#set math.equation(numbering: "(1)", supplement: [])

#show math.equation: set text(size: 16pt, weight: "light", top-edge: "ascender", bottom-edge: "descender")

#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 14pt,
  weight: "light",
  lang: "ru"
)

#set page(
  paper: "a4",
  numbering: "1"
)

#set par(
  justify: true,
  leading: 0.52em
)

#outline(
  title: "Содержание"
)

#pagebreak()

#align(center)[=== Электростатика]

#align(center)[==== Закон Кулона. Принцип суперпозиции.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: На шёлковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^plus$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^plus$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое.

*Решение*: 

*Ответ*: $l eq sqrt(frac(2 k q_1^plus q_2^plus, m g))$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: К потолку в одной точке на шёлковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Расстояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет вид: $v(x) eq frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ -- некоторая постоянная).

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/34.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  )
]

Пусть шары отклоняются на угол $theta$, от вертикали, когда расстояние между ними равно $x$.

Применяя второй закон Ньютона для любого шарика, получим, 

$
T cos theta eq m g
$ <eq8>

и

$
T sin theta eq F_e
$ <eq9>

Из уравнений @eq8 и @eq9

$
tg theta eq frac(F_e, m g)
$ <eq10>

Из рисунка

$
tg theta eq frac(x, 2 sqrt(l^2 - (x/2)^2)) approx x/(2 l) space.quad x lt.double l
$ <eq11>

Из уравнения @eq10 и @eq11 

$
F_e eq frac(m g x, 2 l) " или " frac(q^2, 4 pi epsilon_0 x^2) eq frac(m g x, 2 l)
$

$
q^2 eq frac(2 pi epsilon_0 m g x^3, l)
$ <eq12>

Дифференцируя уравнение @eq12 по времени

$
2 q frac(d q, d t) eq frac(2 pi epsilon_0 m g, l) 3 x^2 frac(d x, d t)
$

Согласно задаче $frac(d x, d t) eq v eq frac(a, sqrt(x))$ (скорость сближения $frac(d x, d t)$).

Итак, $sqrt(frac(2 pi epsilon_0 m g, l) x^3) frac(d q, d t) eq frac(3 pi epsilon_0 m g, l) x^2 frac(a, sqrt(x))$

Следовательно, $frac(d q, d t) eq 3/2 a sqrt(frac(2 pi epsilon_0 m g, l))$.

*Ответ*: $frac(d q, d t) eq frac(3 alpha, 2) sqrt(frac(m g, 2 k l))$.


#align(center)[===== №3]

*Условие*: Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r)_3$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна 0.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/35.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  )
]

Выберем координатные оси, как показано на рисунке, и зафиксируем три заряда, $q_1, q_2$ и $q_3$ с векторами положения $arrow(r)_1, arrow(r)_2$ и $arrow(r)_3$ соответственно.

Теперь для равновесия $q_3$

$
frac(+q_2 q_3 (arrow(r)_2 - arrow(r)_3), |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|^3) + frac(q_1 q_3 (arrow(r)_1 - arrow(r)_3), |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|) eq 0
$

или, $frac(q_2, |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|^3) eq frac(q_1, |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|^2)$

потому что $frac(arrow(r)_2 - arrow(r)_3, |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|) eq frac(arrow(r)_1 - arrow(r)_3, |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|)$

или, $sqrt(q_2) (arrow(r)_1 - arrow(r)_3) eq sqrt(q_1) (arrow(r)_3 - arrow(r)_2)$

или, $arrow(r_3) eq frac(sqrt(q_2) arrow(r)_1 + sqrt(q_1) arrow(r)_2, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$

Для равновесия $q_1$,

$
frac(q_3 (arrow(r)_3 - arrow(r)_1), |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|^3) + frac(q_2 (arrow(r)_2 - arrow(r)_1), |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|^3) eq 0
$

или, $q_3 eq frac(-q_2, |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|^2) |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|^2$

Подставляя значение $arrow(r)_3$, получаем,

$
q_3 eq frac(-q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
$

*Ответ*: $q_3 eq -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 eq frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$.


#align(center)[===== №4]

*Условие*: Точечный заряд $q eq 50 "мкКл"$ расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 eq 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряжённость $arrow(E)$ электрического поля и её модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) − 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/36.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

$
arrow(z) - arrow(z)_0 eq 6 arrow(i) - 8 arrow(j)
$

$
E eq frac(1, 4 pi epsilon_0) dot frac(q, r^2)
$

$
z eq |arrow(z) - arrow(z)_0| eq sqrt(36 + 64) eq 10 "м"
$

$
E eq 9 dot 10^9 dot frac(5 dot 10^5, 100) eq 4500 "В/м" eq 4.5 "кВ/м"
$

$
arrow(E) eq frac(arrow(z) - arrow(z)_0, |arrow(z) - arrow(z)_0|) dot E eq (0.6 i - 0.8 j) dot 4.5 eq \
eq (2.7 i - 3.6 j) "кВ/м".
$

*Ответ*: $E eq 4.5 "кВ/м"; arrow(E) eq = 2.7 arrow(i) minus 3.6 arrow(j)$.


#align(center)[===== №5]

*Условие*:  Точечные заряды $q^((plus))$ и $q^((minus))$ расположены по углам квадрата (@img29), диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряжённости электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/29.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  ) <img29>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 plus x^2)^(3/2))$.


#align(center)[===== №6]

*Условие*: В центре равностороннего треугольника расположен заряд $q_0 eq 10 "нКл"$. Рассчитайте, какие одинаковые заряды $q_1$ необходимо расположить в вершинах этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю.

*Решение*: 

*Ответ*: $q_1 eq minus 17 "нКл"$.


#align(center)[===== №7]

*Условие*: Система состоит из протона 𝑝 и электрона 𝑒, расстояние между которыми 𝑟 = 50 пм. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля, создаваемого этими частицами в точках 𝐴 и 𝐵, когда эти частицы находятся в положении, изображённом на (@img30).

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/30.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img30>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $E_A eq 4.3 dot 10^11 "В/м", E_B eq 4.2 dot 10^11 "В/м"$.


#align(center)[===== №8]

*Условие*: В вершинах квадрата со сторонами $a eq 0.08 "м"$ расположены одинаковые заряды $q^((plus)) eq 5 "нКл"$. Рассчитайте модуль напряжённости электрического поля в середине одной из сторон квадрата.

*Решение*: 

*Ответ*: $E approx 10 "кВ/м"$.


#align(center)[===== №9]

*Условие*: Свинцовый шарик диаметр которого $d eq 7 "мм"$ поместили в однородное электрическое поле в глицериновый раствор. Рассчитать заряд этого шарика, если электрическое поле направленно вверх, а модуль его напряжённости $E eq 9 "кВ/см"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $q approx 20 "нКл"$.


#align(center)[===== №10]

*Условие*: Кусок тонкой проволоки изогнутый полукольцом радиусом $R$ имеет равномерно распределённый заряд $q$. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля $E$ в центре этого полукольца.

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq frac(q, 2 pi^2 epsilon_0 R^2)$.

#align(center)[===== №11]

*Условие*: Найти модуль напряжённости электрического поля на оси заряженного тонкого кольца, как функцию расстояния до центра кольца – $E(z)$, если заряд кольца равен $q$, а радиус $R$. Исследовать полученную зависимость при $z gt.double R$. Рассчитать максимальное значение модуля напряжённости $E_max$ и соответствующую ему координату точки на оси $O Z$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E(z) eq frac(k q z, (z^2 plus R^2)^(3/2)), z_max eq frac(R, sqrt(2)), E_max eq frac(2 k q, 3^(3/2) R^2)$.

#align(center)[===== №12]

*Условие*: Рассчитать модуль силы взаимодействия между тонким кольцом радиуса $R$, заряд которого равен $q$ и длинной равномерно заряженной нитью, имеющей линейную плотность заряда равную $lambda$, если нить расположена вдоль оси симметрии кольца, так, что один её конец совпадает с центром кольца.

*Решение*: 

*Ответ*: $F eq frac(k q lambda, R)$.

#align(center)[===== №13]

*Условие*: Тонкий стержень длины $l$ имеет равномерно распределённый заряд $q$. Рассчитать, модуль напряжённости электрического поля в точке расположенной на расстоянии $a$ от одного из концов стержня, по линии стержня.

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq frac(k q, a(l plus a))$.

#align(center)[===== №14]

*Условие*: Линейная плотность тонкого заряженного кольца радиуса $R$ зависит от азимутального угла по закону $lambda eq lambda_0 cos phi$ ($lambda_0$ -- постоянная). Рассчитать модуль напряжённости электрического поля в центра кольца и на оси симметрии кольца в зависимости от расстояния до центра кольца.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_O eq frac(lambda_0, 4 epsilon_0 R), E(z) eq frac(lambda_0 R^2, 4 epsilon_0 (R^2 plus z^2)^(3/2))$.

#align(center)[===== №15]

*Условие*: Система состоит из равномерно заряженного стержня длины $2 a$, расположенного в вакууме. Рассчитать модуль вектора напряжённости как функцию расстояния $r$ от центра стержня до точки на прямой:

- перпендикулярной стержню и проходящей через его центр;
- совпадающей с осью стержня, при $r gt a$.

Заряд стрежня равен $q$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq frac(k q, r sqrt(a^2 plus r^2)), E eq frac(k q, r^2 minus a^2)$.

#align(center)[===== №16]

*Условие*: Сфера радиуса $R$ заряжена с поверхностной плотностью $sigma = (arrow(r), arrow(a))$, где $arrow(a)$ некоторый постоянный вектор, а $arrow(r)$ – радиус вектор точки на сфере отностительно её центра. Рассчитать вектор напряжённости электрического поля в центре сферы.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq frac(a R, 3 epsilon_0) arrow(e)_z$.

