upd

course2/sem3/homework/solutions.typ

@@ -1,684 +0,0 @@
-#set page(numbering: "1")
-#set page(
-  paper: "a4",
-  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
-)
-#set text(
-  font: "New Computer Modern",
-  size: 14pt
-)
-#set par(
-  /*first-line-indent: (
-    amount: 1.5em,
-    all: true
-  ),*/
-  justify: true,
-  leading: 0.52em,
-)
-
-
-#align(center)[#text(size: 1.5em)[Домашняя работа. Дощенников Никита]]
-
-#outline(
-  title: []
-)
-
-#align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]
-
-#align(center)[===== №1] // ready
-
-Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/1.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Полусфера.]
-  ) <img1>
-]
-
-В системе СИ: $sigma eq 5 " нКл/м"^2 eq 5 dot 10^(-9) " Кл/м"^2$.
-
-В сферических координатах с центром в искомой точке. Зададим точку на сфере полярным углом $theta in [0, pi/2]$ и азимутальным $phi in [0, 2 pi]$. Тогда поверхностный элемент сферы $d S$ равен: 
-
-$
-d S eq R^2 sin theta d theta d phi.
-$
-
-Элемент заряда $d q$ равен: 
-
-$
-d q eq sigma d S eq sigma R^2 sin theta d theta d phi
-$
-
-Поле от элементарного заряда в центра по модулю равно: 
-
-$
-d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
-$
-
-Расписав составляющие (так как поле направлено к центру, значение с минусом): 
-
-$
-d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
-d E_y eq -k sigma sin^2 theta sin phi d theta d phi, \
-d E_z eq -k sigma sin theta cos theta d theta d phi
-$
-
-Проинтегрировав по всей полусфере, получим:
-
-$
-E_x eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi/2) d E_x eq -sigma k integral_0^(pi/2) sin^2 theta d theta integral_0^(2 pi) cos phi d phi.
-$
-
-Так как $integral_0^(2 pi) cos phi d phi eq 0$, то $E_x eq 0$. (Аналогично $E_y eq 0$). Остается только $z$-компонента:
-
-$
-E_z eq E eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi / 2) d E_z eq - sigma k integral_0^(2 pi) d phi integral_0^(pi / 2) sin theta cos theta d theta eq k sigma dot (2 pi) dot 1/2 eq sigma/(4 epsilon_0).
-$
-
-Подставив числа, получим: 
-
-$
-E eq frac(sigma, 4 epsilon_0) eq frac(5 dot 10^(-9), 4 dot 8.85 dot 10^(-12)) approx 141.2 "В/м" approx 0.14 "кВ/м".
-$
-
-*Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.
-
-#align(center)[===== №2] // ready
-
-Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напряжённости электростатического поля, как функцию $r$.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/2.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Область пространства.]
-  ) <img2>
-]
-
-По закону Гаусса: 
-
-$
-integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
-$
-
-
-
-Система обладает сферической симметрией. Модуль $E(r)$ одинаков по всей сфере радиуса $r$, тогда (площадь поверхности сферы $4 pi r^2$):
-
-$
-integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) integral.cont_S d S eq E(r) dot S eq E(r) dot 4 pi r^2
-$
-
-$
-E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
-$
-
-Заряд внутри радиуса $r$:
-
-$
-Q_"вн" (r) eq integral_(V_r) rho(r') d V eq integral_0^r rho (r') 4 pi r^('2) d r' eq 4 pi rho_0 integral_0^r r^('2) e^(-alpha r')^3 d r'.
-$
-
-Пусть $u eq alpha r^('3)$. 
-
-$
-d u eq 3 alpha r^('2) d r' arrow.double r^('2) d r' eq frac(d u, 3 alpha)
-$
-
-$
-Q_"вн" (r) eq 4 pi rho_0 dot frac(1, 3 alpha) integral_0^(alpha r^3) e^(-u) d u eq frac(4 pi rho_0, 3 alpha) (1 - e^(-alpha r^3))
-$
-
-Подставим в закон Гаусса: 
-
-$
-E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(frac(4 pi rho_0, 3 alpha)(1 minus e(minus alpha r^3)), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
-$
-
-*Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.
-
-#align(center)[===== №3] // ready
-
-Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/3.svg"),
-    caption: [Шар.],
-    supplement: [Рис.]
-  ) <img3>
-]
-
-
-Для $r lt.eq R$ используем закон Гаусса. Заряд, заключенный в сфере, радиуса $r$:
-
-$
-Q_"вн" eq rho dot 4/3 pi r^3.
-$
-
-Поток через сферу радиуса $r$ равен: 
-
-$
-integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
-$
-
-Отсюда можно выразить $E(r)$:
-
-$
-E(r) eq frac(Q_"вн", 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho^(4/3) pi r^3, 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)
-$
-
-Потенциал определяется как: 
-
-$
-phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) E(r) d r
-$
-
-Подставив $E(r) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)$:
-
-$
-Delta phi eq phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) frac(rho r, 3 epsilon_0) d r eq frac(rho, 6 epsilon_0) (r^2_2 - r^2_1)
-$
-
-Подставив числа, получим: 
-
-$
-Delta phi eq frac(10 dot 10^(-9), 6 dot 8.85 dot 10^(-12)) (0.15^2 - 0.01^2) "В" approx 4.2 "В".
-$
-
-*Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.
-
-#align(center)[===== №4] // ready
-
-Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $d_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/4.png"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Конденсатор.]
-  ) <img4>
-]
-
-При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $arrow(D)$ одинакова во всех слоях:
-
-$
-D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
-$
-
-Отсюда получаем связь между полями: 
-
-$
-epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_(r 2) E_2 arrow.double E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
-$
-
-Общая разность потенциалов $U$ равна: 
-
-$
-U eq E_1 d_1 + E_2 d_2.
-$
-
-Подставив $E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2$, получим: 
-
-$
-U eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2 d_1 + E_2 d_2 eq E_2(frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2)
-$
-
-Выражая $E_2$ и $E_1$:
-
-$
-E_2 eq frac(U, frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2), space.quad E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
-$
-
-Подставим числа из условия: 
-
-$
-E_1 approx 3.64 dot 10^4 "В/м" approx 36.4 "кВ/м", E_2 approx 1.27 dot 10^5 "В/м" approx 0.127 "МВ/м".
-$
-
-*Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.
-
-#align(center)[===== №5] // ready
-
-На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/5.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Схема с проводящей плоскостью и зарядами.]
-  ) <img5>
-]
-
-В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.
-
-По закону сохранения энергии: 
-
-$
-Delta E_K plus Delta E_P eq A_"тр" plus A_"вн"
-$
-
-Так как мы удаляем заряд медленно, то $Delta E_K eq 0$. Про трение ничего не сказано, поэтому $A_"тр" eq 1$. Тогда: 
-
-$
-A eq Delta E_P eq E_(P 2) minus E_(P 1)
-$
-
-На бесконечности ($E_(P 2)$) равна нулю так как $r eq infinity$, и в формуле $E_P eq k frac(q, r)$ стоит в знаменателе.
-
-Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.
-
-Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $E_P$ равна: 
-
-$
-E_P eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
-$
-
-Нужно учесть, что получившееся значение -- работа по удалению не одного, а двух зарядов. Тогда поделим значение на 2.
-
-
-Подставив числа, получим: 
-
-$
-A eq frac(q^2, 16 pi epsilon_0 l) eq frac(10^4 dot 10^(-12), 16 pi dot 8.85 dot 10^(-12) dot 1.5 dot 10^(-2)) approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
