upd

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -2,7 +2,8 @@
 
 #set text(
   font: "New Computer Modern",
-  size: 14pt
+  size: 14pt,
+  weight: "light"
 )
 
 #set page(
@@ -21,9 +22,606 @@
 
 #pagebreak()
 
-#align(center)[= Постоянное магнитное поле]
+#align(center)[=== Электростатика]
 
-#align(center)[=== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]
+#align(center)[==== Закон Кулона. Принцип суперпозиции.]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: На шёлковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^plus$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^plus$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $l eq sqrt(frac(2 k q_1^plus q_2^plus, m g))$.
+
+#align(center)[===== №2]
+
+*Условие*: К потолку в одной точке на шёлковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Расстояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет вид: $v(x) eq frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ -- некоторая постоянная).
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $frac(d q, d t) eq frac(3 alpha, 2) sqrt(frac(m g, 2 k l))$.
+
+
+#align(center)[===== №3]
+
+*Условие*: Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r)_3$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна 0.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $q_3 eq -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 eq frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$.
+
+
+#align(center)[===== №4]
+
+*Условие*: Точечный заряд $q eq 50 "мкКл"$ расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 eq 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряжённость $arrow(E)$ электрического поля и её модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) − 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq 4.5 "кВ/м"; arrow(E) eq 2.7 arrow(i) minus 3.6 arrow(j)$.
+
+
+#align(center)[===== №5]
+
+*Условие*:  Точечные заряды $q^((plus))$ и $q^((minus))$ расположены по углам квадрата (@img29), диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряжённости электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин.
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/29.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Поясняющий рисунок.]
+  ) <img29>
+]
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 plus x^2)^(3/2))$.
+
+
+#align(center)[===== №6]
+
+*Условие*: В центре равностороннего треугольника расположен заряд $q_0 eq 10 "нКл"$. Рассчитайте, какие одинаковые заряды $q_1$ необходимо расположить в вершинах этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $q_1 eq minus 17 "нКл"$.
+
+
+#align(center)[===== №7]
+
+*Условие*: Система состоит из протона 𝑝 и электрона 𝑒, расстояние между которыми 𝑟 = 50 пм. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля, создаваемого этими частицами в точках 𝐴 и 𝐵, когда эти частицы находятся в положении, изображённом на (@img30).
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/30.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  ) <img30>
+]
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E_A eq 4.3 dot 10^11 "В/м", E_B eq 4.2 dot 10^11 "В/м"$.
+
+
+#align(center)[===== №8]
+
+*Условие*: В вершинах квадрата со сторонами $a eq 0.08 "м"$ расположены одинаковые заряды $q^((plus)) eq 5 "нКл"$. Рассчитайте модуль напряжённости электрического поля в середине одной из сторон квадрата.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E approx 10 "кВ/м"$.
+
+
+#align(center)[===== №9]
+
+*Условие*: Свинцовый шарик диаметр которого $d eq 7 "мм"$ поместили в однородное электрическое поле в глицериновый раствор. Рассчитать заряд этого шарика, если электрическое поле направленно вверх, а модуль его напряжённости $E eq 9 "кВ/см"$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $q approx 20 "нКл"$.
+
+
+#align(center)[===== №10]
+
+*Условие*: Кусок тонкой проволоки изогнутый полукольцом радиусом $R$ имеет равномерно распределённый заряд $q$. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля $E$ в центре этого полукольца.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq frac(q, 2 pi^2 epsilon_0 R^2)$.
+
+#align(center)[===== №11]
+
+*Условие*: Найти модуль напряжённости электрического поля на оси заряженного тонкого кольца, как функцию расстояния до центра кольца – $E(z)$, если заряд кольца равен $q$, а радиус $R$. Исследовать полученную зависимость при $z gt.double R$. Рассчитать максимальное значение модуля напряжённости $E_max$ и соответствующую ему координату точки на оси $O Z$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E(z) eq frac(k q z, (z^2 plus R^2)^(3/2)), z_max eq frac(R, sqrt(2)), E_max eq frac(2 k q, 3^(3/2) R^2)$.
+
+#align(center)[===== №12]
+
+*Условие*: Рассчитать модуль силы взаимодействия между тонким кольцом радиуса $R$, заряд которого равен $q$ и длинной равномерно заряженной нитью, имеющей линейную плотность заряда равную $lambda$, если нить расположена вдоль оси симметрии кольца, так, что один её конец совпадает с центром кольца.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $F eq frac(k q lambda, R)$.
+
+#align(center)[===== №13]
+
+*Условие*: Тонкий стержень длины $l$ имеет равномерно распределённый заряд $q$. Рассчитать, модуль напряжённости электрического поля в точке расположенной на расстоянии $a$ от одного из концов стержня, по линии стержня.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq frac(k q, a(l plus a))$.
+
+#align(center)[===== №14]
+
+*Условие*: Линейная плотность тонкого заряженного кольца радиуса $R$ зависит от азимутального угла по закону $lambda eq lambda_0 cos phi$ ($lambda_0$ -- постоянная). Рассчитать модуль напряжённости электрического поля в центра кольца и на оси симметрии кольца в зависимости от расстояния до центра кольца.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E_O eq frac(lambda_0, 4 epsilon_0 R), E(z) eq frac(lambda_0 R^2, 4 epsilon_0 (R^2 plus z^2)^(3/2))$.
+
+#align(center)[===== №15]
+
+*Условие*: Система состоит из равномерно заряженного стержня длины $2 a$, расположенного в вакууме. Рассчитать модуль вектора напряжённости как функцию расстояния $r$ от центра стержня до точки на прямой:
+
+- перпендикулярной стержню и проходящей через его центр;
+- совпадающей с осью стержня, при $r gt a$.
+
+Заряд стрежня равен $q$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq frac(k q, r sqrt(a^2 plus r^2)), E eq frac(k q, r^2 minus a^2)$.
+
+#align(center)[===== №16]
+
+*Условие*: Сфера радиуса $R$ заряжена с поверхностной плотностью $sigma = (arrow(r), arrow(a))$, где $arrow(a)$ некоторый постоянный вектор, а $arrow(r)$ – радиус вектор точки на сфере отностительно её центра. Рассчитать вектор напряжённости электрического поля в центре сферы.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq frac(a R, 3 epsilon_0) arrow(e)_z$.