#align(center)[===== №17]

*Условие*: Рассчитать вектор напряжённости в центре заряженного шара радиуса $R$ если объёмная плотность заряда шара $rho eq (arrow(r), arrow(a))$, где $arrow(a)$ некоторый постоянный вектор, а $arrow(r)$ -- радиус вектор произвольной точки шара, проведённый из его центра.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq frac(R^2 a, 6 epsilon_0) arrow(e)_z$.

#align(center)[===== №18]

*Условие*: Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена так, что поверхностная плотность зависит только от угла $phi$ цилиндрической системы координат: $sigma eq sigma_0 cos phi$. Рассчитать модуль вектора в произвольной точке, лежащей на оси цилиндра.

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq frac(sigma_0, 2 epsilon_0)$.

#align(center)[==== Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Напряжённость электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) eq frac(alpha x arrow(i) plus alpha y arrow(j), x^2 plus y^2)$, где $alpha eq "const"$, а $arrow(i), arrow(j)$ -- орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат.

*Решение*: 

*Ответ*: $P eq 4 pi alpha R$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*:  Объёмная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) eq rho_0(1 - frac(r, R))$, где $rho_0 eq "const"$. Найти:

- модуль напряжённости электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;
- максимальное значения модуля напряжённости $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$.

Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) eq frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 minus frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) eq frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max eq 2/3 R, space.quad E_r (r_max) eq frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 "м"$, объёмная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля:

- на расстоянии $r = 0.1 "м"$ от центра шара;
- на поверхности шара;
- на расстоянии $r = 0.25 "м"$ от центра шара.

Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E(0.1) approx 15 "В/м", space.quad E(0.2) approx 30 "В/м" (r lt.eq R), space.quad E(0.25) approx 96 "В/м", space.quad E(0.2) approx 151 "В/м" (r gt.eq R)$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещён в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon eq 1$. Среда заполнена зарядом, объёмная плотность которого $rho eq alpha/r$, где $alpha$ – постоянная, а $r$ – расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряжённости электрического поля вне шара не зависит от $r$.

*Решение*: 

*Ответ*: $q eq 2 pi alpha R^2$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*: Система представлена областью пространства. По пространству распределён заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho eq rho_0 exp(minus alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряжённости, как функцию $r$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_r eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(- alpha r^3))$.

#align(center)[===== №6]

*Условие*: Рассчитать напряжённость электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда – $sigma$. Расчёт произвести 2-мя способами:

- с использованием закона Кулона;
- с использованием теоремы Гаусса.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.

#align(center)[===== №7]

*Условие*: Рассчитать напрёжённость электростатического поля создаваемого бесконечной длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда -- $lambda$. Расчёт произвести 2-мя способами: 

- с использованием закона Кулона;
- с использованием теоремы Гаусса.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.

#align(center)[===== №8]

*Условие*: Рассчитать вектор напряжённости электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объёмной плотностью $rho$ и $minus rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.

#align(center)[===== №9]

*Условие*:  Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) eq frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ – постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике.

*Решение*: 

*Ответ*: хз.

#align(center)[==== Работа кулоновских сил. Потенциал электростатического поля.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Потенциал электрического поля зависит от координат $x, y$ по закону:

- $phi(x, y) eq alpha(x^2 + y^2)$,
- $phi(x, y) eq alpha x y$,

где $alpha eq "const"$. Найти вектор напряжённости этих полей.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) eq minus 2 alpha arrow(r), arrow(E) eq minus alpha y arrow(i) minus alpha x arrow(j)$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Найти потенциалы, как функции координат следующих электрических полей:

a) $arrow(E) eq a(y arrow(i) plus x arrow(j))$;

b) $arrow(E) eq 2 a x y arrow(i) plus a(x^2 - y^2) arrow(j)$;

c) $arrow(E) eq a y arrow(i) plus (a x plus b z) arrow(j) plus b y arrow(k)$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi_a eq -a x y plus C, space.quad phi_b eq a y (frac(y^2, 3) - x^2) plus C, space.quad phi_c eq -y(a x plus b z) plus C$.

#align(center)[===== №3]
*Условие*:  Потенциал электрического поля имеет вид: $phi(x, y, z) eq alpha(x y minus z^2)$, где $alpha eq "const"$. Найти проекцию напряжённости электрического поля в точке $M {2, 1, -3}$ на направление вектора $arrow(a) eq arrow(i) plus 3 arrow(k)$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_a eq frac((arrow(E), arrow(a)), a) approx -6 alpha$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*:  Тонкий кусок проволоки изогнутый полукольцом имеет равномерно распределённый заряд, линейная плотность которого $lambda eq 5 "нКл/м"$. Рассчитать потенциал $phi$, создаваемый зарядом проволоки в центре полукольца.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq pi k lambda approx 0.14 "кВ"$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*:  Тонкий стержень длиной $l eq 10 "см"$ заряжен равномерно. Рассчитать потенциал $phi$ электрического поля в точке, расположенной на оси стержня на расстоянии $a = 50 "см"$. от его ближайшего конца, если полный заряд стержня $q = 10 "мкКл"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq frac(k q, l) ln (frac(l + a, a)) approx 0.16 "МВ"$.

#align(center)[===== №6]

*Условие*: Тонкая проволока свёрнутая в кольцо несёт равномерный заряд $q = 20 "нКл"$. Рассчитать потенциал электрического поля кольца в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии $a = 50 "см"$ от центра кольца. Радиус кольца $R = 8 "см"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq frac(q, 2 epsilon_0 sqrt(R^2 plus a^2)) approx 0.36 "кВ"$.

#align(center)[===== №7]

*Условие*:  Рассчитать разность потенциалов между центрами тонких проволочных колец радиуса $R = 30 "см"$, если центры колец лежат на одной оси, а расстояние между центрами $l = 52 "см"$. Заряды колец равны $q$ и $-q$. $|q| = 0.4 "мкКл"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $Delta phi eq 2 k q (1/R minus 1/sqrt(R^2 plus l^2)) approx 12 "кВ"$.

#align(center)[===== №8]

*Условие*: Кольцо радиуса $R$ заряжено неравномерно. Рассчитать работу, совершаемую при перемещении заряда $q_0$ из центра кольца в произвольную точку лежащую на оси кольца, если полный заряд кольца равен $q$.

*Решение*: 

*Ответ*: $A eq k q q_0 (1/R minus 1/sqrt(R^2 plus z^2))$.

#align(center)[===== №9]

*Условие*: Рассчитать разность потенциалов между точками (1) и (2) электрического поля, создаваемого тонкой равномерно заряженной нитью бесконечной длины, если известно, что точка (2) расположена в 7 раз дальше от нити, чем точка (1). Линейная плотность заряда нити $lambda = 9 "мкКл/м"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $Delta phi eq frac(lambda, 2 pi) ln 7 approx 0.32 "МВ"$.

#align(center)[===== №10]

*Условие*: Провод, изображённый на (@img31) заряжен равномерно с линейной плотностью $lambda = 0.5 "нКл/м"$. Длина прямого участка $a = 50 "см"$, радиус полукольца $R = 20 "см"$. Рассчитать, какую работу совершат электрические силы при удалении точечного заряда $q = 10 "нКл"$ от центра полукольца на бесконечность.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/31.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  ) <img31>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $A eq k q lambda (pi plus ln(frac(R plus a, a))) approx 0.2 "мкДж"$.

#align(center)[===== №11]

*Условие*: Электрическое поле создано равномерно заряженным шаром радиуса $R = 20 "см"$. Объёмная плотность заряда $rho = 10 " нКл/м"^3$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 = 1 "см"$ и $r_2 = 25 "см"$ от центра шара соответственно. Диэлектрическая проницаемость всюду равна 1.

*Решение*: 

*Ответ*: $Delta phi approx 11 "В"$.

#align(center)[===== №12]

*Условие*: В вершинах равностороннего треугольника, сторона которого $a = 5 "см"$, расположены 3 точечных заряда $q$ и $-2q$, как это показано на (@img32). Рассчитать работу электрических сил при перемещении заряда $-2q$ из точки $B$ в точку $C$ если $q = 3 "нКл"$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/32.png"),
    caption: [Пояснительный рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img32>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $A eq frac(4 k q^2, a) approx 6.5 "мкДж"$.

#align(center)[===== №13]

*Условие*: Коническая поверхность, радиус основания которой равен $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $sigma$. Рассчитать потенциал электростатического поля в вершине конуса.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq frac(sigma R, 2 epsilon_0)$.

#align(center)[===== №14]

*Условие*: Рассчитать потенциал в точке, расположенной на краю тонкого диска, радиуса $R$, если поверхностная плотность заряда, распределённого по диску равна $sigma$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq frac(sigma R, pi epsilon_0)$.

#align(center)[===== №15]

*Условие*:  Потенциал электростатического поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до центра шара: $phi eq a r^2 plus b$. Рассчитать объёмную плотность заряда, как функцию $r$.

*Решение*: 

*Ответ*: $rho(r) eq -6 epsilon_0 a$.

