#show math.equation: set text(size: 16pt, weight: "light", top-edge: "ascender", bottom-edge: "descender")


#set page(
  paper: "a4",
  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 14pt,
  lang: "ru",
  weight: "light"
)
#set par(
  // first-line-indent: (
  //  amount: 1.5em,
  //  all: true
  //),
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)


#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(left)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
})

#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 160pt)[#text(size: 0.5em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#align(left)[#image("assets/1.svg")]]

#line(length: 100%)

#align(center)[
  #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
    #align(left)[Группа: _К3221_]
  ][
    #align(left)[К работе допущен: ]
  ][
    #align(left)[Студенты: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
  ][
    #align(left)[Работа выполнена: ]
  ][
    #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
  ][
    #align(left)[Отчет принят: ]
  ]
]

#align(center)[#text(size: 20pt)[*Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №4.02 \ \ Определение расстояния между двумя щелями интерференционным методом*]]

#line(length: 100%)
#line(length: 100%)

/*

#align(center)[=== Цель работы]

Определение расстояния между двумя щелями по полученной от них интерференционной картине.

#align(center)[=== Задача работы]

Измерение координат минимумов интерференционной картины от двух щелей при изменении расстояния между объектом и экраном.

*/

#align(center)[=== Контрольные вопросы]

// ---

*1. Что такое когерентность? Каким образом можно получить когерентные источники?* // ready

Когерентность -- необходимое условие возникновения интерференции и определяется как постоянство разности фаз во времени. При этом такую согласованность невозможно получить от двух раздельных источников. 

Для получения когерентных источников используют один источник света, излучение которого искусственно разделяют. Интерференционные схемы реализуются при наличии одного источника, свет от которого различными способами разделяется на два пучка, которые должны пройти различное расстояние до точки сложения. Существует два основных способа получения когерентных волн: схема, построенная на основе деления волнового фронта, и схема, построенная на методе деления амплитуды.

В случае деления волнового фронта складываются два участка одного волнового фронта, выделенных с помощью отверстий, зеркал, призм и т.д.

При делении амплитуды разделение излучения производится путем частичного отражения и частичного пропускания света на границе раздела двух сред с дальнейшим сложением этих частей, прошедших различные оптические пути.

// Классическим примером получения когерентных источников является опыт Юнга.

*2. Чем можно объяснить наличие максимума по центру интерференционной картины?* // ready

В центральной точке экрана разность хода волн от двух щелей равна нулю, и волны складываются в фазе.

Волны проходят различные расстояния и имеют разность хода 

$
Delta = r_2 - r_1
$

Для центральной точки интерференционной картины расстояния от обеих щелей одинаковы, поэтому $Delta = 0$. В этом случае выполняется условие максимума:

$
Delta eq m lambda,
$

где $m$ – целое число, то в точке $D$ наблюдается интерференционный максимум, поскольку излучение от двух щелей складывается в фазе.

При $m eq 0$ разность хода равна нулю, что соответствует центральному максимуму интерференционной картины.

*3. Сформулируйте условия возникновения максимумов и минимумов при интерференции через разность хода.* // ready

Интерференция обусловлена тем, что волны проходят различные расстояния и имеют разность хода 

$
Delta eq r_2 - r_1.
$

Интерференционный максимум возникает, если разность хода равна целому числу длин волн: 

$
Delta eq m lambda
$

Интерференционный минимум возникает, если разность хода равна полуцелому числу длин волн: 

$
Delta eq (m plus 1/2) lambda.
$

*4. Сформулируйте условия возникновения максимумов и минимумов при интерференции через разность фаз.* // ready 

Интерференционный максимум возникает в той точке пространства, где волны приходят в фазе, то есть когда разность фаз между ними кратна $2 pi$:

$
Delta phi eq phi_2 - phi_1 eq 2 pi m, space.quad m eq 0, 1, 2, dots
$

В этом случае происходит сложение амплитуд в фазе, и интенсивность света максимальна.

