upd
This commit is contained in:
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -260,42 +260,227 @@ $
|
||||
|
||||
=== Контрольные вопросы.
|
||||
|
||||
1. В чем заключается явление дифракции?
|
||||
*1. В чем заключается явление дифракции?*
|
||||
|
||||
2. Объясните принцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.
|
||||
Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (малыми отверстиями, непрозрачными экранами и т.п.) и связанных с отклонениями от прямолинейного распространения света. Дифракция происходит во всех случаях, когда изменение амплитуды или фазы световой волны не одинаково на поверхности волнового фронта. Поэтому это явление возникает при любом -- амплитудном или фазовом -- локальном нарушении волнового фронта. В результате дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.
|
||||
|
||||
3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?
|
||||
*2. Объяснитепринцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.*
|
||||
|
||||
4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?
|
||||
Принцип Гюйгенса-Френеля заключается в том, что каждая точка волнового фронта световой волны является источником вторичных когерентных волн, распространяющихся во все стороны под углами дифракции $phi.alt_1, phi.alt_2, phi.alt_3$, т.е. свет дифрагирует при прохождении сквозь щель. Фазы и амплитуды этих элементарных волн будут одинаковы. Дифракционная картина представляет собой результат интерференции этих когерентных элементарных волн, который наблюдается на экране в виде периодического распределения интенсивности.
|
||||
|
||||
5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?
|
||||
Колебание электрического поля, приходящее в точку наблюдения $P$ от элементарного участка волнового фронта $d S$, имеет вид:
|
||||
|
||||
$
|
||||
d E eq K(phi) frac(A_0, r) cos (omega t - k dot r + alpha_0) d S,
|
||||
$
|
||||
|
||||
6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?
|
||||
где $A_0$ -- амплитуда колебания на волновом фронте, $r$ -- расстояние от элемента $d S$ до точки наблюдения, $K(phi)$ -- коэффициент наклонности, зависящий от угла $phi$ между нормалью к элементу $d S$ и направлением на точку $P$, $omega$ -- циклическая частота, $k$ -- волновой вектор, $alpha_0$ - начальная фаза.
|
||||
|
||||
7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?
|
||||
Результирующее колебание в точке наблюдения $P$ определяется суперпозицией всех вторичных волн и выражается интегралом по всей поверхности волнового фронта $S$:
|
||||
|
||||
8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?
|
||||
$
|
||||
E eq integral.double_S K(phi) frac(A_0, r) cos(omega t - k dot r + alpha_0) d S
|
||||
$
|
||||
|
||||
9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?
|
||||
*3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?*
|
||||
|
||||
10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.
|
||||
Дифракция Френеля происходит, когда источник света и/или экран находятся на конечном, относительно небольшом расстояния от препятствия. В дифракции Френеля важны сферические волны от каждой точки края препятствия. Главное условие -- это наблюдение картины в ближней зоне дифракции, где волновой фронт еще не плоский, и картина меняется с расстоянием.
|
||||
|
||||
11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.
|
||||
Дифракция Фраунгофера происходит, когда источник света и приемник находятся на бесконечно большом расстоянии от препятствия, и волны, приходящие в точку наблюдения, являются практически плоскими.
|
||||
|
||||
12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?
|
||||
*4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?*
|
||||
|
||||
13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.
|
||||
Дифракционные полосы нельзя наблюдать при немонохроматическом источнике света, потому что для волн разной длины полосы располагаются в разных местах, при этом, при смешении световых волн разной длины, дифракционные картины наедут друг на друга, и темные места будут засвечены. Таким образом картинка будет довольно сильно смазана.
|
||||
|
||||
14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?
|
||||
Для протяженного источника ситуация аналогична. Освещенность на экране зависит от количества источников. Для каждого источника будет своя картинка и, в итоге, общая картинка смажется.
|
||||
|
||||
15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?
|
||||
*5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?*
|
||||
|
||||
16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.
|
||||
Для получения узкого параллельного пучка света, нужно поместить точечный источник в фокус собирающей линзы.
|
||||
|
||||
17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.
|
||||
*6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?*
|
||||
|
||||
18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?
