upd

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -1,9 +1,12 @@
 #set math.equation(numbering: "(1)", supplement: [])
 
+#show math.equation: set text(size: 16pt, weight: "light", top-edge: "ascender", bottom-edge: "descender")
+
 #set text(
   font: "New Computer Modern",
   size: 14pt,
-  weight: "light"
+  weight: "light",
+  lang: "ru"
 )
 
 #set page(
@@ -40,6 +43,62 @@
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/34.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  )
+]
+
+Пусть шары отклоняются на угол $theta$, от вертикали, когда расстояние между ними равно $x$.
+
+Применяя второй закон Ньютона для любого шарика, получим, 
+
+$
+T cos theta eq m g
+$ <eq8>
+
+и
+
+$
+T sin theta eq F_e
+$ <eq9>
+
+Из уравнений @eq8 и @eq9
+
+$
+tg theta eq frac(F_e, m g)
+$ <eq10>
+
+Из рисунка
+
+$
+tg theta eq frac(x, 2 sqrt(l^2 - (x/2)^2)) approx x/(2 l) space.quad x lt.double l
+$ <eq11>
+
+Из уравнения @eq10 и @eq11 
+
+$
+F_e eq frac(m g x, 2 l) " или " frac(q^2, 4 pi epsilon_0 x^2) eq frac(m g x, 2 l)
+$
+
+$
+q^2 eq frac(2 pi epsilon_0 m g x^3, l)
+$ <eq12>
+
+Дифференцируя уравнение @eq12 по времени
+
+$
+2 q frac(d q, d t) eq frac(2 pi epsilon_0 m g, l) 3 x^2 frac(d x, d t)
+$
+
+Согласно задаче $frac(d x, d t) eq v eq frac(a, sqrt(x))$ (скорость сближения $frac(d x, d t)$).
+
+Итак, $sqrt(frac(2 pi epsilon_0 m g, l) x^3) frac(d q, d t) eq frac(3 pi epsilon_0 m g, l) x^2 frac(a, sqrt(x))$
+
+Следовательно, $frac(d q, d t) eq 3/2 a sqrt(frac(2 pi epsilon_0 m g, l))$.
+
 *Ответ*: $frac(d q, d t) eq frac(3 alpha, 2) sqrt(frac(m g, 2 k l))$.
 
 
@@ -49,6 +108,44 @@
 
 *Решение*: 
 
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/35.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  )
+]
+
+Выберем координатные оси, как показано на рисунке, и зафиксируем три заряда, $q_1, q_2$ и $q_3$ с векторами положения $arrow(r)_1, arrow(r)_2$ и $arrow(r)_3$ соответственно.
+
+Теперь для равновесия $q_3$
+
+$
+frac(+q_2 q_3 (arrow(r)_2 - arrow(r)_3), |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|^3) + frac(q_1 q_3 (arrow(r)_1 - arrow(r)_3), |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|) eq 0
+$
+
+или, $frac(q_2, |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|^3) eq frac(q_1, |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|^2)$
+
+потому что $frac(arrow(r)_2 - arrow(r)_3, |arrow(r)_2 - arrow(r)_3|) eq frac(arrow(r)_1 - arrow(r)_3, |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|)$
+
+или, $sqrt(q_2) (arrow(r)_1 - arrow(r)_3) eq sqrt(q_1) (arrow(r)_3 - arrow(r)_2)$
+
+или, $arrow(r_3) eq frac(sqrt(q_2) arrow(r)_1 + sqrt(q_1) arrow(r)_2, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$
+
+Для равновесия $q_1$,
+
+$
+frac(q_3 (arrow(r)_3 - arrow(r)_1), |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|^3) + frac(q_2 (arrow(r)_2 - arrow(r)_1), |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|^3) eq 0
+$
+
+или, $q_3 eq frac(-q_2, |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|^2) |arrow(r)_1 - arrow(r)_3|^2$
+
+Подставляя значение $arrow(r)_3$, получаем,
+
+$
+q_3 eq frac(-q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
+$
+
 *Ответ*: $q_3 eq -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 eq frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$.
 
