upd

course2/sem3/labs/lab4.07/report.typ

@@ -260,42 +260,227 @@ $
 
 === Контрольные вопросы.
 
-1. В чем заключается явление дифракции? 
+*1. В чем заключается явление дифракции?*
 
-2. Объясните принцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.
+Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (малыми отверстиями, непрозрачными экранами и т.п.) и связанных с отклонениями от прямолинейного распространения света. Дифракция происходит во всех случаях, когда изменение амплитуды или фазы световой волны не одинаково на поверхности волнового фронта. Поэтому это явление возникает при любом -- амплитудном или фазовом -- локальном нарушении волнового фронта. В результате дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.
 
-3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?
+*2. Объяснитепринцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.*
 
-4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?
+Принцип Гюйгенса-Френеля заключается в том, что каждая точка волнового фронта световой волны является источником вторичных когерентных волн, распространяющихся во все стороны под углами дифракции $phi.alt_1, phi.alt_2, phi.alt_3$, т.е. свет дифрагирует при прохождении сквозь щель. Фазы и амплитуды этих элементарных волн будут одинаковы. Дифракционная картина представляет собой результат интерференции этих когерентных элементарных волн, который наблюдается на экране в виде периодического распределения интенсивности.
 
-5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?
+Колебание электрического поля, приходящее в точку наблюдения $P$ от элементарного участка волнового фронта $d S$, имеет вид:
 
+$
+d E eq K(phi) frac(A_0, r) cos (omega t - k dot r + alpha_0) d S, 
+$
 
-6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?
+где $A_0$ -- амплитуда колебания на волновом фронте, $r$ -- расстояние от элемента $d S$ до точки наблюдения, $K(phi)$ -- коэффициент наклонности, зависящий от угла $phi$ между нормалью к элементу $d S$ и направлением на точку $P$, $omega$ -- циклическая частота, $k$ -- волновой вектор, $alpha_0$ - начальная фаза.
+
+Результирующее колебание в точке наблюдения $P$ определяется суперпозицией всех вторичных волн и выражается интегралом по всей поверхности волнового фронта $S$:
+
+$
+E eq integral.double_S K(phi) frac(A_0, r) cos(omega t - k dot r + alpha_0) d S
+$
+
+*3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?*
+
+Дифракция Френеля происходит, когда источник света и/или экран находятся на конечном, относительно небольшом расстояния от препятствия. В дифракции Френеля важны сферические волны от каждой точки края препятствия. Главное условие -- это наблюдение картины в ближней зоне дифракции, где волновой фронт еще не плоский, и картина меняется с расстоянием.
+
+Дифракция Фраунгофера происходит, когда источник света и приемник находятся на бесконечно большом расстоянии от препятствия, и волны, приходящие в точку наблюдения, являются практически плоскими.
+
+*4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?*
+
+Дифракционные полосы нельзя наблюдать при немонохроматическом источнике света, потому что для волн разной длины полосы располагаются в разных местах, при этом, при смешении световых волн разной длины, дифракционные картины наедут друг на друга, и темные места будут засвечены. Таким образом картинка будет довольно сильно смазана.
+
+Для протяженного источника ситуация аналогична. Освещенность на экране зависит от количества источников. Для каждого источника будет своя картинка и, в итоге, общая картинка смажется.
+
+*5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?*
+
+Для получения узкого параллельного пучка света, нужно поместить точечный источник в фокус собирающей линзы.
+
+*6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?*
+
+Минимумы возникают, когда разность хода между лучами, идущими от противоположных краев щели, равна нечетному числу полуволн. Для первого минимума это условие запишется как 
+
+$
+b dot sin theta eq frac(lambda, 2),
+$
+
+где $lambda$ -- длина волны, а $theta$ -- угол между направлением падающего пучка и направлением первого минимума.
   
-7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?
+*7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?*
 
-8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?
+Дифракционная картина будет сдвинута. Максимумы и минимумы сместятся в направлении, соответствующему углу наклона падающей волны. Картина будет иметь форму полосы, суженной к краям щели.
 
-9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?
+*8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?*
 
-10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.
+Самая яркая полоса находится по оси перпендикулярной щели. Интенсивность уменьшается по мере удаления от центрального максимума. Длина полос уменьшается с увеличением угла наблюдения.
 
-11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.
+*9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?*
 
-12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?
+а) Чем шире щель, тем уже главный максимум в дифракционной картине, потому что ширина дифракционного минимума обратнопропорциональна ширине щели. При узкой щели главный максимум растягивается. Таким образом ширина щели обратнопропорционально ширине интерференционной картины.
 
-13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.
+б) При увеличении числа щелей, увеличивается число возможных интерференционных максимумов, а сами полосы становятся более узкими и расположены ближе друг к другу. Таким образом, число щелей прямопропорционально количеству интерференционных полос и обратнопропорционально расстоянию между полосами.
 
-14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?
+в) Увеличение расстояния между щелями приводит к уменьшению углового интервала между максимумами, поэтому полосы раздвигаются, но интенсивность максимумов может уменьшаться, и картина становится менее четкой. Таким образом, расстояние между щелями прямопропорционально расстоянию между полосами.
 