-$
-
-*Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.
-
-#align(center)[===== №6] // ready
-
-По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/6.png"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Проводник с током.]
-  ) <img6>
-]
-
-По формуле плотности тока: 
-
-$
-j eq rho U ", где" rho eq frac(q, l dot S) arrow.double j eq frac(q U, l S)
-$
-
-Так как $j eq I/S$ по определению, то можно выразить заряд:
-
-$
-j eq I/S eq frac(q U, l S) arrow.double q eq frac(I l, U) 
-$
-
-Масса всех электронов равна произведению их количества на массу одного электрона: 
-
-$
-m eq n_e dot m_e eq q/e m_e eq frac(I l, U e) m_e 
-$
-
-По формуле импульса: 
-
-$
-p eq m U eq frac(I l m_e, e)
-$
-
-Подставим числа из условия: 
-
-$
-p eq frac(10 dot 400 dot 9.1 dot 10^(-31), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.3 dot 10^(-8).
-$
-
-*Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.
-
-
-#align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]
-
-#align(center)[===== №1] // ready 
-
-Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
-
-*Решение*:
-
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/7.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Прямоугольный контур с током и его центр.]
-  ) <img7>
-]
-
-В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.
-
-По принципу суперпозиции для магнитного поля: 
-
-$
-arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4. 
-$
-
-Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:
-
-$
-B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
-eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
-$
-
-Подставив числа из условия, получим: 
-
-$
-B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1 
-$
-
-*Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.
-
-#align(center)[===== №2] // ready 
-
-Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.
-
-*Решение*:
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/9.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Два параллельных проводника с противоположными токами.]
-  ) <img9>
-]
-
-
-По формуле напряженности магнитного поля для прямого тока: 
-
-$
-H eq 2 pi r I
-$
-
-Результирующее поле направлено вниз: 
-
-$
-H eq (2I)/(2 pi r) cos pi/3 eq I/(2 pi r) 
-$
-
-Подставив числа из условия, получим: 
-
-$
-frac(10, 2 pi dot 0.2) approx 8 "А/м".
-$
-
-*Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.
-
-#align(center)[===== №3] // ready
-
-По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r arrow(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/8.svg"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Цилиндрический провод с током вдоль оси.]
-  ) <img8>
-]
-
-Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру: 
-
-$
-integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
-$
-
-Закон Ампера:
-
-$
-integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
-$
-
-где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.
-
-Отсюда: 
-
-$
-B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) I_"вн" (r)
-$
-
-Ток через круг радиуса $r$:
-
-$
-I_"вн" (r) eq integral.double_S_r j_z (r') d S eq integral_0^r integral_0^(2 pi) (alpha r') r' d phi d r'
-$
-
-$
-I_"вн" (r) eq alpha dot 2 pi integral_0^r r^('2) d r' eq alpha dot 2 pi dot frac(r^3, 3) eq frac(2 pi alpha r^3, 3).
-$
-
-Магнитная индукция внутри $r lt R$:
-
-$
-B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha r^3, 3) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3).
-$
-
-Магнитная индукция снаружи $r gt R$:
-
-$
-I eq I_"вн" (R) eq frac(2 pi alpha R^3, 3).
-$
-
-По закону Ампера для $r gt R$:
-
-$
-B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
-$
-
-*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) arrow(e)_phi, space arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) arrow(e)_phi$.
-
-#align(center)[===== №4] // ready 
-
-В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
-
-*Решение*: По формуле силы Лоренца: 
-
-$
-arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
-$
-
-До включения электрического поля:
-
-$
-arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
-$
-
-Частица движется по окружности
-
-$
-F_"маг" = q v B.
-$
-
-Сила Лоренца равна центростремительной силе: 
-
-$
-q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
-$
-
-Угловая частота: 
-
-$
-omega eq v/R eq frac(q B, m)
-$
-
-Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.
-
-За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится: 
-
-$
-v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
-$
-
-После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории. 
-
-Расстояние за один оборот:
-
-$
-h eq v T,
-$
-
-где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.
-
-Подставим: 
-
-$
-h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
-$
-
-Подставим числа: 
-
-$
-h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
-$
-
-*Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.
-
-#align(center)[===== №5] // ready
-
-Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/10.png"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
-  )
-]
-
-По формуле магнитного потока через плоскость: 
-
-$
-Phi eq B S cos alpha
-$
-
-Площадь рамки: 
-
-$
-S eq a^2 
-$
-
-Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:
-
-$
-Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
-$
-
-По закону Фарадея: 
-
-$
-cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
-$
-
-Подставив числа из условия, получим: 
-
-$
-cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
-$
-
-*Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.
-
-#align(center)[===== №6] // ready
-
-Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.
-
-*Решение*: 
-
-#align(center)[
-  #figure(
-    image("assets/12.png"),
-    supplement: [Рис.],
-    caption: [Катушка с током и однородным магнитным полем внутри.]
-  )
-]
-
-В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.
-
-По закону Ампера: 
-
-$
-integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"внутри"
-$
-
-Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $arrow(B) dot d arrow(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим: 
-
-$
-B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.
-$
-
-Энергия магнитного поля катушки: 
-
-$
-W eq 1/2 L I^2,
-$
-
-где $L$ - индуктивность катушки.
-
-По определению индуктивности: 
-
-$
-L eq frac(Phi, I), 
-$
-
-где $Phi$ - магнитный поток через катушку.
-
-Магнитный поток через все витки равен: 
-
-$
-Phi eq N dot B dot S,
-$
-
-где $N$ - число витков, $S$ - площадь поперечного сечения, $B$ - магнитное поле внутри катушки.
-
-$
-L eq frac(N B S, I).
-$
-
-Объем катушки $V eq S l$, число витков $N eq n l$. Подставим: 
-
-$
-L eq frac(n l B S, I) eq frac(B n S l, I).
-$
-
-Тогда энергия равна: 
-
-$
-W eq 1/2 L I^2 eq 1/2 frac(B n S l, I) I^2 eq 1/2 B n I S l
-$
-
-Объемная плотность энергии $w$ равна: 
-
-$
-w eq W/V eq frac(1/2 B n I S l, S l) eq 1/2 B n I
-$
-
-Подставим $B eq mu_0 n I$:
-
-$
-w eq 1/2 (mu_0 n I) n I eq 1/2 mu_0 n^2 I^2
-$
-
-Подставим числа: 
-
-$
-w eq 1/2 4 pi dot 10^(-7) dot (2500)^2 dot 2^2 eq 2 pi dot 10^(-7) dot 6.25 dot 10^6 dot 4 approx 16 " Дж/м"^3
-$
-
-*Ответ*: $omega approx 16 " Дж/м"^3$.