#align(center)[===== №16]

*Условие*: Заряд $q$ распределён равномерно по объёму шара радиуса $R$. Рассчитать:

- потенциал в центре шара;
- потенциал внутри шара как функцию $r$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi(0) eq frac(3 q, 8 pi epsilon_0 R), space.quad phi(r) eq phi(0) (1 minus frac(r^2, 3 R^3))$<D-s>

#align(center)[==== Электрический диполь.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Заряд $q$ помещён в точку с координатами $(a, 0)$. Найти вектор дипольного момента, если заряд $-q$ поместить в точку с координатами:

- $(-a, 0)$;
- $(0, a)$;
- $(-a, -a)$.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(p) eq 2 q a arrow(i); arrow(p) eq q(a arrow(i) minus a arrow(j)); arrow(p) eq q(2 a arrow(i) plus a arrow(j))$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Рассчитать потенциалы и модули напряжённости электрического поля, создаваемого диполем в точках $A$ и $B$, расположенных на расстоянии $r$ от центра диполя на перпендикуляре к диполю и на оси диполя в направлении диполя, соответственно. Модуль дипольного момента $p = 0.12 "нКл/м", |q| = 1 "нКл", r = 8 "см"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi(A) eq 0 "B", phi(B) approx 386 "B", E(A) approx 1.08 "кВ/м", E(B) eq 22 "кВ/м"$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом $arrow(p)$ (@img33) может быть представлен, как $phi(r) eq frac((arrow(p), arrow(r)), 4 pi epsilon_0 r^3)$, где $r$ – радиус-вектор.

- Найти с помощью этого выражения вектор напряжённости $arrow(E)$ как функцию $arrow(r), arrow(p)$ и модуль вектора напряжённости электрического поля диполя, как функцию $r$ и $theta$. 
- Найти проекции напряжённости электрического поля диполя на ось $Z - E_z$, и на плоскость перпендикулярную оси $Z - E_perp$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/33.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img33>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(E) (arrow(p), arrow(r)) eq k(frac(3(arrow(p), arrow(r)) arrow(r), r^5) - frac(arrow(p), r^3)), space.quad E(p, theta) eq frac(k p, r^3) sqrt(1 + 3 cos^2 theta); E_z eq frac(k p, r^3) (3 cos^2 theta - 1), space.quad E_perp eq frac(3 k p cos theta sin theta, r^3)$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Диполь с электрическим моментом $arrow(p)$ равномерно вращается с частотой $nu$ вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плечу диполя. Получить потенциал создаваемый диполем в точке $S$, отстоящей от центра диполя на расстояние $r gt.double l$ ($l$ – плечо диполя), как функцию времени. Считать, что $phi(0) = 0$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi(t) eq -frac(k p, r^2) sin(2 pi nu t)$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*:  Для системы состоящей из 2-х сонаправленных точечных диполей, лежащих на одной прямой, $arrow(p)_1$ и $arrow(p)_2$, рассчитать модуль силы взаимодействия между этими диполями если $p_1 = 1 "пКл/м", p_2 = 4 "пКл/м", r = 0.02 "м"$ ($r$ – расстояние между центрами диполей)

*Решение*: 

*Ответ*: $F eq frac(3 p_1 p_2, 2 pi epsilon_0) frac(1, r^4) approx 1.35 "мкН"$.

#align(center)[===== №6]

*Условие*: Система состоит из равномерно заряженной нити, изогнутой в форме полуокружности радиуса $R$ c зарядом $q > 0$, и отрицательного заряда $-q$, расположенного в её центре. Найти:

- Модуль электрического дипольного момента этой системы;
- Модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на оси диполя на расстоянии $r gt.double R$.

*Решение*: 

*Ответ*: $p eq frac(2 R q, pi); E(r) eq frac(R q, epsilon_0 pi^2 r^3)$.

#align(center)[===== №7]

*Условие*: Система состоит из бесконечной равномерно заряженной тонкой нити и диполя, расположенного на расстоянии $r$ от нити. $arrow(p)$ – дипольный момент, $lambda$ – линейная плотность заряда нити. Найти силу, действующую на диполь, если $arrow(p)$ ориентирован:

- вдоль нити;
- по вектору $arrow(r)$, перпендикулярному к нити;
- перпендикулярно нити и вектору $arrow(r)$.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(F) eq arrow(0); space.quad arrow(F) eq -frac(arrow(p) lambda, epsilon_0 pi r^2)$.

#align(center)[===== №8]

*Условие*: Диполь $arrow(p)$ расположен во внешнем однородном поле $arrow(E)_0$, так что $arrow(p) arrow.t arrow.t arrow(E)_0$. При таком расположении одна из эквипотенциальных поверхностей представляет из себя сферу. Рассчитать радиус этой сферы.

*Решение*: 

*Ответ*: хз.


#align(center)[==== Электростатическое поле при наличии диэлектриков.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: В центре шара, состоящего из однородного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ расположен точечный заряд $q$. Найти поляризованность $arrow(P)$, как функцию радиус-вектора $arrow(r)$ относительно центра шара, а также связанный заряд $q'$ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(P) eq frac(q, 4 pi r^3 epsilon) (epsilon - 1) arrow(r); space.quad q' eq -frac(q, epsilon) (epsilon - 1)$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Рассчитать поверхностные плотности связанных зарядов, модули векторов поляризованности и напряжённости поля, индуцированного точечным зарядом $q$, помещённым в центр двух концентрических сфер радиусами $R_1$ и $R_2$, если сферический слой заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью $epsilon$.

*Решение*: 

*Ответ*: $E(r lt R_1) eq frac(q, 4 pi epsilon_0 r^2), space.quad P(r lt R_1) eq 0; space.quad E(R_1 lt r lt R_2) eq frac(1, 4 pi epsilon_0 epsilon r^2), P(R_1 lt r lt R_2) eq frac(q, 4 pi epsilon r^2) (epsilon - 1); space.quad E(r gt R_2) eq frac(q, 4 pi epsilon_0 r^2), P(r gt R_2) eq 0; sigma (r eq R_1) eq -frac(q, 4 pi R_1^2 epsilon) (epsilon - 1), sigma(r eq R_2) eq frac(q, 4 pi R_1^2 epsilon) (epsilon - 1)$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов $sigma_"св" eq -frac(sigma(epsilon - 1), epsilon)$ , где $epsilon$ - диэлектрическая проницаемость, а $sigma$ – поверхностная плотность зарядов на проводнике.

*Решение*: 

*Ответ*: хз.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Система состоит из диэлектрического тела имеющего форму сферического слоя с радиусами $R_1$ и $R_2$ ($R_2 gt R_1$) и диэлектрической проницаемостью $epsilon$, расположенного в вакууме. Найти модуль напряжённости, как функцию расстояния $r$ от центра тела, если:

- внутренняя поверхность тела несёт свободный поверхностный заряд $q$;
- свободный заряд $q$ равномерно распределён по объёму тела.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_a (r lt R_1) eq 0; E_b(r lt R_1) eq 0; E_a(R_1 lt t lt R_2) eq frac(sigma R_1^2, epsilon epsilon_0 r^2); E_b(R_1 lt t lt R_2) eq frac(rho r, 3 epsilon epsilon_0) (1 minus frac(R_1^3, r^3)); E_a(r gt R_2) eq frac(sigma R_1^2, epsilon_0 r^2); E_b(r gt R_2) eq frac(rho(R_2^3 - R_1^3), epsilon_0 r^2)$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*: Вблизи некоторой точки лежащей на границе между стеклом и вакуумом модуль напряжённости электрического поля в вакууме – $E_0$, а угол между вектором $arrow(E)_0$ и вектором нормали к стеклу – $alpha_0$. Рассчитать модуль вектора напряжённости в стекле, угол между вектором напряжённости в стекле и нормалью, а также поверхностную плотность связанных зарядов.

*Решение*: 

*Ответ*: $E eq frac(E_0, epsilon) sqrt(cos^2 alpha_0 plus epsilon^2 sin^2 alpha_0); ctg alpha eq frac(ctg alpha_0, epsilon); sigma eq frac(E_0 (epsilon - 1) epsilon_0, epsilon) cos alpha_0$.


#align(center)[==== Электростатическое поле при наличии проводников.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Над проводящей горизонтальной плоскостью на изолирующей нити, коэффициент жёсткости которой $mu$ висит небольшой шарик. Когда шарик зарядили, он опустился на $x$, а расстояние до проводящей плоскости стало равно $l$. Рассчитайте заряд шарика.

*Решение*: 

*Ответ*: $q eq 4 l sqrt(mu x pi epsilon_0)$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Система состоит из точечного диполя $arrow(p)$ и проводящей плоскости. Расстояние от диполя до плоскости $l$. Рассчитать силу действующую на диполь, если дипольный момент перпендикулярен плоскости.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(F) eq frac(3 p^2, 32 epsilon_0 l^4) arrow(j)$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: С одной стороны проводящей плоскости расположены 2 заряда $q$ и $-q$. Расстояние между зарядами равно $l$, расстояние от каждого заряда до плоскости равно $l/2$. Рассчитать модуль силы, действующей на каждый заряд.

*Решение*: 

*Ответ*: $F eq frac(q^2, 8 pi epsilon_0) (2 sqrt(2) - 1)$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Система состоит из точечного заряда $q$ расположенного на расстоянии $y$ от проводящей плоскости. Рассчитать поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния $x$ от основания перпендикуляра, опущенного из точки расположения заряда на плоскость.

*Решение*: 

*Ответ*: $sigma eq -frac(q y, 2 pi (x^2 plus y^2)^(3/2))$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*: Система состоит из нити и проводящей плоскости. Нить заряжена равномерно, с линейной плотностью $lambda$, и ориентирована перпендикулярно плоскости. Расстояние от ближайшего конца нити, ближайшего к плоскости, до плоскости $l$. Рассчитать поверхностную плотность индуцированного на плоскости заряда:

- в точке $O$, являющейся следом нити на плоскости;
- как функцию расстояния $x$ до точки $O$.

*Решение*: 

*Ответ*: $sigma(O) eq -frac(lambda, 2 pi l); sigma(x) eq -frac(lambda, 2 pi (x^2 plus l^2)^(1/2))$.

#align(center)[===== №6]

*Условие*: Рассчитать потенциал незаряженной проводящей сферы радиуса $R$, вне которой на расстоянии $d$ расположен заряд $q$.

*Решение*: 

*Ответ*: $phi eq frac(k q, d)$.

