upd

course2/sem3/labs/lab3.07/report.typ

@@ -1,3 +1,21 @@
+#set page(
+  paper: "a4",
+  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
+)
+#set text(
+  font: "New Computer Modern",
+  size: 10pt
+)
+#set par(
+  first-line-indent: (
+    amount: 1.5em,
+    all: true
+  ),
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+
+
 #set page(footer: context {
   if counter(page).get().first() > 1 [
     #align(left)[

course2/sem3/labs/lab4.07/report.typ

@@ -1,3 +1,22 @@
+#set page(
+  paper: "a4",
+  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
+)
+#set text(
+  font: "New Computer Modern",
+  size: 10pt
+)
+#set par(
+  first-line-indent: (
+    amount: 1.5em,
+    all: true
+  ),
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+
+
+
 #set page(footer: context {
   if counter(page).get().first() > 1 [
     #align(left)[
@@ -16,7 +35,7 @@
   ][
     #align(left)[К работе допущен: ]
   ][
-    #align(left)[Студент: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
+    #align(left)[Студенты: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
   ][
     #align(left)[Работа выполнена: ]
   ][
@@ -44,31 +63,276 @@
 4. Определить интенсивности порядков дифракции.
 5. Объяснить изменение дифракционной картины при наклонном падении лучей.
 