Интерференционный минимум возникает в той точке пространстве, где волны приходят в противофазе, то есть когда разность фаз между ними равна нечетному числу $pi$:

$
Delta phi eq phi_2 - phi_1 eq (2m + 1) pi, space.quad m = 0, 1, 2, dots 
$

В этом случае волны складываются в противофазе, и интенсивность света минимальна.

*5. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при увеличении расстояния между щелями?* // ready

Зависимость для ширины интерференционной полосы определяется по формуле: 

$
Delta x eq x_(m + 1) - x_m eq lambda/d dot L,
$

где $d$ -- расстояние между щелями, $lambda$ -- длина волны света, $L$ -- расстояние от объекта с двумя щелями до экрана. Соответственно, если мы увеличиваем $d$, то ширина интерференционной полосы $Delta x$ уменьшается. То есть полосы сжимаются.

*6. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при увеличении расстояния $L$ до экрана?* // ready

Зависимость для ширины интерференционной полосы определяется по формуле: 

$
Delta x eq x_(m + 1) - x_m eq lambda/d dot L,
$

где $d$ -- расстояние между щелями, $lambda$ -- длина волны света, $L$ -- расстояние от объекта с двумя щелями до экрана. Соответственно, если мы увеличиваем $L$, то ширина интерференционной полосы $Delta x$ увеличивается. То есть полосы расширяются.

*7. Что называется контрастом интерференционной картины?* // ready

Количественно контраст характеризуется видностью полос: 

$
V eq frac(I_max - I_min, I_max + I_min)
$

где $I_max$ и $I_min$ - максимальная и минимальная интенсивность интерференционных полос в плоскости наблюдения. Интенсивность интерференционной картины, образованной двумя пучками, записывается как

$
I eq I_1 + I_2 + 2 sqrt(I_1 I_2) cos(phi_2 - phi_1),
$

где $I_1$ -- интенсивность первого интерферирующего пучка в точке наблюдения, если второй пучок отсутствует, $I_2$ -- интенсивность второго интерферирующего пучка в той же точке наблюдения, если первый пучок отсутствует, $phi_1$ -- фаза волны первого пучка в точке наблюдения, $phi_2$ -- фаза волны второго пучка в точке наблюдения.

Контраст характеризует степень различия между максимумами и минимумами интенсивности и определяет, насколько отчётливо наблюдаются интерференционные полосы.

*8. Почему для наблюдения наиболее контрастной интерференционной картины необходимо равенство амплитуд складывающих волн?* // ready 

Интенсивность интерференционной картины двух волн рассчитывается по формуле:

$
I eq I_1 plus I_2 + 2 sqrt(I_1 I_2) cos (phi_2 - phi_1),
$

где $I_1$ и $I_2$ - интенсивности отдельных волн, которые пропорциональны квадратам амплитуд $A_1^2$ и $A_2^2$. $phi_1$ и $phi_2$ - фазы волн в точке наблюдения.

Интерференционный член $2 sqrt(I_1 I_2) cos(phi_2 - phi_1)$ отвечает за усиление или ослабление света в зависимости от фазы. Его максимальное значение достигается при $cos(phi_2 - phi_1) eq 1$ и произведение $A_1 A_2$ максимально при $A_1 plus A_2 eq "const"$ если $A_1 eq A_2$.
 
В результате разность $I_max - I_min$ максимальна, а значит, контраст интерференционной картины наибольший.

*9. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при изменении длины волны источника, с которым проводится опыт?* // ready

Зависимость для ширины интерференционной полосы определяется по формуле: 

$
Delta x eq x_(m + 1) - x_m eq lambda/d dot L,
$

где $d$ -- расстояние между щелями, $lambda$ -- длина волны света, $L$ -- расстояние от объекта с двумя щелями до экрана. Соответственно, если мы изменяем $lambda$, то ширина интерференционной полосы $Delta x$ изменяется прямо пропорционально. То есть если $lambda$ увеличивается, полосы расширяются, а если уменьшается -- сжимаются.