#align(center)[==== Энергия электростатического поля.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: В вершинах прямоугольника со сторонами $a = 40 "см"$ и $b = 20 "см"$ расположены четыре одинаковых заряда $q = 2 "мкКл"$. Рассчитать энергию взаимодействия этой системы.

*Решение*: 

*Ответ*: $W eq 2 q^2 k (1/a + 1/b + frac(1, sqrt(a^2 + b^2))) approx 0.7 "Дж"$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Система состоит из 4-х одинаковых зарядов $q = 500 "нКл"$, расположенных в вершинах квадрата сторона которого $a = 20 "см"$. Рассчитать потенциальную энергию взаимодействия данной системы.

*Решение*: 

*Ответ*: $W eq frac(sqrt(2) q^2 k, a) (2 sqrt(2) + 1) approx 61 "мДж"$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: Во внешнем электростатическом поле, модуль напряжённости которого $E = 300 "кВ/м"$, расположен точечный диполь, модуль дипольного момента которого $p = 12 "пКл/м"$. Под действием этого поля диполь начинает вращаться вокруг оси, проходящей через его центр. Рассчитать модуль угловой скорости вращения диполя в момент установления равновесия, если в начальный момент времени диполь был ориентирован перпендикулярно полю. Момент инерции диполя относительно оси вращения - $I = 2 dot 10^(-9) "кг/м2"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $omega eq sqrt(frac(2 p E, I)) eq 60 "рад/с"$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Система состоит из двух концентрических равномерно заряженных сфер, радиусами $R_1 = 1 "м"$ и $R_2 = 1.5 "м"$, с поверхностными плотностями зарядов $sigma_1 = 4 " мкКл/м"^2$ и $sigma_2 = 10 " мкКл/м"^2$, расположенных в вакууме. Рассчитать энергию электрического поля заключённую между сферами.

*Решение*: 

*Ответ*: $W eq frac(2 pi sigma_1^2 R_1^4, epsilon_0) (frac(R_2 - R_1, R_1 R_2)) approx 3.8 "Дж"$.

#align(center)[===== №5]

*Условие*: Система состоит из двух концентрических проводящих сфер радиусами $R_1 = 10 "см"$ и $R_2 = 40 "см"$, имеющими одинаковый заряд $q = 200 "нКл"$. Рассчитать энергию электрического поля заключённого между двумя этими сферами.

*Решение*: 

*Ответ*: $W eq frac(q^2, 8 pi epsilon_0) (frac(R_2 - R_1, R_2 R_1)) approx 1.35 "млДж"$.


#align(center)[==== Конденсаторы.]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Получить формулы для расчёта ёмкости следующих конденсаторов ($epsilon$ среды между обкладками принять равной 1):

- Сферического, если известно что радиус внутренней обкладки $R_1$, а внешней $R_2$;
- Цилиндрического, если известно, что радиус внутренней обкладки $R_1$, внешней $R_2$, а высота равна $d$;
- Плоского, если известно, что площадь обкладок равна $S$, а расстояние между обкладками $d$.

*Решение*: 

*Ответ*: $C_"сф" eq frac(4 pi epsilon_0 R_1 R_2, R_2 - R_1), C_"цил" eq frac(2 pi epsilon_0 d, ln frac(R_2, R_1)), C_"пл" eq frac(epsilon_0 S, d)$.

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d$, расположен вертикально. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$. На расстоянии $b$ от отрицательно заряженной пластины находится положительно заряженная пылинка массой $m$ и зарядом $q$. Рассчитать время за которое пылинка достигнет пластины конденсатора.

*Решение*: 

*Ответ*: $t eq sqrt(frac(2 b m d, q U))$.

#align(center)[===== №3]

*Условие*: К одной из пластин плоского заряженного конденсатора прилегает диэлектрическая пластинка толщиной $d_1$ и диэлектрической проницаемостью $epsilon$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, а разность потенциалов $U$. Рассчитать модули напряжённости $E_1$ и $E_2$ в диэлектрике и воздухе.

*Решение*: 

*Ответ*: $E_1 eq frac(U, d_1 + epsilon d - epsilon d_1), space.quad E_2 eq frac(U epsilon, d_1 + epsilon d - epsilon d_1)$.

#align(center)[===== №4]

*Условие*: К одной из пластин плоского конденсатора прилегает пластина диэлектрика толщиной $d_1$ и диэлектрической проницаемостью $epsilon$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$. После отключения конденсатора от источника питания пластину вынули. Рассчитать во сколько раз выросла разность потенциалов между пластинами конденсатора.

*Решение*: 

*Ответ*: $n eq frac(epsilon d, d_1 + epsilon d - epsilon d_1)$.

#align(center)[=== Постоянное магнитное поле]

#align(center)[==== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]

#align(center)[===== №1] // ready

*Условие*: Заряженная элементарная частица движется со скоростью, модуль которой $v eq 900 "м/c"$. В некоторый момент в точке наблюдения $P$ модуль напряжённости электрического поля этой частицы $E eq 600 "В/м"$, а угол между векторами скорости и напряжённости $alpha eq 30 degree$. Рассчитать индукцию магнитного поля данной частицы.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/5.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Пояснительный рисунок.]
  )
]

$
B eq frac(mu_0 v sin alpha, 4 pi r^2)
$ <eq1>

$
E eq k frac(1, r^2)
$

Умножим и разделим @eq1 на $epsilon_0$ чтобы сделать замену на $E$:

$
B eq mu_0 v sin alpha epsilon_0 E
$

Подставив числа, получим: 

$
B eq 900 dot 600 dot frac(1, 2) dot 12.75 dot 10^(minus 7) dot 8.85 dot 10^(minus 12) \
eq 3 dot 10^(minus 12) eq 3 "пТл".
$

*Ответ*: $B eq 3 "пТл"$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №2] // ready

*Условие*: Используя закон Био-Савара, получить формулу для рассчёта модуля вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$, протекающем в линейном бесконечном проводнике в точке, расположенной на расстоянии $r_0$ от проводника.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/11.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img11>
]

Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. По свойству векторного произведения следует, что в произвольной точке $A$ векторы $d arrow(B)$ от всех элементов токов имеют одно направление -- за плоскость рисунка.

Поэтому можно складывать просто модули $d arrow(B)$. В нашем случае $d arrow(B)$ удобней выразить не через угол между $d arrow(l)$ и $arrow(r)$, а через $alpha$, тогда 

$
d B eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I d l cos alpha, r^3).
$ 

Как видно из @img11 $d l cos alpha eq r d alpha$ и $r eq frac(r_0, cos alpha)$. Значит $d B eq frac(mu_0, 4 pi) dot frac(I cos alpha d alpha, r_0)$. Интегрируя последнее выражение по углу, получим

$
B eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I, b) (sin alpha_2 minus sin alpha_1).
$

Это выражение позволяет находить магнитную индукцию от конечного проводника. В случае бесконечного проводника $(alpha_2 eq frac(pi, 2), alpha_1 eq minus frac(pi, 2))$:

$
B eq frac(mu_0, 2 pi) dot frac(I, r_0)
$

*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r_0)$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №3] // ready

*Условие*:  Рассчитать модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого конечным прямолинейным участком проводника, длины $l$, по которому протекает ток $I$, в точке отстоящей на произвольном расстоянии $r_0$ от оси проводника.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/19.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img19>
]

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Разобьем проводник на элементарные участки $d arrow(l)$, по которым течет ток $I$ (@img19). Согласно закону Био-Савара, вектор магнитной индукции, создаваемого в точке $A$ каждым элементом тока $I dot d arrow(l)$ равен

$
d arrow(B) eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I [d arrow(l), arrow(r)], r^3).
$

Векторы $d arrow(l)$ и $arrow(r)$ для всех участков проводника лежат в плоскости чертежа, поэтому в точке $A$ векторы $d arrow(B)$ имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (от нас $times.o$), что продемонстрировано на нижнем рисунке. Сложение векторов $d arrow(B)$ сводится к сложению их модулей. В качестве переменной интегрирования выберем угол $alpha$ (угол между $x$ и $r$). Выразим через угол $alpha$ все остальные величины. Из @img19 видно, что $r eq x/(cos alpha)$, $l eq x tg alpha$, поэтому длина элемента тока связана с приращением $alpha$ соотношением

$
d l eq x frac(d alpha, cos^2 alpha).
$

Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника, равна: 

$
d B eq frac(mu_0 I, 4 pi r^2) frac(r d alpha, cos alpha) sin(pi/2 plus alpha) eq frac(mu_0 I, 4 pi x) cos alpha d alpha.
$

Угол $alpha$ для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от $alpha_1$ до $alpha_2$ (@img19), тогда 

$
B eq integral d B eq integral_(alpha_1)^(alpha_2) frac(mu_0 I, 4 pi x) cos alpha d alpha eq frac(mu_0 I, 4 pi x)(sin alpha_2 minus sin alpha_1), 
$

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi x) (sin alpha_2 minus sin alpha_1),
$

где $alpha_1$ и $alpha_2$ углы, под которыми мы видим из точки, в которой определяем поле, концы проводника. Эти углы являются алгебраическими величинами и отсчитываются от перпендикуляра, опущенного из точки на проводник. Положительное направление отсчета угла $alpha$ соответствует углу, отсчитываемому от перпендикуляра в направлении тока.

*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi r_0) (cos alpha_1 plus cos alpha_2)$. 

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №4] // ready

*Условие*: Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/6.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.

По принципу суперпозиции для магнитного поля: 

$
arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4. 
$

Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:

$
B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
$

Подставив числа из условия, получим: 

$
B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1 
$

*Ответ*: $B eq 0.1 "мТл"$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №5] // ready

*Условие*: Определить модуль вектора индукции магнитного поля на оси кругового тока $I$ радиуса $R$, как функцию $B(z)$, где $z$ расстояние до центра контура.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/12.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  )
]

Магнитное поле на оси кругового тока.