+
+#align(center)[===== №17]
+
+*Условие*: Рассчитать вектор напряжённости в центре заряженного шара радиуса $R$ если объёмная плотность заряда шара $rho eq (arrow(r), arrow(a))$, где $arrow(a)$ некоторый постоянный вектор, а $arrow(r)$ -- радиус вектор произвольной точки шара, проведённый из его центра.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq frac(R^2 a, 6 epsilon_0) arrow(e)_z$.
+
+#align(center)[===== №18]
+
+*Условие*: Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена так, что поверхностная плотность зависит только от угла $phi$ цилиндрической системы координат: $sigma eq sigma_0 cos phi$. Рассчитать модуль вектора в произвольной точке, лежащей на оси цилиндра.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E eq frac(sigma_0, 2 epsilon_0)$.
+
+#align(center)[==== Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса.]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: Напряжённость электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) eq frac(alpha x arrow(i) plus alpha y arrow(j), x^2 plus y^2)$, где $alpha eq "const"$, а $arrow(i), arrow(j)$ -- орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $P eq 4 pi alpha R$.
+
+#align(center)[===== №2]
+
+*Условие*:  Объёмная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) eq rho_0(1 - frac(r, R))$, где $rho_0 eq "const"$. Найти:
+
+- модуль напряжённости электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;
+- максимальное значения модуля напряжённости $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$.
+
+Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) eq frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 minus frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) eq frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max eq 2/3 R, space.quad E_r (r_max) eq frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.
+
+#align(center)[===== №3]
+
+*Условие*: Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 "м"$, объёмная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряжённости электрического поля:
+
+- на расстоянии $r = 0.1 "м"$ от центра шара;
+- на поверхности шара;
+- на расстоянии $r = 0.25 "м"$ от центра шара.
+
+Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E(0.1) approx 15 "В/м", space.quad E(0.2) approx 30 "В/м" (r lt.eq R), space.quad E(0.25) approx 96 "В/м", space.quad E(0.2) approx 151 "В/м" (r gt.eq R)$.
+
+#align(center)[===== №4]
+
+*Условие*: Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещён в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon eq 1$. Среда заполнена зарядом, объёмная плотность которого $rho eq alpha/r$, где $alpha$ – постоянная, а $r$ – расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряжённости электрического поля вне шара не зависит от $r$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $q eq 2 pi alpha R^2$.
+
+#align(center)[===== №5]
+
+*Условие*: Система представлена областью пространства. По пространству распределён заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho eq rho_0 exp(minus alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряжённости, как функцию $r$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $E_r eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(- alpha r^3))$.
+
+#align(center)[===== №6]
+
+*Условие*: Рассчитать напряжённость электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда – $sigma$. Расчёт произвести 2-мя способами:
+
+- с использованием закона Кулона;
+- с использованием теоремы Гаусса.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.
+
+#align(center)[===== №7]
+
+*Условие*: Рассчитать напрёжённость электростатического поля создаваемого бесконечной длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда -- $lambda$. Расчёт произвести 2-мя способами: 
+
+- с использованием закона Кулона;
+- с использованием теоремы Гаусса.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.
+
+#align(center)[===== №8]
+
+*Условие*: Рассчитать вектор напряжённости электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объёмной плотностью $rho$ и $minus rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.
+
+#align(center)[===== №9]
+
+*Условие*:  Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) eq frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ – постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: хз.
+
+#align(center)[==== Работа кулоновских сил. Потенциал электростатического поля.]
+
+#align(center)[===== №1]
+
+*Условие*: Потенциал электрического поля зависит от координат $x, y$ по закону:
+
+- $phi(x, y) eq alpha(x^2 + y^2)$,
+- $phi(x, y) eq alpha x y$,
+
+где $alpha eq "const"$. Найти вектор напряжённости этих полей.
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*: $arrow(E) eq minus 2 alpha arrow(r), arrow(E) eq minus alpha y arrow(i) minus alpha x arrow(j)$.
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №6]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №7]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №8]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №9]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №10]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №11]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №12]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №13]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №14]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №15]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №16]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[==== Электрический диполь.]
+
+#align(center)[===== №1]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №6]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №7]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №8]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[==== Электростатическое поле при наличии диэлектриков.]
+
+#align(center)[===== №1]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[==== Электростатическое поле при наличии проводников.]
+
+#align(center)[===== №1]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №6]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[==== Энергия электростатического поля.]
+
+#align(center)[===== №1]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №5]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+
+#align(center)[==== Конденсаторы.]
+
+#align(center)[===== №1]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №2]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №3]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[===== №4]
+*Условие*: 
+
+*Решение*: 
+
+*Ответ*:
+
+#align(center)[=== Постоянное магнитное поле]
+
+#align(center)[==== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]
 