*10. Как будет меняться интерференционная картина? Если первое отверстие в опыте Юнга постепенно делать больше?*

Если первое отверстие увеличивать, ширина интерференционных полос не меняется:

$
Delta x eq frac(lambda L, d).
$

Интенсивность интерференционной картины: 

$
I(x) eq I_1 plus I_2 plus 2 sqrt(I_1 I_2) cos(phi_2 - phi_1),
$

где $I_1 eq A_1^2, I_2 eq A^2_2$.

При увеличении щели, $A_1$ распределяется по ширине, интерференционный член уменьшается, максимумы и минимумы становятся менее выраженными.

Контраст интерференционной картины: 

$
V eq frac(I_max - I_min, I_max + I_min)
$

уменьшается при увеличении щели.

Таким образом, ширина полос не изменяется, но полосы становятся размытыми.

/*

#align(center)[=== Основные формулы]

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 2, align: (horizon, left), inset: 10pt)[*Формула*][*Пояснение*][$Delta approx d dot theta approx d x/L$][$Delta$ - разность хода волн \
         $d$ - расстояние между щелями \
         $theta$ - угол отклонения луча от оси \
         $x$ - координата точки на экране \
         $L$ - расстояние между щелями и экраном][$Delta eq m lambda$][Условие максимума \
         $m$ - порядок максимума \
         $lambda$ - длина волны лазера][$Delta eq (m plus 1/2) lambda$][Условие минимума \
         $m$ - номер минимума \
         $lambda$ - длина волны][$x_m eq (m plus 1/2) (lambda L)/d$][$x_m$ - координата $m$-го минимума на экране \
    $m$ - номера минимума \
    $lambda$ - длина волны \
    $L$ - расстояние до экрана \
    $d$ - расстояние между щелями][$Delta x eq x_(m plus 1) minus x_m eq (lambda L)/d$][$Delta x$ - ширина интерференционной полосы \
    $x_(m plus 1)$ - координата следующего (по номеру) минимума или максимума на экране. \
    $x_m$ - координата предыдущего минимума или максимума \
    $lambda$ - длина волны света лазера \
    $L$ - расстояние между щелями и экраном \
    $d$ - расстояние между двумя щелями в объекте],
    supplement: [Табл.],
    caption: [Основные формулы и пояснения к ним.]
  ) <table1>
]

#align(center)[=== Результаты измерений]

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 6, align: horizon, inset: 10pt)[$X_O eq 970 "мм"$][$X_"Э" eq 38 "мм"$][$X_"Э" eq 138 "мм"$][$X_"Э" eq 238 "мм"$][$X_"Э" eq 338 "мм"$][$X_"Э" eq 438 "мм"$][$x_1", мм"$][-17][-20][-15][-18][-13][$x_2", мм"$][-14][-16][-11][-16][-11][$x_3", мм"$][-11][-12][-9][-13][-7][$x_4", мм"$][-7.5][-10][-6][-11][-5][$x_5", мм"$][-3][-3][-2][-3][-2][$x_6", мм"$][0][0][0][0][0][$x_7", мм"$][4][4][2][2][1][$x_8", мм"$][7][7][6][5][4][$x_9", мм"$][11][10][8][7][6][$x_(10)", мм"$][15][13][12][10][8][$L", мм"$][932][832][732][632][532],
    supplement: [Табл.],
    caption: [Результаты измерений.]
  ) <table2>
]

=== Расчеты 

Расстояния между объектом и экраном вычислялись по формуле

$
L eq X_"Э" minus X_"О".
$ 

Результаты представлены в @table2.

Период интерференционной картины определяется как 

$
Delta x eq frac(x_max - x_min, m)
$

где $x_max$ и $x_min$ -- крайние координаты минимумов, $m eq 9$ -- число интервалов между десятью минимумами.

