#set page(numbering: "1")
#set page(
  paper: "a4",
  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 14pt
)
#set par(
  /*first-line-indent: (
    amount: 1.5em,
    all: true
  ),*/
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)


#align(center)[#text(size: 1.5em)[Домашняя работа. Дощенников Никита]]

#outline(
  title: []
)

#align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]

#align(center)[===== №1] // ready

Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Полусфера.]
  ) <img1>
]

В системе СИ: $sigma eq 5 " нКл/м"^2 eq 5 dot 10^(-9) " Кл/м"^2$.

В сферических координатах с центром в искомой точке. Зададим точку на сфере полярным углом $theta in [0, pi/2]$ и азимутальным $phi in [0, 2 pi]$. Тогда поверхностный элемент сферы $d S$ равен: 

$
d S eq R^2 sin theta d theta d phi.
$

Элемент заряда $d q$ равен: 

$
d q eq sigma d S eq sigma R^2 sin theta d theta d phi
$

Поле от элементарного заряда в центра по модулю равно: 

$
d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
$

Расписав составляющие (так как поле направлено к центру, значение с минусом): 

$
d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
d E_y eq -k sigma sin^2 theta sin phi d theta d phi, \
d E_z eq -k sigma sin theta cos theta d theta d phi
$

Проинтегрировав по всей полусфере, получим:

$
E_x eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi/2) d E_x eq -sigma k integral_0^(pi/2) sin^2 theta d theta integral_0^(2 pi) cos phi d phi.
$

Так как $integral_0^(2 pi) cos phi d phi eq 0$, то $E_x eq 0$. (Аналогично $E_y eq 0$). Остается только $z$-компонента:

$
E_z eq E eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi / 2) d E_z eq - sigma k integral_0^(2 pi) d phi integral_0^(pi / 2) sin theta cos theta d theta eq k sigma dot (2 pi) dot 1/2 eq sigma/(4 epsilon_0).
$

Подставив числа, получим: 

$
E eq frac(sigma, 4 epsilon_0) eq frac(5 dot 10^(-9), 4 dot 8.85 dot 10^(-12)) approx 141.2 "В/м" approx 0.14 "кВ/м".
$

*Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.

#align(center)[===== №2] // ready

Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напряжённости электростатического поля, как функцию $r$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Область пространства.]
  ) <img2>
]

По закону Гаусса: 

$
integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
$



Система обладает сферической симметрией. Модуль $E(r)$ одинаков по всей сфере радиуса $r$, тогда (площадь поверхности сферы $4 pi r^2$):

$
integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) integral.cont_S d S eq E(r) dot S eq E(r) dot 4 pi r^2
$

$
E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
$

Заряд внутри радиуса $r$:

$
Q_"вн" (r) eq integral_(V_r) rho(r') d V eq integral_0^r rho (r') 4 pi r^('2) d r' eq 4 pi rho_0 integral_0^r r^('2) e^(-alpha r')^3 d r'.
$

Пусть $u eq alpha r^('3)$. 

$
d u eq 3 alpha r^('2) d r' arrow.double r^('2) d r' eq frac(d u, 3 alpha)
$

$
Q_"вн" (r) eq 4 pi rho_0 dot frac(1, 3 alpha) integral_0^(alpha r^3) e^(-u) d u eq frac(4 pi rho_0, 3 alpha) (1 - e^(-alpha r^3))
$

Подставим в закон Гаусса: 

$
E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(frac(4 pi rho_0, 3 alpha)(1 minus e(minus alpha r^3)), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
$

*Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.

