upd

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -1,3 +1,5 @@
+#set math.equation(numbering: "(1)", supplement: [])
+
 #set text(
   font: "New Computer Modern",
   size: 14pt
@@ -23,14 +25,45 @@
 
 #align(center)[=== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]
 
-#align(center)[===== №1]
+#align(center)[===== №1] // ready
 
 *Условие*: Заряженная элементарная частица движется со скоростью, модуль которой $v eq 900 "м/c"$. В некоторый момент в точке наблюдения $P$ модуль напряжённости электрического поля этой частицы $E eq 600 "В/м"$, а угол между векторами скорости и напряжённости $alpha eq 30 degree$. Рассчитать индукцию магнитного поля данной частицы.
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/5.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Пояснительный рисунок.]
+  )
+]
+
+$
+B eq frac(mu_0 v sin alpha, 4 pi r^2)
+$ <eq1>
+
+$
+E eq k frac(1, r^2)
+$
+
+Умножим и разделим @eq1 на $epsilon_0$ чтобы сделать замену на $E$:
+
+$
+B eq mu_0 v sin alpha epsilon_0 E
+$
+
+Подставив числа, получим: 
+
+$
+B eq 900 dot 600 dot frac(1, 2) dot 12.75 dot 10^(minus 7) dot 8.85 dot 10^(minus 12) \
+eq 3 dot 10^(minus 12) eq 3 "пТл".
+$
+
 *Ответ*: $B eq 3 "пТл"$.
 
+#line(length: 100%)
+
 #align(center)[===== №2]
 
 *Условие*: Используя закон Био-Савара, получить формулу для рассчёта модуля вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$, протекающем в линейном бесконечном проводнике в точке, расположенной на расстоянии $r_0$ от проводника.
@@ -39,6 +72,7 @@
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r_0)$.
 
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №3]
 
@@ -48,15 +82,46 @@
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi r_0) (cos alpha_1 plus cos alpha_2)$. 
 
+#line(length: 100%)
 
-#align(center)[===== №4]
+#align(center)[===== №4] // ready
 
 *Условие*: Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/6.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Поясняющий рисунок.]
+  )
+]
+
+В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.
+
+По принципу суперпозиции для магнитного поля: 
+
+$
+arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4. 
+$
+
+Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:
+
+$
+B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
+eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
+$
+
+Подставив числа из условия, получим: 
+
+$
+B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1 
+$
+
 *Ответ*: $B eq 0.1 "мТл"$.
 
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №5]
 
@@ -66,7 +131,9 @@
 
 *Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I R^2, 2(R^2 plus z^2)^frac(3, 2))$.
 
-#align(center)[===== №6]
+#line(length: 100%)
+
+#align(center)[===== №6] // ready
 
 *Условие*: По тонкому замкнутому проводнику (@img1) течёт ток, сила которого $I eq 5 "А"$. Радиус изогнутой части проводника $R eq 120 "мм"$, угол $phi = 90 degree$. Рассчитать модуль вектора магнитной индукции в точке $O$.
 
@@ -80,8 +147,63 @@
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/7.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Поясняющий рисунок.]
+  )
+]
+
+Пусть $theta eq frac(phi, 2) eq 45 degree$.
+
+Для части окружности: 
+
+$
+B_1 eq frac(mu_0 I, 4 pi R^2) integral_0^(2 pi minus 2 theta) R d alpha eq frac(mu_0 I (pi minus theta), 2 pi R).
+$
+
+
+Для отрезка: 
+
+$
+d B_2 eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I d l, r^2) sin angle (d arrow(l); arrow(z)) eq frac(mu_0, 4 pi) dot frac(I d l, r^2) cos alpha 
+$
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/8.png"),
+    caption: [Рис.],
+    supplement: [Поясняющий рисунок.]
+  ) 
+]
+
+$
+cos alpha d l eq z d alpha arrow.double d l eq frac(z d alpha, cos alpha)
+$
+
+$
+z eq frac(b, cos alpha), space.quad b eq R cos theta
+$
+
+$
+B_2 eq frac(mu_0 I, 4 pi) integral_(-theta)^theta frac(d alpha dot cos alpha, cos alpha dot b) dot cos alpha eq frac(mu_0 I, 4 pi R cos theta) dot 2 sin theta eq frac(mu_0 I, 2 pi R) tg theta
+$
+
+$
+B eq B_1 plus B_2 eq frac(mu_0 I, 2 pi R) (pi minus theta plus tan theta)
+$
+
+Подставив числа, получим: 
+
+$
+B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5, 2 pi dot 0.12) (pi minus frac(pi, 4) plus tg frac(pi, 4)) approx 28 "мкТл".
+$
+
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi R)(1 plus frac(3, 4) pi) approx 28 "мкТл"$.
 