+===== Линейные положения минимумов
+
+Для одной щели $alpha eq 0 degree$:
+
+$
+x_1 eq 12.4 "мм" eq 0.0124 "м" \
+x_2 eq 25.0 "мм" eq 0.0250 "м" \
+x_3 eq 37.6 "мм" eq 0.0376 "м"
+$
+
+Центральный максимум лежит в $x eq 0$. Ширина центрального максимума $Delta x_0 eq 2 x_1 eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м".$
+
+Расчет ширины щели $b$:
+
+$
+Delta x_0 eq 2 frac(lambda F, b) arrow.double b eq 2 frac(lambda F, Delta x_0)
+$
+
+Подставив значения получим:
+
+$
+lambda &eq 632.8 "нм" eq 6.328 times 10^(-7) "м" \
+F &eq 200 "мм" eq 0.200 "м" \
+Delta x_0 &eq 24.8 "мм" eq 0.0248 "м"
+$
+
+$
+b approx 10.21 "мкм"
+$
+
+Условие минимума: 
+
+$
+b sin phi_m eq m lambda arrow.double phi_m eq arcsin(frac(m lambda, b))
+$
+
+Подставив числа получим: 
+
+$
+m eq 1: sin phi_1 eq 0.062 arrow.double phi_1 eq 3.5546 degree \
+m eq 2: sin phi_2 eq 0.124 arrow.double phi_2 eq 7.1230 degree \
+m eq 3: sin phi_3 eq 0.186 arrow.double phi_3 eq 10.7194 degree
+$
+
+По формуле $phi_m approx frac(x_m, F)$:
+
+$
+phi_1 &approx 3.5523 degree \
+phi_2 &approx 7.1620 degree \
+phi_3 &approx 10.7716 degree
+$
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    table(columns: 6, inset: 10pt)[$L, "мм"$][$alpha, "град"$][$m$][$x, "мм"$][$b, "мм"$][$frac(J_max, J_0)$][200][0][0][0][10,2][1][200][0][1][12,4][10,2][0,81][200][0][2][25,0][10,2][0,45][200][0][3][37,6][10,2][0,20][200][5][0][0][10,2][0,98][200][5][1][12,6][10,2][0,80][200][5][2][25,3][10,2][0,44][200][5][3][38,0][10,2][0,19],
+    supplement: [Табл.],
+    caption: []
+  ) <table1>
+]
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    table(columns: 2, inset: 10pt)[$alpha, "град"$][$frac(J, J_0)$][0][0.159][15][0.159][30][0.156][45][0.200][60][0.366],
+    supplement: [Табл.],
+    caption: []
+  ) <table2>
+]
+
+По формуле для однощелевой дифракции: 
+
+$
+frac(J, J_0) eq (frac(sin beta, beta))^2, space.quad beta eq frac(pi b sin theta, lambda)
+$
+
+- Первый боковой максимум: $frac(J_1, J_0) approx 0.045$
+- Второй боковой максимум: $frac(J_2, J_0) approx 0.016$
+- Третий боковой максимум: $frac(J_3, J_0) approx 0.008$
+
+Для дифракции на двух щелях положение максимума первого порядка задается формулой: 
+
+$
+d sin theta_k eq k lambda, space.quad k eq 1
+$
+
+Эффективная ширина щели изменяется как: 
+
+$
+b_"эфф" eq frac(b, cos alpha)
+$
+
+Подставив числа, получим: 
+
+$
+alpha = 0 degree: space.quad b_"эфф" = 10.21 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(lambda, b_"эфф") = frac(6.328 dot 10^(-7), 1.021 dot 10^(-5)) approx 0.0620 "рад" approx 3.55 degree
+$
+
+$
+alpha = 15 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 15^degree) approx 10.57 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.057 dot 10^(-5)) approx 0.0599 "рад" approx 3.43 degree
+$
+
+$
+alpha = 30 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 30 degree) approx 11.79 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.179 dot 10^(-5)) approx 0.0537 "рад" approx 3.08 degree
+$
+
+$
+alpha = 45 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 45 degree) approx 14.44 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 1.444 dot 10^(-5)) approx 0.0438 "рад" approx 2.51 degree
+$
+
+$
+alpha = 60 degree: space.quad b_"эфф" = frac(10.21, cos 60 degree) approx 20.42 "мкм" space.quad arrow.double space.quad theta_1 approx frac(6.328 dot 10^(-7), 2.042 dot 10^(-5)) approx 0.0310 "рад" approx 1.78 degree
+$
+
+Для одной щели ширина центрального максимума на экране определяется как расстояние между первыми минимумами по обе стороны от центра:
+
+$
+Delta x_"эксп" eq x_"мин"^((+1)) - x_"мин"^((-1))
+$
+
+где $x_"мин"^((plus.minus 1))$ - линейные координаты первых минимумов дифракционной картины.
+
+По формуле для ширины центрального максимума: 
+
+$
+Delta x_"теор" eq frac(2 lambda L, b) eq frac(2 dot 6 dot 10^(-7) dot 1, 2 dot 10^(-4)) eq 6 "мм"
+$
+
+$
+Delta x_"эксп" eq 3.1 - (-3.0) eq 6.1 "мм"
+$
+
+По интерференциальной формуле для $N$ щелей.
+
+Для одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0)$, тогда для $N$ щелей: 
+
+$
+J_max^((N)) eq J_max^((1)) dot N^2
+$
+
+- Центральный максимум одной щели: $frac(J_max^((1)), J_0) eq 1$
+- Две щели: $frac(J_max^((2)), J_0) eq 4$
+- Три щели: $frac(J_max^((3)), J_0) eq 9$
+- Четыре щели: $frac(J_max^((4)), J_0) eq 16$
+
+По формуле постоянной решетки: 
+
+$
+d eq frac(k lambda, sin theta_k)
+$
+
+Рассчитаем для $k eq 1$:
+
+$
+d eq frac(1 dot 632.8 "нм", sin 10 degree) approx 3.65 "мкм"
+$
+
+Для $k eq 2$: 
+
+$
+d eq frac(2 dot 632.8, sin 20 degree) approx 3.7 "мкм"
+$
+
+Для $k eq 3$:
+
+$
+d eq frac(3 dot 632.8, sin 30) approx 3.80 "мкм"
+$
+
+Постоянная решетки $d approx 3.7 "мкм"$.
+
+Для двумерной дифракционной решетки максимумы распределяются по обеим осям, и их положение задаётся углами $theta_x$ и $theta_y$ или линейными координатами $x_1$, $y_1$ на экране.
+
+По формуле для периода решетки по осям: 
+
+$
+d_1 eq frac(k_1 lambda L, x_1), space.quad d_2 eq frac(k_2 lambda L, y_1)
+$
+
+Подставив числа, получим: 
+
+$
+d_1 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 10) approx 63.3 "мкм" \
+d_2 eq frac(1 dot 6.328 dot 10^(-4) dot 1000, 12) approx 52.7 "мкм"
+$
+
 === Контрольные вопросы.
 
 1. В чем заключается явление дифракции? 
 
+  Дифракция -- это явление огибания волнами препятствий и проникновения в область геометрической тени, а также характерное изменение распределения интенсивности света, когда волна проходит через щели, отверстия или вокруг объектов, сопоставимых по размеру с длиной волны.
+
 2. Объясните принцип Гюйгенса-Френеля. Приведите его математическую формулировку.
 