 #align(center)[===== №1] // ready
 
@@ -401,7 +999,7 @@ $
 
 #pagebreak()
 
-#align(center)[=== Закон полного тока]
+#align(center)[==== Закон полного тока]
 
 #align(center)[===== №1]
 
@@ -792,7 +1390,7 @@ $
 *Ответ*: $Phi eq frac(mu_0 I, 4 pi)$.
 
 #pagebreak()
-#align(center)[=== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]
+#align(center)[==== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]
 
 #align(center)[===== №1] // ready
 
@@ -1049,7 +1647,7 @@ $
 
 #pagebreak()
 
-#align(center)[=== Частица в магнитном поле]
+#align(center)[==== Частица в магнитном поле]
 
 #align(center)[===== №1]
 
@@ -1131,7 +1729,7 @@ $
 
 #pagebreak()
 
-#align(center)[=== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]
+#align(center)[==== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]
 
 #align(center)[===== №1]
 
@@ -1200,9 +1798,9 @@ $
 *Ответ*: $F_A eq frac(2 mu_0 I I_0, pi (4 eta^2 minus 1))$, $A eq frac(mu_0 I_0 I a, pi) ln (frac(2 eta plus 1, 2 eta minus 1))$.
 
 #pagebreak()
-#align(center)[= Электромагнитная индукция]
+#align(center)[=== Электромагнитная индукция]
 
-#align(center)[=== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]
+#align(center)[==== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]
 
 #align(center)[===== №1]