#align(center)[===== №3] // ready

Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/3.svg"),
    caption: [Шар.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img3>
]


Для $r lt.eq R$ используем закон Гаусса. Заряд, заключенный в сфере, радиуса $r$:

$
Q_"вн" eq rho dot 4/3 pi r^3.
$

Поток через сферу радиуса $r$ равен: 

$
integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
$

Отсюда можно выразить $E(r)$:

$
E(r) eq frac(Q_"вн", 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho^(4/3) pi r^3, 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)
$

Потенциал определяется как: 

$
phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) E(r) d r
$

Подставив $E(r) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)$:

$
Delta phi eq phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) frac(rho r, 3 epsilon_0) d r eq frac(rho, 6 epsilon_0) (r^2_2 - r^2_1)
$

Подставив числа, получим: 

$
Delta phi eq frac(10 dot 10^(-9), 6 dot 8.85 dot 10^(-12)) (0.15^2 - 0.01^2) "В" approx 4.2 "В".
$

*Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.

#align(center)[===== №4] // ready

Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $d_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/4.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Конденсатор.]
  ) <img4>
]

При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $arrow(D)$ одинакова во всех слоях:

$
D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
$

Отсюда получаем связь между полями: 

$
epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_(r 2) E_2 arrow.double E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
$

Общая разность потенциалов $U$ равна: 

$
U eq E_1 d_1 + E_2 d_2.
$

Подставив $E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2$, получим: 

$
U eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2 d_1 + E_2 d_2 eq E_2(frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2)
$

Выражая $E_2$ и $E_1$:

$
E_2 eq frac(U, frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2), space.quad E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
$

Подставим числа из условия: 

$
E_1 approx 3.64 dot 10^4 "В/м" approx 36.4 "кВ/м", E_2 approx 1.27 dot 10^5 "В/м" approx 0.127 "МВ/м".
$

*Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.

#align(center)[===== №5] // ready

На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/5.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Схема с проводящей плоскостью и зарядами.]
  ) <img5>
]

В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.

По закону сохранения энергии: 

$
Delta E_K plus Delta E_P eq A_"тр" plus A_"вн"
$

Так как мы удаляем заряд медленно, то $Delta E_K eq 0$. Про трение ничего не сказано, поэтому $A_"тр" eq 1$. Тогда: 

$
A eq Delta E_P eq E_(P 2) minus E_(P 1)
$

На бесконечности ($E_(P 2)$) равна нулю так как $r eq infinity$, и в формуле $E_P eq k frac(q, r)$ стоит в знаменателе.

Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.

Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $E_P$ равна: 

$
E_P eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
$

Нужно учесть, что получившееся значение -- работа по удалению не одного, а двух зарядов. Тогда поделим значение на 2.


Подставив числа, получим: 

$
A eq frac(q^2, 16 pi epsilon_0 l) eq frac(10^4 dot 10^(-12), 16 pi dot 8.85 dot 10^(-12) dot 1.5 dot 10^(-2)) approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
$

*Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.

#align(center)[===== №6] // ready

По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/6.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Проводник с током.]
  ) <img6>
]

По формуле плотности тока: 

$
j eq rho U ", где" rho eq frac(q, l dot S) arrow.double j eq frac(q U, l S)
$

Так как $j eq I/S$ по определению, то можно выразить заряд:

$
j eq I/S eq frac(q U, l S) arrow.double q eq frac(I l, U) 
$

Масса всех электронов равна произведению их количества на массу одного электрона: 

$
m eq n_e dot m_e eq q/e m_e eq frac(I l, U e) m_e 
$

По формуле импульса: 

$
p eq m U eq frac(I l m_e, e)
$

Подставим числа из условия: 

$
p eq frac(10 dot 400 dot 9.1 dot 10^(-31), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.3 dot 10^(-8).
$

*Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.


#align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]

#align(center)[===== №1] // ready 

Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.

*Решение*:


#align(center)[
  #figure(
    image("assets/7.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Прямоугольный контур с током и его центр.]
  ) <img7>
]

В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.

По принципу суперпозиции для магнитного поля: 

$
arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4. 
$

Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:

$
B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
$

Подставив числа из условия, получим: 

$
B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1 
$

*Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.

#align(center)[===== №2] // ready 

Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.