course2/sem3/practice/archive/solutions.typ

@@ -0,0 +1,523 @@
+#set page(numbering: "- 1 -")
+#set text(size: 1.3em)
+
+#align(center)[= _Задачи_]
+
+#align(center)[=== _Закон Кулона. Принцип суперпозиции_]
+
+*1*. _На шелковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^+$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^+$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое._ 
+
+*Решение*:
+
+На шар действуют следующие силы: 
+
+- Сила тяжести: $F_g = m g$ (действует вниз)
+- Сила натяжения нити: $T$ (действует вдоль нити)
+- Сила электрического отталкивания $F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$ (действует горизонтально, если шар $q_2$ подносят сбоку)
+
+Теперь нить отклонилась на угол $theta$ с вертикалью (под действием электрической силы).
+
+Найдем компоненты: 
+
+- Вертикальная: $T cos theta = m g$
+- Горизонтальная: $T sin theta = F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$
+
+Так как натяжение нити уменьшилось вдвое: $T = frac(m g, 2)$.
+
+Подставим в вертикальную компоненту: 
+
+$
+T cos theta = m g arrow.double frac(m g, 2) cos theta = m g arrow.double cos theta = 2
+$
+
+Так как $cos theta$ не может быть больше $1$, мы понимаем, что что-то не так...
+
+Используем теорему Пифагора для сил: 
+
+$
+T = sqrt((m g)^2 + F^2_e)
+$
+
+- Изначально $F_e = 0 arrow.double T_0 = m g$
+- Теперь $T = frac(m g, 2)$
+
+$
+T = sqrt((m g)^2 + F_e^2) = frac(m g, 2) arrow.double F_e^2 + (m g)^2 = (frac(m g, 2))^2 \
+F_e^2 = (frac(m g, 2))^2 - (m g)^2 = frac(m^2 g^2, 4) - m^2 g^2 = -frac(3m^2 g^2, 4)
+$
+
+Получилось отрицательное число...
+
+То есть: 
+
+$
+F_e = T_0 - T = m g - frac(m g, 2) = frac(m g, 2)
+$
+
+$
+F_e = k frac(q_1 q_2, l^2) = frac(m g, 2)
+$
+
+Отсюда: 
+
+$
+l^2 = frac(2 k q_1 q_2, m g) arrow.double l = sqrt(frac(2 k q_1 q_2, m g))
+$
+
+*Ответ*: $l = sqrt(frac(2 k q_1^+ q_2^+, m g))$
+
+#line(length: 100%)
+
+*2*. _К потолку в одной точке на шелковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Раастояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет виды: $v(x) = frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ - некоторая постоянная)._ 
+
+*Решение*:
+
+Для одного шарика вертикальная и горизонтальная составляющие сил дают: 
+
+- вертикальная: $T cos theta = m g$
+- горизонтальная: $T sin theta = F_e$
+
+гдe $F_e$ - кулоновская сила отталкивания между шариками: 
+
+$
+F_e = k frac(q^2, x^2)
+$
+
+При малом отклонении $sin theta approx tan theta approx frac(x/2, l) = frac(x, 2 l)$ (смещение одного шарика по горизонтали равно $x/2$). Подставим $T approx m g$ (поскольку $cos theta approx 1$) в горизонтальное уравнение: 
+
+$
+m g dot frac(x, 2 l) approx F_e = k frac(q^2, x^2)
+$
+
+Отсюда найдем зависимость $q$ от $x$:
+
+$
+k frac(q^2, x^2) = frac(m g x, 2 l) arrow.double q^2 = frac(m g, 2 k l) x^3
+$
+
+Значит 
+
+$
+q(x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(3/2)
+$
+
+По цепному правилу: 
+
+$
+frac(d q, d t) = frac(d q, d x) dot frac(d x, d t).
+$
+
+Вычислим производную по $x$:
+
+$
+frac(d q, d x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) dot 3/2 x^(1/2).
+$
+
+Теперь используем заданную скорость. Поскольку $v(x)$ дана как модуль скорости сближения, скорость изменения расстояния $x$ равна 
+
+$
+frac(d x, d t) = -frac(alpha, sqrt(x))
+$
+
+Подставляем: 
+
+$
+frac(d q, d t) = 3/2 sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(1/2) dot (-frac(alpha, sqrt(x))) = -frac(3, 2) alpha sqrt(frac(m g, 2 k l))
+$
+
+
+*Ответ*: $frac(d q, d t) = frac(3 alpha, 2)sqrt(frac(m g, 2 k l))$
+
+#line(length: 100%)
+*3*. _Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r_1)$ и $arrow(r_2)$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r_3)$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна $0$._
+
+*Решение*: 
+
+Чтобы сила на $q_1$ была нуль, векторная сумма сил от $q_2$ и $q_3$ на $q_1$ должна быть нулём. Это значит, что силы от $q_2$ и $q_3$ действуют вдоль одной линии и противоположны по направлению. Отсюда следует, что $arrow(r)_3$ лежит на прямой, проходящей через $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Аналогично для равновесия $q_2$. Поэтому $arrow(r)_3$ лежит на отрезке между $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$.
+
+Пусть $L = |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|$ — расстояние между первыми двумя зарядами. Обозначим
+
+$
+d_(13) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|, space.quad d_(23) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_2|.
+$
+
+Тогда $d_(13) + d_(23) = L$
+
+Уравнения равновесия
+
+Сила Кулона по модулю между точками $i$ и $j$ (в масштабе $k$):
+$
+F_(i j) = k frac(|q_i q_j|, d_(i j)^2).
+$
+
+Для заряда $q_1$: силы от $q_2$ и $q_3$ должны компенсировать друг друга, значит по модулю
+$
+k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_1 |q_3|, d_(13)^2).
+$
+Отсюда (сокращая $k$ и $q_1$, $q_1 > 0$):
+$
+frac(q_2, L^2) = frac(|q_3|, d_(13)^2).
+$
+Помня, что $q_3$ отрицателен, можно записать
+$
+q_3 = -q_2 frac(d_(13)^2, L^2). space.quad space.quad (1)
+$
+
+Аналогично для заряда $q_2$:
+$
+k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_2 |q_3|, d_(23)^2),
+$
+откуда (сократив $k$ и $q_2$):
