- Четыре щели: $frac(J_max^((4)), J_0) eq 16$

По формуле постоянной решетки: 

$
d eq frac(k lambda, sin theta_k)
$

Рассчитаем для $k eq 1$:

$
d eq frac(1 dot 632.8 "нм", sin 10 degree) approx 3.65 "мкм"
$

Для $k eq 2$: 

$
d eq frac(2 dot 632.8, sin 20 degree) approx 3.7 "мкм"
$

Для $k eq 3$:

$
d eq frac(3 dot 632.8, sin 30) approx 3.80 "мкм"
$

Постоянная решетки $d approx 3.7 "мкм"$.

Для двумерной дифракционной решетки максимумы распределяются по обеим осям, и их положение задаётся углами $theta_x$ и $theta_y$ или линейными координатами $x_1$, $y_1$ на экране.

По формуле для периода решетки по осям: 

$
d_1 eq frac(k_1 lambda L, x_1), space.quad d_2 eq frac(k_2 lambda L, y_1)
$

Подставив числа, получим: 

$
d_1 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 10) approx 63.3 "мкм" \
d_2 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 12) approx 52.7 "мкм"
$

*/

=== Контрольные вопросы.

*1. В чем заключается явление дифракции?*

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (малыми отверстиями, непрозрачными экранами и т.п.) и связанных с отклонениями от прямолинейного распространения света. Дифракция происходит во всех случаях, когда изменение амплитуды или фазы световой волны не одинаково на поверхности волнового фронта. Поэтому это явление возникает при любом -- амплитудном или фазовом -- локальном нарушении волнового фронта. В результате дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.

*2. Объяснитепринцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.*

Принцип Гюйгенса-Френеля заключается в том, что каждая точка волнового фронта световой волны является источником вторичных когерентных волн, распространяющихся во все стороны под углами дифракции $phi.alt_1, phi.alt_2, phi.alt_3$, т.е. свет дифрагирует при прохождении сквозь щель. Фазы и амплитуды этих элементарных волн будут одинаковы. Дифракционная картина представляет собой результат интерференции этих когерентных элементарных волн, который наблюдается на экране в виде периодического распределения интенсивности.

Колебание электрического поля, приходящее в точку наблюдения $P$ от элементарного участка волнового фронта $d S$, имеет вид:

$
d E eq K(phi) frac(A_0, r) cos (omega t - k dot r + alpha_0) d S, 
$

где $A_0$ -- амплитуда колебания на волновом фронте, $r$ -- расстояние от элемента $d S$ до точки наблюдения, $K(phi)$ -- коэффициент наклонности, зависящий от угла $phi$ между нормалью к элементу $d S$ и направлением на точку $P$, $omega$ -- циклическая частота, $k$ -- волновой вектор, $alpha_0$ - начальная фаза.

Результирующее колебание в точке наблюдения $P$ определяется суперпозицией всех вторичных волн и выражается интегралом по всей поверхности волнового фронта $S$:

$
E eq integral.double_S K(phi) frac(A_0, r) cos(omega t - k dot r + alpha_0) d S
$

*3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?*

Дифракция Френеля происходит, когда источник света и/или экран находятся на конечном, относительно небольшом расстояния от препятствия. В дифракции Френеля важны сферические волны от каждой точки края препятствия. Главное условие -- это наблюдение картины в ближней зоне дифракции, где волновой фронт еще не плоский, и картина меняется с расстоянием.

Дифракция Фраунгофера происходит, когда источник света и приемник находятся на бесконечно большом расстоянии от препятствия, и волны, приходящие в точку наблюдения, являются практически плоскими.

*4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?*

Дифракционные полосы нельзя наблюдать при немонохроматическом источнике света, потому что для волн разной длины полосы располагаются в разных местах, при этом, при смешении световых волн разной длины, дифракционные картины наедут друг на друга, и темные места будут засвечены. Таким образом картинка будет довольно сильно смазана.

Для протяженного источника ситуация аналогична. Освещенность на экране зависит от количества источников. Для каждого источника будет своя картинка и, в итоге, общая картинка смажется.

*5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?*

Для получения узкого параллельного пучка света, нужно поместить точечный источник в фокус собирающей линзы.

*6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?*

Минимумы возникают, когда разность хода между лучами, идущими от противоположных краев щели, равна нечетному числу полуволн. Для первого минимума это условие запишется как 

$
b dot sin theta eq frac(lambda, 2),
$

где $lambda$ -- длина волны, а $theta$ -- угол между направлением падающего пучка и направлением первого минимума.
  
*7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?*

Дифракционная картина будет сдвинута. Максимумы и минимумы сместятся в направлении, соответствующему углу наклона падающей волны. Картина будет иметь форму полосы, суженной к краям щели.

*8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?*

Самая яркая полоса находится по оси перпендикулярной щели. Интенсивность уменьшается по мере удаления от центрального максимума. Длина полос уменьшается с увеличением угла наблюдения.