+#line(length: 100%)
+
 
 #align(center)[===== №7]
 
@@ -98,24 +220,83 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi) (frac(3 pi, 2 R) plus frac(sqrt(2), a))$.
+#line(length: 100%)
 
 
-#align(center)[===== №8]
+#align(center)[===== №8] // ready
 
 
 *Условие*: Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из $N eq 200$ плотно прилегающих витков, по которым течёт ток $I eq 5 "мА"$. Радиус внутреннего витка $a eq 100 "мм"$, радиус внешнего витка $b eq 200 "мм"$. Рассчитать индукцию магнитного поля в центре спирали.
 
-*Решение*: 
+*Решение*: Магнитная индукция одного витка (окружности):
+
+$
+B_1 eq frac(mu_0 I, 2 z)
+$ <eq2>
+
+$
+d N eq frac(N, b minus a) d z 
+$ <eq3>
+
+Подставим @eq2 и @eq3 в 
+
+$
+B eq integral B_1 d N eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) integral_a^b frac(d z, z) eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln z |_a^b eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a) 
+$
+
+Подставим числа и получим
+
+$
+B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5 dot 10^(minus 3) dot 200, 2(0.2 minus 0.1)) ln frac(0.2, 0.1) approx 4.4 "мкТл".
+$
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a) approx 4.4 "мкТл"$.
+#line(length: 100%)
 
-#align(center)[===== №9]
+#align(center)[===== №9] // ready
 
 *Условие*: В параллельных плоскостях, расположенных на расстоянии $d eq 8 "см"$ друг от друга на одной оси находятся два круговых витка радиуса $R eq 5 "см"$ каждый. По виткам в одном направлении текут токи $I_1 eq I_2 eq 2 "А"$. Рассчитать напряжённость магнитного поля в центре одного из витков.
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/9.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  )
+]
+
+Согласно принципу суперпозиции напряженность в точке $C$ равна 
+
+$
+arrow(H) eq arrow(H)_1 plus arrow(H)_2, space.quad "где " H eq frac(I_1, 2 R),
+$
+
+$
+H_2 eq frac(I_2 R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
+$
+
+Если токи текут в одном направлении, то $H eq H_1 plus H_2$. По условию 
+
+$
+I_1 eq I_2 eq I
+$
+
+Тогда
+
+$
+H eq frac(I, 2 R) plus frac(I R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
+$
+
+Подставив числа, получим:
+
+$
+H eq frac(2, 2 dot 0.05) plus frac(2 dot 0.05^2, 2(0.05^2 plus 0.08^2)^frac(3, 2)) approx 23 "А/м".
+$
+
 *Ответ*: $H eq frac(I, 2) (frac(1, R) plus frac(R^2, (d^2 plus R^2)^frac(3, 2))) approx 23 "А/м"$.
+#line(length: 100%)
 
 
 #align(center)[===== №10]
@@ -127,6 +308,7 @@
 
 *Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I N, 2 l) (frac(frac(l, 2) minus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) minus z)^2)) plus frac(frac(l, 2) plus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) plus z)^2)))$.
 
+#pagebreak()
 
 #align(center)[=== Закон полного тока]
 
@@ -137,6 +319,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B(r lt R_1) eq frac(mu_0 I r, 2 pi R_1^2), space B(R_1 lt r lt R_2) eq frac(mu_0 I, 2 pi r), B(R_2 lt r lt R_3) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) (1 minus frac(r^2 minus R^2_2, R^2_3 minus R^2_2)), space B(r gt R_3) eq 0$.
+#line(length: 100%)
 
 
 #align(center)[===== №2]
@@ -149,6 +332,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: a) $B eq frac(mu_0 j, 2)$, б) $B eq mu_0 j$.
+#line(length: 100%)
 
 
 #align(center)[===== №3]
@@ -158,6 +342,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B(x gt d) eq mu_0 d j, space B(x lt d) eq mu_0 x j)$.
+#line(length: 100%)
 
 
 #align(center)[===== №4]
@@ -167,6 +352,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $arrow(j)(r) eq frac(beta(alpha plus 1)r^(alpha minus 1), mu_0) arrow(e)_z$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №5]
 
@@ -176,6 +362,7 @@
 
 *Ответ*: $B eq 1.25 "мТл"$.
 
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №6]
 
@@ -184,6 +371,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(r)], 2), arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 R^2 [arrow(j); arrow(r)], 2)$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №7]
 
@@ -192,6 +380,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $arrow(B) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(l)], 2)$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №8]
 
@@ -208,6 +397,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r) tan frac(theta, 2)$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №9]
 
@@ -217,7 +407,7 @@
 
 *Ответ*: $Phi eq frac(mu_0 I, 4 pi)$.
 