 
@@ -58,7 +155,36 @@
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*: $E eq 4.5 "кВ/м"; arrow(E) eq 2.7 arrow(i) minus 3.6 arrow(j)$.
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/36.png"),
+    supplement: [Рис.],
+    caption: [Поясняющий рисунок.]
+  )
+]
+
+$
+arrow(z) - arrow(z)_0 eq 6 arrow(i) - 8 arrow(j)
+$
+
+$
+E eq frac(1, 4 pi epsilon_0) dot frac(q, r^2)
+$
+
+$
+z eq |arrow(z) - arrow(z)_0| eq sqrt(36 + 64) eq 10 "м"
+$
+
+$
+E eq 9 dot 10^9 dot frac(5 dot 10^5, 100) eq 4500 "В/м" eq 4.5 "кВ/м"
+$
+
+$
+arrow(E) eq frac(arrow(z) - arrow(z)_0, |arrow(z) - arrow(z)_0|) dot E eq (0.6 i - 0.8 j) dot 4.5 eq \
+eq (2.7 i - 3.6 j) "кВ/м".
+$
+
+*Ответ*: $E eq 4.5 "кВ/м"; arrow(E) eq = 2.7 arrow(i) minus 3.6 arrow(j)$.
 
 
 #align(center)[===== №5]
@@ -465,204 +591,258 @@ c) $arrow(E) eq a y arrow(i) plus (a x plus b z) arrow(j) plus b y arrow(k)$.
 
 #align(center)[===== №2]
 
-*Условие*: 
+*Условие*: Рассчитать потенциалы и модули напряжённости электрического поля, создаваемого диполем в точках $A$ и $B$, расположенных на расстоянии $r$ от центра диполя на перпендикуляре к диполю и на оси диполя в направлении диполя, соответственно. Модуль дипольного момента $p = 0.12 "нКл/м", |q| = 1 "нКл", r = 8 "см"$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $phi(A) eq 0 "B", phi(B) approx 386 "B", E(A) approx 1.08 "кВ/м", E(B) eq 22 "кВ/м"$.
 
 #align(center)[===== №3]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом $arrow(p)$ (@img33) может быть представлен, как $phi(r) eq frac((arrow(p), arrow(r)), 4 pi epsilon_0 r^3)$, где $r$ – радиус-вектор.
+
+- Найти с помощью этого выражения вектор напряжённости $arrow(E)$ как функцию $arrow(r), arrow(p)$ и модуль вектора напряжённости электрического поля диполя, как функцию $r$ и $theta$. 
+- Найти проекции напряжённости электрического поля диполя на ось $Z - E_z$, и на плоскость перпендикулярную оси $Z - E_perp$.
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/33.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  ) <img33>
+]
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $arrow(E) (arrow(p), arrow(r)) eq k(frac(3(arrow(p), arrow(r)) arrow(r), r^5) - frac(arrow(p), r^3)), space.quad E(p, theta) eq frac(k p, r^3) sqrt(1 + 3 cos^2 theta); E_z eq frac(k p, r^3) (3 cos^2 theta - 1), space.quad E_perp eq frac(3 k p cos theta sin theta, r^3)$.
 
 #align(center)[===== №4]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Диполь с электрическим моментом $arrow(p)$ равномерно вращается с частотой $nu$ вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плечу диполя. Получить потенциал создаваемый диполем в точке $S$, отстоящей от центра диполя на расстояние $r gt.double l$ ($l$ – плечо диполя), как функцию времени. Считать, что $phi(0) = 0$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $phi(t) eq -frac(k p, r^2) sin(2 pi nu t)$.
 
 #align(center)[===== №5]
-*Условие*: 
+
+*Условие*:  Для системы состоящей из 2-х сонаправленных точечных диполей, лежащих на одной прямой, $arrow(p)_1$ и $arrow(p)_2$, рассчитать модуль силы взаимодействия между этими диполями если $p_1 = 1 "пКл/м", p_2 = 4 "пКл/м", r = 0.02 "м"$ ($r$ – расстояние между центрами диполей)
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $F eq frac(3 p_1 p_2, 2 pi epsilon_0) frac(1, r^4) approx 1.35 "мкН"$.
 
