new year upd

course2/sem3/exam/tasks.typ

@@ -0,0 +1,133 @@
+#set text(
+  size: 14pt,
+  font: "New Computer Modern",
+)
+
+#set par(
+  justify: true
+)
+
+=== Потенциальная энергия электрического диполя с моментом $arrow(p)$ в поле с напряженностью $arrow(E)$.
+
+*1. $- arrow(p) arrow(E)$*
+2. $|arrow(p)| |arrow(E)|$
+3. $- |arrow(p)| |arrow(E)|$
+4. $- frac(|arrow(p)|, |arrow(E)|)$
+5. $frac(|arrow(E)|, |arrow(p)|)$
+
+*Ответ*: Потенциальная энергия диполя в электрическом поле: 
+
+$
+W eq - arrow(p) dot arrow(E) eq - p E(r) cos alpha, 
+$
+
+где $alpha$ -- угол между $arrow(E) (arrow(r))$ и $arrow(p)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Точечный заряд $q$ помещен в центр пирамиды. Поток вектора напряженности через грань пирамиды равен
+
+1. $q/4$
+*2. $q/(4 epsilon_0)$*
+3. $q/(6 epsilon epsilon_0)$
+4. $q/(epsilon_0)$
+5. $epsilon epsilon_0 q$
+
+*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из 4 граней пирамиды одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$
+
+$
+Phi eq q/(epsilon_0)
+$
+
+Поток через одну грань
+
+$
+Phi_1 eq q/(4 dot epsilon_0)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Элемент проводника с током $I$, длиной $d l$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией
+
+#align(center)[
+  #figure(
+    image("assets/1.png"),
+    caption: [Поясняющий рисунок.],
+    supplement: [Рис.]
+  ) <img1>
+]
+
+*1. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)$*
+2. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^3)$
+3. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
+4. $frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
+5. $-frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^2)$
+
+*Ответ*: По закону Био-Савара-Лапласа для тонкого проводника: 
+
+$
+d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Диполь с моментом $arrow(p)$ помещен в электрическое поле напряженностью $arrow(E)$. На диполь действует механическй момент $arrow(M)$. Укажите верное выражение.
+
+1. $arrow(M) eq |arrow(p)| arrow(E)$
+2. $arrow(M) eq |arrow(E)| arrow(p)$
+3. $arrow(M) eq [arrow(E), arrow(p)]$
+4. $M eq 0$
+*5. $arrow(M) eq [arrow(p), arrow(E)]$*
+
+*Ответ*: В однородном электрическом поле энергия $W$ изменяется за счет изменения угла $alpha$, при этом элементарная работа сил поля при повороте диполя равна: $d A eq M_alpha d alpha eq - d W$, где $arrow(M)_alpha eq [arrow(p) times arrow(E)]$ -- момент сил, действующий на диполь:
+
+$
+M_alpha eq -frac(partial W, partial alpha) eq -p E sin alpha
+$
+
+#line(length:  100%)
+
+=== По витку радиусом $R$ течет ток силой $I$. Индукция магнитного поля $B$ в центре витка равна 
+
+1. $frac(mu_0 I , 2 pi R)$
+*2. $frac(mu_0 I , 2 R)$*
+3. $frac(mu_0 I , pi R)$
+4. $frac(mu_0 I , 4 pi R)$
+5. $frac(mu_0 I , 8 pi R)$
+
+*Ответ*: По теореме Био-Савара-Лапласа:
+
+$
+d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l, r^2) eq \
+eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(r d alpha, r^2) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d alpha, R).
+$
+
+$
+B eq frac(mu_0 I, 4 pi R) integral_0^(2 pi) d alpha eq frac(mu_0 I 2 pi, 4 pi R) eq bold(frac(mu_0 I, 2 R))
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую поверхность
+
+1. Равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности.
+2. Равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности.
+3. Равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.
+*4. Равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленную на электрическую постоянную.*
+5. Равен нулю.
+
+*Ответ*: По теореме Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции $arrow(D)$: 
+
+$
+integral.surf_S arrow(D) d arrow(S) eq q_"внутр".
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+=== Точечный заряд $q$ помещен в центр куба. Поток вектора напряженности через одну грань куба равен
+
+1. $q/6$
+2. $q/(6 epsilon_0)$
+3. $q/(4 epsilon epsilon_0)$
+4. $q/(epsilon_0)$
+