$
d B eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I d l, r^2)
$

$
B eq integral_l d B_tau eq integral_l d B sin phi eq frac(mu_0 I, 4 pi r^2) sin phi integral_l d l eq \ 
eq frac(mu_0 I, 4 pi r^2) sin phi 2 pi R eq frac(mu_0 I R, 2 pi r^2) sin phi
$

Преобразуем полученное выражение, учитывая, что $sin phi eq frac(R, r), space r^2 eq R^2 plus a^2$. После подстановки получим

$
B eq frac(mu_0 I R, 2 r^2) sin phi eq frac(mu_0 I R, 2(R^2 plus a^2)) frac(R, sqrt(R^2 plus a^2)) eq frac(mu_0 I R^2, 2(R^2 plus a^2)^frac(3, 2))
$

*Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I R^2, 2(R^2 plus z^2)^frac(3, 2))$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №6] // ready

*Условие*: По тонкому замкнутому проводнику (@img1) течёт ток, сила которого $I eq 5 "А"$. Радиус изогнутой части проводника $R eq 120 "мм"$, угол $phi = 90 degree$. Рассчитать модуль вектора магнитной индукции в точке $O$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Проводник.]
  ) <img1>
]

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/7.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

Пусть $theta eq frac(phi, 2) eq 45 degree$.

Для части окружности: 

$
B_1 eq frac(mu_0 I, 4 pi R^2) integral_0^(2 pi minus 2 theta) R d alpha eq frac(mu_0 I (pi minus theta), 2 pi R).
$


Для отрезка: 

$
d B_2 eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I d l, r^2) sin angle (d arrow(l); arrow(z)) eq frac(mu_0, 4 pi) dot frac(I d l, r^2) cos alpha 
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/8.png"),
    caption: [Рис.],
    supplement: [Поясняющий рисунок.]
  ) 
]

$
cos alpha d l eq z d alpha arrow.double d l eq frac(z d alpha, cos alpha)
$

$
z eq frac(b, cos alpha), space.quad b eq R cos theta
$

$
B_2 eq frac(mu_0 I, 4 pi) integral_(-theta)^theta frac(d alpha dot cos alpha, cos alpha dot b) dot cos alpha eq frac(mu_0 I, 4 pi R cos theta) dot 2 sin theta eq frac(mu_0 I, 2 pi R) tg theta
$

$
B eq B_1 plus B_2 eq frac(mu_0 I, 2 pi R) (pi minus theta plus tan theta)
$

Подставив числа, получим: 

$
B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5, 2 pi dot 0.12) (pi minus frac(pi, 4) plus tg frac(pi, 4)) approx 28 "мкТл".
$

*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi R)(1 plus frac(3, 4) pi) approx 28 "мкТл"$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №7]

*Условие*: Замкнутый контур, по которому течёт ток силы $I$ имеет форму показанную на (@img2). Радиус окружности $R$, длина стороны квадрата $a$. Найти индукцию магнитного поля в точке $O$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Контур.]
  ) <img2>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi) (frac(3 pi, 2 R) plus frac(sqrt(2), a))$.
#line(length: 100%)


#align(center)[===== №8] // ready


*Условие*: Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из $N eq 200$ плотно прилегающих витков, по которым течёт ток $I eq 5 "мА"$. Радиус внутреннего витка $a eq 100 "мм"$, радиус внешнего витка $b eq 200 "мм"$. Рассчитать индукцию магнитного поля в центре спирали.

*Решение*: Магнитная индукция одного витка (окружности):

$
B_1 eq frac(mu_0 I, 2 z)
$ <eq2>

$
d N eq frac(N, b minus a) d z 
$ <eq3>

Подставим @eq2 и @eq3 в 

$
B eq integral B_1 d N eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) integral_a^b frac(d z, z) eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln z |_a^b eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a) 
$

Подставим числа и получим

$
B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5 dot 10^(minus 3) dot 200, 2(0.2 minus 0.1)) ln frac(0.2, 0.1) approx 4.4 "мкТл".
$

*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a) approx 4.4 "мкТл"$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №9] // ready

*Условие*: В параллельных плоскостях, расположенных на расстоянии $d eq 8 "см"$ друг от друга на одной оси находятся два круговых витка радиуса $R eq 5 "см"$ каждый. По виткам в одном направлении текут токи $I_1 eq I_2 eq 2 "А"$. Рассчитать напряжённость магнитного поля в центре одного из витков.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/9.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  )
]

Согласно принципу суперпозиции напряженность в точке $C$ равна 

$
arrow(H) eq arrow(H)_1 plus arrow(H)_2, space.quad "где " H eq frac(I_1, 2 R),
$

$
H_2 eq frac(I_2 R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
$

Если токи текут в одном направлении, то $H eq H_1 plus H_2$. По условию 

$
I_1 eq I_2 eq I
$

Тогда

$
H eq frac(I, 2 R) plus frac(I R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
$

Подставив числа, получим:

$
H eq frac(2, 2 dot 0.05) plus frac(2 dot 0.05^2, 2(0.05^2 plus 0.08^2)^frac(3, 2)) approx 23 "А/м".
$

*Ответ*: $H eq frac(I, 2) (frac(1, R) plus frac(R^2, (d^2 plus R^2)^frac(3, 2))) approx 23 "А/м"$.
#line(length: 100%)


#align(center)[===== №10]


*Условие*:  Рассчитать модуль вектора магнитной индукции на оси соленоида, длина которого $l$, количество витков проволоки, плотно прилегающих друг к другу равно $N$ . Через витки течёт ток $I$, радиус витков $R_0$.

*Решение*: 

*Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I N, 2 l) (frac(frac(l, 2) minus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) minus z)^2)) plus frac(frac(l, 2) plus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) plus z)^2)))$.

#pagebreak()

#align(center)[==== Закон полного тока]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Используя закон полного тока, найти модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого током текущим по коаксиальному кабелю. Ток $I$ течёт по центральной жиле радиуса $R_1$, и возвращается по оболочке, внутренний и внешний радиусы которой $R_2$ и $R_3$ соответственно. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком. Магнитную проницаемость всюду считать равной $1$.

*Решение*: 

*Ответ*: $B(r lt R_1) eq frac(mu_0 I r, 2 pi R_1^2), space B(R_1 lt r lt R_2) eq frac(mu_0 I, 2 pi r), B(R_2 lt r lt R_3) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) (1 minus frac(r^2 minus R^2_2, R^2_3 minus R^2_2)), space B(r gt R_3) eq 0$.
#line(length: 100%)


#align(center)[===== №2] // ready

*Условие*: Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределённого:

- по бесконечной плоскости с линейной плотностью $j$;
- по двум параллельным бесконечным плоскостям с линейными плотностями $j$ и $minus j$.

*Решение*:

a) 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/13.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

По закону полного тока:

$
integral.cont_L arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"полн"
$

$
integral.cont_L arrow(B) dot d arrow(l) eq integral_(l_1) B_1 dot d l plus integral_(l_2) B_2 dot d l dot cos frac(pi, 2) plus integral_(l_3) B_3 d l cos 0 plus integral_(l_4) B_4 d l cos frac(pi, 2) eq 2 B l
$

$
I_"полн" eq j dot l
$

$
2 B l eq mu_0 i l arrow.double B eq frac(1, 2) mu_0 j
$

б) 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/14.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

$
arrow(B) eq arrow(B)_arrow(j) plus arrow(B)_(minus arrow(j))
$

$B eq 0$ вне плоскостей.

$
B eq 2 B_"пл" eq mu_0 j "между плоскостями".
$

*Ответ*: a) $B eq frac(mu_0 j, 2)$, б) $B eq mu_0 j$.
#line(length: 100%)


#align(center)[===== №3]

*Условие*: Однородный ток, плотность которого $j$ течёт внутри неограниченной пластины толщины $2d$ параллельно её поверхности. Найти индукцию магнитного поля этого тока, как функцию расстояния $x$ от средней плоскости пластины. Магнитную проницаемость всюду считать равной 1.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/20.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/21.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

По теореме о циркуляции

$
integral.cont B d z eq mu_0 j 2 x l
$

$
I eq 2 x l j
$

Если $l gt.double x$, то интегралом по $perp$ составляющим можно пренебречь, тогда: 

$
B dot 2 l eq mu_0 dot 2 x l j
$

$
B eq mu_0 x j
$

Возьмем $x gt d$

$
integral.cont B d z eq mu_0 I eq mu_0 dot 2 d l j
$

$
B dot 2 l eq mu_0 dot 2 d l j, space.quad B eq mu_0 d j
$

*Ответ*: $B(x gt d) eq mu_0 d j, space B(x lt d) eq mu_0 x j$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №4]

*Условие*: Найти вектор плотности тока, как функцию расстояния $r$ от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока зависит от $r$ как $B(r) eq beta r^alpha$, где $beta$ и $alpha$ положительные постоянные.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/22.png"),
    supplement: [Рис.], 
    caption: [Пояснительный рисунок.]
  )
]

Возьмем контур, $perp$ пучку радиуса $r$ и центром в центре пучка, тогда 

$
integral.cont B d r eq beta r^2 dot 2 pi r eq 2 pi beta r^(alpha plus 1)
$

Пусть $j eq j(r)$, тогда 

$
integral_r j d S eq integral_0^r 2 pi x j(x) d x
$

Итого 

$
2 pi beta r^(alpha plus 1) eq integral^r 2 pi mu_0 x j(x) d x eq \
eq beta r^(alpha plus 1) eq mu_0 integral_0^r x j(x) d x
$

Дифференцируем по $r$

$
beta(alpha plus 1) r^alpha eq mu_0 r j(r) arrow.double j(r) eq frac(beta (alpha plus 1) , mu_0) r^(alpha minus 1)
$

*Ответ*: $arrow(j)(r) eq frac(beta(alpha plus 1)r^(alpha minus 1), mu_0) arrow(e)_z$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №5] // ready

*Условие*: Используя закон полного тока, рассчитать индукцию магнитного поля внутри соленоида длиной $L eq 0.5 "м"$, содержащего $N eq 1000$ витков плотной обмотки, если сопротивление обмоток $R eq 120 "Ом"$, а напряжение на её концах $U eq 60 "В"$.