+$
+frac(q_1, L^2) = frac(|q_3|, d_(23)^2) space.quad arrow.double space.quad q_3 = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2). space.quad space.quad (2)
+$
+
+Приравняем правые части (1) и (2) — обе равны $q_3$:
+$
+-q_2 frac(d_(13)^2, L^2) = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2) space.quad arrow.double space.quad q_2 d_(13)^2 = q_1 d_(23)^2.
+$
+
+Возвращаемся к параметризации расстояний: положим $d_(13) = t$. Тогда $d_(23) = L - t$. Подставим:
+$
+q_2 t^2 = q_1 (L-t)^2.
+$
+
+Возьмём корни (положительные, так как $t gt 0$, $L - t > 0$):
+$
+sqrt(q_2), t = sqrt(q_1) (L-t).
+$
+
+Решаем относительно $t$:
+$
+t(sqrt(q_2) + sqrt(q_1)) = sqrt(q_1) L space.quad arrow.double space.quad t = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)) L.
+$
+
+Теперь вернёмся к векторной форме: точка $arrow(r)_3$ находится на отрезке $arrow(r)_1 arrow arrow(r)_2$ на расстоянии $t$ от $arrow(r)_1$. Значит
+$
+arrow(r)_3 = arrow(r)_1 + frac(t, L)(arrow(r)_2 - arrow(r)_1) = arrow(r)_1 + frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))(arrow(r)_2 - arrow(r)_1).
+$
+
+Разворачивая:
+
+$
+arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1  ,  sqrt(q_1) + sqrt(q_2)).
+$
+
+Наконец, подставим $t/L = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$ в (1) для $q_3$:
+$
+q_3 = -q_2 (t/L)^2 = -q_2(frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)))^2 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
+$
+
+*Ответ*: $q_3 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$
+
+#line(length: 100%)
+
+*4*. _Точечный заряд $q = 50$ мкКл расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 = 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряженность $arrow(E)$ электрического поля и ее модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) - 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах._
+
+*Решение*:
+
+Найдём вектор $arrow(R)$ — радиус-вектор от заряда до точки наблюдения:
+$
+arrow(R) = arrow(r) - arrow(r)_0 = (8-2, -5-3) = (6, -8) "м".
+$
+
+Длина вектора
+$
+R=|arrow(R)| = sqrt(6^2+(-8)^2) = sqrt(36+64) = sqrt(100) = 10 "м".
+$
+
+Постоянная Кулона (в СИ):
+$
+k = frac(1, 4 pi epsilon_0) approx 8.9875517923 times 10^9 frac("Н" dot "м"^2, "Кл"^2).
+$
+
+Поле точечного заряда:
+$
+arrow(E)(arrow(r)) = k q frac(arrow(R), R^3).
+$
+
+Вычислим по шагам.
+
+1. $k q = 8.9875517923 times 10^9 dot 50 times 10^(-6) = 449377.589615$.
+
+2. $R^3 = 10^3 = 1000$.
+
+3. множитель перед вектором $arrow(R)$:
+$
+frac(k q, R^3) = frac(449377.589615, 1000) = 449.377589615.
+$
+
+4. Компоненты поля:
+$
+E_x = 449.377589615 dot 6 = 2696.26553769 "В/м",
+$
+$
+E_y = 449.377589615 dot (-8) = -3595.02071692 "В/м".
+$
+
+5. Модуль поля:
+$
+|arrow(E)| = sqrt(E_x^2 + E_y^2) = sqrt(2696.2655^2 + (-3595.0207)^2) = 4493.77589615 "В/м".
+$
+
+*Ответ*: $E = 4.5 "кВ/м"; arrow(E) = 2.7 arrow(i) - 3.6 arrow(j)$
+
+#line(length: 100%)
+*5*. _Точечные заряды $q^((+))$ и $q^((-))$ расположены по углам квадрата, диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин._
+
+#align(center)[#image("assets/1.png")]
+
+*Решение*:
+
+Положение вершин и параметры
+
+Диагональ квадрата = $2 l$. Пусть центр квадрата — начало координат, стороны параллельны осям $x, y$. Тогда координаты вершин можно взять как
+$
+(plus.minus a, plus.minus a, 0),
+$
+где
+$
+a = frac(l, sqrt(2))
+$
+
+Пусть заряды:
+
+- в верхних вершинах ($ -a, +a, 0$) и ($+a, +a, 0$) — по $+q$;
+- в нижних вершинах ($ -a, -a, 0$) и ($+a, -a, 0$) — по $-q$.
+
+Точка наблюдения (вершина «пирамиды») находится на оси, проходящей через центр и перпендикулярно плоскости квадрата:
+$
+P(0,0,x).
+$
+
+Расстояние от любой вершины до точки $P$:
+$
+R = sqrt(a^2+a^2+x^2) = sqrt(2a^2+x^2) = sqrt(l^2+x^2).
+$
+
+Поле от одной вершины — векторная форма
+
+Поле точечного заряда $q_i$ в точке $P$ равно
+$
+arrow(E)_i = k frac(q_i, R^3) arrow(R)_i,
+$
+где $arrow(R)_i$ — вектор от вершины к точке $P$.
+
+Возьмём, например, вершину ($+a,+a,0$) с зарядом $+q$. Тогда
+$
+arrow(R) = (0 - a, 0 - a, x - 0) = (-a, -a, x).
+$
+Компоненты поля от этой вершины:
+$
+E_x^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
+E_y^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
+E_z^((1)) = k frac(q x, R^3).
+$
+
+Аналогично для остальных вершин — запишем вклады по компонентам и просуммируем, учитывая знаки зарядов.
+
+Суммирование вкладов — симметрия
+
+Из симметрии видно:
+
+- $x$ - компоненты от вершин попарно отменяются (пары ($+a,+a$) и ($+a,-a$) дают противоположные $x$-компоненты с одинаковыми коэффициентами и одинаковыми зарядами по модулю — суммарно ноль).
+- вертикальные ($z$) компоненты: верхние вершины дают вклад $+ k frac(q x, R^3)$ каждая, нижние — дают вклад $-q$ каждое, то есть вклад нижних равен $-k frac(q x, R^3)$ для каждой; суммарно $E_z = k frac(q x, R^3) + k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) = 0$. Иначе говоря, вертикальные компоненты компенсируются, потому что суммарный заряд равен нулю (две + и две −).
+- $y$ - компоненты не компенсируются, а складываются с одинаковым знаком. Посчитаем их.
+
+Возьмём по очереди все четыре угла. Для вершины ($+a,+a$) с $+q$ её $y$ - компонента равна
+$
+E_y^((+a,+a)) = k frac(q(-a), R^3).