 #align(center)[===== №6]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из равномерно заряженной нити, изогнутой в форме полуокружности радиуса $R$ c зарядом $q > 0$, и отрицательного заряда $-q$, расположенного в её центре. Найти:
+
+- Модуль электрического дипольного момента этой системы;
+- Модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на оси диполя на расстоянии $r gt.double R$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $p eq frac(2 R q, pi); E(r) eq frac(R q, epsilon_0 pi^2 r^3)$.
 
 #align(center)[===== №7]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из бесконечной равномерно заряженной тонкой нити и диполя, расположенного на расстоянии $r$ от нити. $arrow(p)$ – дипольный момент, $lambda$ – линейная плотность заряда нити. Найти силу, действующую на диполь, если $arrow(p)$ ориентирован:
+
+- вдоль нити;
+- по вектору $arrow(r)$, перпендикулярному к нити;
+- перпендикулярно нити и вектору $arrow(r)$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $arrow(F) eq arrow(0); space.quad arrow(F) eq -frac(arrow(p) lambda, epsilon_0 pi r^2)$.
 
 #align(center)[===== №8]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Диполь $arrow(p)$ расположен во внешнем однородном поле $arrow(E)_0$, так что $arrow(p) arrow.t arrow.t arrow(E)_0$. При таком расположении одна из эквипотенциальных поверхностей представляет из себя сферу. Рассчитать радиус этой сферы.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: хз.
 
 
 #align(center)[==== Электростатическое поле при наличии диэлектриков.]
 
 #align(center)[===== №1]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: В центре шара, состоящего из однородного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ расположен точечный заряд $q$. Найти поляризованность $arrow(P)$, как функцию радиус-вектора $arrow(r)$ относительно центра шара, а также связанный заряд $q'$ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $arrow(P) eq frac(q, 4 pi r^3 epsilon) (epsilon - 1) arrow(r); space.quad q' eq -frac(q, epsilon) (epsilon - 1)$.
 
 #align(center)[===== №2]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Рассчитать поверхностные плотности связанных зарядов, модули векторов поляризованности и напряжённости поля, индуцированного точечным зарядом $q$, помещённым в центр двух концентрических сфер радиусами $R_1$ и $R_2$, если сферический слой заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью $epsilon$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $E(r lt R_1) eq frac(q, 4 pi epsilon_0 r^2), space.quad P(r lt R_1) eq 0; space.quad E(R_1 lt r lt R_2) eq frac(1, 4 pi epsilon_0 epsilon r^2), P(R_1 lt r lt R_2) eq frac(q, 4 pi epsilon r^2) (epsilon - 1); space.quad E(r gt R_2) eq frac(q, 4 pi epsilon_0 r^2), P(r gt R_2) eq 0; sigma (r eq R_1) eq -frac(q, 4 pi R_1^2 epsilon) (epsilon - 1), sigma(r eq R_2) eq frac(q, 4 pi R_1^2 epsilon) (epsilon - 1)$.
 
 #align(center)[===== №3]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов $sigma_"св" eq -frac(sigma(epsilon - 1), epsilon)$ , где $epsilon$ - диэлектрическая проницаемость, а $sigma$ – поверхностная плотность зарядов на проводнике.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: хз.
 
 #align(center)[===== №4]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из диэлектрического тела имеющего форму сферического слоя с радиусами $R_1$ и $R_2$ ($R_2 gt R_1$) и диэлектрической проницаемостью $epsilon$, расположенного в вакууме. Найти модуль напряжённости, как функцию расстояния $r$ от центра тела, если:
+
+- внутренняя поверхность тела несёт свободный поверхностный заряд $q$;
+- свободный заряд $q$ равномерно распределён по объёму тела.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $E_a (r lt R_1) eq 0; E_b(r lt R_1) eq 0; E_a(R_1 lt t lt R_2) eq frac(sigma R_1^2, epsilon epsilon_0 r^2); E_b(R_1 lt t lt R_2) eq frac(rho r, 3 epsilon epsilon_0) (1 minus frac(R_1^3, r^3)); E_a(r gt R_2) eq frac(sigma R_1^2, epsilon_0 r^2); E_b(r gt R_2) eq frac(rho(R_2^3 - R_1^3), epsilon_0 r^2)$.
 
 #align(center)[===== №5]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Вблизи некоторой точки лежащей на границе между стеклом и вакуумом модуль напряжённости электрического поля в вакууме – $E_0$, а угол между вектором $arrow(E)_0$ и вектором нормали к стеклу – $alpha_0$. Рассчитать модуль вектора напряжённости в стекле, угол между вектором напряжённости в стекле и нормалью, а также поверхностную плотность связанных зарядов.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $E eq frac(E_0, epsilon) sqrt(cos^2 alpha_0 plus epsilon^2 sin^2 alpha_0); ctg alpha eq frac(ctg alpha_0, epsilon); sigma eq frac(E_0 (epsilon - 1) epsilon_0, epsilon) cos alpha_0$.
 
 
 #align(center)[==== Электростатическое поле при наличии проводников.]
 
 #align(center)[===== №1]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Над проводящей горизонтальной плоскостью на изолирующей нити, коэффициент жёсткости которой $mu$ висит небольшой шарик. Когда шарик зарядили, он опустился на $x$, а расстояние до проводящей плоскости стало равно $l$. Рассчитайте заряд шарика.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $q eq 4 l sqrt(mu x pi epsilon_0)$.
 
 #align(center)[===== №2]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из точечного диполя $arrow(p)$ и проводящей плоскости. Расстояние от диполя до плоскости $l$. Рассчитать силу действующую на диполь, если дипольный момент перпендикулярен плоскости.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $arrow(F) eq frac(3 p^2, 32 epsilon_0 l^4) arrow(j)$.
 
 #align(center)[===== №3]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: С одной стороны проводящей плоскости расположены 2 заряда $q$ и $-q$. Расстояние между зарядами равно $l$, расстояние от каждого заряда до плоскости равно $l/2$. Рассчитать модуль силы, действующей на каждый заряд.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $F eq frac(q^2, 8 pi epsilon_0) (2 sqrt(2) - 1)$.
 
 #align(center)[===== №4]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из точечного заряда $q$ расположенного на расстоянии $y$ от проводящей плоскости. Рассчитать поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния $x$ от основания перпендикуляра, опущенного из точки расположения заряда на плоскость.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $sigma eq -frac(q y, 2 pi (x^2 plus y^2)^(3/2))$.
 
 #align(center)[===== №5]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из нити и проводящей плоскости. Нить заряжена равномерно, с линейной плотностью $lambda$, и ориентирована перпендикулярно плоскости. Расстояние от ближайшего конца нити, ближайшего к плоскости, до плоскости $l$. Рассчитать поверхностную плотность индуцированного на плоскости заряда:
+
+- в точке $O$, являющейся следом нити на плоскости;
+- как функцию расстояния $x$ до точки $O$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $sigma(O) eq -frac(lambda, 2 pi l); sigma(x) eq -frac(lambda, 2 pi (x^2 plus l^2)^(1/2))$.
 
 #align(center)[===== №6]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Рассчитать потенциал незаряженной проводящей сферы радиуса $R$, вне которой на расстоянии $d$ расположен заряд $q$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $phi eq frac(k q, d)$.
 
 #align(center)[==== Энергия электростатического поля.]
 
 #align(center)[===== №1]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: В вершинах прямоугольника со сторонами $a = 40 "см"$ и $b = 20 "см"$ расположены четыре одинаковых заряда $q = 2 "мкКл"$. Рассчитать энергию взаимодействия этой системы.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $W eq 2 q^2 k (1/a + 1/b + frac(1, sqrt(a^2 + b^2))) approx 0.7 "Дж"$.
 
 #align(center)[===== №2]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из 4-х одинаковых зарядов $q = 500 "нКл"$, расположенных в вершинах квадрата сторона которого $a = 20 "см"$. Рассчитать потенциальную энергию взаимодействия данной системы.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $W eq frac(sqrt(2) q^2 k, a) (2 sqrt(2) + 1) approx 61 "мДж"$.
 
 #align(center)[===== №3]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Во внешнем электростатическом поле, модуль напряжённости которого $E = 300 "кВ/м"$, расположен точечный диполь, модуль дипольного момента которого $p = 12 "пКл/м"$. Под действием этого поля диполь начинает вращаться вокруг оси, проходящей через его центр. Рассчитать модуль угловой скорости вращения диполя в момент установления равновесия, если в начальный момент времени диполь был ориентирован перпендикулярно полю. Момент инерции диполя относительно оси вращения - $I = 2 dot 10^(-9) "кг/м2"$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $omega eq sqrt(frac(2 p E, I)) eq 60 "рад/с"$.
 
 #align(center)[===== №4]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из двух концентрических равномерно заряженных сфер, радиусами $R_1 = 1 "м"$ и $R_2 = 1.5 "м"$, с поверхностными плотностями зарядов $sigma_1 = 4 " мкКл/м"^2$ и $sigma_2 = 10 " мкКл/м"^2$, расположенных в вакууме. Рассчитать энергию электрического поля заключённую между сферами.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $W eq frac(2 pi sigma_1^2 R_1^4, epsilon_0) (frac(R_2 - R_1, R_1 R_2)) approx 3.8 "Дж"$.
 
 #align(center)[===== №5]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Система состоит из двух концентрических проводящих сфер радиусами $R_1 = 10 "см"$ и $R_2 = 40 "см"$, имеющими одинаковый заряд $q = 200 "нКл"$. Рассчитать энергию электрического поля заключённого между двумя этими сферами.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $W eq frac(q^2, 8 pi epsilon_0) (frac(R_2 - R_1, R_2 R_1)) approx 1.35 "млДж"$.
 
 
 #align(center)[==== Конденсаторы.]
 
 #align(center)[===== №1]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Получить формулы для расчёта ёмкости следующих конденсаторов ($epsilon$ среды между обкладками принять равной 1):
+
+- Сферического, если известно что радиус внутренней обкладки $R_1$, а внешней $R_2$;
+- Цилиндрического, если известно, что радиус внутренней обкладки $R_1$, внешней $R_2$, а высота равна $d$;
+- Плоского, если известно, что площадь обкладок равна $S$, а расстояние между обкладками $d$.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $C_"сф" eq frac(4 pi epsilon_0 R_1 R_2, R_2 - R_1), C_"цил" eq frac(2 pi epsilon_0 d, ln frac(R_2, R_1)), C_"пл" eq frac(epsilon_0 S, d)$.
 
 #align(center)[===== №2]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d$, расположен вертикально. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$. На расстоянии $b$ от отрицательно заряженной пластины находится положительно заряженная пылинка массой $m$ и зарядом $q$. Рассчитать время за которое пылинка достигнет пластины конденсатора.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $t eq sqrt(frac(2 b m d, q U))$.
 
 #align(center)[===== №3]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: К одной из пластин плоского заряженного конденсатора прилегает диэлектрическая пластинка толщиной $d_1$ и диэлектрической проницаемостью $epsilon$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, а разность потенциалов $U$. Рассчитать модули напряжённости $E_1$ и $E_2$ в диэлектрике и воздухе.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $E_1 eq frac(U, d_1 + epsilon d - epsilon d_1), space.quad E_2 eq frac(U epsilon, d_1 + epsilon d - epsilon d_1)$.
 
 #align(center)[===== №4]
-*Условие*: 
+
+*Условие*: К одной из пластин плоского конденсатора прилегает пластина диэлектрика толщиной $d_1$ и диэлектрической проницаемостью $epsilon$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$. После отключения конденсатора от источника питания пластину вынули. Рассчитать во сколько раз выросла разность потенциалов между пластинами конденсатора.
 
 *Решение*: 
 
-*Ответ*:
+*Ответ*: $n eq frac(epsilon d, d_1 + epsilon d - epsilon d_1)$.
 
 #align(center)[=== Постоянное магнитное поле]