*Решение*: 

$
integral.cont_L B d L eq mu_0 sum_i I_i, space.quad B L eq mu_0 I N 
$

$
I eq frac(U, R), space.quad B eq frac(mu_0 U N, R L)
$

Подставим числа: 

$
B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 60 dot 1000, 120 dot 0.5) approx 1.25 "мТл".
$

*Ответ*: $B eq 1.25 "мТл"$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №6]

*Условие*: По бесконечному прямому проводу, радиус сечения которого $R$, течёт постоянный ток, плотность которого $arrow(j)$. Найти вектор магнитной индукции поля, создаваемого этим током, в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором $arrow(r)$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/23.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

$
integral.cont_L arrow(B) dot d arrow(l) eq integral B dot d l dot cos 0 degree eq B dot 2 pi r
$

$
I_"полн" eq integral_S arrow(j) dot d arrow(S) eq integral j d arrow(S) eq j dot pi r^2
$

При $r lt R$:

$
B dot 2 pi r eq j pi r^2 mu_0 arrow.double B eq 1/2 mu_0 j r
$

$
arrow(B)_1 eq B_1 dot arrow(e)_phi space.quad arrow(B)_1 eq 1/2 mu_0 arrow(j) times arrow(r) eq frac(mu_0, 2) [arrow(j), arrow(r)]
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/24.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

При $r gt R$:

$
I_"полн" eq j dot pi R^2
$

$
B_2 dot 2 pi r eq mu_0 j pi R^2 arrow.double arrow(B)_2 eq frac(mu_0 R^2, 2) frac(j, r) arrow(e)_phi 
$

$
arrow(B)_2 eq frac(mu_0 R^2, 2) frac([arrow(j), arrow(r)], r^2)
$


*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(r)], 2), arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 R^2 [arrow(j); arrow(r)], 2)$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №7]

*Условие*: По длинному цилиндрическому проводу течёт ток, плотность которого $arrow(j)$. Внутри провода имеется цилиндрическая полость, идущая параллельно оси провода. Расстояние от оси провода до оси полости задаётся вектором $arrow(l)$. Найти вектор индукции магнитного поля внутри полости.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/25.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

$
arrow(B) eq arrow(B)_0 minus arrow(B)',
$

где $arrow(B)_0$ - если проводник сплошной.

$arrow(B)'$ - от тока, текущего по той части проводника, которую удалили.

То теореме о циркуляции: 

$
2 pi z B_0 eq mu_0 pi z^2 j arrow.double B_0 eq 1/2 mu_0 z j
$

Или в векторной форме 

$
arrow(B)_0 eq 1/2 mu_0 [arrow(j); arrow(z)]
$

$
arrow(B)' eq 1/2 mu_0 [arrow(j); arrow(z)'] 
$

$
arrow(B) eq 1/2 mu_0 [arrow(j); arrow(z) minus arrow(z)'] eq 1/2 mu_0 [arrow(j); arrow(l)]
$

*Ответ*: $arrow(B) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(l)], 2)$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №8] // ready

*Условие*: Ток $I$ течёт по длинному проводу и затем равномерно растекается по всем направлениям однородной проводящей среды (@img3). Рассчитать индукцию магнитного поля в точке $A$, отстоящей от точки $O$ на расстоянии $r$ под углом $theta$.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/3.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Проводящая среда.]
  ) <img3>
]

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/15.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

Система обладает аксиальной симметрией. 

$
arrow(B)(0; B_phi; z) arrow.double integral.cont arrow(B) d arrow(l) eq mu_0 I_"охв".
$ <eq4>

$
B eq B(R)
$

$
B dot 2 pi R eq B 2 pi r sin theta
$ <eq5>

$
J eq frac(d I, d omega) eq frac(I, 2 pi) eq "const"
$

$
I_"охв" eq integral_0^theta I dot sin theta d theta integral_0^(2 pi) d phi eq frac(I, 2 pi) 2 pi cos theta |_theta^0 eq I (1 minus cos theta)
$ <eq6>

@eq5 и @eq6 подставляем в @eq4

$
B dot 2 pi r sin theta eq mu_0 I (1 minus cos theta)
$

$
B eq frac(mu_0 I, 2 pi r sin theta) (1 minus cos theta) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) tg frac(theta, 2).
$


*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r) tan frac(theta, 2)$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №9] // ready

*Условие*: Ток $I$ течёт по длинному прямому проводу круглого сечения. Рассчитать поток магнитного поля через половину осевого сечения провода приходящейся на один метр его длины.

*Решение*: Считаем, что ток распределен по сечению равномерно с плоскостью

$
j eq frac(I, pi R^2)
$

Согласно теореме Стокса: 

$
integral.cont B d r eq mu_0 I "(через сечение)".
$

$
2 pi r B eq mu_0 j pi r^2
$

$
B(r) eq frac(mu_0 I, 2 pi) dot frac(r^2, R^2) frac(1, r)
$

Поток через половину сечения на единицу длины

$
Phi eq integral_0^R d r B(r) eq frac(mu_0 I, 2 pi) integral_0^R frac(r d r, R^2) eq frac(mu_0, 4 pi) I.
$

*Ответ*: $Phi eq frac(mu_0 I, 4 pi)$.

#pagebreak()
#align(center)[==== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]

#align(center)[===== №1] // ready

*Условие*: Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка $R eq 100 "мм"$, а индукция магнитного поля в центре $B eq 6 "мкТл"$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/10.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок]
  )
]

$
p_m eq I dot S; space.quad B eq frac(mu_0 dot I dot l, 4 pi dot R^2) eq frac(mu_0 dot I dot 2 pi dot R, 4 pi dot R^2) eq frac(mu_0 I, 2 R) arrow.double I eq frac(B  dot 2  R, mu_0)
$

$
p_m eq frac(B dot 2 R, mu_0) dot pi dot R^2 eq frac(2 pi dot B dot R^3, mu_0)
$

Подставим числа и получим

$
p_m eq frac(6.28 dot 6 dot 10^(minus 6) dot 0.1^3, 1.27 dot 10^(minus 6)) approx 30 " мА/м"^2
$


*Ответ*: $p_"м" eq frac(2 pi R^3 B, mu_0) approx 30 " мА/м"^2$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Магнитный диполь, момент которого $arrow(p)_"м"$ поместили на расстояние $r$ от длинного провода по которому течёт ток $I$. Найти вектор силы действующей на диполь со стороны магнитного поля, создаваемого током $I$ если вектор магнитного момента:

- параллелен проводнику;
- направлен по вектору $arrow(r)$;
- совпадает по направлению с магнитным полем тока $I$.

*Решение*: 

a)

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/26.png"),
    supplement: [],
    caption: []
  )
]

$
F eq p_m frac(partial B, partial x) cos alpha
$

$
cos alpha eq 0 arrow.double F eq 0
$

б)

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/27.png"),
    supplement: [],
    caption: []
  )
]

$
W_"п" eq minus p_m B cos phi
$

$
B eq frac(mu_0 I, 2 pi r') eq frac(mu_0 I, 2 pi r cos phi)
$

$
r' eq r cos phi
$

$
F_x eq minus p_m frac(partial B, partial r) cos phi eq minus (p_m frac(mu_0 I, 2 pi cos phi) (minus frac(1, r^2))) cos phi eq frac(p_m mu_0 I, 2 pi r^2)
$

в)

$
F_x eq minus p_m frac(partial B, partial x) cos alpha eq frac(p_m mu_0 I, 2 pi r^2).
$


*Ответ*: a) $arrow(F) eq arrow(0)$, б) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_phi$, в) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_r$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №3]

*Условие*: Тонкий диск из диэлектрика, несущий заряд поверхностная плотность которого $sigma$ равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $omega$. Рассчитать:

- индукцию магнитного поля в центре диска;
- магнитный момент диска.

*Решение*: 

$
I eq frac(d q, d t), space.quad sigma eq frac(d q, d S), space.quad d q eq sigma d S
$

$
I eq frac(sigma d S omega, 2 pi) eq frac(sigma omega 2 pi r d r, 2 pi) eq sigma omega r d r
$

$
B eq frac(mu_0, 4 pi) integral frac(I [d l, r], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) integral frac(d l r sin alpha, r^3) eq frac(mu_0 I dot 2 pi dot r, 4 pi dot r^2) eq frac(mu_0 I, 2 r)
$

а) $B eq integral_0^R frac(mu_0 sigma omega r d r, 2 R) eq frac(mu_0 sigma omega R, 2)$

б) $p_m eq integral I d S eq integral sigma omega pi r^3 d r eq frac(sigma omega pi R^4, 4)$

*Ответ*: $B eq frac(mu_0, 2) sigma omega R, space p_m eq frac(pi sigma R^4, 4)$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №4]

*Условие*: Сферическая поверхность радиуса $R$, состоящая из диэлектрика вращается равномерно вокруг своего диаметра с угловой скоростью $omega$. Рассчитать магнитную индукцию в центре сферы если поверхностная плотность зарядов равна $sigma$.

