#set page(
  paper: "a4",
  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 10pt
)
#set par(
  first-line-indent: (
    amount: 1.5em,
    all: true
  ),
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)



#set page(footer: context {
  if counter(page).get().first() > 1 [
    #align(left)[
      #counter(page).display("1")
    ]
  ]
})

#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 70pt)[#text(size: 0.7em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#image("assets/1.svg")]

#line(length: 100%)

#align(center)[
  #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
    #align(left)[Группа: _К3221_]
  ][
    #align(left)[К работе допущен: ]
  ][
    #align(left)[Студенты: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
  ][
    #align(left)[Работа выполнена: ]
  ][
    #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
  ][
    #align(left)[Отчет принят: ]
  ]
]

#align(center)[= Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №4.07]

#line(length: 100%)
#line(length: 100%)

=== 1. Цель работы.

1. Изучение дифракции Фраунгофера на одной щели, на четырех щелях, на одномерной и двумерной дифракционных решетках.
2. Исследование распределения интенсивности в дифракционной картине.

=== 2. Задачи работы.

1. Получить картины дифракции Фраунгофера от различных объектов.
2. Определить размеры щели.
3. Определить ширину центрального дифракционного максимума.
4. Определить интенсивности порядков дифракции.
5. Объяснить изменение дифракционной картины при наклонном падении лучей.

===== Линейные положения минимумов

Для одной щели $alpha eq 0 degree$:

$
x_1 eq 12.4 "мм" eq 0.0124 "м" \
x_2 eq 25.0 "мм" eq 0.0250 "м" \
x_3 eq 37.6 "мм" eq 0.0376 "м"
$

Центральный максимум лежит в $x eq 0$. Ширина центрального максимума $Delta x_0 eq 2 x_1 eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м".$

Расчет ширины щели $b$:

$
Delta x_0 eq 2 frac(lambda F, b) arrow.double b eq 2 frac(lambda F, Delta x_0)
$

Подставив значения получим:

$
lambda &eq 632.8 "нм" eq 6.328 times 10^(-7) "м" \
F &eq 200 "мм" eq 0.200 "м" \
Delta x_0 &eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м"
$

$
b approx 10.21 "мкм"
$

Условие минимума: 

$
b sin phi_m eq m lambda arrow.double phi_m eq arcsin(frac(m lambda, b))
$

Подставив числа получим: 

$
m eq 1: sin phi_1 eq 0.062 arrow.double phi_1 eq 3.5546 degree \
m eq 2: sin phi_2 eq 0.124 arrow.double phi_2 eq 7.1230 degree \
m eq 3: sin phi_3 eq 0.186 arrow.double phi_3 eq 10.7194 degree
$

По формуле $phi_m approx frac(x_m, F)$:

$
phi_1 &approx 3.5523 degree \
phi_2 &approx 7.1620 degree \
phi_3 &approx 10.7716 degree
$

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 6, inset: 10pt)[$L, "мм"$][$alpha, "град"$][$m$][$x, "мм"$][$b, "мм"$][$frac(J_max, J_0)$][200][0][0][0][10,2][1][200][0][1][12,4][10,2][0,81][200][0][2][25,0][10,2][0,45][200][0][3][37,6][10,2][0,20][200][5][0][0][10,2][0,98][200][5][1][12,6][10,2][0,80][200][5][2][25,3][10,2][0,44][200][5][3][38,0][10,2][0,19],
    supplement: [Табл.],
    caption: []
  ) <table1>
]

#align(center)[
  #figure(
    table(columns: 2, inset: 10pt)[$alpha, "град"$][$frac(J, J_0)$][0][0.159][15][0.159][30][0.156][45][0.200][60][0.366],
    supplement: [Табл.],
    caption: []
  ) <table2>
]

По формуле для однощелевой дифракции: 

$
frac(J, J_0) eq (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b sin theta, lambda)
$

- Первый боковой максимум: $frac(J_1, J_0) approx 0.045$
- Второй боковой максимум: $frac(J_2, J_0) approx 0.016$
- Третий боковой максимум: $frac(J_3, J_0) approx 0.008$

Для дифракции на двух щелях положение максимума первого порядка задается формулой: 

$
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 1
$

Эффективная ширина щели изменяется как: 

$
b_"эфф" eq frac(b, cos alpha)
$

Подставив числа, получим: 

$
alpha = 0 degree: space.quad b_"эфф" = 10.21 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(lambda, b_"эфф") = frac(6.328 dot 10^(-7), 1.021 dot 10^(-5)) approx 0.0620 "рад" approx 3.55 degree
$

$
alpha = 15 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 15^degree) approx 10.57 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.057 dot 10^(-5)) approx 0.0599 "рад" approx 3.43 degree
$

$
alpha = 30 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 30 degree) approx 11.79 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.179 dot 10^(-5)) approx 0.0537 "рад" approx 3.08 degree
$

$
alpha = 45 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 45 degree) approx 14.44 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.444 dot 10^(-5)) approx 0.0438 "рад" approx 2.51 degree
$

$
alpha = 60 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 60 degree) approx 20.42 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 2.042 dot 10^(-5)) approx 0.0310 "рад" approx 1.78 degree
$

Для одной щели ширина центрального максимума на экране определяется как расстояние между первыми минимумами по обе стороны от центра:

$
Delta x_"эксп" eq x_"мин"^((+1)) - x_"мин"^((-1))
$

где $x_"мин"^((plus.minus 1))$ - линейные координаты первых минимумов дифракционной картины.