*Решение*:

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/9.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Два параллельных проводника с противоположными токами.]
  ) <img9>
]


По формуле напряженности магнитного поля для прямого тока: 

$
H eq 2 pi r I
$

Результирующее поле направлено вниз: 

$
H eq (2I)/(2 pi r) cos pi/3 eq I/(2 pi r) 
$

Подставив числа из условия, получим: 

$
frac(10, 2 pi dot 0.2) approx 8 "А/м".
$

*Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.

#align(center)[===== №3] // ready

По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r arrow(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/8.svg"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Цилиндрический провод с током вдоль оси.]
  ) <img8>
]

Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру: 

$
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
$

Закон Ампера:

$
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
$

где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.

Отсюда: 

$
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) I_"вн" (r)
$

Ток через круг радиуса $r$:

$
I_"вн" (r) eq integral.double_S_r j_z (r') d S eq integral_0^r integral_0^(2 pi) (alpha r') r' d phi d r'
$

$
I_"вн" (r) eq alpha dot 2 pi integral_0^r r^('2) d r' eq alpha dot 2 pi dot frac(r^3, 3) eq frac(2 pi alpha r^3, 3).
$

Магнитная индукция внутри $r lt R$:

$
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha r^3, 3) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3).
$

Магнитная индукция снаружи $r gt R$:

$
I eq I_"вн" (R) eq frac(2 pi alpha R^3, 3).
$

По закону Ампера для $r gt R$:

$
B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
$

*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) arrow(e)_phi, space arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) arrow(e)_phi$.

#align(center)[===== №4] // ready 

В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.

*Решение*: По формуле силы Лоренца: 

$
arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
$

До включения электрического поля:

$
arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
$

Частица движется по окружности

$
F_"маг" = q v B.
$

Сила Лоренца равна центростремительной силе: 

$
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
$

Угловая частота: 

$
omega eq v/R eq frac(q B, m)
$

Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.

За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится: 

$
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
$

После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории. 

Расстояние за один оборот:

$
h eq v T,
$

где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.

Подставим: 

$
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
$

Подставим числа: 

$
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
$

*Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.

#align(center)[===== №5] // ready

Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/10.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
  )
]

По формуле магнитного потока через плоскость: 

$
Phi eq B S cos alpha
$

Площадь рамки: 

$
S eq a^2 
$

Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:

$
Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
$

По закону Фарадея: 

$
cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
$

Подставив числа из условия, получим: 

$
cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
$

*Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.

#align(center)[===== №6] // ready

Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.

*Решение*: 

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/12.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [Катушка с током и однородным магнитным полем внутри.]
  )
]

В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.

По закону Ампера: 

$
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"внутри"
$

Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $arrow(B) dot d arrow(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим: 

$
B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.
$

Энергия магнитного поля катушки: 

$
W eq 1/2 L I^2,
$

где $L$ - индуктивность катушки.

По определению индуктивности: 

$
L eq frac(Phi, I), 
$

где $Phi$ - магнитный поток через катушку.

Магнитный поток через все витки равен: 

$
Phi eq N dot B dot S,
$

где $N$ - число витков, $S$ - площадь поперечного сечения, $B$ - магнитное поле внутри катушки.

$
L eq frac(N B S, I).
$

Объем катушки $V eq S l$, число витков $N eq n l$. Подставим: 

$
L eq frac(n l B S, I) eq frac(B n S l, I).
$

Тогда энергия равна: 

$
W eq 1/2 L I^2 eq 1/2 frac(B n S l, I) I^2 eq 1/2 B n I S l
$

Объемная плотность энергии $w$ равна: 

$
w eq W/V eq frac(1/2 B n I S l, S l) eq 1/2 B n I
$

Подставим $B eq mu_0 n I$:

$
w eq 1/2 (mu_0 n I) n I eq 1/2 mu_0 n^2 I^2
$

Подставим числа: 

$
w eq 1/2 4 pi dot 10^(-7) dot (2500)^2 dot 2^2 eq 2 pi dot 10^(-7) dot 6.25 dot 10^6 dot 4 approx 16 " Дж/м"^3
$

*Ответ*: $omega approx 16 " Дж/м"^3$.