-
+#pagebreak()
 #align(center)[=== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]
 
 #align(center)[===== №1]
@@ -227,6 +417,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $p_"м" eq frac(2 pi R^3 B, mu_0) approx 30 " мА м"^2$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №2]
 
@@ -239,6 +430,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: a) $arrow(F) eq arrow(0)$, б) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_phi$, в) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_r$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №3]
 
@@ -250,6 +442,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B eq frac(mu_0, 2) sigma omega R, space p_m eq frac(pi sigma R^4, 4)$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №4]
 
@@ -258,6 +451,7 @@
 *Решение*: 
 
 *Ответ*: $B eq frac(2, 3) mu_0 sigma omega R$.
+#line(length: 100%)
 
 #align(center)[===== №5]
 
@@ -273,6 +467,9 @@
 
 *Ответ*: $arrow(H) (r lt R_0) eq frac(I, 2 pi r) arrow(e)_phi eq arrow(H) (r gt R_0), space arrow(B) (r lt R_0) eq frac(mu mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, space arrow(J) (r lt R_0) eq frac(I (mu minus 1), 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(B)(r gt R_0) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(J) (r gt R_0) eq arrow(0), arrow(j)_"мо" eq arrow(0), j_"мп" eq frac(I(1 minus mu), 2 pi R_0)$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №6]
 
 *Условие*: Среда состоит из однородного изотропного магнетика и вакуума. Модуль вектора индукция магнитного поля вблизи поверхности магнетика со стороны вакуума равен $B$. Найти модуль индукции магнитного поля $B'$ в магнетике вблизи его поверхности, если вектор B составляет угол $alpha$ с нормалью к поверхности раздела магнетика и вакуума (поверхность можно считать плоскостью), а магнитная проницаемость магнетика $mu$.
@@ -281,6 +478,9 @@
 
 *Ответ*: $B' eq B sqrt(cos^2 alpha plus mu^2 sin^2 alpha)$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №7]
 
 *Условие*: Воспользовавшись условиями предыдущей задачи рассчитать циркуляцию вектора $arrow(B)$ по замкнутому квадратному контуру, длина стороны которого $l$. Граница раздела сред пересекает контур параллельно двум его противоположным сторонам.
@@ -289,6 +489,9 @@
 
 *Ответ*: $integral.cont_L (arrow(B), d arrow(l)) eq B sin alpha l (1 minus mu)$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №8]
 
 *Условие*: По длинному цилиндрическому проводу течёт ток перпендикулярно плоскости поперечного сечения. Сила тока $I$. Провод изготовлен из парамагнетика с магнитной восприимчивостью $chi$. Найти:
@@ -302,6 +505,9 @@
 
 *Ответ*: $I_"мо" eq I_chi, space I_"мп" eq minus I_chi$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №9]
 
 *Условие*:  Длинный соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком, магнитная восприимчивость которого зависит от расстояния до оси как $chi eq alpha r^2$. На оси соленоида магнитная индукция равна $B_0$. Рассчитать, как функцию $r$:
@@ -313,6 +519,7 @@
 
 *Ответ*: $J(r) eq frac(B_0 alpha r^2, mu_0), space j(r) eq frac(2 alpha B_0, mu_0) r$.
 
+#pagebreak()
 
 #align(center)[=== Частица в магнитном поле]
 
@@ -324,6 +531,9 @@
 
 *Ответ*: $R eq frac(1, mu_0 H) sqrt(frac(2 U, q_m)) approx 5.37 "см", nu eq frac(mu_0 H q_m, 2 pi) approx 35 "МГц"$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №2] // ready
 
 *Условие*: В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
@@ -391,6 +601,7 @@ $
 
 *Ответ*: $h eq frac(2 pi E, B) t approx 0.028 "м"$.
 
+#pagebreak()
 
 #align(center)[=== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]
 
@@ -402,6 +613,8 @@ $
 
 *Ответ*: $A eq B I a^2 eq 1 "Дж"$.
 
+#line(length: 100%)
+
 #align(center)[===== №2]
 
 *Условие*: Магнитное поле создаётся длинным прямым проводником, по которому течёт ток $I_0$. В одной плоскости с проводником расположена квадратная рамка с током $I$, сторона рамки $a$. Рассчитать:
@@ -415,7 +628,7 @@ $
 
 *Ответ*: $F_A eq frac(2 mu_0 I I_0, pi (4 eta^2 minus 1))$, $A eq frac(mu_0 I_0 I a, pi) ln (frac(2 eta plus 1, 2 eta minus 1))$.
 
