upd

course2/sem3/exam/scripts/5.py

@@ -0,0 +1,19 @@
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+R = 1.0
+E0 = 1.0
+
+r = np.linspace(0, 2.5*R, 500)
+
+E = np.where(r <= R, E0 * r / R, E0 * (R**2) / (r**2))
+
+# plot
+plt.plot(r, E)
+plt.xlabel("r")
+plt.ylabel("E(r)")
+plt.grid(True)
+
+plt.savefig("5.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
+plt.show()
+

course2/sem3/exam/tasks.typ

@@ -3,6 +3,7 @@
 #set text(
   size: 14pt,
   font: "New Computer Modern",
+  lang: "ru"
 )
 
 #set par(
@@ -1401,4 +1402,360 @@ $
   r^3
 )$
 
+*Ответ*: По формуле магнитного поля движущегося заряда (Био-Савар)
+
+$
+arrow(B) (arrow(r)) eq frac(mu_0, 4 pi) q frac(arrow(v) times arrow(r), r^3)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Укажите уравнения, справедливые для вихревого электрического поля
+
+*1. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral.cont_S frac(partial arrow(B), partial t) d S$*
+*2. $E_(1 tau) eq E_(2 tau)$*
+3. $"div" arrow(E) eq rho/epsilon_0$
+4. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq 0$
+5. $arrow(E) eq -"grad" phi$
+
+*Ответ*: Вихревое электрическое поле -- это поле, которое возникает при изменяющемся во времени магнитном поле.
+
+$
+"rot" arrow(E) eq.not 0
+$
+
+Из первого выражения: если $frac(partial arrow(B), partial t) eq.not 0$, то циркуляция $arrow(E)$ не равна нулю.
+
+$
+E_(1 tau) eq E_(2 tau)
+$
+
+Это граничное условие для электрического поля.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Какое уравнение показывает, что не существует магнитных зарядов
+
+1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$
+2. $integral.cont_L H_l d l eq integral_S j d S$
+3. $H_(1 tau) eq H_(2 tau)$
+*4. $"div" arrow(B) eq 0$*
+5. $"div" arrow(j) eq -frac(partial rho, partial t)$
+
+*Ответ*: $"div" arrow(B) eq 0$ это одно из уравнений Максвелла. И оно значит, что нет магнитных зарядов.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Укажите, как изменяются потенциал $phi$ и напряженность $E$ внутри шара, равномерно заряженного по объему
+
+1. $E eq "const", phi tilde 1/r$
+2. $E tilde frac(1, r^2), phi tilde frac(1, r^2)$
+3. $E tilde 1/r, phi tilde frac(1, r^2)$
+4. $E eq 0, phi eq "const"$
+*5. $E tilde r, phi tilde r^2$*
+
+*Ответ*: По закону Гаусса
+
+$
+integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(q_"внутр", epsilon_0)
+$
+
+$
+q_"внутр" eq rho dot 4/3 pi r^3
+$
+
+$
+E dot 4 pi r^2 eq frac(rho 4/3 pi r^3, epsilon_0)
+$
+
+$
+E(r) eq frac(rho, 3 epsilon_0) r
+$
+
+$
+E tilde r
+$
+
+$
+E eq - frac(d phi, d r)
+$
+
+$
+phi(r) tilde - integral r d r tilde -r^2
+$
+
+$
+phi tilde r^2
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== В некоторой точке однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ напряженность поля равна $E$, а вектор поляризации равен $P$. Индукция электрического поля в этой точке определяется выражением
+
+1. $arrow(P) + (1 - epsilon) arrow(E)$
+2. $arrow(P) + epsilon_0 epsilon arrow(E)$
+*3. $arrow(P) + epsilon_0 arrow(E)$*
+4. $epsilon_0 arrow(E) + epsilon arrow(P)$
+5. $epsilon_0 epsilon arrow(E) - arrow(P)$
+
+*Ответ*: По определению электрической индукции: 
+
+$
+arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Поток вектора поляризации через замкнутую поверхность
+
+1. равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности
+*2. равен алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри поверхности, взятой с обратным знаком*
+3. равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную
+4. равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленной на электрическую постоянную
+5. равен нулю
+
 *Ответ*: 
+
+$
+rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
+$
+
+$
+integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S)
+$
+
+$
+integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq integral_V "div" arrow(P) space d V
+$
+
+$
+"div" arrow(P) eq -rho_"связ"
+$
+
+$
+integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq -integral_V rho_"связ" d V 
+$
+
+$
+integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq -Q_"связ"
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Слой однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ прижат к пластине, заряженной с поверхностной плоскостью $sigma$. Напряженность электрического поля в диэлектрике определяется выражением
+
+1. $E eq frac(sigma, epsilon_0 epsilon)$
+2. $E eq frac(sigma, epsilon_0)$
+3. $E eq epsilon_0 epsilon sigma$
+*4. $E eq frac(sigma, 2 epsilon_0 epsilon)$*
+5. $E eq epsilon_0 sigma$
+
+*Ответ*: хз.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Укажите все верные утверждения. Циркуляция вектора индукции магнитного поля вычисляется по формуле
+
+*1. $integral.cont_L B_tau d l$*\
+*2. $integral.cont_L arrow(B) d arrow(l)$*
+3. $integral.cont_L arrow(B) times d arrow(l)$
+4. $integral.cont_L B 2 pi d r$