|
||||
Минимумы возникают, когда разность хода между лучами, идущими от противоположных краев щели, равна нечетному числу полуволн. Для первого минимума это условие запишется как
|
||||
|
||||
19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?
|
||||
$
|
||||
b dot sin theta eq frac(lambda, 2),
|
||||
$
|
||||
|
||||
где $lambda$ -- длина волны, а $theta$ -- угол между направлением падающего пучка и направлением первого минимума.
|
||||
|
||||
*7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?*
|
||||
|
||||
Дифракционная картина будет сдвинута. Максимумы и минимумы сместятся в направлении, соответствующему углу наклона падающей волны. Картина будет иметь форму полосы, суженной к краям щели.
|
||||
|
||||
*8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?*
|
||||
|
||||
Самая яркая полоса находится по оси перпендикулярной щели. Интенсивность уменьшается по мере удаления от центрального максимума. Длина полос уменьшается с увеличением угла наблюдения.
|
||||
|
||||
*9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?*
|
||||
|
||||
а) Чем шире щель, тем уже главный максимум в дифракционной картине, потому что ширина дифракционного минимума обратнопропорциональна ширине щели. При узкой щели главный максимум растягивается. Таким образом ширина щели обратнопропорционально ширине интерференционной картины.
|
||||
|
||||
б) При увеличении числа щелей, увеличивается число возможных интерференционных максимумов, а сами полосы становятся более узкими и расположены ближе друг к другу. Таким образом, число щелей прямопропорционально количеству интерференционных полос и обратнопропорционально расстоянию между полосами.
|
||||
|
||||
в) Увеличение расстояния между щелями приводит к уменьшению углового интервала между максимумами, поэтому полосы раздвигаются, но интенсивность максимумов может уменьшаться, и картина становится менее четкой. Таким образом, расстояние между щелями прямопропорционально расстоянию между полосами.
|
||||
|
||||
г) Более широкие щели дают более узкие дифракционные минимумы, из-за чего центральные и боковые полосы интерференции становятся шире, и сама картина растягивается. Таким образом, ширина всех щелей прямопорционально размеру интерференционных полос.
|
||||
|
||||
*10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.*
|
||||
|
||||
Принцип Гюйгенса-Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных сферических волн. При прохождении света через щель эти волны интерферируют между собой. В некоторых направлениях происходит полная деструктивная интерференция, и интенсивность света в этих направлениях равна нулю. Углы, при которых возникают такие минимумы, определяются условием
|
||||
|
||||
$
|
||||
b sin theta = lambda,
|
||||
$
|
||||
|
||||
где $theta$ -- угол относительно центрального максимума, $lambda$ -- длина волны света, $b$ -- ширина щели.
|
||||
|
||||
*11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.*
|
||||
|
||||
Дифракция на одной щели определяется
|
||||
|
||||
$
|
||||
I_1(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b, lambda) sin theta.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Интерференция $N$ щелей решетки определяется
|
||||
|
||||
$
|
||||
I(theta) eq I_0 (frac(sin beta, beta))^2 dot (frac(sin(N delta \/ 2), sin (delta \/ 2)))^2, space.quad delta eq frac(2 pi d, lambda) sin theta.
|
||||
$
|
||||
|
||||
где первый множитель -- огибающая, а второй множитель -- усиление и распределение максимумов за счет интерференций $N$ щелей. При этом главные максимумы решетки
|
||||
|
||||
$
|
||||
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots.