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 4, align: horizon, inset: 10pt)[$bold(L\, " мм")$][$bold(x_min\, " мм")$][$bold(x_max\, " мм")$][$bold(Delta x\, " мм")$][$932$][$-17$][$15$][$3.56$][$832$][$-20$][$13$][$3.67$][$732$][$-15$][$12$][$3.00$][$632$][$-18$][$10$][$3.11$][$532$][$-13$][$8$][$2.33$],
    supplement: [Табл.],
    caption: [Период интерференционной картины]
  ) <table3>
]

/*
- $L eq 932 "мм": x_min eq -17 "мм", x_max eq 15 "мм", Delta x approx 3.56 "мм"$

- $L eq 832 "мм": x_min eq -20 "мм", x_max eq 13 "мм", Delta x approx 3.67 "мм"$

- $L eq 732 "мм": x_min eq -15 "мм", x_max eq 12 "мм", Delta x approx 3.00 "мм"$

- $L eq 632 "мм": x_min eq -18 "мм", x_max eq 10 "мм", Delta x approx 3.11 "мм"$

- $L eq 532 "мм": x_min eq -13 "мм", x_max eq 8 "мм", Delta x approx 2.33 "мм"$
*/

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"), 
    supplement: [Рис.],
    caption: [График зависимости $Delta x (L)$.]
  ) <image1>
]

Коэффициент наклона: 

$
K eq 3.02 dot 10^(-3)
$

Длина волны лазера:

$
lambda eq 632.82 "нм" eq 6.3282 dot 10^(-4) "мм" \
d eq lambda/K \
d approx 0.210 "мм"
$

Так как используется один объект и один аппроксимирующий график, среднее значение расстояния между щелями: 

$
chevron.l d chevron.r eq 0.21 "мм"
$

Используем формулу для линейной аппроксимации методом наименьших квадратов. Тогда погрешность наклона: 

$
Delta K eq sqrt(1/(n - 2) frac(sum (Delta x_i minus K L_i)^2, sum (L_i minus L)^2))
$

Среднее $L$:

$
overline(L) eq (932 + 832 + 732 + 632 + 532)/5 eq 732
$

Вычисляем отклонения: 

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 4, align: horizon, inset: 10pt)[$L_i$][$Delta x_i$][$K L_i$][$Delta x_i minus K L_i$][932][3.56][2.815][0.745][832][3.67][2.514][1.156][732][3.00][2.209][0.791][632][3.11][1.911][1.199][532][2.33][1.607][0.723],
    supplement: [Табл.],
    caption: [Отклонения $(Delta x_i minus K L_i)$.]
  )
]

Сумма квадратов отклонений:

$
sum (Delta x_i minus K L_i)^2 eq 0.745^2 plus 1.156^2 plus 0.791^2 plus 1.199^2 approx 4.479
$

Сумма квадратов отклонений $L_i$ от среднего:

$
sum (L_i minus overline(L)) eq \ eq (932 minus 732)^2 plus (832 minus 732)^2 plus (732 minus 732)^2 plus (632 minus 732)^2 plus (532 minus 732)^2 eq \ eq 100000
$

Подставим: 

$
Delta K eq sqrt(1/(5 - 2) dot 4.479/100000) eq sqrt(1/3 dot 4.479 dot 10^(-5)) eq sqrt(1.493 dot 10^(-5)) approx 0.00387
$

Погрешность расстояния между щелями $Delta d$:

$
d eq lambda/K, space.quad Delta d eq lambda/(K^2) Delta K \
Delta d eq frac(6.3282 dot 10^(-4), (3.02 dot 10^(-3))^2) dot 0.00387 approx 0.268 "мм"
$

$
d eq 0.21 plus.minus 0.27 "мм"
$

Погрешность, вызванная неопределённостью наклона графика:

$
d eq lambda/(K^2) Delta K approx 0.27 "мм"
$

Итоговое значение с учетом погрешности: 

$
d eq (0.21 plus.minus 0.27) "мм"
$

// #align(center)[=== Контрольные вопросы]

*/