-15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?
+г) Более широкие щели дают более узкие дифракционные минимумы, из-за чего центральные и боковые полосы интерференции становятся шире, и сама картина растягивается. Таким образом, ширина всех щелей прямопорционально размеру интерференционных полос.
 
-16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.
+*10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.*
 
-17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.
+Принцип Гюйгенса-Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных сферических волн. При прохождении света через щель эти волны интерферируют между собой. В некоторых направлениях происходит полная деструктивная интерференция, и интенсивность света в этих направлениях равна нулю. Углы, при которых возникают такие минимумы, определяются условием
 
-18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?
+$
+b sin theta = lambda,
+$
 
-19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?
+где $theta$ -- угол относительно центрального максимума, $lambda$ -- длина волны света, $b$ -- ширина щели.
+
+*11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.*
+
+Дифракция на одной щели определяется 
+
+$
+I_1(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b, lambda) sin theta.
+$
+
+Интерференция $N$ щелей решетки определяется 
+
+$
+I(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2 dot (frac(sin(N delta \/ 2), sin (delta \/ 2)))^2, space.quad delta eq frac(2 pi d, lambda) sin theta.
+$
+
+где первый множитель -- огибающая, а второй множитель -- усиление и распределение максимумов за счет интерференций $N$ щелей. При этом главные максимумы решетки
+
+$
+d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots.
+$
+
+*12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?*
+
+Угол $theta_2$ второго порядка: 
+
+$
+sin theta_2 eq frac(2 lambda, d).
+$
+
+Подставив в огибающую (см. предыдущий вопрос) получим: 
+
+$
+beta eq frac(pi b, lambda) sin theta_2 eq frac(pi, b) dot frac(2 lambda, d) eq frac(2 pi b, d).
+$
+
+Чтобы максимум огибающей совпал с вторым порядком решетки
+
+$
+beta eq pi arrow.double frac(2 p b, d) eq pi arrow.double b/d eq 1/2.
+$
+
+*13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.*
+
+Интенсивность одной щели: 
+
+$
+I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2
+$
+
+Интерференционная составляющая для $N$ щелей: 
+
+$
+I_N (theta) eq (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
+$
+
+Общее распределение интенсивности: 
+
+$
+I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2 dot (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
+$
+
+Условие главных максимумов: 
+
+$
+d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots 
+$
+
+Условия минимумов огибающей одной щели: 
+
+$
+b sin theta_m eq m lambda, space.quad m eq 1, 2, 3, dots
+$
+
+*14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?*
+
+Главные максимумы наблюдаются, когда разность хода равна целому числу длин волн: 
+
+$
+d(sin theta_0 - sin theta_m) eq m lambda, space.quad m eq 0, plus.minus 1, plus.minus 2, dots
+$
+
+Если углы малые, то $sin theta approx theta, sin theta_0 approx theta_0$
+
+$
+d(theta_0 - theta_m) approx m lambda arrow.double theta_m approx theta_0 - frac(m lambda, d). 
+$
+
+То есть при малых углах максимумы смещаются на величину $frac(m lambda, d)$ относительно направления падающего пучка.
+
+*15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?*
+
+Уравнение для главного максимума дифракционной решетки:
+
+$
+sin beta eq frac(m lambda, d)
+$
+
+Максимум первого порядка:
+
+$
+sin beta_1^max eq frac(700, d)
+$
+
+Минимум второго порядка: 
+
+$
+sin beta_2^min eq frac(2 dot 400, d) eq frac(800, d)
+$
+
+Так как $sin beta_1^max lt sin beta_2^min$, спектры не перекрываются.
+
+*16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.*
+
+Главный максимум решетки: 
+
+$
+d sin theta eq m lambda
+$
+
+Минимум дифракции щели: 
+
+$
+b sin theta eq n lambda
+$
+
+Если максимум решетки совпадает с минимумом щели, амплитуда равна нулю. Учитывая $N$ щелей, эффективный шаг уменьшается на $m b$:
+
+$
+N d sin theta - m b sin theta eq m lambda
+$
+
+Тогда: 
+
+$
+sin theta eq frac(m lambda, N d - m b)
+$
+
+*17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.*
+
+Пусть ширина щели $b$ фиксирована, а период решетки $d$ меняется. Тогда при $d eq 2 b$, спектры ближе друг к другу, углы дифракции уменьшаются, спектры сужаются вдвое. Если $d eq 3 b$, спектры сужаются втрое. Если $d eq 4 b$, спектры сужаются вчетверо.
+
+*18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?*
+
+Нет, так как разрешающая сила решетки не зависит от наклона первичного пучка, падающего на неё.
+
+*19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?*
+
+Дифракция не проявляется, так как размеры отверстия значительно больше длины волны света. В этом случае интерференционный эффект практически отсутствует, и свет либо проходит через отверстие, либо отражается от диска, практически не изменяя направление своего распространения.