#set page(numbering: "- 1 -")
#set page(
  paper: "a4",
  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
)
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 10pt
)
#set par(
  first-line-indent: (
    amount: 1.5em,
    all: true
  ),
  justify: true,
  leading: 0.52em,
)


#align(center)[= Домашняя работа. Дощенников Никита.]

#align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]

#align(center)[===== №1]

Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.

*Решение*: В системе СИ: $sigma eq 5 " нКл/м"^2 eq 5 dot 10^(-9) " Кл/м"^2$.

В сферических координатах с центром в искомой точке. Зададим точку на сфере полярным углом $theta in [0, pi/2]$ и азимутальным $phi in [0, 2 pi]$. Тогда поверхностный элемент сферы $d S$ равен: 

$
d S eq R^2 sin theta d theta d phi.
$

Элемент заряда $d q$ равен: 

$
d q eq sigma d S eq sigma R^2 sin theta d theta d phi
$

Поле от элементарного заряда в центра по модулю равно: 

$
d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
$

Расписав составляющие: 

$
d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
d E_y eq -k sigma sin^2 theta sin phi d theta d phi, \
d E_z eq -k sigma sin theta cos theta d theta d phi
$

Проинтегрировав по всей полусфере, получим:

$
E_x eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi/2) d E_x eq -sigma k integral_0^(pi/2) sin^2 theta d theta integral_0^(2 pi) cos phi d phi.
$

Так как $integral_0^(2 pi) cos phi d phi eq 0$, то $E_x eq 0$. (Аналогично $E_y eq 0$). Остается только $z$-компонента:

$
E_z eq E eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi / 2) d E_z eq - sigma k integral_0^(2 pi) d phi integral_0^(pi / 2) sin theta cos theta d theta eq k sigma dot (2 pi) dot 1/2 eq sigma/(4 epsilon_0).
$

Подставив числа, получим: 

$
E eq frac(sigma, 4 epsilon_0) eq frac(5 dot 10^(-9), 4 dot 8.85 dot 10^(-12)) approx 141.2 "В/м" approx 0.14 "кВ/м".
$

*Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.

#align(center)[===== №2]

Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напрёжённости электростатического поля, как функцию $r$.

*Решение*: По закону Гаусса: 

$
integral.cont_S bold(E) dot d bold(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
$

Система обладает сферической симметрией.

$
E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
$

Заряд внутри радиуса $r$:

$
Q_"вн" (r) eq integral_(V_r) rho(r') d V eq integral_0^r rho (r') 4 pi r^('2) d r' eq 4 pi rho_0 integral_0^r r^('2) e^(-alpha r')^3 d r'.
$

Пусть $u eq alpha r^('3)$. 

$
d u eq 3 alpha r^('2) d r' arrow.double r^('2) d r' eq frac(d u, 3 alpha)
$

$
Q_"вн" (r) eq 4 pi rho_0 dot frac(1, 3 alpha) integral_0^(alpha r^3) e^(-u) d u eq frac(4 pi rho_0, 3 alpha) (1 - e^(-alpha r^3))
$

Подставим в закон Гаусса: 

$
E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
$

*Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.

#align(center)[===== №3]

Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.

*Решение*: Для $r lt.eq R$ используем закон Гаусса. Заряд, заключенный в сфере, радиуса $r$:

$
Q_"вн" eq rho dot 4/3 pi r^3.
$

Поток через сферу радиуса $r$ равен: 

$
integral.cont bold(E) dot d bold(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
$

Отсюда можно выразить $E(r)$:

$
E(r) eq frac(Q_"вн", 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho^(4/3) pi r^3, 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)
$

Потенциал определяется как: 

$
phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) E(r) d r
$

Подставив $E(r) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)$:

$
Delta phi eq phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) frac(rho r, 3 epsilon_0) d r eq frac(rho, 6 epsilon_0) (r^2_2 - r^2_1)
$

Подставив числа, получим: 

$
Delta phi eq frac(10 dot 10^(-9), 6 dot 8.85 dot 10^(-12)) (0.15^2 - 0.01^2) "В" approx 4.2 "В".
$

*Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.

#align(center)[===== №4]

Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $epsilon_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.

*Решение*: При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $bold(D)$ одинакова во всех слоях:

$
D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
$

Отсюда получаем связь между полями: 

$
epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_(r 2) E_2 arrow.double E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
$

Общая разность потенциалов $U$ равна: 

$
U eq E_1 d_1 + E_2 d_2.
$

Подставив $E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2$, получим: 

$
U eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2 d_1 + E_2 d_2 eq E_2(frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2)
$

Выражая $E_2$ и $E_1$:

$
E_2 eq frac(U, frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2), space.quad E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
$

Подставим числа из условия: 

$
E_1 approx 3.64 dot 10^4 "В/м" approx 36.4 "кВ/м", E_2 approx 1.27 dot 10^5 "В/м" approx 0.127 "МВ/м".
$

*Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.

#align(center)[===== №5]

На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.

*Решение*: В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.

Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.

Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $U$ равна: 

$
U eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
$

Чтобы удалить заряд в бесконечность, нужно сделать работу $A$:

$
A eq -U eq k frac(q^2, 2 l)
$

Подставив числа, получим: 

$
A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
$

*Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.

#align(center)[===== №6]

По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.

*Решение*: Пусть $v_d$ - дрейфовая скорость электронов. Тогда импульс всех электронов $p$ равен: 

$
p eq M v_d
$

где $M$ - суммарная масса всех электронов в проводнике. 

За время $Delta t$ электроны сдвигаются вдоль провода на расстояние: 

$
Delta x eq v_d Delta t.
$

Тогда объем, прошедший через сечение: 

$
V eq S Delta x eq S v_d Delta t.
$

Если $n$ - концентрация свободных электронов на метр кубический, то: 

$
N eq n V eq n S v_d Delta t
$

это число электронов, прошедших через сечение. Каждый электрон имеет заряд $e$ по модулю, поэтому полный заряд $Delta Q$:

$
Delta Q eq N e eq n e S v_d Delta t.
$

По определению силы тока: 

$
I eq frac(Delta Q, Delta t) eq frac(n e S v_d Delta t, Delta t) eq n e S v_d.
$

Пусть площадь сечения - $S$. Тогда объем $V$ равен: 

$
V eq S l
$

и число электронов $N$:

$
N eq n V eq n S l.
$

Выразив дрейфовую скорость из $I eq n e S v_d$, получим: 

$
v_d eq frac(I, n e S)
$

Тогда, подставив это в $p eq N m_e v_d$:

$
p eq N m_e v_d eq (n S l) m_e dot frac(I, n e S) eq frac(m_e I l, e)
$

Подставим числа и получим: 

$
p eq frac(3.644 dot 10^(-27), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.28 dot 10^(-8) "Н/c"
$

*Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.


#align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]

#align(center)[===== №1]

Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.

*Решение*: В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$. Обозначим стороны прямоугольника $a$ и $b$, тогда длина диагонали $d$ равна:

$
d eq sqrt(a^2 + b^2).
$

Угол между диагоналями $alpha$ выражается через $a$ и $b$. Для векторов диагоналей $bold(d)_1 eq (a, b), bold(d)_2 eq (a, -b)$ получим:

$
cos alpha eq frac(bold(d)_1 dot bold(d)_2, |bold(d)_1||bold(d)_2|) eq frac(a^2 - b^2, a^2 + b^2)
$

или 

$
b/a eq tan alpha/2
$

Отсюда: 

$
a eq d cos alpha/2, space.quad b eq d sin alpha/2
$

$
a eq d cos 15 degree, space.quad b eq d sin 15 degree
$

По закону Био-Савара: 

$
d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l sin phi, r^2),
$

где $d l$ - элемент проводника, $r$ - расстояние до точки наблюдения, $phi$ - угол между направлением тока и направлением на точку наблюдения. Проводник лежит вдоль оси $x$, точка наблюдения на оси $y$. Тогда расстояние $r eq sqrt(x^2 + y^2)$. 

Угол $phi$ между током и направлением на точку: 

$
sin phi eq frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq y/r
$

После подстановки в закон Био-Савара: 

$
d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d x, (x^2 + y^2)) dot frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(y d x, (x^2 + y^2)^(3/2)).
$

проинтегрировав по длине проводника: 

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi) y integral_(x_A)^(x_B) frac(d x, (x^2 + y^2)^(3/2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (frac(x_B, sqrt(x^2_B + y^2)) - frac(x_A, sqrt(x^2_A + y^2)))
$

Обозначим углы до концов проводника: 

$
cos theta_1 eq frac(x_A, sqrt(x_A^2 + y^2)), space.quad cos theta_2 eq frac(x_B, sqrt(x_B^2 + y^2))
$

тогда 

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (cos theta_2 - cos theta_1).
$

По формуле разности косинусов: 

$
cos theta_2 - cos theta_1 eq 2 sin frac(theta_2 + theta_1, 2) sin frac(theta_2 - theta_1, 2)
$

Но в точке на перпендикуляре можно возпользоваться более простым выражением: 

$
cos theta_2 - cos theta_1 eq sin theta_1 + sin theta_2
$

Так как точка находится напротив середины проводника, то $theta_1 eq theta_2 eq theta$. Тогда: 

$
B eq frac(mu_0 I, 2 pi y) sin theta
$

Для симметричного случая можно расписать $sin theta$ как: 

$
sin theta eq frac(L/2, sqrt((L/2)^2 + y^2)).
$

Для отрезка длины $L$ на расстоянии $y$ от его середины: 

$
B_"отр" eq frac(mu_0 I L, 4 pi y sqrt((L/2)^2 + y^2)).
$

Сумма вкладов двух противоположных сторон длины $a$:

$
B_a^"sum" eq 2 dot frac(mu_0 I a, 4 pi (b/2) sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) eq frac(mu_0 I a, pi b sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
$

Аналогично для сторон длины $b$:

$
B_b^"sum" eq frac(mu_0 I b, pi a sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
$

Сложив, получим: 

$
B eq B_a^"sum" + B_b^"sum" eq frac(mu_0 I, pi sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) (a/b + b/a) eq frac(mu_0 I, pi d/2) (a/b + b/a) eq frac(2 mu_0 I, pi d) (a/b + b/a) eq frac(2 mu_0 I, pi d) frac(2, sin alpha) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin alpha)
$

Подставив числа, получим: 

$
B eq frac(4(4 pi dot 10^(-7)) dot 5, pi dot 0.16 dot 0.5) approx 1.0 dot 10^(-4) "Т" eq 0.1 "мТ".
$

*Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.