+  Принцип Гюйгенса–Френеля объясняет, как распространяются световые волны и как при этом возникает интерференция и дифракция.
+
+  Каждая точка волнового фронта действует как источник вторичных сферических волн. Новый волновой фронт в следующий момент времени -- это огибающая всех вторичных волн, но вклад каждой точки складывается с учётом: амплитуды, фазы, расстояния до точки наблюдения, угла распространения.
+
+  Поле в точке наблюдения $P$ определяется суперпозицией вкладов от всех точек $S$ на поверхности $Sigma$:
+
+  $
+  U(P) eq integral.double_Sigma U(S) K frac(e^(i k r), r) cos theta d S
+  $
+
 3. При каких условиях происходит дифракция Френеля? Дифракция Фраунгофера?
 
+  Дифракция Френеля происходит тогда, когда источник света и/или экран находятся на конечном расстоянии от препятствия. Волновые фронты сферические, расстояния -- малые, геометрия -- неупрощённая.
+  
+  Условия: ближний источник, небольшое $L$, экран недалеко, волна не успевает превратиться в плоскую.
+  
+  Дифракция Фраунгофера -- это предельный случай, когда волновые фронты можно считать плоскими, а лучи -- параллельными.
+  Система сильно упрощается.
+  
+  Условия: источник находится очень далеко или перед препятствием стоит линза, создающая плоский фронт, экран также очень далеко или используется линза для наблюдения в фокальной плоскости, расстояния большие, фронты -- плоские.
+
 4. Почему дифракционные полосы нельзя наблюдать при протяженном или при немонохроматическом источнике света?
 
+  Протяженный источник дает много разных направлений света, каждая точка источника создаёт свою дифракционную картину. Эти картины смещены и накладываются, полосы размываются и исчезают.
+  
+  Немонохроматический источник. Разные длины волн дают максимумы в разных местах. Картины для разных $lambda$ накладываются, тёмные полосы заполняются светом, контраст пропадает.
+
 5. Каким способом можно получить узкий параллельный пучок света?
 
+  Узкий параллельный пучок получают с коллиматором: источник, щель, линза, установленная так, чтобы щель находилась в её фокусе. Тогда выходящие лучи становятся почти параллельными.
+
 6. Как получить без вычислений соотношение, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели $b$?
 
+  По принципу Гюйгенса–Френеля:
+  
+  Разделяем щель ширины $b$ на две половины. В направлении, где получится первый минимум, волны от двух половин должны гасить друг друга -- то есть приходить в противофазе.
+  
+  Это означает, что разность хода между краями половин равна $lambda/2$.
+  
+  Отсюда следует условие первого минимума:
+  
+  $
+  b sin theta = lambda
+  $
+
 7. Какой вид имеет дифракционная картина при наклонном падении плоской волны на щель?
 
+  Дифракционная картина смещается в сторону наклона: максимум и минимумы перемещаются, а сама форма остаётся такой же.
+
 8. Объясните распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от щели?
 
+$I(phi) = I_0(sin(pi b/lambda sin phi)/(pi b/lambda sin phi))^2$
+
+
+$phi$ - угол дифракции
 9. Как изменится интерференционная картина, если: а) изменить ширину щели? б) увеличить число щелей? в) уменьшить расстояние между ними? г) изменить ширину всех щелей?
 
+а) если расширить - дифракционный максимум сузится, интерференционные полосы будут уже и ярче, если сузить - наоборот
+
+б) увеличится резкость и интенсивность
+
+в) интерференционная картина растянется на экране
+
+г) аналогично пункту а
+
 10. Объясните на основе принципа Гюйгенса–Френеля, почему при дифракции на одной щели существуют углы дифракции, для которых интенсивность света равна нулю? Получить выражение для определения значений таких углов.
 
+Интенсивность света становится равной нулю, потому что  векторы напряженности электрического поля лю
+бых двух соседних лучей, имея одинаковые модули, колеблются в
+противофазе, поэтому их геометрическая сумма равна нулю в любой момент времени. Сведенные в одну точку любые два соседних
+луча «гасят» друг друга, имеют результирующую интенсивность
+равную нулю.
+
+$b sin phi_m = ±m lambda$
 
 11. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции на решетке из $N$ щелей с периодом $d$ при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна $b$.
 
+$I_N = I_phi (sin(pi N d / lambda sin phi) / (pi N d / lambda sin phi))^2$
 12. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения $b/d$ ширины щели $b$ к периоду решетки $d$ интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна?
 
 13. Найти угловое распределение дифракционных максимумов придифракции на решетке, период которой равен $d$, а ширина щели равна $b$.
@@ -84,3 +348,4 @@
 18. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее?
 
 19. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и дисках?
+