*Решение*: 

*Ответ*: $B eq frac(2, 3) mu_0 sigma omega R$.
#line(length: 100%)

#align(center)[===== №5]

*Условие*: Вдоль оси бесконечного прямого цилиндра радиуса $R_0$ течёт линейный ток силой $I$. Магнитная проницаемость вещества цилиндра $mu$. Вокруг цилиндра вакуум. Найти:

- напряженность магнитного поля $arrow(H)$;
- индукция магнитного поля $arrow(B)$;
- намагниченность $arrow(J)$;

во всех точках пространства.  Рассчитать объёмную и поверхностную плотность молекулярных токов.

*Решение*: 

*Ответ*: $arrow(H) (r lt R_0) eq frac(I, 2 pi r) arrow(e)_phi eq arrow(H) (r gt R_0), space arrow(B) (r lt R_0) eq frac(mu mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, space arrow(J) (r lt R_0) eq frac(I (mu minus 1), 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(B)(r gt R_0) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(J) (r gt R_0) eq arrow(0), arrow(j)_"мо" eq arrow(0), j_"мп" eq frac(I(1 minus mu), 2 pi R_0)$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №6]

*Условие*: Среда состоит из однородного изотропного магнетика и вакуума. Модуль вектора индукция магнитного поля вблизи поверхности магнетика со стороны вакуума равен $B$. Найти модуль индукции магнитного поля $B'$ в магнетике вблизи его поверхности, если вектор B составляет угол $alpha$ с нормалью к поверхности раздела магнетика и вакуума (поверхность можно считать плоскостью), а магнитная проницаемость магнетика $mu$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/28.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

$
B' eq sqrt(B_n^2 plus B_tau^2)
$

$
B_(2 n) eq B_(1 n)
$

$
H_(2 tau) eq H_(1 tau)
$

$
B_n eq B cos alpha
$

$
B_tau eq mu mu_0 H_tau eq mu mu_0 H_(0 tau) eq mu(B)_tau eq mu B sin alpha
$

$
B' eq B sqrt(cos^2 alpha plus mu^2 sin^2 alpha)
$

*Ответ*: $B' eq B sqrt(cos^2 alpha plus mu^2 sin^2 alpha)$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №7]

*Условие*: Воспользовавшись условиями предыдущей задачи рассчитать циркуляцию вектора $arrow(B)$ по замкнутому квадратному контуру, длина стороны которого $l$. Граница раздела сред пересекает контур параллельно двум его противоположным сторонам.

*Решение*: 

*Ответ*: $integral.cont_L (arrow(B), d arrow(l)) eq B sin alpha l (1 minus mu)$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №8]

*Условие*: По длинному цилиндрическому проводу течёт ток перпендикулярно плоскости поперечного сечения. Сила тока $I$. Провод изготовлен из парамагнетика с магнитной восприимчивостью $chi$. Найти:

- силу поверхностного молекулярного тока $I'_"пов"$;
- силу объемного молекулярного тока $I'_"об"$.

Определить как эти токи направлены друг относительно друга.

*Решение*: Внутри цилиндрического провода имеется внешний ток плотности $frac(I, pi R^2)$. Это дает магнитное поле $H_(phi.alt)$ с

$
H_(phi.alt) 2 pi r eq I frac(r^2, R^2) " или, " H_(phi.alt) eq frac(I r, 2 pi R^2)
$

Из этого $B_(phi.alt) eq frac(mu mu_0 I r, 2 pi R^2)$ и $J_(phi.alt) eq frac(mu minus 1, 2 pi) frac(I r, R^2) eq frac(chi I, 2 pi R) d l eq chi I eq$ намагниченность.

Следовательно, объемный молекулярный ток, 

$
integral.cont_(r eq R) arrow(J)_(phi.alt) dot d arrow(r) eq integral frac(chi I, 2 pi R) d l eq chi I
$

Поверхностный ток получается с использованием эквивалентности плотности поверхностного тока к $arrow(J) times arrow(n)$, это приводит к плотности поверхностного тока в $z$-направлении $minus frac(chi I, 2 pi R)$

Поверхностный молекулярный ток

$
I'_"пов" eq minus frac(chi I, 2 pi R) (2 pi R) eq minus chi I
$

Оба тока имеют противоположные знаки.

*Ответ*: $I_"мо" eq I_chi, space I_"мп" eq minus I_chi$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №9]

*Условие*:  Длинный соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком, магнитная восприимчивость которого зависит от расстояния до оси как $chi eq alpha r^2$. На оси соленоида магнитная индукция равна $B_0$. Рассчитать, как функцию $r$:

- намагниченность магнетика;
- плотности объемного молекулярного тока.

*Решение*: 

*Ответ*: $J(r) eq frac(B_0 alpha r^2, mu_0), space j(r) eq frac(2 alpha B_0, mu_0) r$.

#pagebreak()

#align(center)[==== Частица в магнитном поле]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью перпендикулярной полю. Напряжённость магнитного поля $H eq 103 "А/м"$. Ускоряющая разность потенциалов, придавшая электрону скорость $U eq 400 "В"$. Рассчитать радиус кривизны траектории $R$ и частоту $v$ обращения электрона в магнитном поле.

*Решение*: 

*Ответ*: $R eq frac(1, mu_0 H) sqrt(frac(2 U, q_m)) approx 5.37 "см", nu eq frac(mu_0 H q_m, 2 pi) approx 35 "МГц"$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №2] // ready

*Условие*: В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.

*Решение*: По формуле силы Лоренца: 

$
arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
$

До включения электрического поля:

$
arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
$

Частица движется по окружности

$
F_"маг" = q v B.
$

Сила Лоренца равна центростремительной силе: 

$
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
$

Угловая частота: 

$
omega eq v/R eq frac(q B, m)
$

Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.

За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится: 

$
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
$

После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории. 

Расстояние за один оборот:

$
h eq v T,
$

где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.

Подставим: 

$
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
$

Подставим числа: 

$
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
$


*Ответ*: $h eq frac(2 pi E, B) t approx 0.028 "м"$.

#pagebreak()

#align(center)[==== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]

#align(center)[===== №1]

*Условие*:  В однородное магнитное поле, индукция которого $B eq 1 "Тл"$ внесли квадратный контур со стороной $a eq 10 "см"$, по которому течёт ток $I eq 100 "А"$, после чего контур свободно устанавливается в магнитном поле под действием механического момента. Рассчитать работу $A'$, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол $alpha eq frac(pi, 2)$. 

*Решение*: 

*Ответ*: $A eq B I a^2 eq 1 "Дж"$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №2]

*Условие*: Магнитное поле создаётся длинным прямым проводником, по которому течёт ток $I_0$. В одной плоскости с проводником расположена квадратная рамка с током $I$, сторона рамки $a$. Рассчитать:

- силу ампера действующую на рамку;
- работу, которую необходимо совершить при медленном повороте рамки вокруг оси параллельной проводнику на угол $180 degree$, проходящей через центры противоположных сторон рамки;

если расстояние от этой оси до проводника в $eta$ раз больше стороны рамки.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/18.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  )
]

а) Как видно из условия, силы Ампера на сторонах (2) и (4) равны по величине, но противоположны по направлению. Следовательно, чистая эффективная сила на рамке является результатом сил, испытываемых сторонами (1) и (3).

Теперь сила Ампера на (1),

$
F_1 eq frac(mu_0, 2 pi) frac(I I_0, (eta minus 1/2))
$

и на (3),

$
F_3 eq frac(mu_0, 2 pi) frac(I_0 I, (eta plus 1/2))
$

Итак, результирующая сила на рамке $eq F_1 minus F_3$, (поскольку они противоположны).

$
eq frac(2 mu_0 I I_0, pi (4 eta^2 minus 1))
$

б) Выполненная работа при повороте рамки на некоторый угол $A eq integral I d Phi eq I(Phi_"кон" minus Phi_"нач")$, где $Phi_"кон"$ - поток через рамку в конечном положении, а $Phi_"нач"$ - в исходное положение.

Итак, $|Phi_"кон"| eq |Phi_"нач"| eq Phi$ и $Phi_"нач" eq minus Phi_"кон"$ значит,

$
Delta Phi eq 2 Phi " и " A eq I 2 Phi
$

Следовательно 

$
A eq 2 I integral arrow(B) dot d arrow(S) eq 2 I integral_(a(eta minus 1/2))^(a(eta plus 1/2)) frac(mu_0, 2 pi) frac(I_0 a, r) d r eq frac(mu_0 I I_0 a, pi) ln(frac(2 eta plus 1, 2 eta minus 1))
$


*Ответ*: $F_A eq frac(2 mu_0 I I_0, pi (4 eta^2 minus 1))$, $A eq frac(mu_0 I_0 I a, pi) ln (frac(2 eta plus 1, 2 eta minus 1))$.

#pagebreak()
#align(center)[=== Электромагнитная индукция]

#align(center)[==== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]

#align(center)[===== №1]

*Условие*: В однородном магнитном поле, с индукцией модуль которой $B$, расположен замкнутый контур (@img4). Верхнюю часть контура, представляющую с собой полуокружность радиуса $R_0$ вращают вокруг оси $O O'$ с постоянной угловой частотой $omega$. Найти э.д.с. индукции возникающую в контуре, как функцию времени, если в момент $t eq 0$ магнитный поток через контур максимальный.

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/4.png"),
    caption: [Контур.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img4>
]

*Решение*: 

*Ответ*: $cal(E)^"инд" eq frac(pi, 2) R^2_0 B omega sin omega t$.