+5. $integral.cont_L arrow(B) times d arrow(r)$
+
+*Ответ*: Второй вариант -- это точное определение циркуляции. Первый вариант -- это проекция на касательное направление.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== По длинному прямому проводнику течет электрический ток силой $I$. Поток вектора магнитной индукции через поверхность сферы радиусом $R$, центр которой находится на расстоянии $a$ от проводника, равен
+
+1. $frac(
+  mu_0 I,
+  4 pi R
+)$
+
+2. $frac(
+  I,
+  2 pi R
+)$
+
+3. $frac(
+  mu_0 I a,
+  4 pi R^2
+)$
+
+4. $frac(
+  mu_0 I, 
+  2 pi a
+)$
+
+5. $0$
+
+*Ответ*: для длинного прямого проводника магнитного поля: 
+
+$
+B eq frac(mu_0 I, 2 pi r)
+$
+
+Поток магнитного поля
+
+$
+Phi_B eq integral.double_S arrow(B) dot d arrow(S)
+$
+
+$
+arrow(B) perp d arrow(S) arrow.double arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== $I'$ -- алгебраическая сумма токов намагничивания, $I$ -- алгебраическая сумма токов проводимости. Циркуляцию вектора $J$ по замкнутому контуру $L$ можно определить по формуле
+
+1. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I' + I$
+*2. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I'$*
+3. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I$
+4. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I' - I$
+5. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq 0$
+
+*Ответ*: Определение циркуляции тока намагничивания 
+
+$
+integral.cont_L arrow(J) dot d arrow(l) eq sum "токов намагничивания внутри контура"
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Плотность тока смещения равна
+
+1. $frac(partial arrow(B), partial t)$
+2. $arrow(j)_"проводимости"$
+3. $epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t) + arrow(j)_"проводимости"$
+*4. $frac(partial arrow(D), partial t)$*
+5. $mu_0 frac(partial arrow(H), partial t)$
+
+*Ответ*: определение.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Укажите все верные утверждения. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вычисляется по формуле
+
+*1. $integral.cont_L H_l d l$* \
+*2. $integral.cont_L arrow(H) d arrow(l)$*
+3. $integral.cont_L arrow(H) times d arrow(l)$
+4. $integral.cont_L H 2 pi d r$
+5. $integral.cont_L arrow(H) times d arrow(r)$
+
+*Ответ*: второй вариант -- определение циркуляции. первый вариант -- проекция на касательную.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Посередине между двумя точечными зарядами $q_1 eq 6 "нКл"$ и $q_2 eq -2 "нКл"$ помещен заряд $q$. На этот заряд со стороны заряда $q_2$ действует сила $4$ мкН. Определить силу, действующую на заряд $q$ со стороны обоих зарядов $q_1$ и $q_2$.
+
+1. $36$ мкН
+2. $24$ мкН
+3. $18$ мкН
+*4. $16$ мкН*
+5. $12$ мкН
+
+*Ответ*: На заряд $q$ действует сила $F_(q_1)$ и $F_(q_2)$. 
+
+$
+frac(F_(q_1), F_(q_2)) eq frac(k frac(q q_1, x^2), k frac(q q_2, x^2)) eq frac(q_1, q_2) eq |-3| eq 3
+$
+
+$
+F_(q_1) eq 3 F_(q_2) eq 3 dot 4 "мкН" eq 12 "мкН"
+$
+
+Так как силы сонаправлены
+
+$
+F eq F_(q_1) + F_(q_2) eq 16 "мкН"
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Электростатическое поле создано двумя точечными зарядами $-q$ и $+4q$. Отношение потенциала поля, созданного вторым зарядом в точке $A$, к потенциалу результирующего поля в этой точке равно
+
+1. $2$
+2. $3$
+*3. $4$*
+4. $-2$
+5. $-4$
+
+*Ответ*: 
+
+$
+phi_2 eq k frac(4 q, 3 a)
+$
+
+$
+phi_1 eq k frac(-q, a)
+$
+
+$
+phi_"рез" eq phi_1 + phi_2 eq k(frac(-q, a) + frac(4 q, 3 a)) eq k frac(q, 3 a)
+$
+
+$
+frac(phi_2, phi_"рез") eq frac(k frac(4 q, 3 a), k frac(q, 3 a)) eq 4
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Укажите все верные утверждения. Вихревое электрическое поле создают
+
+*1. движущиеся с ускорением электрические заряды*
+2. движущиеся равномерно точечные заряды
+3. потенциальные, однородные электрические поля
+*4. изменяющееся во времени магнитное поле*
+5. стационарное, однородное магнитное поле
+
+*Ответ*: Ускоренный заряд создает переменное магнитное поле. 
+
+$
+"ускорение заряда" arrow.double frac(partial arrow(B), partial t) eq.not 0 arrow.double "rot" arrow(E) eq.not 0
+$
+
+$
+("rot" arrow(E) eq -frac(partial arrow(B), partial t))
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Какой график представляет зависимость напряженности электрического поля $E(r)$ для равномерно заряженной сферы радиуса $R$ 
+
+*Ответ*: По закону Гаусса: 
+
+$
+integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(q_"внутр", epsilon_0)
+$
+
+$
+q(r) eq q frac(r^3, R^3)
+$
+
+$
+E(r) 4 pi r^2 eq frac(q r^3, epsilon_0 R^3)
+$
+
+$
+E(r) eq k frac(q, R^3) r
+$
+
+снаружи сферы
+
+$
+E(r) 4 pi r^2 eq q/(epsilon_0)
+$
+
+$
+E(r) eq k frac(q, r^2)
+$
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/5.png"),
+    caption: [Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы],
+    supplement: [Рис.]
+  )
+]