По формуле для ширины центрального максимума: 

$
Delta x_"теор" eq frac(2 lambda L, b) eq frac(2 dot 6 dot 10^(-7) dot 1, 2 dot 10^(-4)) eq 6 "мм"
$

$
Delta x_"эксп" eq 3.1 - (-3.0) eq 6.1 "мм"
$

По интерференциальной формуле для $N$ щелей.

Для одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0)$, тогда для $N$ щелей: 

$
J_max^((N)) eq J_max^((1)) dot N^2
$

- Центральный максимум одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0) eq 1$
- Две щели: $frac(J_max^((2)), J_0) eq 4$
- Три щели: $frac(J_max^((3)), J_0) eq 9$
- Четыре щели: $frac(J_max^((4)), J_0) eq 16$

По формуле постоянной решетки: 

$
d eq frac(k lambda, sin theta_k)
$

Рассчитаем для $k eq 1$:

$
d eq frac(1 dot 632.8 "нм", sin 10 degree) approx 3.65 "мкм"
$

Для $k eq 2$: 

$
d eq frac(2 dot 632.8, sin 20 degree) approx 3.7 "мкм"
$

Для $k eq 3$:

$
d eq frac(3 dot 632.8, sin 30) approx 3.80 "мкм"
$

Постоянная решетки $d approx 3.7 "мкм"$.

Для двумерной дифракционной решетки максимумы распределяются по обеим осям, и их положение задаётся углами $theta_x$ и $theta_y$ или линейными координатами $x_1$, $y_1$ на экране.

По формуле для периода решетки по осям: 

$
d_1 eq frac(k_1 lambda L, x_1), space.quad d_2 eq frac(k_2 lambda L, y_1)
$

Подставив числа, получим: 

$
d_1 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 10) approx 63.3 "мкм" \
d_2 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 12) approx 52.7 "мкм"
$

=== Контрольные вопросы.

1. В чем заключается явление дифракции? 

  Дифракция -- это явление огибания волнами препятствий и проникновения в область геометрической тени, а также характерное изменение распределения интенсивности света, когда волна проходит через щели, отверстия или вокруг объектов, сопоставимых по размеру с длиной волны.

2. Объясните принцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.

  Принцип Гюйгенса–Френеля объясняет, как распространяются световые волны и как при этом возникает интерференция и дифракция.

  Каждая точка волнового фронта действует как источник вторичных сферических волн. Новый волновой фронт в следующий момент времени -- это огибающая всех вторичных волн, но вклад каждой точки складывается с учётом: амплитуды, фазы, расстояния до точки наблюдения, угла распространения.

  Поле в точке наблюдения $P$ определяется суперпозицией вкладов от всех точек $S$ на поверхности $Sigma$:

  $
  U(P) eq integral.double_Sigma U(S) K frac(e^(i k r), r) cos theta d S
  $

3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?

  Дифракция Френеля происходит тогда, когда источник света и/или экран находятся на конечном расстоянии от препятствия. Волновые фронты сферические, расстояния -- малые, геометрия -- неупрощённая.
  
  Условия: ближний источник, небольшое $L$, экран недалеко, волна не успевает превратиться в плоскую.
  
  Дифракция Фраунгофера -- это предельный случай, когда волновые фронты можно считать плоскими, а лучи -- параллельными.
  Система сильно упрощается.
  
  Условия: источник находится очень далеко или перед препятствием стоит линза, создающая плоский фронт, экран также очень далеко или используется линза для наблюдения в фокальной плоскости, расстояния большие, фронты -- плоские.

4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?

  Протяженный источник дает много разных направлений света, каждая точка источника создаёт свою дифракционную картину. Эти картины смещены и накладываются, полосы размываются и исчезают.
  
  Немонохроматический источник. Разные длины волн дают максимумы в разных местах. Картины для разных $lambda$ накладываются, тёмные полосы заполняются светом, контраст пропадает.

5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?

  Узкий параллельный пучок получают с коллиматором: источник, щель, линза, установленная так, чтобы щель находилась в её фокусе. Тогда выходящие лучи становятся почти параллельными.

6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?

  По принципу Гюйгенса–Френеля:
  
  Разделяем щель ширины $b$ на две половины. В направлении, где получится первый минимум, волны от двух половин должны гасить друг друга -- то есть приходить в противофазе.
  
  Это означает, что разность хода между краями половин равна $lambda/2$.
  
  Отсюда следует условие первого минимума:
  
  $
  b sin theta = lambda
  $

7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?

  Дифракционная картина смещается в сторону наклона: максимум и минимумы перемещаются, а сама форма остаётся такой же.

8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?

$I(phi) = I_0(sin(pi b/lambda sin phi)/(pi b/lambda sin phi))^2$


$phi$ - угол дифракции
9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?

а) если расширить - дифракционный максимум сузится, интерференционные полосы будут уже и ярче, если сузить - наоборот

б) увеличится резкость и интенсивность

в) интерференционная картина растянется на экране

г) аналогично пункту а

10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.

Интенсивность света становится равной нулю, потому что  векторы напряженности электрического поля лю
бых двух соседних лучей, имея одинаковые модули, колеблются в
противофазе, поэтому их геометрическая сумма равна нулю в любой момент времени. Сведенные в одну точку любые два соседних
луча «гасят» друг друга, имеют результирующую интенсивность
равную нулю.

$b sin phi_m = ±m lambda$

11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.

$I_N = I_phi (sin(pi N d / lambda sin phi) / (pi N d / lambda sin phi))^2$
12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?

13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.

14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?

15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?

16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.

17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.

18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?

19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?