+$
+Для вершины ($-a,+a$) с $+q$: $E_y^((-a,+a)) = k frac(q(-a), R^3)$. Их сумма даёт $2 dot k frac(q(-a), R^3)$.
+
+Для нижних вершин с зарядом $-q$:
+
+- вершина ($+a,-a$): вектор $arrow(R) = (-a, +a, x)$ (заметим: её $y$ - компонента равна $+a$), и заряд $-q$ даёт вклад $E_y^((+a,-a)) = (-q) dot k frac(+a, R^3) = -k frac(q a, R^3)$.
+- вершина ($-a,-a$): аналогично даёт $-k frac(q a, R^3)$.
+
+Сумма вкладов от нижних вершин: $-2 k frac(q a, R^3)$. Но обратим внимание: при записи выше знаки «минус» в координатах и знак заряда дают плюс в результате (следует внимательно проследить направление векторов). Если аккуратно пройти по всем четырём, то итоговая сумма $y$-компонент равна
+$
+E_y = 4 k frac(q a, R^3).
+$
+(Короткая проверка знаков: для верхних вершин $y$-вклад направлен в отрицательную сторону $y$ (т.к. вектор от вершины к точке имеет $y$-компонент $-a$), а для нижних вершин заряд отрицательный, и отрицательный заряд умноженный на положительную геометрическую $y$-компонент даёт тоже отрицательный вклад; все четыре вклада ориентированы в одну сторону — поэтому складываются.)
+
+Компоненты $x$ суммарно 0, $z$ суммарно 0, остаётся единственная ненулевая компонента $y$.
+
+Подставляем $a = frac(l, sqrt(2))$ и $R = sqrt(l^2+x^2)$
+
+$
+E = |E_y| = 4 k frac(q a, R^3) = 4 k frac(q, R^3) dot frac(l, sqrt(2)) = k frac(4, sqrt(2)) frac(q l, (l^2 + x^2)^(3/2)).
+$
+Упростим коэффициент:
+$
+frac(4, sqrt(2)) = 2 sqrt(2).
+$
+
+*Ответ*: $E = k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 + x^2)^(3/2))$
+
+#line(length: 100%)
+/*
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+*/
+
+#align(center)[=== _Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса_]
+
+*1*. _Напряженность электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2)$, где $alpha = "const"$, a $arrow(i), arrow(j)$ - орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат._ 
+
+*Решение*: Преобразуем $arrow(E)$:
+
+$
+arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2) = frac(alpha (x arrow(i) + y arrow(j)), x^2 + y^2) = frac(alpha arrow(r), r^2)
+$
+
+Будем использовать сферические координаты: 
+
+$
+x = R sin theta cos phi \
+y = R sin theta sin phi \
+z = R cos theta
+$
+
+
+*Ответ*: $P = 4 pi alpha R$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*2*. _Объемная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) = rho_0 (1 - r/R)$, где $rho_0 = "const"$. Найти:_
+
+- _модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;_
+- _максимальное значение модуля напряженности $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$._
+
+_Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$._
+
+*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) = frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 - frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) = frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max = 2/3 R, space.quad E_r (r_max) = frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.
+
+*3*. _Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 " м"$, объемная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряженности электрического поля:_ 
+
+- _на расстоянии $r = 0.1 " м"$ от центра шара;_
+- _на поверхности шара;_
+- _на расстоянии $r = 0.25 " м"$ от центра шара;_
+
+_Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$._
+
+*Ответ*: $E(0.1) approx 15 " В/м"$, $E(0.2) approx 30 " В/м" (r lt.eq R)$, $E(0.25) approx 96 " В/м"$, $E(0.2) approx 151 " В/м" (r gt.eq R)$. 
+
+*4*. _Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещен в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon = 1$. Среда заполнена зарядом, объемная плотность которого $rho = alpha/r$, где $alpha$ - постоянная, а $r$ - расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от $r$._ 
+
+*Ответ*: $q = 2 pi alpha R^2$.
+
+*5*. _Система представлена областью пространства. По пространству распределен заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho = rho_0 "exp"(-alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряженности, как функцию $r$._
+
+*Ответ*: $E_r = frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - "exp"(-alpha r^3))$.
+
+*6*. _Рассчитать напряженность электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $sigma$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+
+- _с использованием закона Кулона;_
+- _с использованием теоремы Гаусса._
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.
+
+*7*. _Рассчитать напряженность электростатического поля создаваемого бесконечно длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $lambda$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+
+- _с использованием закона Кулона;_
+- _с использованием теоремы Гаусса._
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.
+
+*8*. _Рассчитать вектор напряженности электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объемной плотностью $rho$ и $-rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$._ 
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.
+
+*9*. _Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) = frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ - постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике._
+
+

