upd

course2/sem3/exam/scripts/2.py

@@ -0,0 +1,18 @@
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+E = 1.0   
+r = 1.0   
+
+R = np.linspace(0.001, 5, 500)
+
+P = E**2 * R / (R + r)**2
+
+plt.plot(R, P)
+plt.xlabel("R")
+plt.ylabel("P(R)")
+plt.grid(True)
+
+plt.savefig("2.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
+plt.show()
+

course2/sem3/exam/tasks.typ

@@ -144,13 +144,248 @@ $
 Phi_1 eq q/(6 dot epsilon_0).
 $
 
+#line(length: 100%)
+
 === Укажите все верные утверждения. В однородном изотропном диэлектрике, который помещен в однородное электрическое поле.
 
 1. $"div" arrow(E) eq rho_"своб"$
 2. $"div" arrow(P) eq -rho_"своб"$
 *3. $"div" arrow(D) eq rho_"своб"$*
+
 *4. $"div" arrow(P) eq -rho_"связ"$*
 5. $"div" arrow(D) eq 0$
 
-*Ответ*: 
+*Ответ*: Плотность связанных зарядов определяется формулой: 
 
+$
+rho_"связ" eq - "div" arrow(P)
+$
+
+Вектор электрической индукции: 
+
+$
+arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
+$
+
+Уравнения Гаусса для поля $E$
+
+$
+"div" arrow(E) eq frac(rho_"полн", epsilon_0)
+$
+
+где 
+
+$
+rho_"полн"eq rho_"своб" + rho_"связ"
+$
+
+Возьмем дивергенцию для 
+
+$
+arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
+$
+
+Получим
+
+$
+"div" arrow(D) eq epsilon_0 "div" arrow(E) + "div" arrow(P)
+$
+
+Подставляем в уравнение Гаусса
+
+$
+eq epsilon_0 dot frac(rho_"своб" + rho_"связ", epsilon_0) + "div" arrow(P) eq \
+eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P)
+$
+
+Но мы знаем, что 
+
+$
+rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
+$
+
+то есть
+
+$
+"div" arrow(D) eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P) eq rho_"своб" -"div" arrow(P) + "div" arrow(P) eq rho_"своб"
+$
+
+В результате получим
+
+$
+"div" arrow(D) eq rho_"своб"
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела
+
+*1. $D_(1 n) eq D_(2 n)$*
+
+2. $D_(1 n) lt D_(2 n)$
+3. $D_(1 n) gt D_(2 n)$
+*4. $D_(1 tau) lt D_(2 tau)$*
+
+5. $D_(1 tau) gt D_(2 tau)$
+
+*Ответ*: Так как
+
+$
+"div" arrow(D) eq rho_"своб"
+$
+
+Проинтегрировав, получим
+
+$
+D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
+$
+
+Так как диэлектрики незаряжены
+
+$
+rho_"своб" eq 0
+$
+
+Тогда
+
+$
+D_(1 n) eq D_(2 n)
+$
+
+Векторы $arrow(D)$ и $arrow(E)$ связаны
+
+$
+arrow(D) eq epsilon arrow(E)
+$
+
+Из уравнения 
+
+$
+"rot" arrow(E) eq 0
+$
+
+Следует
+
+$
+E_(1 tau) eq E_(2 tau)
+$
+
+Теперь умножаем на $epsilon$
+
+$
+D_(1 tau) eq epsilon_1 E_tau \
+D_(2 tau) eq epsilon_2 E_tau 
+$
+
+Так как 
+
+$
+epsilon_2 gt epsilon_1
+$
+
+то
+
+$
+D_(2 tau) gt D_(1 tau)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Источник внутренним спротивлением $r$ подключен к нагрузке, сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость полезной мощности от $R$.
+
+*Ответ*: По закону Ома для замкнутой цепи: 
+
+$
+U eq cal(E) - I r
+$
+
+Домножим на $I$.
+
+$
+I U eq cal(E) I - I^2 r
+$
+
+Переставим слагаемые и воспользуемся $U eq I R$
+
+$
+I cal(E) eq I^2 R + I^2 r
+$
+
+где $I^2 R$ -- полезная мощность.
+
+Полное сопротивление
+
+$
+R_"полн" eq R + r 
+$
+
+Ток
+
+$
+I eq frac(cal(E), R + r)
+$
+
+Тогда полезная мощность
+
+$
+P(R) eq I^2 dot R eq (frac(cal(E), R + r))^2 dot R eq frac(cal(E)^2 R, (R + r)^2)
+$
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/2.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [График $P(R)$.]
+  )
+]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Какая формула позволяет вычислить разность потенциалов между точками $A$ и $B$, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле напряженностью $E$. 
+
+1. $phi_A - phi_B eq - E dot l$
+2. $phi_A - phi_B eq E dot l dot tg alpha$
+*3. $phi_A - phi_B eq E dot l dot cos alpha$*
+
+4. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot cos alpha$
+5. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot tg alpha$
+
+*Ответ*: По определению разности потенциалов между точками $A$ и $B$
+
+$
+phi_A - phi_B eq integral_A^B arrow(E) dot d arrow(l)
+$
+
+Так как поле однородное, то $arrow(E) eq "const"$ и интеграл упрощается до
+
+$
+phi_A - phi_B eq arrow(E) dot d arrow(l)
+$
+
+И по определению скалярного произведения 
+
+$
+phi_A - phi_B eq E l cos alpha
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Потенциальная энергия контура с магнитным моментом $arrow(P)_m$ в поле с индукцией $arrow(B)$ равна 
+
+*1. $- arrow(P)_m arrow(B)$*
+2. $- |arrow(P)_m| |arrow(B)|$
+3. $arrow(P)_m times arrow(B)$
+4. $arrow(P)_m arrow(B)$
+5. $|arrow(P)_m| |arrow(B)|$
+
+*Ответ*: Для контура с током магнитный момент: 
+
+$
+arrow(p)_m eq I arrow(S)
+$
+
+Для электрического диполя в электрическом поле
+
+$
+
+$