#align(center)[===== №2]

Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.

*Решение*: хз

*Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.

#align(center)[===== №3]

По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r bold(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).

*Решение*: Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру: 

$
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
$

Закон Ампера:

$
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
$

где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.

Отсюда: 

$
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) I_"вн" (r)
$

Ток через круг радиуса $r$:

$
I_"вн" (r) eq integral.double_S_r j_z (r') d S eq integral_0^r integral_0^(2 pi) (alpha r') r' d phi d r'
$

$
I_"вн" (r) eq alpha dot 2 pi integral_0^r r^('2) d r' eq alpha dot 2 pi dot frac(r^3, 3) eq frac(2 pi alpha r^3, 3).
$

Магнитная индукция внутри $r lt R$:

$
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha r^3, 3) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3).
$

Магнитная индукция снаружи $r gt R$:

$
I eq I_"вн" (R) eq frac(2 pi alpha R^3, 3).
$

По закону Ампера для $r gt R$:

$
B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
$

*Ответ*: $bold(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) bold(e)_phi, space bold(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) bold(e)_phi$.

#align(center)[===== №4]

В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.

*Решение*: По формуле силы Лоренца: 

$
bold(F) eq q(bold(E) + bold(v) times bold(B))
$

До включения электрического поля:

$
bold(E) eq 0, space.quad bold(F) eq q(bold(v) times bold(B))
$

Поскольку $bold(b) perp bold(B)$, частица движется по окружности

$
F_"маг" = q v b.
$

Сила Лоренца равна центростремительной силе: 

$
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
$

Угловая частота: 

$
omega eq v/R eq frac(q B, m)
$

Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.

За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится: 

$
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
$

После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории. 

Расстояние за один оборот:

$
h eq v T,
$

где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.

Подставим: 

$
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
$

Подставим числа: 

$
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
$

*Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.

#align(center)[===== №5]

Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.

*Решение*: ЭДС индукции определяется законом Фарадея: 

$
cal(E) eq -frac(d Phi, d t)
$

где $Phi$ - магнитный поток через рамку: 

$
Phi eq bold(B) dot bold(S) eq B S cos alpha
$

Площадь рамки $S eq a^2$, $alpha$ - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к рамке.

Магнитный поток через рамку: 

$
Phi(t) eq B(t) S cos alpha eq B_0 cos (omega t) dot a^2 cos alpha
$

$
cal(E) eq -frac(d Phi, d t) eq -frac(d, d t) [B_0 a^2 cos alpha cos(omega t)] eq -B_0 a^2 cos alpha frac(d, d t) cos(omega t) \
eq -B_0 a^2 cos alpha dot (-omega sin (omega t)) eq B_0 a^2 omega cos alpha sin(omega t)
$

Подставляем числа: 

$
cal(E) eq 0.2 dot (0.7)^2 dot 6 dot cos 45 degree dot sin(6 dot 3) approx -0.31 "В"
$

*Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.

#align(center)[===== №6]

Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.

*Решение*: В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.

По закону Ампера: 

$
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"внутри"
$

Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $bold(B) dot d bold(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим: 

$
B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.
$

Энергия магнитного поля катушки: 

$
W eq 1/2 L I^2,
$

где $L$ - индуктивность катушки.

По определению индуктивности: 

$
L eq frac(Phi, I), 
$

где $Phi$ - магнитный поток через катушку.

Магнитный поток через все витки равен: 

$
Phi eq N dot B dot S,
$

где $N$ - число витков, $S$ - площадь поперечного сечения, $B$ - магнитное поле внутри катушки.

$
L eq frac(N B S, I).
$

Объем катушки $V eq S l$, число витков $N eq n l$. Подставим: 

$
L eq frac(n l B S, I) eq frac(B n S l, I).
$

Тогда энергия равна: 

$
W eq 1/2 L I^2 eq 1/2 frac(B n S l, I) I^2 eq 1/2 B n I S l
$

Объемная плотность энергии $w$ равна: 

$
w eq W/V eq frac(1/2 B n I S l, S l) eq 1/2 B n I
$

Подставим $B eq mu_0 n I$:

$
w eq 1/2 (mu_0 n I) n I eq 1/2 mu_0 n^2 I^2
$

Подставим числа: 

$
w eq 1/2 4 pi dot 10^(-7) dot (2500)^2 dot 2^2 eq 2 pi dot 10^(-7) dot 6.25 dot 10^6 dot 4 approx 16 " Дж/м"^3
$

*Ответ*: $omega approx 16 " Дж/м"^3$.