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -1,523 +1,383 @@
-#set page(numbering: "- 1 -")
+#set text(
-#set text(size: 1.3em)
+  font: "New Computer Modern",
+  size: 14pt
+)
 
-#align(center)[= _Задачи_]
+#set page(
+  paper: "a4",
+  numbering: "1"
+)
 
-#align(center)[=== _Закон Кулона. Принцип суперпозиции_]
+#set par(
+  justify: true,
+  leading: 0.52em
+)
 
-*1*. _На шелковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^+$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^+$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое._ 
+#outline(
+  title: "Содержание"
+)
 
-*Решение*:
+#pagebreak()
 
-На шар действуют следующие силы: 
+#align(center)[= Постоянное магнитное поле]
 
-- Сила тяжести: $F_g = m g$ (действует вниз)
+#align(center)[=== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]
-- Сила натяжения нити: $T$ (действует вдоль нити)
-- Сила электрического отталкивания $F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$ (действует горизонтально, если шар $q_2$ подносят сбоку)
 
-Теперь нить отклонилась на угол $theta$ с вертикалью (под действием электрической силы).
+#align(center)[===== №1]
 
-Найдем компоненты: 
+*Условие*: Заряженная элементарная частица движется со скоростью, модуль которой $v eq 900 "м/c"$. В некоторый момент в точке наблюдения $P$ модуль напряжённости электрического поля этой частицы $E eq 600 "В/м"$, а угол между векторами скорости и напряжённости $alpha eq 30 degree$. Рассчитать индукцию магнитного поля данной частицы.
-
-- Вертикальная: $T cos theta = m g$
-- Горизонтальная: $T sin theta = F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$
-
-Так как натяжение нити уменьшилось вдвое: $T = frac(m g, 2)$.
-
-Подставим в вертикальную компоненту: 
-
-$
-T cos theta = m g arrow.double frac(m g, 2) cos theta = m g arrow.double cos theta = 2
-$
-
-Так как $cos theta$ не может быть больше $1$, мы понимаем, что что-то не так...
-
-Используем теорему Пифагора для сил: 
-
-$
-T = sqrt((m g)^2 + F^2_e)
-$
-
-- Изначально $F_e = 0 arrow.double T_0 = m g$
-- Теперь $T = frac(m g, 2)$
-
-$
-T = sqrt((m g)^2 + F_e^2) = frac(m g, 2) arrow.double F_e^2 + (m g)^2 = (frac(m g, 2))^2 \
-F_e^2 = (frac(m g, 2))^2 - (m g)^2 = frac(m^2 g^2, 4) - m^2 g^2 = -frac(3m^2 g^2, 4)
-$
-
-Получилось отрицательное число...
-
-То есть: 
-
-$
-F_e = T_0 - T = m g - frac(m g, 2) = frac(m g, 2)
-$
-
-$
-F_e = k frac(q_1 q_2, l^2) = frac(m g, 2)
-$
-
-Отсюда: 
-
-$
-l^2 = frac(2 k q_1 q_2, m g) arrow.double l = sqrt(frac(2 k q_1 q_2, m g))
-$
-
-*Ответ*: $l = sqrt(frac(2 k q_1^+ q_2^+, m g))$
-
-#line(length: 100%)
-
-*2*. _К потолку в одной точке на шелковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Раастояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет виды: $v(x) = frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ - некоторая постоянная)._ 
-
-*Решение*:
-
-Для одного шарика вертикальная и горизонтальная составляющие сил дают: 
-
-- вертикальная: $T cos theta = m g$
-- горизонтальная: $T sin theta = F_e$
-
-гдe $F_e$ - кулоновская сила отталкивания между шариками: 
-
-$
-F_e = k frac(q^2, x^2)
-$
-
-При малом отклонении $sin theta approx tan theta approx frac(x/2, l) = frac(x, 2 l)$ (смещение одного шарика по горизонтали равно $x/2$). Подставим $T approx m g$ (поскольку $cos theta approx 1$) в горизонтальное уравнение: 
-
-$
-m g dot frac(x, 2 l) approx F_e = k frac(q^2, x^2)
-$
-
-Отсюда найдем зависимость $q$ от $x$:
-
-$
-k frac(q^2, x^2) = frac(m g x, 2 l) arrow.double q^2 = frac(m g, 2 k l) x^3
-$
-
-Значит 
-
-$
-q(x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(3/2)
-$
-
-По цепному правилу: 
-
-$
-frac(d q, d t) = frac(d q, d x) dot frac(d x, d t).
-$
-
-Вычислим производную по $x$:
-
-$
-frac(d q, d x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) dot 3/2 x^(1/2).
-$
-
-Теперь используем заданную скорость. Поскольку $v(x)$ дана как модуль скорости сближения, скорость изменения расстояния $x$ равна 
-
-$
-frac(d x, d t) = -frac(alpha, sqrt(x))
-$
-
-Подставляем: 
-
-$
-frac(d q, d t) = 3/2 sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(1/2) dot (-frac(alpha, sqrt(x))) = -frac(3, 2) alpha sqrt(frac(m g, 2 k l))
-$
-
-
-*Ответ*: $frac(d q, d t) = frac(3 alpha, 2)sqrt(frac(m g, 2 k l))$
-
-#line(length: 100%)
-*3*. _Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r_1)$ и $arrow(r_2)$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r_3)$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна $0$._
 
 *Решение*: 
 
-Чтобы сила на $q_1$ была нуль, векторная сумма сил от $q_2$ и $q_3$ на $q_1$ должна быть нулём. Это значит, что силы от $q_2$ и $q_3$ действуют вдоль одной линии и противоположны по направлению. Отсюда следует, что $arrow(r)_3$ лежит на прямой, проходящей через $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Аналогично для равновесия $q_2$. Поэтому $arrow(r)_3$ лежит на отрезке между $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$.
+*Ответ*: $B eq 3 "пТл"$.
-
-Пусть $L = |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|$ — расстояние между первыми двумя зарядами. Обозначим
-
-$
-d_(13) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|, space.quad d_(23) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_2|.
-$
-
-Тогда $d_(13) + d_(23) = L$
 
-Уравнения равновесия
+#align(center)[===== №2]
-
-Сила Кулона по модулю между точками $i$ и $j$ (в масштабе $k$):
-$
-F_(i j) = k frac(|q_i q_j|, d_(i j)^2).
-$
-
-Для заряда $q_1$: силы от $q_2$ и $q_3$ должны компенсировать друг друга, значит по модулю
-$
-k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_1 |q_3|, d_(13)^2).
-$
-Отсюда (сокращая $k$ и $q_1$, $q_1 > 0$):
-$
-frac(q_2, L^2) = frac(|q_3|, d_(13)^2).
-$
-Помня, что $q_3$ отрицателен, можно записать
-$
-q_3 = -q_2 frac(d_(13)^2, L^2). space.quad space.quad (1)
-$
-
-Аналогично для заряда $q_2$:
-$
-k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_2 |q_3|, d_(23)^2),
-$
-откуда (сократив $k$ и $q_2$):
-$
-frac(q_1, L^2) = frac(|q_3|, d_(23)^2) space.quad arrow.double space.quad q_3 = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2). space.quad space.quad (2)
-$
 
-Приравняем правые части (1) и (2) — обе равны $q_3$:
+*Условие*: Используя закон Био-Савара, получить формулу для рассчёта модуля вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$, протекающем в линейном бесконечном проводнике в точке, расположенной на расстоянии $r_0$ от проводника.
-$
--q_2 frac(d_(13)^2, L^2) = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2) space.quad arrow.double space.quad q_2 d_(13)^2 = q_1 d_(23)^2.
-$
-
-Возвращаемся к параметризации расстояний: положим $d_(13) = t$. Тогда $d_(23) = L - t$. Подставим:
-$
-q_2 t^2 = q_1 (L-t)^2.
-$
 
-Возьмём корни (положительные, так как $t gt 0$, $L - t > 0$):
+*Решение*: 
-$
-sqrt(q_2), t = sqrt(q_1) (L-t).
-$
 
-Решаем относительно $t$:
+*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r_0)$.
-$
-t(sqrt(q_2) + sqrt(q_1)) = sqrt(q_1) L space.quad arrow.double space.quad t = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)) L.
-$
 
-Теперь вернёмся к векторной форме: точка $arrow(r)_3$ находится на отрезке $arrow(r)_1 arrow arrow(r)_2$ на расстоянии $t$ от $arrow(r)_1$. Значит
-$
-arrow(r)_3 = arrow(r)_1 + frac(t, L)(arrow(r)_2 - arrow(r)_1) = arrow(r)_1 + frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))(arrow(r)_2 - arrow(r)_1).
-$
 