*9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?*

а) Чем шире щель, тем уже главный максимум в дифракционной картине, потому что ширина дифракционного минимума обратнопропорциональна ширине щели. При узкой щели главный максимум растягивается. Таким образом ширина щели обратнопропорционально ширине интерференционной картины.

б) При увеличении числа щелей, увеличивается число возможных интерференционных максимумов, а сами полосы становятся более узкими и расположены ближе друг к другу. Таким образом, число щелей прямопропорционально количеству интерференционных полос и обратнопропорционально расстоянию между полосами.

в) Увеличение расстояния между щелями приводит к уменьшению углового интервала между максимумами, поэтому полосы раздвигаются, но интенсивность максимумов может уменьшаться, и картина становится менее четкой. Таким образом, расстояние между щелями прямопропорционально расстоянию между полосами.

г) Более широкие щели дают более узкие дифракционные минимумы, из-за чего центральные и боковые полосы интерференции становятся шире, и сама картина растягивается. Таким образом, ширина всех щелей прямопорционально размеру интерференционных полос.

*10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.*

Принцип Гюйгенса-Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных сферических волн. При прохождении света через щель эти волны интерферируют между собой. В некоторых направлениях происходит полная деструктивная интерференция, и интенсивность света в этих направлениях равна нулю. Углы, при которых возникают такие минимумы, определяются условием

$
b sin theta = lambda,
$

где $theta$ -- угол относительно центрального максимума, $lambda$ -- длина волны света, $b$ -- ширина щели.

*11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.*

Дифракция на одной щели определяется 

$
I_1(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b, lambda) sin theta.
$

Интерференция $N$ щелей решетки определяется 

$
I(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2 dot (frac(sin(N delta \/ 2), sin (delta \/ 2)))^2, space.quad delta eq frac(2 pi d, lambda) sin theta.
$

где первый множитель -- огибающая, а второй множитель -- усиление и распределение максимумов за счет интерференций $N$ щелей. При этом главные максимумы решетки

$
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots.
$

*12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?*

Угол $theta_2$ второго порядка: 

$
sin theta_2 eq frac(2 lambda, d).
$

Подставив в огибающую (см. предыдущий вопрос) получим: 

$
beta eq frac(pi b, lambda) sin theta_2 eq frac(pi, b) dot frac(2 lambda, d) eq frac(2 pi b, d).
$

Чтобы максимум огибающей совпал с вторым порядком решетки

$
beta eq pi arrow.double frac(2 p b, d) eq pi arrow.double b/d eq 1/2.
$

*13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.*

Интенсивность одной щели: 

$
I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2
$

Интерференционная составляющая для $N$ щелей: 

$
I_N (theta) eq (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
$

Общее распределение интенсивности: 

$
I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2 dot (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
$

Условие главных максимумов: 

$
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots 
$

Условия минимумов огибающей одной щели: 

$
b sin theta_m eq m lambda, space.quad m eq 1, 2, 3, dots
$

*14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?*

Главные максимумы наблюдаются, когда разность хода равна целому числу длин волн: 

$
d(sin theta_0 - sin theta_m) eq m lambda, space.quad m eq 0, plus.minus 1, plus.minus 2, dots
$

Если углы малые, то $sin theta approx theta, sin theta_0 approx theta_0$

$
d(theta_0 - theta_m) approx m lambda arrow.double theta_m approx theta_0 - frac(m lambda, d). 
$

То есть при малых углах максимумы смещаются на величину $frac(m lambda, d)$ относительно направления падающего пучка.

*15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?*

Уравнение для главного максимума дифракционной решетки:

$
sin beta eq frac(m lambda, d)
$

Максимум первого порядка:

$
sin beta_1^max eq frac(700, d)
$

Минимум второго порядка: 

$
sin beta_2^min eq frac(2 dot 400, d) eq frac(800, d)
$

Так как $sin beta_1^max lt sin beta_2^min$, спектры не перекрываются.

*16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.*

Главный максимум решетки: 

$
d sin theta eq m lambda
$

Минимум дифракции щели: 

$
b sin theta eq n lambda
$

Если максимум решетки совпадает с минимумом щели, амплитуда равна нулю. Учитывая $N$ щелей, эффективный шаг уменьшается на $m b$:

$
N d sin theta - m b sin theta eq m lambda
$

Тогда: 

$
sin theta eq frac(m lambda, N d - m b)
$

*17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.*

Пусть ширина щели $b$ фиксирована, а период решетки $d$ меняется. Тогда при $d eq 2 b$, спектры ближе друг к другу, углы дифракции уменьшаются, спектры сужаются вдвое. Если $d eq 3 b$, спектры сужаются втрое. Если $d eq 4 b$, спектры сужаются вчетверо.

*18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?*

Нет, так как разрешающая сила решетки не зависит от наклона первичного пучка, падающего на неё.

*19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?*

Дифракция не проявляется, так как размеры отверстия значительно больше длины волны света. В этом случае интерференционный эффект практически отсутствует, и свет либо проходит через отверстие, либо отражается от диска, практически не изменяя направление своего распространения.