#line(length: 100%)


#align(center)[===== №2] // ready

*Условие*: В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.4 "Тл"$, с постоянной частотой $nu eq 480 "об/мин"$ вращается замкнутая рамка, состоящая из $N eq 1000$ витков проволоки. Площадь ограниченная контуром рамки $S eq 200 " см"^2$. Рассчитать значение эдс индукции в момент, когда угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции равен $30 degree$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/17.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок],
    supplement: [Рис.]
  )
]

В общем случае магнитный поток $Phi$ через некоторую плоскую поверхность, помещенную в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле: 

$
Phi eq B S cos alpha 
$ <eq7>

В этой формуле $B$ - индукция магнитного поля, $S$ - площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, $alpha$ - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что рамка имеет $N$ витков обмотки, при этом сама рамка вращается в поле с некоторой угловой скоростью $omega$, то формула @eq7 примет следующий вид: 

$
Phi eq N B S cos omega t
$

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

$
epsilon_i eq minus Phi'(t)
$

Тогда 

$
epsilon_i eq minus (N B S cos omega t)' eq N B S omega sin omega t
$

Угловая скорость вращения $omega$ связана с частотой вращения $nu$ по такой формуле: 

$
omega eq 2 pi nu
$

Получим окончательную формулу: 

$
epsilon_i eq N B S 2 pi nu sin 2 pi nu t
$

Мы значем, что $omega t eq 30 degree$. Тогда: 

$
epsilon_i eq N B S 2 pi nu sin 30 degree eq N B S 2 pi nu frac(1, 2) eq N B S pi nu
$

Подставим числа и получим: 

$
epsilon_i eq 1000 dot 0.4 dot 0.02 dot pi dot frac(480, 60) approx 201 "В"
$

*Ответ*: $cal(E)^"инд" eq N S B nu pi approx 201 "В"$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №3] // ready

*Условие*:  В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.1 "Тл"$ расположен плоский проволочный виток, замкнутый на гальванометр. Площадь ограниченная контуром витка $S eq 10^(minus 2) " м"^2$. В начальный момент времени плоскость витка располагалась перпендикулярно магнитному полю. После поворота витка на некоторый угол $alpha$, через гальванометр прошёл заряд $q eq 7.5 dot 10^(−4) "Кл"$. Рассчитайте угол $alpha$ на который повернули виток если его сопротивление $R eq 2 "Ом"$.

*Решение*: Проволочный виток (замкнутый контур) в магнитном поле. Магнитный поток, пронизывающий контур, находящийся в магнитном поле:

$
Phi eq B dot S dot cos alpha.
$

При повороте витка, меняется угол, поэтому меняется магнитный поток, что приводит к возникновению ЭДС индукции. За время поворота $Delta t$ по витку пройдет заряд: 

$
q eq I dot Delta t,
$

здесь $I$ - сила индукционного тока. Воспользуемся законом Ома: 

$
I eq frac(epsilon_i, R),
$

ЭДС индукции, согласно закона электромагнитной индукции Фарадея:

$
epsilon_i eq frac(Delta Phi, Delta t),
$

$Delta Phi eq Phi_2 minus Phi_1$ - изменение магнитного потока. $Phi_1 eq B S$, т.к. по условию угол между нормалью к контуру и индукцией поля равен нулю.

$
Phi_2 eq B dot S dot cos alpha,
$

$
q eq frac(epsilon_i, R) Delta t eq frac(Delta Phi, R) eq frac(B dot S dot cos alpha minus B dot S, R)
$

$
cos alpha eq bar.v frac(q dot R plus B dot S, B dot S) bar.v 1 minus frac(q dot R, B dot S)
$

*Ответ*: $alpha eq 1 minus frac(R q, B S) approx 120 degree$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №4]

*Условие*: К источнику сторонних эдс сопротивление которого пренебрежимо мало, а $epsilon_0 eq 2 "В"$ подключили соленоид индуктивность которого $L eq 0.1 "Гн"$, а сопротивление $R eq 0.02 "Ом"$. Рассчитать заряд, который пройдёт через соленоид за первые $5 "с"$.

*Решение*: 

*Ответ*: $q eq frac(epsilon, R) (t plus frac(L, R) (exp [minus frac(R, L) t] minus 1)) approx 184 "Кл"$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №5] // ready

*Условие*: Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поря меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл"$, $omega eq 6 с^(−1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/110.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
  )
]

По формуле магнитного потока через плоскость: 

$
Phi eq B S cos alpha
$

Площадь рамки: 

$
S eq a^2 
$

Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:

$
Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
$

По закону Фарадея: 

$
cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
$

Подставив числа из условия, получим: 

$
cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
$


*Ответ*: $epsilon eq frac(1, sqrt(2)) B_0 omega sin (omega t) approx minus 0.31 "В"$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №6] // ready

*Условие*: В прямом бесконечном проводнике течёт ток, сила которого меняется по закону $I eq beta t^3$, где $beta eq 2 " А/с"^3$. В одной плоскости с проводником, параллельно ему, расположена квадратная рамка, сторона которой $a eq 20 "см"$, а сопротивление материала рамки $R eq 7 "Ом"$. Расстояние от ближайшей стороны рамки до проводника $l eq 20 "см"$. Рассчитать силу тока в рамке в момент времени $t eq 10 "c"$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/16.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Поясняющий рисунок.]
  ) 
]

Магн. индукция поля, создаваемого бесконечным проводником: 

$
B eq frac(mu_0 I, 2 pi r)
$

Найдем поток этого магнитного поля сквозь контур: 

$
Phi_m eq integral_S arrow(B) d arrow(S) eq integral_(l)^(l plus a) B dot a dot d r eq frac(mu_0 I, 2 pi) a integral_l^(l plus a) frac(d r, r) eq \
eq frac(mu_0 I a, 2 pi) ln(1 plus frac(a, l))
$

$
epsilon eq minus frac(d Phi_m, d t) eq minus frac(mu_0 a, 2 pi) ln(1 plus frac(a, l)) frac(d I, d t)
$

$
frac(d I, d t) eq frac(d, d t) (beta t^3) eq 3 beta t^2
$

$
epsilon eq minus frac(3 mu_0 beta a t^2, 2 pi) ln(1 plus frac(a, l))
$

$
I eq frac(|epsilon|, R) eq frac(3 mu_0 beta a t^2, 2 pi R) ln(1 plus frac(a, l))
$

Подставим числа и получим: 

$
I eq frac(3 dot 4 pi dot 10^(minus 7) dot 2 dot 0.2 dot 10^2, 2 pi dot 7) ln(1 plus frac(0.2, 0.3)) approx 2.4 dot 10^(minus 6) "А".
$

*Ответ*: $I eq frac(3 mu_0 a beta, 2 pi) log (1 plus frac(a, l)) t^2 approx 2.4 dot 10^(minus 6) "А"$.

#line(length: 100%)

#align(center)[===== №7] // ready

*Условие*: П-образный проводник расположен в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника. Магнитная индукция поля изменяется с постоянной скоростью $beta$. Вдоль параллельных сторон проводника с постоянным ускорением $a$ перемещают проводник перемычку, длина которой $l$. Рассчитать эдс индукции через время $t$ после начала перемещения перемычки, если в начальный момент времени и индукция и площадь контура равны $0$.

*Решение*: Площадь контура как функция времени:

$
S(t) eq l dot s(t) eq l dot frac(a dot t^2, 2)
$

Индукция магнитного поля как функция времени: 

$
B(t) eq beta t
$

ЭДС индукции (без учетного знака): 

$
epsilon eq bar.v frac(d, d t) Phi bar.v eq bar.v frac(d, d t) (B(t) dot S(t)) bar.v eq bar.v frac(d, d t)[beta t (l dot frac(a dot t^2, 2))] bar.v eq \ 
eq frac(3, 2) dot beta dot t^2 dot l dot a.
$

*Ответ*: $epsilon eq minus frac(3 l beta a, 2) t^2$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №8]

*Условие*: Внутри длинного соленоида расположена катушка состоящая из $N$ витков. Площадь поперечного сечения катушки $S$. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью $omega$ вдоль оси совпадающей с её диаметром и перпендикулярной к оси соленоида. Рассчитать эдс индукции в катушке если, индукция магнитного поля в соленоиде изменяется со временем как $B eq B_0 sin(omega t)$, а в момент времени $t eq 0$ ось катушки совпадала с осью соленоида.

*Решение*: Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в катушке равна 

$
epsilon_i eq minus frac(d phi.alt, d t),
$

где 
- $phi.alt eq N Phi$ - полное потокосцепление катушки,
- $N$ - число витков,
- $Phi$ - магнитный поток через один виток.

Магнитный поток через один виток определяется выражением

$
Phi eq integral_S B_n d S eq integral_S B cos alpha d S
$

где 

$B_n$ - проекция вектора магнитной индукции $arrow(B)$ на нормаль $arrow(n)$ к плоскости витка,
$alpha$ - угол между векторами $arrow(B)$ и $arrow(n)$.

Поскольку катушка вращается с угловой скоростью $omega$, угол между нормалью к витку и направлением магнитного поля меняется по закону

$
alpha eq omega t.
$

В момент времени $t eq 0$ ось катушки совпадает с осью соленоида, поэтому $alpha(0) eq 0$.

Поле внутри длинного соленоида однородно, следовательно, магнитный поток через один виток равен 

$
Phi eq B S cos omega t, 
$

где $S$ - площадь витка.

Тогда потокосцепление катушки

$
phi.alt eq N Phi eq N B S cos omega t.
$

Если магнитная индукция изменяется со временем по закону

$
B eq B_0 sin omega t,
$

то 

$
phi.alt eq N B_0 S sin omega t cos omega t eq 1/2 N B_0 S sin 2 omega t.
$

Теперь найдем ЭДС индукции: 

$
epsilon_i eq frac(d phi.alt, d t) eq 1/2 N B_0 S dot 2 omega cos 2 omega t eq N B_0 S omega cos 2 omega t.
$

*Ответ*: $epsilon eq B_0 N S omega cos (2 omega t)$.

#line(length: 100%)


#align(center)[===== №9]

*Условие*: По длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого $R$ и плотностью намотки $n$, течёт ток, скорость изменения которого от времени равна $i$. Рассчитать вектор напряжённости вихревого электрического поля, как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.

*Решение*: 

*Ответ*:


