rdy w/ hw

course2/sem3/homework/solutions.typ

@@ -25,7 +25,7 @@
 
 #align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]
 
-#align(center)[===== №1]
+#align(center)[===== №1] // ready
 
 Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.
 
@@ -59,7 +59,7 @@ $
 d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
 $
 
-Расписав составляющие: 
+Расписав составляющие (так как поле направлено к центру, значение с минусом): 
 
 $
 d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
@@ -87,9 +87,9 @@ $
 
 *Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.
 
-#align(center)[===== №2]
+#align(center)[===== №2] // ready
 
-Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напрёжённости электростатического поля, как функцию $r$.
+Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напряжённости электростатического поля, как функцию $r$.
 
 *Решение*: 
 
@@ -104,10 +104,16 @@ $
 По закону Гаусса: 
 
 $
-integral.cont_S bold(E) dot d bold(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
+integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
 $
 
-Система обладает сферической симметрией.
+
+
+Система обладает сферической симметрией. Модуль $E(r)$ одинаков по всей сфере радиуса $r$, тогда (площадь поверхности сферы $4 pi r^2$):
+
+$
+integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) integral.cont_S d S eq E(r) dot S eq E(r) dot 4 pi r^2
+$
 
 $
 E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
@@ -132,12 +138,12 @@ $
 Подставим в закон Гаусса: 
 
 $
-E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
+E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(frac(4 pi rho_0, 3 alpha)(1 minus e(minus alpha r^3)), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
 $
 
 *Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.
 
-#align(center)[===== №3]
+#align(center)[===== №3] // ready
 
 Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.
 
@@ -161,7 +167,7 @@ $
 Поток через сферу радиуса $r$ равен: 
 
 $
-integral.cont bold(E) dot d bold(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
+integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
 $
 
 Отсюда можно выразить $E(r)$:
@@ -190,7 +196,7 @@ $
 
 *Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.
 
-#align(center)[===== №4]
+#align(center)[===== №4] // ready
 
 Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $d_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.
 
@@ -204,7 +210,7 @@ $
   ) <img4>
 ]
 
-При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $bold(D)$ одинакова во всех слоях:
+При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $arrow(D)$ одинакова во всех слоях:
 
 $
 D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
@@ -242,7 +248,7 @@ $
 
 *Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.
 
-#align(center)[===== №5]
+#align(center)[===== №5] // ready
 
 На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.
 
@@ -258,29 +264,40 @@ $
 
 В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.
 
+По закону сохранения энергии: 
+
+$
+Delta E_K plus Delta E_P eq A_"тр" plus A_"вн"
+$
+
+Так как мы удаляем заряд медленно, то $Delta E_K eq 0$. Про трение ничего не сказано, поэтому $A_"тр" eq 1$. Тогда: 
+
+$
+A eq Delta E_P eq E_(P 2) minus E_(P 1)
+$
+
+На бесконечности ($E_(P 2)$) равна нулю так как $r eq infinity$, и в формуле $E_P eq k frac(q, r)$ стоит в знаменателе.
+
 Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.
 
-Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $U$ равна: 
+Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $E_P$ равна: 
 
 $
-U eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
+E_P eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
 $
 
-Чтобы удалить заряд в бесконечность, нужно сделать работу $A$:
+Нужно учесть, что получившееся значение -- работа по удалению не одного, а двух зарядов. Тогда поделим значение на 2.
 
-$
-A eq -U eq k frac(q^2, 2 l)
-$
 
 Подставив числа, получим: 
 
 $
-A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
+A eq frac(q^2, 16 pi epsilon_0 l) eq frac(10^4 dot 10^(-12), 16 pi dot 8.85 dot 10^(-12) dot 1.5 dot 10^(-2)) approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
 $
 
 *Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.
 
-#align(center)[===== №6]
+#align(center)[===== №6] // ready
 
 По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.
 
@@ -294,72 +311,34 @@ $
   ) <img6>
 ]
 
-Пусть $v_d$ - дрейфовая скорость электронов. Тогда импульс всех электронов $p$ равен: 
+По формуле плотности тока: 
 
 $
-p eq M v_d
+j eq rho U ", где" rho eq frac(q, l dot S) arrow.double j eq frac(q U, l S)
 $
 
-где $M$ - суммарная масса всех электронов в проводнике. 
-
-За время $Delta t$ электроны сдвигаются вдоль провода на расстояние: 
+Так как $j eq I/S$ по определению, то можно выразить заряд:
 
 $
-Delta x eq v_d Delta t.
+j eq I/S eq frac(q U, l S) arrow.double q eq frac(I l, U) 
 $
 
-Тогда объем, прошедший через сечение: 
+Масса всех электронов равна произведению их количества на массу одного электрона: 
 
 $
-V eq S Delta x eq S v_d Delta t.
+m eq n_e dot m_e eq q/e m_e eq frac(I l, U e) m_e 
 $
 
-Если $n$ - концентрация свободных электронов на метр кубический, то: 
+По формуле импульса: 
 
 $
-N eq n V eq n S v_d Delta t
+p eq m U eq frac(I l m_e, e)
 $
 
-это число электронов, прошедших через сечение. Каждый электрон имеет заряд $e$ по модулю, поэтому полный заряд $Delta Q$:
+Подставим числа из условия: 
 
 $
-Delta Q eq N e eq n e S v_d Delta t.
-$
-
-По определению силы тока: 
-
-$
-I eq frac(Delta Q, Delta t) eq frac(n e S v_d Delta t, Delta t) eq n e S v_d.
-$
-
-Пусть площадь сечения - $S$. Тогда объем $V$ равен: 
-
-$
-V eq S l
-$
-
-и число электронов $N$:
-
-$
-N eq n V eq n S l.
-$
-
-Выразив дрейфовую скорость из $I eq n e S v_d$, получим: 
-
-$
-v_d eq frac(I, n e S)
-$
-
-Тогда, подставив это в $p eq N m_e v_d$:
-
-$
-p eq N m_e v_d eq (n S l) m_e dot frac(I, n e S) eq frac(m_e I l, e)
-$
-
-Подставим числа и получим: 
-
-$
-p eq frac(3.644 dot 10^(-27), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.28 dot 10^(-8) "Н/c"
+p eq frac(10 dot 400 dot 9.1 dot 10^(-31), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.3 dot 10^(-8).
 $
 
 *Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.
@@ -367,7 +346,7 @@ $
 
 #align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]
 
-#align(center)[===== №1]
+#align(center)[===== №1] // ready 
 
 Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
 
@@ -376,154 +355,73 @@ $
 
 #align(center)[
   #figure(
-    image("assets/7.png"),
+    image("assets/7.svg"),
     supplement: [Рис.],
     caption: [Прямоугольный контур с током и его центр.]
   ) <img7>
 ]
 
-В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$. Обозначим стороны прямоугольника $a$ и $b$, тогда длина диагонали $d$ равна:
+В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.
+
+По принципу суперпозиции для магнитного поля: 
 
 $
-d eq sqrt(a^2 + b^2).
+arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4. 
 $
 
-Угол между диагоналями $alpha$ выражается через $a$ и $b$. Для векторов диагоналей $bold(d)_1 eq (a, b), bold(d)_2 eq (a, -b)$ получим:
+Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:
 
 $
-cos alpha eq frac(bold(d)_1 dot bold(d)_2, |bold(d)_1||bold(d)_2|) eq frac(a^2 - b^2, a^2 + b^2)
+B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
+eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
 $
 
-или 
+Подставив числа из условия, получим: 
 
 $
-b/a eq tan alpha/2
-$
-
-Отсюда: 
-
-$
-a eq d cos alpha/2, space.quad b eq d sin alpha/2
-$
-
-$
-a eq d cos 15 degree, space.quad b eq d sin 15 degree
-$
-
-По закону Био-Савара: 
-
-$
-d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l sin phi, r^2),
-$
-
-где $d l$ - элемент проводника, $r$ - расстояние до точки наблюдения, $phi$ - угол между направлением тока и направлением на точку наблюдения. Проводник лежит вдоль оси $x$, точка наблюдения на оси $y$. Тогда расстояние $r eq sqrt(x^2 + y^2)$. 
-
-Угол $phi$ между током и направлением на точку: 
-
-$
-sin phi eq frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq y/r
-$
-
-После подстановки в закон Био-Савара: 
-
-$
-d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d x, (x^2 + y^2)) dot frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(y d x, (x^2 + y^2)^(3/2)).
-$
-
-проинтегрировав по длине проводника: 
-
-$
-B eq frac(mu_0 I, 4 pi) y integral_(x_A)^(x_B) frac(d x, (x^2 + y^2)^(3/2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (frac(x_B, sqrt(x^2_B + y^2)) - frac(x_A, sqrt(x^2_A + y^2)))
-$
-
-Обозначим углы до концов проводника: 
-
-$
-cos theta_1 eq frac(x_A, sqrt(x_A^2 + y^2)), space.quad cos theta_2 eq frac(x_B, sqrt(x_B^2 + y^2))
-$
-
-тогда 
-
-$
-B eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (cos theta_2 - cos theta_1).
-$
-
-По формуле разности косинусов: 
-
-$
-cos theta_2 - cos theta_1 eq 2 sin frac(theta_2 + theta_1, 2) sin frac(theta_2 - theta_1, 2)
-$
-
-Но в точке на перпендикуляре можно возпользоваться более простым выражением: 
-
-$
-cos theta_2 - cos theta_1 eq sin theta_1 + sin theta_2
-$
-
-Так как точка находится напротив середины проводника, то $theta_1 eq theta_2 eq theta$. Тогда: 
-
-$
-B eq frac(mu_0 I, 2 pi y) sin theta
-$
-
-Для симметричного случая можно расписать $sin theta$ как: 
-
-$
-sin theta eq frac(L/2, sqrt((L/2)^2 + y^2)).
-$
-
-Для отрезка длины $L$ на расстоянии $y$ от его середины: 
-
-$
-B_"отр" eq frac(mu_0 I L, 4 pi y sqrt((L/2)^2 + y^2)).
-$
-
-Сумма вкладов двух противоположных сторон длины $a$:
-
-$
-B_a^"sum" eq 2 dot frac(mu_0 I a, 4 pi (b/2) sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) eq frac(mu_0 I a, pi b sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
-$
-
-Аналогично для сторон длины $b$:
-
-$
-B_b^"sum" eq frac(mu_0 I b, pi a sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
-$
-
-Сложив, получим: 
-
-$
-B eq B_a^"sum" + B_b^"sum" eq frac(mu_0 I, pi sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) (a/b + b/a) eq frac(mu_0 I, pi d/2) (a/b + b/a) eq \
-eq frac(2 mu_0 I, pi d) (a/b + b/a) eq frac(2 mu_0 I, pi d) frac(2, sin alpha) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin alpha)
-$
-
-Подставив числа, получим: 
-
-$
-B eq frac(4(4 pi dot 10^(-7)) dot 5, pi dot 0.16 dot 0.5) approx 1.0 dot 10^(-4) "Т" eq 0.1 "мТ".
+B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1 
 $
 
 *Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.
 
-#align(center)[===== №2]
+#align(center)[===== №2] // ready 
 
 Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.
 