|
||||
$
|
||||
|
||||
*12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?*
|
||||
|
||||
Угол $theta_2$ второго порядка:
|
||||
|
||||
$
|
||||
sin theta_2 eq frac(2 lambda, d).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Подставив в огибающую (см. предыдущий вопрос) получим:
|
||||
|
||||
$
|
||||
beta eq frac(pi b, lambda) sin theta_2 eq frac(pi, b) dot frac(2 lambda, d) eq frac(2 pi b, d).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Чтобы максимум огибающей совпал с вторым порядком решетки
|
||||
|
||||
$
|
||||
beta eq pi arrow.double frac(2 p b, d) eq pi arrow.double b/d eq 1/2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
*13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.*
|
||||
|
||||
Интенсивность одной щели:
|
||||
|
||||
$
|
||||
I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2
|
||||
$
|
||||
|
||||
Интерференционная составляющая для $N$ щелей:
|
||||
|
||||
$
|
||||
I_N (theta) eq (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
|
||||
$
|
||||
|
||||
Общее распределение интенсивности:
|
||||
|
||||
$
|
||||
I(theta) eq I_0 (frac( sin(pi b sin theta \/ lambda) , pi b sin theta \/ lambda ))^2 dot (frac( sin(N pi d sin theta \/ lambda) , sin(pi d sin theta \/ lambda) ))^2
|
||||
$
|
||||
|
||||
Условие главных максимумов:
|
||||
|
||||
$
|
||||
d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 0, 1, 2, dots
|
||||
$
|
||||
|
||||
Условия минимумов огибающей одной щели:
|
||||
|
||||
$
|
||||
b sin theta_m eq m lambda, space.quad m eq 1, 2, 3, dots
|
||||
$
|
||||
|
||||
*14. Найти условие появления главного дифракционного максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения $theta_0$). Какой вид принимает это условие, если $d gt.double lambda$, а порядок спектра $m lt.double d/lambda$?*
|
||||
|
||||
Главные максимумы наблюдаются, когда разность хода равна целому числу длин волн:
|
||||
|
||||
$
|
||||
d(sin theta_0 - sin theta_m) eq m lambda, space.quad m eq 0, plus.minus 1, plus.minus 2, dots
|
||||
$
|
||||
|
||||
Если углы малые, то $sin theta approx theta, sin theta_0 approx theta_0$
|
||||
|
||||
$
|
||||
d(theta_0 - theta_m) approx m lambda arrow.double theta_m approx theta_0 - frac(m lambda, d).
|
||||
$
|
||||
|
||||
То есть при малых углах максимумы смещаются на величину $frac(m lambda, d)$ относительно направления падающего пучка.
|
||||
|
||||
*15. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом ($700˘400 " нм"$)?*
|
||||
|
||||
Уравнение для главного максимума дифракционной решетки:
|
||||
|
||||
$
|
||||
sin beta eq frac(m lambda, d)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Максимум первого порядка:
|
||||
|
||||
$
|
||||
sin beta_1^max eq frac(700, d)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Минимум второго порядка:
|
||||
|
||||
$
|
||||
sin beta_2^min eq frac(2 dot 400, d) eq frac(800, d)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Так как $sin beta_1^max lt sin beta_2^min$, спектры не перекрываются.
|
||||
|
||||
*16. Найти условие равенства нулю интенсивности $m$-го максимума для дифракционной решетки с периодом $d$ и шириной щели $b$.*
|
||||
|
||||
Главный максимум решетки:
|
||||
|
||||
$
|
||||
d sin theta eq m lambda
|
||||
$
|
||||
|
||||
Минимум дифракции щели:
|
||||
|
||||
$
|
||||
b sin theta eq n lambda
|
||||
$
|
||||
|
||||
Если максимум решетки совпадает с минимумом щели, амплитуда равна нулю. Учитывая $N$ щелей, эффективный шаг уменьшается на $m b$:
|
||||
|
||||
$
|
||||
N d sin theta - m b sin theta eq m lambda
|
||||
$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
|
||||
$
|
||||
sin theta eq frac(m lambda, N d - m b)
|
||||
$
|
||||
|
||||
*17. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели.*
|
||||
|
||||
Пусть ширина щели $b$ фиксирована, а период решетки $d$ меняется. Тогда при $d eq 2 b$, спектры ближе друг к другу, углы дифракции уменьшаются, спектры сужаются вдвое. Если $d eq 3 b$, спектры сужаются втрое. Если $d eq 4 b$, спектры сужаются вчетверо.
|
||||
|
||||
*18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?*
|
||||
|
||||
Нет, так как разрешающая сила решетки не зависит от наклона первичного пучка, падающего на неё.
|
||||
|
||||
*19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?*
|
||||
|
||||
Дифракция не проявляется, так как размеры отверстия значительно больше длины волны света. В этом случае интерференционный эффект практически отсутствует, и свет либо проходит через отверстие, либо отражается от диска, практически не изменяя направление своего распространения.
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user