-Разворачивая:
+#align(center)[===== №3]
 
-$
+*Условие*:  Рассчитать модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого конечным прямолинейным участком проводника, длины $l$, по которому протекает ток $I$, в точке отстоящей на произвольном расстоянии $r_0$ от оси проводника.
-arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1  ,  sqrt(q_1) + sqrt(q_2)).
-$
 
-Наконец, подставим $t/L = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$ в (1) для $q_3$:
+*Решение*: 
-$
-q_3 = -q_2 (t/L)^2 = -q_2(frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)))^2 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
-$
-
-*Ответ*: $q_3 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$
-
-#line(length: 100%)
-
-*4*. _Точечный заряд $q = 50$ мкКл расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 = 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряженность $arrow(E)$ электрического поля и ее модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) - 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах._
-
-*Решение*:
-
-Найдём вектор $arrow(R)$ — радиус-вектор от заряда до точки наблюдения:
-$
-arrow(R) = arrow(r) - arrow(r)_0 = (8-2, -5-3) = (6, -8) "м".
-$
-
-Длина вектора
-$
-R=|arrow(R)| = sqrt(6^2+(-8)^2) = sqrt(36+64) = sqrt(100) = 10 "м".
-$
-
-Постоянная Кулона (в СИ):
-$
-k = frac(1, 4 pi epsilon_0) approx 8.9875517923 times 10^9 frac("Н" dot "м"^2, "Кл"^2).
-$
-
-Поле точечного заряда:
-$
-arrow(E)(arrow(r)) = k q frac(arrow(R), R^3).
-$
-
-Вычислим по шагам.
-
-1. $k q = 8.9875517923 times 10^9 dot 50 times 10^(-6) = 449377.589615$.
-
-2. $R^3 = 10^3 = 1000$.
-
-3. множитель перед вектором $arrow(R)$:
-$
-frac(k q, R^3) = frac(449377.589615, 1000) = 449.377589615.
-$
-
-4. Компоненты поля:
-$
-E_x = 449.377589615 dot 6 = 2696.26553769 "В/м",
-$
-$
-E_y = 449.377589615 dot (-8) = -3595.02071692 "В/м".
-$
-
-5. Модуль поля:
-$
-|arrow(E)| = sqrt(E_x^2 + E_y^2) = sqrt(2696.2655^2 + (-3595.0207)^2) = 4493.77589615 "В/м".
-$
 
-*Ответ*: $E = 4.5 "кВ/м"; arrow(E) = 2.7 arrow(i) - 3.6 arrow(j)$
+*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi r_0) (cos alpha_1 plus cos alpha_2)$. 
 
-#line(length: 100%)
-*5*. _Точечные заряды $q^((+))$ и $q^((-))$ расположены по углам квадрата, диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин._
 
-#align(center)[#image("assets/1.png")]
+#align(center)[===== №4]
 
-*Решение*:
+*Условие*: Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
 
-Положение вершин и параметры
+*Решение*: 
 
-Диагональ квадрата = $2 l$. Пусть центр квадрата — начало координат, стороны параллельны осям $x, y$. Тогда координаты вершин можно взять как
+*Ответ*: $B eq 0.1 "мТл"$.
-$
-(plus.minus a, plus.minus a, 0),
-$
-где
-$
-a = frac(l, sqrt(2))
-$
 
-Пусть заряды:
 
-- в верхних вершинах ($ -a, +a, 0$) и ($+a, +a, 0$) — по $+q$;
+#align(center)[===== №5]
-- в нижних вершинах ($ -a, -a, 0$) и ($+a, -a, 0$) — по $-q$.
 
-Точка наблюдения (вершина «пирамиды») находится на оси, проходящей через центр и перпендикулярно плоскости квадрата:
+*Условие*: 
-$
-P(0,0,x).
-$
 
-Расстояние от любой вершины до точки $P$:
+*Решение*: 
-$
-R = sqrt(a^2+a^2+x^2) = sqrt(2a^2+x^2) = sqrt(l^2+x^2).
-$
 
-Поле от одной вершины — векторная форма
+*Ответ*:
 
-Поле точечного заряда $q_i$ в точке $P$ равно
+#align(center)[===== №6]
-$
-arrow(E)_i = k frac(q_i, R^3) arrow(R)_i,
-$
-где $arrow(R)_i$ — вектор от вершины к точке $P$.
 
-Возьмём, например, вершину ($+a,+a,0$) с зарядом $+q$. Тогда
+*Условие*: 
-$
-arrow(R) = (0 - a, 0 - a, x - 0) = (-a, -a, x).
-$
-Компоненты поля от этой вершины:
-$
-E_x^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
-E_y^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
-E_z^((1)) = k frac(q x, R^3).
-$
 
-Аналогично для остальных вершин — запишем вклады по компонентам и просуммируем, учитывая знаки зарядов.
+*Решение*: 
 
-Суммирование вкладов — симметрия
+*Ответ*:
 
-Из симметрии видно:
 
-- $x$ - компоненты от вершин попарно отменяются (пары ($+a,+a$) и ($+a,-a$) дают противоположные $x$-компоненты с одинаковыми коэффициентами и одинаковыми зарядами по модулю — суммарно ноль).
+#align(center)[===== №7]
-- вертикальные ($z$) компоненты: верхние вершины дают вклад $+ k frac(q x, R^3)$ каждая, нижние — дают вклад $-q$ каждое, то есть вклад нижних равен $-k frac(q x, R^3)$ для каждой; суммарно $E_z = k frac(q x, R^3) + k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) = 0$. Иначе говоря, вертикальные компоненты компенсируются, потому что суммарный заряд равен нулю (две + и две −).
-- $y$ - компоненты не компенсируются, а складываются с одинаковым знаком. Посчитаем их.
 
-Возьмём по очереди все четыре угла. Для вершины ($+a,+a$) с $+q$ её $y$ - компонента равна
+*Условие*: 
-$
-E_y^((+a,+a)) = k frac(q(-a), R^3).
-$
-Для вершины ($-a,+a$) с $+q$: $E_y^((-a,+a)) = k frac(q(-a), R^3)$. Их сумма даёт $2 dot k frac(q(-a), R^3)$.
 
-Для нижних вершин с зарядом $-q$:
+*Решение*: 
 
-- вершина ($+a,-a$): вектор $arrow(R) = (-a, +a, x)$ (заметим: её $y$ - компонента равна $+a$), и заряд $-q$ даёт вклад $E_y^((+a,-a)) = (-q) dot k frac(+a, R^3) = -k frac(q a, R^3)$.
+*Ответ*:
-- вершина ($-a,-a$): аналогично даёт $-k frac(q a, R^3)$.
 