-
+#pagebreak()
 #align(center)[= Электромагнитная индукция]
 
 #align(center)[=== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]
@@ -436,6 +649,10 @@ $
 
 *Ответ*: $cal(E)^"инд" eq frac(pi, 2) R^2_0 B omega sin omega t$.
 
+
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №2]
 
 *Условие*: В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.4 "Тл"$, с постоянной частотой $nu eq 480 "об/мин"$ вращается замкнутая рамка, состоящая из $N eq 1000$ витков проволоки. Площадь ограниченная контуром рамки $S eq 200 " см"^2$. Рассчитать значение эдс индукции в момент, когда угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции равен $30 degree$.
@@ -444,6 +661,9 @@ $
 
 *Ответ*: $cal(E)^"инд" eq N S B nu pi approx 201 "В"$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №3]
 
 *Условие*:  В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.1 "Тл"$ расположен плоский проволочный виток, замкнутый на гальванометр. Площадь ограниченная контуром витка $S eq 10^(minus 2) " м"^2$. В начальный момент времени плоскость витка располагалась перпендикулярно магнитному полю. После поворота витка на некоторый угол $alpha$, через гальванометр прошёл заряд $q eq 7.5 dot 10^(−4) "Кл"$. Рассчитайте угол $alpha$ на который повернули виток если его сопротивление $R eq 2 "Ом"$.
@@ -452,6 +672,9 @@ $
 
 *Ответ*: $alpha eq 1 minus frac(R q, B S) approx 120 degree$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №4]
 
 *Условие*: К источнику сторонних эдс сопротивление которого пренебрежимо мало, а $epsilon_0 eq 2 "В"$ подключили соленоид индуктивность которого $L eq 0.1 "Гн"$, а сопротивление $R eq 0.02 "Ом"$. Рассчитать заряд, который пройдёт через соленоид за первые $5 "с"$.
@@ -460,7 +683,10 @@ $
 
 *Ответ*: $q eq frac(epsilon, R) (t plus frac(L, R) (exp [minus frac(R, L) t] minus 1)) approx 184 "Кл"$.
 
-#align(center)[===== №5]
+#line(length: 100%)
+
+
+#align(center)[===== №5] // ready
 
 *Условие*: Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поря меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл"$, $omega eq 6 с^(−1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
 
@@ -507,6 +733,9 @@ $
 
 *Ответ*: $epsilon eq frac(1, sqrt(2)) B_0 omega sin (omega t) approx minus 0.31 "В"$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №6]
 
 *Условие*: В прямом бесконечном проводнике течёт ток, сила которого меняется по закону $I eq beta t^3$, где $beta eq 2 " А/с"^3$. В одной плоскости с проводником, параллельно ему, расположена квадратная рамка, сторона которой $a eq 20 "см"$, а сопротивление материала рамки $R eq 7 "Ом"$. Расстояние от ближайшей стороны рамки до проводника $l eq 20 "см"$. Рассчитать силу тока в рамке в момент времени $t eq 10 "c"$.
@@ -515,6 +744,8 @@ $
 
 *Ответ*: $I eq frac(3 mu_0 a beta, 2 pi) log (1 plus frac(a, l)) t^2 approx 2.4 dot 10^(minus 6) "А"$.
 
+#line(length: 100%)
+
 #align(center)[===== №7]
 
 *Условие*: П-образный проводник расположен в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника. Магнитная индукция поля изменяется с постоянной скоростью $beta$. Вдоль параллельных сторон проводника с постоянным ускорением $a$ перемещают проводник перемычку, длина которой $l$. Рассчитать эдс индукции через время $t$ после начала перемещения перемычки, если в начальный момент времени и индукция и площадь контура равны $0$.
@@ -523,6 +754,9 @@ $
 
 *Ответ*: $epsilon eq minus frac(3 l beta a, 2) t^2$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №8]
 
 *Условие*: Внутри длинного соленоида расположена катушка состоящая из $N$ витков. Площадь поперечного сечения катушки $S$. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью $omega$ вдоль оси совпадающей с её диаметром и перпендикулярной к оси соленоида. рассчитать эдс индукции в катушке если, индукция магнитного поля в соленоиде изменяется со временем как $B eq B_0 sin(omega t)$, а в момент времени $t eq 0$ ось катушки совпадала с осью соленоида.
@@ -531,6 +765,9 @@ $
 
 *Ответ*: $epsilon eq B_0 N S omega cos (2 omega t)$.
 
+#line(length: 100%)
+
+
 #align(center)[===== №9]
 
 *Условие*: По длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого $R$ и плотностью намотки $n$, течёт ток, скорость изменения которого от времени равна $i$. Рассчитать вектор напряжённости вихревого электрического поля, как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.