-*Решение*: хз
+*Решение*:
 
 #align(center)[
   #figure(
-    image("assets/9.png"),
+    image("assets/9.svg"),
     supplement: [Рис.],
     caption: [Два параллельных проводника с противоположными токами.]
   ) <img9>
 ]
 
+
+По формуле напряженности магнитного поля для прямого тока: 
+
+$
+H eq 2 pi r I
+$
+
+Результирующее поле направлено вниз: 
+
+$
+H eq (2I)/(2 pi r) cos pi/3 eq I/(2 pi r) 
+$
+
+Подставив числа из условия, получим: 
+
+$
+frac(10, 2 pi dot 0.2) approx 8 "А/м".
+$
+
 *Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.
 
-#align(center)[===== №3]
+#align(center)[===== №3] // ready
 
-По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r bold(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).
+По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r arrow(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).
 
 *Решение*: 
 
@@ -538,13 +436,13 @@ $
 Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру: 
 
 $
-integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
+integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
 $
 
 Закон Ампера:
 
 $
-integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
+integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
 $
 
 где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.
@@ -583,28 +481,28 @@ $
 B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
 $
 
-*Ответ*: $bold(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) bold(e)_phi, space bold(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) bold(e)_phi$.
+*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) arrow(e)_phi, space arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) arrow(e)_phi$.
 
-#align(center)[===== №4]
+#align(center)[===== №4] // ready 
 
 В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
 
 *Решение*: По формуле силы Лоренца: 
 
 $
-bold(F) eq q(bold(E) + bold(v) times bold(B))
+arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
 $
 
 До включения электрического поля:
 
 $
-bold(E) eq 0, space.quad bold(F) eq q(bold(v) times bold(B))
+arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
 $
 
-Поскольку $bold(b) perp bold(B)$, частица движется по окружности
+Частица движется по окружности
 
 $
-F_"маг" = q v b.
+F_"маг" = q v B.
 $
 
 Сила Лоренца равна центростремительной силе: 
@@ -651,7 +549,7 @@ $
 
 *Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.
 
-#align(center)[===== №5]
+#align(center)[===== №5] // ready
 
 Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
 
@@ -665,52 +563,61 @@ $
   )
 ]
 
-ЭДС индукции определяется законом Фарадея: 
+По формуле магнитного потока через плоскость: 
 
 $
-cal(E) eq -frac(d Phi, d t)
+Phi eq B S cos alpha
 $
 
-где $Phi$ - магнитный поток через рамку: 
+Площадь рамки: 
 
 $
-Phi eq bold(B) dot bold(S) eq B S cos alpha
+S eq a^2 
 $
 
-Площадь рамки $S eq a^2$, $alpha$ - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к рамке.
-
-Магнитный поток через рамку: 
+Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:
 
 $
-Phi(t) eq B(t) S cos alpha eq B_0 cos (omega t) dot a^2 cos alpha
+Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
 $
 
-$
-cal(E) eq -frac(d Phi, d t) eq -frac(d, d t) [B_0 a^2 cos alpha cos(omega t)] eq -B_0 a^2 cos alpha frac(d, d t) cos(omega t) \
-eq -B_0 a^2 cos alpha dot (-omega sin (omega t)) eq B_0 a^2 omega cos alpha sin(omega t)
-$
-
-Подставляем числа: 
+По закону Фарадея: 
 
 $
-cal(E) eq 0.2 dot (0.7)^2 dot 6 dot cos 45 degree dot sin(6 dot 3) approx -0.31 "В"
+cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
+$
+
+Подставив числа из условия, получим: 
+
+$
+cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
 $
 
 *Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.
 
-#align(center)[===== №6]
+#align(center)[===== №6] // ready
 
 Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.
 
-*Решение*: В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.
+*Решение*: 
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/12.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Катушка с током и однородным магнитным полем внутри.]
+  )
+]
+
+В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.
 
 По закону Ампера: 
 
 $
-integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"внутри"
+integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"внутри"
 $
 
-Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $bold(B) dot d bold(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим: 
+Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $arrow(B) dot d arrow(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим: 
 
 $
 B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.