-Сумма вкладов от нижних вершин: $-2 k frac(q a, R^3)$. Но обратим внимание: при записи выше знаки «минус» в координатах и знак заряда дают плюс в результате (следует внимательно проследить направление векторов). Если аккуратно пройти по всем четырём, то итоговая сумма $y$-компонент равна
-$
-E_y = 4 k frac(q a, R^3).
-$
-(Короткая проверка знаков: для верхних вершин $y$-вклад направлен в отрицательную сторону $y$ (т.к. вектор от вершины к точке имеет $y$-компонент $-a$), а для нижних вершин заряд отрицательный, и отрицательный заряд умноженный на положительную геометрическую $y$-компонент даёт тоже отрицательный вклад; все четыре вклада ориентированы в одну сторону — поэтому складываются.)
 
-Компоненты $x$ суммарно 0, $z$ суммарно 0, остаётся единственная ненулевая компонента $y$.
+#align(center)[===== №8]
 
-Подставляем $a = frac(l, sqrt(2))$ и $R = sqrt(l^2+x^2)$
 
-$
+*Условие*: 
-E = |E_y| = 4 k frac(q a, R^3) = 4 k frac(q, R^3) dot frac(l, sqrt(2)) = k frac(4, sqrt(2)) frac(q l, (l^2 + x^2)^(3/2)).
-$
-Упростим коэффициент:
-$
-frac(4, sqrt(2)) = 2 sqrt(2).
-$
 
-*Ответ*: $E = k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 + x^2)^(3/2))$
+*Решение*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Ответ*:
-/*
-**. __
 
-*Решение*:
+#align(center)[===== №9]
 
-*Ответ*: 
+*Условие*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Решение*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Ответ*:
 
-*Ответ*: 
 
-#line(length: 100%)
+#align(center)[===== №10]
-**. __
 
-*Решение*:
 
-*Ответ*: 
+*Условие*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Решение*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Ответ*:
 
-*Ответ*: 
 
-#line(length: 100%)
+#align(center)[=== Закон полного тока]
-**. __
 
-*Решение*:
+#align(center)[===== №1]
 
-*Ответ*: 
+*Условие*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Решение*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Ответ*:
 
-*Ответ*: 
 
-#line(length: 100%)
+#align(center)[===== №2]
-**. __
 
-*Решение*:
+*Условие*: 
 
-*Ответ*: 
+*Решение*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Ответ*:
-**. __
 
-*Решение*:
 
-*Ответ*: 
+#align(center)[===== №3]
 
-#line(length: 100%)
+*Условие*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Решение*: 
 
-*Ответ*: 
+*Ответ*:
 
-#line(length: 100%)
-**. __
 
-*Решение*:
+#align(center)[===== №4]
 
-*Ответ*: 
+*Условие*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Решение*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Ответ*:
 
-*Ответ*: 
+#align(center)[===== №5]
 
-#line(length: 100%)
+*Условие*: 
-**. __
 
-*Решение*:
+*Решение*: 
 
-*Ответ*: 
+*Ответ*:
 
-#line(length: 100%)
-**. __
 
-*Решение*:
+#align(center)[===== №6]
 
-*Ответ*: 
+*Условие*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Решение*: 
-*/
 
-#align(center)[=== _Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса_]
+*Ответ*:
 
-*1*. _Напряженность электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2)$, где $alpha = "const"$, a $arrow(i), arrow(j)$ - орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат._ 
+#align(center)[===== №7]
 
-*Решение*: Преобразуем $arrow(E)$:
+*Условие*: 
 
-$
+*Решение*: 
-arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2) = frac(alpha (x arrow(i) + y arrow(j)), x^2 + y^2) = frac(alpha arrow(r), r^2)
-$
 
-Будем использовать сферические координаты: 
+*Ответ*:
 
-$
+#align(center)[===== №8]
-x = R sin theta cos phi \
-y = R sin theta sin phi \
-z = R cos theta
-$
 
+*Условие*: 
 
-*Ответ*: $P = 4 pi alpha R$.
+*Решение*: 
 
-#line(length: 100%)
+*Ответ*:
 
-*2*. _Объемная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) = rho_0 (1 - r/R)$, где $rho_0 = "const"$. Найти:_
+#align(center)[===== №9]
 
-- _модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;_
+*Условие*: 
-- _максимальное значение модуля напряженности $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$._
 
-_Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$._
+*Решение*: 
 
-*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) = frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 - frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) = frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max = 2/3 R, space.quad E_r (r_max) = frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.
+*Ответ*:
 
-*3*. _Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 " м"$, объемная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряженности электрического поля:_ 
 
-- _на расстоянии $r = 0.1 " м"$ от центра шара;_
+#align(center)[=== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]
-- _на поверхности шара;_
-- _на расстоянии $r = 0.25 " м"$ от центра шара;_
 
-_Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$._
+#align(center)[===== №1]
 
-*Ответ*: $E(0.1) approx 15 " В/м"$, $E(0.2) approx 30 " В/м" (r lt.eq R)$, $E(0.25) approx 96 " В/м"$, $E(0.2) approx 151 " В/м" (r gt.eq R)$. 
+*Условие*: 
 
-*4*. _Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещен в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon = 1$. Среда заполнена зарядом, объемная плотность которого $rho = alpha/r$, где $alpha$ - постоянная, а $r$ - расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от $r$._ 
+*Решение*: 
 
-*Ответ*: $q = 2 pi alpha R^2$.
+*Ответ*:
 
-*5*. _Система представлена областью пространства. По пространству распределен заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho = rho_0 "exp"(-alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряженности, как функцию $r$._
+#align(center)[===== №2]
 
-*Ответ*: $E_r = frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - "exp"(-alpha r^3))$.
+*Условие*: 
 
-*6*. _Рассчитать напряженность электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $sigma$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+*Решение*: 
 
-- _с использованием закона Кулона;_
+*Ответ*:
-- _с использованием теоремы Гаусса._
 
-*Ответ*: $arrow(E) = frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.
+#align(center)[===== №3]
 
-*7*. _Рассчитать напряженность электростатического поля создаваемого бесконечно длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $lambda$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+*Условие*: 
 
-- _с использованием закона Кулона;_
+*Решение*: 
-- _с использованием теоремы Гаусса._
 
-*Ответ*: $arrow(E) = frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.
+*Ответ*:
 
-*8*. _Рассчитать вектор напряженности электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объемной плотностью $rho$ и $-rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$._ 
+#align(center)[===== №4]
 
-*Ответ*: $arrow(E) = frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.
+*Условие*: 
 
-*9*. _Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) = frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ - постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике._
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №6]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №7]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №8]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №9]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[=== Частица в магнитном поле]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[=== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[= Электромагнитная индукция]
+
+#align(center)[=== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №6]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №7]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №8]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №9]
+
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: